TRABAJO COLABORATIVO 1CALCULO DIFERENCIAL

LINDSAY BARRIOS CARDOZOCOD:

AMANDA MEJÍA VARGAS COD: 24718997

GABRIEL FERNANDO GUZMÁN RODRÍGUEZ COD: 14325174

YOLIMA PEREZCOD: 26.512.099

FRANCY MILENA CASTAÑEDA CRUZCOD: 36303056

CURSO: 100410_229

TUTORCESAR AUGUSTO BAUTISTA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)CEAD: NEIVA-HUILA

MARZO DE 2015

INTRODUCCIÓN

La realización de este trabajo permitirá reforzar los conocimientos adquiridos en la unidad uno del módulo, reforzando los temas de sucesiones y progresiones así también como entender los conceptos claros de las diferentes sucesiones (sucesión acotada, convergencia y divergencia de sucesiones, etc.) y adquirir los fundamentos para abordar los temas de límites de una sucesión.

1. Hallar, paso a paso, los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

A. U n=(n−1 )n≥ 3n−1

U 3= (3−1 )3−1=22=4

U 4=(4−1 )4−1=33=27

U 5= (5−1 )5−1=44=256

U 6=(6−1 )6−1=55=3.125

U 7=(7−1 )7−1=66=46656

U 8=(8−1 )8−1=77=823.543

B. V n=( 3nn+1 )n≥ 1V 1=( 3∗11+1 )=32V 2=( 3∗22+1 )=2

V 3=( 3∗33+1 )= 94

V 4=( 3∗44+1 )=125V 5=( 3∗55+1 )=156V 6=( 3∗66+1 )=187

C. U n=(n−1 )n−2n≥1

U 1= (1−1 )1−2=0−1=10=Noexiste

U 2= (2−1 )2−2=(1 )0=1

U 3= (3−1 )3−2=21=2

U 4=(4−1 )4−2=32=9

U 5= (5−1 )5−2=43=64

U 6=(6−1 )6−2=54=625

2. Determine si la sucesión W n={ n2n+1 } es convergente o

divergente. Demuéstrelo paso a paso.

limn→∞

n2n+1

=limn→∞

nn

(2n+1)n

=¿limn→∞

1

2nn

+1n

=limn→∞

1

2+1n

=12+0

=12

¿

La sucesión W n={ n2n+1 } es convergente a

12.

3. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar, con ellas, si son o no crecientes.

a .Oc=3n2+1

6n2+2n+1

Calculamos los primeros términos de la sucesión:

O1=3¿(1)2+1

6¿(1)2+2∗(1)+1= 3∗1+16∗1+2+1

= 3+16+2+1

=49

O2=3∗(2)2+1

6¿(2)2+2∗(2)+1= 3∗4+16∗4+4+1

= 12+124+4+1

=1329

O3=3∗(3 )2+1

6¿ (3 )2+2∗(3 )+1= 3∗9+16∗9+6+1

= 27+154+6+1

=2861

O4=3∗(4 )2+1

6 ¿ (4 )2+2∗(4 )+1= 3∗16+16∗16+8+1

= 48+196+8+1

= 49105

Ahora encontremos el límite de la sucesión:

limn→∞

3n2+16n2+2n+1

=limn→∞

3n2

n2+ 1n2

6n2

n2+ 2nn2

+ 1n2

=limn→∞

3+ 1n2

6+ 2n+ 1n2

= 3+06+0+0

=36=12

Cota inferior=49y Cotasuperior=1/2

Como 49< 1329

<2861

< 49105

<…, por lo tanto la sucesión es estrictamente

creciente

b .Oc=5n+1n2

o1=5∗(1 )+112

=5+11

=61=6

o2=5∗(2 )+122

=10+14

=114

o3=5∗(3 )+132

=15+19

=169

o4=5∗(4 )+142

=20+116

=2116

limn→∞

5n+1n2

=limn→∞

5n

n2+ 1n2

n2

n2

=limn→∞

5n+ 1n2

1=0+01

=01=0

Cota inferior=0 y Cotasuperior=6

Como 6>114

> 169

> 2116

>…, por lo tanto la sucesión es estrictamente

decreciente.

c .Y n=( 1n )n≥1

Y 1=11=1

Y 2=12

Y 3=13

Y 4=14

Y 5=15

Y 6=16

limn→∞

1n=limn→∞

1n

nn

=limn→∞

1n

1=01=0

Cota inferior=0 y Cotasuperior=1

Como 1>12> 13> 14> 15> 16>…, por lo tanto la sucesión es estrictamente

decreciente.

4. Halle la suma de los números múltiplos de 6 menores o iguales a 9126. Y diga ¿Cuántos términos hay?

Ultimo termino:9.126

9.126÷6=1.521

Luego desde el 6 hasta el 9.126 hay 1.521 términos.

Sn=(a1+an )∗n

2a1=6 ;an=9.126 ;n=1.521

S9.126=(6+9.126 )∗1.521

2=9.132∗1.521

2=4.566∗1.521=6.944 .886

5. Halle la suma de los números pares de tres cifras. Y diga ¿Cuántos términos hay?

Los números serán:100,102,104,106 ,…,998

Así que, la suma de éstos será:

S=100+102+104+106+ ....+998S=(100+100+2+100+4+100+6+.....+100+898)De acá también se deduce que hay

8982

+1=450

Números (Continuamos)

S=100(450)+(2+4+6+....+898) S=100(450)+2(1+2+3+4+ ..... 449)

Sabemos que el primero número de tres cifras será 100 y el último 998

d=2;u=998 ;a=100

Utilizamos la fórmula para hallar números de términos:

n=u−a+dd

=998−100+22

=9002

=450

Sn=(u+a )∗n2

=(998+100 )∗450

2=

(1098 )∗4502

=494.1002

=247.050

6. En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

Sabemos que a3=24a10=66a1=?d=?

De la fórmula: an=a1+(n−1)d, tenemos que:

a3=a1+(3−1 )d, donde a3=24, por lo tanto tenemos que:

24=a1+2d (Ecu .1)

Y,a10=a1+(10−1 )d donde a10=66, por lo tanto tenemos que:

66=a1+9d (Ecu .2)

Aquí aplicaremos el método de reducción y despajamos la incógnita en las dos ecuaciones:

a1+2d=24 ;multiplicamos por (−1 ) todala ecuación→−a1−2d=−24

Sumamos término a término ambas ecuaciones:

−a1−2d=−24a1+9d=66

_________________________7d=42

d= 427

d=6

Luego, reemplazamos d=6 en la ecuación 24=a1+2d, de donde se tiene que:

24=a1+2∗(6)24=a1+12a1=24−12a1=12

Por lo tanto el término a1=12 y la diferencia entre términos es d=6.

CONCLUSIÓN

La realización de este trabajo nos permitió dar recorrido por la unidad uno y reforzar los conocimientos adquiridos en el desarrollo de esta unidad, adquirir habilidades que nos permiten mayores destrezas objetivas en la temática de la unidad, como son conceptos básicos de los diferentes tipos de sucesiones y progresiones, adquirir nuevas habilidades que nos permitan desarrollar nuevos conceptos matemáticos y aplicarlos a los diferentes tipos de aplicaciones comunes de la vida diaria.