applied theory of elasticity - kocwcontents.kocw.net/kocw/document/2015/hankyong/... ·...
TRANSCRIPT
탄성체역학
Applied Theory of Elasticity
토목안전환경공학과
옥승용
Week03: 인장, 압축 및 전단 (2)
2
Class Schedule
Week Topics Remarks
01 Introduction to class Ch. 1
02 Tensile, Compressive and Shear Forces (1) Ch. 1
03 Tensile, Compressive and Shear Forces (2) Ch. 1
04 Tensile, Compressive and Shear Forces (3) Ch. 1
05 Axially Loaded Members (1) Ch. 2
06 Axially Loaded Members (2) Ch. 2
07 Shear Force and Bending Moment (1) Ch. 4
08 Mid-Term Exam
09 Shear Force and Bending Moment (2) Ch. 4
10 Stresses in Beams (1) Ch. 5
11 Stresses in Beams (2) Ch. 5
12 Analysis of Stress and Strain (1) Ch. 7
13 Analysis of Stress and Strain (2) Ch. 7
14 Analysis of Stress and Strain (3) Ch. 7
15 Final-Term Exam
3
Chapter Preview
학습목표
(수직)응력이란? 단위면적당 힘 = 면적당 분포하중 = P/A
(수직)변형률이란? 단위길이당 변위 = 길이당 변형량 = d/L
Hooke’s Law? 선형 탄성 재료의 성질 s = Ee
Poisson Ratio? 직교하는 축간 변형율의 비 n = -e1/e2
• 수직응력과 변형률
• 재료의 기계적 거동
• 탄성, 소성 및 크리프
• 선형탄성, Hooke의 법칙 및 Poisson 비
• 전단응력과 전단변형률
• 허용응력과 허용하중
• 축하중과 직접전단의 설계
4
탄성, 소성 및 크리프
• 크리프 (Creep) 장시간에 걸쳐 하중을 작용시킬 때,
추가하중이 없어도 변형률이 시간에 따라 증가하는 현상
FIG. 1-20 Creep in a bar under constant load
5
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
A bar of length 2.0 m is made of a structural steel having the stress-
strain diagram shown in the figure. The yield stress of the steel is
250 MPa and the slope of the initial linear part of the stress-strain
curve (modulus of elasticity) is 200 GPa. The bar is loaded axially
until it elongates 6.5 mm, and then the load is removed.
How does the final length of the bar compare with its original length?
6
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
s
e
AE
탄성 소성
BF
O
Loadin
g
C
잔류변형률(Residual strain)
영구변형률(Permanent strain)
Un
loa
din
g
D
Elastic recovery
How does the final length of the bar
compare with its original length?
7
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
s
e
AE
탄성 소성
BF
O
Loadin
g
C
잔류변형률(Residual strain)
영구변형률(Permanent strain)
Un
loa
din
g
D
Elastic recovery
How does the final length of the bar
compare with its original length?
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
8
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m = 2000mm (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
How does the final length of the bar
compare with its original length?
Stress & strain at point B sB = sY = 250 MPa
eB = d/L = 6.5/2000 = 0.00325
9
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m = 2000mm (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
Stress & strain at point B
sB = sY = 250 MPa
eB = d/L = 6.5/2000 = 0.00325
Elastic recovery eE
00125.0GPa200
MPa250
Slope B
E
se
How does the final length of the bar
compare with its original length?
10
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m = 2000mm (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
Stress & strain at point B
sB = sY = 250 MPa
eB = d/L = 6.5/2000 = 0.00325
Elastic recovery eE = 0.00125
Residual strain eR
eR = eB–eE = 0.00325–0.00125 = 0.002
How does the final length of the bar
compare with its original length?
11
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m = 2000mm (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
Stress & strain at point B
sB = sY = 250 MPa
eB = d/L = 6.5/2000 = 0.00325
Elastic recovery eE = 0.00125
Residual strain eR = 0.002
Permanent set = eR L = (0.002)(2000mm)
= 4.0mm
LL
L de
How does the final length of the bar
compare with its original length?
12
Example 4 : 탄성, 소성 및 크리프
• Steel bar in tension
L = 2.0 m = 2000mm (structural steel)
sY = 250 MPa
E = 200 GPa
d = 6.5 mm
Unlo
ad
ing
C
영구변형률
s
e
A
탄성 소성
B
OD
Elastic recovery
Loa
din
g
sY
eBeReE
Permanent set = eR L = (0.002)(2000mm)
= 4.0mm
Final length of bar is 4.0mm longer than its
original length.
How does the final length of the bar
compare with its original length?
13
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• 선형탄성 (Linear elasticity)
– 재료가 탄성적으로 거동하고
– 응력과 변형률이 선형관계를 갖는 경우
s
e선형 구간
비례 한도
완전소성, 항복
항복 응력
A
B C
극한 응력
D
변형경화 네킹
(파단)
E
s
e
Loadin
g
Unloadin
g
선형탄성거동 (E 일정)
14
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Hooke의 법칙 (Hooke’s law)
– 단순인장이나 압축을 받는 봉에 대한
응력과 변형률 사이의 선형적인 관계
es E
s : 축응력
e : 축변형률
E : 재료의 탄성계수(modulus of elasticity, Young’s modulus)
단위: psi, ksi 또는 Pa
15
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• 포아송비 (Poisson’s ratio)
16
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• 포아송비 (Poisson’s ratio)
봉이 인장을 받을 때 가로수축(lateral contraction) 발생
17
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• 포아송비 (Poisson’s ratio)
18
선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• 포아송비 (Poisson’s ratio)
– 재료가 선형탄성적이면,
봉의 임의 점에서 가로변형률(lateral strain, e’)은
같은 점에서의 축변형률(e)에 비례한다.
– 제한:
선형탄성적이며,
균질(homogeneous)하고
등방성(isotropic)인 재료에만 해당
축방향변형률
가로변형률
e
en
strain axial
strain lateral
19
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression (선형탄성)
길이 L=4.0ft, 바깥지름 d2=6.0in., 안지름
d1=4.5in.인 강철파이프가 축하중 P=140k에 의해 압축을 받고 있다.
재료의 탄성계수는 E=30,000ksi 이고, Poisson 비는 n =0.30이다.
파이프에 대해
(a) 줄어든 길이 d,
(b) 가로변형률 e’,
(c) 바깥지름의 증가량 d2와 안지름의 증가량 d1,
(d) 벽두께의 증가량 t
FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
20
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (a) 줄어든 길이 d ?
LLL
Led
de
Hooke의 법칙: E
Es
ees
응력의 정의: A
Ps
221
22 .in37.12)(
4 ddA
)(ksi32.11in.37.12
k1402
압축
A
Ps
6103.377ksi000,30
ksi32.11
E
se FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
21
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (a) 줄어든 길이 d ?
LLL
Led
de
6103.377ksi000,30
ksi32.11
E
se
in.018.0
)in./ft12)(ft0.4)(103.377( 6
Led
FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
22
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (a) 줄어든 길이 d ?
2 2
140 4 .
30,000 / . 12.37 .
0.001509 . 12 . / . 0.018
k ftPL
EA k in in
ft in ft in.
d
FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
E
P P PLE E
A A L EA
L
s e
ds e d
de
22
122 .in37.12)(
4 ddA
23
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (b) 가로변형률 e’ ?
축방향변형률
가로변형률
e
en
strain axial
strain lateral
포아송비의 정의
6
6
102.113
)103.337)(30.0(
ene
6103.377 e
FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
24
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (c) d2 와 d1 ?
바깥지름의 증가량 d2
안지름의 증가량 d1
LLL
Lee
; 축방향 신장량
ddd
dee
; 가로방향 “신장량”
in.000679.0)in.0.6)(102.113( 622 dd e
in.000509.0)in.5.4)(102.113( 611 dd e
FIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
25
Example 5 : 선형탄성, Hooke 법칙 및 Poisson비
• Steel pipe in compression
L=4.0ft, d2=6.0in., d1=4.5in., P=140k(압축)
E=30,000ksi, n =0.30
파이프에 대해 (d) 벽두께의 증가량 t ?
ddd
dee
; 가로방향 “신장량”
in.1085.0)5.40.6(2
1)102.113(
)(2
1
46
12
ddtt ee
또는
in.000085.0
)(2
112
ddtFIG. 1-23 in Example 1-3.
Steel pipe in compression
26
Example 6 : 선형탄성
• Nylon bar inside steel tube
A nylon bar having diameter d1 =3.50 in. is placed inside a steel tube
having inner diameter d2 = 3.51 in. The nylon bar is then compressed by an
axial force P.
At what value of the force P will the space between the nylon bar and the
steel tube be closed? (For nylon, assume E =400 ksi and n = 0.4.)
27
Example 6 : 선형탄성
• Nylon bar inside steel tube
Compression (axial force P )
d1 =3.50 in.; d2 = 3.51 in.
d1 =0.01 in.
Nylon: E =400 ksi ; n = 0.4
Lateral strain e’= d1/d1 (increase in diameter)
e’= 0.01 / 3.50 = 0.002857
Axial strain e = -e’/n
e = -0.002857/0.4 = -0.007143 (shortening)
Axial stress s = E e
s = (400 ksi)(-0.007143) = -2.857 ksi (compressive stress)
Force P
(compression)
P = s A
P = (2.857 ksi) ¼ (3.50 in.)2 = 27.5 k
28
Example 7 : 선형탄성
• Square bar in tension
A steel bar of length 2.5 m with a square cross section 100 mm on each
side is subjected to an axial tensile force of 1300 kN. Assume that E =200
GPa and n = 0.3.
Determine the increase in volume of the bar.
29
Example 7 : 선형탄성
• Square bar in tension
Length: L = 2.5 m = 2500 mm
Cross section: b = 100 mm
Force: P = 1300 kN (axial tensile force)
E =200 GPa ; n = 0.3.
Determine the increase in volume of the bar.
Axial stress
Axial strain
Increase in length
Decrease in side
dimension
MPa130)mm100(
kN130022
b
P
A
Ps
610650GPa200
MPa130 E
se
mm625.1)mm2500()10650( 6
LL ed
mm0195.0)mm100()10195(
10195106504.0
6
66
bb e
ene
30
Example 7 : 선형탄성
• Square bar in tension
Length: L = 2.5 m = 2500 mm
Cross section: b = 100 mm
Force: P = 1300 kN (axial tensile force)
E =200 GPa ; n = 0.3.
Determine the increase in volume of the bar.
Final dimensions
Final volume
Increase in volume
mm9805.99
mm625.2501
bbb
LL
final
final d
32 mm490,006,25 finalfinalfinal bLV
32 mm000,000,25 bLVinitial
3mm6490 initialfinal VVV
Initial volume: Increase in volume:
31
Summary
학습목표
(수직)응력이란? 단위면적당 힘 = 면적당 분포하중 = P/A
(수직)변형률이란? 단위길이당 변위 = 길이당 변형량 = d/L
Hooke’s Law? 선형 탄성 재료의 성질 s = Ee
Poisson Ratio? 직교하는 축간 변형율의 비 n = -e1/e2
32
Preview on Next Class
• 수직응력과 변형률
• 재료의 기계적 거동
• 탄성, 소성 및 크리프
• 선형탄성, Hooke의 법칙 및 Poisson 비
• 전단응력과 전단변형률
• 허용응력과 허용하중
• 축하중과 직접전단의 설계
학습목표
전단응력이란?
전단변형률이란?
허용응력이란?
인장, 압축, 전단 부재의 설계는 어떻게?