apostila controle - 07 - integral de convolução, função de transferência e função resposta em...
TRANSCRIPT
![Page 1: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/1.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
IC, FT e FRFIC, FT e FRF
Integral de ConvoluçãoSolução através da Integral de ConvoluçãoDefinição de FT, pólos e zerosSolução Harmônica Regime PermanenteFunção Resposta em Freqüência (FRF)
![Page 2: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/2.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao impulsoResposta ao impulso
Definição da função Impulso (delta de Dirac)
τ1
τ t
( )tδ
∫∞
∞−=
≠=
1)(
00)(
dtt
tpt
δ
δ
A função impulso é definida no limite A função impulso é definida no limite τ = 0
![Page 3: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/3.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Integral da Integral da ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
Equação fundamental p/ avaliação do desempenho dos sistemas.Conhecida a resposta ao impulso pode-se encontrar a resposta a qualquer excitação.Método geral de solução Integrais de difícil solução analíticaMétodos numéricos de integração, ou ainda métodos simbólicos (em casos simples)
![Page 4: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/4.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Transformada da Transformada da ConvoluçãoConvolução
Para um sistema linear invariante no tempo a FT é dada por:
Pode-se se escrever a saída como:
Considerando u(t) como sendo o impulso podemos escrever:
A multiplicação no dominio complexo é a convolução no tempo:
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
)()()(sUsYsP =
)()()( sUsPsY =
)()()( sUsHsY =
![Page 5: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/5.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Método geral de solução de E.D.Método geral de solução de E.D.
Há um método geral para encontrar a solução completa analítica para as equações diferenciais, mas que no entanto é bastante trabalhosoTrata-se da integral de convolução, que pode ser usado para qualquer tipo de excitaçãoO método será apresentado porque envolve conceitos mais amplos para avaliar o comportamento de sistemas de modo geralNa prática, utiliza-se a transformada de Laplace
![Page 6: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/6.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta ao impulsoResposta ao impulso
∫∞
∞−−= ττδτ dtutu )()()(
Qualquer função u(t) pode ser escrita como a soma contínua de impulsos
Observe que τ = t é a condição para o delta ser não nulo, podendo assim se retirar u(t) de dentro da integral.
![Page 7: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/7.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
ConvoluçãoConvolução no Tempono Tempo
Definindo-se h(t) como resposta ao impulso
A resposta para uma excitação qualquer será:
Devido à linearidade:
Pela invariância no tempo e causalidade:
[ ])()( tth δR=
[ ] ∫∞
∞−−== ])()([)()( ττδτ dtututy RR
∫∞
∞−−= ττδτ dtuty )]([)()( R
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
![Page 8: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/8.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Integral de Integral de convoluçãoconvolução
É representada como
e definida como
Pode-se mostrar facilmente que
ou seja,
)()()( thtuty ∗=
∫ −=t
dthuty0
)()()( τττ
∫ −=t
dtuhty0
)()()( τττ
)()()()()( tuththtuty ∗=∗=
![Page 9: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/9.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução ao Impulso através de C.I.Solução ao Impulso através de C.I.
)(01 tyadtdya
dtydn
n
δ=+++L
1)0(
0)0(
0)0(
1
1
=
=
=
+−
−
+
+
n
n
dtyd
dtdyy
M
0)0(
0)0(
0)0(
1
1
=
=
=
−−
−
−
−
n
n
dtyd
dtdyy
M
001 =+++ yadtdya
dtydn
n
L
A solução de estado nulo conduz de forma similar a uma equação homogênea com condições iniciais nulas exceto para a condição inicial de maior ordem com unitária
Entrada nulaEstado nulo
![Page 10: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/10.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
)(102 tuydtdy
=+
Para o sistema abaixo, encontrar a resposta ao impulso e a resposta a uma excitação exponencial pela integral de convolução.
tetubttua
α
δ
=
=
)())()()
![Page 11: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/11.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
N1/D
u hx
)(2 tuxdtdx
=+)(10 txh =
a))(102 tuy
dtdy
=+
![Page 12: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/12.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
o PC é , com polo . Logo a RN
é . Com as condição inicial
encontra-se . A resposta ao impulso
portanto é
02 =+ptAetx 2)( −= 1)0( =x
1=A
teth 210)( −=
2−=p
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
tetx 2)( −=
![Page 13: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/13.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
∫ −−=t
t deety0
)(210)( ττατ
b) Pela convolução
e portanto
Integrando:
∫∞
∞−−= τττ dtuhty )()()(
MatLab:Syms alpha tau tint(exp(alpha*t-2*tau-alpha*tau),tau,0,t)α
α
+−
=−
2][10)(
2tt eety
![Page 14: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/14.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exercício:Exercício:
A resposta ao impulso obtida de um SPO é mostrada na figura abaixo. Encontrar a função de transferência.
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
![Page 15: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/15.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução:Solução:
Impuls e Res pons e
Time (s ec)
Ampl
itude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
8
10
Sys tem: PTime (s ec): 0.502Amplitude: 3.67
678.310)( 1 == −eh τ
5.0=τ
τt
eth−
=10)(
teth 210)( −=
![Page 16: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/16.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Função de TransferênciaFunção de Transferência
A partir da equação diferencial geral simplificada
aplicando a Transformada de Laplace para estado nulo
definiu-se a função de transferência como:
D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=
D s Y s N s U s( ) ( ) ( ) ( )=
)()(
)()()(
sDsN
sUsYsFT ==
![Page 17: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/17.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Definindo Pólos e ZerosDefinindo Pólos e Zeros
Definem-se como pólos as raízes do polinômio característico, ou seja do denominador da função de transferência. Este é um ponto singular da FT.
Definem-se como zeros as raízes do numerador da função de transferência. Corresponde a um ponto nulo da FT.
Observa-se que o comportamento do sistema dependerá portanto da posição dos pólos e zeros no plano complexo.
![Page 18: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/18.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Visualização da Visualização da FT, FT, PólosPólos e Zerose Zeros
Calculando o módulo de G(s) para os valores de s=σ +jω
ω
|G|
1)( 2 ++=
ssssG
0.86i -0.5p0.86i +0.5p
2
1
−=−=
0=z
-1-0.8
-0.6-0.4
-0.20 -4
-20
24
-4
-2
0
2
4
X: 0Y: 3.51
Z: -1.27
![Page 19: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/19.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta Harmônica Regime PermanenteResposta Harmônica Regime Permanente
Para uma excitação harmônica
a TL é
A resposta é obtida da FT
ou ainda em termos de frações parciais
)sen()( tAtu ω=
22)(ωω+
=sAsU
22)()()()(ωω+
==sAsPsUsPsY
)()()(sUsYsP =
ωω jsK
jsK
psC
psC
psCsY
n
n
++
−+
−++
−+
−= 21
2
2
1
1)( L
![Page 20: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/20.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta permanenteResposta permanente
tjtjn
i
tpi eKeKeCty i ωω
211
)( ++= −
=∑
)(ty p)(tyt
TLI
Resposta em freqüência => regime permanente
transitóriotransitório permanentepermanente
tjtjp eKeKty ωω
21)( += −
![Page 21: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/21.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo da constante Cálculo da constante KK11
ωωωωω
jsjsjsAsPjsK
−=−++=
))(()()(1
A resposta permanente em frações parciais
Multiplicando por (s+jω) para calcular K1
ωωωωω
jsK
jsK
jsjsAsPsYp −
++
=−+
= 21
))(()()(
jAjPK2
)(1 −−= ω
![Page 22: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/22.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Cálculo da constante Cálculo da constante KK22
ωωωωω
jsjsjsAsPjsK
=−+−=
))(()()(2
A resposta permanente em frações parciais
Multiplicando por (s-jω) para calcular K2
ωωωωω
jsK
jsK
jsjsAsPsYp −
++
=−+
= 21
))(()()(
jAjPK2
)(2 ω=
![Page 23: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/23.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Resposta harmônica no tempoResposta harmônica no tempo
Substituindo K1 e K2 em y(t) pode-se obter a reposta no tempo
Escrevendo o termo P em módulo e fase
A resposta pode ser escrita
tjtjp e
jAjPe
jAjPty ωω ωω
2)(
2)()( +−
−= −
φωω jejPjP −=− )()( φωω jejPjP )()( =
tjjtjjp ee
jAjPee
jAjPty ωφωφ ωω
2)(
2)()( +−
= −−
![Page 24: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/24.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Simplificando a resposta harmônicaSimplificando a resposta harmônica
jeejPAty
tjtj
p 2)()()(
)()( φωφω
ω+−+ −
=
Ou ainda
Colocando em evidencia
simplificando
tjjtjjp ee
jAjPee
jAjPty ωφωφ ωω
2)(
2)()( +−
= −−
)sen()()( φωω += tjPAtyp
![Page 25: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/25.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Função Resposta em FreqüênciaFunção Resposta em Freqüência
Como resultado para uma dada freqüência, a saída y(t) a uma entrada harmônica a um sistema P(s) pode ser vista como o produto de dois complexos:
Define-se a Função Resposta em Freqüência como sendo a FT para s= jω
tAtu ω=)()()()( ωωω Φ= MjP
)()()()( ωωωω
Φ====
MsPjPFRFjs
))(sen()()( ωωω Φ+= tAMty
))(sen())(()())(())(()(
)()()(
ωωωωωω
ωωω
Φ+=
+Φ=
Φ=
tAMtytAMty
tAMty
)sen()( tAtu ω=
)sen()()( φωω += tjPAty
![Page 26: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/26.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Função de resposta em freqüênciaFunção de resposta em freqüência
Considerando a freqüência angular ωvariando, pode-se descrever o comportamento permanente de um sistema através de sua FRF, usando-se os diagramas respectivos das funções módulo e fase.
![Page 27: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/27.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Funções módulo e faseFunções módulo e fase
A função módulo e a função fase
são representadas
pelos seus diagramas
![Page 28: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/28.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Representação Gráfica da Representação Gráfica da FTFT e e FTSFTSjω
σ
ω
|G|
22 2)(
nnssssP
ωζω ++= )(ωM
)(ωΦ)()()( ωωω Φ= MjP
![Page 29: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/29.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Matlab:FTMatlab:FT--FTSFTS% Surperficie de resposta a uma excitaçao complexa% Sistema: (s)/(s^2+2*zeta*wn+wn^2)% Resposta p/ s=sig+j*omgwn=1;zeta=0.5;gw=linspace(-4,4,50); % ou gw=-4:8/49:4;gs=linspace(0,-1,50);[sig omg]=meshgrid(gs,gw);dp=[1 2*zeta*wn wn^2];np=[1 0];vd=polyval(dp,sig+j*omg);vn=polyval(np,sig+j*omg);z=abs(vn./vd);figure(1);surf(sig,omg,z);shading interp; view([1,-1,1])figure(2);surf(sig,omg,z);shading interp; view([0,0,1])
![Page 30: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/30.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Exemplo MMAExemplo MMA
m
k c
u t( )
y
Para o sistema ao lado,m = 1Kg,k = 2 N/m ec = 0.5 N s/m.A excitação é senoidal c/ freq. angular 2 rad/se amplitude de 10 N,obter a resposta permanente y(t).
![Page 31: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/31.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular
m
k c
u t( )
y
d y tdt
cmdy tdt
kmy t
mu t
2
2
1( ) ( ) ( ) ( )+ + =
mks
mcs
msP++
=2
1
)(M m
km
cm
( )( ) ( )
ωω ω
=− +
1
2 2 2
Φ ( ) arctan ( )ω ωω
= −−c
k m 2
)()(
1
)(2
mcj
mk
mjP ωωω
+−=
Matlab:usar atan2
![Page 32: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/32.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
Solução da Equação ParticularSolução da Equação Particular
)]arctan(2sen[)()(
1)( 2
222 ωω
ωω mkctA
mc
mk
mty−
−+−
=
0 1 2 3 4 5-1 0
-5
0
5
1 0R e s p o s ta d e u m s is te m a M M A
Am
plitu
de (m
)
Te m p o (s )
)68,22sen(47,4)( −= tty
![Page 33: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/33.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
ExercícioExercício
Desenhar os diagramas das funções módulo e fase do exemplo MMA.m=1; c=0.5; k=2;dp=[1 c/m k/m]; np=1/m;P=tf(np,dp);w=linspace(0,5,100);h=freqresp(P,w);mod(1,:)=abs(h(1,1,:));subplot(211)plot(w,mod,'.')title('Módulo da FRF')fase(1,:)=angle(h(1,1,:));subplot(212), plot(w,fase,'.')title('Fase da FRF')xlabel('Freqüência angular (rad/s)')
![Page 34: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/34.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
ExemploExemplo
Encontrar a resposta forçada p/ o prob. anteriorm=1; c=0.5; k=2; w=2; A=10; t=0:0.1:5; u=A*sin(w*t);Pjw=(1/m)/((k/m-w^2)+j*(w*c/m));G=abs(Pjw); Fi=angle(Pjw);y=G*A*sin(w*t+Fi);figure(1), plot(t,u,t,y), gridtitle('Resposta de um sistema MMA')ylabel('Amplitude (m)')xlabel('Tempo (s)')
![Page 35: Apostila Controle - 07 - Integral de Convolução, Função de Transferência e Função Resposta em Frequência](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012403/557209d5497959fc0b8bf700/html5/thumbnails/35.jpg)
Controle de Sistemas Mecânicos
ReferênciaReferência
Solução homogênea SPOKreyszig pg 69-77
Solução homogênea SSOKreyszig pg 80-87