applications excel avec correction

EXERCICES DE

RREECCHHEERRCCHHEE OOPPRRAATTIIOONNNNEELLLLEE (version 2.3 Rvision 4 du 07.06.2010)

Attention! Nous utilisons MS Office Excel pour la rsolution des exercices dans le prsent document car c'est le plus courant dans les entreprises. Malheureusement l'outil de recherche oprationnelle qui y est inclus (solveur)

est mdiocre et peut amener faire des contre-sens! Il vaut mieux utiliser (dans le mme genre): Calc qui est inclus dans la suite bureautique gratuite. OpenOffice.org.

Sciences.ch Recherche oprationnelle

Serveur d'exercices 2/36

EXERCICE 1.

Niveau : Gymnase (Lyce) Auteur : Vincent Isoz ([email protected] Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation production

Enonc :

Un chef de projet connaissant le prix auquel il peut facturer au maximum ses consultants (concurrence oblige 250.-/h.) et le prix qu'ils cotent en interne (ressource la moins chre 160.-/h.) souhaite atteindre une marge commerciale de 15'000.- pour son futur projet client ncessitant 600 heures de travail.

Jusqu'o le chef de projet peut-il baisser le montant du tarif horaire vendu au client tout en cherchant la meilleure ressource interne possible (celle ayant le cot interne le plus lev le niveau le plus expert - avec les contraintes dfinies), pour avoir une marge bnficiaire de 15'000.- ?

Remarque: Evidemment il s'agit d'une simple quation du premier degr que l'on peut rsoudre la main ou avec l'outil Cible de MS Excel mais l'ide ici est juste de se familiariser avec le solveur.

Solution :

Dans MS Excel, nous construisons le tableau suivant:

avec dans B4 la relation suivante:

=B1*(B2-B3)

Nous paramtrons le solveur ainsi:



et nous le lanons. Il vient alors comme rsultat au problme:

Nous pouvons donc facturer au minimum 217.50.-/h. au client et prendre un consultant interne de type Junior B qui nous coterait au plus 192.50.-/h.



EXERCICE 2.

Niveau : Gymnase (Lyce) Auteur : Vincent Isoz ([email protected] Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation production

Enonc :

Supposons qu'une usine fabrique 2 pices P1 et P2 usines dans deux ateliers A1 et A2.

Les temps d'usinage sont pour P1 de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2.

Le temps de disponibilit hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures.

La marge bnficiaire est de 1'200.- pour une pice P1 et 1'000.- pour une pice P2.

La question est : Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire?

A rsoudre en utilisant la reprsentation graphique et MS Office Excel!

Solution :

D'abord, il est possible de poser le systme d'inquations :

1: 3 1 4 2 1602 : 6 1 3 2 1801, 2 0

A X XA X XX X

Ensuite, la fonction conomique :

1200 1 1000 2Z X X Le trac des deux droites dans MS Excel, donne le polygone des contraintes (c'est que l'on fait dans les petites classes d'coles) :



o nous voyons de suite ou sont les maximums ainsi que l'optimum.

Pour rsoudre le problme dans MS Excel (eh oui! MS Project n'est pas fait pour l'optimisation ce qui est logique!), crez un tableau du type suivant :

et ensuite, avec le solveur MS Excel, crez les contraintes adaptes du type (attention les rfrences de cellules ne sont pas donnes correctement ci-dessous afin de ne pas vous mcher tout le boulot!) :



Les solutions seront alors aprs l'excution du solveur :

1 16 . 2 28 .X pcs X pcs



EXERCICE 3.

Niveau : Gymnase (Lyce) Auteur : Vincent Isoz ([email protected]) Mots-cls : mthode du simplexe, optimisation production

Enonc :

Supposons qu'une usine fabrique 2 pices P1 et P2 usines dans deux ateliers A1 et A2.

Les temps d'usinage sont pour P1 de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2.

Le temps de disponibilit hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures.

La marge bnficiaire est de 1'200.- pour une pice P1 et 1'000.- pour une pice P2.

La question est : Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire?

A rsoudre en utilisant la mthode du simplexe.

Solution :

Nous avons donc le "systme canonique" :

1 2

1 2

1 2

1: 3 4 1602 : 6 3 180

, 0

A x xA x x

x x

avec :

1 21'200 1'000Z x x

Nous introduisons d'abord des "variables d'cart" 3 4,x x afin de transformer les 2 ingalits par des galits. Le systme d'quations devient alors une "forme standard" :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4 1606 3 1801'200 1'000

x x axx x bx

x x cx Z

Remarque : il y a autant de variables d'cart que d'inquations !

La situation peut se rsumer dans le tableau suivant (nous omettons la reprsentation des variables d'cart dans le tableau-matrice qui ne servent qu' galiser les quations) :



Contraintes

Total

3 4 160

6 3 180

Fonction conomique 1'200 1'000

Nous dterminons maintenant le pivot (voir plus loin la mthode du pivot), pour cela nous choisissons la colonne o le coefficient conomique est le plus grand. Ici c'est la colonne 1.

Ensuite, nous effectuons les procdures suivantes :

1. Le pivot est remplac par son inverse

2. On divise les lments de la ligne du pivot (pivot exclu) par le pivot

3. On divise les lments de la colonne du pivot (pivot exclu) par le pivot mais on change leur signe ensuite

4. Pour les autres lments de la premire ligne : lment de la ligne 1 diminu de l'lment correspondant sur la ligne de pivot multipli par 3/6 (rapport des valeurs dans la colonne de pivot)

Nous obtenons ds lors :

Contraintes

Total

Fonction conomique

Ce qui donne :



Contraintes

1x Total

0.5 2.5 70

0.166 0.5 30

Fonction conomique -200 400

Nous n'atteignons la solution optimale que lorsque tous les lments de la marge sont ngatifs ou nuls. Il faut donc continuer (car il reste 500 dans la colonne 2x ) ... ici, on atteint dj l'optimum au troisime tableau, mais ce n'est pas une gnralit (le pivot est 2.5 cette fois). On recommence dans les oprations :

Contraintes

1x Total

0.50.166 ( 0.5)2.5

Fonction conomique

400200 ( 0.5)2.5

Ce qui donne :

Contraintes

1x Total

-0.2 0.4 28

0.266 -0.2 16

Fonction conomique -120 -160

Le processus est termin car tous les termes de la fonction conomique sont ngatifs. Le programme optimum est donc de 128x et 216x pour un rsultat de :



EXERCICE 4.

Niveau : Gymnase (Lyce) Auteur : Vincent Isoz ([email protected]) Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation budget

Enonc :

Soit le tableau ci-dessous dans MS Excel :

Auquel correspondent les formules ci-dessous :



Comment rpartir quitablement sur les cellules B12 E12 les 40 000 Francs (valeur saisir dans les contraintes pour la cellule F12) de budget pour optimiser (maximiser) au mieux les bnfices (cellule G16) ?

Solution :

Pour rsoudre cet exercice il suffit de lancer le solveur et d'y saisir :

Afin d'obtenir le rsultat ci-dessous :



EXERCICE 5.

Niveau : Universit (Fac) Auteur : Bertrand Julien Mots-cls : recherche oprationnelle, analyse de charge

Enonc :

Une socit fabrique trois types de pices. Le processus de fabrication pour chaque produit ncessite le passage par trois types de machines. L'ordre de passage par machine est le suivant:

- Machine 1: pour les oprations de dcoupe du mtal

- Machine 2: pour les oprations de roulage

- Machine 3: pour les oprations de soudage

Les trois ateliers sont regroups par technologie et comprennent chacun un seul type de machines. Les capacits nettes respectives de ces trois ateliers sont:

- pour l'atelier de dcoupage: 10'000 heures par mois

- pour l'atelier de roulage: 7'000 heures par mois

- pour l'atelier de soudage: 5'000 heures par mois

Les marges dgages par ces trois produits sont de 0.30.- par pices de type 1 appel P1, 0.40.- par pices P2, 0.20.- par pice P3.

Les temps unitaires de fabrication par produit et par atelier sont exprims en heures et sont donnes ci-dessous par atelier et par type de pice:

Atelier 1 Atelier 2 Atelier 3 P1 0.01 0.005 0.001 P2 0.002 0.01 0 P3 0 0.02 0.1

Pour le mois suivant, les commandes fermes en portefeuille reprsentent une quantit de 500'000 pices P1, 250'000 pices P2 et 50'000 pices P3. Ces quantits sont produire et livre pour le mois.

Le problme consiste trouver la quantit mensuelle optimale fabriquer par produit de faon maximiser la marge globale.

Hypothses:

H1. Le taux de rebut est suppos nul



H2. La main d'uvre n'est pas interchangeable

H3. Il n'existe pas d'encours ni de stock de scurit.

Solution :

D'abord, un calcul simple nous donne en termes de charge:

1: 500 '000 0.01 250 '000 0.02 10 '000 [ ]2 : 500 '000 0.005 250 '000 0.01 50 '000 0.02 6 '000 [ ]3 : 500 '000 0.001 50 '000 0.1 5'500 [ ]

A hA hA h

Nous constatons don que l'atelier 3 serait en surcharge de 500 heures, ce qui ne permettrait pas de raliser la totalit du carnet de commandes du mois sans avoir augmenter la capacit de production de cet atelier.

L'atelier 2 serait en sous-charge de 1'000 heures de travail et l'atelier 1 serait l'quilibre de charge.

Utilisons maintenant MS Excel pour optimiser la marge en connaissant cet tat des faits:

avec les formules suivantes:



avec les paramtres suivantes du solveur:

Nous obtenons alors:



Les rsultats obtenus ne satisfont pas le carnet de commandes. Il reste, en effet, 5'000 P3 livrer pour le mois.

Trois choix au moins sont possible, soit livrer certains clients le mois suivant, soit augmenter la capacit de produit, soit jouer avec les clients privilgis en priorit.



EXERCICE 6.

Niveau : Universit (Fac) Auteur : Bertrand Julien Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation mlanges

Enonc :

Une entreprise sidrurgique a reu commande de cinq tonnes d'acier destin la fabrication de carrosseries automobiles. Les teneurs de cet acier en diffrents lments chimiques doivent se trouver dans les fourchettes suivantes :

Elment chimique Teneur minimaleTeneur

maximale Carbone ( C ) 2% 3% Cuivre ( Cu ) 0.40% 0.60% Manganse ( Mn ) 1.20% 1.65%

Pour fabriquer cet acier, l'entreprise dispose de sept matires premires dont les teneurs, les quantits disponibles et les cours d'achat sont donns dans le tableau suivant :

Matire premire

Teneur en C (%)

Teneur en Cu (%)

Teneuren Mn (%)

Stock disponible (Kg) Cot (.-/Kg)

Ferraille 1 2.5 0 1.3 4000 0.2Ferraille 2 3 0 0.8 3000 0.25Ferraille 3 0 0.3 0 6000 0.15Ferraile 4 0 90 0 5000 0.22Ferraile 5 0 96 4 2000 0.26Ferraille 6 0 0.4 1.2 3000 0.2Ferraille 7 0 0.6 0 2500 0.17

Dterminer les quantits de ferrailles mlanger pour obtenir la commande souhaite par le client au meilleur cot.

Le problme est rsoudre avec MS Office Excel!

Solution :

Pour rsoudre ce problme le plus simple est de construire dans MS Excel une table du type de la page suivante :



Avec les formules suivantes :

Dans D12 : =SOMMEPROD($C$3:$C$9;D3:D9)/$D$13

Dans E12 : =SOMMEPROD($C$3:$C$9;E3:E9)/$D$13

Dans F12 : =SOMMEPROD($C$3:$C$9;F3:F9)/$D$13

Dans H12 : =SOMMEPROD($C$3:$C$9;H3:H9)

Dans D14 : =SOMME(C3:C9)

Ensuite, il faut lancer le solveur avec les paramtres suivants :

Pour obtenir les rsultats :



EXERCICE 7.

Niveau : Universit (Fac) Auteur : Bertrand Julien Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation logistique

Enonc :

Une entreprise dispose d'une usine et de cinq entrepts implants en fonction d'un clientle rgionale distribuer et chacun est considr comme un centre de profit.

Les marges par produit sont diffrentes par rgion.

Pour le produit PA, les marges exprimes par rapport cot de revient du produit sont respectivement de 120%, 130%, 120%, 150% et 140% pour les entrepts E1, E2, E3, E4, E5.

Le cot de revient usine est de 1'000.- par unit de produit PA fabriqu.

Les prvisions des ventes pour la semaine venir sont de:

- 2'500 PA pour l'entrept E1



- 500 PA pour l'entrept E4


Le stock initial en PA est nul dans chaque entrept. Le stock actuel de l'usine est de 7'000 PA. Il n'est pas possible de fabriquer les produits manquant dans le dlai restant, d'ores et dj, une perte prvisionnelle de chiffre d'affaires est constate.

Pour minimiser cette perte et pour maximiser le chiffre d'affaires total, une rpartition optimale des quantits fournir aux diffrents entrepts est rechercher.

A ce jour, le volume disponible dans les diffrents entrepts est de:

- 1'500 [m3] pour l'entrept E1



- 200 [m3] pour l'entrept E4

- 600 [m3] pour l'entrept E1

Le volume d'une units de produit PA est de 0.5 [m3].



Optimisez le problme avec MS Excel et OpenOffice Calc et discuter des diffrences obtenues.

Solution :

D'abord, avec MS Excel nous crons la feuille suivante:

avec les formules suivantes:



On para mtrise le solveur:

avec la liste des contraintes complte suivante:

On lance la recherche et MS Excel trouve:



Ce qui satisfait les contraintes mais pas la demande

La fonction conomique vaut 8'910'000.-

Avec OpenOffice Calc, nous avons la mme feuille mais le solveur sera paramtr ainsi:



avec la liste de toutes les contraintes:

En lanant la recherche nous obtenons:



Nous voyons donc que la fonction conomique la mme valeur mais que la rpartition des livraisons ne se fera pas de la mme manire. Ainsi les deux logiciels donnent une rponse optimale mais pas identique qui joue entre les entrepts E1 et E3 qui ont la mme marge et suffisamment de volume pour stocker tout ce qui doit arriver.

Il est dommage qu'aucun des deux logiciel indique qu'il y ait plusieurs solutions (mme si on pouvait s'en douter la vue de l'nonc).



EXERCICE 8.

Niveau : Universit (Fac) Auteur : Bertrand Julien Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation logistique

Enonc :

Il s'agit de livrer un produit trois clients europens (Client 1, 2 et 3) d'une entreprise qui dispose de deux usines de fabrication (Usine1 et 2). Le transport est assur par un systme logistique qui utilise un rseau de 5 plates-formes (PF1 PF5). Les capacits de transport sur chacun des liens du rseau sont limites aux valeurs donnes dans le graphe suivant :

Les quantits de produit disponibles en stock dans les usines sont respectivement de 35 pour Usine 1 et 25 pour Usine 2. Les demandes des trois clients sont respectivement de 15 pour Client 1 et pour Client 2 et 20 pour Client 3.

Trouver un programme de transport qui satisfasse la demande des clients

Remarque: Il s'agit alors dun problme de flot maximal que nous pouvons modliser en indiquant que la quantit de produit qui transite sur chaque arc doit rester infrieure sa capacit, que les flux sont conservs dans tous les sommets (sauf Source et Puits), et que la somme des flux arrivant au Puits doit tre maximale.




Solution :

La technique consiste crer un tableau de flot du type suivant :

et plus bas un autre tableau du type :

o dans Total reu nous avons les somme des colonnes et dans Total mis la somme des lignes.

La cellule Flot reprsente la somme des puits maximiser.

Le solveur doit alors simplement (mais il fallait y penser) tre configur tel que prsent ci-dessous :



Le solveur exprime ici simplement que :

1. Nous n'avons pas le droit de dpasser les maximaux des capacits des lignes de transport spcifi dans le premier tableau via la contrainte : $C$19:$N$30



EXERCICE 9.

Niveau : Lyce (Gymnase) Auteur : Vincent Isoz Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation bnfice

Enonc :

Un fabricant de montres fait un bnfice de 15.- sur chaque montre d'une gamme 1 et un bnfice de 8.- sur chaque montre de gamme 2.

Pour satisfaire la demande des vendeurs, la production journalire de montres de gamme 1 devrait se situer entre 30 et 80, et la production journalire de montres de gamme 2 entre 10 et 30.

Pour maintenir une bonne qualit, le nombre total de montres ne devrait pas dpasser 80 par jour.

Combien de montres de chaque type faudrait-il fabriquer quotidiennement pour raliser un bnfice maximum?


Remarque: Le problme peut tre rsolu trs intuitivement sans le solveur mais bon pour le plaisir

Solution :

Nous construisons par exemple la feuille suivante:

avec les relations suivantes:



et nous configurons le solveur ainsi:

ce qui nous donne:

et qui est la solution du problme!



EXERCICE 10.

Niveau : Lyce (Gymnase) Auteur : Vincent Isoz Mots-cls : recherche oprationnelle, optimisation bnfice

Enonc :

Une socit importatrice de caf achte des lots de grains de caf en vrac, puis les spare en grains de premier choix, ordinaires et inutilisables.

La socit a besoin d'au moins 280 tonnes de grains de premier choix et 200 tonnes de grains ordinaires.

Elle peut acheter des grains non tris volont chez deux fournisseurs qui contiennent les pourcentages suivants de grains de premier choix, ordinaires et inutilisables:

Fournisseur 1er choix Ordinaire InutilisableA 20% 50% 30% B 40% 20% 40%

Chez le fournisseur A le cot la tonne est de 125.- et chez le fournisseur B de 200.-.

Trouvez la combinaison optimale permettant de satisfaire les besoins tout en investissant un minimum d'argent.

Solution :

Nous crons la feuille suivante:



Avec les relations suivantes:

et nous configurons le solveur ainsi:

ce qui nous donne:




EXERCICE 11.

Niveau : Lyce (Gymnase) Auteur : Vincent Isoz Mots-cls : recherche oprationnelle, investissement matriel

Enonc :

Une entreprise dsire acqurir des fraiseuses manuelles (FM) et automatises (FA) pour sa production.

L'entreprise ne peut dpenser plus de 200'000.- pour les machines et pas plus de 1'000.- par mois la maintenance.

Les fraiseuses manuelles cotent 20'000.-/pice et en moyenne 200.- par mois pour la maintenance.

Les fraiseuses automatises cotent 40'000.-/pice et en moyenne 150.- par mois pour la maintenance.

Sachant que chaque fraiseuse manuelle peut produire 15 units et chaque automatise 25, trouver le nombre de chacune acheter pour maximiser la capacit de production.

MS Excel ne pouvant rsoudre ce problme, nous utiliserons OpenOffice.org.

Solution :

Nous crons la feuille suivante:



avec les relations:



et nous configurons le solveur de OpenOffice.org Calc de la manire suivante:

ce qui nous donne:


applications excel avec correction

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