apostila de matemÁtica - impacto

Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4

4 16 26 34

18 28 366

10 20 28 38

12 22 30 40

14 24 32 40

Teoria dosConjuntos

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

PontoReta e Plano

Matriz: conceito, igualdade e operações

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Perímetro e área de figuras planas

Matriz: operações e aplicações

Operaçõescom Conjuntos

ConjuntosNuméricos

Arcos - Ângulos e comprimento de arcos

Perímetro e área de figuras planas

Determinantes: conceito e resolução

NúmerosComplexos

Relações trigométricas fundamentais naCircunferência

Polígonos regularesno cotidiano

Sistemas Lineares (conceito e classificação)

Operações entreNúmeros Complexos

Relações trigométricas - IdentidadesTrigonométricas

Congruências e semelhanças de figuras planas

Sistemas Lineares (conceito e classificação)

Fich

a 1

Fich

a 2

Fich

a 3

Fich

a 4

Fich

a 5

4 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br

Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou clas-se e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Vamos aqui começar a visualizar esses elementos que constituem conjuntos,

observando situações que estão presentes em nosso dia-a-dia.

Teoria dos

CONJUNTOS2. Nomeando

1. Diagrama

O qUe é Um CONJUNTO?

n Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e nomeamos seus elementos entre chaves.

Exemplo:

V= {a, e, i, o, u}

n Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma idéia de que está associada à coleção de objetos, reunião ou grupo de pessoas,etc.

Como é que se representa um conjunto?Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais:

Representamos um conjunto por diagramas (cur-vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele-mentos.

3. Propriedade característica

n Representamos um conjunto por meio de uma propriedade caracte-rística de seus elementos, sem no-meá-los

Exemplo:

V= {vogais do alfabeto}

ou

V= {x/x é vogal}

n A maneira de representar um conjunto não é importante. O que importa é que fique evidente o con-junto e os elementos que queremos representar.

n A propósito, entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer existem duas e somente duas possi-bilidades de relacioná-los.

1ª PossibilidadeO elemento x é um dos elementos que constitui o conjunto A. Usando símbolos:

X ∈ A → X pertence a A

2ª PossibilidadeO elemento x não é um dos elemen-tos que constitui o conjunto A. Usan-do símbolos:

X ∉ A → X não pertence a A

Sendo o conjunto M:

podemos dizer que :

4 ∈ M

5 ∉ M

dó D

V

fásol

lá

ré

misí

Conjunto de carros

Conjunto de casas

Conjunto de árvores

Conjunto de pessoas

a

ue

o

i

n Um conjunto qualquer é forma-do por elementos. Da mesma for-ma que conjuntos, elementos são entes matemáticos primitivos, por-tanto sem definição.

4, 7, 9,11, 13

M

FrenteFicha

01

01

www.portalimpacto.com.br 5n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br

4. Conjunto vazio

5. Subconjunto1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo-gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los:2. Consideremos o conjunto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for-mar o conjunto H, de todos jogadores da Seleção, e o conjunto M, de toda a comissão técnica. 3. Dizemos que os conjuntos H e M são Subconjuntos de B.4. Se um subconjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B.

n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não possui elementos?

∅ ou { }

Cuidado: {∅} ≠ ∅

n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos.n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...

A B

U

6. Conjunto Universo

n O conjunto Universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elemen-tos desse estudo. Graficamente, o Universo será representado por um retângulo envol-vendo os outros conjuntos.

Indicamos esses fatos por:

H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”)M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”)

T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”)

Propriedades importantes:P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual-quer conjunto. P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

A ⊂ B e B ⊂ A então A = B

+ +


2. A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f}

Resp. A - B = {a, b}

3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {2, 4, 6}

Resp. A - B = {8, 10}

D ados os conjuntos A e B, quais-quer, chama-se união ou reu-nião de A com B, ao conjunto

formado pelos elementos que perten-cem ao conjunto A ou ao conjunto B.Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B”

Operações com

C O N J U N TO S

Portanto:

Exemplos:

A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}

Utilizando diagramas temos:

Observe nos diagramas a seguir que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A

Note nos diagramas como ficará a união de dois conjuntos disjuntos:

a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8}

b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en-tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8}

c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en-tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Intersecção entre conjuntos

Diferença entre conjuntos

União entre conjutos

n Dados dois conjuntos A e B, chama-mos Diferença A – B ao conjunto forma-do pelos elementos de que pertencem a A e não pertencem a B.

A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}

Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di-ferença A - B. A região assinalada nos diagramas representa a diferença.

1. A = {1, 2, 3, 4} B = {7, 8, 9}

Resp. A - B = A

A B

AB

A

8 9

7

1 3

2

4B

A

a e

b f

B

c

d

A

8

6

42

10B

Intersecção n Dados dois conjuntos A e B chama-se Intersecção entre A e B ao conjunto formado pelos elementos comuns entre A e B, isto é, pelos elementos que per-tencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}

n Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B:

A B

A B

A B

B A

Observação: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem ele-mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.

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01

02


4. A = {8, -8, 6, -6} B = Ø Resp. A - B = A

Complementar

Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de comple-mentar de A em B à diferença B – A. Observe o diagrama. A região assinala-da representa o complementar de A em B, que indicamos por

A ⊂ B ⇒ = B - A

Operações com intervalos

Considere os conjuntos A e B e analise cada uma das operações:

1. União ou reunião:

2. Interseção:

3. Diferença:

a

a

c

b

d

dA B

a

c

c

b

d

bA B

a

a

c

b

d

cA - B

+ +BA

A

- 8

- 8

6

6

Observação:

quando nos referimos ao complementar de um conjunto A em relação ao Universo U, utilizamos simplesmente o símbolo A’ ou A.

Intervalos

Podemos representar o conjunto dos números reais as-sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. Assim, se convencionarmos uma origem O, associando a ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos por Reta Real.

23-2 -1 20 1 2

p q p q

Intervalo fechado à direita

Números reais maiores que p e me-nores ou iguais a q.

Intervalo:] p, q] Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}

Intervalo fechado à esquerda

Números reais maiores ou iguais p e menores que q.

Intervalo: [p, q[Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}

p q p q

Exemplos:

1. A = {23, 24} B = {21, 22, 23, 24, 25} 2. A = {x / x é par positivo} B = {x / x é inteiro positivo}

= {1, 3, 5, 7, 9,...}

Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí-nuo de IR. Dados p e q reais (p < q), podemos definir os intervalos:

Intervalo fechado

Números reais maiores ou iguais a p ou menores ou iguais a q.

Intervalo: [p, q]Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}

Intervalo aberto

Números reais maiores que p e me-nores que q.

Intervalo: ]p, q[Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}

A∩B


É toda relação estabelecida entre conjuntos. Para isso utilizaremos os símbolos de inclusão.

⊂ Está Contido⊄ Não Está Contido⊃ Contém⊃ Não Contém

Relação de

INCLUSÃO

Observação:

é importante não esquecer que a Relação de Inclusão só será utilizada para relacionar Conjunto com Conjunto.

Exemplo:

No exemplo dado temos:

Exemplo:

Contextualizando com a Geografia

Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, temos:

Então, observe que nesse caso, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Logo, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B.

Indicamos que A está contido em B da seguinte maneira: A ⊂ B.

Se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A e indicar: B ⊃ A.

Considerando os conjuntos A = {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser-vamos que nem todos os elemen-tos de A pertencem a B.

Amazônia LegalAmazonas, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará, Tocantins, maranhão e

mato Grosso

Região NorteAmazonas, Acre, Rondônia, Roraima,

Amapá, Pará, Tocantins

Nesse caso, dizemos que A não está contido em B e indica-mos: A ⊄ B.

Também podemos dizer que B não contém A e indicar: B ⊃ A

Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, isto é: A ⊂ A. E o Conjunto Vazio é subconjunto de qualquer con-junto, isto é, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.

Conjuntos Iguais

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é igual a B, se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ou seja, quando possuem os mesmos elementos, independentemente da maneira que apareçam escritos no conjunto.

Notação:

A = B

Lê-se: o conjunto A é igual ao Conjunto B.

Conjuntos das partes de um conjunto

Consideremos o conjunto A = {3, 5, 7}, vamos formar todos os seus possíveis subconjuntos:

Sem elementos Ø conjunto vazio

Com um elemento {3}, {5}, {7}

Com dois elementos

{3, 5}, {3, 7}, {5,7}

Com três elementos {3, 5, 7}

Denominamos conjunto das par-tes de um conjunto A, não-vazio, ao conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A.

P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}

B A.1 .2 .4

.5.3

FrenteFicha

01

2.1


+ +

Exemplos:

Operações com conjuntos

É importante observar que esses subconjuntos do conjun-to A são elementos do conjun-to P(A). Então é correto afirmar que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).

Observação:

O número de elementos do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é dado por 2n. então:

n[P(A)] = 2n

1. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de A, sabendo que A tem 4 elementos.

Resolução:

n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24

portanto n[P(A)] = 16 elementos

2. Determine o conjunto das par-tes do conjunto B = {1 , 3}.

Resolução: Não possua elementos ∅Possua um elemento {1}, {3}Possua dois elementos {1, 3}

P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}

3. Determine quantos elementos tem o conjunto das partes de B, sabendo que B tem 2 elementos.

Resolução:n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22

portanto n[P(B)] = 4 elementos

Comentários:

Aplicações no dia-a-dia

n Vejamos então, como seria para se obter o número de elementos da união de dois conjuntos.

n Vamos imaginar então dois grupos de executivos de uma empresa, que chamaremos de “A” e “B”. Uma parte desses execu-tivos estão defendendo a proposta A, outra parte a proposta B e um número deles que acham que ambas as propostas são boas. O diagrama a seguir representa esta situação, na forma de dois conjuntos A e B, e a união A ∪ B pode ser representada pela figura toda.

Sérgio José Rita Ruy João Beto


N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nosso dia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.

Neste Capítulo estudaremos a classificação dos números bem como os intervalos reais.

Conjuntos

NUméRICOS

COnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS

COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS

COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q)

É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.

n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.

É uma expansão do conjunto dos números naturais. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

NPara excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamos o + (mais). Deste modo:Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.Z*

+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.Z*

- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.

É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador não-nulo).

De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q*+ e Q*

- Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são:

A) números inteirosTodo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos:

a) 5 10 155

1 2 3 , portanto -5 ∈Q.

b) 0 0 0

01 2 3

, portanto 0 ∈Q.

c) 7 14 217

1 2 3 , portanto 7 ∈ Q.

z z

FrenteFicha

01

03


B) Frações próprias, impróprias e números mistosObserve os exemplos:

3 4 1a)

5 2 3, , 3 Q

C) números decimais exatosNúmero decimal exato é aquele que apresenta um número finito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos:

D) Dízimas periódicas simples e compostasDízimas são números decimais que apresentam infinitas casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan-do, após a vírgula, apresentam repetição de um número infinitas vezes. Este número é chamado período. Observe alguns exemplos:

, portanto. Esta dízima é chamada periódi-

ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos a presença do período 2.

, portanto. Esta dízima é chamada periódica

composta, pois após a vírgula percebemos a presença do número 3 (pré-período) antes do período 2.

COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I.

COnjUnTO DOS núMEROS REAIS (R)

núMEROS COMPLEXOS (C)

a) 0,20 =

b) 1,35 =

, portanto 0,2 ∈ Q

, portanto 1,35 ∈ Q

=

=

210

135100

15

2720

a) 0,222... = 29

b) 0,322... = 2920

Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é, são números decimais que apresentam infinitas casas deci-mais, porém não possuem período. São números que não resultam da divisão entre dois números inteiros.

Os números irracionais mais famosos são:a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795...

b) O número de Euler. e = 2,78281828459045235360287471352

Podemos obter números irracionais extraindo raízes não-exatas como segue:c)

d)

Chama-se número real a qualquer número racional ou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos nú-meros racionais e o conjunto dos números irracionais. R = Q ∪ IDe modo análogo ao proposto para os conjuntos dos números racionais, temos R*, R+, R-, R

*+ e R*

- .

O conjunto dos números comple-xos é uma expansão do conjunto dos números reais e foi criado com o surgimento da unidade imaginá-

ria i cujo valor é -1. Esta unidade imaginária solucionou problemas como o cálculo de raízes quadra-das de números negativos, veja: -9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i

2 = 1,4142135623730950488016887242097...

2 = 1,7099759466766969893531088725439...3

Q

R Z n R - Q

ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimen-tos gerais para resolução de equações algébri-cas de terceiro e quarto grau.

+ +


Números

COmPLeXOS

Nenhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assim, a raiz quadrada de um núme-ro negativo é uma operação impossível. Como lidar com esses números, já que não existem? Cardano em 1539 deparou-se com eles ao tentar resolver equações algébricas. Apareceram como raízes de equações e por isso foram chamados de números. Cardano resolveu o impasse lidando com eles como se fossem números reais. mas quem

desvendou o mistério foi Gauss, criando uma unidade imaginária i cujo quadrado seria -1 e dando aos números uma estrutura algébrica. Como resultado dessa descoberta fundamental os números complexos preencheram todos os vazios. Tornaram-se os números por excelência, contendo em si todos os demais. os números “escondem” as suas identidades, somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato significado de um número depende do contexto em que está inserido.

1. INTRODUÇÃO

Resolva, em C, a equação do 2º grau.

UNIDADe ImAGINÁRIA (i)

2

2

2

a 1x 4x 5 0 b 4

c 5

b 4.a.c4.1.5( 4)

16 204

=− + = = −

=

∆ = −−

∆ = −

bx2a

( 4) 4x2.1

4 4x2

=

=

± −=

− − ± −

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números da forma z = a + b . i, veja:

C = {z | z = a + bi}, com a, b ∈ R e

Onde:a é a parte real de

z → a = Re(z)

b é a parte imaginária de

z → b = Im(z)

exemplo:

1. Identifique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir:

a) z1 = -3 + 2i é chamado imaginário

Solução:a) = Re(z1) = -3b) = Im (z1) = 2

b) z3 = 7i é chamado imaginário puro

Solução:a) = Re(z3) = 0b) = Im (z3) = 7

c) z4 = 5 é chamado real

Solução:a) = Re(z4) = 5b) = Im (z4) = 0

O número i é chamado unidade imaginária e:

2i =

Cálculo de

-1 ou i = -1

-4

-4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i

4 2ix2

2.(2 i)x2

x 2 i V {2 i, 2 i}

±=

±=

= ± ⇒ = + −

i 1= −

2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS

Observações:

a) se b = 0, então z é realb) se b ≠ 0 , então z é imaginárioc) se a = 0 e b ≠ 0, então z é imaginário

purod) todo número real é um complexo em

que b = 0, portanto R ⊂ C .e) dizemos que a + bi é a forma algébri-

ca do número complexo zf) podemos representar um número

complexo z = a + bi, pelo par ordena-do z = (a, b) , veja:

z1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2)

z2 = 5i → z2 = (0, 5)

z3 = 4 → z3 = (4, 0)

+ +

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04


Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais respectivamente.

exemplo:Determine os valores de x e y em cada caso, de modo que os números complexos z = 3x +yi e w = 9 - 4i sejam iguais.

Solução:

Portanto para que se tenha a igualdade proposta devemos ter x = 3 .

1 2z z a c e b da bi c di

= = =+ = +

3x 9 e y 49x3

x 3

=

=

= = −

Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z, ao complexo

exemplo:Determine o conjugado de cada número complexo a seguir:

a) z1 - 5 + 2i b)

Solução: Solução:

Observação: um complexo e seu conjugado possuem partes imaginárias simétricas

z a bi= −

34z i3

=

1z 5 2i3

4z i

3

5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo5.2 Adição entre Complexos5.3 Subtração entre Complexos5.4 Multiplicação entre Complexos

exemplo:Dados os complexos z1 = 1 - 2i e z2 = -4 + i, determine:

a) 3 . z1 b) - 2 . z2

Solução: Solução:3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i

Observações:

a) Dado um número complexo z = a + bi, chama-se OPOSTO de z ao complexo -z = -a - bi.

exemplo:a) z1 + z2Dados os complexos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine:

Solução: z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i b) z1 - z2

Solução: z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i c) z1 . z2

Solução:z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i2 = 8 + 18z1 . z2 = 26

A trigometria e os números complexos

É mais fácil trabalhar com uma função exponencial do que com um cosseno. Então o truque todo é representar nos-sas funções oscilatórias como a parte real de certas funções complexas. Ago-ra uma força assim, F = F0 - cosωt, pode ser escrita como a parte real de um nú-mero complexo F = F0eiωt, pois eiωt = cosωt + isenωt

3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS

4. CONJUGADO De Um COmPLeXO

5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS + +


Operações entre números

COmPLeXOSDIvISÃO eNTRe COmPLeXOS

n Para efetuar a divisão por um número complexo multiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi-nador (divisor) pelo conjugado do denominador.

Observação:a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-

gado é igual ao real a2 + b2.

Se z = 2 + 3i, então

exemplo:n Dados os complexos:z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine:

a)

Solução:

b)

Solução:

POTêNCIAS De in Veja algumas potências de i:

n Por isto podemos afirmar que para n ≥ 4 tem-se in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.

exemplo:n Calcule as seguintes potências de i:

a) i91

Solução:i91 = i3 = -i

z a bi= -

1

2

zz

2z3z

91 4 -3- 22

O primeiro a constatar a natureza estranha desses números foi Girolamo Car-dano, (1501-1576), Cardano publicou um tratado de ál-gebra intitulado Ars Magna, onde apresentou exemplos de números complexos que chamou de “ficticios”.

A representação geométri-ca dos números complexos foi proposta por vários au-tores, sendo o mais cita-do Jean Robert Argand, guarda-livros suíço, que a descreveu em 1806

Um pouco de História+ +

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01

05


RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS

n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma de par ordenado z = (a, b). Podemos representar z graficamente no chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como segue:

Onde:XOY é o Plano de Argand-GaussOX é o eixo RealOY é o eixo ImaginárioO ponto P é denominado Afixo ou Imagem

GeOméTRICA De z

n A distância de O até P é chamado Módulo de z indicado por |z|

n O ângulo θ é chamado Argumento ou Direção de z indicado por arg(z)

móDULO De Um COmPLeXO

n O módulo de um número complexo z = a + bi, é

dado por .

exemplo:

n Calcule o módulo de cada complexo a seguir:a) Z1 = 4 + 3i Solução:

b) Z3 = -4 - i

Solução:

Observações:

a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da “seta” que o representa graficamente.

b) O módulo de um número complexo é sempre um número real positivo.

2 24 3 16 9 25 5

Mas foi somente em 1831 que o grande matemáti-co alemão Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), expôs a teoria completa relativa a esses números. Por isso, o plano complexo é muitas vezes chamado de plano Argand-Gauss.

2 24 3

+ +


Relações métricas no triângulo

ReTÂNGULO1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO

2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO

eXemPLO (1)

n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:

BC

c

A

b

m n

a

h

Onde:

a é a hipotenusa (maior lado);b e c são os catetos (formam o ângulo reto);h é a altura relativa à hipotenusa;m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.

n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações métricas (entre as medidas mencionadas acima):

ReLAÇÃO 01 - Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipo-tenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a2 = b2 + c2

ReLAÇÃO 02 - O produto entre a hipotenusa e a altura rela-tiva à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos.

a . h = b . c

ReLAÇÃO 03 - O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do

cateto sobre a hipotenusa.

b2 = a . m c2 = a . n

ReLAÇÃO 04 - O quadrado da altura relativa à hipotenu-sa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos.

h2 = m . n ReLAÇÃO 05 - A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos.

a = m + n

1. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retân-gulo ABC a seguir:

ReSOLUÇÃO:

BC

4

A

3

a

h

n No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a me-diada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipo-tenusa.

eXemPLO (2)

CB

A

3

H5

12

FrenteFicha

02

01


Onde:

a é a hipotenusa (maior lado);b e c são os catetos (formam o ângulo reto);B e C são ângulos agudos complementares, isto é, B + C = 90º;

3. PROPRIeDADeS

1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO

2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO

n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:

n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes relações trigonométricas (entre os elementos menciona-das acima):

RAzÃO 01 - Seno do ângulo B: é a razão entre o cateto oposto ao ângulo B e a hipotenusa.

RAzÃO 02 - Cosseno do ângulo B: é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo B e a hipotenusa.

RAzÃO 03 - Tangente do ângulo B: é a razão entre o cate-to oposto e o cateto adjacente ao ângulo B.

De modo análogo podemos definir as razões seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C.

CA

B

a

b

c

n Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos B:

Para dois ângulos complementares B e C são válidas as seguintes pro-priedades:

Propriedade 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu com-plementar.

senB = cos C ou sen C = cos B

Propriedade 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tan-gente de seu complementar.

n Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados na tabela a seguir:

4. TABeLA

5. eXemPLO (3)

(UEPA) O mastro CD de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura

a seguir. Se o cabo BC mede 10 3 m então,

a altura do mastro é:

AB

C

30ºD


Resolução do exemplo 01.De acordo com a lei dos senos,

Dessa forma:

Relações trigonométricas no triângulo

ReTÂNGULOA LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS

n As leis (Lei dos senos e Lei dos cossenos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me-didas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos de “forma” arbitrária.

Lei dos senos

n Para utilizarmos a lei dos senos no cálculo da medida de um ou dois lados de um triangulo, precisamos conhecer pelo me-nos um dos lados e o valor dos senos dos ângulos opostos aos lados desconhecidos.

Vejamos: Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,

A

c

a

b

A

C

B

B

C

30º

45º6

a

Pela lei dos senos, temos:

a

sen A

b

sen B

c

sen C= =

A igualdade das razões entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do respectivo ângulo oposto é chamada de lei dos senos.

exemplo 1No triangulo abaixo determinar a medida do lado a do triangulo abaixo.

FrenteFicha

02

02


LeI DOS COSSeNOS

A

C

B

b

c

aA

C

B

n Para utilizarmos a lei dos cossenos no cálculo da medida de um lado de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois dos lados do triangulo.

Vejamos: n Dado o triangulo qualquer ABC abaixo,

n Pela lei dos cossenos, temos:

ACos.c.b.2cba 222 −+=

Ou ainda:

Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.

A Lei dos cossenos e as medições

“Um determinado engenheiro precisa fazer a medi-ções de um terreno ou de ruas na forma triangular. Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 me-tros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°. Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário fazer uma nova medição ou podemos simplesmente usar a lei dos cossenos.

ACos.c.b.2cba 222 −+=

CCos.b.a.2bac 222 −+=

+ +

50m

40m

60º

B A

C

x


ARCOSÂngulos e comprimento de arcos

1. ARCOS e ÂNGULOS

2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS)

3. ÂNGULOS NOTÁveIS

n Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir:

B

A

R

OR

sentido padrão

n As semi-retas OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB .n O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e OB e possui vértice no centro O da circunferência λ.n O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive.n O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med α = AB.Note que os arcos AB e BA são diferentes.

n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos:

A E

B

C

D

AB = 90º

B

C

D

A E

AC = 180º

A E

B

C

D

AD = 270º

A E

B

C

D

AE = 360º

n Outra unidade de medida de ar-cos e ângulos é o radiano cujo com-primento é igual ao de um raio da circunferência.

n Portanto, se o raio da circunferência mede 5 cm então o comprimento de um arco de 1 radiano é igual a 5 cm.n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quan-tidade de raios que podemos colocar na mesma, veja:

B

A

R

O R

1 radiano = 1 raio R

RR

R

R

R

0,28.R

1. circunferência = 6,28 rad1. circunferência = 2.3,14 rad1 circunferência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º,ou , ou ainda, e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a relação de transformação de graus para radianos e vice-versa:

180 - π rad

Graus 0º 30º 45º 60º 90º

Radianos 0 rad

n Os ângulos a seguir são muito utilizados em trigonometria, por isto é muito útil conhecer suas respectivas medidas em radianos.

FrenteFicha

02

03


4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS

7. CICLO TRIGONOméTRICO

n Seja uma circunferência λ de raio R e o arco AB determinado pelo ân-gulo central α. O comprimento l do arco AB pode ser calculado por:

n O comprimento C de uma circun-ferência λ de raio R equivale ao com-primento do arco AB determinado pelo ângulo central α = 360º = 2π rad

n Dois arcos α e β são côngru-os quando possuem as mesmas extremidades no ciclo trigono-métrico diferenciando-se apenas por um número k de voltas k ∈ N, isto é:

β = α + 360º . k

β = α + 2 . k . π

Esta é a expressão geral dos arcos côngruos.

n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunferência de raio unitário R = 1 e um sistema de eixos ortogonais utili-zado para representar arcos AB

B

A

R

OR

C

A B

OR

l = α . Rx

Substituindo l = C e α = 2π rad em l = α . R, obtemos: C = 2.π . R

Onde:n l é o comprimento do arco deter-minado por ;n R é o raio da circunferência;n α é o ângulo central que deter-mina o arco;n O comprimento l e o raio R de-vem ter a mesma unidade.

Onde:n C é o comprimento da circunferência;n R é o raio da circunferência;n π ≅ 3,14,n O comprimento C e o raio R devem ter a mesma unidade.

Onde:n O ponto A é a origem de marcação dos arcos;n O sentido horário indica que o arco é negativo, assim como o anti-horário indica arcos positivos;n Os arcos podem apresentar mais de uma volta;n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;

3045

60

150135

120

300º240315º225

330210

0º360

180

90

270

0 A

Dado um arco β qualquer, cha-ma-se primeira determinação positiva de β ao arco α côngruo de β que é maior que 0º (0 rad) e menor que 360º (2π rad).

Um pouco da história da Trigonometria.

O significado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentre os principais precursores da Trigonometria na antiguidade destacam-se: Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o pai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc. II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhe-cida entre os árabes como o Almajesto

+ +


n Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no ciclo trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos:n O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O da circunferência trigonométrica e o eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo ponto.n O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circun-ferência, isto é, o eixo é tangente à circunferência no ponto A.

Onde:n x é um arco cuja origem é o ponto A e a extremidade é o ponto P;n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;n A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;n Prolongando-se o segmento OP obtém-se a tangente de x, indicada por tgx.

Relações trigométricas fundamentais na

CIRCUNFeRêNCIA1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO

2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe

x

A

1

1

P

– 1

– 1

tg

sen

coscos x

sen x

tg x

x

O

n Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em busca de critérios de positividade.

x

A x

x

A

P

cos(–)

x

O

sen(+)

tg(–)

x

A

P

cos(–)x

O

sen(–)

tg(+)

x

A

P

cos(+)x

O

sen(–)

tg(–)

1º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x > 0 (positivo)tg x > 0 (positiva)

3º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x < 0 (negativo)tg x > 0 (positiva)

4º qUADRANTesen x < 0 (negativo)cos x > 0 (positivo)tg x < 0 (negativa)

2º qUADRANTesen x > 0 (positivo)cos x < 0 (negativo)tg x < 0 (negativa)

FrenteFicha

02

04


n essa análise pode ser resumida no seguinte esquema:

S

T

U

C

U: todos são positivos;S: o seno é positivo;T: a tangente é positiva;C: o cosseno é positivo.

grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA

x

A

1

1

P

– 1

– 1

tgsen

cos

cos 45º

sen 45º

tg 45º

x

O

0,7

2

�

0,7

2

�

1

20,7

2

20,7

2

exemplo:

Lembre-se que:

3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS

n Seja x um arco qualquer.Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo -1 e no máximo 1.

n A tangente de x pode assumir qualquer valor real, porém não existem as tangentes de 90º, 270º e seus côngruos.

tg x ∈ R90º

A

P

90º

O

tg

270º

A

P

270ºO

tg

90º

A

P

90º

O

tg

270º

A

P

270ºO

tg

A tangente de um arco x existe para todo x diferente de 90º, de 270º e de seus côngruos.em símbolos:

0º 90º 180º 270º 360ºsen 0 1 0 -1 0cos 1 0 -1 0 1

tg 0 não existe 0 não

existe 0

Observe a tabela de valores a seguir:

Trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ân-gulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos Tri-ângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

+ +

equador

N

S

P2

P1

∆λ

φ1

φ2


FrenteFicha

02

05Relações trigométricas - Identidades

TRIGONOméTRICAS1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS.

2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA

3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2)

n A secante de um arco x (sec x) é o inverso do cosseno deste mesmo arco e vice-versa.

, com cos x ≠ 0

, com sec x ≠ 0

n A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco qualquer é igual a 1 (um).

sen2x + cos2 x = 1

n A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco.

cotg2x + 1 = cossec2 x

n A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco.

tg2x + 1 = sec2x

n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por cos2x, temos:

n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por sen2x, temos:

n A cossecante de um arco x (cossec x) é o inverso do seno deste mesmo arco e vice-versa.

, com sen x ≠ 0

, com sec x ≠ 0

n A cotangente de um arco x (cotg x) é o inverso da tangente deste mesmo arco e vice-versa..

, com tg x ≠ 0

, com cot x ≠ 0

Observações:

a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno;b) A cossecante possui o mesmo sinal do seno;c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.

S

T

U

C

U: todos são positivos;S: o seno é positivo;T: a tangente é positiva;C: o cosseno é positivo.

grave a frase: USA SemPRe A TUA CABeÇA

x

– 1

cosx

senx 1


Observação: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS

n A tangente de um arco x é igual a quociente entre o seno e o cosseno deste mesmo arco.

, com cosx ≠ 0

n A cotangente de um arco x é igual ao quociente entre o cosseno e o seno deste mesmo arco.

, com senx ≠ 0

exemplo:

(UNEB) Se x pertence ao intervalo

e tgx = 2 , então cosx vale:

a) d)

b) e)

c)

ReSOLUÇÃO:n Como x é um arco do primeiro qua-drante todas as razões trigonométri-cas são positivas.

n Calculamos o cosseno de x pela relação:

ALTeRNATIvA (D)

n Calculamos a secante de x pela Re-lação Auxiliar 1:

n Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométri-cas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:

exemplo:

(UCDB) Para todo x ∈ R tal que , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 é igual a:

a) d) 2 senx

b) 1 + cosx e) senx + cosx

c) 1

ReSOLUÇÃO:

Como tg2x + 1 = sec2x, temos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sec2x = cos2x .

ALTeRNATIvA (C)

engenharia

Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos fí-sicos, eletricidade, Mecânica, Música, Topo-grafia, Engenharia entre outro.

+ +


PONTOReta e Plano

1. NOÇõeS PRImITIvAS

2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe

3. ÂNGULOS eNTRe

n As noções primitivas em geometria são o ponto, a reta e o plano conhecidas intuitivamente.

n Duas retas

DUAS ReTAS

n Ângulo AOB cuja medida é α;n O ponto O é o vértice;n As semi-retas OA e OB são os lados;

ReTA e PLANO

DOIS PLANOS

n Ângulo Diedro ou Diedro é o ân-gulo formado entre dois planos como mostra a figura.

TeODOLITO

O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos ver-ticais e horizontais

n Reta e plano

n Dois planos

plano

αA

ponto

r

reta

r s r ≡s rsA

Reta Contidano Plano

Reta Secanteao Pl ano

Reta Paralelaao Plano

AA

r r

B

Secantes ouConcorrente

Paralelos Coincidentes

r

r

s OA

B

A

r

+ +

Diedro

ângulo de elevação

posição do sol

Horizonte = 0º

Norte = 0º

ângulo horizontal

FrenteFicha

03

01


4. eSTUDO DOS ÂNGULOS

4.1. UNIDADe De meDIDA

n O grau é de uma circunferência.

Observações:a) Uma circunferência possui 360º;b) Um grau possui 60 minutos (60’);c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).

4.2. TIPOS De ÂNGULOS.

4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO

n É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.

4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR-TADAS POR UmA TRANSveRSAL.

4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe

n Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPv) quando seus lados são semi-retas opostas.

4.5. CLASSIFICAÇÃO

n Ângulos complementares: dois ângulos α e β são comple-mentares se a soma entre eles é igual a 90º.

α + β = 90º

n Ângulos suplementares: dois ângulos α e β são sumple-mentares se a soma entre eles é igual a 180º.

α + β = 180º

Obs: Ângulos OPV possuem a mesma medida.

α = β

O transferidor é utiliza-do para medir ângulos.

1º = 60’1’ = 60’’1º = 3600’’

A semi-reta OM é a bissetriz do ângulo α

α e β são ân-gulos opostos pelo vértice.

Reto90º =

Agudo0º 90º< <

Obtuso90º 180º< <

Raso ou de Meia Volta180º =

Cheio ou de Uma Volta360º=

2

20

M

0

g

cdb

a

s

r

t

h

e f

r / /sn É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.

n Ângulos correspon-dentes são aqueles que ocupam a mesma po-sição um em cada uma das paralelas.

n Ângulos cola-terais são aqueles que se localizam do mesmo lado da transversal.

n Ângulos alter-nos são aqueles que se localizam em lados diferen-tes da transversal. Possuem a mesma medida.

Ângulos Correspondentes(possuem a mesma medida)

a e eb e fc e gd e h

Ângulos Colaterais(são suplementares)

Internos

Externos

c e fd e ea e hb e g

Ângulos Alternos(possuem a mesmamedida)

Internos

Externos

e e cd e fa e gb e h


PeRÍmeTROe área de figuras planas

1. PeRÍmeTRO

2. ÁReA De Um POLÍGONO

3. ReTÂNGULO

4. qUADRADO

6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS

5. TRIÂNGULO

7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO

n Perímetro de um polígono é a soma de seus lados.

n Área é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo polígono.

n Paralelogramo

n O perímetro do contorno in-terno desta TV em que em sua largura temos 80 cm e em sua al-tura temos 60 cm é de 280 cm.

80cm

60cm

b

h A = b . h

b

h

A = b . h

P = 2 . (b + h)

A = l2

P = 4 . l

l

l

ll

b

h

l

l

l

A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)

a

c

b

A =b . h

2

Onde p =a + b + c

2

A =b . c . senα

2

c

α

b

Onde A =l2 . 3

4

P = 3 . l

FrenteFicha

0302-03


Aplicações no Caderno de Exercícios

A = π . (R2 - r2)

8. LOSANGO 9. TRAPézIO

10. CÍRCULO

Dd

OR

A = π . R2

onde π = 3,14

C = 2. π . Ronde π = 3,14

A = (B + b) . h2

b

B

hA = D . d2

11. SeTOR CIRCULAR

SeTOR CIRCULAR

αR l

A = α . π . R2

360ºα em graus

onde l é o comprimento

do arcoA = l . R

2

Or

R

Perímetro do pescoço é mais preciso que ImC para detectar

obesidade, diz pesquisa.

A medida do perímetro do pescoço está ajudando médicos a prever risco de obesidade, apneia do sono e hipertensão tanto em adultos quanto em crianças. Um trabalho publicado na re-vista “Pediatrics” comprovou a ligação entre um pescoço mais largo e ocorrência de complicações por excesso de peso. Os médicos argumentam que a medida do pescoço é mais precisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa-do para classificar peso normal, sobrepeso e obesidade

+ +


POLÍGONOSregulares no cotidiano

1. POLÍGONOS

2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA

5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO

3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS

4. ângULO InTERnO

n É mais comum do que se imagi-na encontramos polígonos regula-res no cotidiano, por exemplo:

n É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes entre si. O nome de um polígono regular será dado de acor-do com seu número de lados.

n Todo polígono regular é inscritível, isto é, pode ser inscrito em uma circunferência. Na figura a seguir temos um triangulo, um quadrado e um hexágono regular de lado l inscrito em uma circunferência de raio R. Observe que a circunferência passa por to-dos os vértices do polígono.

n A soma dos ângulos internos de um po-lígono regular de n lados é dada por:

Si = (n − 2).180º

n A medida de um ângulo interno de um polígono regular de n lados é dada por:

As abelhas utilizam-se do he-xágono regular nas colméias.

Alguns modelos de bolas de futebol também apresen-tam figuras base-adas em polígo-nos regulares.

Triângulo equiláteron = 3

Quadradon = 4

Pentágono Regularn = 5

Exágono Regularn = 6

Heptágono Regularn = 7

Octógono Regularn = 8

Eneágono Regularn = 9

Decágono Regularn = 10

Undecágono Regularn = 11

Dodecágono Regularn = 12

Pentadecágono Regularn = 15

Icoságono Regularn = 20

Ai = =Si

n(n - 2) . 180º

n

FrenteFicha

03

04


4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO

n Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

+ + Polígonos na vida cotidiana

Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.


CONGRUêNCIAS e semelhanças de figuras planas

1. SemeLHANÇAS

2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA

n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os lados correspondentes proporcionais.

n A razão entre os perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à constante de proporciona-lidade k.

n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constante de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres-pondentes são congruentes.

n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:

ABCD ≡ A’B’D’C’.

n Os ângulos correspondentes são congruentes:

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’

n Os lados correspondentes são congruentes:

AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘

n A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da constante de propor-cionalidade k.

ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhante ao polígono A’B’D’C’ “)

n Os ângulos correspondentes são congruentes:

A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’

n Os lados correspondentes são proporcionais:

Onde k é uma constante de proporcionalidade chamada de razão de semelhança.

A

B

CD

A

B

CD

A’

B’

C’D’

A’

B’

C’D’

k= == =ABA’B’

BCB’C’

CDC’D’

DAD’A’

k==AB + BC + CD + DA

A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’PP’

k2=ÁReAÁReA’

FrenteFicha

03

05


+ +

Igual ao originalNa produção de um filme, na gravação de uma novela ou até mesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme-lhante à do ambiente natura.


mATRIzConceito, igualdade e operações

eSTUDO De mATRIzeSESTUDO DE MATRIZES

Matriz Quadrada: ■ É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo:

A = 2x2

2102

matriz quadrada de ordem 2.

B =

3x3247086351

matriz quadrada de ordem 3.

Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

A =

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

Obs.: Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 i = j Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 i + j = 4

+ 1 Traço de uma matriz: é a soma dos elementos

da diagonal principal. Matriz Diagonal ■ É toda matriz quadrada A = (aij)n x m, onde aij = 0 para todo i j. Exemplo:

A =

4x45000030000100002

B =

3x3300020000

Matriz Escalar ■ É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo:

A =

3x3200020002

B =

3x3000000000

Matriz Identidade: ■ É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

In =

nxn1...000

0...1000...0100...001

Matriz Linha: ■ É toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n Exemplo: A = (2 1 4)1 x 3 Matriz Coluna: ■ São matrizes que apresentam uma coluna, onde A = (aij)n x 1. Exemplo:

1xn1n

21

11

a

aa

A

1x46542

B

Diagonal principal Diagonal secundária

FrenteFicha

04

01


OPeRAÇõeS COm mATRIzeS+ +

Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero.

nxm0...000

0...0000...0000...000

A

Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo:

A =

3x3236354642

B =

3x3726235651

Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo:

A = 053502

320

Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo:

A = 4x2

t

2x4

41310242

A

4012

3412

B =

3x4

t

4x3 1094935121803

B10918

93204513

OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO:

A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:

A = 3x2

503545402030

e B = 3x2

483540451535

A matriz A descreve o desempenho da Amazônia

Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.

A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.

O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes.

C = 503545402030

+483540451535

C = 987085853565

485035354045454015203530

Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes

A =

2x3124012

e B =

2x3012413

, determine a

matriz C, tal que C = A + B.

C = 124012

+ 012413

= 011224401132

C =

2x3116425

Matriz Nula: ■ São matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero.

nxm0...000

0...0000...0000...000

A

Matriz simétrica: São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. Exemplo:

A =

3x3236354642

B =

3x3726235651

Matriz Anti-simétrica: ■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. Exemplo:

A = 053502

320

Matriz Transposta: ■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtém trocando linhas por colunas. Exemplo:

A = 4x2

t

2x4

41310242

A

4012

3412

B =

3x4

t

4x3 1094935121803

B10918

93204513

OPERAÇÕES COM MATRIZES ADIÇÃO:

A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os resultados obtidos foram os seguintes:

A = 3x2

503545402030

e B = 3x2

483540451535

A matriz A descreve o desempenho da Amazônia

Celular onde cada elemento aij é o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.

A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, sendo bij o número de unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês.

O desempenho de vendas das duas lojas pode ser representado por uma matriz C2x3, no qual cada elemento cij é igual a soma de seus elementos correspondentes.

C = 503545402030

+483540451535

C = 987085853565

485035354045454015203530

Definição: Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = aij + bij . Exemplo: 1. Dada as matrizes

A =

2x3124012

e B =

2x3012413

, determine a

matriz C, tal que C = A + B.

C = 124012

+ 012413

= 011224401132

C =

2x3116425

n ADIÇÃO


mATRIzOperações e aplicações

PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz

SUBTRAÇÃO

mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz

Propriedades da adição da Matriz ■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula

do mesmo tipo de A e A'. Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A).

A =

3x33x3354130412

A354130412

Subtração ■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como exemplo na adição.

A =

3x2503545402030 e B =

3x2483540451535 .

A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. Solução:

■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular. ■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B). Multiplicação de um número por uma Matriz ■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. Exemplo:

1. dada a matriz A =

3x3412054312

, determine a matriz B = 3 . A.

B = 3 . 412054312

=

3x3123601512936

483540451535

503545402030

BA

205555

485035354045454015203530

BA



A =

3x33x3354130412

A354130412


A =

3x2503545402030 e B =

3x2483540451535 .




3x3412054312


B = 3 . 412054312

=

3x3123601512936

483540451535

503545402030

BA

205555

485035354045454015203530

BA

n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem-penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da Amazônia Celular.

■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mes-ma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da segunda, ou seja, A - B = A + (-B).



A =

3x33x3354130412

A354130412


A =

3x2503545402030 e B =

3x2483540451535 .




3x3412054312


B = 3 . 412054312

=

3x3123601512936

483540451535

503545402030

BA

205555

485035354045454015203530

BA

FrenteFicha

04

02


Multiplicação de Matrizes

Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

A = (aij)m x k C = A . B C = (cij)m x n B = (bij)k x n

Propriedades da Multiplicação de Matrizes Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C +

B.C. Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B

+ A.C Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At

Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são comutáveis. Matriz Inversa

Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. Exemplo:

Determine a inversa da matriz A = 2x243

12 .

Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular.

mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS

PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS

mATRIz INveRSA

+ +

n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha-mada matriz singular.










12 .











12 .


Contribuições das matrizes para a educaçãon Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res-peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara-tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados objetivos pedagógicos.n As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me-dição de desempenho da instituição escolar.n No contato cotidiano com a informática, o aluno também se confrontará com as matrizes, e daí a importância de incentivar o contato e o entendimento desta matéria, pois a informática faz parte da realidade do aluno na atualidade.


DeTeRmINANTeSConceito e Resolução

DeTeRmINANTeS

DETERMINANTE É todo número gerado pela diferença entre o produto das diagonais.

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

a...aaaa...aaaa...aaa

A

CÁLCULO DOS DETERMINANTES

1º caso: Determinante de 1ª Ordem A = (a11) detA = a11

2º caso: Determinante de 2ª Ordem

2221

1211

aaaa

A

Regra de Crammer: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

det2221

1211

aaaa

A 21122211 aaaaAdet

3º caso: Determinante de 3ª Ordem Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para determinantes de ordem 3.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Menor Complementar: Chama-se menor complementar de uma matriz A de ordem n 2 de um elemento aij, ao valor ij, correspondente ao determinante da Matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

O menor complementar

3232

232211 aa

aa 11 = a22 . a32 - a23 . a32

2321

131132 aa

aa 11 = a11 . a23 - a13 . a21

Exemplo:

1. Dada a matriz 341

423312

A , calcule:

a) 4123

13 b) 34

3121

13 = 12 - ( -2) 21 = -3 - 12 13 = 14 21 = -15 Cofator ou complementar algébrico: Chama-se cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n 2, ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator (-1)i + j pelo menor complementar ij.

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa


A

Aij = (-1)i + j . ij A11 = (-1)1 + 1 . 11 A23 = (-1)2 + 3 . 23

A11 = 11 A23 = - 23 Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n 2, o determinante da matriz A é dado pela soma do produto de uma de suas filas pelo seus respectivos cofatores.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1)1+1. 11 + a12.(-1)1+2 . 12 + a13.(-1)1+3. 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13

3331

232112

3332

232211 aa

aa.a

aaaa

.aAdet + 3231

222113 aa

aa.a

O Determinante de uma Matriz A pode ser denotado por detA.

FrenteFicha

04

03


Exemplo: 1. Calcule o determinante das matrizes abaixo:

a) 113241

231A

detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 detA = a11.(-1)1+1. 11 + a12.(-1)1 + 2. 12 + a13.(-1)1 + 3 . 13 detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13

detA = 1.

1124 3.

1321 + 2.

1341

detA = 4 ( 2) 3.[1 ( 6)] + 2.(1 12) detA = 4 + 2 3.7 + 2.( 10) detA = 6 21 22 detA = 37

Propriedades de Determinantes: P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for nula, então seu determinante é igual a zero.

0Adet112000431

A

Exemplo: Determine o valor de x na equação:

0

120463035101124x2 2

P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma matriz forem iguais ou proporcionais, então seu determinante é nulo.

231142231

A

P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de uma matriz, o seu determinante muda de sinal.

3412

A

Permuta 1ª linha com a 2ª linha

1234

B

P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da diagonal principal forem nulos, então o determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal.

2123040100320001

A

P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante não altera.

4123

A

1ª linha menos a 2ª linha

4122

B

P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma constante, então o determinante dessa matriz fica multiplicado por essa constante.

8321

A

multiplicar a 1ª linha por 2:

8342

B

P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma constante k, seu determinante obedece a seguinte relação: det(k.A) = kn . detA,

Amatrazdaordemntetanconsk

P8- detAt = detA P9- det(A.B) = detA . detB

P10- Adet1Adet 1 detA . detA 1 = 1

Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu determinante for diferente de zero.

1ªL = 3ªL detA = 0

detA = 6 4 detA = 2

detB = 4 6 detB = 2 detB = detA

detA = 1 . 3 . 4 . 2 detA = 24

detA = 12 2 detA = 10

detB = 8 ( 2) detB = 10 detB = detA

detA = 8 6 detA = 2

detB = 16 12 detA = 4

PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS

+ +


SISTemASLineares (conceito e classificação)

SISTemAS LINeAReS

EQUAÇÃO LINEAR É toda equação da forma a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b, onde x1 x2 ... xn Ex.: x + 2y + z 4w = 9 SISTEMA LINEAR É todo sistema formado por duas ou mais equações lineares.

mnmn33m22m11m

2nn2323222121

1nn1313212111

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxabxa...xaxaxa

Sistema Linear Quadrado: É quando o número de equações é igual ao número de variáveis.

nnnn33n22n11n

2nn2323222121

1nn1313212111

bxa...xaxaxa


Equação Matricial da Forma A.X = B A - matriz dos coeficientes X - matriz das variáveis B - matriz dos termos independentes

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa


A

,

n

3

2

1

x

xxx

X

e

n

3

2

1

b

bbb

B

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa


.

n

3

2

1

x

xxx

=

n

3

2

1

b

bbb

CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Possível: quando apresentar solução. Determinado: quando apresenta uma única solução. Indeterminado: quando apresenta infinitas soluções. Impossível: quando não apresenta solução.

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Det A 0 - Sistema possível e determinado. Quando Det A = 0 Exemplo: 1- Determine o valor de k, de modo que o sistema seja possível e determinado.

011131211k

2zyx4z3yx2

3zykx

k + 3 + 2 ( 1 3k + 2) 0 k + 3k + 5 1 0 4k 4 k 1

2- Discuta o sistema: 5zyx3

1z2y2x3pzyx2

0113221

p12 p = 1

153211

132y

115221

113x

detx = 0 p 1 - Sistema possível e determinado dety = 2 18 + 5 ( 3 20 + 3) dety = 15 + 20 dety = 5 dety 0 detx = 0 Sistema impossível

1- detx1 = detx2 = detx3 = ... = detxn = 0, Sistema Possível e indeterminado. 2- Pelo menos um dos determinantes das variáveis seja diferente de zero o sistema é impossível.

FrenteFicha

0404-05


SISTEMA HOMOGÊNEO É todo sistema onde os termos independentes são nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois apresenta no mínimo a solução trivial.

0xa...xaxaxa

0xa...xaxaxa0xa...xaxaxa

nnn33n22n11n

nn2323222121

nn1313212111

x1 = x2 = ... = xn = 0

Solução trivial: S = {(0, 0, 0, ..., 0)} Det A 0 - possível e determinado e a solução é trivial. Det A = 0 - possível e indeterminado. Exemplo: Determine o valor de m, de modo que o sistema apresente apenas a solução trivial.

1111m2

321

0zyx0zmyx20z3y2x

m + 2 + 6 (3m 1 5) 0 m 3m + 8 + 5 0

2m 13

213m

SISTEMAS LINEARES NÃO QUADRADOS 1º) Se o número de equações maior que o número de variáveis. O sistema é possível e determinado ou impossível. Exemplo:

14y2x30yx26yx

3x + 2y = 14 3 . 2 + 2 . 4 = 14 6 + 8 = 14

Possível e determinado

2yx33yx4yx2

Det A = 0

0yx26yx

3x = 6 x = 2

x + y = 6 y = 6 2 y = 4

2yx33yx

4x = 5

45x

x + y = 3

453y

47y

144

17

1447

410

1474

452

4yx2

Substituindo em I

SISTemAS HOmOGêNeOS

ReGRA De CRAmeR

Dado um sistema:

1º Calcula-se o detA2º Calcula-se o determinante das variáveis, substituindo-se os seus coeficientes pelos termos independentes.3º Cada variável é a razão entre seu determinante e o determinante dos coeficientes.

SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS

+ +

nnnn33n22n11n

2nn2323222121

1nn1313212111

bxa...xaxaxa


Adetxdetx;

Adetxdetx;

Adetxdetx 3

32

21

1

apostila de matemÁtica - impacto

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