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Raciocínios

geométricos

Prof. Fernando Lang da Silveira – IF-UFRGS

www.if.ufrgs.br/~lang/

O que representa o diagrama?



As linhas curvas são arcos de circunferência.


Os antigos matemáticos gregos (Pitágoras, Tales,

Euclides, ...) desenvolveram a GEOMETRIA.

Essa ciência era muito valorizada, especialmente por

Platão (428/7 348/7 A. C.). No pórtico de sua Academia

encontrava-se a seguinte frase:

Quem não conhece GEOMETRIA, aqui não entra.


Os negociantes e os guerreiros devem aprender

Logística (técnica de computação).

O filósofo deve aprender Aritmética e Geometria

"porque deve subir acima do mar de mudanças e

captar o verdadeiro ser" (Platão).


Teoria dos Dois Mundos: o Mundo das Idéias

ou Formas e o Mundo Sensível.

O Mundo Sensível é uma sombra do Mundo

das Idéias.

Conhecer é recordar (a teoria da anamnese ou

da recordação e a teoria da reencarnação).

A Matemática está no Mundo das Idéias.www.if.ufrgs.br/~lang/

Os antigos gregos não conheciam a Álgebra abstrata.

Os seus raciocínios matemáticos, as suas provas, as

suas demonstrações eram geométricas.

Um antigo geômetra grego não entenderia a seguinte

expressão:

Entretanto, ele sabia demonstrar geometricamente este

produto notável.

222bba2aba


EXEMPLOS DE RACIOCÍNIOS GEOMÉTRICOS:

SOMAR DUAS GRANDEZAS É CONSTRUIR UM SEGMENTO

DE RETA PELA JUSTAPOSIÇÃO DE DOIS SEGMENTOS.

MULTIPLICAR DUAS GRANDEZAS É CALCULAR A ÁREA DE

UM RETÂNGULO.www.if.ufrgs.br/~lang/

DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE

DISTRIBUTIVA:


A demonstração geométrica do produto notável

222bba2aba


A demonstração geométrica do produto notável 22 baba.ba


Como se eleva um

número ao

quadrado?


A regra de Pitágoras para encontrar o quadrado de um

número inteiro N:

N2 é a soma dos N primeiros números ímpares.

Exemplos:

953132

16753142

491311975317 2


Demonstração geométrica da regra de Pitágoras:


Extraindo geometricamente a raiz quadrada do

produto de dois números


Demonstração do Teorema de Pitágoras



As linhas curvas são arcos de circunferência.


O diagrama representa a construção, com régua e compasso, de

um quadrado com área igual à área de um dado retângulo.

Ou, representa a construção de um segmento comprimento X

que é a média geométrica de dois segmentos com comprimentos

A e B.

B.AX2


Algoritmo para encontrar a raiz quadrada de um número N

1 – Inicie com um número X1

como aproximação de X.

Exemplifiquemos com a raiz quadrada de 300. Podemos iniciar com

X1

= 15. Ou seja, a raiz quadrada de 300 é aproximadamente 15.

2 – Subtraia de N o valor de X1

ao quadrado e divida por duas vezes X1.

1

2 XXN

153205,17300 2

5,230

225300

15.2

15300

.2

2

1

2

11

X

XNa


2 – Subtraia de N o valor de X1

ao quadrado e divida por duas vezes X1.

3 – Adicione o valor a1, encontrado na etapa anterior, a X

1.

Este novo valor X2

é uma melhor aproximação da raiz quadrada de N.

5,175,21532,17300 2

11

2 aXXN

5,230

225300

15.2

15300

.2

2

1

2

11

X

XNa


4 – Repita o procedimento a partir do passo 2 e assim sucessivamente.

3205,170005,032,170005,03,17.2

32,1730032,17300

32,1702,03,1702,03,17.2

3,173003,17300

3,172,05,172,05,17.2

5,173005,17300

5,175,2155,215.2

1530015300

5

2

44

4

2

33

3

2

22

2

2

11

XaX

XaX

XaX

XaX


3205,170005,032,170005,03,17.2

32,1730032,17300

32,1702,03,1702,03,17.2

3,173003,17300

3,177,0187,018.2

1830018300

18624624.2

2430024300

2416401640.2

4030040300

4036763676.2

7630076300

767415074150.2

150300150300

8

2

77

7

2

66

6

2

55

5

2

44

4

2

33

3

2

22

2

2

11

XaX

XaX

XaX

XaX

XaX

XaX

XaX


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