apprentissage des faits calcul mental estimation de calcul · calcul mental pour additionner deux...

MATHÉMATIQUES MENTALES

Apprentissage des faits

Calcul mental

Estimation de calcul

2010

3e

année

Guide

d’enseignement

Bill MacIntyreSpécialiste des programmes en anglais desciences et de mathématiques à l’élémentaireMinistère de l’Éducation et du Développement de la petite enfance

Eamon GrahamSpécialiste des programmes en français desciences et de mathématiques à l’élémentaireMinistère de l’Éducation et du Développement de la petite enfance

Remerciements

Le présent manuel de mathématiques mentales a été adapté avec la permission

du ministère de l'Éducation de la Nouvelle-Écosse.

Nous remercions chaleureusement les enseignants et les conseillers en programmes d'études d'avoir

contribué à l'élaboration de cette ressource.

Table des matières

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Les mathématiques mentales dans le programme de mathématiques dans l’école élémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Résultats d’apprentissage des mathématiques mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Définitions et liens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Raison d’être. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Stratégies d’enseignement du calcul mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Présentation des stratégies de raisonnement aux élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Mise en pratique et renforcement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Temps de réponse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Élèves en difficulté et pédagogie différenciée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Classes combinées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Évaluation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Tests chronométrés des faits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Parents et tuteurs : des partenaires dans le développement d’aptitudes auxmathématiques mentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Apprentissage des faits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Apprentissage de faits - Addition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Révision des faits d’addition et des stratégies d’apprentissage des faits.. 23Faits d’addition avec sommes jusqu’à 18.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Faits d’addition appliqués aux dizaines et aux centaines. . . . . . . . . . . . . . 26Doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Quasi-Doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Faits « bond de 2 » (faits « double plus 2 »). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Faits « plus zéro » (« aucun changement »). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29« Obtenir 10 ou 100 ».. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Faits plus 1, plus 2, plus 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Apprentissage des faits – Soustraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Faits de soustraction et stratégies d’apprentissage des faits. . . . . . . . . . . 32En avant jusqu’à 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32À rebours jusqu’à 10.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Faits de soustraction avec un diminuende maximal de 18.. . . . . . . . . . . . 33Faits de soustraction appliqués aux dizaines et aux centaines. . . . . . . . . 34

Apprentissage des faits – Multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Stratégies d’apprentissage des faits de multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . 35Faits « multiplication par 2 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Faits « multiplication par 5 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Faits « multiplication par neuf ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Faits « multiplication par 1 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Faits « multiplication par zéro ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Faits « multiplication par 4 » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Faits « multiplication par 3 ».. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Calcul mental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Calcul mental - Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Addition en commençant par la gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Décomposition et liaison.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Recherche des compatibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Calcul mental – Soustraction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45À rebours jusqu’aux dizaines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45En avant jusqu’aux dizaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Addition et soustraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Estimation en commençant par la gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Arrondissement en addition et en soustraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Estimation ajustée en commençant par la gauche .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Stratégies de raisonnement en mathématiques mentales. . . . . . . . . . . . . . . 57Grandeur et ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Mathématiques mentales – 3 année 1e

Introduction

2 Mathématiques mentales – 3 annéee


Les mathématiques mentales dans le programme de

mathématiques de l'école élémentaire

Dans le présent guide, les mathématiques mentales renvoient àl'apprentissage des faits, au calcul mental et à l'estimation de calcul. LeProgramme d'études de mathématiques pour l’Île-du-Prince-Édouardsoutient l'acquisition de ces aptitudes par l'élaboration de stratégies deraisonnement à tous les niveaux scolaires.

Les mathématiques mentales renvoient à l'apprentissage desfaits, au calcul mental et à l'estimation de calcul. LeProgramme d'études de mathématiques pour l’Île-du-Prince-Édouard soutient l'acquisition de ces aptitudes parl'élaboration de stratégies de raisonnement à tous les niveauxscolaires.

Beaucoup d'enfants commencent l'école en ayant une compréhensionlimitée des nombres et des relations entre les nombres. L’ habilité decompter/énumérer, qui est essentielle au classement et à la comparaisondes nombres, est un élément important du développement d'un sens desnombres. Le comptage en avant, le comptage à rebours, les concepts deplus et de moins, et la capacité à reconnaître des ensembles structuréssont exemples d'aptitudes faisant état de progrès en matière dedéveloppement d'idées numériques chez les enfants.

Les faits de base sont les opérations mathématiquesauxquelles certains élèves ne sont pas nécessairementpréparés sur le plan conceptuel.

Les faits de base sont les opérations mathématiques auxquelles certainsélèves ne sont pas nécessairement préparés sur le plan conceptuel. Lesenfants devraient au moins posséder les aptitudes suivantes avant que l'ons'attende à ce qu'ils acquièrent les faits de base.


• Les élèves peuvent immédiatement nommer le nombre qui suit unnombre donné compris entre 0 et 9, ou qui précède un nombredonné compris entre 2 et 10.

• Quand on leur montre un arrangement familier de points # 10 sur uncadre à dix compartiments, des dés ou des cartes à points, lesélèves peuvent rapidement indiquer le nombre sans compter.

• Pour les nombres # 10, les élèves peuvent rapidement nommer lenombre situé une ou deux positions au-dessus ou au-dessous. (Leconcept du moins a tendance à être plus problématique pour lesenfants mais il est lié aux stratégies relatives aux faits desoustraction.)

Les mathématiques mentales doivent toujoursfaire partie de l'enseignement du calcul, del'école élémentaire à l'école intermédiaire.


Résultats d’apprentissage en mathématiques mentales

Résultats d’apprentissage Stratégies mentales

Première année

N1. Énoncer la suite des nombres de 0 à 100en :

N2. Reconnaître du premier coup d’oeil des arrangements familiers de 1 à 10 objets(ou points) et les nommer.

N3. Démontrer une compréhension de lanotion du comptage en :

N5. Comparer des ensembles comportantjusqu’à 20 éléments pour résoudre desproblèmes en utilisant des :

N6. Estimer des quantités jusqu’à 20 en :

N8. Identifier le nombre, jusqu’à 20, qui estun de plus, deux de plus, un de moins etdeux de moins qu’un nombre donné.

N9. Démontrer une compréhension del’addition de nombres dont les solutionsne dépassent pas 20 et les faits desoustraction correspondants, de façonconcrète, imagée et symbolique en :

• comptant un par un et par ordrecroissant et décroissant, entre deuxnombres donnés;

• comptant par sauts de 2 et par ordrecroissant jusqu’à 20 à partir de 0;

• comptant par sauts de 5 et de 10 parordre croissant jusqu’à 100 à partir de0.

• indiquant que le dernier nombreénoncé précise « combien »;

• montrant que tout ensemble a un «compte » unique;

• utilisant la stratégie de compter enavançant;

• utilisant des parties ou des groupeségaux pour compter les éléments d’un ensemble.

• référents;• correspondances biunivoques.

• utilisant des référents.

• utilisant le langage courant et celuides mathématiques pour décrire desopérations d’addition et desoustraction tirées de son vécu;

• créant et en résolvant des problèmescontextualisés qui comportent desadditions et des soustractions;

• modélisant des additions et dessoustractions à l’aide d’objets etd’images, puis en notant le processusde façon symbolique.


N10. Décrire et utiliser des stratégies de calculmental (autres que la mémorisation) tellesque :

pour les faits d’addition jusqu’à 18 et les faits desoustraction correspondants.

• compter en suivant l’ordre croissantou décroissant;

• obtenir 10;• partir d’un double connu;• se servir de l’addition pour soustraire;


2 annéee

N1. Énoncer la suite de nombres de 0 à 100en :

N6. Estimer des quantités jusqu’à 100 en :

L’apprentissage des faits est un exercice

mental qui comprend un rappel visuel

et/ou oral; au lieu se servir de papier et

crayon on met l’accent sur l’oral. Les

exercices doivent être brefs suivis d’une

rétroaction immédiate tout au long de

l’année.

N9. Démontrer une compréhension del’addition (se limitant à des numéraux à 1ou à 2 chiffres) dont les solutions peuventatteindre 100 et les soustractionscorrespondantes en :

N10. Appliquer des stratégies de calcul mentaltelles que :

pour déterminer les faits d’addition jusqu’à 18 etles faits de soustraction correspondants.

• comptant par sauts de 2, 5 et 10, parordre croissant et décroissant, à partirde multiples de 2, de 5 ou de 10 selonle cas;

• comptant par sauts de 10 à partir d’undes nombres de 1 à 9;

• comptant par sauts de 2, à partir de 1.

• utilisant des référents

• appliquant ses propres stratégies pour

additionner et soustraire avec ou sansl’aide de matériel de manipulation;

• créant et en résolvant des problèmesqui comportent des additions et dessoustractions;

• expliquant que l’ordre des termesd’une addition n’affecte pas la sommeobtenue;

• expliquant que l’ordre des termesd’une soustraction peut affecter ladifférence obtenue.

• utiliser des doubles;• obtenir 10;• plus un, moins un;• plus deux, moins deux;• se référer à un double connu;• se servir de l’addition pour soustraire;



3 annéee

N1. Énoncer la suite des nombres de 0 à 1000 par ordre croissant et décroissant en :

N4. Estimer des quantités inférieures à 1 000en utilisant des référents.

N6. Décrire et appliquer des stratégies decalcul mental pour additionner deuxnuméraux à deux chiffres, telles que :

N7. Décrire et appliquer des stratégies decalcul mental pour soustraire deuxnuméraux à deux chiffres, telles que :

N8. Appliquer des stratégies d’estimation pourprédire des sommes et des différences dedeux numéraux à deux chiffres dans uncontexte de résolution de problème.

N9. Démontrer une compréhension del’addition de nombres dont les solutionspeuvent atteindre 1 000 et lessoustractions correspondantes (se limitantà des numéraux à 1, 2 ou 3 chiffres) en :

N10. Appliquer des stratégies de calcul mentalet des propriétés du nombre, telles que:

...pour déterminer les faits d’addition jusqu’à 18et les faits de soustraction correspondants.

• comptant par sauts de 5, 10, 100, àpartir de n’importe quel nombre;• comptant par sauts de 3, à partir demultiples de 3;• comptant par sauts de 4, à partir demultiples de 4;• comptant par sauts de 25, à partir demultiples de 25.

• effectuer les additions de gauche àdroite;• ramener l’un des termes de l’addition aumultiple de dix le plus proche, et ensuite, compenser;• utiliser des doubles.

• ramener le diminuteur au multiple de dixle plus proche, puis compenser;• se servir de l’addition pour soustraire;• utiliser des doubles.

• utilisant ses propres stratégies pouradditionner et soustraire desnombres, avec ou sans l’aide dematériel de manipulation;

• créant et en résolvant des problèmescontextualisés d’addition et desoustraction, de façon concrète,imagée ou symbolique.

• utiliser des doubles;• obtenir 10;• utiliser la commutativité;• utiliser la propriété de zéro;• se servir de l’addition pour soustraire;


N11. Démontrer une compréhension de lamultiplication, jusqu’à 5 x 5 en:

• représentant et en expliquant desmultiplications à l’aide de groupes égauxainsi que de matrices;

• créant des problèmes comportant desmultiplications et en les résolvant;

• modélisant des multiplications de façonconcrète et imagée, et en notantsymboliquement le processus;

• établissant un lien entre la multiplicationet des additions répétées;

• établissant un lien entre la multiplicationet la division.

Par la 5 année les élèves devraiente

avoir acquis une variété de stratégies

de calcul mental. Il importe que ces

stratégies se développent et

s’améliorent à travers les années

grâce aux exercices réguliers



4 annéee

N3. Démontrer une compréhension desadditions dont les solutions nedépassent pas 10 000 et dessoustractions correspondantes (selimitant aux numéraux à 3 ou à 4chiffres) en :

N5. Décrire et appliquer des stratégiesde calcul mental, telles que :

...pour déterminer les faits demultiplication jusqu’à 9 x 9 et les faits dedivision reliés.

N6. Démontrer une compréhension dela multiplication (de 2 ou 3 chiffrespar 1 chiffre) pour résoudre desproblèmes en :

N7. Démontrer une compréhension dela division (dividendes de un à deuxchiffres par un diviseur de unchiffre) pour résoudre desproblèmes en :

N11. Démontrer une compréhension del’addition et la soustraction desnombres décimaux (se limitant auxcentièmes) en :

...pour résoudre des problèmes.

• utilisant ses propres stratégies pouradditionner et soustraire;

• faisant des estimations de sommes et dedifférences;

• résolvant des problèmes d’addition et desoustraction.

• compter par sauts à partir d’un fait connu;• utiliser la notion du double ou de la moitié;• utiliser la notion du double ou de la moitié,

puis ajouter ou retrancher un autre groupe;• utiliser les régularités qui se dégagent des

faits de multiplication par 9;• utiliser des doubles répétés;

• utilisant ses propres stratégies demultiplication avec ou sans l’aide de matérielde manipulation;

• utilisant des matrices pour représenter desmultiplications;

• établissant un lien entre des représentationsconcrètes et des représentationssymboliques;

• estimant des produits.

• utilisant ses propres stratégies de divisionavec ou sans l’aide de matériel demanipulation;

• estimant des quotients;• établissant un lien entre la division et la

multiplication.

• utilisant des nombres compatibles;• estimant des sommes et des différences;• utilisant des stratégies de mathématiques

mentales;



5 annéee

N2. Effectuer des estimations dans des contextes de résolution de problèmes en :

N3. Appliquer des stratégies de calcul mentalet des propriétés du nombre, telles que :

...pour déterminer les faits de multiplicationjusqu’à 81 et les faits de divisioncorrespondants.

N4. Appliquer des stratégies de calcul mentalpour la multiplication, telles que :

• appliquant la stratégied’arrondissement selon le premierchiffre;

• effectuant des compensations; • utilisant des nombres compatibles.

• compter par sauts à partir d’un faitconnu;

• utiliser la notion du double ou de lamoitié;

• utiliser les régularités qui se dégagentdes faits de multiplication ou dedivision par 9;

• utiliser des doubles répétés ou desmoitiés répétées;

• annexer puis ajouter des zéros;• utiliser la notion du double ou de la

moitié;• se servir de la distributivité.


6 annéee

N2. Résoudre des problèmes comportant degrands nombres à l’aide de la technologie.

N8. Démontrer une compréhension de lamultiplication et de la division de nombresdécimaux (où le multiplicateur est unnombre entier positif à un chiffre et lediviseur est un nombre entier strictementpositif à un chiffre).

• identifier l’opération requise pourrésoudre un problème donné, puisrésoudre ce problème.

• déterminer la vraisemblance d’uneréponse ou d’une solution.

• estimer la solution à un problèmedonné et le résoudre.


Les élèves devraient faire du calcul mental aisément en seservant des stratégies énumérées dans les guides desMathématiques mentales.

Définitions et liens

L'apprentissage des faits renvoie à l'acquisition des 100 faits numériquesse rapportant aux chiffres simples de 0 à 9 dans chacune des quatreopérations. La maîtrise est définie comme le fait de pouvoir donner labonne réponse en trois secondes ou moins.

Le calcul mental renvoie à l'emploi de stratégies permettant d'obtenir lesbonnes réponses en faisant la plupart des calculs de tête. En fonction dunombre d'étapes en jeu, le processus peut être appuyé par de brèves notesd'étapes intermédiaires permettant de soutenir la mémoire à court terme.

L'estimation de calcul renvoie à l'emploi de stratégies permettant d'obtenirdes réponses approximatives en faisant du calcul mental.

Les élèves mettent au point et emploient des stratégies de raisonnementleur permettant de se rappeler les réponses aux faits de base. Cesstratégies sont à la base de l'élaboration d'autres stratégies de calculmental. Lorsque les faits sont automatiques, les élèves n'emploient plus destratégies leur permettant de se les remémorer.

Les faits de base et les stratégies de calcul mental constituent lesfondements de l'estimation. Les essais d'estimation sont souventcontrecarrés par le manque de connaissance des faits connexes et desstratégies de mathématiques mentales.


Raison d'être

Dans la société moderne, le développement d'aptitudes au calcul mentaldoit être un objectif de tout programme de mathématiques pour deuxraisons importantes. Premièrement, dans le cadre de leurs activitésquotidiennes, les gens peuvent répondre à la plupart de leurs besoins decalcul en adoptant des processus de calcul mental bien élaborés.Deuxièmement, même si la technologie a remplacé le papier-crayoncomme principal outil servant à effectuer des calculs complexes, les gensont encore besoin d'employer des stratégies mentales bien élaborées pouravoir conscience du caractère raisonnable des réponses générées par latechnologie.

Dans la société moderne, le développement d'aptitudes au calculmental doit être un objectif de tout programme de mathématiques

Outre le fait qu'il est à la base du développement d'un sens des nombres etdes opérations, l'apprentissage des faits est essentiel au développementgénéral des mathématiques. Les mathématiques reposent sur des motifs etdes relations dont beaucoup sont numériques. Si l'on ne maîtrise pas lesfaits de base, il est très difficile de détecter ces motifs et ces relations. Parailleurs, rien ne donne plus de confiance et d'autonomie en mathématiquesà un élève que la maîtrise des faits numériques.

... rien ne donne plus de confiance et d'autonomie enmathématiques à un élève que la maîtrise des faits numériques.

Stratégies d'enseignement du calcul mental

Le développement d'aptitudes aux mathématiques mentales en classedevrait aller au-delà de l'exercice d'entraînement et de répétition; lesexercices devraient être utiles au sens mathématique. Toutes les stratégiesfigurant dans le présent guide mettent l'accent sur l'apprentissage fondé sur


une compréhension de la logique sous-jacente des mathématiques.Tout en apprenant par exemple les faits d'addition, de soustraction, demultiplication et de division, les élèves apprennent les propriétés de cesopérations afin de mieux les maîtriser. Ils appliquent la commutativité del'addition et de la multiplication, notamment lorsqu'ils découvrent que 3 + 7équivaut à 7 + 3 ou que 3 x 7 = 7 x 3. Le fait de connaître cette propriétéréduit considérablement le nombre de faits à mémoriser. Ils appliquent ladistributivité quand ils apprennent que 12 x 7 équivaut à(10 + 2) x 7 = (7 x 10) + (2 x 7), ce qui revient à 70 + 14 = 84.

Il est essentiel de comprendre le système de numération à basedix pour développer une aisance en calcul. À tous les niveaux,en partant de l'addition de nombres à un chiffre, on soulignela position spéciale du nombre 10 et de ses multiples.

Il est essentiel de comprendre le système de numération à base dix pourdévelopper une aisance en calcul. À tous les niveaux, en partant del'addition de nombres à un chiffre, on souligne la position spéciale dunombre 10 et de ses multiples. En outre, on encourage les élèves à faired'abord une addition pour obtenir 10, puis de poursuivre l'addition au-delàde la dizaine. On met l'accent sur l'addition du dix et des multiples de dix,ainsi que sur la multiplication par 10 et ses multiples.

Les liens entre les nombres et la relation entre les faits numériquesdevraient servir à faciliter l'apprentissage. Plus on établit de liens, mieux oncomprend, et plus il nous est facile de maîtriser les faits. Dans le cas de lamultiplication, par exemple, les élèves apprennent qu'ils peuvent obtenir leproduit de 6 x 7 s'ils connaissent le produit de 5 x 7, parce que 6 x 7 a unsept de plus.

Présentation des stratégies de raisonnement aux élèves

En général, une stratégie devrait être présentée indépendamment desautres stratégies. Divers travaux pratiques devraient ensuite être proposésjusqu'à ce que la stratégie soit maîtrisée, laquelle devrait ensuite êtrecombinée avec d'autres stratégies précédemment acquises. Ce n'est pastant le nom d'une stratégie que son mode de fonctionnement qu'il importede connaître. Cela dit, connaître le nom des stratégies peut certainementêtre utile sur le plan de la communication en classe. Dans les guides de


mathématiques mentales correspondant à chaque niveau, les stratégiessont toujours nommées de la même façon; toutefois, dans certaines autresressources, on peut trouver la même stratégie évoquée sous un autre nom.

Lorsque vous présentez une nouvelle stratégie, utilisez le tableau, unrétroprojecteur ou un projecteur ACL pour montrer aux élèves un exemplede calcul pour lequel la stratégie fonctionne. Certains élèves de la classeemploient-ils déjà une stratégie de calcul mental? Si c'est le cas,encouragez-les à expliquer la stratégie à la classe avec votre aide. Sinon,vous pourriez partager la stratégie vous-même.

L'explication de la stratégie devrait englober tout ce qui aidera les élèves àen discerner le motif, la logique et la simplicité. Il pourrait s'agir dedocuments concrets, de schémas, de tableaux ou d'autres supports visuels.L'enseignant devrait également « penser tout haut » pour modéliser lesprocessus mentaux servant à appliquer la stratégie et discuter dessituations dans lesquelles elle est la plus appropriée et la plus efficace ainsique des situations dans lesquelles elle ne serait pas du tout appropriée.

L'explication de la stratégie devrait englober tout ce qui aiderales élèves à en discerner le motif, la logique et la simplicité. Ilpourrait s'agir de documents concrets, de schémas, detableaux ou d'autres supports visuels.

Dans les premières activités mettant en jeu une stratégie, vous devriezvous attendre à ce que les élèves fassent le calcul comme vous l'avezmodélisé. Cependant, vous pourriez remarquer plus tard que certainsélèves emploient leur propre variante de la stratégie. S'ils la trouventlogique et efficace, c'est tant mieux. Vous avez pour mission d'aider lesélèves à élargir leur répertoire de stratégies de raisonnement et à devenirdes penseurs plus souples, pas de leur dicter ce qu'ils doivent utiliser.

Vous avez pour mission d'aider les élèves à élargir leurrépertoire de stratégies de raisonnement et à devenir despenseurs plus souples, pas de leur dicter ce qu'ils doiventutiliser.


Il se peut que vous découvriez que certains élèves maîtrisent déjà les faitssimples d'addition, de soustraction, de multiplication et de division avec desnombres à un chiffre. Une fois que l'élève maîtrise ces faits, il n'a pasbesoin d'apprendre de nouvelles stratégies à cet égard. Autrement dit, iln'est pas nécessaire d'enseigner de nouveau une aptitude qui a étéacquise d'une autre manière.

Par ailleurs, la plupart des élèves peuvent tirer des problèmes plus difficilesmême s'ils savent comment utiliser l'algorithme écrit pour les résoudre.L'accent est mis ici sur le calcul mental et sur la compréhension de lalogique de valeur de position associée aux algorithmes. Dans d'autres cas,comme celui de la multiplication par 5 (multiplier par 10, puis diviser par 2),les aptitudes en jeu sont utiles pour les nombres de toutes grandeurs.

Mise en pratique et renforcement

En général, c'est la fréquence de la pratique plutôtque sa durée qui stimule la mémoire. Ainsi, une brèvepratique quotidienne de 5 à 10 minutes est plussusceptible de vous mener sur la voie du succès.

En général, c'est la fréquence de la pratique plutôt que sa durée qui stimulela mémoire. Ainsi, une brève pratique quotidienne de 5 à 10 minutes estplus susceptible de vous mener sur la voie du succès. Une fois qu'unestratégie a été enseignée, il est important de la renforcer. Les exercices derenforcement ou de mise en pratique devraient être de nature variée et êtreaxés autant sur la discussion relative à la manière dont les élèves ontobtenu leur réponse que sur les réponses elles-mêmes.

La sélection des exercices appropriés au renforcement de chaque stratégieest d'une importance cruciale. Les nombres devraient être ceux pourlesquels la stratégie pratiquée s'applique le mieux et, outre les listesd'expressions numériques, les items de pratique devraient souventenglober des applications dans des contextes tels que l'argent, les mesureset la visualisation de données.

Les exercices devraient être accompagnés d'invites à la fois visuelles etorales, et les invites orales que vous donnez devraient exposer les élèves à


une variété de descriptions linguistiques relatives aux opérations. Parexemple, 5 + 4 pourrait être décrit de la manière suivante :

• la somme de 5 et 4• 4 ajouté à 5• 5 ajouté à 4• 5 plus 4• 4 de plus que 5• 5 et 4, etc.

Temps de réponse

• Faits de baseDans le guide du programme, la maîtrise des faits est définie comme étantla capacité à donner la bonne réponse en trois secondes ou moins etindique que l’élève connaît les faits par cœur. Ce but de réponse en troissecondes sert simplement de ligne directrice pour les enseignants et n’estpas à être partagé avec les élèves s’il est susceptible de les inquiéterinutilement. Au début, vous accorderez plus de trois secondes aux élèvestandis qu’ils apprennent à appliquer les nouvelles stratégies, puis vousréduirez le temps à mesure qu’ils acquièrent de la maîtrise.

Ce but de réponse en trois secondes sert simplement de lignedirectrice pour les enseignants et n’est pas à être partagé avecles élèves s’il est susceptible de les inquiéter inutilement.

• Stratégies de calcul mentalAvec les autres stratégies de calcul mental, vous devriez accorder de 5 à10 secondes, selon la complexité de l’activité mentale requise. Encore unefois, au début, vous accorderez probablement plus de temps et réduirezprogressivement le temps d’attente jusqu’à ce que les élèves atteignent untemps de réponse raisonnable. Bien que les stratégies visentprincipalement l’exécution de calculs mentalement, il arrive parfois que lesélèves doivent consigner certains éléments durant le processus. C’est lecas notamment avec les estimations pour lesquelles les nombres sontarrondis. Les élèves peuvent avoir besoin de noter les nombres arrondispour ensuite faire le calcul mentalement avec ceux-ci.


Dans beaucoup d’activités de mathématiques mentales, il est raisonnableque l’enseignant présente un problème de mathématiques mentales auxélèves, demande que les élèves qui connaissent la réponse lèvent la main,puis en choisisse un pour obtenir une réponse. Dans d’autres situations, ilvaut mieux que tous les élèves participent ensemble et que l’enseignant aitun moyen de vérifier les réponses de tout le monde en même temps. Lestableaux de réponse individuelle ou les tableaux blancs sont des outils quipeuvent être utilisés pour atteindre cet objectif.

Élèves en difficulté et pédagogie différenciée

Il est impératif que les enseignants trouvent lameilleure façon de maximiser la participation de tousles élèves aux activités de mathématiques mentales.

Il est impératif que les enseignants trouvent la meilleure façon demaximiser la participation de tous les élèves aux activités demathématiques mentales. Sans aucun doute, certains élèves vont éprouverdes difficultés importantes avec les stratégies associées à leur niveau ouauront besoin d’une attention particulière. Vous pourriez décider de poser àces élèves d’autres questions que celles destinées à l’ensemble desélèves, peut-être avec des nombres plus petits ou plus faciles à manier.Vous pourriez aussi demander aux élèves de répondre à un moins grandnombre de questions ou leur donner plus de temps.

Plus vous stimulez les sens lorsque vous présentez lesfaits, plus les chances de réussite sont grandes pourtous les élèves et notamment pour ceux qui sont endifficulté.

Il se peut que certains élèves des niveaux supérieurs ne maîtrisent pas lesfaits de base. Pour l’enseignant, cela peut signifier qu’il devra revenir surles stratégies vues aux niveaux inférieurs pour assurer la réussite des


élèves et accélérer le processus de rattrapage. Par exemple, si les élèvessont en 6 année et qu’ils ne connaissent pas encore les faits d’addition,e

vous pouvez trouver les stratégies d’enseignement dans le guide desmathématiques mentales de 2 année et dans le guide du programme de 2e e

année. Toutefois, les élèves sont plus mûrs intellectuellement et vouspouvez donc appliquer immédiatement ces stratégies aux dizaines, auxcentaines et aux milliers ainsi qu’à l’estimation de sommes de nombresentiers et de décimales.

Plus vous stimulez les sens lorsque vous présentez les faits, plus leschances de réussite sont grandes pour tous les élèves et notamment pourceux qui sont en difficulté.

Un grand nombre des stratégies de raisonnement appuyées par larecherche et brièvement décrites dans le programme de mathématiquespréconisent une variété de modes d’apprentissage. Par exemple :

• Visuel (images pour les doubles en addition; aiguilles d’une horloge pourles faits « fois cinq »)

• Auditif (dictons et rimes drôles : « 6 fois 6, dans la tente il y a dessaucisses; 6 x 6 font 36 »)

• Modèles numériques (le produit d’un nombre pair par 5 se termine par 0et le chiffre des dizaines est égal à la moitié du nombre multiplié)

• Tactile (cadres à dix compartiments, blocs de base dix)• Faits qui aident (8 x 9 = 72, alors 7 x 9 est égal à un groupe de 9 de

moins; 72 - 9 = 63)

Quelle que soit la différenciation que vous faite, elle devrait viser à faciliterle développement de l’élève en matière de calcul mental, et elle devrait êtredocumentée et examinée périodiquement afin de s’assurer qu’elle esttoujours nécessaire.


Classes combinées

Ce qu’il faut faire dans de telles situations peut varier selon la stratégieutilisée. Les élèves peuvent parfois tous utiliser la même stratégie, parfoisavec des nombres de même grosseur ou de même type, parfois avec desnombres différents. Par exemple, dans une classe combinant la 2 et la 3e e

année, les élèves peuvent travailler avec la stratégie « Obtenir 10 » pourl’addition. L’enseignant demanderait aux élèves de 2 année des questionse

comme 9 + 6 ou 5 + 8, tandis qu’ils poserait des questions comme 25 + 8ou 39 + 6 aux élèves de 3 année; la même stratégie est appliquée, mais àe

des degrés de difficulté différents.

À d’autres occasions, vous pouvez décider de présenter différentesstratégies à différents moments le premier jour, mais de faire lesrenforcements en même temps les jours suivants, en utilisant des exercicesappropriés pour chaque niveau.

Il est important de se rappeler que certains élèves du niveau inférieurpourront maîtriser une partie ou la totalité des stratégies prévues pour leniveau supérieur, et que certains élèves du niveau supérieur bénéficierontdu renforcement des stratégies destiné au niveau inférieur.

Évaluation

Votre évaluation de l’apprentissage des faits et du calcul mental devrait seprésenter sous différentes formes. Outre les interrogations traditionnellesqui supposent que les élèves consignent leurs réponses à des questionsque vous posez les unes après les autres dans un certain délai, vousdevriez également consigner les observations que vous faites pendant lesséances de travaux pratiques.

Vous devriez aussi demander des réponses orales et des explications auxélèves, et les inviter à expliquer les stratégies par écrit. Les entretiensindividuels peuvent vous fournir un bon aperçu de ce que pense un élève,surtout dans les situations où les réponses écrites sont faibles.

Les entretiens individuels peuvent vous fournir unbon aperçu de ce que pense un élève, surtout dansles situations où les réponses écrites sont faibles.


Tests chronométrés des faits de base

Certaines des anciennes approches de l'apprentissage des faits étaientfondées sur le stimulus-réponse, à savoir la croyance selon laquelle lesélèves donneraient automatiquement la bonne réponse s'ils réentendaientle fait plusieurs fois. C'est certainement de cette manière que la plupartd'entre nous avons appris nos faits. Ces approches se fondaient souventsur une série complète de tests chronométrés de 50 à 100 items pouratteindre l'objectif.

... l'approche des stratégies de raisonnement prescritepar notre programme consiste à enseigner aux élèvesdes stratégies qui peuvent être appliquées à un groupede faits, la maîtrise étant définie comme la capacité àdonner la bonne réponse en trois secondes ou moins.

En revanche, l'approche des stratégies de raisonnement prescrite par notreprogramme consiste à enseigner aux élèves des stratégies qui peuvent êtreappliquées à un groupe de faits, la maîtrise étant définie comme la capacitéà donner la bonne réponse en trois secondes ou moins. Le testchronométré traditionnel aurait une utilisation limitée dans l'évaluation decet objectif. Pour en être sûr, si vous donniez à votre classe 50 faitsnumériques auxquels répondre en trois minutes et que certains élèvesrépondaient correctement à la totalité ou à la majorité de ces faits, vousescompteriez que ces élèves connaissent leurs faits. Toutefois, si d'autresélèves ne répondaient qu'à une partie de ces faits et qu'ils répondaientcorrectement à la plupart de ces faits, vous ne sauriez pas combien detemps ils ont consacré à chaque question et vous ne disposeriez pas del'information nécessaire à l'évaluation du résultat. Vous pourriez toutefoisutiliser ces feuilles en employant d'autres moyens.

Par exemple :

• Demandez aux élèves d'encercler rapidement les faits qui leursemblent « difficiles » et de ne répondre qu'aux autres. Ce typed'auto-évaluation peut fournir aux enseignants de précieuxrenseignements sur le niveau de confiance et de maîtrise perçue dechaque élève.

• Demandez aux élèves de n'encercler que les faits pour lesquels une


stratégie précise serait utile et d'y répondre. Par exemple, encerclertous les faits « double plus 1 » et y répondre.

• Demandez-leur d'encercler tous les faits « obtenir 10 » et d'encadrertous les faits « bond de deux ». Ce type d'activité offre aux élèves lapratique importante de sélection des stratégies et permet àl'enseignant de déterminer si les élèves reconnaissent des situationspour lesquelles une stratégie particulière fonctionne.

Parents et tuteurs : des partenaires dans le développement

d'aptitudes aux mathématiques mentales

Les parents et les tuteurs sont des partenaires précieux dans lerenforcement des stratégies que vous développez à l'école. Vous devriezaider les parents à comprendre l'importance de ces stratégies dans ledéveloppement global de la réflexion mathématique de leurs enfants et lesencourager à faire faire du calcul mental à leurs enfants dans des situationsnaturelles à la maison et dans la communauté. Au moyen de diverses formes de communication, vous devriez tenir les parents au courant desstratégies que vous enseignez et des types de calcul mental qu'ils devraients'attendre à ce que leurs enfants soient capables de faire.


Apprentissage

des faits


Apprentissage des faits – Addition

• Révision des faits d’addition et des stratégies d’apprentissage desfaits

En 2 année, on s’attend à ce que les élèves maîtrisent les faits d’additione

avec sommes jusqu’à 18. Au début de la 3 année, il est important que lese

élèves révisent ces faits et les stratégies d’apprentissage des faits desniveaux précédents.

Faits d’addition avec sommes jusqu’à 18

Doubles1+12+23+34+45+5 6+67+78+89+9

Quasi-doubles2+3 3+23+4 4+34+5 5+45+6 6+56+7 7+67+8 8+78+9 9+8

Faits « plus 1 »2+1 1+23+1 1+34+1 1+4 5+1 1+56+1 1+67+1 1+78+1 1+89+1 1+9

Faits « plus 2 »3+2 2+3 4+2 2+45+2 2+56+2 2+67+2 2+78+2 2+89+2 2+9

Faits « plus 3 »4+3 3+45+3 3+56+3 3+67+3 3+78+3 3+89+3 3+9

Faits « bond de 2 »1+3 3+12+4 4+23+5 5+34+6 6+45+7 7+56+8 8+67+9 9+7

Plus ou moins zéroDemandez aux élèves de sereprésenter des problèmessimples à l’aide de jetons et d’untableau à deux cellules. Parexemple : « Marc a trouvé 4balles de golf samedi (l’élèveplace 4 jetons d’un côté dutableau). Il n’a trouvé aucuneballe dimanche. Combien deballes Marc a-t-il trouvées entout? » (L’élève ne peut placerd’autres jetons dans l’autre celluledu tableau et la réponse restedonc 4.)

Faits « Obtenir 10 » 2+8 8+23+8 8+34+8 8+45+8 8+56+8 8+67+8 8+79+8 8+92+9 9+23+9 9+34+9 9+45+9 9+56+9 9+67+9 9+77+3 3+74+7 7+45+7 7+56+7 7+67+7


Une stratégie mentale est une façon de raisonner qui aide àrésoudre un fait rapidement. Elle doit s’effectuer mentalement etêtre efficace. Les élèves qui maîtrisent les faits numériques n’ontplus besoin de se fier aux stratégies de raisonnement pour se lesrappeler.

Faits d’addition appliqués aux dizaines et aux centaines

Voici les stratégies de faits d’addition accompagnées d’exemples ainsi quedes exemples des mêmes faits appliqués aux dizaines et aux centaines :

a) Faits des doubles : 4 + 4, 40 + 40, 400 + 400

b) Faits « plus 1 » : (nombre suivant) 5 + 1, 50 + 10, 500 + 100

c) Faits « plus 2 » : (faits « 2 de plus que ») 7 + 2, 70 + 20, 700 + 200

d) Faits « plus 3 »: 6 + 3, 60 + 30, 600 + 300

e) Quasi-doubles : (faits « bond de 1 ») 3 + 4, 30 + 40, 300 + 400

f) Faits « plus zéro » : (aucun changement) 8 + 0, 80 + 0, 800 + 0

g) Faits « double plus 2 »: (faits « double du nombre situé dansl’intervalle » ou « bond de 2 ») 5 + 3, 50 + 30, 500 + 300

h) Faits « Obtenir 10 » : 9 + 6, 90 + 60, 900 + 600; 8 + 4, 80 + 40, 800+ 400

I) Faits « Obtenir 10 » poussés plus loin : (avec un 7) 7+ 4, 70 + 40,700 + 400

Doubles

Il n’y a que dix doubles compris entre 0 + 0 et 9 + 9, et la plupart des élèvesles apprennent rapidement. Les affiches de doubles, qui ont été crééesspécialement en vue d’être utilisées en classe présentent ces faits dans uncontexte visuel. Les enseignants de 3 année devraient réviser brièvemente

les doubles en addition, puis pousser plus loin en les appliquant auxdizaines et aux centaines.


Exercices

40 + 40 =

70 + 70 =

90 + 90 =

800 + 800 =

100 + 100 =

20 + 20=

10 + 10 =

80 + 80 =

30 + 30 =

300 + 300 =

200 + 200 =

400 + 400 =

500 + 500 =

900 + 900 =

700 + 700 =

Quasi-doubles (faits « bond de 1 »)

Les quasi-doubles, aussi appelés faits « double plus 1 », comprennenttoutes les combinaisons où un cumulateur équivaut à l’autre cumulateurplus 1. La stratégie consiste à doubler le plus petit nombre et à ajouter 1.Par exemple, 6 + 7 est égal à double 6 plus 1.

Passez en revue les faits des quasi-doubles, puis poussez plus loin en lesappliquant aux dizaines et aux centaines.

Exercices

Nombres dans les dizaines

30 + 40 =

50 + 60 =

80 + 90 =

30 + 2 0 =

20 + 30 =

60 + 70 =

70 + 80 =

10 + 20 =

50 + 40 =

Nombres dans les centaines

400 + 500 =

400 + 300 =

200 + 100 =

600 + 500 =

700 + 800 =

900 + 800 =

700 + 600 =

300 + 400 =

800 + 900 =

300 + 200 =

600 + 700 =


Faits « bond de 2 » (faits « double plus 2 »)

Il s’agit de faits dont un des cumulateurs équivaut à l’autre cumulateur plus2, comme 3 + 5, 4 + 6 ou 5 + 7. Deux stratégies sont possibles et reposentsur la connaissance des doubles. • Doubler le plus petit nombre et ajouter 2. Par exemple, 4 + 6 est égal à

double 4 plus 2. • Doubler le nombre situé dans l’intervalle. Par exemple, dans 5 + 7, on

peut doubler 6, soit le nombre situé entre 5 et 7, pour obtenir 12.

Passez en revue les faits « bond de 2 », puis poussez plus loin en lesappliquant aux dizaines et aux centaines.

Exemples a) 30 + 50 = double 30 plus 20 = 60 + 20 = 80

b) 70 + 90 = (70 + 10) + (90 - 10) ou 80 + 80 = 160

Exercices

Nombres dans les dizaines

40 + 60 = 30+ 10 =

60 + 80 = 20+ 40 =

90 + 70 = 50+ 30 =

10 + 30 = 40 + 20 =

30 + 50 = 60 + 40 =

50 + 70 = 70 + 50 =

80 + 60 = 70 + 90 =


Nombres dans les centaines

100 + 300 = 700 + 900 =

700 + 500 = 800 + 600 =

300 + 500 = 600 + 400 =

200 + 400 = 300 + 100 =

400 + 600 = 400 + 200 =

500 + 700 = 600 + 800 =

900 + 700 = 500 + 300 =

Faits « plus zéro » (« aucun changement »)

Zéro est l’élément neutre de l’addition parce que quand on ajoute 0 àn’importe quel nombre, on obtient ce nombre. Les élèves doivent biencomprendre la signification de zéro et de l’addition (7 + 0 = 7, 0 + 7 = 7) et reconnaître que l’addition de 0 ne produit « aucunchangement ».

Exercices

5 + 0 =

0 + 9 =

6 + 0 =

90 + 0 =

50 + 0 =

0 + 40 =

800 + 0 =

300 + 0 =

0 + 400 =

« Obtenir 10 ou 100 »

« Obtenir 10 » est une stratégie de raisonnement introduite en 2 annéee

pour les faits d’addition où un des cumulateurs est 8 ou 9 et celle-ci peutmême être appliquée aux faits dont un cumulateur est 7. Pour aider àassimiler cette stratégie, les élèves utilisent deux cadres à dixcompartiments et des jetons pour représenter ces faits numériques, puis ilsredisposent les jetons de façon que les faits expriment « 10 plus ».

Par exemple, les élèves représentent le fait « Obtenir 10 » 8 + 6 en plaçant8 jetons sur un cadre à dix compartiments et 6 sur l’autre. Ensuite, ilsdéplacent 2 jetons du cadre qui en compte 6 vers le cadre qui en compte 8pour obtenir 10 + 4. Les élèves doivent comprendre que l’objectif de cettestratégie est d’obtenir le nombre 10 qui est facile à additionner. Pour quecette stratégie soit efficace, les élèves doivent être en mesure dereconnaître immédiatement tous les nombres entre 10 et 20, et savoir, par


exemple, que 10 + 6 = 16, sans hésitation. Il faut travailler beaucoup avecles cadres à dix compartiments pour aider les élèves à comprendre larelation afin qu’ils puissent en venir à effectuer le processus mentalement.

Pour que cette stratégie soit efficace, les élèves doiventêtre en mesure de reconnaître immédiatement tous les

nombres entre 10 et 20, et savoir, par exemple, que 10 +6 = 16, sans hésitation.

En 3 année, les élèves appliquent une stratégie « Obtenir 10 » à l’additione

de nombres à un chiffre avec des nombres à deux chiffres ainsi que dedeux nombres à deux chiffres qui sont des multiples de 10.

ExemplesPour 28 + 6, pensez : « 28 plus 2 (partie de 6) font 30 et 30 plus 4 (le reste

de 6) font 34 ».

Pour 80 + 40, pensez : « 80 plus 20 (partie de 40) font 100 et 100 plus 20(le reste de 40) font 120 ».

Exercices

4 + 18 =

19 + 8 =

17 + 5 =

4 +18 =

19 + 6 =

6 +18 =

19 + 5 =

8 + 19 =

17 + 6 =

18 + 8 =

19 + 4 =

30 + 90 =

80 + 30 =

50 + 80 =

90 + 30 =

60 + 80 =

40 + 70 =

60 + 90 =

70 + 30 =

80 + 70 =

30 + 80 =

80 + 40 =

70 + 70 =

70 + 60 =

40 + 90 =

50 + 90 =

Ajoutez vos propres exercices

Faits « plus 1 », « plus 2 », « plus 3 »

La stratégie de raisonnement pour les faits d’addition dont un descumulateurs est 1 ou 2 correspond à la relation « un de plus que » ou « deux de


plus que ». Si les élèves ne maîtrisent pas ces relations, alors le comptagepeut être utilisé. Le comptage peut aussi être utilisé pour les faits dont undes cumulateurs est 3. Les élèves font souvent l’erreur d’inclure le premier nombre lorsqu’ilscomptent. Par exemple, pour 7 + 3, certains élèves vont penser : « sept,huit, neuf ». L’utilisation d’une ligne de nombres pour assimiler cettestratégie de comptage aidera à corriger ce problème.

Les enseignants devraient faire attention lorsqu’ils présentent le comptagecomme une stratégie de raisonnement. Bien des élèves vont essayer del’appliquer à d’autres faits numériques et ne se rendront pas compte à quelpoint cette stratégie peut être lente et inefficace. Les enseignants doiventaider les élèves à reconnaître lorsque la stratégie de comptage convient ounon aux faits numériques.

Exemples

Pour 70 + 20, pensez : « 70 : 80…90 ».

Pour 500 + 300, pensez : « 500 : 600…700…800 ».

Exercices

70 + 20 = 60 + 20 = 30 + 20 =

40 + 20 = 50 + 20 = 10 + 20 =

80 + 20 = 200 + 700 = 600 + 200 =

300 + 200 = 200 + 400 = 800 + 200 =

500 + 200 = 50 + 30 = 90 + 30 =

80 + 30 = 30 + 60 = 30 + 10 =

30 + 70 = 20 + 30 = 40 + 30 =

400 + 300 = 600 + 300 = 700 + 300 =

100 + 300 = 900 + 300 = 300 + 800 =

400 + 500 = 200 + 300 = 300 + 500 =



Apprentissage des faits – Soustraction

Une fois que les élèves ont maîtrisé chaque groupede faits d’addition, il convient de leur faireapprendre les faits de soustraction correspondants.Beaucoup d’élèves vont appliquer une stratégie« penser addition » à tous les faits de soustraction.

• Faits de soustraction et stratégies d’apprentissage des faitsLes faits de soustraction sont d’abord présentés en 1 année, maisre

l’accent sur ceux-ci est davantage mis en 2 et en 3 année. Ils sonte e

directement liés aux faits d’addition avec sommes jusqu’à 18 et devraientêtre résolus au moyen d’une stratégie « penser addition ». À mesure queles élèves maîtrisent les groupes de faits d’addition, il est pertinentd’intégrer les faits de soustraction correspondants afin que les élèvespuissent mettre en pratique leurs connaissances d’une façon différente.Par exemple, si les élèves maîtrisent les doubles en addition, ilconviendrait de leur présenter des faits de soustraction comme 12 – 6 =et les encourager à penser : « 6 plus quoi est égal à 12? Double six estégal à 12, alors 12 – 6 = 6 ».

Il y a également d’autres stratégies de raisonnement qui aideront lesélèves a maîtriser les faits de soustraction. Par exemple :

• En avant jusqu’à 10 : Cette stratégie consiste à déterminer la différence entre les deuxnombres à partir du plus petit, en comptant l’écart jusqu’à 10, puis enajoutant ce nombre au reste de l’écart jusqu’au nombre le plus grand.

Exemplesa) Pour 12 – 7, pensez : « À partir de 7, il y a 3 pour atteindre 10, puis

encore 2 pour obtenir 12, ce qui donne 5 au total ».b) Pour 16 – 9, pensez : « À partir de 9, il y a 1 pour atteindre 10, puis

encore 6 pour obtenir 16, ce qui donne 7 au total ».

• À rebours jusqu’à 10 : Avec cette stratégie, vous commencez avec le plus grand nombre auquelvous soustrayez une partie du diminuteur pour arriver à 10, puis le reste dudiminuteur.


Exemplesa) Pour 15 – 8, pensez : « 15 moins 5 (une partie de 8) font 10 auquel

je soustrais encore 3 (le reste de 8), ce qui donne 7 ».b) Pour 13 – 4, pensez : « 13 moins 3 font 10 auquel je soustrais encore

1, ce qui me donne 9 ».

• Faits de soustraction avec un diminuende maximal de 18

Doubles

2-1 12-6

4-2 14-7

6-3 16-8

8-4 18-9

10-5

Quasi-doubles

5-2 5-3

7-3 7-4

9-4 9-5

11-5 11-6

13-6 13-7

15-7 15-8

17-8 15-9

Faits « plus 1 »

3-1 3-2

4-1 4-3

5-1 5-4

6-1 6-5

7-1 7-6

8-1 8-7

9-1 9-8

10-1 10-9

Faits « plus 2 »

5-2 5-3

6-2 6-4

7-2 7-5

8-2 8-6

9-2 9-7

10-2 10-8

11-2 11-9

Faits « plus 3 »

7-3 7-4

8-3 8-5

9-3 9-6

10-3 10-7

11-3 11-8

12-3 12-9

Faits « bond de 2 »

4-3 4-1

6-4 6-2

8-5 8-3

10-4 10-6

12-5 12-7

14-6 14-8

16-7 16-9

Faits « Obtenir 10 »

10-2 10-8

11-3 11-8

12-4 12-8

13-5 13-8

14-6 14-8

15-7 15-8

17-9 17-8

11-2 11-9

12-3 12-9

13-4 13-9

14-5 14-9

15-6 15-9

16-7 16-9

10-3 10-7

11-4 11-7

12-5 12-7

13-6 13-7

14-7


• Faits de soustraction appliqués aux dizaines et aux centaines

a) Doubles et quasi-doubles

60 – 30 =

100 – 50 =

20 – 10 =

40 – 20 =

180 – 90 =

140 – 70 =

160 – 80 =

120 – 60 =

200 – 100 =

1600 – 800 =

800 – 400 =

1800 – 900 =

1000 – 500 =

1200 – 600 =

70 – 30 =

50 – 20 =

130 – 60 =

50 – 20 =

150 – 70 =

900 – 400 =

1700 – 800 =

500 – 200 =

1100 – 500 =

1300 – 600 =

1500 – 700 =

b) Obtenir des dizaines et des centaines

110 – 30 =

130 – 80 =

130 – 60 =

120 – 30 =

100 – 80 =

150 – 90 =

140 – 60 =

160 – 90 =

120 – 70 =

150 – 70 =

1500 -800 =

1400 – 500 =

1100 – 400 =

1100 – 900 =

1300 – 600 =

1400 – 600 =

1000 – 400 =

1100 – 800 =


Apprentissage des faits – Multiplication

• Stratégies d’apprentissage des faits de multiplicationLe concept de la multiplication et la relation avec la division sontprésentés en 3 année. On s’attend à ce que la plupart des élèvese

maîtrisent les faits de multiplication dont le produit maximal est 36 à la finde l’année scolaire.

Faits de multiplication dont le produit maximal est 36

Faits « multiplication par 2 » (Doubles en addition)2x1 1x22x22x3 3x22x4 4x22x5 5x22x6 6x22x7 7x22x8 8x22x9 9x2

Faits « multiplication par 10 »(Pas officiellement un « fait debase », mais inclus parce quenotre système de numération estde base dix.)10x1 1x1010x2 2x1010x3 3x1010x4 4x1010x5 5x1010x6 6x1010x7 7x1010x8 8x1010x9 9x1010x10

Faits « multiplication par 5 »(Faits de l’horloge)5x1 1x55x2 2x55x3 3x55x4 4x55x55x6 6x55x7 7x5

Faits « multiplicationpar 9 »(Modèles)9x1 1x99x2 2x99x3 3x99x4 4x9

Faits « multiplicationpar 1 »(Faits « aucunchangement »)1x11x2 2x11x3 3x11x4 4x11x5 5x11x6 6x11x7 7x11x8 8x11x9 9x1

Faits « multiplicationpar 0 »(Produits de zéro)0x00x1 1x00x2 2x00x3 3x00x4 4x00x5 5x00x6 6x00x7 7x00x8 8x00x9 9x0

Faits « au carré »(Ces faits et d’autrescomme eux formentdes carrés.)3x34x46x6

Faits « multiplicationpar 4 »(Doubler-doubler)4x1 1x44x2 2x44x3 3x44x44x5 5x44x6 6x44x7 7x44x8 8x44x9 9x4

Faits « multiplicationpar 3 »(Double, plus 1ensemblesupplémentaire)3x6 6x33x7 7x33x8 8x3


Stratégies de raisonnement

• Faits « multiplication par 2 » (et leur inversion) : 2x2, 2x3, 2x4, 2x5,2x6, 2x7, 2x8, 2x9Ces faits sont directement liés aux doubles en addition. Les affichesrelatives aux doubles destinées à la 3 et à la 4 année aident à établir lee e

lien clairement.

Par exemple, pour 4 x 2 et 2 x 4, les élèves devraient penser à « double 4 »et se rappeler les « pattes doubles de l’araignée » 4 + 4 = 8.

• Faits « multiplication par 5 » (et leur inversion) : 5x3, 5x4, 5x5, 5x6,5x7

Il est facile d’établir les liens avec les faits de multiplication par 5 au moyend’une horloge analogique. Par exemple, si l’aiguille des minutes est sur 6 etque les élèves savent que cela correspond à 30 minutes après l’heure,alors le lien 6 × 5 = 30 peut être établi. C’est pourquoi les faits« multiplication par 5 » sont aussi appelés les faits « de l’horloge ». Ils’agirait de la meilleure stratégie pour les élèves qui savent lire l’heure surune horloge analogique, un résultat d’apprentissage spécifique duprogramme de 3 année.e

Vous devriez aussi présenter les deux modèles qui sont produits lorsquedes nombres sont multipliés par 5 :

1. Dans le cas des nombres pairs multipliés par 5, le produit setermine toujours par zéro, et le chiffre de la dizaine correspond à lamoitié de l'autre nombre. Ainsi, dans le cas de 8 x 5, le produit setermine par 0, et la moitié de 8 est 4. Par conséquent, 5 x 8 = 40.

2. Dans le cas des nombres impairs multipliés par 5, le produit setermine toujours par 5, et le chiffre de la dizaine correspond à lamoitié du nombre qui précède le nombre multiplié. Ainsi, dans lecas de 5 x 9, le produit se termine par 5, et la moitié du nombre quiprécède 9 (8) est 4. Par conséquent, 5 x 9 = 45.


• Faits « multiplication par neuf » (et leur inversion) : 6x9, 7x9, 8x9, 9x9Il y a deux modèles associés à la table de multiplication par neuf que les élèves doivent découvrir :

1. Lorsque vous multipliez un nombre par 9, le chiffre à la place desdizaines dans le produit correspond au nombre multiplié moins 1.Par exemple, dans 6 x 9, le chiffre à la place des dizaines duproduit sera 5

2. La somme des deux chiffres du produit doit donner 9. Alors danscet exemple, le chiffre qui s’ajoute à 5 pour donner 9 est 4. Laréponse est donc 54.

En mathématiques, les modèles sont notamment utilesparce qu’ils permettent de faire assez facilement deschoses qui semblent difficiles. Le modèle demultiplication par neuf illustre clairement la valeur dumodèle et de la régularité en mathématiques.

Certains élèves peuvent aussi élucider les faits de multiplication par 9 enmultipliant d’abord par 10, puis en faisant une soustraction. Par exemple,pour 7 x 9 ou 9 x 7, vous pourriez penser : « 7 dizaines font 70, alors 7 fois9 est égal à 70 -7 ou 63.

• Faits « multiplication par 1 » (et leur inversion) : 1x1, 1x2, 1x3, 1x4,1x5, 1x6, 1x7, 1x8, 1x9Bien que les faits « multiplication par 1 » correspondent aux faits « aucunchangement », il est important que les élèves comprennent pourquoi il n’y apas de changement. Beaucoup d’élèves confondent ces faits avec les faitsd’addition mettant en jeu le nombre 1. Par exemple, 6 × 1 signifie sixgroupes de 1 ou 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 et 1 × 6 signifie un groupe de 6. Il estimportant d’éviter d’enseigner des règles arbitraires comme « tout nombremultiplié par 1 donne ce nombre ». Les élèves trouveront eux-mêmes cetterègle par la compréhension.


• Faits « multiplication par zéro »Comme pour les faits « multiplication par 1 », les élèves doiventcomprendre pourquoi ces faits donnent tous zéro parce qu’on peutfacilement les confondre avec les faits d’addition mettant en jeu zéro. Lesenseignants doivent aider les élèves à comprendre la signification de laformule numérique.

Par exemple : 6 × 0 signifie « six 0 » ou « six ensembles de rien ». Onpourrait l’illustrer en dessinant six boîtes qui ne contiennent rien. 0 × 6signifie « zéro ensembles de 6 ». Demander aux élèves d’utiliser des jetonsou des blocs pour former deux ensembles de 6, puis un ensemble de 6 etenfin zéro ensemble de 6 pour lequel ils n’utilisent aucun jeton ni bloc. Ilscomprendront rapidement pourquoi zéro est le produit. Comme pour lastratégie relative aux faits « multiplication par 1 », il est important de ne pasenseigner une règle comme « tout nombre multiplié par zéro donne zéro ».Les élèves trouveront eux-mêmes cette règle par la compréhension.

• Faits « multiplication par 4 » (et leur inversion) : 4x4, 4x6, 4x7, 4x8,4x9Une stratégie qui donne des résultats pour tout nombre multiplié par 4 est« Doubler-doubler ».

Par exemple, pour 6 x 4, vous doubleriez le 6 (12), puis doubleriez encore(24).

Une autre stratégie qui donne des résultats chaque fois qu’au moins un desfacteurs est pair consiste à diviser le nombre pair par deux, puis à faire lamultiplication et à doubler ensuite la réponse. Ainsi, pour 7 x 4, vouspourriez multiplier 7 x 2 (14), puis doubler ce nombre pour obtenir 28. Pour16 x 9, pensez : 8 x 9 (72) et 72 + 72 = 70 + 70 (140) plus 4 = 144.

• Faits « multiplication par 3 » (et leur inversion) : 3x3, 3x4, 3x6, 3x7,3x8, 3x9Dans ce cas-ci, la stratégie pour les élèves consiste à penser : « fois 2,plus un autre groupe ». Alors, pour 7 x 3 ou 3 x 7, l’élève devrait penser :« 7 fois 2 font 14, plus encore 7 font 21 ».


Calcul mental


Calcul mental – Addition

• Addition en commençant par la gauche (suite de la 2 année)e

Cette stratégie est présentée d’abord en 2 année et consiste àe

additionner les valeurs de place les plus élevées de chaque nombre,puis à ajouter la somme des valeurs de place suivantes. Commencezpar représenter l’addition de deux nombres à deux chiffres à l’aide deblocs de base dix. Pour 24 + 35, vous utiliseriez 2 réglettes et 4 cubes-unités pour faire 24, et 3 réglettes plus 5 cubes-unités pour obtenir 35. Regroupez les deux quantités en combinant d’abord les réglettes, puisles cubes-unités. Il faudrait aussi donner aux élèves l’occasion de fairedes additions de cette manière.

ExemplesPour 32 + 26, pensez : « 3 dizaines plus 2 dizaines donnent 5 dizainesou 50; et 2 unités plus 6 unités donnent 8 unités (8); alors 50 + 8 = 58 ».

Pour 42 + 17, pensez : « 40 et 10 font 50, et 2 plus 7 font 9; alors 50plus 9 font 59 ».

Pour 24 + 12, pensez : « 20 + 10 = 30, et 4 + 2 = 6; 30 plus 2 font 32 ».

Exercices

27 + 31 =

16 + 32 =

32 + 65 =

25 + 63 =

72 + 26 =

63 + 33 =

74 + 19 =

32 + 28 =

45 + 35 =

37 + 44 =

56 + 3 6 =

34 + 27 =



Votre objectif lorsque vous enseignez le calcul mentaldevrait être de montrer aux élèves tout un éventail deméthodes mentales, de leur donner l’occasion d’utiliser

chacune de ces méthodes et d’encourager les élèves àutiliser régulièrement les méthodes mentales afin qu’ilss’améliorent.

• Décomposition et liaison (Nouveau)Cette stratégie ressemble à l’addition en commençant par la gauche,sauf que vous débutez avec la totalité du premier nombre, puis vousajoutez des parties du deuxième nombre, en commençant par la valeurde place la plus élevée. Encore une fois, vous devriez montrer l’additionde deux nombres à deux chiffres à l’aide de blocs de base dix. Pour 24 +35, vous utiliseriez 2 réglettes et 4 cubes-unités pour faire 24, et3 réglettes et 5 cubes-unités pour faire 35. Regroupez les deux quantitésen combinant les 2 réglettes et 4 unités avec seulement les 3 réglettesdu deuxième nombre pour obtenir une somme de 54. Maintenant,ajoutez les 5 cubes-unités qui restent pour obtenir un total de 59.

Il faudrait aussi donner aux élèves l’occasion de faire des additions decette manière.

ExemplesPour 45 + 36, pensez : « 45 et 30 (partie de 36) font 75, et 75 plus 6 (lereste de 36) font 81 ».

Pour 26 + 34, pensez : « 26 plus 30 font 56, et 56 plus 4 font 60 ».

Exercices

37 + 45 =

38 + 43 =

31 + 25 =

62 + 24 =

72 + 28 =

59 + 15 =

74 + 16 =

31 + 24 =

25 + 76 =

66 + 27 =

37 + 24 =

51 + 36 =



Il faut donner régulièrement aux élèves l’occasion des’exercer avec les stratégies de mathématiquesmentales et d’exploiter leurs aptitudes. Onrecommande des exercices réguliers, voire quotidiens.

• Recherche des compatibles (Extension)

Les nombres compatibles sont parfois appelés nombres spéciaux dansd’autres ressources professionnelles. Voici des exemples de nombrescompatibles courants : 1 et 9; 40 et 60; 75 et 25; 300 et 700.

Cette stratégie d’addition implique la recherche de paires de nombresdont la somme est facile à manier. En 3 année, on met l’accent sur lese

nombres qui donnent 10 et 100.

Exercices

6 + 9 + 4 + 5 + 1 = 5 + 3 + 5 + 7 + 4=

2 + 4 + 3 + 8 + 6 = 9 + 5 + 8 + 1 + 5 =

4 + 6 + 2 + 3 + 8 = 2 + 7 + 6 + 3 + 8 =

7 + 1 + 3 + 9 + 5 = 9 + 4 + 6 + 5 + 1 =

4 + 5 + 6 + 2 + 5 = 30 + 20 + 70 + 80 =

60 + 30 + 40 = 50 + 15 + 25 + 5 =

75 + 95 + 25 = 25 + 20 + 75 + 40 =



• Compensation (Extension)

Dans une addition, cette stratégie consiste à modifier un nombre pouratteindre la dizaine la plus proche et faciliter le calcul, à faire l’addition,puis à ajuster la réponse pour compenser le changement. Il se peut queles élèves aient déjà utiliser cette stratégie lorsqu’ils ont appris les faitsd’addition avec 9 en 2 année. Par exemple, pour 9 + 7, il est possiblee

qu’ils aient fait 10 + 7, puis soustrait 1.

ExemplePour 52 + 39, pensez : « 52 plus 40 font 92, mais j’ai ajouté un de troppour atteindre la dizaine suivante, alors je soustrais 1 de ma réponsepour obtenir 91. »

Exercices

43 + 9 = 56 + 8 = 72 + 9 =

45 + 8 = 65 + 29 = 13 + 48 =

44 + 27 = 14 + 58 = 21 + 48 =



Calcul mental – Soustraction

• À rebours jusqu’aux dizaines (Extension)Cette stratégie est une version élargie d’une des stratégies étudiées parles élèves pour l’apprentissage des faits. Elle implique la soustractiond’une partie du diminuteur pour atteindre la dizaine ou la centaine la plusproche, puis à soustraire le reste du diminuteur.

Exemples

Pour 15 – 8, pensez : « 15 moins 5 (une partie de 8) font 10, et 10 moins3 (l’autre partie de 8) font 7 ».

Pour 74 – 6, pensez : « 74 moins 4 (une partie de 6) font 70, et 70 moins2 (l’autre partie de 6) font 68 ».

Exercices

15 – 6 = 42 – 7 = 34 – 7 =

13 – 4 = 61 – 5 = 82 – 6 =

13 – 6 = 15 – 7 = 14 – 6 =

74 – 7 = 97 – 8 = 53 – 5 =

Ajoutez vos propres exercices.


• En avant jusqu’aux dizaines (Extension)Cette stratégie est une version élargie de la stratégie « En avant jusqu’à10 » que les élèves ont apprise dans le but de les aider à maîtriser lesfaits de soustraction.

Avec cette stratégie, vous commencez par le plus petit nombre (lediminuteur) et déterminez l’écart jusqu’à la prochaine dizaine, puis vousajoutez le nombre au reste de l’écart jusqu’au nombre le plus grand (lediminuende).

ExemplesPour 12 – 9, pensez : « À partir de 9, il y a 1 pour atteindre 10, puis il y a2 à partir de 10 pour atteindre 12; alors, la différence est égale à1 plus 2, soit 3 ».

Pour 84 – 77, pensez : « À partir de 77, il y a 3 pour atteindre 80 (ladizaine suivante) et encore 4 pour atteindre 84; alors, la différence est7 ».

Exercices

15 – 8 = 14 – 9 = 16 – 9 =

11 – 7 = 17 – 8 = 13 – 6 =

12 – 8 = 15 – 6 = 16 – 7 =

95 – 86 = 67 – 59 = 46 – 38 =

58 – 49 = 34 – 27 = 71 – 63 =

88 – 79 = 62 – 55 = 42 – 36 =



Estimation


Estimation – Addition et soustraction

Lorsqu’on leur demande de faire une estimation, les élèves essaientsouvent de faire le calcul exact, puis d’« arrondir » leur réponse de façon àproduire une estimation qui pourrait, selon eux, correspondre à la valeurrecherchée par l’enseignant. Les élèves doivent comprendre quel’estimation est un outil valable et utile qui est utilisé quotidiennement parbien des gens.

Les élèves doivent comprendre que l’estimation estun outil valable et utile qui est utiliséquotidiennement par bien des gens.

Les estimations peuvent être très grossières et générales, ou très prochesde la réponse exacte. Tout dépend de la raison de départ de l’estimation, etles raisons peuvent varier selon le contexte et les besoins de la personne àce moment.

Aidez les élèves à trouver des situations en dehors de l’école où ilsestimeraient des distances, un nombre, la température ou une durée, etdiscutez du degré d’exactitude que leurs estimations devraient avoir.Placez ces situations sur un continuum d’estimation présentant lesestimations grossières à une extrémité et les estimations très proches de laréponse exacte à l’autre extrémité.

Par exemple :


En mathématiques, il est essentiel que les élèves utilisent les stratégiesd’estimation avant d’essayer de faire les calculs au moyen d’un papier etd’un crayon ou d’une calculatrice pour déterminer si leurs réponses sontraisonnables.

Lorsqu’on enseigne les stratégies d’estimation, il est important d’utiliser desmots ou des expressions comme environ, à peu près, entre,approximativement, un peu plus de, un peu moins que, près de et presque.

Lorsqu’on enseigne les stratégies d’estimation, il estimportant d’utiliser des mots ou des expressionscomme environ, à peu près, entre, approximativement,

un peu plus de, un peu moins que, près de et presque.

• Estimation en commençant par la gauche pour l’addition et lasoustraction (Nouveau)Cette stratégie consiste à additionner ou à soustraire uniquement lesvaleurs de place les plus élevées pour produire une estimation« grossière ». Ces estimations conviennent dans de nombreusessituations.

Exemples

Pour estimer 43 + 54, pensez : « 40 + 50 font 90 ».

Pour estimer 92 – 53, pensez : « 90 moins 50 font 40 ».

Pour estimer 437 + 541, pensez : « 400 plus 500 font 900 ».

Pour estimer 534 – 254, pensez : « 500 moins 200 font 300 ».


Exercices

62 + 31 =

21 + 43 =

44 + 23 =

13 + 82 =

73 + 12 =

93 – 62 =

91 – 42 =

64 – 23 =

43 – 12 =

81 – 54 =

34 + 42 =

54 + 33 =

12 + 51 =

71 + 14 =

24 + 73 =

32 – 23 =

72 – 33 =

84 – 61 =

54 – 21 =

73 – 44 =

Exercices (suite)

234 + 432 =

741 + 138 =

341 + 610 =

647 + 312 =

632 + 207 =

327 – 142 =

928 – 741 =

804 – 537 =

703 + 241 =

423 + 443 =

816 + 111 =

512 + 224 =

534 + 423 =

516 – 234 =

639 – 426 =

S’exercer de façon continue à faire des estimations estessentiel pour comprendre les nombres et les opérationsnumériques ainsi que pour améliorer les aptitudesmentales.


• Arrondissement en addition et en soustraction (Extension)

Cette stratégie d’addition et de soustraction, d’abord présentée en 2e

année, consiste à arrondir la valeur de place la plus élevée de chaquenombre, puis à additionner ou à soustraire les nombres arrondis. Poursoutenir la mémoire à court terme, il sera nécessaire pour la plupart desélèves de noter d’abord les nombres arrondis, puis de faire le calculmentalement.

À ce niveau, les nombres comprenant 5 ou 50 ne sont pas inclus dansles exercices. Cette procédure d’arrondissement est présentée en 4e

année.

Exemples

Pour estimer 27 + 31, pensez : « 27 s’arrondit à 30 et 31 s’arrondit à 30,donc 30 plus 30 font 60 ».

Pour estimer 348 + 230, pensez : « 348 s’arrondit à 300 et 230 s’arrondità 200, donc 300 plus 200 font 500 ».

Pour estimer 87 - 32, pensez : « 87 s’arrondit à 90 et 32 s’arrondit à 30,donc 90 moins 30 font 60 ».

Pour estimer 594 - 203, pensez : « 594 s’arrondit à 600 et 203 s’arrondità 200, donc 600 moins 200 font 400 ».

Exercices

48 + 23 = 34 + 59 = 61 + 48 =

18 + 22 = 97 + 12 = 14 + 32 =

28 + 57 = 41 + 34 = 57 – 14 =

84 – 9 = 82 – 59 = 36 – 22 =

43 – 8 = 54 – 18 = 68 – 34 =

99 – 47 = 93 – 12 = 326 + 590 =

218 + 411 = 290 + 570 = 520 + 679 =

680 + 124 = 530 + 360 = 420 – 198 =

840 – 715 = 970 – 430 = 830 – 580 =

870 – 399 = 940 – 642 = 260 – 98 =

594 – 301 = 780 – 270 = 324 – 176 =



• Estimation ajustée en commençant par la gauche (Nouveau) Cette stratégie débute par une estimation en commençant par la gauchequi est suivie d’un ajustement tenant compte d’une partie ou de la totalitédes autres valeurs de place. On obtiendra ainsi une estimation plusprécise. Parfois les unités ne permettent pas d’obtenir une autre dizaineet n’ont donc pas d’incidence sur l’estimation

ExemplesPour estimer 23 + 48, pensez : « 20 plus 40 font 60 et 3 plus 8 font uneautre dizaine; alors, l’estimation ajustée est 60 + 10 ou 70 ».

Pour estimer 72 - 38, pensez : « 70 moins 30 font 40; le 8 donnerait uneautre dizaine; alors, l’estimation ajustée est 30 ».

Pour estimer 31 + 22, pensez : « 30 plus 20 font 50; les unités nedonneraient pas une autre dizaine; alors, la meilleure estimation estencore 50 ».

Pour estimer 82 – 31, pensez : « 80 moins 30 font 50; 1 ne donneraitpas une autre dizaine; alors, la meilleure estimation est encore 50 ».

Exercices28 + 33 =

76 + 13 =

39 + 64 =

48 + 25 =

54 + 28 =

47 + 31 =

62 + 29 =

38 + 34 =

82 + 17 =

29 + 53 =


Comme l’estimation est une activité mentale, desexercices oraux et des échanges de stratégies doiventavoir lieu de façon régulière.


Annexes


Annexe 1

Stratégies de raisonnement en mathématiques mentales

La maîtrise des mathématiques mentales constitue une dimensionimportante des connaissances mathématiques. Les personnes nedévelopperont pas toutes des aptitudes au calcul mental au même degré.Certaines découvriront leur force en mathématiques par d'autres voies,telles que les représentations visuelles ou graphiques, ou la créativité dansla résolution de problèmes. Les mathématiques mentales ont toutefois uneplace de choix dans les mathématiques scolaires. C'est un domaine danslequel beaucoup de parents et de familles se sentent à l'aise d'offrir dusoutien et de l'aide à leurs enfants.

Le tableau suivant présente toutes les stratégies de raisonnement enmathématiques mentales : apprentissage des faits, calcul mental etestimation et le niveau où elles sont introduites pour la première fois. Cesstratégies sont ensuite approfondies et développées les années suivantes.

Par exemple, l'addition en commençant par la gauche qui met en jeu desnombres à deux chiffres est d'abord présentée en 2 année, poursuivie ene

3 année, appliquée aux nombres à 3 chiffres en 4 année, puis auxe e

dixièmes, centièmes et millièmes en 5 et 6 année. Le guide de l'enseignante e

correspondant à chaque niveau contient une description complète dechaque stratégie assortie d'exemples et d'items de pratique.


Stratégie Description

1 annéere

Avant l'opération

• Reconnaissance d'ensembles structurés

• Relations partie-partie-tout

• Comptage en avant et à rebours

• Nombre suivant

• Visualisation sur un cadre à dix

compartiments pour les nombres de

0 à 10

• Relations un de plus/un de moins, deux

de plus/deux de moins

• Les élèves sont capables de repérer sans compter des

ensembles de nombres à configuration courante tels que les

points dessinés sur un dé standard, des dominos et des cartes à

points.

• Reconnaissance de deux parties d'un tout. Mène à comprendre

que les nombres peuvent être décomposés en éléments

constituants.

• Les élèves peuvent compter en avant et à rebours à partir d'un

nombre donné compris entre 0 et 9.

• Les élèves sont capables d'indiquer immédiatement le nombre

qui suit un nombre donné compris entre 0 et 9.

• Les élèves peuvent visualiser la représentation standard de

nombres sur des cadres à dix compartiments et répondre à des

questions en utilisant leur mémoire visuelle.

• On présente aux élèves un nombre et on leur demande d'indiquer

le nombre situé une position au-dessus, une position au-dessous,

deux positions au-dessus ou deux positions au-dessous de ce

nombre.

Faits d'addition jusqu'à 10

• Doubles

• Faits « plus 1 »



• Affiches de doubles créées comme supports visuels.

• Faits nombre suivant.

• Cadre à dix compartiments, calcul à sauts, relation « 2 de plus

que », comptage en avant.

• Cadre à dix compartiments, 2 de plus que plus 1, comptage en

avant.

Faits de soustraction avec un diminuende

maximal de 10

• Penser addition

• Visualisation sur un cadre à dix

compartiments

• Comptage à rebours

• Pour 9 – 3, penser : « 3 plus quoi égale 9? »

• Visualiser le diminuende sur un cadre à dix compartiments et

retirer le diminuteur pour déterminer la différence.

• Pour les faits « -1, -2, -3 »

Ajout de 10 à un nombre Pour les nombres de 11 à 20

2 annéee

Faits d'addition jusqu'à 18

• Quasi-doubles

• Bond de deux

• Plus zéro

• Obtenir 10

• Doubler le plus petit nombre et ajouter 1.

• Doubler le nombre situé dans l'intervalle.

• Faits aucun changement.

• Pour les faits où le cumulateur est 8 ou 9 (p. ex. 7 + 9 est égal à

10 + 6).

Faits de soustraction avec un diminuende

maximal de 18

• En avant jusqu'à 10

• À rebours jusqu'à 10

• Pour 13 – 8, penser : « De 8 à 10, il y a 2 auxquels j'ajoute 3, ce

qui me donne 5. »

• Pour 14 – 6, penser : « 14 – 4 me donne 10 auxquels j'ajoute 2,

ce qui fait 8. »

Faits d'addition appliqués aux dizaines Faits « bond de 2 » : 3 + 5 est le double de 4, donc 30 + 50 est le

double de 40.


Addition en commençant par la gauche Les valeurs de position les plus élevées sont totalisées en premier,

puis ajoutées à la somme des valeurs de position restantes.

Recherche des compatibles Recherche de paires de nombres qui s'additionnent facilement, en

particulier les nombres qui s'additionnent pour donner 10.

Compensation On modifie l'un des nombres ou les deux nombres pour faciliter

l'addition, et on ajuste la réponse pour compenser le changement.

Arrondissement en addition et en soustraction

(Le nombre 5 ou 50 n'est pas introduit dans le

processus d'arrondissement avant la

4 année.)e

Arrondissement à la dizaine la plus proche.

3 annéee

Faits de multiplication dont le produit maximal

est 36

• Faits « x 2 »

• Multiplication par cinq

• Multiplication rapide par neuf

• Multiplication par un

• Multiplication délicate par zéro

• Multiplication par quatre

• Multiplication par trois

Présentés au début de la 3 période de référence.e

• Liés aux doubles en addition.

• Faits de l'horloge, motifs.

• Motifs, fait qui aide.

• Faits « aucun changement ».

• Groupes de zéro.

• Doubler-doubler.

• Double, plus 1 ensemble supplémentaire.

Décomposition et liaison Dans le cas de cette stratégie de démarrage par la gauche, on

commence par le premier nombre en entier que l'on ajoute à la valeur

de position la plus élevée de l'autre nombre, puis on ajoute le reste.

Estimation en commençant par la gauche

pour l'addition et la soustraction

Ajouter ou soustraire uniquement les valeurs de position les plus

élevées de chaque nombre pour produire une estimation

« grossière ».

Estimation ajustée en commençant par la

gauche pour l'addition et la soustraction

Comme ci-dessus, si ce n'est que l'on tient compte des autres valeurs

de position pour obtenir une estimation plus précise.

4 annéee

Faire des dizaines, des centaines et des

milliers pour l'addition

48 + 36 est égal à 50 + 34 qui font 84.

Faits de multiplication dont le produit maximal

est 81

• Les six derniers faits

Maîtrise d'ici la fin de l'année.

Pour les faits qui n'ont pas encore été traités par les stratégies de

raisonnement précédentes.

Faits de soustraction appliqués aux dizaines,

aux centaines et aux milliers

Seul 1 chiffre différent de zéro dans chaque nombre, p. ex. 600 –

400 =

Compensation (nouveau pour la soustraction) Pour 17 – 9, penser : « 17 – 10 font 7, mais j'ai retranché un 1 de trop,

donc la réponse est 8. »

Décomposition et liaison (nouveau pour la

soustraction)

Pour 92 – 26, penser : « 92 – 20 font 72 moins 6 donne 66. »

Multiplication par 10 et 100 au moyen de la

stratégie de changement de la valeur de

position

Les valeurs de position d'un nombre multiplié par 100 gagnent deux

positions (p. ex. 34 x 100; les 4 unités se transforment en 4 centaines,

et les 3 dizaines se transforment en 3 milliers; 3 000 + 400 = 3 400).

5 annéee


Faits de division dont le dividende maximal est

81

• « Penser multiplication »

Maîtrise d'ici la fin de l'année.

Pour 36 ÷ 6, penser : « 6 fois quoi égale 36? ».

Consiste à changer les deux nombres d'une formule de soustractionÉquilibre pour une différence constante

par le même résultat pour faciliter l'opération. La différence entre les

deux nombres reste la même.

P. ex. pour 27 – 16, ajouter 3 à chaque nombre et penser : « 30 –

19 = 11. »

Multiplication par 0,1; 0,01; 0,001 au moyen de

la stratégie de changement de la valeur de

position

Les valeurs de position d'un nombre multiplié par 0,1 perdent une

position (p. ex. 34 x 0,1; les 4 unités se transforment en 4 dixièmes,

et les 3 dizaines se transforment en 3 unités; 3 et 4 dixièmes, soit

3,4).

Multiplication en commençant par la gauche

(principe de distributivité)

Consiste à trouver le produit du facteur à un chiffre et le chiffre de la

valeur de position la plus élevée du deuxième facteur pour ajouter

ensuite à ce produit un deuxième sous-produit.

706 x 2 = (700 x 2) + (6 x 2) = 1 412.

Compensation en multiplication Consiste à remplacer un facteur par 10 ou 100, à effectuer la

multiplication, puis à ajuster le produit de façon à compenser le

changement. 7 x 198 = 7 x 200 (1 400) moins 14 = 1 386.

Division par 10, 100 et 1 000 au moyen de la


position

Les valeurs de position d'un nombre divisé par 10 perdent une

position.

P. ex. 34 ÷ 10; les 4 unités se transforment en 4 dixièmes, et les

3 dizaines se transforment en 3 unités; 3 et 4 dixièmes, soit 3,4.

Arrondissement en multiplication Les valeurs de position les plus élevées des facteurs sont arrondies

et multipliées. Quand les deux nombres sont proches de 5 ou de 50,

l'un des nombres est arrondi au chiffre supérieur et l'autre, au chiffre

inférieur.

6 annéee

Division par 0,1; 0,01; 0,001 au moyen de la


position

Les valeurs de position d'un nombre divisé par 0,01 gagnent deux

positions.

P. ex. 34 ÷ 0,01; les 4 unités se transforment en 4 centaines, et les

3 dizaines se transforment en 3 milliers; 3 000 + 400 = 3 400.

Recherche de facteurs compatibles

(associativité)

Consiste à rechercher des paires de facteurs dont le produit est facile

à manier, généralement des multiples de 10. Par exemple, pour

2 x 75 x 500, penser : « 2 x 500 = 1 000 et 1 000 x 75 font 75 000. »

Pour faciliter la multiplication, on divise l'un des facteurs par deux etDivision et multiplication par deux

on multiplie l'autre par deux. Les élèves devraient consigner les

étapes intermédiaires.

Par exemple, 500 x 88 = 1 000 x 44 = 44 000.

Utilisation des faits de division pour les

dizaines, les centaines et les milliers

Les dividendes situés dans les dizaines, les centaines et les milliers

sont divisés par des diviseurs à un chiffre. Les quotients n'auraient

qu'un seul chiffre différent de zéro. Par exemple, pour 12 000 ÷ 4,

penser aux faits de division à un chiffre.

12 ÷ 4 = 3, et les milliers divisés par des unités donnent des milliers,

donc la réponse est 3 000.

Séparation du dividende (distributivité) Le dividende est séparé en deux parties plus facilement divisibles

par le diviseur. Par exemple, pour 372 ÷ 6, penser : « (360 + 12) ÷ 6,

donc 60 + 2 font 62. »


APPRENTISSAGE DES FAITS

Annexe 2

Mathématiques mentales : Apprentissage des faits, calcul mental, estimation (grandeur et ordre)

1re ANNÉE 2e ANNÉE 3e ANNÉE 4e ANNÉE 5e ANNÉE 6e ANNÉE

Stratégies préalablesaux opérations< Reconnaissance

d’ensembles structuréspour les nombres de 1 à6 (sans avoir à compter)

< Relations partie-partie-tout

< Comptage et comptageà rebours

< Nombre suivant< Reconnaissance et

visualisation sur unegrille de dix pour lesnombres de 0 à 10

< Relations un de plus/unde moins et deux deplus/deux de moins

Stratégies deraisonnement relativesaux faits d’addition avecsommes jusqu’à 10 :< Doubles< Faits « plus 1 »< Faits « plus 2 »< Faits « plus 3 »< Faits des grilles de dix

Stratégies deraisonnement relativesaux faits de soustractionavec un diminuendemaximal de 10< Penser addition< Faits des grilles de dix< Comptage à rebours

Faits d’addition et desoustraction < Maîtrise des faits avec

somme jusqu’à 10 etdimimuende maximal de10 d’ici la mi-année

< Maîtrise des faits avecsomme jusqu’à 18 etdimimuende maximal de18 d’ici la fin de l’année

Nouvelles stratégies deraisonnement pourl’addition< Quasi-doubles< Faits « bonds de deux »< Faits « plus 0 »< Faits « obtenir 10 »

Nouvelles stratégies deraisonnement pour lesfaits de soustraction< En avant jusqu’à 10< À rebours jusqu’à 10

Addition< Révision et renforcement

des faits avec sommejusqu’à 18 et stratégies deraisonnement

< Faits d’addition appliquésaux nombres inférieurs à100. Penser faits d’additionpour les nombres inférieursà 10 et appliquer la valeurde place appropriée.

Soustraction< Révision et renforcement

des faits dont le diminuendemaximal est 18 et stratégiesde raisonnement.

< Faits de soustractionappliqués aux nombresinférieurs à 100. Penserfaits de soustraction pourles nombres inférieurs à 10et appliquer la valeur deplace appropriée.

Faits de multiplication(produit maximal de 36)

Stratégies deraisonnement :< Faits « x 2 » (liés aux

doubles en addition)< Faits « x 10 » (modèles)< Faits « x 5 » (faits de

l’horloge, modèles)< Faits « x 9 » (modèles, faits

qui aident)< Faits « x 1 » (faits « sans

changement »)< Faits « x 0 » (produits de

zéro)< Faits « x 4 » (double-

double)< Faits « x 3 » (ensemble

double « plus 1 »)

AdditionRévision et renforcementdes faits jusqu’à 18 etstratégies de raisonnement

Soustraction< Révision et renforcement

des faits dont lediminuende maximal est18 et stratégies deraisonnement

Multiplication< Maîtrise des faits dont le

produit maximal est 36d’ici la mi-année

< Maîtrise des faits dont leproduit maximal est 81d’ici la fin de l’année

Stratégies deraisonnement :< Faits « x 2 » (liés aux

doubles en addition)< Faits « x 10 » (modèles)< Faits « x 5 » (faits de

l’horloge, modèles)< Faits « x 9 » (modèles,

faits qui aident)< Faits « x 1 » (faits « sans

changement »)< Faits « x 0 » (produits de

zéro)< Faits « x 4 » (double-

double)< Faits « x 3 » (ensemble

double « plus 1 »)< Les six derniers faits

(nouveaux, stratégiesdiverses)

Révision des faits d’addition et desoustraction avec somme jusqu’à18 et diminuende maximal de 18

MultiplicationRévision et renforcement des faitsde multiplication dont le produitmaximal est 81 et stratégies deraisonnement

DivisionMaîtrise des faits de division dontle dividende est 81 d’ici la fin del’année à l’aide d’une stratégie« penser multiplication »

< Révision des faits d’addition,de soustraction, demultiplication et de division.

< Montrer les stratégies deraisonnement de nouveau auxélèves qui éprouvent desdifficultés.

< Se reporter aux guides del’enseignant – mathématiquesmentales pour des stratégies etdes exercices qui s’adressentaux élèves de la 2 à lae

5 année.e

62 Mathématiques mentales - 3 annéee

CALCUL MENTAL

1 ANNÉE 2 ANNÉE 3 ANNÉE 4 ANNÉE 5 ANNÉE 6 ANNÉER E E E E E E

Addition< Ajout de 10 à un nombre

sans compter

Addition< Faits d’addition appliqués

aux nombres inférieurs à100. Penser faits d’additionpour les nombres inférieursà 10 et appliquer la valeurde place appropriée.(Nouvelle matière)

< Addition en commençantpar la gauche (nombresinférieurs à 100)

< Recherche descompatibles (combinaisonsdes nombres inférieurs à10 pour obtenir 10)

< Compensation (nombresinférieurs à 10)

Soustraction< « Penser addition »

(appliqué aux nombresinférieurs à 100)

Addition< Addition en commençant par la

gauche (suite de la matière dela 2 année)e

< Décomposition et liaison(nouveau)

< Recherche de compatibles(nombres inférieurs à 10 dont lasomme est égale à 10;nombres inférieurs à 100 dontla somme est égale à 100)

< Compensation (appliqué auxnombres inférieurs à 100)

Soustraction< À rebours jusqu’aux dizaines

(appliqué à la soustractionentre un nombre inférieur à100 et un nombre inférieur à10)

< Jusqu’aux dizaines (appliquéaux nombres inférieurs à 100)

Addition< Faits appliqués à l’addition de

nombres dans les dizaines,les centaines et les milliers

< Addition en commençant parla gauche (appliqué auxnombres dans les milliers)

< Décomposition et liaison(appliqué aux nombres dansles centaines)

< Recherche de compatibles(appliqué aux nombres dansles milliers)

< Compensation (appliqué auxnombres dans les centaines)

< Faire des dizaines, descentaines et des milliers(extension)

Soustraction< Faits appliqués à la

soustraction de nombres dansles dizaines, les centaines etles milliers

< À rebours jusqu’aux dizaines(appliqué aux nombres dansles centaines)

< Jusqu’aux dizaines (appliquéaux nombres dans lescentaines)

< Compensation (nouveau pourla soustraction)

< Décomposition et liaison(nouveau pour lasoustraction)

Multiplication< Multiplication par 10 et par

100 au moyen d’une stratégiede « changement de la valeurde place » plutôt que d’unestratégie des « zérosaccolés »

Addition< Addition en commençant par la

gauche (appliqué aux dixièmes etaux centièmes)

< Décomposition et liaison (appliquéaux nombres dans les milliers, auxdixièmes et aux centièmes)

< Recherche de compatibles(appliqué aux dixièmes et auxcentièmes)

< Compensation (appliqué auxnombres dans les milliers, auxdixièmes et aux centièmes)

< Faire des dizaines, des centaineset des milliers (suite de la matièrede la 4 année)e

Soustraction< À rebours jusqu’aux dizaines, aux

centaines et aux milliers(extension)

< Jusqu’aux dizaines (appliqué auxnombres dans les milliers, auxdixièmes et aux centaines)

< Compensation (appliqué auxnombres dans les milliers)

< Équilibre pour une différenceconstante (nouveau)

< Décomposition et liaison (appliquéaux nombres dans les milliers)

Multiplication< Faits appliqués aux dizaines, aux

centaines et aux milliers< Multiplication par 10, par 100 et par

1 000 au moyen d’une stratégie de« changement de la valeur deplace » plutôt que d’une stratégiedes « zéros accolés » (suite de lamatière de la 4 année)e

< Multiplication par 0,1; 0,01; 0,001au moyen d’une stratégie dechangement de la valeur de place(nouveau)

< Multiplication en commençant parla gauche (nouveau)

< Compensation (nouveau pour lamultiplication)

AdditionExercices fournis aux fins de révisiondes stratégies de calcul mental pourl’addition.< En commençant par la gauche< Décomposition et liaison< Recherche des compatibles< Compensation< Faire des dizaines, des centaines

et des milliersSoustraction< À rebours jusqu’aux dizaines, aux

centaines et aux milliers< Jusqu’aux dizaines, aux centaines

et aux milliers< Compensation< Équilibre pour une différence

constante (suite de la matière de la5 année)e

< Décomposition et liaison (appliquéaux nombres dans les dizaines demilliers)

Multiplication et division< Multiplication et division par 10,

100 et 1 000 au moyen d’unestratégie de changement de lavaleur de place

< Multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001(suite de la matière de 5 année)e

< Division par 0,1; 0,01; 0,001 aumoyen d’une stratégie de« changement de la valeur deplace » (nouveau)

< Multiplication en commençant parla gauche (suite de la matière de la5 année)e

< Compensation (suite de la matièrede la 5 année)e

< Recherche de facteurs compatibles(nouveau)

< Division et multiplication par deux(nouveau)

< Emploi de facteurs de division pourles dizaines, les centaines et lesmilliers (nouveau); les dividendesdans les dizaines, les centaines etles milliers sont divisés par desdiviseurs à un chiffre.

< Séparation du dividende (nouveau)

Mathématiques mentales - 3 année 63e

1 ANNÉE 2 ANNÉE 3 ANNÉE 4 ANNÉE 5 ANNÉE 6 ANNÉER E E E E E E

ESTIMATION

< Arrondissement enaddition et ensoustraction (nombresinférieurs à 100; lenombre 5 ne fait paspartie de la procédured’arrondissement avantla 4 année)e

< Addition et soustraction encommençant par la gauche(nouveau)

< Arrondissement en additionet en soustraction(appliqué aux nombresinférieurs à 1 000; lesnombres 5 et 50 ne fontpas partie de la procédured’arrondissement avant la4 année)e

< Estimation ajustée encommençant par la gauchepour l’addition et lasoustraction (nouveau)

< Arrondissement enaddition et ensoustraction (appliquéaux nombres dans lesmilliers et incluant lesnombres 5, 50 et 500dans la procédured’arrondissement)

< Estimation ajustée encommençant par lagauche pour l’addition etla soustraction (appliquéaux nombres dans lesmilliers)

< Arrondissement en addition eten soustraction (suite de lamatière de la 4 année)e

< Arrondissement enmultiplication (un facteur à deuxou trois chiffres par un facteur àun chiffre; deux chiffres pardeux chiffres)

< Estimation ajustée encommençant par la gauchepour l’addition et la soustraction(appliqué aux dixièmes et auxcentièmes)

< Arrondissement en addition eten soustraction (suite de lamatière de la 5 année)e

< Arrondissement enmultiplication (continuation de lamatière de la 5 année poure

inclure la multiplication desnombres à trois chiffres par lesnombres à deux chiffres)

< Arrondissement en division(nouveau)

apprentissage des faits calcul mental estimation de calcul · calcul mental pour additionner deux...

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