application des lois de probabilité-variable aléatoire continue-loi normale.ppt
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11
Application des lois de probabilitéApplication des lois de probabilité-Variable aléatoire continue--Variable aléatoire continue-
Loi NormaleLoi Normale
Faculté de Médecine d’OranFaculté de Médecine d’OranLaboratoire de BiostatistiqueLaboratoire de Biostatistique
BOUKERMA AMEUR
22
Une v. a. c Une v. a. c XX pouvant prendre pouvant prendre toutes les valeurs réelles toutes les valeurs réelles xx dans dans l’intervalle de - l’intervalle de - à + à +, pour , pour μμ , pour , pour σσ ++ dont la fonction dont la fonction de densité est :de densité est :
x 2
1 f(x)
2 -x
2
1
e
La loi normale de Laplace – Gauss:N(μμ; ; σσ )
33
Soit Soit XX une variable aléatoire distribuée selon une loi une variable aléatoire distribuée selon une loi normale, et f(x) la fonction de densité (de probabilité) de normale, et f(x) la fonction de densité (de probabilité) de XX, , alors:alors:Conditions de densité de probabilitéConditions de densité de probabilité
x 2
1 f(x)
2 -x
2
1
e
44
La loi normale repose sur l'estimation de deux paramètres de la population statistique:
• la moyenne μ • l'écart - type σ La courbe (appelée "fonction de densité de probabilité") a la formule suivante:
2
2
σ2
)μ(
e π2σ
1 )(
x
xf
E(X) = E(X) = La moyenne arithmétique de X V(X) = V(X) = 22 = = S2 Variance de X σ = s Écart – type de X e = 2,72 Π = 3,14
Notation: X: Notation: X: N→ (→ (, , ) )
55
La représentation graphiqueLa représentation graphique
xx
ff((xx))
X
f(X)
X
f(X)
MoyenneMoyenne MédianeMédiane ModeMode
66
Forme de la distribution Forme de la distribution normalenormale
Il existe une famille entière de lois normales. Elles se différencient par leur moyenne et leur variance
Courbe en cloche Courbe symétrique La moyenne, le mode et la médiane correspondent au
même point (le point le plus élevé) L’écart type détermine la largeur de la courbe, plus il est
grand, plus la courbe sera large et aplatie L’aire totale sous la courbe est 1 Aussi appelée loi Gaussienne ou loi de Gauss
Résumé:
1-Symétrique 2-Médiane = moyenne = mode 3-Unimodale4-Étendue infinie de la variable aléatoire5-En forme de cloche
77
La loi normale centrée réduite: N(0;1) On dit que la variable X, suit une loi normale (ou loi On dit que la
variable X, suit une loi normale (ou loi de Laplace Gauss de moyenne μ et d’écart type σ. On résume cette loi par la notion N(μ ,
σ)
En pratique, on procède à un changement de cette variable (on dit qu’on norme la variable). Pour cela, on pratique le changement de X par t tel que:
La nouvelle variable t est dite variable Centrée, réduite, de moyenne t = 0 et sa variance σ=1. Elle est notée N (0,1).
T= x – μ σ
88
Transformation d’une loi normale quelconque en loi N(0;1)
• Soit X une v. a. continue suivant une loinormale de moyenne µ et d’écart- type σ
• Si on applique le changement de variable
la variable t suit une loi normale centrée réduite
99
La loi normale centrée réduiteLa loi normale centrée réduite
Une v. a. c. qui a une distribution de probabilité normale de Une v. a. c. qui a une distribution de probabilité normale de moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi moyenne 0 et écart type 1, suit ce qu’on appelle une loi normale centrée réduite. normale centrée réduite.
Cette variable est souvent dénotée par la lettre TCette variable est souvent dénotée par la lettre T On peut convertir une v. a. c. X qui suit une loi normale de On peut convertir une v. a. c. X qui suit une loi normale de
moyenne moyenne μμ et écart type et écart type σσ en une variable normale centrée en une variable normale centrée
réduite réduite ttT= x – μ
σ
1010
68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale 68,26% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle
[[μμ - - σσ; ; μμ + + σσ]]
95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale 95,44% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle
[[μμ -2 -2 σσ; ; μμ +2 +2 σσ]]
99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale 99,72% des valeurs d’une variable aléatoire normale sont comprises dans l’intervalle sont comprises dans l’intervalle
[[μμ -3 -3 σσ; ; μμ +3 +3 σσ]]
1111
Étant donné une valeur t, nous utilisons la Étant donné une valeur t, nous utilisons la table normale centrée réduite pour table normale centrée réduite pour trouver la probabilité (l’aire sous la trouver la probabilité (l’aire sous la courbe) qui lui est associée.courbe) qui lui est associée.
1212
Distribution normale centrale Distribution normale centrale réduite-Utilisation de la tableréduite-Utilisation de la table
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
.03
.8
Dans cette table on voit l’aire entre t=0 et t: P(0≤T≤t) = P(-t≤T≤0)
.2967
1313
Distribution normale centrée réduiteDistribution normale centrée réduite
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
.03
.8 .2967
Dans cette table on voit l’aire entre t=0 et t: P(0≤T≤t) = P(-t≤T≤0)On a donc: P(T≤t)=0,5+ P(0≤T≤t) P(T ≥-t)=0,5+ P(-t ≤ T ≤0)
1414
Aire limitée par la courbe de la loi normale centrée réduite, l’axe des ordonnées et la droite d’équation T = G(t) =
t0, 00 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05
00,0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
.
.2,0
0,00000,03980,08320,11790,15540,19150,22570,25800,28810,31590,3413
.
.0,4772
0,00400,04380,08320,12170,15910,19500,22910,26110,29100,3186
0,00800,04780,08710,12550,16280,19850,23240,26420,29390,3212
0,01200,05170,09100,12930,16640,20190,23570,26730,29670,3238
0,01600,05570,09480,13310,17000,20540,23890,27040,29950,3264
0,01990,05960,09870,13680,17360,20880,24220,27340,30230,3289
Exemple : G (0,92) = 0, 3212. La valeur 0, 3212 est l’intersection de 0,9( lue dans la première colonne) et 0,02(lue dans la dixième ligne).0,92 = 0,9 + 0, 02.
avec g(t) = (1/ 2) . e (-1/2) t²
t
dttg0
)(
1515
Exemple 1 :
Si x suit une loi Normale N(μ;σ) de paramètre N(3.2;2.2) alors t=(x- μ)/ σ suit une une Loi Normale centrée N(0;1)
calculer la probabilité P(x ≤ 5 )?
• P(x ≤ 5) = p(t ≤ (5- 3;2)/ 2;2)=0;81818=0;82
• P(t ≤ 0;82) = 0;5 + G(0;82)
• La valeur G( 0;82) peut être lue dans la table
• G(0;82) = 0;2939 -> P(t ≤ 0;82) = 0;5+ 0;2939 = 0;7939
P(t ≤ 0;82) = 0;7939
1616
Exemple 2:Soit X une variable suivant une loi normale N (μ = 1,σ =3)♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.
Réponse:Avant de chercher la probabilité demandée, il faut transformer la
variable X en variable centrée et réduite:
T1= x1- μ/ σ =-2 -1/3=-1 T2= x2- μ/ σ =7- 1/3= 2
)3
17
3
12()72(
tPxP
P(-2 ≤ x ≤ 7) = P (-1 ≤ t ≤ 2) = G(1) +G(2)
= 0;3413 +0;4772 = 0;8185
1717
1.C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de 1.C’est la loi de probabilité la plus importante, pour des raisons de pratique, et pour des raisons théoriques.pratique, et pour des raisons théoriques.2.C’est la loi qui décrit les fluctuations des moyennes.2.C’est la loi qui décrit les fluctuations des moyennes.
3.Densité de probabilité : 3.Densité de probabilité : définie de définie de à + à +
4.La v. a. 4.La v. a. est centrée et réduite est centrée et réduite
Toute loi normale de paramètres Toute loi normale de paramètres et et peut être ainsi transformée peut être ainsi transformée en loi normale centrée réduite.en loi normale centrée réduite.
La loi normale de Laplace - Gauss
2
2
σ2
)μ(
e π2σ
1 )(
x
xf
2
2
σ2
)μ(
e π2σ
1 )(
x
xf
σμ X Z