application de la méthode de monté carlo dans le calcul des coefficients
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Application de la méthode de monté carlo dans le calcul des coefficientsTRANSCRIPT
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2007ق متخرج من جامعة المذٌة سنة
: للتىاصل وطلب المذكرات
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0771087969: هاتف
....دعىة صالحة بظهر الغٍب
1
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE M INISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE A BOUBAKR BELKAID DE T LEMCEN FACULTE DES SCIENCES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE L ABORATOIRE DE PHYSIQUE T HEORIQUE
M E MO I R E
Présenté pour obtenir le diplôme de
Magister en Physique des plasmas
Et des gaz ionisés
Par
M r ARDJANI Benamar
T H E M E
Application de la Méthode de Monté Carlo dans le Calcul des Coefficients
de Transport d’un Gaz Faiblement Ionisé
Soutenu en septembre 2006 devant le jury :
Président Mr. T. BENOUAZ...........................professeur Directeur de thèse Mr. B.LIANI ....................................professeur Examinateur Mr. M.INAL ....................................professeur Examinateur Mr. M.LEMRINI.............................Maître de Conférences Examinateur Mr. Z. BEN TALHA .......................Chargé de cours
2
RemerciementsRemerciementsRemerciementsRemerciements
Ce travail a été réalisé au laboratoire de Physique Théorique de la faculté des
sciences de l’Université Abou Bakr Belkaïd de Tlemcen, sous la direction du
professeur B. LIANI. Je tiens à leur exprimer mes sincères remerciements ainsi
que ma profonde gratitude pour leurs suivis constants et leurs précieux conseils
qui m’ont permis de mener à bien ce travail.
Je remercie vivement monsieur le Professeur T.BENOUAZ, pour avoir bien
voulu accepter de présider le jury de ce travail.
Mes sincères remerciements vont également à Messieurs M.INAL professeur
à l’Université de Tlemcen et M.LEMRINI maître de conférence à l’Université
de Tlemcen et Z.BEN TALHA chargé de cours à l’Université de Tlemcen pour
avoir accepter d’examiner ce travail.
Je voudrais aussi présenter mes remerciements à tous les membres du
laboratoire et tous les amis.
3
Table des matières
================================================================ Introduction……................................................................................................ 1
CHAPITRE 1 : PHENOMENES DANS LES PLASMAS
1. Généralités sur les plasmas ...................................................................... 3
2. Plasmas thermiques - Plasmas hors d'équilibre……………............... 5
3. Décharge électrique dans les gaz............................................................. 5
3.1. Décharge non autonome................................................................. 6
3.2. Zone de collection avec multiplication......................................... 7
3.3. Décharge de Townsend.................................................................. 7
3.4. Décharge luminescente................................................................... 8
3.5. Décharge à haute pression (décharge d’arc)................................ 8
4. Processus de collisions………….............................................................. 8
4.1. Collision élastique............................................................................ 9
4.2. Les interactions inélastiques....................................................... 12
4.2.1. Excitation................................................................................ 12
4.2.2. Ionisation................................................................................ 13
4.2.3. Attachement d’électron (formation d’ion négative)......... 15
CHAPITRE 2 : THEORIE CINETIQUE ET PHENOMENES DE
TRANSPORT
1. Introduction à la théorie......................................................................... 17
1.1. Le gaz classique dilué.................................................................... 17
1.2. Fonction de distribution à une particule.................................... 18
1.3. Equations cinétiques..................................................................... 19
1.4. L’équation de Boltzmann............................................................. 20
1.5. Dérivation des équations de fluide.............................................. 21
2. Phénomènes de transport....................................................................... 22
2.1. vitesse de dérive............................................................................ 22
2.2. Multiplication................................................................................. 23
2.3. Coefficient de Townsend (α)........................................................ 23
2.4. Soutenu Individuellement par l'émission secondaire.............. 24
2.5. Diffusion des particules chargées............................................... 24
3. Les expériences utilisées pour la détermination des paramètres de transport................................................................................................... 25
4
3.1. Les expériences de type Townsend en régime stationnaire..................................................................................... 25
3.2. Les expériences de type Townsend en régime impulsionnel................................................................................... 26
3.3. Les expériences de type Temps de vol........................................ 26
CHAPITRE 3 : MOUVEMENT D UN ELECTRON DANS UN
CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
1. Introduction............................................................................................. 29
2. Cas d’un champ magnétique uniforme (B = 0)................................... 30
3. Cas d’un champ magnétique transversal (B ┴ E) ….......................... 31
4. Cas d’un champ magnétique longitudinal........................................... 33
CHAPITRE 4 : LA METHODE DE SIMULATION
1. Introduction.............................................................................................. 35
2. Principe de la méthode............................................................................ 36
3. Simulation de l’histoire de l’électron par la méthode de Monte Carlo........................................................................................................... 37
3.1. Calcul du temps vol libre.............................................................. 37
3.2. Les équations de mouvement...................................................... 37
3.3. Traitement des collisions.............................................................. 39
3.3.1. Les collisions élastiques électron-molécule (e-M)............ 40
3.3.2. Les interactions inélastiques électron-molécule (e-M).... 42
3.3.3. L’interaction électron- électron (e-M)............................... 43
3.4. Calcul des paramètres de transport............................................ 43
3.4.1. La vitesse de dérive............................................................... 43
3.4.2. Coefficient de diffusion transversal.................................... 44
3.4.3. Coefficient de diffusion longitudinal.................................. 45
3.4.4. Coefficient d’ionisation......................................................... 46
3.4.5. Coefficient d’attachement..................................................... 46 3.5. La méthode de Monte Carlo et l'équation linéaire de
Boltzmann....................................................................................... 47 L’organigramme de Monte Carlo................................................................... 48
CHAPITRE 5 : RESULTATS ET DISCUSSIONS
1. Vitesse de dérive………........................................................................... 51
2. Fréquence d’ionisation…………............................................................ 53
3. Fréquence d’attachement........................................................................ 55
4. Coefficient d’ionisation........................................................................... 55
5. Coefficient de diffusion transversal....................................................... 57
6. Coefficient de diffusion longitudinal .................................................... 58
5
7. Fonction de distribution d’énergie d’électron (eedf).......................... 60
Conclusion Générale........................................................................................ 63
Références ================================================================
6
Introduction
Le but de cette étude est de calculer les paramètres de transport des électrons
soumis à l’action simultanée d’un champ électrique et un champ magnétique
uniformes dans un gaz faiblement ionisé. Il existe beaucoup de travaux consacrés à
l’étude de l’influence de champ électrique sur la décharge, par contre il y a moins de
travaux lorsqu’il y a un champ électrique et un champ magnétique. Les calcules qu’on
a fait dans ce travail permettent de mieux comprendre le comportement des électrons
dans une décharge dans un champ électromagnétique.
La connaissances détaillée des paramètres de transport des électrons dans les gaz
sont nécessaires puisque les domaines d’application des décharges sont nombreux on
peut citer l’isolation gazeuse, déposition en phase vapeur de plasma, les laser à gaz, le
traitement de surface par plasmas. Typiquement, les paramètres de transport des
électrons sont utilisés dans les simulations de fluide de plasma pour déterminer
l’évolution temporelle des densités pour les radicaux, et les particules chargés ; en
particulier, on a besoin de résoudre l’équation de continuité pour les électrons ce qui
inclut la dérive, la diffusion, et les processus de multiplication d'électron.
En outre les coefficients de transport et les propriétés microscopiques des gaz sont
actuellement sujets d'intérêt progressif aux travaux appliqués de recherches dans le
domaine de l'isolation à haute tension. Bien que ceux-ci prouvent pour des buts
pratiques, qu’une description plus précise et plus générale est nécessaire dans le
contexte des nouveaux isolateurs gazeux. Une telle description est basée sur les
propriétés matérielles microphysiques et les sections efficaces de collision. Son
avantage primaire doit fournir une base pour la prévision qualitative des propriétés
d'isolation des gaz et du mélange gazeux.
Les paramètres de transport peuvent être calculé par deux méthodes, la première
méthode est celle qui est basée sur la résolution de l’équation de Boltzmann, dans
cette méthode les paramètres de transport sont déterminés une fois connue la
fonction de distribution. La deuxième méthode est la méthode de Monte Carlo. La
Méthode de Monte Carlo deviennent progressivement importante comme outil de
7
simulation en particulier dans le physique des plasmas froids, elle est plus facile à
développer dans le régime hydrodynamique comme le régime non hydrodynamique.
La méthode de Monte Carlo permet de suivre les électrons l’un après l’autre le
long de leur déplacement dans le gaz depuis leurs émissions jusqu’à leurs
disparitions. A tout instant et en tout point de la décharge. Grâce à la méthode de
Monte Carlo on peut déterminer la trajectoire et la vitesse de chaque électron.
Ce mémoire est divisé en cinq parties, dans la première sont présentées des
généralités sur les plasmas et les décharges électriques. Aussi on décrit dans cette
partie les processus collisionnels dont le plasma est le siège. Dans le chapitre 2, on
donne brièvement quelques éléments essentiels de la théorie cinétique et on établit
aussi des relations entre l’équation de Boltzmann et les paramètres de transport.
La description des mouvements des électrons dans un champ électromagnétique a
fait l’objet du chapitre 3. La méthode de simulation utilisée est donnée avec détails
dans le chapitre 4. Enfin les résultats obtenus sont exposés et discutés dans le dernier
chapitre.
8
CHAPITRE 1 :
================================================================
1. Généralités sur les plasmas :
C’est en 1923 que les physiciens Langmuir et Tonks [1] ont introduit la première
fois le terme plasma pour désigné le gaz ionisé contenu dans un tube de décharge. La
physique des plasmas, science du 20e siècle est née de l’étude des décharges dans les
gaz. Depuis 1920 cette discipline s’est considérablement développée en raison de son
intérêt (milieux naturels, applications industrielles), intégrant l’essentiel des
connaissances de la physique moderne. Dans la nature, le plasma constitue le
quatrième état de la matière et fait suite, dans l’ordre croissant des températures, aux
états solides, liquides et gazeux. La phase plasma correspond, à l’équilibre
thermodynamique, à l’ionisation totale d’un gaz par collision entre les particules
neutres. Cette situation ne peut être atteinte, dans ces conditions, qu’à très haute
température (supérieur à 50000 K) afin que l’énergie d’agitation thermique soit du
même ordre que le seuil d’ionisation des neutres.
En toute rigueur, l’appellation plasma devrait être réservée aux gaz complètement
ionisés et globalement neutres, les particules chargées (ions, électrons) en interaction
générant des champs locaux de charge d’espace qui peuvent être à l’origine
d’oscillations d’ensembles comparables à celles d’une gélatine. Par extension, on a
pris l’habitude d’appeler plasma tous les gaz ionisés. Cela conduit à une grande
diversité de situations physiques, puisqu’un grand nombre de plasmas de laboratoire
sont hors équilibre thermodynamique, l’ionisation résultant des collisions entre
PHENOMENES DANS LES PLASMAS
9
électrons et neutres (les électrons, accélérés par un champ électrique extérieur, ont
alors une température élevée par rapport à celle des neutres).
Devant cette difficulté de classification, on caractérise les plasmas à partir de leur
degré d’ionisation, leur densité et leur température électronique. Cette première
approche permet de constater que la physique des plasmas couvre un domaine de
densité électronique allant de 106 m-3 (espace interstellaire) à 1030 m-3 (plasmas dans
les métaux, étoiles) pour des températures comprises entre 102 °K (espace
interstellaire) et 108 °K intérieur des étoiles, plasmas de fusion). La physique des
plasmas tient donc une place importante dans l’étude des milieux naturels
(astrophysique) et des gaz ionisés produits en laboratoire.
Bien que l’on admette actuellement que 99 % de l’Univers est constitué de matière
à l’état plasma, cette discipline est encore trop peu enseigné. La raison en est son
doute la complexité de cette matière de synthèse qui fait pratiquement appel à tous
les domaines physiques (mécanique statistique, mécanique quantique, théorie des
collisions, physique atomique et moléculaire, physique nucléaire, théorie cinétique,
équations de transport, thermodynamique, ondes, rayonnement, spectroscopie,
électricité, cinétique chimique, équations couplés non linéaires, …). L’intérêt présenté
par cette science a suscité de nombreux travaux théoriques et expérimentaux qui ont
permis d’approfondir notre connaissance sur un plan à la fois fondamental et
appliqué.
Ces efforts ont eu pour effet l’introduction progressive de ces techniques dans
l’industrie où on distingue trois familles de plasmas :
– les plasmas froids, où les ions et les neutres restent à des températures
inférieurs à 1000 °K, alors que les électrons sont à des températures élevées
(applications au traitement de surface, à l’élaboration des matériaux nouveaux, à
la dépollution, à la génération d’ozone, à la chimie assistée par plasma, …),
– les plasmas thermiques, caractérisés par des températures de fonctionnement
supérieurs à 3000 °K (utilisations des décharges d’arc pour la soudure, la
découpe, la projection de matière, la dépollution, …),
– les plasmas chauds, correspondants à des températures supérieurs à 106 °K
(l’objectif étant de produire de l’énergie électrique à partir de la fusion contrôlée).
10
L’ensemble de ces applications fait apparaître le caractère pluridisciplinaire de ce
domaine de la physique, puisque les caractères d’un plasma confiné dans un réacteur
dépendent de nombreux paramètres, et en particulier :
– du gaz : nature, concentration (dans le cas de mélange), pression (10-4 Torr à la
pression atmosphérique), débit, température,
– de la géométrie : forme de réacteur, nature des parois (isolantes,
conductrices), lois d’écoulement, électrodes (emplacement, écartement, forme,
nombre, …),
– de l’alimentation électrique : tension continue, alternative (fréquence, forme
du signal, temps d’application, …), régime de fonctionnement de la décharge,
nature du couplage au plasma (direct, capacitif, inductif, …).
Cependant il ne faut pas oublier que ces développements sont aussi conditionnés par
une meilleure compréhension des phénomènes afin de contrôler les rendements de
conversion et les consommations énergétiques.
2. Plasmas thermiques - Plasmas hors d'équilibre :
Les plasmas thermiques sont en générale en équilibre thermodynamique complet
ou local. Toutes les espèces constituant ces plasmas sont caractérisées par une
température unique, autrement dit l’énergie cinétique est bien répartie entre toutes
ces particules. L’état d’équilibre thermodynamique est vérifié lorsque le nombre de
collisions est assez important et aussi lorsque chaque processus qui se produit dans le
plasma est équilibré par son processus inverse. Les plasmas thermiques sont donc
produits dans des hautes températures de l’ordre de quelques milliers de kelvin.
Lors d’une décharge électrique, la température des électrons peut rester très
supérieure à celle des particules lourdes. En effet, a cause de leur mobilité les
électrons sont très accélérés dans les champ électrique, leur température monte
rapidement. Ces électrons chauds ne cèdent qu’une faible partie de leur énergie
cinétique aux particules lourdes, à cause des collisions qui sont rares. Et le milieu
reste alors dans un état hors d’équilibre. Ces plasmas sont appelés plasmas réactifs.
3. Décharge électrique dans les gaz:
On sait que les gaz sont généralement des bons isolants néanmoins, sous
certaines conditions, il est possible de les faire traverser par un courant de particules
11
chargées, on dit alors que le gaz est le siège d’une décharge. Puisque l’arc électrique
peut être défini (de manière volontairement imprécise) comme une décharge à fort
courant, il est possible de crée un arc entre deux électrodes en amorçant une
décharge à courant faible et en le faisant croître progressivement. Cela est
théoriquement possible en utilisant le montage représenté sur la figure 2. En
définissant rapidement chaque type de décharge, on montrera qu’il existe une
continuité des phénomènes qui permet de passer des décharges non autonomes aux
décharges d’arcs [2].
Figure 1 : Circuit d’alimentation d’un tube à décharge en courant continu.
3.1. Décharge non autonome :
On considère le montage expérimental dans la figure 1. On applique une tension
entre les électrodes aucun courant se passe. Par un procédé thermique direct ou
indirect ou par un rayonnement ultraviolet, on provoque une émission
thermoélectronique ou photoélectrique à la cathode, les électrons sont émis et
forment une charge d’espace prés de la cathode. Si l’on augmente le potentiel V, on
collecte de plus en plus les électrons (partie A de la figure 2) jusqu’à ce qu’il y aura
une saturation (partie B de la figure 2). Le caractère essentiel de cette décharge est
qu’elle n’est pas auto-entretenue et que le courant cesse dés que l’on arrête la
production d’électrons par un processus extérieur.
12
Figure 2 : Régimes de décharge en courant continu.
3.2. Zone de collection avec multiplication :
Lorsqu’on continue à faire croître la tension, un nouveau phénomène apparaît.
Les électrons accélérés dans le champ interélectrodes acquièrent une énergie
suffisante pour ioniser les atomes ou les molécules du gaz. Ils créent ainsi de
nouveaux électrons qui sont aussi accélérés et peuvent ioniser d’autre atomes ou
molécules. C’est une avalanche qui entraîne une augmentation extrêmement rapide
de courant (partie C de la figure 2), il peut atteindre la valeur de 1A si la pression est
suffisante.
Le courant électrique n’est plus conditionné par l’existence d’un agent ionisant
extérieure et n’est limité que par les résistances internes de la source, on passe ainsi
en régime de la décharge de Townsend (partie D de la figure 2), qui est une décharge
autonome ou auto-entretenue.
3.3. Décharge de Townsend :
Comme on peut le voire sur la figure 2, cette décharge est caractérisé par une
résistance interne dynamique 0dV
dI= . Quelque soit la force électromotrice de la
source la différence de potentiel aux bornes de la décharge est fixe et constant. Elle
13
est appelée tension d’amorçage statistique Vs . La courbe de la figure 2 ne peut être
décrite que si en fait varier le courant I.
3.4. Décharge luminescente :
Lorsque le courant de la décharge augmente la tension commence de décroître,
cette partie constitue une zone de transition entre la décharge de Townsend et la
décharge luminescente. Dans cette zone on a 0<dI
dV.
La décharge luminescente est dite normale lorsque 0=dI
dV, et anormale
lorsque 0>dI
dV. La décharge luminescente normale se caractérise par l’apparition de
plusieurs zones luminescentes diffusées et par une différence de potentiel constante
entre les électrodes.
3.5. Décharge à haute pression (décharge d’arc) :
L’augmentation du courant de la décharge s’accompagne d’une augmentation
d’une part de la densité du courant j et d’autre part de la gaine cathodique, les ions
perdent leurs énergies par collision et ils en fournissent d’avantage à la cathode dont
la température s’élève localement. L’émission thermoïonique de la cathode s’effectue
à partie d’une région très localisée, appelée spot cathodique. Lorsque cette émission
devienne stable la partie de la courbe V=f (I) devienne négative. On est donc en
régime d’arc.
La différence essentielle entre la décharge d’arc et la décharge luminescente se
situe au niveau de l’émission cathodique, l’apparition de l’arc est conditionnée par
celles des phénomènes thermiques. Lorsque l’émission de courant devient très
intense, la température s’élève localement, et contrairement au cas de la décharge
luminescente (où la totalité de la cathode est émissive), l’émission s’effectue ici à
partir du spot cathodique.
4. Processus de collisions :
Dans cette section, on va voir les interactions que peuvent subir des électrons émis
vers un gaz. Il est cependant important de noter qu’en fonction de la zone qui nous
intéresse dans la décharge, et surtout suivant l’objectif de l’étude, on ne va pas à tenir
compte de tous les processus impliquant les électrons.
14
De loin la rencontre la plus commune en gaz est entre les paires de particules
(collisions binaires). Quand les particules agissent l'un sur l'autre (se heurte) le
moment et l’énergie doivent être conservées. Il y a trois classes claires d'événement :
1. Collision élastique : la quantité de mouvement est redistribuée entre les
particules et l'énergie cinétique total reste inchangé, et aussi par conséquent
son énergie interne, par exemple
lentmoinsrapidemoinslentrapide AeAe +→+ −−
2. Collision inélastique : la quantité de mouvement est redistribuée entre les
particules mais une fraction d'énergie cinétique initiale est transférée à
l'énergie interne dans un ou plusieurs particules (c.-à-d. des états ou des ions
excités sont formés), par exemple
−+−
−−
++→
+→+
eAe
AeAe
lentplus
lentplusrapide*
Contrairement à des collisions élastiques, les collisions inélastiques nécessitent un
seuil ou un minimum d’énergie
Le tableau 1 montre les interactions que l’électron peut subir avec les molécules (ou
les atomes) du gaz.
Tableau 1: Réactions de phase gazeuse impliquant des électrons.
Réactions Description Evidence e-+ A →A+e- dispersion élastique électrons thermiques e-+ A →A+ +e-
+e- ionisation conductivité
e-+ A →A* +e- excitation
e-+ A* →e- +A+hv désexcitation émission légère
e-+ A* →A+ +e-
+e- ionisation en deux étapes efficacité d'ionisation e- +AB→A+B+e- fragmentation analyse résiduelle de gaz A+ +e-+B+e- ionisation dissociative A- +B attachement dissociative e-+A+ +B→A+B recombinaison de volume plasma faible et en équilibre
4.1. Collision élastique :
Dans une collision élastique les électrons de masse m ne peuvent pas cédé
beaucoup d'énergie à des particules plus lourdes de masse M, au mieux une fraction
2m/M néanmoins, cette énergie dépend de l’angle de déviation. Les vitesses peuvent
changer en module ou en direction.
15
lentmoinsrapidemoinslentrapide AeAe +→+ −−
Ici une approche plus simple 'd'ordre zéro' est présentée pour expliquer des
dispositifs plus généraux. Considérant un électron se déplaçant à travers un certain
nombre d'atomes stationnaires d'argon; voir la figure 3.
Figure 3. Calcul de libre parcours moyen.
Seulement la rencontre élastique simple sera traitée ici ainsi les atomes cible
apparaissent pendant qu'on suppose que les sphères dures et l'électron se comporte
comme masses ponctuelles; les effets résultants de sa charge ne sont pas inclus. La
question à adresser est à partir de quelle distance l'électron peut entrer en collision
avec l’atome.
Le nombre d'atomes cible dans le cube xyz est ng xyz. Chaque atome présente
une section efficace, σπ =2Arr on cachant le chemin d'électron. Vu par la face xy la
surface totale bloquée par les atomes sera ng xyz σ. Quand le cube se prolonge jusque
un libre parcours moyen (λ), pratiquement la face entier xy sera cacher ainsi
( )σ
λσλg
g nxyxyn
1=⇒=
La section efficace de collision élastique sera
λ
σg
el n
1= (1.1)
On peut définir la fréquence de collision en fonction de la vitesse moyenne υ
16
λυ=v (1.2)
Soit
συ gnv = (1.3)
Dans la pratique les sections efficaces ne sont pas réellement indépendantes de
l'énergie, même pour les collisions élastiques.
Dans le cas de la dispersion isotrope (artificielle), la fréquence de collision
élastique devrait être calculée en utilisant la section efficace de transfert de quantité
de mouvement au lieu de la section efficace élastique total; ces deux étant donnés,
respectivement, par [3]
( ) ( )( )
( ) ( ) θθεθσπεσ
θθθεθσπεσ
π
π
∫
∫
=
−=
0
0
sin,2
sincos1,2
d
d
et
tm
(1.4)
Où ( )εθσ , est la section efficace différentielle. En fait, de cette façon on assortit le
taux net de transfert de quantité de mouvement entre les électrons et les neutres.
La figure 4 illustre ces dispositifs pour l'argon, montrant également les sections
efficaces inélastiques. La section efficace de sphère dure simple est environ 3×10-20
m2.
Figure 4. Sections efficaces pour l'argon (schéma approximatif).
17
4.2. Les interactions inélastiques :
4.2.1. Excitation :
Lorsqu’un atome (ou une molécule) a absorbé suffisamment d’énergie pour qu’un
de ces électrons (en général, le plus éloigné du noyau) passe à niveau d’énergie
supérieur, on dit que cet atome (ou cette molécule) est excité : son énergie interne a
été accrue de la différence d’énergie, ∆U=eV*
Les molécules (ou les atomes) d’un gaz peuvent être excité par différents
interactions, on va citer par exemple
• La température peut exciter les molécules (ou les atomes) du gaz, mais
avec des valeurs assez élevés, ce qui n’a pas d’importance dans notre
simulation puisqu’on va traiter des plasmas atmosphériques dans des
températures ambiantes.
• On peut aussi exciter une molécule (ou une atome) par l’absorption d’un
photon (ce n’est pas notre cas).
*AhvA →+
• Les électrons qui arrivent avec des énergies cinétique supérieurs à l’énergie
du seuil d’excitation (E ≥ eV*) peuvent exciter les atomes (ou les
molécules) du gaz diffuseur (ce qui est notre cas).
*AeAe lentplusrapide +→+ −−
Le tableau 2 montre des énergies du seuil d’excitation pour quelques gaz.
De la même manière on peut écrire la section efficace d'une collision excitante sous la
forme suivante :
( ) ( )ελεσ
excgexc n
1= (1.5)
ng : la densité de nombre des atomes d'un gaz
λexc : le libre parcours moyen d'excitation c'est-à-dire la distance en moyen pour
qu’un électron participe à une collision excitante.
La quantité σexc décrit commodément la probabilité des collisions excitantes, étant
zéro au-dessous de l'énergie du seuil d’excitation (figure 4 et tableau 2).
18
Tableau 2 : Les énergies d’excitation (V*) pour différentes atomes et molécules.
Gaz V* (eV)
H2 7.0
N2 6.3
O2 7.9 Ar 11.7 He 21.2 CO2 3.0 NO 5.4
H2O 7.6
4.2.2. Ionisation :
Lorsqu’un atome (ou une molécule) a absorbé suffisamment d’énergie pour qu’un
de ces électrons s’échappe à l’infinie, on dit que cet atome (ou cette molécule) a été
ionisé, son énergie interne s’est accrue de l’énergie d’ionisation
∆U = eVi
Naturellement Vi > V*.
Dans ce qui suit on va citer des cas dans lesquelles on peut voir un événement
d’ionisation :
• Le gaz chaud s'ionisera (efficacement par l'énergie cinétique du
mouvement aléatoire des particules). Puisque 1 eV est équivalent à une
température cinétique de 11 000 K, on ne s'attendrait pas beaucoup
d'ionisation thermique au-dessous de quelque mille Kelvin. C'est le régime
des arcs à haute pression et à l’équilibre thermique,
( ) ( ) −±+± ++→+ eBABA
• La photoionisation est toujours associée au rayonnement UV profond, sauf
dans le cas des interactions entre les photons et les neutres toujours excités
(provisoires) dans les états les plus élevés.
−+
−+
+→+
+→+
eAhvA
eAhvA*
• Les états excités de long vit (métastables) peuvent être des sources
importantes d'ionisation parmi les espèces où l'énergie d'ionisation des
espèces A est moins que l'énergie d'excitation des espèces B.
−+ ++→+ eBABA *
19
• Le procédé principal d'ionisation résulte des impacts d'énergie élevée entre
les électrons et les atomes. Ainsi, un électron avec l'énergie cinétique plus
grand que eVi pour des espèces particulières peut ioniser ces espèces,
−−+− ++→+ lentlentrapide eeAAe
Dans notre simulation on va adopter seulement le 4ième phénomène.
On peut écrire la section efficace d'une collision ionisante sous la forme suivante :
( ) ( )ελεσ
igi n
1= (1.6)
ng : la densité de nombre des atomes d'un gaz
λi(ε) : le libre parcours moyen d'ionisation c'est-à-dire la distance en moyen pour
qu’un électron participe à une collision ionisante.
La quantité σi(ε) décrit commodément la probabilité des collisions ionisante, étant
zéro au-dessous de l'énergie du seuil (figure 5, figure 5 et le tableau 3). La figure 5
montre les sections efficaces d’ionisation pour différents gaz.
Figure 5 : Sections efficaces d'ionisation pour différents gaz.
Le tableau 3 énumère les énergies nécessaires pour enlever un électron d’un
ensemble des atomes de gaz.
20
Tableau 3 : Les énergies d’ionisation (Vi) pour différents atomes et molécules.
Gaz Vi (eV) processus d’ionisation
H2 15.37 −+ +→ eHH 22
18 −+ ++→ eHHH2
26 −+ +++→ ecinétiqueénergieHH
46 −++ +++→ ecinétiqueénergieHH
H 13.6 +→ HH
N2 15.57 −+ +→ eNN 22
24.5 −+ ++→ eNN
O2 12.5 −+ +→ eOO 22
20 −+ ++→ eOO
CO2 14 −+ +→ eCOCO 22
19.6 −+ ++→ eOCO
20.4 −+ ++→ eOCO
28.3 −+ +++→ eOOC
4.2.3. Attachement d'électron (formation d'ion négative) :
Suite à une collision, un électron libre peut être capturé par une particule neutre
formant ainsi un ion négatif. Le phénomène observé est l’attachement.
Les électrons peuvent perdre pratiquement toute leur énergie cinétique par ce
type de collision avec les molécules (ou les atomes) du gaz.
Ce processus dépend de l'énergie d'électron et de la nature du gaz. Par exemple,
−−−−−− HOHNONOOO ,,,,, 322 et les ions négatifs d'halogène sont aisément formés
mais pas −−2, NON ou ions négatifs des gaz rares. Dans l'attachement
BAeAB
hvAeA
+→++→+
−−
−−
*
La particule neutre absorbe la totalité de l'énergie cinétique transporté par l’électron
plus l'énergie de liaison (affinité Ea) libérée au cour de l’attachement.
21
Les mécanismes d'attachement impliquent la formation des états intermédiaires.
En général, les sections efficaces sont autour de 10-24 m2. Les attachements
dissociative ont des seuils de quelques eV.
Les ions négatifs peuvent être détruits, par exemple par collision avec des atomes,
des électrons, ou des photons. Le réaction −− +→+ eOhvO commence quand hv ≥
1.5 eV et σ ≈ 1×10-21 m2 à hv ≥ 2.75 eV. Détachement d'un électron de −H par des
débuts légers hv ≥ 0.7 eV; il atteint 4.5×10-21 m2 à hv ≥ 1.5 eV et diminue à des
énergies plus élevées.
22
CHAPITRE 2 : 1. Introduction à la théorie cinétique :
1.1. Le gaz classique dilué : Le système auquel en s’intéresse dans la théorie cinétique classique des gaz est un
gaz dilué de N molécules identique de masse m contenu dans une boite de volume V.
Le gaz est suffisamment dilué pour être presque parfait : la distance moyenne entre
molécules, d ~ n-1/3, où n=N/V désigne la densité du gaz, est grande devant la porté r0
des forces intermoléculaires, de sorte que les molécules sont la plupart du temps
libres et indépendantes. Il faut analyser l’influence des collisions, qui redistribuent
l’énergie entre les molécules jouant aussi un rôle essentiel dans l’évolution vers
l’équilibre d’un gaz initialement hors équilibre. Seules seront prises en compte les
collisions binaires : celles qui font intervenir plus de deux molécules seront négligées,
ce qui est tout à fait légitime dans un gaz dilué. Les molécules sont supposées sans
structures interne molécule monoatomique). Ceci implique naturellement l’élasticité
des collisions, tout transfert d’énergie à des degrés de liberté internes étant exclu.
La température est supposée suffisamment élevée et la densité suffisamment
faible pour que les molécules puissent être présentées par des paquets d’ondes
localisées, de dimensions - mesurées par la longueur d’onde thermique
mkTh πλ 2/= - petites comparées à la distance intermoléculaire moyenne :
13 <<λn
THEORIE CINETIQUE ET PHENOMENES
DE TRANSPORT
23
Chaque molécule peut alors être considérée comme une particule classique avec une
position et une impulsion bien définies. Les particules sont cependant traitées comme
indiscernables [4].
1.2. Fonction de distribution à une particule :
Le gaz modélisé par un système de N particules ponctuelles classiques
indiscernable, est décrit par un hamiltonien H dépendant des coordonnées et des
impulsions de toutes les particules. L’espace des phases d’un tel système ayant 6N
dimension, la fonction de distribution dans l’espace des phases dépend, outre du
temps, de 6N variables coordonnées et impulsions. Dans le cas d’un gaz dilué, il n’est
cependant pas nécessaire de connaître la fonction de distribution complète pour
rendre compte de la plupart des propriétés macroscopiques.
Beaucoup de ces propriétés, que le gaz soit ou non en équilibre thermodynamique,
sont en effet convenablement décrites en moyen de la fonction de distribution à une
particule f(r,p,t), fonction de 6 variables coordonnées et impulsions ainsi que du
temps. Il faut chercher à établir une équation d’évolution pour cette fonction de
distribution, à partir de l’idée fondamentale selon laquelle, dans un gaz dilué où
r0<<d, une molécule n’interagit jamais avec plus d’une autre molécule à la fois et se
meut librement entre deux collisions successives. Chaque collision à une durée τ0
beaucoup plus courte que le temps ‘’moyen’’ (c'est-à-dire le temps typique) séparant
deux collisions successives ou temps de collision τ.
Ainsi, dans un gaz dilué, les molécules, pour l’essentiel du temps, n’interagissent pas
avec d’autres molécules. C’est l’une des raisons pour lesquelles les propriétés
macroscopiques d’un tel gaz dépendent seulement de la fonction de distribution à
une particule.
Lorsque les particules sont indépendantes, il suffit pour décrire complètement le
système au niveau classique ou pour déterminer les propriétés macroscopiques, de
connaître la fonction de distribution à un corps f(r,p,t) dans l’espace de phase associé
à la particule. Où f (q1,q2,q3, p1,p2, p3 t)
La distribution f(r,p,t) ainsi introduite peut être interpréter de la manière suivante
f(r,p,t) d3r d3p. Représente le nombre moyen de particules contenues dans l’élément
de volume de l’espace de phase d3r d3p à l’instant t :
321321 dpdpdpdqdqdqd =τ (2.1)
24
La connaissance de f(r,p,t) permets de déduire touts les propriétés du système dans le
cadre de l’approximation de particule indépendante.
Le nombre moyen de particules par unité de volume à l’instant n(r,t) est obtenue
en intégrant la fonction f(r,p,t) dans l’espace des impulsions des particules [4] :
( ) ( )∫∫∫= pdtprftrn 3,,, (2.2)
La valeur moyenne (locale) au point r et à l’instant t de n’importe quelle grandeur
Q(r,p,t) liée à une particule est ainsi donnée en fonction de la fonction f(r,p,t) par
[4] :
( ) ( ) ( )∫∫∫= pdtprftrn
trQ 3,,,
1, (2.3)
Ce peut s’agir de l’énergie cinétique, de la quantité de mouvement, ou touts autres
propriétés caractéristiques des particules.
1.3. Equations cinétiques :
D’une manière tout à fait générale, le but d’une théorie cinétique est de trouver
l’équation d’évolution – ou équation cinétique – pour la fonction de distribution à
une particule il existe ainsi diverses équations cinétiques, chacune étant relative à un
système physique particulier. La forme spécifique des équations cinétiques est
déterminée, par la nature du système (gaz, solide, liquide, plasma, …), la nature des
interactions entre les particules (forme du potentiel, intensité et portée des
interactions, …) et la valeur des paramètres fixant l’état macroscopique du système
(densité, température).
Dans le cas des gaz classiques dilués, l’équation cinétique pertinente, qu’il est
possible d’établir sous certaines hypothèses est l’équation de Boltzmann (L.
Boltzmann, 1972) [4].
1.4. L'équation de Boltzmann :
Dans les plasmas de basse température, la distribution de chaque espèce F(r,υ,t)
satisfait en général à l'équation bien connue de Boltzmann:
25
ct
FF
m
XF
t
F
∂∂=
∂∂⋅+∇⋅+
∂∂
υυ
(2.4)
Ici X est la force agissant sur les particules, et (∂F/∂t)c est le taux de temps de
changement de F dû aux collisions. Considérant, par exemple, des électrons libres, ce
terme de collision doit expliquer les collisions élastique et inélastique électron–
neutre, et, aux degrés d'ionisation relativement élevés, pour des collisions électron–
électron et électron–ion. Le symbole ∇ se tient, comme d'habitude, pour le gradient
dans l'espace de configuration (x, y, z) tandis que le symbole υ∂∂ ou υ∇ représente
le gradient dans l'espace de vitesse:
zyx
zyxυυυυ ∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
ˆˆˆ
(2.5)
La signification de l'équation de Boltzmann devient claire si on note que le côté
gauche de cette équation représente le dérivé total (ou le convecteur) de F dans
l'espace de phase
dt
dF
dt
dF
dt
dF
dt
dz
z
F
dt
dy
y
F
dt
dx
x
F
t
F
dt
dF
z
z
y
y
x
x
υυ
υυ
υυ
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
(2.6)
Où ∂F/∂t est la dérivé par rapport aux temps. Les trois prochaines termes sont juste
F∇⋅υ , alors que les trois dernières termes, tenant compte de la troisième loi de
newton m(dυ/dt)=X sont définies comme ( ) ( )υ∂∂⋅ FmX . L'équation de Boltzmann
indique simplement que dF/dt est zéro s'il n’y a pas de collisions. Les collisions ont
l'effet d'enlever une particule d'un élément de l'espace de vitesse et de la remplacer
dans des autres, ou même de créer une nouvelle particule dans le cas d'ionisation.
1.5. Dérivation des équations des fluides :
Les équations macroscopiques ou de conservation sont simplement déduites de
l'équation de Boltzmann. La plus simple des ces grandeurs est obtenu juste en
intégrant cette équation dans l'espace des vitesses
26
∫ ∫∫∫
∂∂=
∂∂⋅+∇⋅+
∂∂ υυ
υυυυ d
t
Fd
F
m
XdFd
t
F
C (2.7)
Où dυ représente un élément de volume tridimensionnel dans l'espace des vitesses.
En transformant le troisième terme du côté gauche en se servant du théorème de
Green et après des calculs francs [5] on obtient l'équation de continuité
( ) Snu
t
n =⋅∇+∂∂
(2.8)
Où u est la vitesse moyenne et S représente le terme source des particules par unité
de volume comme résultat des collisions (par exemple, dans le cas des électrons, ce
terme tient compte de nouveaux électrons créés par l'ionisation et des pertes
d'électron dues à la recombinaison avec les ions ou l'attachement).
Le moment suivant de l'équation de Boltzmann est obtenu en la multipliant par le
produit mυ et en intégrant dans dυ [5]. On a
( )
∫
∫ ∫ ∫
∂∂=
∂∂⋅+∇⋅+
∂∂
υυ
υυ
υυυυυυ
dt
Fm
dF
XFdmdt
Fm
C (2.9)
Le côté droit représente la variation de moment dû aux collisions entre les particules.
Le premier terme du côté gauche donne
( )nu
tmdF
tmd
t
Fm
∂∂≡
∂∂=
∂∂
∫∫ υυυυ (2.10)
La troisième intégrale du côté gauche donne, par le théorème de Green [5],
XndFX
FX −=−=
∂∂⋅ ∫∫ υ
υυ
(2.11)
En conclusion, pour évaluer la deuxième intégrale du côté gauche, on note d'abord
cela
( ) ( )υυ
υυυυυυυυυ
n
dFdFdF
⋅∇=
⋅∇=⋅∇=∇⋅ ∫∫∫
(2.12)
Maintenant on peut séparer u dans la vitesse (de fluide) moyenne υ et la vitesse
thermique ω
27
ωυ += u (2.13)
Rendement
( ) ( ) ( )ωωυυ nnuun ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.14)
La quantité ωωmn est ce qui s'appelle le tenseur d'effort P
ωωmnP = (2.15)
Rassemblant les résultats ci-dessus et tenant compte de l'équation de continuité on
obtient finalement l'équation de fluide du mouvement (ou l'équation de transport de
moment) [5]
( ) ijPPnXmSuuut
umn +⋅∇−=+
∇⋅+∂∂
(2.16)
2. Phénomènes de transport :
2.1. Vitesse de dérive :
Le mouvement des particules chargées est une combinaison d'activité thermique
aléatoire et de la dérive régulière imposée par les champs électriques. L'équilibre des
forces implique l'effet du champ électrique (-eE) sur les électrons et le changement de
quantité de mouvement de la particule (mυ), où il est supposé que la quantité de
mouvement d'électron est transféré au gaz par des collisions qui ont lieu avec une
fréquence v. Dans ce modèle on suppose que le libre parcours moyen entre les
collisions doit être beaucoup plus petit que la taille de n'importe quelle région de
l’espace, λ << d (dans Ar : λ ~1/3 mm à 1 Torr). La vitesse de dérive est alors liée au
champ électrique par la mobilité, µ :
EE
mv
edérive µυ =
= (2.17)
En général la mobilité diminue quand la pression du gaz augmente. Strictement c'est
une fonction d'énergie d'électron mais les modèles simples la traitent en tant que
constante. La théorie cinétique lie la diffusion à la mobilité par la relation d'Einstein
D/µ = kT/e.
28
2.2. Multiplication :
Après un libre parcours moyen d'ionisation (λi), un électron produit en moyenne
une paire électron-ion. Ainsi l'augmentation du nombre d'électrons qui peuvent être
prévus dans n'importe quelle galette du gaz de l'épaisseur dx entre les plats est
idxNdN λ= (2.18)
Où N est le nombre local des électrons. En conséquence, la population d'électron (et
ion positif) se développe ('multiplié') exponentiellement avec la distance :
( )ixNN λ/exp0= (2.19)
2.2.1. Coefficient de Townsend (α) :
Townsend a relié le libre parcours moyen d'ionisation au libre parcours moyen
total de dispersion (λ) en le traitant comme un processus activé par l'énergie de
dérive gagnée par le champ. Ceci mène à une formule analogue à celle d'Arrhenius
pour des processus thermiquement activés, donnant le taux constant connue sous le
nom le coefficient d'ionisation de Townsend [3]
−==λλλ
αE
Vexp
constante1i
i
Puisque le libre parcours moyen est inversement proportionnel à la pression (p), le
coefficient peut être écrit
−=
E
pBpA expα
(2.20)
Où les constantes A et B sont des propriétés du gaz
2.2.2. Soutenu Individuellement par l'émission secondaire :
L'accélération des électrons primaires dans le champ électrique mène, en principe, à
l'émission des électrons secondaire à partir du gaz, on défini alors γ le taux d'électrons
secondaires par électron incident. Les processus de l'émission secondaires et de la
multiplication deviendront autonomes si les électrons de la multiplication entre x=0
et x=d libérés d'après le gaz ont des énergies suffisantes pour ionisé d’autres atomes
ou molécules du gaz. Selon les équations (2.18) et (2.19) N0 électrons initiaux
produiront αN0 exp(αx) dx électrons secondaires dans la galette dx à la position x. À
29
travers l'espace donc il y aura produit N0 [exp(αd)-1] électrons secondaires. Pour être
autonomes
( )[ ] 00 1exp NdN =−αγ
Où
+=γ
α 11lnd
(2.21)
2.3. Diffusion des particules chargées :
Le coefficient de diffusion des ions dans leur propre gaz neutre est 4 ou 5 fois plus
petit que celui des molécules neutres. A cause du potentiel d’interaction ion-molécule
neutre qui est supérieure à celui des molécules entre elles puisque les ions peuvent, à
distance, induire dans les molécules elles-mêmes des dipôles électriques.
Le coefficient de diffusion des électrons est plusieurs milliers de fois plus grand
que celui des ions et des neutres, à couse de leur faible masse.
À la différence des ions, il n’y a pas en général de relation simple entre le
coefficient de diffusion et la mobilité des électrons : la vitesse d’entraînement des
électrons soumis à une force extérieure est en général si grande que la répartition des
vitesses résultantes n’est plus du tout maxwellienne ; la vitesse d’entraînement n’est
même plus proportionnelle à la force appliquée.
Dans le cas d’un champ magnétique B homogène, une particule libre de masse m
et de charge e est animée d’un mouvement uniforme dans la direction de B et d’un
mouvement de rotation autour de cette direction avec une vitesse angulaire, ω =
eB/m et un rayon de giration ρ (= Cte/ω) constants.
Un calcul exact, donne pour la diffusion transversale,
( )20
1 ωτ+=⊥
DD
(2.22)
τ = intervalle de temps entre 2 collisions successives.
Le coefficient de diffusion longitudinale reste évidement inchangé
0// DD = (2.23)
On voit l’intérêt d’un champ magnétique pour confiner les particules chargées.
30
3. Les expériences utilisées pour la détermination des paramètres de
transport :
La plupart des textes qui traitent de ce sujet mentionnent trois grandes catégories
d’expériences : les expériences du type Townsend en régime stationnaire (TRS), les
expériences du type Townsend en régime impulsionnel (TRI), les expériences du type
Temps de vol [6].
3.1. Les expériences de type Townsend en régime stationnaire :
Sont les plus anciennes et, paradoxalement, celle qui pose le moins problème
quand à leur interprétation. Elles sont utilisées pour mesurer le premier coefficient
d’ionisation de Townsend ou le coefficient de diffusion transverse. Leur principe est
simple : un courant stationnaire d’électrons est établi entre deux électrodes planes et
parallèles. En faisant varier la distance interélectrode d, il est facile d’obtenir le
graphe I(d) du courant mesuré. Le coefficient d’ionisation est déterminé à partir de
l’analyse de ce graphe. La mesure de coefficient de diffusion transverse nécessite le
découpage de la paroi anodique en un certain nombre d’anneaux conducteurs. La
mesure de courant collecté par les différents anneaux permet la détermination de ce
coefficient de diffusion. Nous indiquerons au cours du paragraphe suivant comment
on peut calculer le coefficient d’ionisation et le coefficient de diffusion tels qu’ils sont
mesurés dans l’expérience de Townsend en régime stationnaire. Dans ce cas, il n’y a
aucune ambiguïté entre la nature des paramètres mesurés et calculés.
La situation est plus délicate en ce qui concerne les expériences TRI ou du temps
de vol et la difficulté à laquelle en ce heurte est celle de la distinction entre ces deux
types d’expériences.
3.2. Les expériences de type Townsend en régime impulsionnel :
Dans ce cas, un paquet d’électrons est émis pendant une courte drée de la cathode.
Par suite de l’influence du champ électrique, ces électrons se déplacent et diffusent
dans une direction opposée à celle du champ. Si, expérimentalement, on est capable
de mesurer le courant associé au déplacement de ces électrons, on peut définir une
vitesse de déplacement relative à l’ensemble du paquet. On peut mesurer que cette
vitesse correspond en fait à la moyenne de la somme des vitesses instantanées de
l’ensemble des électrons. De la même manière, on peut définir des coefficients de
diffusion (longitudinal et transverse). La détermination expérimentale des
31
paramètres qu’on va définir peut être effectuer seulement si le mesure ne perturbe
pas le mouvement de l’ensemble des électrons. Or, comme la plupart des expériences
nécessitent une mesure du courant total arrivant à l’anode, il s’en suit que le
mouvement des électrons est généralement influencé par la présence des électrodes.
Les paramètres de transport associés à l’expérience TRI apparaissent ainsi comme
des grandeurs fictives présentant un intérêt purement formel et difficilement
accessible expérimentalement. On peut admettre qu’une expérience permet la mesure
des paramètres du type TRI seulement si les électrons n’ont pas encore atteint
l’anode, ce qui est le cas pour des temps d’observation inférieurs au temps de transit
des électrons. A partir du moment où les électrons ont commencé à être collecté par
l’anode, les paramètres de transport que l’on obtiendra expérimentalement ne serons
plus de type TRI mais, comme on va le voir, de temps de vol.
3.3. Les expériences de type Temps de vol :
Le principe de cette expérience est globalement similaire à celui des expériences
TRI. Un paquet d’électrons est émis, pendant une courte duré, de la cathode.
L’ensemble de ces électrons se déplace dans l’espace interélectrode sous l’influence
du champ électrique et des gradients de diffusion. Cependant, contrairement à
l’expérience TRI (où l’on peut accéder qu’à des grandeurs caractérisant le
déplacement moyen de l’ensemble des électrons), les expériences de type Temps de
vol permettent la prise en compte du déplacement spatio-temporel des électrons.
L’expérience typique du Temps de vol est celle dans laquelle l’évolution du paquet
d’électrons est déterminer on analysant la distribution des photons émis par les
molécules excitées du gaz diffuseur. Il est possible de relier la variation du flux de
photons ainsi obtenue à la variation spatio-temporelle de la densité électronique.
Dans ce cas particulier, on peut choisir des conditions expérimentales telle que le
mouvement des électrons ne soit pas perturbé par les parois. L’évolution spatio-
temporelle de la densité des électrons n(r,t) est alors aisément obtenue on résolvant
l’équation de diffusion traditionnelle définie par la relation ci-dessous (où x, y et z
désignent les coordonnées transversales et longitudinale respectivement) :
( )0
,2
2
2
2
2
2
=−
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂+
∂∂
nvy
n
x
nDT
z
nDL
z
nW
t
trn
(2.24)
Dans laquelle DL et DT représentes les coefficients de diffusion longitudinal et
transverse, W la vitesse de dérive. Par ailleurs :
32
ation vvv −= (2.25)
Où vion et vat sont les fréquences d’ionisation et d’attachement respectivement. Toutes
ces grandeurs sont spécifiques de l’expérience considérée et indépendantes de la
position et du temps. Physiquement W représente la vitesse du centre de masse des
électrons. Elle est définie par la relation :
dtzdW =
(2.26)
<z> représente la position moyenne du paquet d’électrons. (Le champ électrique est
supposé porter par l’axe Oz).
Les coefficients DL et DT sont définis par les relations suivantes :
( ) dtzdDL2*!21= (2.27)
( ) ( ) dtyddtxdDT22 !21!21 == (2.28)
On a posé : zzz −=*
DL et DT sont reliées au déplacement quadratique moyen du paquet d’électrons.
33
CHAPITRE 3 ================================================================
1. Introduction :
La charge électrique est une source de champ électrique par laquelle chaque
charge exerce des forces sur toutes les autres charges. En second lieu, les charges
électriques sont soumises à des forces lorsqu’elles ont dans un champ électrique
extérieurement imposé. Troisièmement, les charges qui se déplacent relativement
aux champs magnétiques également exercent des forces. La force de Lorentz combine
commodément les effets électriques et magnétiques pour une charge [7].
( )BEqF ×+= υ (3.1)
Dans lequel: q est la quantité de la charge en coulomb; E est le champ électrique en
volt par mètre; υ est la vitesse en mètre par seconde; × ici implique le produit
vectorielle; B est la densité de flux en teslas.
Dans notre cas on va étudier le transport des électrons dans un gaz sous les
champs électrique et magnétique (longitudinal et transversal), donc la connaissance
de la trajectoire de l’électron entre deux collisions successives sous les forces
extérieures est nécessaire. Trois situations distinctes de champ électrique et
magnétique uniformes vont être traitées dans ce qui suit :
MOUVEMENT D UN ELECTRON DANS
UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
34
• Cas d’un champ électrique uniforme et B = 0
• Cas d’un champ magnétique perpendiculaire au champ électrique
• Cas d’un champ magnétique parallèle au champ électrique
2. Cas d’un champ magnétique uniforme (B = 0) :
Dans le cas d’un électron, de charge -e et de masse m, en mouvement dans un
champ électrique E et magnétique B, la force de Lorentz s’écrit [7] :
dt
dmBEeF
υυ =×+−= )( (3.2)
Pour un champ magnétique B=0 et un champ électrique -E // Oz les composantes de
la force F dans le trièdre directe (x,y,z) s’écrivent :
0==dt
dmF x
x
υ
0==dt
dmF y
y
υ (3.3)
eEdt
dmF z
z −==υ
Ou bien :
0=dt
d xυ
0=dt
d yυ (3.4)
Eadt
dz
z =υ
Où az est l’accélération suivant z, définie par :
Em
eaz
−=
Si vx0, vy0, vz0 et x0, y0, z0, sont les trois composantes de la vitesse et de la position à
l’instant t0, alors les nouvelles composantes de la vitesse s’écrivent :
01 xx υυ =
01 yy υυ = (3.5)
tazzz ∆+= 01 υυ Les nouvelles positions s’écrivent alors :
txx x ∆+= 001 υ
tyy y ∆+= 001 υ (3.6)
35
2
001 2
1tatzz zz ∆+∆+= υ
Avec 01 ttt −=∆
3. Cas d’un champ magnétique transversal (B ┴ E) :
Comme le champ électrique est supposé anti-parallèle à l’axe Oz (-E // Oz) et le
champ magnétique est parallèle à l’axe Oy (B // Oy) [7] :
Figure 1 : Cas d’un champ magnétique transverse Les composantes de la force F dans le trièdre directe (x,y,z) s’écrivent :
zx
x eBdt
dmF υυ
==
0==dt
dmF y
y
υ (3.7)
xz
z eBeEdt
dmF υυ
−==
Ou bien :
zcx
dt
d υωυ= (3.8a)
0=dt
d yυ (3.8b)
z
E
-E υ
B
FB x
y
36
xcz E
m
e
dt
d υωυ−= (3.8c)
Tel que : Bm
ec =ω
cω : est la fréquence de Larmor ou la fréquence de cyclotron.
La variation de la vitesse au cours du mouvement libre de l’électron et sa
trajectoire se détermine à partir de la résolution des équations de mouvements (3.8).
A partir de l’équation (3.8b), il est facile de voir que la composante υy de la vitesse
reste constante au cours du mouvement libre. Ceci n’ai pas le cas des composantes υx
et υz (voir les équation 3.8a et 3.8c). Pour résoudre ces deux équations on effectue le
changement de variable suivant :
( ) ( ) ( )titt zx υυυ += avec : i2=-1
Les équations (3.8a) et (3.8c) deviennent :
( ) ( ) E
m
eti
dt
tdc =+ υωυ
(3.9)
La solution de cette équation différentielle du premier ordre entre l’instant initiale t0
(celui de la dernière collision) et une instante t (avant la collision suivante) s’écrit :
( )B
Etic
m
eEtict c
cc +−=+−= )exp()exp( ω
ωωυ (3.10)
Avec )exp( 00 tiB
Ec cωυ −
−=
Cette solution s’écrit à l’instant t1 de la collision :
( )B
Eti
B
Et c +∆−
−= )exp(01 ωυυ (3.11)
Avec ∆t =t1-t0 et υ0 =υ(t0)= υx0 +i υz0
Si on identifie ( )1tυ (=υx1+υz1) à l’équation ci-dessus, on obtient les composantes υx1
et υz1 à l’instant de la collision :
( ) ( ) ( )( )tB
Ett cczcxx ∆−+∆+∆= ωωυωυυ cos1sincos 001
01 yy υυ = (3.12)
( ) ( ) ( )tB
Ett cczcxz ∆+∆+∆−= ωωυωυυ sincossin 001
37
Par intégration de ces composantes entre t0 et t1, on obtient les coordonnés x1, y1, z1
de l’électron à l’instant de la collision t1 (x0, y0 et z0 étant les coordonnés à l’instant
initial t0) :
( ) ( ) ( ) 000
1 sin)cos1(sin xtB
Et
B
Ettx c
cc
c
zc
c
x +∆−∆+∆−+∆= ωω
ωωυω
ωυ
001 yty y +∆=υ (3.13)
( ) ( ) ( ) 000
1 )1(cossin)1(cos ztB
Ettz c
cc
c
zc
c
x +−∆−∆+−∆= ωω
ωωυω
ωυ
Si le champ électrique E est nul (E=0) :
cstezyxzyx =++=++ 20
20
20
21
21
21 υυυυυυ
Ce résultat est logique car la force magnétique B ne travail pas.
4. Cas d’un champ magnétique longitudinal : Dans ce cas le champ électrique est supposé anti-parallèle à l’axe Oz (-E //Oz ) et
le champ magnétique est parallèle à l’axe Oz (B //Oz) [7] :
Figure 2 : Cas d’un champ magnétique longitudinal Les composantes de la force F de Lorentz dans le trièdre directe (x,y,z) s’écrivent :
yx
x eBdt
dmF υυ
−==
z
E
-E υ
B
FB
x
y
38
xy
y eBdt
dmF υ
υ== (3.14)
eEdt
dmF z
z ==υ
Où
ycx
dt
d υωυ−=
xcy
dt
dυω
υ= (3.15)
zz a
dt
d=
υ
Pour déterminer les composantes du vecteur vitesse à l’instant t1 de la collision et les
coordonnées de l’électron à cet instant, les équations (3.15) sont résolues d’une façon
analogue aux équations (3.8), on obtient pour les composantes de υ1 :
( ) ( )tt cycxx ∆−∆= ωυωυυ sincos 001
( ) ( )tt cycxy ∆+∆= ωυωυυ cossin 001 (3.16)
tazzz ∆+= 01 υυ
Et pour les composantes de r1
( )( ) ( )( )ttxx cxcyc
∆+−∆+= ωυωυω
sin1cos1
0001
( )( ) ( )( )ttyy cycxc
∆+−∆−+= ωυωυω
sin1cos1
0001 (3.17)
2
001 2
1tatzz zz ∆+∆+= υ
On remarque, contrairement au cas d’un champ magnétique transverse, que le
module υ1 de la vitesse υ1 à l’instant t1 de la collision n’est pas influencée par la
présence d’un champ magnétique et que la composante longitudinale υz1 de υ1 n’est
pas également influencée par la présence d’un champ magnétique longitudinal. Par
contre les coordonnées de l’électron à l’instant t1 sont influencées par la présence
d’un champ magnétique longitudinal, ce qui aura pour conséquence comme on va le
voir, une influence sur les coefficients de diffusion électronique.
D’autre part, si E=0 le module de la vitesse reste constant car la force magnétique ne
travail pas.
39
CHAPITRE 4
================================================================
===
1. Introduction :
La méthode de Monte Carlo est une approche pour résoudre le problème de
transport d’électron et d’ion basé sur la simulation numérique du mouvement pour
un grand ensemble de particules (électrons dans notre cas) où les processus de
collision sont présentés par tirage des nombres aléatoires distribués uniformément.
Dans les plasmas hors équilibre thermodynamique la résolution de l’équation de
Boltzmann est très difficile analytiquement où numériquement, cela justifie
l’utilisation de la méthode Monte Carlo à cause de leur simplicité.
Typiquement, le résultat d'une simulation de Monte Carlo d'un plasma est la
fonction de distribution d'électron. À partir de cette distribution n'importe quelle
autre quantité peut être calculée plus tard; par exemple, la densité locale, l'énergie
moyenne et la vitesse de dérive.
LA METHODE DE
SIMULATION
40
Historiquement, l’idée d’utiliser des nombres aléatoires dans le calcul des
quantités déterministes a été présentée la première fois par von Neumann et Ulam
[8,9, 10] pour les taches d’intégration multidimensionnelle et de l’inversion de la
matrice. Pour le cas du transport des particules chargé dans les plasmas les bon
références sont probablement les travaux d'Itoh et Musha [11] et Skullerud [12].
2. Principe de la méthode de Monte Carlo :
Dans le début, il est important d'établir la différence fondamentale entre les
méthodes de Monte Carlo et la prétendue approche moléculaire dynamique. La
dernière approche simule explicitement des ' particules d'essai ' et des ‘particules
cible’, et si la distance entre elles est assez faible il se produit un phénomène de
collision, où les particules sont assimilées à des boules de billard, la détermination
des équations de mouvement est assurée par la résolution des équations d’Hamilton.
La méthode de Monte Carlo pour le transport d'électron ne fonctionne pas de cette
façon. Elle est basé sur le calcul ' des temps de vol libres ' pour la particule d'essai,
entre deux collisions successives, le mouvement des particules est supposé uniforme.
Ces temps sont calculés en produisant des nombres aléatoires prélevés d'une
distribution uniforme. En outre, on suppose que les processus de collision sont
binaires et instantanés. Cette technique de simulation est directe, mais peut
numériquement conduire à des erreurs relatives sur les quantités macroscopiques
dues aux fluctuations statistiques. Ces erreurs diminuent lentement avec le nombre n
d'échantillons (de l’ordre de n-1/2).
Dans ce type de simulations, un grand nombre d'électrons est simulés. On peut
suivre chaque électron des son émission jusqu’à sa dispersion dans le gaz. La
simulation des électrons secondaires peut se poursuivre jusqu'à ce que toute son
énergie sera cédée aux molécules du gaz.
On va prendre comme données le temps maximal tmax (choisie supérieur au temps
de relaxation), la température, le champ électrique réduit en Td (1 Td = 10-21 Volt.m2),
le champ magnétique en Tesla, le nombre d’électrons primaires et les sections
efficaces des différents processus collisionnels (élastique, d’excitation, d’ionisation et
d’attachement dans notre cas) pour les types de collision électron-neutre.
41
3. Simulation de l’histoire de l’électron par la méthode de Monte Carlo :
3.1. Calcul du temps de vol libre :
Le temps de vol libre c'est-à-dire le temps entre deux collisions successives se
calcul par tirage d’un nombre aléatoire ri en utilisant l’équation suivante :
i
totvol rt ln
1
ν−=
(4.1)
Où totν est la fréquence total de collision.
Chaque électron peut subir des collisions tant qu’il n’a pas encore disparue, donc sa
durée de simulation est calculée comme suit :
∑
=
=nc
kkvole t
1
τ (4.2)
nc : est le nombre de collisions subies par un électron.
La simulation de chaque électron ne peut se poursuivre que si le temps de simulation
est inférieur à tmax.
3.2. Les équations de mouvement :
Entre deux collisions successives les mouvements de l’électron sont conditionnés
par les forces extérieures d’origine électrique ou magnétique (les champs électrique et
magnétique sont uniformes), on a considéré trois cas de ces forces dans notre
simulation :
• Cas d’un champ électrique parallèle à l’axe Oz et un champ magnétique nul,
après un temps de vol initial les nouvelles composantes de la vitesse sont
données par
01 xx υυ =
01 yy υυ = (4.3)
tazzz ∆+= 01 υυ Les nouvelles positions s’écrivent comme suit :
txx x ∆+= 001 υ
tyy y ∆+= 001 υ (4.4)
2001 2
1tatzz zz ∆+∆+= υ
Avec ∆t = t1 – t0 dans notre cas Avec ∆t = tvol
42
• Cas d’un champ électrique et un champ magnétique longitudinal dirigés
suivant Oz, on peut écrire les nouveaux vecteurs vitesse comme suit
( ) ( )tt cycxx ∆−∆= ωυωυυ sincos 001
( ) ( )tt cycxy ∆+∆= ωυωυυ cossin 001 (4.5)
tazzz ∆+= 01 υυ Les nouvelles positions sont tel que
( )( ) ( )( )ttxx cxcyc
∆+−∆+= ωυωυω
sin1cos1
0001
( )( ) ( )( )ttyy cycxc
∆+−∆−+= ωυωυω
sin1cos1
0001
(4.6)
2001 2
1tatzz zz ∆+∆+= υ
• Cas d’un champ électrique parallèle à l’axe Oz et un champ magnétique
transversal (parallèle à Oy), les composantes de la vitesse sont données par :
( ) ( ) ( )( )t
B
Ett cczcxx ∆−+∆+∆= ωωυωυυ cos1sincos 001
01 yy υυ = (4.7)
( ) ( ) ( )t
B
Ett cczcxz ∆+∆+∆−= ωωυωυυ sincossin 001
Les nouvelles positions sont comme suit :
( ) ( ) ( ) 000
1 sin)cos1(sin xtB
Et
B
Ettx c
cc
c
zc
c
x +∆−∆+∆−+∆= ωω
ωωυω
ωυ
001 yty y +∆=υ (4.8)
( ) ( ) ( ) 000
1 )1(cossin)1(cos ztB
Ettz c
cc
c
zc
c
x +−∆−∆+−∆= ωω
ωωυω
ωυ
3.3. Traitement des collisions :
Chaque processus de collision qui se produit après le vol libre est caractérisé par
une fréquence relative de collision :
43
( ) ( ) ( )rnm kk
ek εσεεν
212
=
(4.9)
Après avoir effectuer un deuxième tirage du nombre aléatoire ri, le processus de
collision choisi sera le nième tels que
∑ ∑
−
= =
<<1
1 1
n
k
n
k tot
ki
tot
k
v
vr
v
v
(4.10) On définit la probabilité P(εk) d’un processus de collision par :
tot
kk v
vP =)(ε
si la collision est réelle
tot
réelles
v
v∑−= 1 si la collision est fictive
Donc la fréquence de collision total sera sous la forme :
( ) ( ) ( ){ }
max∑∑ =+= εεε réellesfictiveréellestot vvvv (4.11)
Pour passer à une collision suivante, il faut le tirage d’un autre nombre aléatoire
pour le calcul du temps de vol libre qui sera utiliser dans le calcul du vecteur vitesse et
du vecteur position.
Les vecteurs position et les vecteurs vitesse des électrons sont tous pris en mémoire et
d’autres paramètres tels que le nombre d’ionisations, le nombre d’attachement… à
chaque instant t pour les utiliser dans le calcul des paramètres de transport.
Trois classes d’interactions électron–molécule sont mises en application dans le
programme :
• Collisions élastiques électron–molécule.
• Les interactions inélastiques électron–molécule.
• Les interactions électron–électron.
Les interactions superélastiques électron–molécule et électron–ion n'ont pas été
mises en application puisque ces interactions ont des influences mineures aux valeurs
impliquées E/n.
3.3.1 Les collisions élastiques électron–molécule (e–M) :
44
Figure 1 : Vitesses relatives avant et après la collision, dans le référentiel
du laboratoire (x,y,z) et du centre de masse (X,Y,Z)
La collision élastique nécessite le tirage d’un nombre aléatoire, Rχ, pour
déterminer l’angle de déviation χ dans le référentiel du centre de masse. Cet angle
permet de calculer la répartition des vitesses, après la collision, entre la particule
incidente et la particule cible. Un deuxième nombre aléatoire Rψ permet de calculer
l’angle azimutal ψ après la collision. Ces angles repèrent le vecteur vitesse relative vr’
dans le référentiel du centre de masse. Ils sont déduits des relations :
( )( )
( )[ ]'cos12
1
''sin
''sin
0
0 χχχ
χχπ
χ
χ −==∫
∫d
dR
(4.12)
π
ψ
ψ
ψπ
ψ
ψ 2'
'2
0
0 ==∫
∫d
dR
(4.13) Ces expressions découlent du fait qu’on a assimilé la partie isotrope de la section
efficace différentielle de collision à la collision élastique. On obtient finalement :
[ ]χχ R21arccos −=
(4.14)
ψπψ R2= (4.15) De plus, on définit θr et φr comme étant les angles polaire et azimutal repérant le
vecteur vitesse relative vr dans le référentiel du laboratoire :
=
r
zrr υ
υθ arccos (4.16)
45
=
rr
rxr θυ
υϕ
sinarccos
(4.17) Sachant que, pour une collision élastique, le module de la vitesse relative se conserve,
ses composantes cartésiennes après la collision s’écrivent [13] :
( )rrrrrrxr ϕθχϕθψχϕψχυυ cossincoscoscossinsinsincossin' ++=
( )rrrrrryr ϕθχϕθψχϕψχυυ sinsincossincossinsincoscossin' ++−=
(4.18)
( )rrrzr θχθψχυυ coscossinsinsin' +−= Les composantes de la vitesse de la particule projectile après la collision, dans le
repère du laboratoire, sont finalement [13] :
xrcxccxppxp rrr '' υυυυ ++=
yrcyccyppyp rrr '' υυυυ ++= (4.19)
zrczcczppzp rrr '' υυυυ ++=
Où rp et rc sont définis par :
cp
pp mm
mr
+=
(4.20)
cp
cc mm
mr
+=
(4.21)
De même, les composantes de la vitesse du neutre cible après collision, s’écrivent
[13] :
xrpxccxppxc rrr '' υυυυ −+=
yrpyccyppyc rrr '' υυυυ −+= (4.22)
zrpzcczppzc rrr '' υυυυ ++=
Dans le cas où le neutre cible est supposé être au repos avant la collision, il est
possible de relier la fraction d’énergie conservée par la particule incidente lors de la
collision, à l’angle de déviation χ [13] :
( ) ( )1cos
21
2
'
−+
+= χεε
cp
cp
p
p
mm
mm
(4.23)
46
Si le projectile (dans notre cas l’électron) est très petit devant la cible, ce rapport
s’écrit alors :
( )1cos21'
−+= χεε
c
p
p
p
m
m
(4.24)
3.3.2. Les interactions inélastique électron–molécule (e–M) :
Les molécules neutres de gaz peuvent être excitées par des collisions inélastiques
d'électron. Trois cas des processus de collision inélastiques sont distingués dans le
programme.
Une excitation d'une molécule à un état uniquement défini (différentes rotations,
vibrations et états électroniquement excités) diminue l'énergie de l'électron d'essai
instantanément avec l'énergie qui est exigée pour exciter la molécule, εexc :
excεε −=∆ (4.25)
En cas d'ionisation l'énergie restante est partagée entre l'électron d'essai et
l'électron libérés de la molécule ionisée. Le changement d'énergie de l'électron d'essai
devient (le signe moins implique une perte) [14]
( ) iionion rεεεε −−−=∆ (4.26)
Dans laquelle ri est un nombre aléatoire uniforme entre 0 et 1. L'énergie de l'électron
libéré est [14] (ε - εion) (1 – ri).
L’attachement de l'électron d'essai mène à la perte de toute son énergie :
εε −=∆ (4.27)
La simulation est continuée avec un nouveau électron d'essai avec l'énergie
cinétique nulle. Les électrons secondaire sont aussi prisent en compte.
Dans les cas d’excitation et d’ionisation les angles de dispersion se traitent comme
on a vu dans les collisions élastiques, ce qui change c’est seulement la vitesse (c à d
l’énergie cinétique) avant et après la collision.
Pour l’électron secondaire χ [éjecté] = χ [diffusé]+ π/2 et ψ [éjecté] = ψ [diffusé].
Pour la collision fictive les angles de dispersion et les vitesses avant et après le choc
sont les mêmes.
47
3.3.3. L’interaction électron–électron (e–e) :
L'électron d'essai peut agir avec d'autres électrons libres avec une section efficace
de coulomb. On assume que les électrons de fond ont une distribution isotrope de
vitesse avec un certain fond eedf. Dans le cas de l'interaction e–e, l'énergie de
l'électron de fond est prise aléatoirement de la fonction de distribution d'énergie de
fond. Dans notre travail on va négliger l’interaction e–e puisque sa contribution mène
à des corrections physiques relativement petites.
3.4 Calcul des paramètres de transport :
Dans le cas de la simulation de Monte Carlo on utilise seulement les formules
physiques des paramètres de transport (c à d on utilise les lois de la mécanique
classique). Les champs électrique et magnétique influencent particulièrement sur les
composantes du vecteur vitesse (c'est-à-dire influence aussi sur l’énergie cinétique) et
les composantes du vecteur position puisque la plupart des paramètres de transport
sont calculés à l’aide de ces composantes. Pour la fonction de distribution on utilise la
fonction de distribution d’énergie d’électron l’eedf mais dans ce cas elle dépend du
temps et de l’énergie, donné par
( ) εεε dtf 21, (4.28)
3.4.1. Vitesse de dérive :
La vitesse de dérive est donnée par [15] :
dt
zdW =
(4.29)
On peut écrire d(z) comme suit :
∑
==
ne
ii
e
zn
zd1
1
(4.30)
Où ne est le nombre d’électrons parcourant les distances zi.
La vitesse de dérive s’écrit alors :
= ∑=
ne
iiz
nedtW
1
11 (4.31)
On peut aussi écrire la vitesse de dérive dans une autre forme :
zW υ= (4.32)
48
Donc :
∑
=
=ne
iizne
W1
1 υ (4.33)
Où izυ sont les vitesses des électrons suivant l’axe Oz.
3.4.2. Coefficient de diffusion transversal :
Le coefficient de diffusion transversal s’écrit sous la forme [15] :
dt
yd
dt
xdDT 22
22
== (4.34)
Pour une résultat plus rigoureuse, on va prendre le coefficient de diffusion
transversal comme suit :
dt
ydxdDT 4
22 +=
(4.35)
Les moyennes des x2 et des y2 sont écrites sous les formes :
∑
=
=ne
iix
nexd
1
22 1
(4.36)
∑
=
=ne
iiy
neyd
1
22 1
(4.37)
Donc le coefficient de diffusion transversal est écrit comme suit :
+= ∑∑==
ne
ii
ne
iiT y
nex
nedtD
1
2
1
2 11
4
1 (4.38)
Finalement le coefficient de diffusion transversal est obtenu tel que :
+= ∑=
ne
iiiT yx
nedtD
1
22 )(1
4
1 (4.39)
3.4.3. Coefficient de diffusion longitudinal :
Le coefficient de diffusion longitudinal est définit comme suit [15] :
dt
zdDL 2
2∗
= (4.40)
Avec z*= z - <z>
49
Donc :
dt
zzdDL 2
22 −=
(4.41)
Avec :
2
1
2 1
= ∑=
ne
iiz
nez
(4.42)
Le coefficient de diffusion longitudinal s’écrit sous la forme suivante :
−= ∑=
ne
iiL zz
nedtD
1
22 )(1
2
1 (4.43)
Enfin DL est obtenu sous la forme :
−
= ∑=
2
1
21
2
1zz
nedtD
ne
iiL (4.44)
3.4.4. Coefficient d’ionisation :
On a le coefficient d’ionisation qui est donné par [6] :
W
vN ion=α (4.45)
Où ionv est la fréquence moyenne d’ionisation, N est le nombre de molécule ou
d’atome du gaz, W est la vitesse de dérive donné par l’équation (4.31) ou (4.33).
Pour le calcul de la fréquence d’ionisation moyenne par la méthode de Monte Carlo
on va utiliser la fonction de distribution d’énergie d’électron donné par la relation
(4.28), donc ionv devient :
( ) εεε dtfvv ionion ∫= 21,
(4.46)
Le coefficient d’ionisation sera comme suit :
( )W
dtfvN ion εεεα ∫=
21,
(4.47)
3.4.5. Coefficient d’attachement :
50
Le coefficient d’attachement est donné par [6] :
W
vN att=η (4.48)
Où attv est la fréquence moyenne d’attachement.
De la même manière que la détermination du coefficient d’ionisation, on obtient le
coefficient d’attachement comme suit :
( )W
dtfvN att εεεη ∫=
21,
(4.49)
3.5. La méthode de Monte Carlo et l'équation linéaire de Boltzmann :
La détermination des vitesses des électrons à chaque instant permet aussi de
trouver le nombre d’électrons moyens ayant une même vitesse à un instant donné ce
qui permet de déduire la fonctions de distribution des vitesses.
La méthode de Monte Carlo décrite précédemment, peut également servir comme
technique pour une résolution directe de l'équation linéaire de Boltzmann afin de
calculer la fonction de distribution des vitesses. Ceci permettra de déduire les
coefficients de transport qu’on vient d’étudier.
L’organigramme de Monte Carlo :
51
Oui Non Non Oui Non Oui Oui Non Oui Non Oui Non
Définition du gaz et choix des paramètres de la simulation vmax, tmax, n0, E, B
Electron primaire ?
r0=r3
v0=v3
t0=t3
Définition de r0, v0 et t0
Calcul du temps de vol libre tvol par tirage d’un nombre aléatoire
t1 < tmax ou v1 < vmax
Calcul de nouveaux paramètres r1, v1 et t1 avant la collision (t1=t0+tvol)
Nature de la collision? (tirage d’un nombre aléatoire )
v0 = v1
Echantillonnage sur les électrons
Collision suivante
Électron suivant
Collision réelle ?
Calcul de la déviation et de l’azimut
Attachement ?
Ionisation ?
Mise en mémoire r3, v3 et t3 de l’électron éjecté
Calcul de la vitesse v2 de l’électron après la collision
r0 = r1 v0 = v2
t0 = t1
Echantillonnage sur les collisions
Reste-t-il des électrons ?
Sortie
52
CHAPITRE 5
=========================================================== Dans les chapitres précédents on a vu comment déterminer les paramètres de
transport sous l’action simultané des champs électrique et magnétique par la
simulation de Monte Carlo, maintenant on va calculer ces paramètres pour deux gaz,
le vapeur d’eau et l’azote. On a lancé le programme pour un Nombre d’électrons
primaires égale à 20000, un champ magnétique B = 6.59×10-2 tesla, un champ
électrique réduit E/N = 600 Td, la densité du gaz à la température T = 293 °K étant
égale à 3.29×1022 m-3, dans ce qui suit tous les paramètres de transport sont calculés
dans les même conditions.
On a utilisé les sections efficaces calculées par Yousfi et al [16] pour les deux gaz,
elles sont présentées sur la figure 1 pour le vapeur d’eau et sur la figure 2 pour l’azote.
La comparaison de nos résultats avec l’expérience permet aussi de vérifier et de tester
la validité de ces sections efficaces.
Les paramètres de transport ont été calculés dans les trois cas suivants :
- Sous la seule action d’un champ électrique parallèle à l’axe Oz
- Cas d’un champ magnétique parallèle au champ électrique c'est-à-dire B //
Oz.
- Cas d’un champ magnétique perpendiculaire au champ électrique c'est-à-
dire B // Oy
RESULTATS ET
53
Figure 1 : Les sections efficaces de collision électron-molécule du vapeur d’eau
1. Section efficace de transfert de quantité de mouvement 2. Section efficace total de rotation et de vibration 3. Section efficace total d’excitation 4. Section efficace total d’ionisation 5. Section efficace total d’attachement
Maintenant avant de présenter les résultats obtenus dans le cas d’un champ
magnétique transverse et dans le cas d’un champ magnétique longitudinal, on va
rappeler 2 ou 3 points concernant les forces qui agissent sur les électrons :
- (premièrement) quand il y a uniquement un champ électrique, entre deux
collisions les électrons sont animés d’un mouvement rectiligne.
- (deuxièmement) quand il y a un champ magnétique perpendiculaire au
champ électrique la trajectoire des électrons change, la force magnétique
admet deux composantes, l’une suivant la direction du champ électrique qui
s’oppose aux mouvement des électrons, elle va réduit la vitesse et l’énergie
moyenne des électrons, l’autre composante de la force magnétique est
normale à la direction du champ électrique, elle va écarter les électrons de
cette direction d’un angle de déflection qui croit avec le champ magnétique.
54
- (troisièmement) quand il y a un champ électrique parallèle au champ
magnétique, les électrons sont dirigés suivant Oz (à cause de l’isotropie dans
le plan xOy des forces magnétiques).
Figure 2 : Les sections efficaces de collision électron-molécule de l’azote
1. Section efficace de transfert de quantité de mouvement 2. Section efficace total de rotation et de vibration 3. Section efficace total d’excitation 4. Section efficace total d’ionisation
1. Vitesse de dérive :
La figure 3 et la figure 4 montrent comment varie les vitesses de dérive dans le
temps lorsque le gaz est soumis sous un champ électrique et un champ magnétique
(longitudinal ou transversal), la première figure pour le vapeur d’eau et la deuxième
pour l’azote. On voit bien dans les deux figures et pour les trois cas des champs
électrique et magnétique que la vitesse de dérive après quelques collisions décroissent
très rapidement et deviennent négligeables par rapport à la vitesse initiale. Ceci est
normal parce que les électrons cèdent leur énergie cinétique après quelques
collisions.
Le champ magnétique longitudinal (c à d B // -Ez) n’a aucune influence sur la
vitesse de dérive des électrons contrairement au cas du champ magnétique
55
transversal (c à d B ⊥ -Ez), dans ce dernier cas la vitesse de dérive reste inférieure
pour les raison citer plus haut.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
6
t(ns)
W
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 3 : La vitesse de dérive des électrons dans le vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
6
t(ns)
W
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 4 : La vitesse de dérive des électrons dans l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
(×106 m·s-1)
(×106 m·s-1)
56
En conclusion, on peut dire que l’effet du champ magnétique transversal est de
diminuer la vitesse et l’énergie moyenne des électrons (à cause de la force de Lorentz
qui a une composante anti-parallèle à l’axe Oz) contrairement au champ électrique
qui accélère les électrons.
2. Fréquence d’ionisation :
Les figures 5 et 6 donnent l’évolution des fréquences d’ionisations dans le temps
dans les trois cas (champ magnétique nul, longitudinal ou transversal), la première
figure pour le cas du vapeur d’eau et la deuxième pour l’azote. On remarque que dans
les trois cas, la fréquence d’ionisation diminue au cour du temps c’est probablement à
cause de la diminution de la vitesse des électrons, on voit aussi que la fréquence
d’ionisation de la vapeur d’eau est supérieure à celle du l’azote, le potentiel
d’ionisation de la vapeur d’eau étant inférieur à celui de l’azote. Également, on
remarque que le champ magnétique longitudinal n’a aucune influence sur la
fréquence d’ionisation, par contre le champ magnétique transversal diminue
légèrement la fréquence d’ionisation du gaz.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
9
t(ns)
fréq
uenc
e d'
ioni
satio
n
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 5 : Fréquence d’ionisation du vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique. La vitesse de dérive et la fréquence d’ionisation diminuent dans le champ
magnétique transversal. Ceci est dû à la déviation des électrons ce qui va réduire
(×109 s-1)
57
l’efficacité du champ électrique qui se comporte comme un champ électrique diminué
qui vaut E cosθ. Ce qui rejoint le principe au champ électrique équivalent autrement
dit : les électrons dans un champ électrique et un champ magnétique transverse se
comportent comme s’il sont soumis à la seule action d’un champ électrique
équivalent (E cosθ).
Le principe de champ électrique équivalent permet d’éviter le calcul ou la mesure
des paramètres de transport dans un champ magnétique transverse et un champ
électrique en se basant sur les résultats obtenus dans le cas d’un champ magnétique
nul. L’application de ce principe nécessite la connaissance de l’angle de déflection θ
qui est donné par la relation approché suivante v
ctg
ωθ = .
Cette relation n’est pas valable lorsque tg θ dépasse l’unité c à d : lorsque B est fort.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
9
t(ns)
fréq
uenc
e d'
ioni
satio
n
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 6 : Fréquence d’ionisation de l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique. 3. Fréquence d’attachement :
Sur la figure 7, on a tracé la fréquence d’attachement pour le vapeur d’eau sous
l’action des champs électrique et magnétique (longitudinal ou transversal). On voit
bien l’augmentation de la fréquence d’attachement dans le temps pour les trois cas
(× 109 s-1)
58
des champs électrique et magnétique. Dans le cas du champ magnétique transversal
la fréquence d’attachement passe au dessus. L’augmentation de l’attachement est due
à la diminution de la vitesse des électrons qui deviennent facile à attacher par les
molécules (ou les atomes des gaz).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
6
t(ns)
fréq
uenc
e d'
atta
chem
ent
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 7 : Fréquence d’attachement du vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique. 4. Coefficient d’ionisation :
Les figures 8 et 9 montrent comment varient les coefficients d’ionisation pour la
vapeur d’eau et l’azote sous les champs électrique et magnétique (longitudinal ou
transversal). On remarque que le coefficient d’ionisation dans les trois cas des
champs électrique et magnétique pour les deux gaz augment très rapidement jusqu’à
l’instant 0.2 ns en suite il décroît jusqu’à ce qu’il devient négligeable. Le coefficient
d’ionisation est inversement proportionnel à la vitesse de dérive, ce qui explique son
augmentation (surtout dans le cas d’un champ magnétique transverse). Les électrons
se multiplient, leur densité donc augmente d’une manière exponentielle, ce qui
conduit à la diminution du α/N.
(×106 s-1)
59
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
-19
t(ns)
α/Ν
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 8 : Coefficient d’ionisation du vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
1
2
3
4
5
6
7x 10
-19
t(ns)
α/Ν
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 9 : Coefficient d’ionisation de l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique. On peut remarquer aussi que le champ magnétique longitudinal n’a pas
d’influence sur le coefficient d’ionisation du gaz contrairement au cas du champ
magnétique transversal le coefficient d’ionisation est grande.
(×10-19 m2)
(×10-19 m2)
60
5. Coefficient de diffusion transversal :
Les figures 10 et 11 montrent le coefficient de diffusion transversal en fonction de
temps pour les deux gaz le vapeur d’eau et l’azote respectivement sous les champs
électrique et magnétique (longitudinal ou transversal).
Contrairement à la vitesse de dérive et la fréquence d’ionisation le coefficient de
diffusion transversal est influencé par le champ magnétique longitudinal. La
diminution du coefficient de diffusion transversal dans les deux cas du champ
magnétique signifie que les électrons sont confinés autour de l’axe Oz.
On remarque aussi que le coefficient de diffusion transversal dans le cas d’un
champ magnétique longitudinal est inférieur à celui dans le cas d’un champ
magnétique transversal c’est à cause de la force de Lorenz qui admit deux
composantes dans la première cas par contre au deuxième cas admit une seule
composante perpendiculaire à l’axe Oz.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
24
t(ns)
ND
T
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 10 : Coefficient de diffusion transversal des électrons dans le vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
(×1024 m-1·s-1)
61
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
24
t(ns)
ND
T
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 11 : Coefficient de diffusion transversal des électrons dans l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
6. Coefficient de diffusion longitudinal :
Les figures 12 et 13 montrent la variation du coefficient de diffusion longitudinal
en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique (longitudinal ou
transversal) dans le cas de vapeur d’eau et dans le cas de l’azote.
On remarque aussi que le champ magnétique longitudinal n’a pas d’influence sur
le coefficient de diffusion longitudinal par contre on voit la diminution de cet
coefficient dans le cas d’un champ magnétique transversal. On peut dire dans le cas
d’un champ magnétique transversal que les électrons sont confinés
longitudinalement.
(×1024 m-1·s-1)
62
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
24
t(ns)
ND
L
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 12 : Coefficient de diffusion longitudinal des électrons dans le vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
24
t(ns)
ND
L
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 13 : Coefficient de diffusion longitudinal des électrons dans l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
(×1024 m-1·s-1)
(×1024 m-1·s-1)
63
7. Fonction de distribution d’énergie d’électron (eedf) :
Les figures 14 et 16 montrent les fontions de distribution d’énergie d’électron
(eedf) f0 en fonction de temps sous les champs électrique et magnétique (longitudinal
ou transversal) pour le cas de la vapeur d’eau et le cas d’azote respectivement.
Les figures 15 et 17 montrent les fontions de distribution d’énergie d’électron
(eedf) avec le terme d’anisotropie f1 en fonction de temps sous les champs électrique
et magnétique pour le cas de la vapeur d’eau et le cas de l’azote respectivement.
Les quatres figures montrent une distribution des vitesse dépent initialement
du temps, lorsque la simulation se poursuit cette distribution tent vers une limite
constante, c’est la distribution d’équilibre qui doit être une maxwellienne.
L’établissement de cette situation d’équilibre est rapide en l’absence du champ
magnétique ou dans le cas d’un champ magnétique londitudinal et auussi lorsqu’on
néglige le terme d’anisotropie. On peut dire que la distribution tend vers
Maxwellienne vers la fin de la simulation.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
-3
t(ns)
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 14 : Fonction de distribution (eedf) f0 des électrons dans le vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
eedf (× 10-3 eV-1/2)
64
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
-3
t(ns)
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 15 : Fonction de distribution (eedf) avec le terme d’anisotropie f1 des électrons dans le vapeur d’eau en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
-3
t(ns)
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 16 : Fonction de distribution (eedf) f0 des électrons dans l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
eedf (× 10-3 eV-1/2)
eedf (× 10-3 eV-1/2)
65
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4x 10
-3
t(ns)
B = 0B // -EzBy transversal
Figure 17 : Fonction de distribution (eedf) avec le terme d’anisotropie f1 des électrons dans l’azote en fonction du temps sous les champs électrique et magnétique.
eedf (× 10-3 eV-1/2)
66
Conclusion générale
Ce travail m’a permis de se familiariser avec les techniques de simulation
statistique de Monte Carlo. L'avantage principal des méthodes de Monte Carlo pour
résoudre les problèmes de transport dans des techniques alternatives, telles que la
différence finie, le volume fini et les méthodes spectrales, est la simplicité de
l'exécution.
La simplicité est particulièrement évidente quand le problème est multi
dimensionnel, ou quand les conditions de frontière sont complexes. Un avantage très
important est l’utilisation d’un grand nombre de particules simulées pour réduire les
erreurs numériques.
Plusieurs travaux réaliser dans les dernières décennies ont montré que l’utilisation
de la méthode de Monté Carlo dans la résolution de l’équation de Boltzmann ou dans
le calcul des coefficients de transport est très simple. Elle conduit également à des
résultats précis et proche des valeurs expérimentales.
Notre travail consistait plus particulièrement à calculer les paramètres de
transport des électrons soumis à l’action simultanée d’un champ électrique et un
champ magnétique. On a étudié l’influence d’un champ magnétique transversal et
longitudinal sur les paramètres de transport. Les calculs ont montré que :
- dans le cas d’un champ magnétique transversal, tous les paramètres de
transport tel que la vitesse de dérive, la fréquence d’ionisation, les coefficients
de diffusion… diminuent sauf le coefficient d’ionisation et la fréquence
d’attachement qui accroît.
- dans le cas d’un champ magnétique longitudinal, la plupart des paramètres de
transport ne sont pas influencé par la présence du champ magnétique ce qui
est confirmé par la théorie.
- seul le coefficient de diffusion transversal diminue dans le cas d’un champ
magnétique longitudinal cela veut dire que les électrons sont confinés autour
de l’axe Oz.
67
Dans la future il me parait utile d’élargir ce travail aux cas des champs électrique
et magnétique non uniformes qui sont intéressant dans les domaines de claquage
des gaz par interaction avec les micro-ondes.
68
Résumé L’objet de ce travail est de calculer les paramètres de transport dans
un gaz faiblement ionisé, soumis à l’action simultanée des champs
électrique et magnétique. La connaissance des paramètres de transport
est nécessaire pour toute modélisation dans les plasmas et pour la
détermination de certaines propriétés des plasmas.
La méthode utiliser dans notre calcul est la méthode de Monte Carlo,
elle tient compte de plusieurs phénomènes aléatoires. Ce calcul a été
réalisé pour deux gaz différents : le vapeur d’eau et l’azote (a cause de
leur utilisations dans plusieurs applications technologiques) et dans les
trois cas suivant :
• champ électrique et un champ magnétique nul
• champ électrique et un champ magnétique longitudinal
• champ électrique et un champ magnétique transversal
Les paramètres calculés sont surtout : la vitesse de dérive, les
fréquences d’ionisation et d’attachement, les coefficients d’ionisation et
d’attachement, les coefficients de diffusion et la fonction de distribution.
Les résultats obtenus sont confirmés par l’expérience, ce qui va
permettre de tester la validité des sections efficaces électroniques de
collision utilisées dans le calcul.
Mots clé :
- gaz faiblement ionisé
- Décharge électrique
- Coefficients de transport
- Simulation de Monte Carlo
69
Abstract
The object of this work is to calculate the transport parameters in a
gas slightly ionized, subjected to the action simultaneous of the electric
and magnetic fields. The knowledge of the transport parameters is
necessary for any modelling in plasmas and to the determination of
certain properties in plasmas.
The method used in our calculation is the Monte Carlo method; it
takes account of several random phenomena. This calculation was
carried out for two different gases: water vapour and nitrogen (because
of their uses in several technological applications) and in the three
following cases:
• electric field and a no magnetic field
• electric field and a longitudinal magnetic field
• electric field and a transverse magnetic field
The calculated parameters are especially: the drift velocity, ionization
and attachment frequencies, ionization and attachment coefficients,
diffusion coefficients and the distribution function. The results obtained
are confirmed by the experiment, which will make it possible to test the
validity of the electronic cross sections of collision used in the
calculation.
Key words: - Slightly ionized gas
- Electrical discharge
- Transport coefficients
- Monte Carlo simulation
- Plasmas
- transport Coefficient
- Monte Carlo
70
Références
[1] Physique des plasmas froids B.
HELD
[2] S. VACQUIE : ’’
L’arc électrique et ses applications ‘’CNRS, Paris (1984), Tome
1, ch. IV, 113
[3] N St J Braithwaite Plasma
Sources Sci. Technol. 9 (2000) 517–527.
[4] Physique statistique à l’équilibre et hors équilibre
Christian NGO
Hélène NGO
Masson Paris Milan Barcelone 1995
[5] C M Ferreira and J Loureiro Plasma
Sources Sci. Technol. 9 (2000) 528–540.
[6] Théodore VASSILIADIS Thèse
de doctorat du 3° cycle, n° 3139
Université Paul Sabatier, Toulouse (1985)
[7] J L. DELCROIX et A. BERS <<
PHYSIQUE DES PLASMAS >>
Edition CNRS (1994)
[8] Forsythe G E and Leibler R A 1950 Math. Tables Aids Comp. 4 127
[9] Von Neumann J 1951 US Natl Bur. Stand., Appl. Meth. Series 12 36
[10] Spanier J and Gelbard E M 1969 Monte Carlo Principles and
Neutron Transport Problems (Reading, MA: Addison Wesley)
[11] Itoh T and Musha T 1960 J. Phys. Soc. Japan 15 1675
[12] Skullerud H R 1968 J. Phys. D: Appl. Phys. 1 1567
[13] Ivan REVEL Thèse
de doctorat de l’université Toulouse III, n° 3523 Université
Paul Sabatier, Toulouse (1999)
[14] Marnix A Tas, E M van Veldhuizen and W R Rutgers J.
Phys. D: Appl. Phys. 30 (1997) 1636–1645.
[15] Yousfi Mohamed Thèse
de doctorat d’état, n° 1244 Université Paul
Sabatier, Toulouse (1986)
[16] M. Yousfi, N.Azzi et I.Gallimberti, S.Stangherlin Collection
de données de base numéro 1, Toulouse-padova, 1988
71