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FORMACIÓN DOCENTE 2001

Aportes para el debate curricular

Trayecto de Formación Centrado en la Enseñanza en el Nivel Inicial

Materia:

MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL

Adriana Castro

Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires ● Secretaría de Educación

Subsecretaría de Educación ● Dirección General de Educación Superior

Dirección General de Planeamiento ● Dirección de Currícula

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.Índice

IntroducciónPresentación de las problemáticasLos propósitos de esta instancia curricularPrimer tema: Enseñar matemática en el jardín

1.1. Planteo del problema1.2. Desarrollo histórico1.3. Devolver la enseñanza al contexto social de la educación1.4. La Didáctica de la matemática

Una breve presentaciónEnseñar matemática: enfoque didáctico¿Qué puede aportar la didáctica de la matemática al Nivel Inicial?¿Quépuede aportarles a los futuros docentes del nivel?

Segundo tema: Cómo enseñar matemática para favorecer aprendizajes significativosPlanteo del problemaModelos didácticos

Sobre la concepción de aprendizajeSobre la selección de actividades. CriteriosSobre la selección de contenidos. Criterios

Tercer tema: Cómo enseñar a enseñar matemática en el Nivel InicialPlanteo del problemaAnálisis didáctico de situaciones de enseñanza

Algunas variables de análisisEl lugar de los contenidos de enseñanza en la formación docente

Objetivos referidos a números y sistema de numeraciónObjetivos referidos a espacio y geometríaObjetivos referidos a medida

Ejes de contenidos para la organización de la materia

Apéndice de actividades

Bibliografía consultada

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MATERIA: MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL

INTRODUCCIÓN

El presente documento tiene como propósito general ofrecer orientaciones teóricas y algunosanálisis recientes que contribuyan a la toma de decisiones de los profesores, ligadas con la enseñan-za de la matemática en el Nivel Inicial desde la perspectiva de la formación de docentes.

Para esto, se han seleccionado tres problemáticas básicas que se desarrollarán en este docu-mento y, finalmente, se comentará una serie de trabajos bibliográficos que resulten de utilidad parael dictado de la materia. Esta será clasificada según esté destinada al profesor y/o al alumno.

PRESENTACIÓN DE LAS PROBLEMÁTICAS

1. Enseñar matemática en el jardín desde una perspectiva histórica. Una historia con aciertos y des-aciertos en la que ambos contribuyeron a la construcción de un enfoque didáctico. Resulta necesarioubicar el surgimiento de la enseñanza de matemática en el Nivel Inicial desde una perspectiva histó-rica ya que en la actualidad coexisten prácticas ligadas a los diferentes enfoques. Se pretenderá ofre-cer al futuro docente elementos teóricos que le permitan decidir cómo enseñar y qué desechar o node todos los aportes, según el análisis que él mismo pueda hacer; para esto, se intentará que los futu-ros docentes tomen contacto con investigaciones y reflexiones sobre las complejas relaciones entre laenseñanza de la matemática destinada a los más pequeños y las disciplinas tomadas como referentespara regular este proceso.

Desde estos análisis, los alumnos se iniciarán en el estudio de los aportes de la Didáctica de laMatemática, disciplina que ha contribuido en el replanteo del problema con investigación en contex-tos reales del sistema didáctico.

2. Enseñar matemática en el Nivel Inicial. Modelos didácticos para la enseñanza de la matemática. Losniños del Nivel Inicial y sus aproximaciones espontáneas a los conocimientos de matemática.Reflexiones didácticas, aportes teóricos que permitirán avanzar hacia la construcción de un modelode intervención pedagógica en el marco de un modelo interactivo.

Se intentará ampliar o complejizar la problemática de la enseñanza partiendo de algunas cues-tiones claves aproximaciones espontáneas de los niños pequeños a conocimientos ligados a la mate-mática escolar, el análisis del "error" dentro del proceso de enseñanza, el juego en el aprendizaje esco-lar de contenidos de matemática, las interacciones entre pares.

En síntesis, en este punto se intentará poner en contacto al futuro docente con reflexiones einvestigaciones tanto de didáctica como del campo de la psicología. De este modo, los profesoresposibilitarán que sus alumnos adquieran herramientas de análisis tanto para la selección de propues-tas de aprendizajes desde una perspectiva didáctica como para la construcción de estrategias deintervención, favoreciendo también el cuestionamiento de las concepciones aprendidas desde el rolde alumno.

3. Cómo enseñar a enseñar matemática en el Nivel Inicial. La relación entre los contenidos y los cono-

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.cimientos del futuro docente. Análisis de propuestas que enseñen a mirar la práctica desde la pers-pectiva de la didáctica de la matemática; elementos para el análisis didáctico de situaciones. Análisisde las posibilidades de articulación con otras áreas, las distintas maneras de organizar los grupos deniños y la actividad del docente en el marco del enfoque de la resolución de problemas.

Desde la perspectiva de un enfoque didáctico que posibilite un "recambio" de modelos para laenseñanza, el profesor de la materia ocupa un lugar central. Un profesor que forma docentes queenseñarán matemática en los niveles primario, medio o superior puede plantear sus clases de mane-ra semejante a como desea que enseñen los futuros docentes; sus alumnos resolverían problemasdesafiantes analizando, en forma conjunta, los aspectos didácticos de la situación y de los referidos alos conceptos o nociones involucrados.

En cambio, la relación que se establece entre la enseñanza de matemática en el jardín y las estra-tegias de formación es de naturaleza diferente de la planteada para los demás niveles: los conceptosligados a los contenidos que deberán enseñar los futuros docentes no representan un obstáculo. Elprofesor deberá, entonces, realizar una intensa búsqueda de situaciones que posibiliten tanto la refle-xión sobre los contenidos desde el punto de vista de la revisión de los conocimientos matemáticos delos alumnos como de la apropiación de conocimientos didácticos.

Se sostendrá la posición según la cual el análisis y construcción de propuestas didácticas, el aná-lisis de prácticas escolares referidas a la enseñanza de la matemática en el nivel son el objeto de estu-dio de esta materia.

LOS PROPÓSITOS DE ESTA INSTANCIA CURRICULAR

1. Ofrecer un conjunto de conocimientos didácticos que permita a los futuros docentes repensar supropia formación como alumnos aprendiendo matemática y desde allí construir el rol docente.

2. Centralizar la problemática de la formación en la construcción del desempeño profesional, contex-tualizando la enseñanza de la matemática en las condiciones propias del Nivel Inicial.

3. Ofrecer investigaciones, experiencias y propuestas propias del Nivel Inicial o bien vinculadas con lasedades de los alumnos de jardín, vigilando las condiciones de la extrapolación de trabajos realizadosen otros niveles del sistema escolar.

4. Ofrecer los conocimientos necesarios que le permitan al futuro docente seleccionar y organizarcontenidos, aprender criterios para diseñar y desarrollar actividades en las diferentes secciones de jar-dín, evaluar su propia práctica y los aprendizajes de sus alumnos.

5. Ofrecer los conocimientos necesarios que le permitan al futuro docente la construcción de unmodelo de intervención.

6. Favorecer la reflexión permanente que permita someter a riguroso análisis las propias decisionesacerca de cómo actuar como docentes de niños que inician su aprendizaje en el área.

7. Integrar los conocimientos aprendidos en otras instancias y trayectos de su formación.

PRIMER TEMA: ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JARDÍN

1.1. Planteo del problema

Hace relativamente poco tiempo que la enseñanza de la matemática se ha consolidado en elNivel Inicial. Sin embargo, no son pocos los aportes teóricos que precedieron a esta consolidación. Enefecto, tanto la psicología genética como los diferentes enfoques vinculados con la enseñanza de lamatemática en la escuela han dejado su huella en este proceso.

La formación docente no se ha mantenido ajena a la influencia de diferentes tendencias. Si bienes cierto que la enseñanza de la matemática no ha tenido un espacio curricular propio en el planvigente (274/74) hasta este momento, también es cierto que en el marco de diferentes instanciascurriculares se plantearon líneas de acción pedagógica en dirección a colaborar con el desarrollo delpensamiento lógico-matemático y con el aprendizaje de diversas nociones vinculadas con los núme-ros, el espacio y la geometría.

En la actualidad, existe una gran diversidad de maneras de encarar los contenidos de matemá-tica. Con la llegada de los contenidos básicos comunes salieron a la luz varios de los problemas his-tóricos de la enseñanza de la matemática: ¿cómo enseñar un concepto abstracto a niños pequeños?;¿qué tipos de materiales son útiles o necesarios para el aprendizaje de conocimientos del área?; ¿quélugar se le debe dar a los problemas?; ¿se puede hablar de problemas en el Nivel Inicial?; etcétera.

Una vez más diversos enfoques respondieron a estos y otros interrogantes, provocando la con-vivencia de posiciones didácticas y psicológicas en las salas del jardín. De este modo, se generaronlas condiciones necesarias para plantear un cambio de enfoque, revisando algunas de las decisionesque dieron origen a las posturas fundantes de la enseñanza de la matemática en el Nivel Inicial.

1.2. Desarrollo histórico

Las actividades matemáticas se vincularon históricamente con el aprendizaje de conceptos bási-cos o elementales de la aritmética y estuvieron regulados o prescriptos por los aportes realizadosdesde dos ámbitos externos a la educación. Estos aportes fueron fundamentalmente las investigacio-nes en psicología genética desarrolladas por Piaget desde 1920 hasta la década del ´70 aproximada-mente y la construcción teórica de la Matemática en los años ´60 cuya principal influencia en la edu-cación formal dio origen a la llamada "Matemática moderna".

La contemporaneidad de los fenómenos ocurridos, el impacto hegemónico de estas ciencias y elavance en la reflexión epistemológica desde ambas perspectivas, sus interacciones teóricas, y las coin-cidencias conceptuales son algunas de las condiciones que posibilitaron el acercamiento mutuo de lapsicología genética y la matemática de las estructuras, conformando una relación complementaria yfuncional para la consolidación de una propuesta educativa acorde con los primeros aprendizajes enmatemática.

Desde el punto de vista de las aplicaciones de las investigaciones psicogenéticas en la reformade la matemática moderna, se podría sintetizar que tomaban de Piaget sobre todo las investigacionesligadas a la génesis del número y el espacio en el niño con la expectativa de influir desde el aula –talvez acelerando– sobre el proceso de construcción lógica espontánea de los niños (Brun, 1979; Coll,1983; Castorina, 1984; Lerner, 1996; Quaranta, 1998; entre otros).


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.Algunas ideas educativas que se fundaron a partir de estas posiciones fueron:

▲ El planteo según el cual los niños deberían construir la noción antes que abordar el concepto. Al con-siderar al número, por ejemplo, como la síntesis de la clasificación (clases construidas según seme-janzas y diferencias) y de la seriación (relaciones de orden entre clases según la diferencia "uno másque" o "uno menos que"), estos conceptos pasaron a ser contenidos a enseñar en la escuela. ▲ El traslado de la entrevista clínica, usada en la investigación psicogenética, al ámbito escolar comometodología de enseñanza ya que permitía, de modo eficaz, indagar los conocimientos en los alum-nos e intervenir a través de preguntas que potencialmente provocarían el aprendizaje en tanto logra-ran generar "confictos cognitivos".

Desde el punto de vista del aporte de la matemática, la Teoría de Conjuntos hizo su incursión enla educación con el objeto de modernizar la enseñanza; se esperaba que esta teoría jerarquizara lamatemática escolar al incluir las más recientes construcciones en la disciplina superando en calidada los conocimientos de aritmética y geometría considerados obsoletos. Por otra parte, su aporte másimportante se centraría –según esta perspectiva– en su potencial formativo al requerir un mayor nivelde abstracción que para adquirir los conocimientos de aritmética. Uno de los precursores de estareforma con mayor influencia en el Nivel Inicial fue principalmente Z. Dienes. Al tomar la definiciónde número como clases de equivalencias (definición matemática) las actividades asociadas a esta defi-nición consistirían en identificar la equivalencia entre conjuntos a través de las correspondencias tér-mino a término y nombrando con un numeral determinado los conjuntos que tuvieran la misma can-tidad de elementos (por ejemplo: el numeral 8 representa a todas las clases de 8 elementos).

Desde el punto de vista del análisis de la inserción de la enseñanza de conocimientos en el NivelInicial, según la perspectiva anterior, las actividades conocidas como "actividades prenuméricas" juga-ron un rol esencial. Las tareas de clasificación de materiales diversos, seriación de algunos otros mate-riales con características específicas y, ya gráficamente, poner en correspondencia (traducido escolar-mente como "unir con líneas") los elementos de dos conjuntos hegemonizaron el dominio de la cons-trucción lógica del pensamiento infantil ya que se las vinculaban directamente con la preparación delas estructuras lógicas necesarias para la construcción de conceptos matemáticos. En este marco esimportante destacar el aporte de los materiales y fundamentos de Z. Dienes (1970) con los que seesperaba contribuir al desarrollo de las estructuras del pensamiento lógico-matemático.

Desde el punto de vista de esta historia de la enseñanza de la matemática, es necesario consi-derar que la renovación pedagógica ligada a la "matemática moderna" significó un retroceso con res-pecto a la presencia de contenidos en la institución escolar pero es justo señalar que dejó un aportepositivo en cuanto a su planteo de contemplar aspectos del desarrollo psicológico de los niños en laconstrucción de una propuesta de enseñanza y al vincular estas propuestas con la evolución de laciencia, cuestión que la enseñanza clásica o tradicional no había considerado hasta ese momento.

Las principales críticas a este movimiento de renovación surgieron no sólo del ámbito de la pro-pia matemática1 sino también desde la comunidad educativa en su conjunto, ya que este lenguajeresultaba inaccesible tanto para los niños como para los padres que intentaban acompañar a sus hijosen el aprendizaje escolar. También resultaba un lenguaje desconocido por los docentes desde la pers-pectiva de la rigurosidad científica y, en consecuencia, se desvirtuaba y banalizaba el conocimientomatemático que estaba en juego.

1 Ver síntesis en Brousseau, 1991.

Es preciso recordar algunos puntos importantes del enfoque tradicional para la enseñanza de lamatemática ya que las sucesivas reformas y propuestas que aquí se mencionaron surgieron en res-puestas a algunos de sus postulados.

La enseñanza clásica o tradicional consideraba que el docente era el poseedor del conocimientomatemático y que los alumnos debían aprender este saber desconocido en pequeñas porciones y dea poco. Por ejemplo, los números se enseñaban de a uno y hasta que el número 1 no estuviera pre-sentado, ejercitado, dibujado y pintado no se comenzaba con el número 2. El maestro los presentabaen forma escrita, con dibujos, mostrando la cantidad de objetos que el número representaba. El jar-dín de infantes preparaba fundamentalmente en las destrezas perceptivo-motrices, consideradasrequisito para aprender tanto las letras como los números; es decir, el aprendizaje estaría en granparte dedicado al reconocimiento y a la escritura de números. Las figuras geométricas se enseñabandel mismo modo, se mostraban primero, se enseñaban sus nombres y a reconocerlas a partir de estosnombres para luego plantear varios ejercicios con ellas.

En síntesis, se partía de la concepción según la cual había que inicialmente dominar los conoci-mientos de manera perceptiva y "concreta" para usarlos posteriormente en situaciones de aplicación. Si bien este enfoque de enseñanza tuvo mayor desarrollo en los niveles primario y secundario, nume-rosas ediciones muestran este tipo de ejercicios también para jardín, tanto para el aprendizaje de losnúmeros como para el de las figuras.

Los supuestos teóricos que subyacen a este esquema de enseñanza podrían describirse como:

- El aprendizaje como acumulación de fragmentos de conocimientos. Se aprende de lo simple a locomplejo. Esta es una concepción acumulativa del aprendizaje: los pedacitos de conocimientos sim-ples se irían sumando en la mente de los alumnos. Se suponía que la enseñanza fragmentada y gra-duada en orden de complejidad creciente –a criterio de los adultos– permitiría a los alumnos seguiruna secuencia lógica que evitaría errores.- Desde los conceptos bien definidos hacia su aplicación. Primero se aprenden los conceptos, se defi-nen las propiedades, se nombran las nociones y luego se aplican en problemas. Los problemas "tipo",sin ambigüedades ni falsas pistas, son instancias de ejercitación del concepto enseñado a modo decontextualización práctica.- Concepción empirista del conocimiento. "El conocimiento sería una copia de la realidad y sería mejorcuanto más fiel resulte la copia" (J. Delval, 2000).

La principal corriente pedagógica que cuestionó fuertemente a la enseñanza tradicional o clási-ca fue la Escuela Nueva o Escuela Activa, analizando aquellos supuestos a la luz de los nuevos apor-tes de la ciencia, particularmente de la psicología y basándose en experiencias piloto.

Algunas de las críticas vertidas en aquel contexto fueron:

- La pasividad del alumno en cuanto a la adquisición de conocimientos acabados. - La centración del saber en el maestro como fuente inequívoca de conocimientos.- La enseñanza de conocimientos artificiales, fragmentados y lejanos a la realidad del niño.

En el caso del Nivel Inicial, la Escuela Nueva tuvo un gran impacto renovador. Con este movi-miento de ideas de los años ´60 se incluyeron nuevos contenidos y ciertas ideas rectoras acerca decómo se debe trabajar en el jardín. Se precisaron nuevas orientaciones en torno del rol del maestro ydel alumno en el Nivel Inicial.


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Los postulados de la Escuela Nueva proponían centrar la enseñanza en los intereses del niño,considerando como intereses los aspectos relativos a su vida cotidiana y a aquellas cuestiones que elalumno explicitaba; de esta manera, se buscaba potenciar la actividad y la autonomía de mismos. Sepropuso valorar el juego como opuesto al trabajo sistemático y descontextualizado de la enseñanzatradicional.

El docente debía potenciar la actividad del alumno entendida como la acción visible y observa-ble de los niños. En este contexto, los materiales fueron los auxiliares para la enseñanza de concep-tos ligados a la matemática. Se consideraba que para poder abstraer los conceptos matemáticos habíaque vivenciarlos primero; la manipulación de materiales concretos garantizarían el pasaje a la abs-tracción: del nivel concreto se pasaría al nivel gráfico.

La actividad del docente consistiría en ofrecer materiales, indagar los intereses infantiles, coor-dinar actividades. El rol del maestro fue pensado como un auxiliar del desarrollo del niño ya que debíaestimular en la escuela su maduración y la estructuración del pensamiento.

Las principales críticas a la Escuela Nueva se centrarían en la escasa presencia de los conoci-mientos socialmente válidos (R. Frondizi, 1970): se sostuvo que a partir de estas posturas se resintióla relación con los conocimientos a enseñar y, consecuentemente, a aprender (R. Charnay, 1988). Lasobrevaloración de las actividades del alumno entendidas como acciones observables y una interpre-tación vaga acerca de los intereses infantiles (abuso de generalización, sesgo consumista, J. Palacios,1988; Frabboni y otros, 1980) y una desvalorización de la acción sistemática de enseñar entendidacomo imposición del adulto.

1.3. Devolver la enseñanza al contexto social de la educación

Muchos fueron los autores que invitaron a la reflexión desde la especificidad de su campo deestudio. A modo de síntesis se tratará de explicitar algunas posturas:

▲ J. Brun (1979 y 1994); M. Fayol (1990): ambos autores cuestionan la transferencia de conceptos ymétodos provenientes de la psicología genética al ámbito de la educación. El primero recontextualizala enseñanza de la matemática dentro de un proyecto social y político y advierte sobre el vacío pro-ducido por la sustitución de los contenidos de matemática por las nociones del desarrollo operatorio.

El segundo incluye la diversidad de situaciones que deberá enfrentar el sujeto para la construc-ción cognitiva del concepto de número. De este modo cuestiona los reduccionismos imperantes parael aprendizaje de dicho concepto tanto desde la perspectiva del aprendizaje operatorio de las nocio-nes de clasificación, seriación, correspondencia como de las limitaciones impuestas por la conserva-ción de la cantidad o por el uso restrictivo de la actividad de conteo. En síntesis, su aporte es el aná-lisis de la complejidad en esta construcción.

Ambos autores reconocen la influencia de las prácticas sociales –dentro de las que estaría laeducación sistemática– para la construcción del concepto de número, rescatando la concepción pia-getiana del aprendizaje por adaptación.

▲ Con relación a la transferencia de métodos para la indagación psicogenética a las prácticas de laenseñanza, nuevamente J. Brun (1994) cuestiona, al igual que A. Castorina (1984), la idea de unaprendizaje escolar basado casi con exclusividad en la provocación intencional de conflictos cogniti-vos, es decir, de desequilibrios, como modo privilegiado de intervenir sobre el sujeto que está apren-


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diendo. Así también cuestionan el uso de la entrevista clínica para provocar estos desequilibrios en laescuela.

▲ M. Quaranta (1998) retoma el análisis de las principales confusiones generadas a partir de las posi-ciones aplicacionistas de la psicología genética a la educación formal y lo extiende hacia la enseñan-za de las nociones espaciales y de las primeras aproximaciones a la medida.

▲ Varios autores señalan aspectos más generales que surgieron como consecuencia del uso directo delas investigaciones en psicología genética tomadas como prescripciones de enseñanza. Sus aportestienden a precisar y a discriminar los niveles epistemológico, psicológico y didáctico en función decontribuir al esclarecimiento de algunas confusiones generadas. En esta línea se podrían citar: F.Marro (1983); D. Lerner (1996); C. Coll (1983), entre otros.

▲ En la actualidad también han surgido críticas a los "análisis aplicacionistas" tanto de la psicologíagenética como de la teoría socio-histórica. Estas posturas señalan que en realidad se ha producido undeslizamiento desde una perspectiva "explicativa" hacia una prescriptiva: "...es del mayor interés con-siderar a la perspectiva aplicacionista no tanto como un ejemplo de relación inadecuada entre la psi-cología y la educación sino como uno de los lugares donde puede verificarse un fenómeno general, alque la literatura reciente ha referido de manera insistente: el uso normativo de los modelos psicológi-cos en el ámbito educativo. Este uso se documenta tanto a nivel de las políticas educativas como a nivelde los fundamentos científicos de la didáctica o de las prácticas puntuales desarrolladas en sala de cla-ses, y afecta de manera particular a los modelos genéticos" (F. Terigi y R. Baquero, 1996). Los autoresseñalan que el producto de este deslizamiento es observable no sólo al nivel de los conocimientos ylos métodos sino también en formas más sutiles de la vida de las instituciones.

Desde la perspectiva de la utilización de conceptos de la psicología y epistemología genéticacomo fundamentos para la construcción de la didáctica de la matemática en tanto disciplina cientí-fica, es importante que el profesor conozca algunos aportes de autores que siguen proporcionandolos límites necesarios para la diferenciación de estas ciencias y para contribuir a sus interacciones.

▲ G. Vergnaud y G. Ricco. Desde la teoría operatoria de la inteligencia y utilizando los métodos parala investigación psicogenética, estos autores desarrollan la teoría de los Campos Conceptuales, entanto "espacio de problemas" y su relación con la adquisición de estructuras aditivas y multiplicati-vas. Los autores comparan los diferentes espacios de problemas con los requerimientos cognitivos quele demandan al sujeto, describiendo la complejidad de estos aprendizajes que, tal como lo demues-tran, se generan en el largo plazo y en ámbitos de la educación sistemática (Revista Argentina deEducación, año IV, nº6).

▲ Con respecto a los fundamentos científicos de la didáctica de la matemática M. Artigue (1990) ana-liza desde el punto de vista epistemológico dos conceptos fundamentales utilizados para la investi-gación en didáctica de la matemática: el de obstáculo epistemológico y la noción de concepción.


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1.4. La Didáctica de la matemática

Una breve presentación

"El trabajo intelectual del alumno debe ser por momentos comparable a esta actividad científica.Saber matemática no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de uti-lizarlos y aplicarlos, sabemos que hacer matemática implica ocuparse de problemas. (Aunque) no sehace matemática sólo cuando uno se ocupa de problemas, ...es sólo parte del trabajo; encontrar bue-nas preguntas es tan importante como encontrar sus soluciones. Una buena reproducción por el alum-no de una actividad científica exigiría que actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, con-ceptos, teorías, que las cambie por otras, que reconozca las que se adaptan a su cultura, que recurra alas que son útiles, etcétera.

Para hacer posible tal actividad, el profesor debe entonces imaginar y proponer a sus alumnossituaciones que ellos puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la soluciónóptima, y posible de ser descubierta, de los problemas planteados" (Brousseau, 1993).

En este extracto están presentes algunos elementos fundamentales que esta teoría ha definidopara la construcción de su campo de investigación: el tipo de actividad que se espera que realice elalumno, la actividad que el docente (profesor en la cita) debería desarrollar para generar tal actividadintelectual en los alumnos y el papel de los problemas con respecto a los aprendizajes esperados.

El conjunto de instituciones destinadas a la enseñanza de la matemática y las relaciones que sedan entre ellas de modo implícito o explícito ha sido y sigue siendo el objeto de la investigación dela Didáctica de la matemática. Como disciplina científica, reconoce su autonomía con respecto a laMatemática, Pedagogía y Psicología y las toma como marcos de referencia, cuestión que ha reque-rido de no pocas aclaraciones y explicaciones teóricas particularmente en el terreno de la epistemo-logía.

Con relación a la Matemática, Brousseau hace explícita la idea de otorgarle a la comunidad delos matemáticos la vigilancia epistemológica de esta nueva disciplina científica y señala: "Los mate-máticos son responsables, al menos en parte, del uso que se haga de su producción" (Brousseau,1991).

Resulta interesante ahondar en el surgimiento de la didáctica de la matemática como disciplinacientífica ya que es en su origen, en la ferviente búsqueda de identidad y de autonomía respecto deotras ciencias, donde se hacen más evidentes y explícitos los vínculos y las relaciones que se esperaque se establezcan entre la matemática y la didáctica de la matemática: no depende de ella, estáincluida en su campo.

"El argumento más fuerte, desde mi punto de vista, concierne a la enseñanza obligatoria. La obli-gación de vigilancia epistemológica es más fuerte en ella y se dobla en una obligación moral imperio-sa. No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera de los fundamentos de unacultura científica. Las matemáticas en este nivel son el primer dominio –y el más importante– en quelos niños aprenden los rudimentos de la verdad. Aprenden en él –o deberían aprender en él– no sólo losfundamentos de la actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la toma de deci-siones pertinentes: cómo convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra sudeseo o su interés; cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para com-partir lo que será una verdad común; de qué depende el uso que los otros hacen de sus conocimientosy de la manera en que tratan estos problemas de verdad... Soy de los que piensan que la educación


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matemática, y en particular la educación matemática de la que acabo de hablar, es necesaria para lacultura de una sociedad que quiere ser una democracia.

La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni de la lógi-ca ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz" (Brousseau,1991).

Es importante que el profesor conozca este campo de investigación ya que muchos conceptos ytrabajos escritos provienen de él. En este sentido, la teoría contribuirá a la formación del formador yno necesariamente a la formación del docente.

Enseñar matemática: enfoque didáctico

La investigación didáctica ha desarrollado una gran producción no sólo en Francia como país deorigen sino también en otros países de Europa y de América Latina. Dichas investigaciones han apor-tado abundantes análisis teóricos que permitieron organizar y analizar la enseñanza en el contextoescolar. El propio G. Brousseau ha intentado responder a la pregunta "¿Qué pueden aportar a los ense-ñantes los diferentes enfoques de la Didáctica de la Matemática?" (G. Brousseau, 1990 y 1991).Algunas respuestas se desarrollaron en los párrafos anteriores en lo que respecta a la relación con lacomunidad científica y al compromiso social que la investigación tiene con la enseñanza y, por con-siguiente, con la sociedad en su conjunto.

Además, en los artículos anteriormente citados, Brousseau plantea cuestiones que completan elanálisis de la relación entre la didáctica de la matemática en tanto disciplina científica y el sistemaescolar. Algunas precisiones ofrecidas que resultan necesarias para el presente trabajo son:

- Sobre el objeto de estudio: "Esta ciencia (la didáctica de la matemática) se interesa en lo que estosfenómenos (la producción y circulación de saberes) tienen de específico del conocimiento que se tieneen el punto de la mira, por la manera como conocimientos escasos se usan para la satisfacción de lasnecesidades de los hombres que viven en una sociedad y, en particular, por las operaciones especialesde la difusión de los conocimientos, las condiciones que esa difusión produce, tanto sobre esos conoci-mientos como sobre sus usuarios; por las instituciones y las actividades que tienen como objeto facili-tar las operaciones"."...el saber nunca es exactamente el mismo para sus creadores, para sus usuarios, para los alumnos, etc.Cambia. El estudio y el control de esas modificaciones, que nosotros llamamos transposición didáctica,es el objeto principal de la teoría...".

- Sobre cómo transformar los conocimientos para que sean aprendidos: "La idea fundamentalconsiste en postular que cada conocimiento o cada saber debe poder ser determinado por una situa-ción. Una situación es el conjunto de relaciones que ligan a un agente o a varios. Estas relaciones debenser tales que ese conocimiento debe ser necesario para la realización o su mantenimiento, por ejemplo,esas relaciones pueden ser un juego en el que la puesta en funcionamiento del conocimiento en cues-tión es el único medio de asegurar al jugador una estrategia ganadora óptima".

Brousseau ha profundizado en el estudio de las situaciones didácticas entendidas como "con-junto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un grupo de alumnos, un cierto medio(eventualmente, instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la


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.finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución" (G.Brousseau, 1982). Las características de estas situaciones han sido muy difundidas2 (en Parra, C. y SáizI.; 1994; Gálvez, G. y Charnay, R.) aunque en menor medida sus críticas (Margolinas, C.; 1993).

- Sobre los aportes "técnicos" a los docentes en tanto mejoramiento de los resultados de laenseñanza. La Didáctica de la Matemática ha mejorado particularmente las condiciones de produc-ción de conocimientos escolares al promover que aparezcan como modo de responder a un problemaplanteado, es decir, como herramienta de resolución. En este punto Brousseau plantea nuevos inte-rrogantes para la didáctica definiendo así los límites de la investigación hasta el momento y adviertesobre los efectos de una enseñanza que desconoce las definiciones socioculturales que transformanel saber proveniente de la matemática: "El esfuerzo consentido para obtener saberes independientesde las situaciones en los que funcionan (descontextualización) se paga en pérdida de sentido y de ope-ratividad en el momento de la enseñanza. El restablecimiento de situaciones (recontextualización)inteligibles se paga en deslizamientos de sentido (transposición didáctica). La retransformación ensaberes del alumno o en saberes culturales vuelve a iniciar el proceso y agrava los riesgos de deriva. Ladidáctica es el medio de gestionar estas transformaciones y, en primer lugar, comprender sus leyes".

Otro aporte significativo de la Didáctica de la Matemática para la formación de docentes –dadoque enriquecerá conceptualmente al formador– es la descripción de las relaciones que se establecenen torno de los conocimientos escolares desde los diferentes roles ocupados en el sistema didáctico.Se ha complejizado, así, el análisis de las relaciones con el saber tanto en el ámbito de una clase dematemática como en la comunidad en general. Estos aportes provienen de la corriente antropológi-ca de la Didáctica de la Matemática liderados por Yves Chevallard (en castellano: Y. Chevallard,1991).

La producción didáctica más fecunda, a la hora de dar algunas prescripciones para la prácticadesde esta perspectiva, ha sido desarrollada en los Institutos de Investigaciones de Enseñanza de laMatemática (IREM). Estos institutos, en un primer momento, se ocuparon de completar la formaciónde los docentes en los contextos escolares, incidiendo de este modo ya no sólo en las prácticas declase sino también en la currícula. Más tarde, la Didáctica de la Matemática como disciplina científi-ca se empieza a fortalecer3 y pone en cuestión la validez de dichas acciones de formación de docen-tes generando espacios de producción de conocimientos.

Es importante tener en cuenta que la reproducción de estos trabajos en otras clases con dife-rentes condiciones de enseñanza y de aprendizaje, que las que dieron origen a sus propuestas deinvestigación, suelen producir resultados diversos o diferentes a los obtenidos originalmente; en efec-to, se advierte una vez más sobre el cuidadoso análisis que requeriría el traslado de propuestas desdeel ámbito de la investigación, en el que las condiciones de enseñanza y aprendizaje escolar han sidocontroladas y anticipadas hacia otros contextos diferentes.

Una de las contribuciones más importantes ofrecida por la difusión de estos trabajos es el mode-lo de análisis de las condiciones de enseñanza en el marco de una clase regular. Sus conceptos teóri-cos permitieron anticipar, describir y explicar la complejidad de las relaciones que se dan en un salónde clase, el éxito o el fracaso de una propuesta en términos de enseñanza y no sólo de aprendizaje,

2 Para conocer el origen y fundamentos acerca de esta clasificación ver Brousseau, G., vol. 7, nº 2, 1986; trad. 1993 (Córdoba), cap IV.3 Algunos autores como Chevallard y el propio Brousseau cuestionan las propuestas llamadas de "innovación"; queriendo separarse de

estas posiciones, anteponen a la producción de medios para actuar sobre la enseñanza la producción de conocimientos para controlar

y producir esas acciones sobre la enseñanza (Gálvez, 1985).

las interacciones de los alumnos, entre alumnos y docentes y entre éstos con el conocimiento, entreotras múltiples contribuciones.

Por ejemplo, tomando los conceptos provenientes de la Teoría de Situaciones de Brousseau, G.;R. Charnay (1988) analiza los modelos de aprendizaje según se definan –por contrato didáctico– lasrelaciones entre los alumnos, el conocimiento y el docente en una clase de matemática. El valor didác-tico de este artículo, a la luz de la formación docente, es la explicitación de las concepciones teóricassubyacentes en el modo de concebir las relaciones entre esos polos, lo que permite no sólo analizar lapropia práctica como enseñantes, sino también aquello que la conformó, es decir, los modelos deenseñanza vividos como alumnos.

¿Qué puede aportar la didáctica de la matemática al Nivel Inicial? ¿Qué puede aportarles a losfuturos docentes del nivel?

Arriesgando algunas respuestas sintéticas, podría aportar:

a) Un cuerpo teórico consistente basado en investigaciones didácticas con un alto valor explicativo delos fenómenos producidos a efectos de la enseñanza de conocimientos próximos a la matemática.b) Un modelo para el análisis didáctico de situaciones de enseñanza que permitan orientar la toma dedecisiones del docente antes, durante y después de la práctica.c) El análisis de las relaciones didácticas y el establecimiento de condiciones para la producción deconocimiento compromete a los formadores de docentes del Nivel Inicial a la necesidad de consolidarun análisis permanente de la teoría para contextualizar estas relaciones y las condiciones para la ense-ñanza de matemática en el jardín.

Para explicar lo relativo al primer punto, creo haber seleccionado algunas ideas de la teoría amodo de brevísima introducción. Sabiendo que esta presentación es limitada e insuficiente, que hadejado algunos autores y sus teorías de lado (por ejemplo, a R. Douady), propongo al profesor ampliaresta síntesis con la bibliografía de referencia –ir a las fuentes ya que hoy en día contamos con un grannúmero de trabajos traducidos– y con la bibliografía que se comenta en el apéndice de este trabajo.

El punto b) será desarrollado en los apartados 2 y 3 del presente trabajo. En el desarrollo del punto c) se espera que el profesor comprenda la necesidad de fomentar el

análisis crítico del enfoque. Estos análisis tal vez contribuyan a prevenir las posibles distorsiones oefectos no deseados.

A continuación se recorrerán algunas de las ideas principales del enfoque de la resolución deproblemas que el profesor podrá encontrar en la bibliografía seleccionada para profundizar sobre eltema, para luego plantear algunos cuestionamientos derivados fundamentalmente de la puesta enmarcha de un proyecto con estas características en el marco del Nivel Inicial.

▲ Sobre la concepción de aprendizaje. El aprendizaje es entendido como la adaptación del alumno aun problema planteado. Las acciones desplegadas por ellos exigirán un proceso de reorganización yequilibración; en tanto esto, la principal actividad del alumno es cognitiva aunque a veces coincidacon una acción observable sobre los objetos.

"Hay una gran diferencia entre adaptarse a un problema que plantea el medio, insoslayable, yadaptarse al deseo del docente" (Brousseau, G.; 1988).


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.En definitiva, el alumno deberá hacerse cargo de una parte importante de su aprendizaje por más

pequeño que sea; esa parte es la resolución de un juego o desafío. Se espera que este pequeño alum-no se involucre en la situación de juego o desafío y responda en los términos planteados. Las accio-nes de los alumnos son acciones con una finalidad para ellos (ERMEL, 1990).

Cuestión 1: la persistencia de los modelos empiristas de aprendizaje en las salas de jardín (quetal vez los alumnos observarán en los trabajos de campo), la escasa experiencia de los futuros docen-tes en la resolución de problemas como medio de aprendizaje, entre otras condiciones, podrían con-ducir, a los alumnos del profesorado, a entender la actividad del niño en términos de acción concre-ta sobre los objetos a modo de "traducción" (Parra, C. y Sáiz. I.; 1992) de los conceptos abstractos.

Así también, desde otra perspectiva de análisis, se observa que resulta muy costoso para losdocentes del Nivel Inicial en ejercicio y se podría suponer que para los futuros docentes también lo será,visualizar la intención del alumno o el concepto de "acciones con finalidad" como parte del análisisdidáctico en una situación de aprendizaje. Generalmente resulta más aprehensible reconocer el polo dela "intencionalidad pedagógica" para la selección de situaciones didácticas, que reconocer la necesidadde seleccionar situaciones que permitan a los niños dirigir su acción hacia un objetivo personal.

Es necesario formar docentes que logren comprender las diferencias entre los objetivos que per-sigue el alumno para resolver un juego, un desafío o bien al participar en la resolución de un proble-ma de la vida cotidiana, de los objetivos del docente; estos últimos se dirigen a las metas de ense-ñanza propuestas con anticipación. En cambio, los objetivos de los alumnos se dirigen a la concreciónde una tarea dada, a dar una respuesta porque la situación lo exige.

Cuestión 2: La participación activa de los niños en el Nivel Inicial es una variable que requiere deatención particular.

Hacer, jugar, resolver en el jardín son fuentes necesarias de nuevos conocimientos, pero no sufi-cientes. Es también importante generar las condiciones para la transformación de las decisiones quelos niños tomaron durante la acción (por ejemplo: decidir una jugada, un movimiento) en objeto dereflexión grupal para que se puedan formular los conocimientos utilizados. Esta gestión es responsa-bilidad de los docentes; requiere de ellos una interpretación de las resoluciones de sus alumnos sobrela situación de clase para comprender en qué momento y de qué modo los niños podrán abordar estatransformación (de la acción a la reflexión).

La dificultad de esta tarea –para la que deberá formarse el docente– está vinculada con la des-contextualización de los conocimientos utilizados por los niños dentro de los márgenes impuestos porel trabajo en las salas de un jardín y por las características de aprendizaje de los niños. Así también,muchos maestros en ejercicio y se podría suponer que a los futuros docentes les ocurriría algo simi-lar, no tienen claro qué descontextualizar porque les cuesta reconocer algunos conocimientos que setrabajan en el jardín como conocimientos en construcción por parte de los niños.4

Hay poco desarrollo teórico en relación con este punto y también sería interesante indagar mássobre el tema.

4 Cuesta reconocer la complejidad que tienen algunos conocimientos a enseñar dado que o bien no tienen status de saberes matemá-

ticos –cuestión analizada por Brousseau (en Sáiz, I. y Parra, C.; 1994)– y están ligados a un dominio restrictivamente práctico (como

los espaciales, por ejemplo) o bien son saberes reconocidos como "aritmética escolar" pero resultan muy sencillos para los adultos (la

numeración oral, la resolución práctica de problemas de medida, por ejemplo).

▲ Sobre los "problemas". "El saber se forma a partir de los problemas a resolver, de las situaciones adominar. Las concepciones de los alumnos son moldeadas por las situaciones que han encontrado" (G.Vergnaud, en ERMEL, 1990).

Cuestión: si bien es cierto que podemos encontrar buenos problemas que den lugar a un apren-dizaje por adaptación en el marco del jardín, aún no es posible encontrar una variedad de problemasque den sentido a una gran franja de conocimientos que los docentes deberán enseñar en un futurocercano. Por ejemplo, en el ámbito de la investigación se desarrollaron menos situaciones didácticaspara aprender cuestiones relativas a espacio, geometría y medida que para los conocimientos numé-ricos.

▲ El tiempo escolar y el tiempo para aprender. De acuerdo con la teoría de los Campos Conceptualesde G. Vergnaud (op. cit.), por ejemplo, las estructuras aditivas y multiplicativas se construyen a lo largode 10 años aproximadamente, aún bajo control e influencia de la educación sistemática. Lo mismo haseñalado con respecto al concepto de número. Este enfoque asume la enseñanza como un proceso alargo plazo y generalmente los conceptos a trabajar en cada año escolar implican la recuperación delos aprendizajes adquiridos en años anteriores.

Entonces, no se trata de cuestionar la hipótesis ya irrefutable del aprendizaje a largo plazo sinode advertir al formador sobre algunos puntos aún no resueltos en la didáctica del Nivel Inicial:

- ¿Qué tipo de espacio ofrecer en el marco de una jornada en el jardín, para favorecer los aprendiza-jes de algunos conceptos clave que se continuarán en otros niveles del sistema escolar? ¿Se podríaconsiderar que hay conceptos más fundantes que otros para jerarquizarlos y otorgarles una mayorintencionalidad de trabajo? - Con respecto a este último punto, ¿es verdad –y si es así, habría que buscar evidencia– que todoslos conocimientos que deberán enseñarse en el jardín tienen la misma jerarquía en el proceso deaprendizaje del niño?, ¿que en todos los conocimientos planteados para el área, el niño puede avan-zar de la misma forma?; ¿la abundancia de situaciones numéricas es sólo un desfase a corregir en elterreno de la formación? ¿Se podría revertir la cuestión ofreciendo las mismas oportunidades para losproblemas numéricos, espaciales, geométricos y de medida o bien hay algo del propio conocimiento–y vinculado con el aprendizaje a largo plazo– que obstaculiza la distribución igualitaria de los tiem-pos de aprendizaje?

Algunas de estas preguntas han sido resueltas desde la práctica, por decisiones tomadas en dife-rentes ámbitos del sistema (capacitación, currícula, la propia institución educativa); no obstante esto,faltan datos para fundamentar estas ausencias o desequilibrios.

SEGUNDO TEMA: CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA PARA FAVORECER APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS

Planteo del problema

Un punto importante a trabajar en la formación de docentes es el problema de las representa-ciones de los alumnos-docentes con respecto a qué significa enseñar matemática. A partir de estasideas el profesor avanzará en ofrecer modelos alternativos que pongan en cuestión las prácticas vivi-


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das como alumnos, enriqueciendo la construcción del rol docente con el aporte de bibliografía y tra-bajos acordes con la temática planteada.

El objetivo de incluir en la formación inicial este tipo de análisis es ofrecer herramientas teóri-cas que permitan orientar las decisiones del futuro docente analizando de manera permanente elpapel que desempeñan el niño, el conocimiento y su propia intervención como docente, en una ins-titución de Nivel Inicial. A través de este análisis se permitirá cuestionar tanto las posiciones "activis-tas" que sobrevalúan la actividad del niño entendida como acción visible, como las extremadamentedirectivistas que basan sus interveciones en preguntas "guías" y que en ocasiones encaminan las reso-luciones de los niños hacia una única respuesta correcta.

Este planteo deberá relacionarse con las diferentes instancias y trayectos de la formación, esdecir, el profesor tomará en consideración algunos textos bibliográficos o bien algunas experiencias(observaciones, por ejemplo) estudiadas en materias como "Enseñanza I y II" y otras didácticas espe-ciales como puede ser Prácticas del Lenguaje o Ciencias Naturales, algunos talleres y seminarios, etc.Así también se podrá vincular con el taller de las Prácticas Docentes.

Modelos didácticos

R. Charnay (1988) plantea tres modelos o esquemas de análisis provenientes de la manera deconcebir las relaciones entre los tres polos de la tríada: conocimiento, alumnos y docente. Estos mode-los son: el normativo, el incitativo y el aproximativo o apropiativo.

En el modelo normativo estarían inscriptas las prácticas de enseñanza que se describieron en elpunto 1 como "enfoque tradicional". Dichas prácticas se centraban en el saber en tanto productosocial establecido que el docente transmitía y el alumno debía repetir y ejercitar.

En el modelo incitativo se inscriben aquellas prácticas enmarcadas en la postura de la EscuelaNueva. Éstas se centraban principalmente en el alumno, su vida cotidiana, sus motivaciones y nece-sidades; el docente basaría sus lecciones en aquello que hubiera despertado el interés de los alumnosdesprendiendo de esto los saberes sociales a comunicar. El tipo de intervenciones privilegiadas en estemodelo son las preguntas que "incitan" al niño a aprender y permiten al docente acercarse al pensa-miento infantil.

El modelo aproximativo o apropiativo es el modelo ligado al aprendizaje por medio de la resolu-ción de problemas en el que se acepta que el alumno se aproxima al saber socialmente transmitidoconstruyendo, con sus propios medios, los distintos sentidos de este saber. Es decir, sostiene que elniño construye significados parciales, apostando a la idea de provisoriedad del conocimiento apren-dido, lo que podría vincularse con el concepto de aprendizaje a largo plazo de Verganaud ya que laconstrucción no es definitiva, son estados de conocimiento.

Este análisis no es muy novedoso si sólo se observan las relaciones entre los tres polos de la trí-ada definida. El aporte más interesante es la descripción del modo en que se definen los problemasen cada modelo y los fundamentos a favor de una elección.

Al trabajar estas ideas, generalmente los futuros docentes reconocen su vinculación comoalumnos con el modelo normativo y se apropian de la necesidad de un cambio de enfoque comodocentes.

Estas reflexiones permitirán a los futuros docentes:

- Analizar los diferentes enfoques teóricos implícitos en diferentes propuestas.


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- Ofrecer elementos a favor de un cambio de perspectiva para el desempeño del rol de enseñante.- Construir y/o mejorar propuestas didácticas según los aportes de la didáctica de la matemática.

A continuación se desarrollarán algunas ideas orientadoras que permitan la construcción del roldocente en el marco del modelo aproximativo o apropiativo.

Sobre la concepción de aprendizaje

En el artículo citado se sostiene: "Las producciones del alumno son una información sobre suestado de saber" (op. cit.). Será muy importante que los alumnos del profesorado se conecten tem-pranamente con estudios sobre producciones infantiles y aprendan a interpretarlas, a tenerlas encuenta para la construcción de una propuesta didáctica. El profesor encontrará oportunidades paraanalizar con sus alumnos investigaciones psicogenéticas o estudios exploratorios de las ideas espon-táneas de los niños frente a problemas planteados o actividades que permitan verlas; de este modose intentará instalar la convicción según la cual los niños construyen un conjunto de ideas en inter-acción con su medio social; por lo tanto, en muchos casos, estas construcciones se producen antes deun contacto formalizado con los conocimientos.

A continuación se comentarán –a modo de ejemplo– algunas investigaciones que los profeso-res podrán considerar:

▲ La investigación didáctica de D. Lerner y P. Sadovsky "El Sistema de numeración: Un pro-blema didáctico" artículo compilado en Didáctica de la Matemática de Paidós por C. Parra e I.Sáiz:

Esta investigación permite observar cómo los niños comienzan a construir muy tempranamen-te criterios para escribir y comparar números de más de una cifra. Esta construcción es producto deun largo proceso.

Describiré sintéticamente los criterios hallados para escribir y comparar números grandes en niñosde 5 y 6 años. Siguiendo con la investigación citada, los primeros descubrimientos de los niños son:

- Aproximación a la idea del valor de los números según la cantidad de cifras con las que se escriba. Losniños comienzan a comprender que muchos números escritos representan a un número mayor queotro con menos cifras. Un corolario de este criterio es: si un número se escribe con cifras de menorvalor absoluto (por ejemplo 1101) que otro número de menor cantidad de cifras pero de mayor valorabsoluto (por ejemplo, 89), el primer número es mayor que el segundo.- Reconocimiento de la sucesión escrita. A igual cantidad de cifras, un número es mayor que otro si laprimera cifra es mayor que la primera cifra del otro número (por ejemplo: 41 es mayor que 28; el 4es mayor que el 2).- Escritura de números. También observaron que los niños para escribir se apoyan en la numeraciónoral produciendo escrituras no convencionales. Por ejemplo, para escribir 35 algunos niños lo haríanasí: "305" ya que la numeración hablada se rige por reglas semejantes a un sistema aditivo (30+5).


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▲ La investigación de Alvarado, M. y Ferreiro, E . “El análisis de nombres de números de dosdígitos en niños de 4 y 5 años”. Avance que fue publicado en la revista Lectura y vida (nº1 demarzo de 2000).

Estas investigadoras analizan las "escrituras desviantes" o no convencionales de los niños comoreveladoras de los procesos cognitivos a la vez que muestran cómo los niños se inician en la cons-trucción de estos conocimientos mucho antes de la presentación formal de estos en contextos esco-lares.

En este artículo se describen algunos recursos que los niños producen cuando se enfrentan a lanecesidad de escribir números que no conocen, dictados por el entrevistador (entrevista clínica). Estosrecursos son:

- El uso de "números comodines" cuando necesitan guardar valor posicional o cuando desconocencómo escribir una de las cifras (generalmente las decenas). Por ejemplo: para escribir "veinticinco" unniño dice "es de cinco" y escribe primero el "5", sabiendo que el número está incompleto. Finalmenteescribe "05", utilizando el cero como comodín. - El uso de las escrituras llamadas "en espejo" o escrituras invertidas –según análisis de las verbaliza-ciones de los niños– pueden cumplir un rol semejante al del comodín. Por ejemplo: para 45 escribenprimero 5 y luego el 4 pero rotando el 4 "porque suena como el cuatro pero no es lo mismo".(Rotaciones voluntarias de los números para dar cuenta de las diferencias sonoras.)- La escritura de los números de derecha a izquierda puede interpretarse que resuelven primero laparte conocida y luego agregan algo para lo desconocido. Por ejemplo: "91" para designar al "19".

A partir de estas investigaciones, los futuros docentes observarán el proceso de aproximación delos niños a la escritura de números construyendo algunos de los aspectos clave para la comprensiónde nuestro sistema de numeración y las reglas que lo rigen. Se espera que los alumnos comprendanlas producciones de los niños para que puedan otorgar significación pedagógica a sus errores y reco-nozcan el esfuerzo asignado a esta construcción.

Otros trabajos para enriquecer este punto:

▲ Referidas a númerosAquí se podrá encontrar un análisis de la situación "Dados de colores" en Parra, C. y Sáiz, I.: Los

niños, los maestros y los números, Doc. Curricular M.C.B.A. 1990, que se pueden observar las aproxi-maciones que realizan niños de 1º año referidas a la construcción de un registro para llevar el recuen-to de puntos. Este trabajo ha sido factible de llevar adelante con niños de 5 años, obteniendo resul-tados similares.

■ Baroody, A.: El pensamiento matemático de los niños, Visor, 1988. En este trabajo se analizan los pri-meros conocimientos de los niños en relación con las actividades aritmética que llama "conocimien-tos informales". Inicialmente indaga estos conocimientos "intuitivos" de los niños para luego analizarcómo juegan estas ideas en los aprendizajes escolares o formalizados. Es particularmente interesantela explicación sobre la actividad de contar.

En Selecciones bibliográficas sobre NÚMERO Y SISTEMA DE NUMERACIÓN del Programa deTransformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, año 1994.


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■ "Conocer los números", en Aprendizajes numéricos y resolución de problemas, Curso preparatorio,París, Hatier, marzo de 1991. INRP. ERMEL.

Este trabajo explica, desde una perspectiva histórica, la manera en que los hombres han cons-truido un sistema de representación de cantidades a partir de la resolución de problemas prácticos,sistema que luego analizaron y conceptualizaron como matemáticos.

Es interesante para la formación de los docentes porque permite reflexionar sobre el Sistema deNumeración en tanto construcción cultural. El profesor podrá establecer las relaciones entre el esfuer-zo de la humanidad para desarrollar este producto a lo largo de tantos años y el que le demanda a losniños pequeños apropiarse de él.

■ Sinclair, A. y Sinclair, H. "Las interpretaciones de los niños preescolares sobre números escritos", enHuman Learning, vol.3, págs. 173-84, Universidad de Ginebra.

Estas autoras estudian las formas en que los niños entre 3, 4 y 5 años (llamados por ellas "pre-escolares") interpretan las escrituras numéricas provenientes del ambiente social. Observan que losniños adjudican diferentes funciones a los números según el contexto en el que se presenten, a la vezque construyen las reglas que rigen el sistema de numeración.

El valor para la formación inicial de este artículo es doble:1. Contribuye a tomar contacto con la complejidad del pensamiento infantil y a la toma de concien-cia, por parte del futuro docente, de la necesidad de interpretar las producciones de sus alumnos conherramientas teóricas.2. En forma indirecta, proporciona argumentos a favor de propiciar "ambientes alfabetizadores" favo-reciendo que los niños tomen contacto con escrituras numéricas y sus significados.

■ Terigi, F. "En torno a la psicogénesis del sistema de numeración: estado de la cuestión. Perspectivasy problemas", en Revista Argentina de educación, año X, nº17, Asociación de graduados en Cienciasde la Educación, 1992.

En la línea de los artículos ya comentados, este artículo hace un aporte más a la problemáticadel aprendizaje del sistema de numeración a favor de la "desnaturalización" de este proceso (en efec-to, hay cierta tendencia a creer que el sistema de numeración es un producto cultural cuyo aprendi-zaje se genera en forma "natural" lo que significa que los niños lo aprenden sin costo alguno).

En principio la autora analiza al sistema de numeración en tanto objeto de conocimiento –muyimportante para la formación inicial– para luego abordar el análisis de algunas investigaciones refe-ridas a la construcción infantil de las leyes que rigen al sistema.

▲ Referidas a Espacio y Geometría:

■ Gálvez, G. "La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometríaen la escuela elemental" en Parra, C. y Sáiz, I. (comps.) Didáctica de la matemática, Buenos Aires,Paidós, 1994.

Este trabajo permite acercar a los futuros docentes una síntesis de la psicogénesis de lasnociones espaciales basándose en las investigaciones de Piaget. Es una excelente síntesis de es-tos trabajos y permite avanzar en la reflexión sobre la enseñanza de la geometría en la escuela pri-maria.

■ Melliat, C. "Realización de figuras planas y representaciones en Jardín de infantes" en Selecciones


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bibliográficas sobre Número, Espacio y Medida, Ministerio de Cultura y Educación, Programa para laTransformación de la Formación Docente, 1994.

En este trabajo se describen actividades de codificación y decodificación de formas geométricaspara favorecer el aprendizaje de las propiedades geométricas de esas figuras y se analizan los proce-dimientos de los niños para la resolución de esas tareas. La riqueza de este artículo consiste precisa-mente en el análisis de las producciones infantiles.

Sobre la selección de actividades. Criterios

La segunda cuestión de importancia para la formación de docentes en el marco del modelo apro-piativo o aproximativo es la de ofrecer criterios relevantes para la selección de actividades adecuadasal enfoque didáctico asumido.

Siguiendo con R. Charnay (op. cit.): "Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problemaa resolver". En consecuencia, se intentará orientar a los futuros docentes para la selección de activi-dades de aprendizaje entendiéndolas como problemas, teniendo en cuenta que el futuro docenteconstruirá o problematizará actividades; seleccionará juegos interesantes de un repertorio de juegosclásicos, adaptará nuevos juegos a las posibilidades de sus alumnos y de la institución, entre otrasposibles tareas.

Así también se espera que los alumnos logren analizar sus intervenciones en función de favore-cer las más adecuadas para sostener el problema.

Criterios para la selección. Los alumnos deberán construir a lo largo de su paso por la materia, unaposición crítica para la selección de situaciones didácticas. Se espera que este posicionamiento de losalumnos contribuya tanto a la creación de estrategias didácticas como a la búsqueda autónoma demateriales adecuados. Además, se espera que los futuros docentes comprendan la complejidad de latoma de decisiones a priori de la puesta en marcha de un proyecto de trabajo con niños; según estemodelo de enseñanza, la intervención del docente comienza antes de hacer efectivo dicho proyecto.La previsión de las condiciones de las actividades es central para mejorar las intervenciones durantey después de llevarlas a cabo.

A continuación se plantearán algunas pautas que tengan relevancia para la enseñanza de lamatemática en el jardín. Estas son reformulaciones de los criterios para la selección de problemas deR. Douady (citada en Parra, C. y Sáiz, I.; 1990).

- Los problemas seleccionados tienen que tener sentido para los niños. Deberán responder a una pre-gunta, a un desafío. Un juego podría cumplir con este requisito.- El niño debe poder imaginar aquello que puede ser la respuesta al problema y arriesgar una estra-tegia de resolución.- Debe permitir usar conocimientos anteriores (Charnay, op.cit.) pero deberá ofrecer una resistenciasuficiente para llevar al alumno al nuevo conocimiento o al mejoramiento de un procedimiento utili-zado.- El problema deberá permitir variedad de resoluciones posibles (criterio de diversidad).- "Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situaciónmisma" (Charnay, op.cit.). Es decir, la situación incluirá algunos elementos para que los niños puedancontrolar el resultado de las acciones realizadas para su resolución.


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.Estos criterios podrán servir para analizar actividades observadas o filmadas, para reflexionar

sobre las prácticas realizadas, para analizar registros o bien para leer propuestas (ver “Tercer tema:Cómo enseñar a enseñar matemática en el Nivel Inicial”).

El problema de la selección de actividades para la enseñanza de contenidos de matemática en elNivel Inicial se vincula principalmente con dos cuestiones generales de la didáctica del nivel que espreciso mencionar sintéticamente. Éstas son:

a) Los juegos para aprender conocimientos de matemática en el jardín.b) Las condiciones para el trabajo en el área en el contexto real del jardín: organización de la sala, delos grupos de niños, de la jornada.

Los juegos para enseñar matemática en el jardínEs importante relacionar este punto con la problemática general del juego en el nivel, sin des-

vincularla de las más recientes investigaciones y reflexiones. Así también, el profesor tendrá en cuen-ta los estudios que analizan las concepciones de los docentes en torno del juego (Pozo, 1988 citadoen: Baquero y Aizencang, 2000) y otras reflexiones5 para la construcción de una propuesta didácticade formación.

A los fines de explicitar algunos de los presupuestos más básicos de esta propuesta, se intenta-rá asumir una posición con respecto al tipo de juego que se espera que los futuros docentes utiliceno construyan. Más que partir de una definición única y taxativa de juego o de recorrer la historia desu inclusión en el Nivel Inicial –para lo cual los alumnos del profesorado cursarán un seminario en elque se profundizará sobre esta problemática en su conjunto y que el profesor sabrá articular– esimportante ahondar sobre las condiciones de los juegos para trabajar contenidos de matemática enel jardín, es decir, como propuesta de enseñanza.

A partir de lo planteado respecto del enfoque didáctico asumido en este documento, los juegosson situaciones de enseñanza en tanto se los entienda como problemas. De este modo, comparten lascondiciones ya descriptas para los problemas.

Por ser situaciones privilegiadas para la enseñanza de contenidos en el Nivel Inicial, se podríanagregar nuevas condiciones que contextualicen el trabajo en las salas asumiendo la especificidad dela tarea en el jardín:

- Deberán promover las interacciones grupales. Se trataría de privilegiar la relación entre alumnosentendida como relaciones horizontales, simétricas y posibilitadoras de intercambios participativos.Este tipo de intercambio a propósito de los juegos reproduce en parte la gestión social del saber yaque son situaciones que provocan la necesidad de argumentar, el pedido de explicaciones para vali-dar las jugadas, entre otras interacciones. - Al decir de C. Kamii y R. De Vries (1980): "Deberá permitir que todos los jugadores participen activa-mente durante todo el juego" (el subrayado es nuestro).- Para lograr ser un jugador experto –y, en este caso, en su aproximación al conocimiento– es nece-sario que el jugador se apropie de sus reglas y mejore sus estrategias en sucesivas jugadas. - Los niños deberán poder controlar el resultado de las acciones realizadas. Al decir de C. Kamii y R.De Vries (1980): “Deberá permitir que los propios niños evalúen su éxito".

Desde la perspectiva didáctica de la resolución de problemas los niños construirán también una

5 Ver bibliografía de juego en los documentos "Enseñanza I y II" y "Seminario sobre Juego" .


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.posición como jugadores en la medida en que los docentes ofrezcan situaciones para que partici-pen de:

- La selección de un juego. Para esto el docente debería ofrecer variedad de juegos alrededor de unmismo contenido. - La creación de juegos y la construcción de sus reglas (C. Melliat y R. Neyret, 1990).- La actividad compartida entre pares, condición que para algunos se presenta sólo en el contextoescolar, promoviendo la necesidad de llegar lo más democráticamente posible a algunos acuerdos.

El futuro docente también se vinculará con actividades de diferente tipo6 para trabajar conteni-dos de matemática: desafíos, actividades cotidianas o ligadas a la vida y organización de la sala,secuencias didácticas de modo tal de favorecer la selección de propuestas desafiantes para los niñoso la creación de ellas.

Así también, durante el desarrollo de la materia, los alumnos tendrán oportunidades para cono-cer y reflexionar acerca de los criterios de inclusión de los contenidos de matemática en estructurasdidácticas tales como unidades didácticas y proyectos.

Sobre la selección de contenidos. Criterios

Los alumnos deberán analizar suficientemente los Contenidos Básicos Comunes7 y los conteni-dos de diferentes documentos curriculares; este análisis le permitirá al futuro docente comprenderaquello que se espera que enseñe e iniciarse en la selección y organización de contenidos.

Se espera que el alumno pueda construir situaciones didácticas de acuerdo con la selección yorganización de contenidos realizada previamente o bien seleccione las actividades más adecuadas alas condiciones establecidas.

En síntesis, adscribiendo al enfoque didáctico planteado en este documento, los futuros docen-tes deberán aprender a contextualizar los contenidos seleccionados para que los niños puedan cons-truir significados de esos conocimientos.

Fundamentalmente –y haciendo un planteo por demás esquemático– hay dos caminos alterna-tivos para propiciar el análisis sobre los contenidos. Uno de ellos es partir de actividades o secuenciasdidácticas para que los alumnos extraigan qué conocimientos se ponen en juego en esas actividadeso bien crear o modificar situaciones didácticas, adaptándolas a los requerimientos de la enseñanza deun particular contenido. En ambos casos se espera ofrecer a los futuros docentes herramientas didác-ticas adecuadas para su ejercicio profesional en tanto que ambos caminos son los que generalmentelos docentes toman ante la enseñanza de contenidos curriculares.

6 "Actividades con contenido lúdico" llamadas así por Malajovich, A. en Recorridos didácticos para el Nivel Inicial, Buenos Aires, Paidós,

2000.7 Recordemos que la Provincia de Buenos Aires se maneja con dicho documento en tanto Diseño Curricular y que muchas provincias

han espejado la formulación de contenidos para el área.


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.De las actividades a los contenidos y de los contenidos a las actividades

El profesor ofrecerá a sus alumnos variadas situaciones didácticas que permitan a los alum-nos determinar los contenidos que esas situaciones contextualizan. Estas podrán ser juegos comer-cializados, actividades y/o juegos publicados en libros especializados o bien en publicaciones paraniños.

Así también los docentes en formación seleccionarán contenidos y planificarán secuencias deenseñanza para niños de diferentes edades. Para el logro de este objetivo, los profesores ofreceránmateriales diversos que orienten a sus alumnos. En este sentido, los documentos curriculares de dife-rentes jurisdicciones8 han provisto de muchos ejemplos que ilustran cómo enseñar los contenidos encada sección del jardín.

La búsqueda o construcción de actividades adecuadas para el tratamiento de contenidos en elNivel Inicial plantea algunos problemas que es importante conocer. Circulan en el mercado bibliográ-fico una gran variedad de materiales que, bajo fundamentos próximos a los aquí planteados, hacenpropuestas muy alejadas de ellos; por lo tanto, es importante conectar a los alumnos con situacionesdidácticas que contrasten con el enfoque planteado ya que de ese contraste, de su diferenciación,también se obtienen elementos a favor de una elección.

Para la construcción de propuestas lúdicas, los futuros docentes deberán aprender a introducirvariaciones dentro del mismo juego que permita a los niños avanzar con respecto a sus conocimien-tos iniciales; para esto el profesor enseñará a los alumnos a planificar cómo intervenir sobre la situa-ción de juegos o actividades, cambiando algunos aspectos clave de las propuestas.

En este punto, tal vez sea de ayuda recurrir al concepto de "variable didáctica", entendiendo porésta aquellas condiciones del juego o actividad que, al modificarlas, cambian el contacto de los alum-nos con el conocimiento; es decir, implican una reformulación de los procedimientos de los niños altener que resolver un nuevo problema bajo una forma global conocida.

Ahora bien, es frecuente observar en las planificaciones de los docentes ciertas variaciones deun juego en las que se modifican las reglas sin complejizar la tarea de los alumnos sino cambiandoradicalmente el contenido a trabajar; en consecuencia, es importante que el profesor formador atien-da a las condiciones que complejizan dado que no cualquier cambio de regla genera el efecto espe-rado. Los alumnos podrán analizar ambas situaciones.

Posibilidades de articulación

Un punto a considerar dentro de la didáctica del Nivel Inicial es la posibilidad de ofrecer herra-mientas para que los niños puedan analizar el ambiente comprendiendo, a través de sucesivas activi-dades, parte de las leyes que lo organizan. Estas herramientas son conocimientos adecuados al recor-te analizado.9

Los contenidos de matemática, a diferencia de los contenidos de otras materias, no siempre sir-ven para explicar ciertos fenómenos del entorno, pero muchas veces sirven para resolver problemasde la vida cotidiana. Por ejemplo, el sentido de la medida sólo puede aprenderse en situaciones en lasque medir resulte la solución óptima; pero la reflexión sobre el objeto de conocimiento matemático

8 Ver, por ejemplo, Diseño Curricular de Río Negro, Neuquén y Ciudad de Buenos Aires.9 Ver aportes de las Ciencias Sociales, Naturales, y Prácticas del Lenguaje.


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."medida" excede ampliamente los problemas de la vida cotidiana. Cada uno de los contenidos del áreapara el nivel podrían ponerse bajo esta lupa.

En la formación de docentes, el profesor ofrecerá oportunidades de interactuar con proyectos deotras áreas en los que algún contenido de matemática pueda ser útil para la comprensión del recor-te seleccionado y advertirá cuándo las relaciones son artificiales o ficticias.

En síntesis, el alumno deberá aprender a seleccionar el contexto más adecuado para la ense-ñanza de un particular conocimiento y a analizar la pertinencia para establecer relaciones con lasdemás áreas.

TERCER TEMA: CÓMO ENSEÑAR A ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL

Planteo del problema

Frente a la demanda que promovieron tanto la aprobación de los Contenidos Básicos Comunescomo las modificaciones curriculares para el Nivel Inicial en la Ciudad de Buenos Aires durante losúltimos años, las instituciones de formación docente desarrollaron diversas alternativas tendientes afortalecer a los docentes en ejercicio y a los futuros maestros, en cuestiones relativas a la enseñanzade dichos contenidos. De ese esfuerzo proviene la diversidad de modalidades para el dictado de lamateria en la actualidad: materia de grado, talleres optativos, talleres obligatorios, insertos en otrasmaterias como "Taller didáctico", seminarios durante la carrera, etcétera.

A la vez, cada institución de formación fue asumiendo distintos enfoques y propuestas para tra-bajar en la formación de docentes: algunos pusieron más énfasis en los contenidos de matemática;otros, en la construcción psicológica de las nociones, y otros estuvieron más ligados al enfoque delDiseño Curricular de Capital Federal.

En este contexto, será importante que el profesor no sólo anticipe el enfoque didáctico que asu-mirá al dictar la materia,10 sino también que considere las estrategias de formación acorde con dichoenfoque para lograr que los alumnos aprendan como se pretende que enseñen: analizando informa-ción y resolviendo problemas.

En los puntos anteriores se trató de explicitar y asumir una particular posición frente a la ense-ñanza de la matemática en el Nivel Inicial desde el punto de vista de la formación docente. En esteúltimo tema, se espera avanzar en la selección de distintas propuestas de formación docente inten-tando que las problemáticas abordadas en la materia no se limiten al tratamiento de los contenidosa enseñar en el jardín. En este sentido, las actividades se caracterizarán por ser instancias de reflexiónque permitan a los futuros maestros replantearse el modelo de enseñanza en el que han participadocomo alumnos de matemática, no sólo con aportes teóricos sino también con aproximaciones a lasprácticas de enseñanza.

Se intentará abordar la problemática de la "reproducción" de modelos aprendidos, ofreciendomúltiples y variadas propuestas que permitan ampliar las representaciones sobre la enseñanza de lamatemática de los alumnos-docentes. Al final del desarrollo de este tercer punto, el profesor encon-trará algunas herramientas didácticas seleccionadas a modo de ejemplos de situaciones para la for-mación del profesorado; estas ponen en relevancia la construcción del rol docente entendido como

10 Ver Primer tema: Enseñar matemática en el jardín

un profesional que anticipa su accionar, que toma decisiones sobre la marcha y puede reformular supropuesta analizando su práctica.

Análisis didáctico de situaciones de enseñanza

Los futuros docentes se enfrentarán con situaciones de enseñanza en las que deberán tomardecisiones didácticas ligadas a algunas de las siguientes variables de análisis: los contenidos a ense-ñar, la organización de un grupo, las consignas de trabajo para los niños y las intervenciones docen-tes más adecuadas, las posibilidades de complejización de una propuesta y algunas otras variables decontexto.

Es decir, se intentará aproximar a los futuros docentes a las condiciones de enseñanza lo másreales posibles y de enfrentarlos con la necesidad de tomar decisiones de enseñanza. Para eso, seespera que los alumnos:

a) Analicen propuestas de enseñanza de contenidos de matemática destinados a docentes y alumnosde jardín.b) Analicen juegos y materiales de circulación comercial.c) Analicen registros de observaciones de actividades.d) Analicen bibliografía que desarrolle propuestas didácticas.e) Analicen planificaciones y planifiquen situaciones lúdicas dadas.f) Construyan propuestas según el enfoque seleccionado.g) Modifiquen propuestas.

Algunas variables de análisis

Ante cada propuesta de actividades los alumnos-docentes deberán considerar para la discusióngrupal algunas de las siguientes variables:

- Los contenidosComo se explicó en el punto anterior, se espera que el futuro docente aprenda a seleccionar los

más pertinentes a las situaciones planteadas. Extraerán los contenidos de una actividad dada o, inver-samente, dados los contenidos los alumnos buscarán o diseñarán las actividades de enseñanza másadecuadas.

Se cuidará en forma particular la adecuación de los contenidos al problema y la pertinencia delas relaciones entre contenidos, particularmente, en proyectos que articulan contenidos de diferentesáreas.

- Diferentes modos de organizar las actividadesLa organización de los grupos es una variable central para el logro de los aprendizajes espera-

dos ya que la interacción entre pares favorece los intercambios de opiniones, las discusiones sobreprocedimientos; la conformación grupal permite formular ideas, fundamentar decisiones o bien, hacervaler las acciones realizadas.

Por lo dicho, es necesario que el futuro docente aprenda a planificar cómo organizará a sus


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.alumnos para favorecer intercambios y discusión. El futuro docente anticipará las formas en que orga-nizará a su grupo. Para esto deberá conocer diferentes modos de conformar los grupos de trabajo:

a) El grupo dividido en parejas.b) El grupo dividido en pequeños grupos de 3 o 4 integrantes.c) El grupo trabajando todo junto (sala total).d) La tarea individual.

Estas opciones serán analizadas según los siguientes contextos de la tarea grupal:

a) Con una misma tarea: todos resuelven el mismo problema.b) Con diversidad de tarea: cada uno (grupo o alumnos) resuelve diferentes problemas. - Con objetivos similares pero diferentes propuestas (diversidad de juegos del mismo tipo, por ejemplo).- Con objetivos distintos (vinculados con el juego trabajo, por ejemplo).

Se sugiere al profesor analizar situaciones didácticas variadas observando los diferentes modosde organizar la tarea; también es posible prever una serie de estrategias de formación para que losalumnos modifiquen las condiciones grupales de una actividad observada.11

- Las consignas de trabajo para los niños y las intervenciones docentes más adecuadas.Este punto es central dado que se vincula con la diferenciación entre la intencionalidad del

docente –referida a los objetivos pedagógicos que persigue– y la finalidad de la tarea para los alum-nos. En efecto, los futuros docentes aprenderán a reconocer los objetivos de enseñanza discriminadosde los objetivos de aprendizaje, analizando las consignas de trabajo, tipo de tarea a realizar por losniños y las intervenciones del docente durante la actividad.

En el primer punto de este documento, se fundamentó por qué es importante que los futurosdocentes diferencien los objetivos pedagógicos de la finalidad para el alumno. En el segundo punto,completando la argumentación sobre estos conceptos, se definió qué se entendía por acciones confinalidad, refiriéndolas a aquellas que movilizan la búsqueda de un procedimiento de resolución.

Esto se puede analizar en cada propuesta de actividades y también en observaciones de acti-vidades.12

- Las actividades de matemática en el conjunto de las actividades del jardín.Es importante vincular esta materia con los demás aportes y trayectos de la formación para no

aislar las propuestas de matemática. Los futuros docentes deberán aproximarse a la concepción deuna tarea diversificada y muy diferente de la que recuerdan como alumnos de una clase de matemá-tica. Para esto, los alumnos tomarán contacto con actividades de matemática en diversos contextos:a) Diferentes salas de diferentes edades. Analizar peculiaridades según las edades.b) Diferentes marcos institucionales (salas de 4 y 5 años integradas, por ejemplo). Analizar peculiari-dades. c) Conocer cómo se insertan las actividades de matemática en el día. Las peculiaridades de la jornadasimple y completa.

11 Ver anexo de actividades.12 Ver anexo de actividades.


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.d) La organización de la sala: discutir cuestiones tales como si los juegos tienen que estar o no alalcance de los niños, cómo armar una ludoteca, cómo disponer los rincones o sectores para desarro-llar propuestas de trabajo autónomo, etcétera.e) Los padres y la enseñanza de la matemática. Analizar las relaciones entre los padres, los niños y lamatemática: cómo plantear el proyecto del año (actividades de matemática en el jardín) en una reu-nión de padres, el tipo de tarea a realizar con los niños trabajando las expectativas de la institución ylas de los padres; cómo construir una muestra con trabajos de matemática; qué se podría exponer enuna cartelera, etcétera.

- Modificaciones de una actividad. Posibilidades de complejización.Es frecuente que los alumnos adquieran más rápidamente una posición crítica frente a las acti-

vidades observadas que una posición propositiva, ya que los marcos teóricos trabajados les permitendetectar con mayor claridad aspectos negativos o no deseados de las prácticas.

La construcción de una mirada crítica es de gran importancia para la propia acción como docen-tes y, por lo tanto, hay que favorecerla. No obstante eso, el profesor también deberá favorecer que losalumnos construyan un marco de referencia para la toma de decisiones prácticas que permita a losfuturos docentes no sólo detectar problemas sino volver sobre ellos para superarlos.

En función de los objetivos planteados, será necesario que los alumnos trabajen sobre propues-tas de juego, planificando su puesta en marcha, como también que observen el desarrollo de estasplanificaciones y vuelvan sobre lo realizado para plantear una nueva propuesta. Si esto no fuera posi-ble, los profesores pondrán a disposición de los alumnos una serie de herramientas didácticas quepermita aproximarse a estas prácticas: proponer modificaciones en clases de terceros (crónicas, vide-os, etc) o bien leer análisis publicados en diferentes textos. Por ejemplo, en el trabajo de desarrollocurricular "El enigma del barrio"13 se relata una experiencia para trabajar contenidos de "Espacio" enuna sala de 4 años; la relevancia para la formación docente de este trabajo es, justamente, la mane-ra en que se recuperan experiencias no exitosas para replantear el trabajo en la misma sala pero enotro momento.

La concepción de aprendizaje ligada a aproximaciones sucesivas de los niños a conceptos, ideas,vocabulario, etc. obliga a concebir la enseñanza en términos de "secuencias"; se espera que los futu-ros docentes propongan a los niños repetir actividades y juegos, también que comprendan la impor-tancia de construir nuevas actividades o jugadas complejizando la tarea de los niños. Para esto losalumnos analizarán secuencias de actividades y aprenderán a complejizar situaciones.

El lugar de los contenidos de enseñanza en la formación docente

A lo lago de este documento se intentó dejar sentado que los contenidos de la formación docen-te se vinculan con una formación profesional rica en experiencias didácticas ligadas tanto al análisisde actividades como a su planificación y construcción. En consecuencia, los programas de la materiaresponderán a una organización propia relacionada con la lógica de la formación docente y no con laorganización de los contenidos curriculares de los diferentes documentos para el Nivel Inicial.

Entonces, corresponde una última reflexión acerca de cómo incluir la problemática de los cono-

13 "El enigma del barrio", en Compartiendo experiencias. Una propuesta de desarrollo curricular, G.C.B.A., Secretaría de Educación,

Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currícula, Buenos Aires, 1998.

cimientos de matemática que los futuros docentes deberán enseñar en las salas de 4 y 5 años. Paraesto, es fundamental recordar algunos problemas que los profesores tal vez encuentren respecto dedichos conocimientos:

a) Los alumnos suelen no reconocer la complejidad de los conocimientos que deberán enseñar y, porconsiguiente, no logran asumir la totalidad de la problemática de la enseñanza. Por ejemplo, en elprimer punto de este documento se mencionó la complejidad de los primeros acercamientos de losniños al conocimiento de las reglas que regulan el sistema de numeración y, a partir de esto, se pro-porcionaron ideas para su tratamiento en el marco de la formación docente. En esta línea de análisis,se podrían incluir a las formas geométricas como otro ejemplo referido a la escasa importancia quese le otorga al tema para su enseñanza y la complejidad que puede tener construir actividades deaprendizaje en el marco de la resolución de problemas.b) Algunos contenidos que los futuros docentes deberán enseñar no corresponden estrictamente alcampo de la matemática, no los han estudiado en la materia como alumnos como sí lo hicieron conlos conocimientos de aritmética o geometría. Por ejemplo, los contenidos sobre Espacio. No obstanteesto, es desde el área de la matemática que se intentará formalizar algunas reflexiones en torno dedichos conocimientos (Broitman, C. 1999).c) También ocurre lo inverso. Los futuros docentes han estudiado en su escolaridad previa conoci-mientos que no podrán enseñar a los niños en toda su complejidad porque exceden sus posibilidadesde comprensión. Por ejemplo, establecer que una cantidad x es la medida de una distancia o el pesode un cuerpo; propiedades geométricas de los cuerpos y figuras; comparaciones entre números; ope-raciones; etc. Sin embargo, de estos conocimientos derivan algunos contenidos para el jardín y, porconsiguiente, los docentes deberán formular propuestas para que los niños se aproximen a esos cono-cimientos a partir de su uso para resolver determinados problemas.

En consecuencia, estas transformaciones de los conocimientos aprendidos en conocimientos aenseñar es uno de los problemas que deberá asumir el profesorado para la formación de los docen-tes. Los conceptos de matemática escindidos de la intencionalidad de enseñanza no permiten inser-tar a los futuros docentes en el contexto escolar dedicado a la educación de niños de 4 y/o 5 años,que requieren de ciertas condiciones de aprendizaje, entre otras cuestiones.

El lugar del análisis conceptual de los contenidos es el del análisis previo al desarrollo de unaactividad y, por lo tanto, podría incluirse en la planificación.

En el caso de la formación de docentes, el análisis de los contenidos se incluirá en el análisis deuna crónica o de una observación o en función de la construcción de propuestas didácticas. Para esto,los futuros docentes deberán tener presente los objetivos que se espera que los niños logren al fina-lizar el Nivel Inicial, de modo tal que puedan imprimirles direccionalidad a las propuestas de ense-ñanza en dos sentidos: por un lado, llevando a los niños a la construcción de significados (aspectoligado al enfoque propuesto), por el otro, para reconocer los alcances o límites que tiene ese particu-lar conocimiento en el Nivel Inicial.


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Objetivos referidos a número y sistema de numeración

■ Número"Los niños están desigualmente expuestos a los saberes tal como circulan en su ambiente cultu-

ral, no sólo por cuestiones relativas a su entorno social, sino también por las diferencias en el interésespontáneo. En consecuencia, los primeros contactos sistemáticos a la matemática escolar serán degran importancia en la historia personal de cada niño y del grupo en su totalidad.

Es responsabilidad del jardín brindar la mayor cantidad de oportunidades posibles para que cadaalumno adquiera conocimientos en un ambiente enriquecedor de las experiencias; igualar las posibili-dades de enfrentarse con esos saberes; generar oportunidades de adquirir, ampliar y poner a prueba losconocimientos, dejando de lado exigencias propias de otros niveles educativos" (Secretaría deEducación, Dirección de Planeamiento, Dirección de Currícula, Diseño para la Educación inicial. Niñosde 4 y 5 años, 2000).

Es importante recordar que se espera que los niños adquieran significados:"Por lo dicho, es necesario que el docente reflexione previamente sobre el uso de los números y las

situaciones que ellos resuelven, para poder plantearles a sus alumnos problemas que involucren esossignificados" (op. cit., 2000).

■ Sistema de numeración"Un sistema de numeración organiza los números que lo componen según reglas o leyes internas

que varían según diferentes culturas. Estas reglas internas constituyen sus propiedades. Nuestro siste-ma de numeración es posicional, es decir, la posición es la que determina el valor de cada cifra y éstase obtiene multiplicando su valor absoluto por una potencia de base, en nuestro caso, una potencia dediez. Un sistema posicional es más económico que un sistema aditivo porque utiliza una cantidad fini-ta de símbolos: cualquier número puede ser escrito con sólo diez símbolos. Los niños comprenderánestas propiedades a lo largo de varios años de escolaridad.

En el jardín los alumnos lograrán aproximarse a algunas de estas características del sistema: queel 9 es mayor que los números anteriores como el 8, 7, etc; que la cantidad de cifras determina si unnúmero es mayor o menor que otro; que si se comparan números de igual cantidad de cifras, es mayorel que comienza con el número mayor, etcétera."

La numeración oral ocupa un rol fundamental en la adquisición de los primeros análisis numé-ricos que hacen los niños. A partir de conocer y utilizar la sucesión oral de números, van descubrien-do esas leyes internas que organizan el sistema (Secretaría de Educación, Dirección de Planeamiento,Dirección de Currícula, Diseño para la Educación inicial. Niños de 4 y 5 años, 2000).

Objetivos referidos a espacio y geometría

"El jardín se comprometerá a enriquecer y ampliar estos aprendizajes proponiendo actividades paraque los alumnos avancen en sus representaciones espaciales en tanto sistemas de referencias personalesque les permite adecuar sus desplazamientos y acciones en general. Se trata de generar situaciones en lascuales los alumnos tengan que organizar dichas acciones con el fin de encontrar soluciones a problemasrelativos a diferentes espacios en los que involucren los conocimientos de los niños a la vez que losdesafíen promoviendo de este modo nuevos aprendizajes..." (Secretaría de Educación, Dirección de Pla-neamiento, Dirección de Currícula, Diseño para la Educación inicial. Niños de 4 y 5 años, 2000).

Se pretende que los alumnos construyan un "lenguaje espacial de las posiciones y los desplaza-


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mientos, que tomen conciencia de los fenómenos vinculados a los cambios de puntos de vista, la ela-boración y utilización de representaciones del espacio-entorno" (Berthelot y Salin, 1995).

■ Geometría"Los niños explorarán formas geométricas en actividades que los inviten a observar con atención

las particularidades de las figuras y los cuerpos, a caracterizarlos, a describirlos. Esta observación ydescripción de las características de las formas geométricas son el eje del trabajo con los contenidos deeste bloque" (Secretaría de Educación, Dirección de Planeamiento, Dirección de Currícula, Diseño parala Educación inicial. Niños de 4 y 5 años, 2000).

Objetivos referidos a medida"El objetivo central de incluir la medida en el jardín se refiere a brindar mayores oportunidades que

otorguen sentido a una práctica. Es decir, se deberá comprender que el alumno aprenderá conocimientossobre la medida ligados a un hacer, a la resolución de problemas en la vida diaria en ocasiones en las quela medida resuelva efectivamente el problema planteado" (Secretaría de Educación, Dirección de Pla-neamiento, Dirección de Currícula, Diseño para la Educación inicial. Niños de 4 y 5 años, 2000).

Una doble reflexión es necesaria para abordar la temática de la medida en la formación. Por unlado, los futuros docentes reflexionarán sobre las situaciones de la vida cotidiana que los adultosresuelven diariamente asumiendo la complejidad de los conocimientos que se utilizan al resolver estetipo de problemas. Por el otro, analizarán experiencias que den cuenta de la problemática referida alaprendizaje de la medida para los niños: aproximaciones espontáneas, construcción psicogenética delas nociones, entre otras posibilidades.

Ejes de contenidos para la organización de la materia

▲ Ubicación de la enseñanza de la matemática en el Nivel Inicial1. Diferentes enfoques para abordar la enseñanza. Contextualización en el Nivel Inicial. Análisis crítico.2. La enseñanza de contenidos de matemática en el nivel desde una perspectiva didáctica. Didácticade la matemática.▲ Modelos didácticos para la enseñanza de la matemática1. La construcción del rol docente desde la perspectiva del modelo aproximativo o apropiativo.2. ¿Cómo aprenden los niños del Nivel Inicial? Concepción de aprendizaje.3. El problema de la selección de actividades para la enseñanza de contenidos de matemática en elNivel Inicial: las condiciones para el trabajo en el área en el contexto real del jardín.4. Las interveciones del docente en un modelo interaccionista.5. El problema de la selección de contenidos y su relación con la selección de actividades.▲ Análisis y construcción de propuestas didácticas1. Las actividades de matemática en el conjunto de las actividades del jardín. Organización de la tarea.Posibles articulaciones con otras áreas.2. Elementos de análisis didáctico para propuestas de enseñanza referidas a número, sistema denumeración, espacio y geometría.3. Elementos de análisis didáctico para el estudio de prácticas efectivas a través de crónicas o frag-mentos de observaciones, registros de actividades observadas o videos. 4. Construcción y análisis de planificaciones.


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APÉNDICE DE ACTIVIDADES

A continuación se presentarán algunas propuestas posibles a modo de ejemplo de estrategias deformación.

Propuesta 1

▲ Análisis de una observación

- Consignas de análisis1. ¿Cuál es la finalidad de esta actividad para los alumnos? ¿Qué conocimientos deben tener los niñospara resolver el juego?2. Partiendo de la base que la actividad elegida es adecuada para esos alumnos, busque referencias enla crónica que confirme o desmienta esa afirmación.3. Intervenciones del docente. Seleccione tres intervenciones e interprételas. Coloque cada una deellas en el siguiente cuadro:

4. Transformen las condiciones de la actividad para modificar los efectos no desados o que ustedhubiera cuestionado.

■ Nombre de la actividad: pesca de peces.

Sala de 4.Cantidad de alumnos: 24.Observó: Adriana CastroHora de inicio de la observación: 14.50Hora de finalización: 15.45

■ Materiales que van a usar durante la actividad:- Aros de plástico. En la actividad serán los botes. - Varillas de madera (cañas de pescar): en uno de los extremos de la vara hay un hilo atado y de élpende un imán.- Peces en cartulina de distintos colores y tamaños. En uno de sus lados hay una barrita de metalpegada con cinta adhesiva.

Cada nene tiene una caja de zapatos vacía y un aro de plástico. Se sientan adentro del "bote" (aro), enla misma sala. La maestra reparte las cañas de pescar.- Muchos chicos: Seño, me das? A mí!! A mí!!...


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DIJO O HIZO INTERPRETACIÓN: LO HIZO O LO DIJO PORQUE...

- Maestra: Sí, a todos les voy a dar... no se lastimen, tengan cuidado.(La maestra termina de repartir las cañas, se queda con un aro en la mano.)- Maestra: (introduciéndose adentro del aro y caminando con él dice...) Me voy a pescar... Vengan con-migo al patio.

Llegan al patio.- Chicos: ¿y los peces?- Maestra: los peces están aquí (muestra una caja).La maestra ayuda a dispersar los botes en la parte del patio que les corresponde, luego saca muchospeces y comienza a tirarlos alrededor de los aros-botes. Les explica cómo se pesca.- Maestra: Traten de no ayudarse con las manos, se pesca así (muestra acercando el imán a los peces).Los nenes empiezan a "pescar".- Malena: ¡Mirá seño, pesqué uno!(Se los ve entusiasmados, se ríen. Veo que les resulta difícil pescar, tienen que hacer movimientos pre-cisos. Empiezan a ayudarse con la otra mano). La actividad de pescar está terminando. Muchos nenes empiezan a ver cuántos peces pescaron.Comparan espontáneamente. Escucho muchas palabras que designan cantidades: "muchos", "Yotengo más que vos", "...pesqué uno solo", etcétera.

- Daniela: Seño, mirá todos los que tengo yo.- Maestra: ¿Cuánto es?- Daniela: 1-2-3-4-5-6-7-8 (conteo ajustado)(Miro a Verónica. Cuenta perfectamente hasta 9 y culmina: "nueve". Luciano cuenta ajustadamente ydice: "tengo 16". Así varios chicos).- Maestra: ¡¡¡Esperen!!! Ahora vamos a contarlos entre todos en la sala. Vamos entrando, cuidado queno se caiga ningún pescadito.

(En la sala, los chicos se ubican enfrentados a un pizarrón, como en un teatro, en diferentes filas).- Maestra: Ahora vamos a ver cuántos peces pescó cada uno. Ponemos los cartoncitos con los nom-bres... (coloca los nombres de todos los chicos en el pizarrón magnético) A ver qué nombre es éste...(saca un cartón y lo muestra).- Chicos: ¡Lautaro!- Maestra: vamos a ver cuántos peces pescó Lautaro. Vení Lautaro. Todos ayudamos a contar.- Lautaro: 1-2-3 (la maestra muestra a todos cada pez que Lautaro saca).[Su conteo se ajusta a los peces que va señalando pero el de los otros chicos no, como era esperable,los nenes cuentan más rápido sin esperar a que Lautaro saque sus peces]. - Maestra: ...lo esperamos a Lautaro que saque los peces.- Lautaro: 3-4-5-6-7...- Maestra: No, esperen... paren, despacito... ocho, nuueeve, dieeez, ... (Continúa hasta el final) 16.Ahora el cartoncito de... Agustina. Le ayudamos entre todos.(Pasa Agustina. Mientras tanto Daniela camina, se mete por debajo de las sillas, ...)- Maestra: Miren acá. Pone 1 y ustedes van por el dos.Coro: Dooos...- Maestra: Quién dijo dos si todavía no puso nada...


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.Cada vez que un nene pasa, la docente intentará que todos cuenten y ella concluirá con el númerofinal. Lo escribirá en el pizarrón al lado del nombre correspondiente.La actividad finaliza cuando todos los chicos pasaron a contar, cuestión que le ha costado sostener almismo docente.

Propuesta 2

▲ Análisis y comparación didáctica de juegosSe elegirán algunos juegos como los siguientes: Globos14 o Cromático, Minigenerala15 –extraí-

do de un artículo leído con anterioridad– y un juego clásico de desplazamiento en pistas.

- Consignas de análisis

Lean con atención los siguientes juegos numéricos y luego respondan:1. Contenidos de cada juego.2. Comparen cada propuesta: qué diferencias observa en cada juego con respecto al contenido quequiere enseñar.3. Anticipen posibles procedimientos de resolución de cada juego.4. Resuman en un cuadro comparativo el resultado de su análisis.

- Propuesta de cuadro comparativo

Los futuros docentes seguirán incorporando juegos en este cuadro comparativo y también,podrán agregar una quinta columna, la de propuestas de complejización. El artículo de Broitman, C.(op. cit.), en el que se encuentra el juego Minigenerala, podría servir de modelo para buscar variablesque complejicen las propuestas.

Propuesta 3

▲ Análisis de un registro de observación y su comparación con el artículo bibliográfico de referencia.

- Consignas de análisis

1. Lean la secuencia didáctica –sólo la secuencia– del artículo "Actividades de exploración con cuer-

NOMBRE DEL JUEGO CONTENIDOS POSIBLES CARACTERÍSTICA

PROCEDIMIENTOS ESPECÍFICA DEL

DE RESOLUCIÓN JUEGO

14 Es un juego de circulación comercial "RUIBAL". 15 En Broitman, C. "Análisis didáctico involucrado en un juego de dados", Revista Educación en los primeros años, Ediciones Novedades

Educativas, año 1 nº 2, Tema: Educación matemática.


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.pos geométricos. Análisis de una propuesta de trabajo para la sala de 5".16

2. Señalen los contenidos de la secuencia con el apoyo de documentos curriculares.3. Anticipen posibles procedimientos de resolución de los niños.4. Lean el registro de observación y comparen su respuesta al punto 3. Realicen comentarios genera-les de la actividad. 5. Analicen semejanzas y diferencias con respecto al artículo.6. Planteen diferentes alternativas para organizar la puesta en común diferente de lo planteado poresta docente. 7. Completen la lectura del artículo citado.

El siguiente fragmento se publica con autorización del docente y de la observadora profesoraFernanda Penas,17 para ser utilizado en clases de formación y capacitación docente.

Sala 5. T.M.Cantidad de alumnos: 24 presentes (de 27).

■ Materiales- 3 almohadillas para sellar por mesa (cada una tiene un color de témpera). - Una hoja con 3 figuras geométricas por niño (sólo el contorno está dibujado).- 5 cajas de cuerpos geométricos de madera, de 15 piezas cada uno. - 3 tarros con témpera rebajada con agua para ir colocando en las almohadillas a medida que estasse van secando.

El grupo está organizado en mesas de 5 y 6 alumnos. En cada mesa hay 15 cuerpos geométri-cos de madera, 3 almohadillas con témpera de diferente color y cada niño tiene una hoja con 3 con-tornos de figuras geométricas, que difieren de las de sus compañeros de mesa.

El docente me explica que realizará la 4° fase de la secuencia didáctica "Exploración de cuerposgeométricos". Me comenta que los niños ya han realizado la fase 1° de sellado libre. La actividad con-siste en presentarles a los niños una hoja con 3 figuras geométricas en una hoja y los niños deberánbuscar el cuerpo que pueda pintarlas totalmente sellando sus caras, es decir, mojando en témpera laparte del cuerpo geométrico que corresponda. Se inicia la actividad.

- Docente: ¿Qué tienen en sus mesas? - Laura: Figuras geométricas…- Docente: ¿Son figuras? - Lorena: No, son cuerpos geométricos. - Docente: ¿Y dónde están las figuras? - Lorena: En la hoja…- Docente: Bien, vamos a pensar con qué cuerpos van a sellar para que queden las figuras bien pin-tadas. - Matías: A medir si son iguales.

16 De Castro, A. en Malajovich, A. (comp.) Recorridos didácticos en la educación inicial, Buenos Aires, Paidós, 2000.17 Fernanda Penas se desempeña como capacitadora en la Escuela de Capacitación –Cepa– de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.

La siguiente crónica pertenece a uno de los trabajos de campo en el marco de la capacitación que realiza la docente.

- Docente: Sí, primero vamos a mirar bien y si mi compañero tiene el cuerpo que necesito, espero quetermine de usarlo… ¿Entendieron todos? (Como algunos chicos no comprendieron, el docente da la consigna nuevamente y los chicos comien-zan a trabajar.)

● En una mesa…Los chicos inician el trabajo, van tomando los cuerpos y prueban primero antes de mojarlos en

témpera para ver si es el adecuado. - Julia: No, no es, deja un prisma triangular que lo ha superpuesto en una cara de un prisma penta-gonal. - María: 1, 2, 3, 4, 5 –dice tocando las caras de un prisma pentagonal–. - Laura: 1, 2, 3, 4, 5, 6 –dice tocando los lados de una de las figuras– no, no es.

● Otra mesa…Algunos chicos comienzan levantando los cuerpos para ver las caras y prueban antes de sellar

una y otra vez; otros en cambio, anticipan cuáles de los cuerpos podrían ser usados para el sellado.Juan toma todos los cuerpos indiscriminadamente y va probando uno por uno...

- Juan: ¿Es este? –le pregunta a los pares de la mesa–.- Aldo: Sí...- Martín: No, ese no sirve, es el que tiene forma de cucurucho, mirá... (refiriéndose al cono) y se lo daJuan, sigue dudando, y le pregunta al docente.- Docente: ¿Pinta toda la figura? ¿Por qué no probás?

A Leo le falta cubrir la figura de un círculo y tiene dos cuerpos frente a la hoja (ovoide y esfera),prueba apoyando sobre la hoja uno y otro alternadamente dudando con cuál de ellos sellar, en esopasan dos chicos que terminaron el trabajo, se acercan y le dicen: - Kevin: Ese y ese no te va a salir porque dibuja puntitos... tenés que agarrar este (tomando el cilindroy dándoselo). Leo prueba, aún dudando, y sella.

El docente va pegando los trabajos con imanes a un pizarrón que ha preparado. Los chicos vanterminando y todos los trabajos quedan en el pizarrón expuestos. Algunos chicos se van a lavar lasmanos. El docente solicita que los chicos que ya se lavaron las manos recojan el material de las mesas.

En una mesa, que ya ha terminado, se quedan 2 chicos jugando con los cuerpos y prueban conla esfera, cono, cilindro y otros, si giran o ruedan mientras comentan: gira (cilindro), rueda (esfera).

El docente que observaba esta situación aclara: - Docente: No, ese rueda (señalando el cilindro) y el otro gira (refiriéndose al cono)... - Alumno: ...este no hace nada (refiriéndose al paralelepípedo).- Docente: Otros cuerpos no giran ni ruedan.

Aparentemente el docente va a organizar una puesta en común de lo realizado. Organiza a losniños de modo que todos vean todos los trabajos: algunos, sentados en las sillas; otros, en las mesas.- Docente: ¿Qué tenían que hacer? - Alumno: Rellenar o pintar.- Docente: ¿Cómo?- Alumno: Buscando la figura...


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- Docente: ¿Dónde?- Alumno: En los cuerpos geométricos.- Docente: Tenían que buscar las formas, miraban y después agarraban el cuerpo. ¿Después que ha-cían? - Alumno: Sellábamos.- Docente: ¿Todos los trabajos que ustedes ven están pintados? - Alumno: Maso, maso…- Docente: A ver ¿por qué?- Alumno: No hay mucho color.- Alumno: Pero en este hay mucho color (mostrando uno de los trabajos realizados donde se habíasobrepasado el contorno al sellar). - Docente: ¿Qué te pasó a vos –a Luz–? La nena se para, toma un cuerpo de la caja que el docentetiene consigo en la puesta en común, elige el cuerpo con el que sello y dice: - Alumno: Se me resbaló. - Docente: Entendieron lo que le pasó a Luz. La figura que eligió es la correcta pero no quedó bienporque se le resbaló…- Docente: Había un nene que contaba ¿por qué?- Alumno: Sí, porque era casi igualito. - Observadora: ¿Qué contabas?- Alumno: Las puntitas.- Docente: A ver... tomaba el cuerpo tocaba y contaba cada vértice, que son estas puntitas, y luegocontaba los lados de la figura que tenía en la hoja… ¿Sirve contar?- Alumno: No, sí, no...- Alumno: Sí, le sirve porque uno tiene 5 y el otro 6 (refiriéndose al prisma pentagonal y hexagonal)...- Docente: ...Una nena probó con un cono para hacer este triángulo (cara del prisma cuadrangular)¿Por qué no te sirvió?- Alumno: No va porque acá –señala la base de un prisma cuadrangular– es cuadrada (por recta). - Docente: (mostrando las líneas de la base de ambos cuerpos) Este tiene una línea recta (prisma cua-drangular) y esta es curva (cono). Otra cosa que vi fue que Leo tenía un círculo en la hoja y probabacon la esfera y el ovoide para pintarlo hasta que se acercó Kevin. (A Kevin): contales a los chicos quele dijiste.- Kevin: La pelota y el huevo no servían porque dejan puntitos.- Docente: Bien, ahora les pregunto, ¿todos los triángulos y círculos tenían el mismo tamaño? (Serefiere a las figuras de la hoja).- Alumno: No, había más chicos y más grandes.- Docente: Sí, hay muchas figuras que tienen la misma forma pero el tamaño es diferente... Bueno tra-bajaron muy bien.


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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

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Aprendizajes y Didácticas: ¿Qué hay de Nuevo?, Buenos Aires, Edicial, 1997."La apropiación del concepto de número: un proceso de larga duración" en Novedades educati-

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APÉNDICE BIBLIOGRÁFICO

Puntos: “Planteo del problema” y “Devolver la enseñanza al contexto social de la educación”

a) Bibliografía para el profesor

BAQUERO, R. y F. TERIGI. "La búsqueda de una unidad de análisis del aprendizaje escolar", en Dossier"Apuntes pedagógicos" de la revista Apuntes, Buenos Aires, UTE / CTERA, 1996.

En la actualidad también han surgido reflexiones en torno de los análisis críticos del "apli-cacionismo" (aquellos que cuestionaban la utilización "curricular" de conceptos de la psicología,tanto genética como de la teoría socio-histórica). Estas posturas señalan que en realidad se haproducido un deslizamiento desde una perspectiva "explicativa" hacia una "prescriptiva". Losautores seleccionados señalan que el producto de este deslizamiento es observable no sólo alnivel de los conocimientos y los métodos sino también en formas más sutiles de la vida de lasinstituciones.

BRISSIAUD, R. "El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y la Teoría de Conjuntos", Aprendizaje Visor,1989.

Vuelve sobre el aprendizaje operatorio de las nociones, plantea los límites de la reforma dela Matemática moderna y avanza sobre la importancia de la resolución de problemas de conteo.Los primeros capítulos se ocupan de analizar esta problemática y los últimos avanzan sobre elanálisis de procedimientos de cálculo.

BRUN, J. "Pedagogía de las matemáticas y psicología: análisis de algunas relaciones", en Infancia yAprendizaje, nº 9, 1980.

Cuestiona la transferencia de conceptos y métodos provenientes de la psicología genéticaal ámbito de la educación. El autor recontextualiza la enseñanza de la matemática dentro de unproyecto social y político y advierte sobre el vacío producido por la sustitución de los conteni-dos de matemática por las nociones del desarrollo operatorio.

M.C.B.A. Secretaría de Educación, Dirección de Planeamiento, Dirección de Currículum, Anexo delDiseño Curricular para la Educación Inicial, 1995.

En este documento curricular se da fundamento a los docentes acerca de la necesidad deun cambio de enfoque. Es interesante que el profesor también conozca el Diseño Curricular de1989 para que comprenda a qué responde dicha fundamentación en esa jurisdicción.


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b) Bibliografía para el alumno

M.C.B.A. Secretaría de Educación, Dirección de Planeamiento, Dirección de Currículum, Anexo delDiseño Curricular para la Educación Inicial, 1995.

En este documento curricular se da fundamento a los docentes acerca de la necesidad deun cambio de enfoque. Se cuestiona el enfoque anterior en el que se proponían como conteni-dos, la clasificación, seriación y correspondencia.

QUARANTA, M. "¿Qué entendemos por hacer matemática en el Nivel Inicial?”, en Educación en los pri-meros años, Ediciones Novedades Educativas, año 1, nº 2. Tema: Educación matemática, 1998.

Retoma el análisis de las principales confusiones generadas a partir de las posiciones apli-cacionistas de la psicología genética a la educación formal y lo extiende hacia la enseñanza delas nociones espaciales y de las primeras aproximaciones a la medida.

Puntos: “La didáctica de la matemática”, “Una breve presentación”, “Enseñar matemática:enfoque didáctico” y “¿Qué puede aportar la didáctica de la matemática al Nivel Inicial? ¿Quépuede aportarle a los futuros docentes del Nivel?


ARTIGUE, M. "Epistemologie et didactique" en Recherches en Didactique des Mathématique, París, 1990.Traducción en "Selección bibliográfica sobre Enseñanza de la Matemática" para el Programa deTransformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, 1993.

La autora hace un análisis epistemológico de la didáctica de la matemática (particular-mente de la Teoría de Situaciones) y fundamenta la necesidad de este tipo de análisis en la fun-ción de vigilancia. Le interesará al profesor conocer el origen de ciertos conceptos fundantes dela didáctica de la matemática y una explicación de su origen.

En el análisis, particularmente se detiene en dos conceptos: la noción de obstáculo episte-mológico y la noción de concepción; inicialmente desarrolla cómo aparece definido el conceptode obstáculo en diferentes trabajos didácticos y epistemológicos, estableciendo vínculos y rela-ciones. Luego se detiene en las características propias que asume en la didáctica de la matemá-tica asociando el concepto de obstáculo necesariamente a la noción de error en tanto respues-ta falsa.

Con respecto a la noción de concepción, intenta, en principio, diferenciarla del concepto deobstáculo para luego precisar una definición ligada a la pluralidad de puntos de vista sobre unobjeto matemático y a la necesidad de contraponer al empirismo, un modelo que dé cuenta dela diferenciación entre enseñanza y aprendizaje.


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BROUSSEAU, G. “¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de lasMatemáticas? " Parte I y II en Enseñanza de las Ciencias, vol. 8, nº 3, Noviembre 1990.

Brousseau plantea cuestiones que completan el análisis de la relación entre la didáctica dela matemática en tanto disciplina científica y el sistema escolar. Estos textos fueron desarrolla-dos en el documento, punto “Devolver la enseñanza al contexto social de la educación”.

"Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática". Traducción de D. Fregona y F.Ortega en Serie de trabajos de Matemática, nº 19, Facultad de Matemática, Astronomía y Física,Universidad Nacional de Córdoba, 1993.

Este trabajo resume los principales conceptos de la Teoría de las Situaciones.

CHEVALLARD, Y. La transposición didáctica. Del Saber sabio al saber enseñado, Buenos Aires, Aique,1991.

¿Por qué es la transposición didáctica?Este es otro texto que plantea un análisis epistemológico de la didáctica de la matemática,

pero desde otra perspectiva diferente de la de Artigue. Permitirá al profesor precisar el campode utilización de los términos "Transposición Didáctica" evitando adaptaciones inadecuadashacia otros ámbitos.

Así también, en el texto se desarrolla la utilidad y pertinencia del concepto en cuestión paralos diferentes integrantes del sistema educativo. Fundamenta la existencia de este concepto enel funcionamiento didáctico del saber y para esta explicación recurre al análisis de las relacionesentre los diferentes integrantes del sistema de enseñanza.

Capítulo1: ¿Qué es la trasposición didáctica? Precisa y define lo explicitado anteriormente.

PARRA, C. e I. SÁIZ. (comps.) Didáctica de la matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.

Capítulo 2: Gálvez, G: "Didáctica de la Matemática". En este capítulo la autora describe losprincipios de esta nueva disciplina científica y define el estudio de las situaciones didácticas comosu objeto de estudio. Se describe el análisis de las situaciones didácticas a partir de los conceptosde contrato didáctico, de análisis a priori y finalmente clasifica las situaciones didácticas.


MINISTERIO DE CULTURA Y EDUCACIÓN, Dirección Nacional de Gestión de Programas y Proyectos, Programade Transformación de la Formación Docente (P.T.F.D), Documento curricular: Número, espacio y medi-da, Buenos Aires, 1994.

QUARANTA, M. “¿Qué entendemos por hacer matemática en el Nivel Inicial? en Educación en los prime-ros años, Ediciones Novedades Educativas, año 1, nº 2. Tema: Educación matemática, 1998.


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Puntos: “Modelos didácticos” y “Sobre la concepción de aprendizaje”


CHARNAY, R. "Del análisis de los errores en matemática a los dispositivos de remediación: algunas pis-tas", ERMEL, INRP en Grand N, nº 48. Francia. Traducción en Ministerio de Cultura y Educación,Dirección Nacional de Gestión de Programas y Proyectos. Programa de Transformación de laFormación Docente (P.T.F.D). "Selección bibliográfica para Enseñanza de la Matemática nº IV", BuenosAires, 1994.

Si bien es un artículo destinado a los docentes de E.G.B., el profesor podrá considerar aque-llos aspectos relacionados con "los errores" en matemática en general. Este es un aspecto en quelos alumnos han sido formados a partir de su biografía escolar, traen ideas formadas al respec-to y sería interesante reformularlas en función de la concepción de aprendizaje, de enseñanza yde la construcción de un modelo didáctico.

I. N. R. P. ERMEL "Conocer los números" en Aprendizajes numéricos y resolución de problemas. Cursopreparatorio, París, Hatier, Marzo 1991, en Selecciones bibliográficas sobre "Número y Sistema de Nu-meración" del Programa de Transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura yEducación, 1994.

Este trabajo explica, desde una perspectiva histórica, la manera en que los hombres hanconstruido un sistema de representación de cantidades a partir de la resolución de problemasprácticos, sistema que luego analizaron y conceptualizaron como matemáticos.

Es interesante para la formación de los docentes porque permite reflexionar sobre elSistema de Numeración en tanto construcción cultural. El profesor podrá establecer las relacio-nes entre el esfuerzo de la humanidad para desarrollar este producto a lo largo de tantos añosy el que les demanda a los niños pequeños apropiarse de él.

PARRA, C. e I. SÁIZ. (comps.) Didáctica de la matemática, Buenos Aires, Paidós, 1994.

Capítulo 3: Charnay, R. "Aprender (por medio de) la resolución de problemas". El autor des-cribe tres modelos de aprendizaje que servirán para analizar las relaciones entre los alumnos, elconocimiento y los docentes. Analiza el rol asignado a la resolución de problemas en cada mode-lo y asume una posición a favor de una elección. Otorga herramientas para el análisis de situa-ciones de clase.

TERIGI, F. "En torno a la psicogénesis del sistema de numeración: estado de la cuestión. Perspectivas yproblemas" en Revista Argentina de Educación, año X, nº17, Asociación de graduados en Ciencias dela Educación, 1992.

Este artículo hace un aporte más a la problemática del aprendizaje del sistema de nume-


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ración a favor de la "desnaturalización" de este proceso (en efecto, hay cierta tendencia a creerque el sistema de numeración es un producto cultural cuyo aprendizaje se genera en forma"natural"). La autora analiza al sistema de numeración en tanto objeto de conocimiento –muyimportante para la formación inicial– para luego abordar el análisis de algunas investigacionesreferidas a la construcción infantil de las leyes que rigen al sistema.

VERGNAUD, G. "La apropiación del concepto de número: un proceso de larga duración", en Novedadeseducativas, nº 77, págs. 64 y 65.

En este artículo (apropiado también para lectura complementaria de los alumnos) el autordescribe su concepción acerca de los procesos de larga duración para la apropiación y cons-trucción de conocimientos. Es interesante el desarrollo –breve pero riguroso– que realiza sobrelas primeras adquisiciones numéricas, vinculándolas con la resolución de los problemas de com-paración, combinación y transformación de las cantidades en colecciones discretas. Concluye:"El concepto de número no es separable de los lazos que guarda con las situaciones a tratar, nicon las operaciones y relaciones que autoriza".


ALVARADO, M. y E. FERREIRO. “El análisis de nombres de números de dos dígitos en niños de 4 y 5 años”.Avance que fue publicado en Revista Lectura y vida, nº1, Marzo de 2000.

Estas investigadoras analizan las "escrituras desviantes" o no convencionales de los niñoscomo reveladoras de los procesos cognitivos a la vez que muestran cómo los niños se inician enla construcción de estos conocimientos mucho antes de su presentación formal en contextosescolares, lo que vuelve sobre la construcción a largo plazo.

En este artículo se describen algunos recursos que los niños producen cuando se enfren-tan a la necesidad de escribir números que no conocen, dictados por el entrevistador (entrevis-ta clínica).

BAROODY, A. El pensamiento matemático de los niños, Madrid, Visor, 1988.

En este trabajo se analizan los primeros conocimientos de los niños con relación a las acti-vidades aritmética que llama "conocimientos informales". Inicialmente indaga estos conoci-mientos "intuitivos" de los niños para luego analizar cómo juegan estas ideas en los aprendiza-jes escolares o formalizados.

LERNER, D. y P. SADOVSKY. "El Sistema de numeración: Un problema didáctico" artículo compilado enDidáctica de la Matemática por I. Sáiz y C. Parra, Buenos Aires, Paidós, 1994.

A partir de estas investigaciones, los futuros docentes observarán el proceso de aproxima-


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ción de los niños a la escritura de números construyendo algunos de los aspectos clave para lacomprensión de nuestro sistema de numeración y las reglas que lo rigen. Se espera que losalumnos comprendan las producciones de los niños para que puedan otorgar significaciónpedagógica a sus errores y reconozcan el esfuerzo asignado a esta construcción.

M.C.B.A, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Currículum "Losniños, los maestros y los números", en Documento de desarrollo curricular, 1990.

En este trabajo se puede encontrar el análisis de la secuencia "Dados de colores" en el quese pueden observar las aproximaciones que realizan niños de primer año referidas a la cons-trucción de un registro para llevar el recuento de puntos. Este trabajo ha sido factible de llevaradelante con niños de 5 años, y se obtuvieron resultados similares.

SINCLAIR, A. y H. SINCLAIR. "Las interpretaciones de los niños preescolares sobre números escritos" enHuman Learning, vol. 3, págs. 173-84. Universidad de Ginebra. Traducción en Ministerio de Cultura yEducación, Dirección Nacional de Gestión de Programas y Proyectos. Programa de Transformación dela Formación Docente (P.T.F.D). "Selección bibliográfica para Sistema de Numeración", Buenos Aires,1994.

Estas autoras estudian las formas en que los niños entre 3, 4 y 5 años (llamados por ellas"preescolares") interpretan las escrituras numéricas provenientes del ambiente social. Observanque los niños adjudican diferentes funciones a los números según el contexto en el que se pre-senten, a la vez que construyen las reglas que rigen el sistema de numeración.

Puntos: “Sobre la selección de actividades apropiadas. Criterios” y “Sobre la selección de con-tenidos. Criterios”


KAMII, C. y R. DE VRIES. Juegos colectivos en la primera enseñanza, Madrid, Visor, 1988.

Es interesante el análisis de los juegos –de diversa índole– y la relevancia que las autorasles otorgan a la actividad grupal, a las interacciones entre pares para la construcción de cono-cimientos y al desarrollo de la autonomía.

MALAJOVICH, A. "El juego en el Nivel Inicial" en Recorridos didácticos para el Nivel Inicial, Buenos Aires,Paidós, 2000.

Luego de describir brevemente la inclusión del juego en el Nivel Inicial desde una perspec-tiva histórica, la autora describe las características que asume el juego en el contexto actual deljardín.


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BROITMAN, C. "Análisis didáctico involucrado en un juego de dados" en Revista Educación en los pri-meros años, Ediciones Novedades Educativas, año 1, nº 2. Tema: Educación matemática, 1998.

En este artículo la autora realiza un análisis exhaustivo de todas las posibilidades de trans-formación didáctica de un juego en función de la complejización de una propuesta básica. En elanálisis se muestra la importancia de la utilización de variables didácticas como recurso de inter-vención pedagógica para el logro de la evolución de los conocimientos infantiles.

CASTRO, A. "La organización de las actividades en las salas. Dificultades y posibilidades" en RevistaEducación en los primeros años, Ediciones Novedades Educativas, año 1, nº 2, Tema: Educación mate-mática, 1998.

La autora analiza una serie de actividades ya clásicas en el jardín y cuestiona su valor edu-cativo en ese contexto. Las variables de análisis están ligadas a la participación de los alumnosen su aprendizaje, las posibilidades de interacción entre pares y con el objeto de conocimiento yla participación del docente.

GONZÁLEZ, A. y E. WEINSTEIN. ¿Cómo enseñar matemática en el jardín? Buenos Aires, Colihue, 1998.

Cap.1: en un lenguaje accesible, las autoras describen el lugar de los problemas en las acti-vidades del jardín. Es interesante la contextualización que realizan de las actividades de mate-mática en el marco escolar del jardín.

VIOLANTE, R. "Los juegos grupales en el Nivel Inicial: una oportunidad para enseñar matemática", enRevista Profesional docente: caminos de Ida y Vuelta, año 2, nº 11, noviembre 1997.

En este artículo la autora enfatiza las propiedades de los juegos grupales para la adquisi-ción de conocimientos de matemática. Ofrece una amplia argumentación en defensa de su posi-ción acerca de la utilización de juegos grupales como recursos de enseñanza y, finalmente, haydos propuestas de juegos numéricos analizadas.

Puntos: “Análisis didáctico de situaciones de enseñanza” y “El lugar de los contenidos de ense-ñanza en la formación docente”


BERTHELOT, R. y M. H. SALIN. "La enseñanza de la geometría en la escuela primaria". Laboratorio de laenseñanza de las Ciencias y Técnicas. Universidad de Bodeaux I-IUFM de Aquitania. Francia.Traducción en SADOVSKY, P. Y OTRAS Selección bibliográfica III Tema: Geometría para el Programa de la


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Transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, 1995.

Los autores intentan clarificar las relaciones entre la geometría y el campo del conoci-miento espacial. Este trabajo es de gran valor para la formación docente ya que es común queen el jardín se confundan los contenidos de ambos campos o bien se condicionen las activida-des de geometría al desarrollo de propuestas de espacio, tomando a estas últimas como prerre-quisito de las primeras.

GÁLVEZ, G. "La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometríaen la escuela elemental", en C. PARRA e I. SÁIZ. (comps.) Didáctica de la matemática, Buenos Aires,Paidós, 1994.

El desarrollo de mayor relevancia para la formación de docentes se encuentra en la prime-ra parte en la que la autora presenta a la geometría como rama de la matemática, y a la psico-génesis de las nociones espaciales, basándose en los trabajos de Piaget.

KAMII, C. El niño reinventa la aritmética I, Madrid, Visor, 1986.

Este libro presenta una variedad de juegos numéricos y su respectivo análisis. Son particu-larmente interesantes aquellos juegos que introducen a los problemas de transformaciones decantidades que brindan la posibilidad de aproximar a los futuros docentes a situaciones intro-ductorias al cálculo.


BROITMAN, C. "Reflexiones en torno a la enseñanza del espacio" en Revista Educación en los primerosaños, Ediciones Novedades Educativas, año 3, nº 22, Tema: Educación matemática, 2000.

En el artículo se señalan algunas dificultades que se observan en las salas, al trabajar conte-nidos de espacio; la autora hace un análisis de las principales confusiones, diferenciando los ámbi-tos que más influyeron para la enseñanza de estos contenidos en el Nivel Inicial: la psicogénesisde las nociones espaciales, ciertas ideas rectoras del tipo de actividades, la psicomotricidad y lageometría. Intentará fundamentar el interés de la enseñanza de la matemática en la construcciónde conocimientos espaciales y planteará una experiencia didáctica a modo de ejemplo.

CASTRO, A. "Actividades de exploración con cuerpos geométricos. Análisis de una propuesta de trabajopara la sala de 5" en MALAJOVICH, A. (comp.) Recorridos didácticos en la educación inicial, Buenos Aires,Paidós, 2000.

En este artículo se analiza una secuencia didáctica para el aprendizaje inicial de las carac-terísticas de las formas geométricas. Este trabajo consta de tres partes: la presentación de la pro-


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puesta, la secuencia puesta en marcha, analizando procedimientos infantiles de resolución y porúltimo una fundamentación didáctica de las decisiones tomadas.

GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES, Secretaría de Educación, Dirección de Planeamiento, Direcciónde Currícula, Educación Inicial. Compartiendo experiencias. Una propuesta de desarrollo curricular,1998.

Este trabajo muestra el proceso de confección de una secuencia didáctica referida a laenseñanza de contenidos de espacio. Los futuros docentes podrán apreciar el análisis de la pues-ta en marcha de una propuesta de trabajo y el análisis de los problemas ligados a algunas deci-siones didácticas.

GONZÁLEZ, A. y E. WEINSTEIN. ¿Cómo enseñar matemática en el jardín? Buenos Aires, Colihue, 1998.

En esta publicación, los profesores también podrán encontrar propuestas para llevar ade-lante previa planificación y análisis de las mismas.

WOLMAN, S. "Números escritos en el Nivel Inicial" en Revista Educación en los primeros años, EdicionesNovedades Educativas, año 3, nº 22. Tema: Educación matemática, 2000.

La autora analiza una propuesta de trabajo ligada a la necesidad de escribir números paraguardar memoria de cantidad. Dicha propuesta será analizada desde la perspectiva de los alum-nos que están comprendiendo el significado de los números, del objeto de conocimiento y desdela actuación del docente.

ZORZOLI, G. “Actividades de matemática para el Nivel Inicial”, en Revista Lápiz y Papel, Buenos Aires,Tiempos editoriales, 1996/1998.

En estas revistas –como en otras varias publicaciones– se pueden encontrar muy buenaspropuestas didácticas para que los alumnos puedan someter a análisis o llevar a la práctica.


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ISBN

987

-549

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