approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique y.yakoubi et m. lenczner
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Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique Y.Yakoubi et M. Lenczner Laboratoire M3M Université de Technologie de Belfort et Monbéliard, Belfort, France. Plan. Introduction Modélisation par homogénéisation Contrôle LQG Application : Plaque vibrante - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005
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LOGOS
Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique
Y.Yakoubi et M. LencznerLaboratoire M3M
Université de Technologie de Belfort et Monbéliard, Belfort, France
Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005
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LOGOSPlan
• Introduction• Modélisation par homogénéisation• Contrôle LQG• Application : Plaque vibrante• Approximation asymptotique de la solution de Riccati• Approximation par un circuit électronique• Résultats numériques• Conclusion• Extensions, applications.
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Introduction
Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005
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LOGOSIntroduction
Contrôle optimal LQG
Approximation au sens des hautes fréquences
Construction du contrôle optimal par un circuit électronique : Calculateur distribué quasi-local
Les actionneurs et les capteurs sont nombreux et distribués périodiquement : Homogénéisation
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Modélisation par homogénéisation
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Exemple de modélisation asymptotique par homogénéisation
Plaque élastique encastrée avec distribution périodique
d’actionneurs et de capteurs piézo-électriques
Homogénéisation : il en résulte un milieu continu homogène
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LOGOSBibliographie
• Homogénéisation des équations aux dérivées partielles :
Bensousan A., Lions J.L. and Papanicol., 1978; Sanchez
Palencia E., 1980; Allaire G., 1992; Lenczner M, 1997;
Cioranescu D., Dalamian A., Griso G., 2002.
• Homogénéisation des circuits électroniques :
Vogelius M, 1991; Lenczner M. et Mercier D., 2004.
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LOGOSProblèmes modèles
• Equation du premier ordre (type chaleur)
• Equation du second ordre (type ondes ou plaques vibrantes)
BuAwt
w
uBw
w
A
I
t
wt
w
0
0
0
2
1
2
1
avec conditions aux limites.
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Contrôle LQG
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LOGOSContrôle LQG
Y, U et X espaces de Hilbert; A :
Equation d’état et observation :
Cxy
xxettpourBuAxt
x 000
Fonctionnelle à minimiser :
dtDuCxuJUY
0
22)(
XXAD )( 2/1
générateur infinitésimal d’un semi-groupe sur X;
YXLCetXULB ,,
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LOGOSContrôle LQG
Si les couples (A,B) et (C,A*) sont respectivement stabilisable et détectable alors il existe un contrôle optimal qui vaut
xXBDDuopt *1*
où UXLB ,* défini par XU BuxuxB ,,* et X=X* est l’unique solution de l’équation de Riccati
,0*** CCXXBBXAXA
XYLC ,* défini par YX CxyxyC ,,* où
Estimateur :
x
x
FCBKAFC
BKA
x
x
t
t
et ,1**
DDCXF où
*XX est l’unique solution de l’équation de Riccati
,0***
BBCXXCXAAX
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Application : Plaque vibrante
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LOGOSApplication : Plaque vibrante
Modèle de plaque vibrante homogénéisé :
,0,,, 22 tubtattt
où a et b sont des constantes positives.
Soit cette dernière équation sous forme d’un système d’état :
BuAxt
x
où
,Xxt
,0
02
0
aaA
IA et
Ici .,, 210
2220
20
20
4 LYetHHULHXHHHAD
b
B0 .0cIC
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LOGOSApplication : Plaque vibrante
Les opérateurs adjoints de A, B et C sont définis de la façon
suivante :
.0
0,0
0 *1*
0
*
cI
CetbBA
aIA
Remarques :
• Nous avons choisi d’observer le déplacement, la vitesse sera estimée.
• Le choix des espaces U et Y a pour conséquence que BB*=b²I et C*C=c²I sont des opérateurs qui ne contiennent pas des ODP.
• Les solutions des deux équations de Riccati sont en fonction uniquement de l’opérateur A0. Ces solutions sont calculées exactement.
• L’approximation est déduite de la solution exacte.
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LOGOS
Approximation asymptotique de la solution de Riccati
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Approximation asymptotique de la solution de Riccati
Rappel : Soit A0 un opérateur linéaire auto-adjoint positif compact sur un espace de Hilbert X. Alors : L’ensemble des valeurs propres de A0 est fini ou dénombrable. Les valeurs propres sont réelles positives et ordonnées en une suite décroissante convergeant vers 0. Les vecteurs propres associés forment une base orthogonale complète de X.
Les solutions de Riccati sont en fonction d’un opérateur linéaire10Aauto-adjoint positif
compact:
.0,0,k
k
kijijk
kkijij AXXetAXX
L’approximation est basée sur le développement de Taylor.
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Approximation asymptotique de la solution de Riccati
102/3
32
10
2
2
10
2102/3
3
22
2
2
22
Ada
cbI
c
abdI
a
b
Aa
bI
ac
bd
XetI
ab
cdI
a
c
Aa
cA
da
bcI
b
acd
X apap
Les solutions approchées sont en fonction de :10A
C’est une approximation au sens des hautes fréquences. Cette approximation se fait en dimension infinie, sans passage en dimension finie.
Cette approximation conduit à un système exponentiellement stable.
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Approximation asymptotique de la solution de Riccati
Les solutions approchées nous permettront par la suite de tirer les
équations du contrôle de l’état et de l’estimateur :
2
22
12
22
112
10
2
2
12
2
1
2
2
2
3
ad
cb
ad
bcx
ad
cbx
ad
bcxxaA
ad
bcx
ad
bcx
ad
cu
tttt
t dans
Avec conditions initiales et aux limites.
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Approximation par un circuit électronique
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LOGOS
Approximation par un circuit électronique
La cascade d’équations précédentes peut être
discrétisée par un schéma de différences finies.
p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric p ie zo e le c tric
0 1 N N +12 3
h/4 h/2 h
où h est le pas, sont les coordonnées.n
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Approximation par un circuit électronique
Dérivateurs électroniques
Intégrateurs électroniques
Construction du contrôle optimal u
Construction de l’opérateur A0 : BilaplacienConditions Limites
+-
+- +
-
capteur capteur capteur
actionneur actionneur actionneur
Plaque élastique
ic ic ic
wt1. wt
w
v
C=1
vt
L=1 1.v
1.vtL=1
u
1.u
k°.i
R0 R R R R R
k.i k°.i
vtt
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Résultats numériques
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LOGOSRésultats numériques
Problème 1D, plaque ;25155mm mmmm 16 actionneurs/16 capteurs
;2,055mm mmmm .10155 mmhetmmL
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LOGOSRésultats numériques
mode X21ex X21ap Er/r X22ex X22ap Er/r
1 21.546 21.552 2,86 0.1796 0.1796 1,43
2 21.551 21.552 0,377 0.179594 0.179598 0,188
3 21.552 21.552 0,0980 0.179599 0.179598 0,049
4 21.552 21.552 0,0359 0.1795974 0.1795977 0,0179
-410 -410
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LOGOSRésultats numériques
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Conclusion
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LOGOSConclusion
• La méthode d’approximation au sens des hautes fréquences d’un problème de contrôle optimal permet une implantation dans
un calculateur distribué quasi-local.
• La méthode ne nécessite ni la connaissance des modes propres ni la projection sur la base modale, contrairement aux approches usuelles basées sur les décompositions modales.
• L’approximation est globale.
• Cette méthode nous permet de faire des calculs en temps réel.
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Extensions, applications