Perspectives interculturelles sur l’apprentissage des

mathématiques Susanne Prediger

Séminaire Didatech, Laboratoire Leibniz, Grenoble, 7 avril 2004

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Conflits culturels comme thème de recherche

I: Can you tell me what you think about the way your father did the sums, is it the same or is it different from the way you learned in school?

S: It is a different way, he does it in his head, mine is with the pen.

I: Which do you think is the proper way?

S: School.

I: Which do you think gives a correct result?

S: My father.

I: Why?

S: Because I just think so.” (De Abreu/Bishop/Pompeu 1992, p. 27)

0.1 Introduction

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Conflits culturels comme thème de recherche

„For focusing on research ideas, however, I believe it is important to make a more radical assumption, namely that all formal mathematics education is a process of cultural interaction, and that every child experiences some degree of cultural conflict in that process.“

Alan J. Bishop (1994): Cultural conflicts in mathematics

education: developing a research agenda, p.16

0.2 Introduction

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Mon thème de recherche : L’interaction culturelle

0.2 Introduction

mon approche théorique est concentrée sur une vue horizontale sur l‘apprentissage des mathématiques au lieu d‘une vue verticale  

vue verticale :      processus de développement partant des conceptions courantes et des concepts intuitifs pour arriver aux conceptions et compréhensions mathématiques

vue horizontale :       coexistence de différentes cultures de pensée

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La métaphore de départ : Rencontre interculturelle

0.3 Introduction

Quel but:

Mathematical Enculturation (Alan Bishop)

ou compétence interculturelle?

La rencontre des mathématiques est comme...

.... un échange interculturel

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Sujets de recherche issus de différentes approches

0.4 Introduction

Approche de la philosophie des mathématiques 

Approche descriptive 

Approche normative 

Approche constructive Comment doivent être conçus les processus d’apprentissage des mathématiques dans lesquels ceux-ci seraient sérieusement considérés comme apprentissage interculturel ?Comment peut on appliquer à l’apprentissage des mathématiques les connaissances et les concepts de la psychologie et de la pédagogie de l’interculturalité ?

Qu’est-ce que cela signifie de considérer le processus d’apprentissage dans une perspective interculturelle, et quels aspects sont alors mis au premier plan ?

Quelles sont les positions philosophiques qui se cachent derrière cette affirmation de la dimension culturelle des mathématiques ?

Dans quel sens est le développement d’une compétence interculturelle en mathématiques un but important de la formation mathématique ?

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Langage technique des mathématiques comme langue étrangère

• vue linguistique : un langage technique se base sur la langue courante et n’est pas une langue différente

• vue des écoliers : le langage technique se présente comme un langage autonome :– pour pouvoir l’appliquer et le comprendre,

il faut l’acquérir explicitement– grands déficits dans la perception aussi bien

que dans la production du langage – cause importante pour beaucoup de

problèmes de communication

1.1 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

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Un épisode illustratif : Katharina et la division 

2 : ¼ = 8

Pourquoi le résultat peut-il être plus grand que le nombre à diviser ? Malgré que j‘ai divisé !

...

Ok, je sais maintenant comment on doit calculer ces choses. Mais tu ne me fera pas croire qu'on pense logiquement en Maths !

(Heymann 1996, p. 206)

1.1 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

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Effets d’interférence • des termes linguistiques

(p.e. diviser, similarité, senkrecht)• des méthodes de calcul• des conceptions• des façons de penser

1.2 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

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Buts et types d’interprétation divergents

• derrière les significations différentes: buts et types d‘interprétation divergents

barrières de communication les plus importantes

entre des membres des cultures différentes

(d’après les recherches sur la communication interculturelle)

1.3 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

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Étrangeté comme catégorie subjective

1.4 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

« Mais tu ne me fera pas croire qu'on pense logiquement en Maths ! »

• Katharina sent de l’étrangeté

• psychologie de l’interculturalité:

• l’étrangeté est un motif central

• pas comme caractéristique de la culture, mais comme mode de relation des personnes à une culture

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Résumé

1.5 Aspects interculturels de l’apprentissage des mathématiques – considérations descriptives

• Langage technique des mathématiques comme langue étrangère

• Effets d‘interférence

• Buts et types d’interpretation divergents

• Étrangeté comme catégorie subjective

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Mathématiques comme produit culturel

2.1. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques

Reuben Hersh et autres: • mathématiques comme phénomène historico-

socio-culturel • on ne le peut comprendre que par la prise en

compte de l’environnement culturel existant

mais:• pas seulement un produit (= théorie finie),

mais quelque chose de vivant

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Les cultures disciplinaire des sciences

2.2. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques

Roland Fischer et al. 2001 : projet „Science as Culture“:

 „Une culture disciplinaire comprend toutes les connaissances explicites et les aspects implicites qui imprègnent une discipline et qui influent sur la production de nouveaux savoirs et sur la communication sur les connaissances existantes.“

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Éléments essentiels d'une culture disciplinaire

2.2. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques

1. Transmission des connaissances, y compris

- notions et théorèmes acceptées

- manières de raisonner et argumentation

-  significations et références communes 

2. Langage avec ses notions et ses significations

3. Façon de travailler avec ses techniques et ses outils

4. Normes, valeurs et convictions, y compris

- questions considérées comme importantes

- intentions, définition des buts

- jugements sur l’importance et la beauté des résultats et des théories scientifiques

- normes pour les justifications, les définitions et les formations de nouvelles notions  

5. organisation sociale, rôles, et règles du jeu

6. Mécanismes de l'initiation et de l’exclusion

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Culture disciplinaire des mathématiques scolaires

2.3. Aspects philosophiques: La dimension culturelle des mathématiques

• la culture disciplinaire des mathématiques scolaires se différencie de la culture scientifique

• néanmoins, elle a les même constituants importants• exemples de la recherche interpretative montrent

l’importance – des routines et schémas d’interaction (Voigt 1984)– des normes mathématiques (Voigt 1994)– des questions et significations considérées comme

importantes (Neth/Voigt 1991)– des formes d’argumentation acceptées

(Krummheuer 1989)

• culture scolaire ou cultures scolaires ?

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Localisation

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Rencontre authentique

3.1 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

• Condition nécessaire mais non suffisante à la construction d’une compétence interculturelle :

rendre possible une rencontre authentique avec les mathématiques

• mais cela ne suffit pas!• psychologie de l’interculturalité:

il est nécessaire de guider explicitement le développement de cet apprentissage interculturel en utilisant les situations d’interférences existantes

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Un exemple illustratif

Tom : Que constate-t-on ?Jörg : Les médiatrices se coupent toutes à

peu près au centre .Tom (écrit écrit au tableau ) :

Supposition : Les médiatrices du triangle ABC se coupent en un point.

Jörg : Mais ce n’est pas une supposition, c’est vrai. La seule supposition est qu’elles se coupent au centre. 

Tom : Les droites tracées sont d’un trait plutôt épais. Donc il n’est pas possible de savoir si elles se coupent réellement.Que peut-on faire pour voir que cela est toujours le cas ? 

(Hefendehl-Hebeker 1995, p.87)

3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Intérêts divergents de Tom et Jörg

• Tom : problème du manque de besoin de preuves chez les écoliers

• Jörg : ne considère pas l’existence d’un point commun comme le phénomène fondamental,

mais son emplacement au centre

„As in cross-cultural processes of understanding, challenges arise for making sense of why people of a foreign culture do what they do. […] The cross-cultural nature of what is taken to be ‘problematic’ and what is considered ‘explanatory’ among teachers and students is often observed as important source of educational problems.”

(Hawkins/Pea 1987, pp. 297f)

3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Arrière-plan de cette divergence :

divergence de l’interprétation de la fonction d’une preuve :

• Jörg : fonction d’une preuve est d’arriver à la conviction de la validité du résultat trouvé on n’a pas besoin de preuve dans le cas où déjà convaincu(compréhension de preuve de tous les jours)

• Tom : preuves ont aussi la fonction d’arriver à un ordre logique local à l’aide des hypothèses demander pourquoi (compréhension mathématique)

3.2 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Faire faces aux malentendus: approche de conflits

• Les malentendus ne sont pas des perturbations dérangeantes pour l’apprentissage

• mais une composante normale et faisant partie intégrante de chaque confrontation avec une culture disciplinaire

l’approche de conflit : « Le point de départ d’une situation d’apprentissage interculturel est l’irritation. […] Si on arrive à laisser le conflit lui même pour s’intéresser à ses fondements, alors un apprentissage interculturel peut commencer. »   (Haumersen/Liebe 1990, p.25f)

3.3 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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L’approche de conflit pour Tom et Jörg

Tom : « Et bien, si tu crois que les médiatrices se

coupent en un point, alors appelons cela une observation plutôt qu’une supposition.Quand même, moi, je voudrais bien savoir aussi pourquoi cela est vrai et pas seulement si c’est vrai. »

3.3 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

Jörg : « Moi personnellement, je ne veux pas savoir

pourquoi cela est toujours vrai. Il me suffit de voir que cela est vrai. Par contre, les profs de math et les mathématiciens s’intéressent aussi au pourquoi des choses et leurs relations entre elles et c’est pourquoi ils font des démonstrations. »

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Comment faire avec les interférences: Lancer des ponts

• Holzbrecher (1997) : l’apprentissage interculturel a toujours lieu entre deux cultures

• Approche de changement conceptuel (Conceptual Change) : construction des conceptions scientifique stables en partant des conceptions courantes et en utilisant des étapes intermédiaires

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales • De quelles figures peut-on dire du premier coup

qu'elles ont un centre ?

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

Différentes caractérisations mathématiques possibles du « centre »:

• un point équidistant de tous ses points

• un point équidistant de tous les sommets

• centre de symétrie

• un point équidistant de tous les cotés

Quels sont les critères adéquats pour un triangle?

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Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Facit idéale d’un Jörg possedant une compétence interculturelle « Je m’intéresse au phénomène « être au centre » dans le

triangle qui peut être défini en langage mathématique de plusieurs manières différentes, par exemple– Comme point d’intersection des médiatrices,

alors ce centre a la même distance à tous sommets– Comme point de balance, sur laquelle on pourrait

équilibrer le triangle coupé.On l’obtient comme point d’intersection des medianes. Peut-être, cela donne mon idée du centre le plus proche.

– Comme le point qui a la même distance de tous les cotés, on l’obtient par les bissectrices.

– etc. Aucun de ces critères ne coïncide précisément avec ce que je voulais dire au début, car le centre est finalement une catégorie esthétique qui ne peut être fixée uniformément pour tous les triangles par des règles simples. »

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Du centre du triangle aux points d’intersection des transversales

• lancer un tel pont permettrait – de thématiser les différences entre les approches

mathématiques et celles de tout les jours– expliciter le coût et l’utilisation de concepts

mathématiques précis, par opposition aux concepts intuitifs (ici : centre)

réflexion sur les mathématiques

3.4 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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L’importance de la réflexion

• princip général: – reprendre les irritations interculturelle dans

les situations – les exploiter comme chances pour réfléchir

les particularités typiques de la culturel disciplinaire de mathématiques

• changements de contenus : plus de discussion

3.5 Arranger l’apprentissage interculturel - conséquences constructives

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Conséquences

• pour les cours: L’explication situative des choses implicites donne d’intéressantes possibilités de formation.

• pour la formation des enseignants: Comment former les enseignants comme médiateurs interculturels?

• pour la recherche didactique: On doit beaucoup mieux analyser la culture disciplinaire des mathématiques scolaires !

4. Remarques finales