apostila gaal 20161

7/26/2019 Apostila Gaal 20161

1/31

DETERMINANTES

REGRA DE SARRUS

Institucionais das Exatas Geometria Analtica e lgebra inear !ro"#$ !atrcia Grud%ins&i daSil'a


2/31

()*AT)R


3/31


4/31

c |4 3 2 61 2 1 12 4 1 5

3 3 5 7|= d |

1 1 3 11 0 1 1

0 4 1 0

0 1 2 3|=


5/31

e|3 7 0 1

2 3 1 41 0 1 1

9 2 2 5|=

SISTEMAS INEARES

M0T)D) DE GAUSS12)RDAN )U ES(A)NAMENT)

+ um mtodo de escalonamento ,ue consiste em aplicar opera-es elementares matrizaumentada de um sistema$ at ,ue ela este!a na forma escalonada reduzida. ' vantagem deste processo ,ue um sistema cu!a matriz aumentada uma matriz na forma escalonada reduzida tem soluoimediata$ en,uanto ,ue para resolver um sistema ,ue est/ apenas na forma escalonada ainda necess/rio fazer uma srie de substitui-es para obter a soluo final.

De"ini34o+ 0ma matriz est/ na forma escalonada reduzida ,uando ela satisfaz as seguintescondi-es:. O primeiro elemento no1nulo de cada linha no1nula (chamado o piv2 da linha) igual a .

. O piv2 da linha i 3 ocorre direita do piv2 da linha i.

*. %e uma coluna contm um piv2$ ento todas os outros elementos desta coluna so iguais a 4.

5. 6odas as linhas nulas ocorrem abai"o das linhas no1nulas.

Exem5lo de matri% escalonada redu%ida+

[1 0 0

0 1 0

0 0 1|25

]7este caso$ podemos apresentar a soluo diretamente$ ou se!a$ x=2 , y=5 e z= .

8onsidere este outro e"emplo$ onde tornaremos a matriz na forma escalonada:

{ x+y+2z=9

2x+4 y3z=13x+6y5z=0

amos agora resolv91lo$ escrevendo uma matriz associada ao sistema$ onde cada uma das linhascorresponder/ a uma das e,ua-es. 6eremos$ portanto$ uma matriz com * linhas. 8ada coeficiente daprimeira e,uao corresponder/ ordenadamente a uma entrada da primeira linha. O termo independenteser/ a ,uarta entrada desta primeira linha. la ter/ 5 entradas. 'ssim$ faremos com as demais linhas.6eremos$ portanto$ uma matriz * ; 5 associada ao sistema$ chamada matriz aumentada. Observe:

(1 1 2

2 4 33 6 5|

9

1

0)


6/31

)bser'a34o+' matriz acima se chama aumentada para se distinguir da matriz

(1 1 22 4 33 6 5)

,ue conhecida como matriz dos coeficientes do sistema. 0tilizaremos na se,u9ncia$ as duasmatrizes ,ue no podem ser confundidas.

' maneira ,ue utilizaremos para resolver este sistema no muito diferente da ,ue utilizamos at

a,ui para encontrar a matriz inversa e determinante de matriz n n . amos operar nas linhas da matriz

da seguinte maneira: inicialmente$ multiplicando a primeira linha por 1 e adicionamos segunda.

(1 1 20 2 73 6 5|

917

0)m seguida$ multiplicamos a primeira linha por 1* e adicionamos terceira. 7o alteramos as

demais entradas

(

1 1 2

0 2 70 3 11

|

9

1727

)8ontinuando multiplicamos a segunda linha por

1

2 para obtermos o piv2 . 7o alteramos as

demais entradas. Observe:

(

1 1 2

0 1 7

2

0 3 11

|

9

172

27

)$ finalmente$ realizamos a operao para modificar a terceira linha e eliminar duas vari/veis$ ,ue: (3 ) L2+L3

(

1 1 2

0 1 7

2

0 0 12

|

9

172

32

)


7/31

%ecretamente$ sabemos ,ue as * primeiras entradas das linhas da matriz correspondemrespectivamente aos coeficientes de "$ ltima linha:

12

z=3

2 z=

32

12

z=3

22 z=3 . ' segunda linha representa a e,uao: y

7

2z=

172 .

8omo z ? * obtemos y=17+21

2=2 . Levando estes valores na e,uao correspondente primeira

linha temos: x+y+2z=9 x=932 2 x=934 x=2 .

Discuss4o dos Sistemas ineares

&iscutir um sistema linear % significa efetuar um estudo de % visando a classific/1lo segunda a

definio: dizemos ,ue um sistema linear % incompatvelse % no admite nenhuma soluo. 0m sistemalinear ,ue admite uma >nica soluo chamado compatvel determinado. %e um sistema linear % admitirmais do ,ue uma soluo ento ele recebe o nome de compatvel indeterminado.

=ara resolver$ faremos como !/ visto acima$ o escalonamento e$ retiradas as e,ua-es do tipo 4 ?4$ restampe,ua-es com ninc@gnitas.

I# %e a >ltima das e,ua-es restantes 0x1++0xn=p (p 0 ) , ento o sistema incompatvelA

8aso contr/rio$ sobram duas alternativas:

II# %e p ? n o sistema compatvel determinado;III# %e p B n$ ento o sistema compatvel indeterminado.

Exem5los+

,- #esolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a)S=

{

5x2y+2z=23x+y+4z=1

4x3y+z=3

b)S={x+y+z+3 t=1x+yz+2 t=0

c)S={ x+y+z=1xyz=2

2x+y+z=3

.- O diretor de uma empresa$ o %r. 'nt2nio$ convocou todos os seus engenheiros$ civis$ eltricos emecCnicos para uma reunio. 8om a chegada do %r. 'nt2nio sala de reuni-es$ o n>mero total de


8/31

engenheiros civis$ eltricos e mecCnicos presentes na sala D. 8aso$ tivssemos o dobro de engenheiroscivis somado ao n>mero de engenheiros eltricos$ e subtraEssemos do n>mero de engenheiros mecCnicos$resultaria F. $ se do n>mero de engenheiros civis fosse subtraEdo o triplo do n>mero de engenheiroseltricos e somado ao n>mero dos engenheiros mecCnicos$ resultaria G. Huantos engenheiros de cada/rea esta empresa possui

/- 0ma editora publica um best1seller em potencial com tr9s encaderna-es diferentes: capa mole$capa dura e encadernao de lu"o. 8ada e"emplar de capa mole necessita de minuto para a costura ede minutos para a cola. 8ada e"emplar de capa dura necessita de minutos para a costura e de 5minutos para a cola. 8ada e"emplar com encadernao de lu"o necessita de * minutos para a costura ede G minutos para a cola. %e o local onde so feitas as costuras fica disponEvel J horas por dia e o localonde se cola fica disponEvel horas por dia$ ,uantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo,ue os locais de trabalho se!am plenamente utilizados

Exerccios+

,- 0ma empresa ,ue presta servios de engenharia civil tem tr9s tipos de contentores I$ II e III$ ,uecarregam cargas$ em tr9s tipos de recipientes '$ K e 8. O n>mero de recipientes por contentor dado pelo ,uadro:

Ti5o de reci5iente A 6 (I 5 * 5

II 5 *III

Huantos contentores "$ < e z de cada tipo I$ II$ III so necess/rios se a empresa necessitatransportar *F recipientes do tipo '$ 5 do tipo K e * do tipo 8

.- 7a rana$ tr9s destes turistas trocaram por euros (M)$ no mesmo dia$ as ,uantias ,ue lhesrestavam em d@lares$ libras e reais$ da seguinte forma:N turista: G4 d@lares$ 4 libras e 44 reais por 4F$G M.N turista: 54 d@lares$ *4 libras e 44 reais por G$ M.*N turista: *4 d@lares$ 4 libras e *44 reais por JG$D M. 8alcule o valor de uma libra$ em euros$no dia em ,ue os turistas efetuaram a transao.

/- #esolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:

a) S={ 2xy+z=15x20y15z=11

3x+3y+4z=3


9/31

b) S={ x+2yz+w=32x+4y2z+3 w=73x6y+2zw=6

ES!A7) 8ET)RIA

%abemos ,ue para um con!unto ser espao vetorial e"istem algumas condi-es$ propriedades dadefinio. Logo$ resolva cada e"ercEcio abai"o verificando se as condi-es$ propriedades da definio sov/lidas.

Exem5los+

,- R um espao vetorial trivial.

V=R ={(x , y )x , yR }$ com as opera-es:

(x 1 , y 1 )+(x2 , y2 )=(x1+x2 , y1+y2 ) e (x , y )=(x,y) um espao vetorial

, 0=(0,0)R2

,tal que u=(x , y )R2 ,teme :

0+u=(0,0 )+(x , y )=(0+x ,0+y )=(x , y )=u

u+0=(x , y )+(0,0 )=(x+0,y+0 )=(x , y )=u

!1

" #$ l%da.

. u=(x , y )R2

,u=(x ,y )R2 ,&nde :

u+(u)=(x , y )+(x ,y )

u+ (u)=(x+(x ), y+(y ))=(0,0 )=0

!2

" # $ l%da.

/ Se'a u=(x1,y 1 )R2

e#=(x2 , y2)R2

u+#=# +u

9 Se'a u=(x , y )R2 , #=

(x1,y 1

)R

2e w=

(x2 , y 2

)R

2.

u+ ( #+w ) (u+# )+w


10/31

: Se'a u=(x , y )R2

e =1R .

1.u=u

; Se'a u=(x , y )R2

e , R .

( .u )=( ) .u

) INEAR+ escrever um vetor em funo de outros vetores$ ,ue foram multiplicados por um escalar e$

somados posteriormente.


11/31

#=a . #1+b . #

2

Exem5los+

,- 8onsidere os seguintes vetores:#1= (1,3,2 ) e #2=(2,4,1) e determine o ,ue se pede em cada

item:

a) screver o vetor #=(4,18,7) como combinao linear dos vetores#1 e #2 .

b) screver o vetor #=(2,21,23

2) como combinao linear dos vetores#1 e #2 .

Exerccios+

,- screver o vetor w=(4, 2) $ como combinao linear dos vetores u= (1, 7 ) e #=(5,9 ) .

.- %e!am os vetores u=(2,3, 2) e #=(1,2, 4) em R3

escrever o vetor w=(7,11,2) como

combinao linear de u e # .

ES!A7)S 8ET)RIAIS *INITAMENTE GERAD)S

De"ini34o+&izemos ,ue um espao vetorial 8 "initamente gerado se e"iste % contido em 8$ finito demaneira ,ue ? R%S. Onde % representa um con!unto de vetores. "s.:

S= {# 1 , #2 , , #11 }* S={(1,0,1 ) , (0,1,1 )R 3 * S={t2 , t3 , t1 }!3 ( t) .

)bs#+

R%S: 8on!unto formado por uma combinao linear de %$

%: 8on!unto Terador de .

Exem5los+

) Uostre ,ue V finitamente gerado por S= { (1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1)} .

) Uostre ,ue V finitamente gerado por S= { (1,1,1 ) , (1,2,0 ) , (1,4,1 )}.


12/31

Exerccios+

,- Uostre ,ue V finitamente gerado pelos seguintes con!untos:

a-+={(

1,0,

1

),(1,2,1

),(

0,

1, 0

)}

b- ={ (1,2,3 ) , (0,1,2) , (0,0,1)}

DE!END?N(IA INEAR

De"ini34o+&izemos ,ue um con!unto -={u1 ,u2 , u3 , , un} em $ onde um espao vetorial$

inearmente Inde5endente @I- se$ e somente se$ uma igualdade do tipo:

a1

u1+a

2u

2++anun=0 $ ()

com os a%R $ s@ for possEvel para a1=a2==an=0 $ ou se!a$ todos os escalares so iguais a

W#O.

%e for possEvel encontrar a igualdade sem ,ue todos os escalares forem nulos$ iguais a zero$ diz1se,ue o con!unto 0 inearmente De5endente @D-#

Exem5los+

,- 8lassifi,ue os seguintes con!untos em L.I. ou L.&.$ em V.

a) X($ $ 1)$ (4$ $ )$ ($ 4$ )Y

b) X($ $ )$ ($ $ 1)$ ($ *$ )Y

Exerccios+

,- 8lassificar os seguintes subcon!untos de R2

e R3

em L.&. ou L.I.:

a- { (1, 3 ) ,(2,6 )}

b- {(2,1 ) , (3,5 )}


13/31

c- X($ $ 1)$ ($ 5$ 1)$ ($ $ 1)Y

6ASE

De"ini34o+0m con!unto+={#

1, #

2 , #

n

} uma base do espao vetorial se:

. K L.I.

. K gera .

Teorema+ %e +={#1 , #2 , #n } for uma base de um espao vetorial $ ento todo o con!unto com mais

de n vetores ser/ linearmente dependente.

(orolBrio+ &uas bases ,uais,uer de um espao vetorial tem o mesmo n>mero de vetores

Exem5los+

) K ? X($ )$ ($ 4)Y base de R Q

) K ? X($ 4$ 1)$ ($ $ )$ (4$ 1$ 4)Y base de R V

Exerccios+

,- Huais dos seguintes con!untos de vetores formam base do R e do R

a- { (1, 2 ) , (1,3 )}

b- {(3,6 ) , (4, 8 )}

c- { (1,1,1 ) , (2,1,0 ) , ( 3,2,0 )}

d- {(2,1,1 ) , (1,0,1) ,(0,0,1)}

6ase (anCnica


14/31

GEOMETRIA ANALTICA RETA


15/31


16/31


17/31


18/31


19/31


20/31


21/31


22/31

Exerccios:

1) Calcular as coordenadas do ponto de interseco da reta y=x+5 com a reta que passa pelo

ponto (2,8) e perpendicular primeira.

2) Dadas as equaes das retas x+4y8=0 e (2 12 )x+2y4=0 , determinar o valor de kde tal

maneira que as retas sejama)paralelasb)perpendiculares

3) Determine a dist!ncia entre as retas de equaes / : 2x+3y4=0 e : 2x+3y10=0 .

4) Determine as equaes paramtricas e cartesianas da reta de"inida pelos pontos

a) # ($, %) e & (2, ').

b) C (, 2) e D (, $).

) Dada a equao da reta y=2x+(3 m+2) , calcular *m+ de modo que essa equao represente

uma reta que passa


23/31

a) ela ori-em

b) elo ponto ($, ').

!) #c/ar a equao da reta que passa pelo ponto (, 0) e pelo ponto de interseco das retas3x2y=0 e 4x+y11=0 .

8ET)RES

,- )5era3es com 8etores+

Adio: %e!a u= (x , y ) e #= (x1 , x2 ) u+#=(x+x1 , y+y1)

Ex#+8onsidere u= (3,2 ) e #=(2,2 )

u+#=(3,2 )+(2,2 )= (3+2,(2+2))=(5,0 ) .

Multiplicao de um vetor por um nmero real (escalar): %e!a u= (x , y ) e Z

u= (x , y )=( x , y ).

Ex#+ 8onsidere

u= (3,2 ) e =5

u=5 (3,2 )=(5 3,5 (2 ))=(15,10 ).

Produto escalar: %e!a u= (x , y ) e #= (x1 , y1 ) u #=(x x1 )+(y y1)

Ex#+ 8onsidere u= (2 , 3) e #=(1, 4 ) . 8alcule u # e classifi,ue o Cngulo formado entre eles.

u #=(2 (1))+(3 4 )2+12=10 u #=10.

&m& 10>0, & 0 n1ul& 2&/mad& ent/e ete #et&/e" a1ud&.


24/31

)bs#+%erve para classificar o Cngulo ,ue formado pelos vetores dados.

O Cngulo ser/ classificado como:

'gudo$ se o produto for maior ,ue 4A Obtuso$ se o produto for menor ,ue 4A #eto$ se o produto for igual a 4.

Produto vetorial: u # # + calculado utilizando determinante de uma matriz.

Ex#+ 8onsidere u= (2 ,3,1 ) e #= (1,2,1 ) . &etermine o produto vetorial de u # .

|% ' 2 3 11 2 1| d=3 %+'+4 (3 +2%2' )

d=3 %+'+4 +3 2 %+2 '

d=%+3'+7 u #=(1,3,7 ) .

.- !roe34o de 8etores+

!#u=(u ## # ) #

+ a pro!eo de vetor u sobre o vetor # .

!#u=( (2,1 ) ( 4,1 )(4,1) (4,1 ) ) (4,1 )

!#u=( 8116+1 ) ( 4,1 )

!#u=

7

17 (4,1 )

!#u=( 2817 ,717)

/- !aralelismo entre 8etores+&ois vetores so paralelos se possuem a mesma direo$ isto $ se e"iste

[ , tal ,ue u= # .


25/31

Ex+ u= (10,8 ) e #=(2,85 )

u= . #

(10,8)= .

(2,

8

5

)(10,8 )=(2 , 8 5)

10=2 =5

8=8

5

40=8

=5

=ortanto$ como os valores deram iguais$ u e v so paralelos.

Exerccios+

,-8onsidere os seguintes vetores u= (1, 9 ) , #=( 4, 0 ) , w=(2,7 ) . 8alcule:

a) t=u+#

b) t=(4 ) . w

c) t=2u3 #

.-%e!a u= (1,3 ) e #= (2, 0) e w=(1, 4) . &etermine:

a) u # e cla%2%que & 0n1ul& 2&/mad& ent/e ele.

b) u w e cla%2%que & 0 n1ul& 2&/mad& ent/e ele.

c) #

w e cla%2%que & 0 n1ul& 2&/mad& ent/e ele.

d) !#u=


26/31

e) !uw=

/-8onsidere u= (3,2,1 ) e #=(1,0,4 ) e w=(5,3,8) . &etermine:

a) u #=

b) u w=

c) # w=

9-%e!a u= (5, 7 ) e#=(3,2 ) . erifi,ue se estes vetores so paralelos.

:-&eterminar o vetor # $ paralelo ao vetor u= (1,1,2 ) ,talque # u=18.

;-&eterminar o vetor # $ paralelo ao vetor u= (4,2,6 ),talque# u=12.

EFUA7>) SEGMENTRIA DA RETA

8onsidere uma reta s ,ual,uer do plano de e,uao ax+by=c . =ara obteno da e,uao

segment/ria da reta s basta dividir toda a e,uao por c$ obtendo:

Hue a e,uao na forma segment/ria da reta s.


27/31

Exem5lo+

,- &etermine a e,uao segment/ria da reta t: 7x+14y28=0 e as coordenadas dos pontos de

interseo da reta com os ei"os do plano.

%oluo: =ara determinar a forma segment/ria da e,uao da reta tdevemos isolar o termo independente

c. 'ssim$ teremos: 7x+14 y=28

&ividindo toda igualdade por F$ obtemos:

Hue a e,uao segment/ria da reta t.

8om a e,uao segment/ria$ podemos determinar os pontos de interseo da reta com os ei"os

ordenados do plano. O termo ,ue divide " na e,uao segment/ria abscissa do ponto de intercesso da

reta com o ei"o "$ e o termo ,ue divide < abscissa do ponto de interseo da reta com o ei"o


28/31

Exerccios+

,- &etermine a forma segment/ria da e,uao da reta s cu!a e,uao geral : : 4x+12y36=0

.- &eterminar a e,uao segment/ria da reta ,ue passa por !(1D$ 4) e F(4$ J).

EFUA7ES !ARAM0TRI(AS DA RETA

De"ini34o+ ,uacionar as vari/veis xe H( dimens-es do plano cartesiano) para um 5armetroapenas$ no caso$ a vari/vel t por isso$ o nome paramtricas.

=ara definir estas e,ua-es paramtricas da reta$ basta termos um ponto ,ue pertence a essa retae um vetor diretor (o ,ual$ indica a direo desta reta).

%e!a # ? (a$ b) e ' ( x0 , y 0 ). 'ssim$ as e,ua-es paramtricas da reta ,ue passa pelo ponto '

e tem a direo do vetor # $ :

{x=x0+aty=y0+bt

Obs.: 7este caso # chamado vetor diretor da reta.

Ex#+ &etermine as e,ua-es paramtricas da reta ,ue passa pelo ponto '($15) e tem vetor diretor

#=(2,5 ) .

' reta ,ue passa pelo ponto '($ 15) paralela ao vetor#=(2,5 ) .

!A=t # $ onde =("$


29/31

(x , y )(1,4 )=t (2, 5 )

(x1,y+4 )=(2 t , 5t)

{x1=2 ty+4=5 t

Ou$ pela definio$ substituindo pelos valores ,ue constam no e"ercEcio$ teremos: { x=1+2ty=4+5t, tR .

=ara obter a e,uao geral dessa reta a partir das paramtricas$ basta eliminar o parCmetro t das duas

e,ua-es$ assim: x=1+2 t 2 t=x1 t=x1

2

%ubstituindo esse valor na segunda e,uao$ teremos:

y=4+5.(x12 ) y=4+ 5x52 y=8+5x52 y=5x132 5x2 y132 =0

Exerccios+

,-&etermine a e,uao paramtrica da reta definida pelos pontos ($15) e (*$ G)..-screva as e,ua-es paramtricas da reta ,ue:

a) contm o ponto (1$) e tem a direo do vetor (1J$).

b) contm os pontos '(15$ G) e K(1\$ ).

/- 0m m@vel descreve uma tra!et@ria retilEnea e suas coordenadas em funo do tempo t$ so:

{ x=3t+11y=6 t+10 Hual a e,uao segment/ria dessa tra!et@ria$ represente o seu gr/fico

EFUA7>) GERA )U (ARTESIANA D) !AN)

+ a e,uao do plano ,ue passa pelo ponto e tem vetor perpendicular # .

%e!a A(x0 , y0 , z0 ) e #=(a , b , c) $ ento a e,uao cartesiana do plano dada pelo con!unto de

pontos ,ue satisfaz: A! #=0 $ com =("$


30/31

(xx 0 , yy0 , zz0 ) (a , b , c )=0

a (xx0 )+b (yy0 )+c (zz0 )=0

axa x0+byb y

0+czc z

0=0

ax+by+cz+(a x0b y 0c z0 )=0

ax+by+cz+d=0

Exem5los+

,- &etermine a e,uao do plano ,ue contm o ponto '(*$ $ 15) e perpendicular ao vetor #=(5,6,2) .

A! #=0,&nde ! (x , y , z ) .

(x , y , z )(3,2,4 ) (5,6,2)=0

(x3,y2,z+4 ) (5,6,2 )=0

(5 (x3) , 6 (y2 ) ,2 (z+4 ))=0

(5x15,6y12,2z+8 )=0

5x+6y+2z19=0

.- screver a e,uao cartesiana do plano ,ue passa pelo ponto '(*$ $ 15) e paralelo ao plano:

1 : 2x3y+z6=0

/- Obtenha a e,uao geral do plano ] em cada caso:

a) ] contm os pontos ' ($ 4$ )$ K (1$ 4$ ) e 8 ($ $ )

b) ] contm os pontos ' ($ 1$ *)$ K ($ 1$ 5) e perpendicular ao plano :x2y+z1=0 .

EFUA7ES !ARAM0TRI(AS D) !AN)


31/31

%e!a A(x0 , y 0 , z0 ) um ponto de um plano e u=( a1 ,b1 , c1 ) e #=(a2 , b2 , c2 ) dois vetores no

colineares. 0m ponto =("$

apostila gaal 20161

Documents