apontamentos de mat financeira - 2016.pdf

8/18/2019 Apontamentos de mat financeira - 2016.pdf

1/72

UUEEMM –– FFAACCUULLDDAADDEE DDEE EECCOONNOOMMIIAA

Matemática FinanceiraAno Lectivo: 2016

_____________________________________________________________________Página 1 de 72

Compilado por: Sorte Eduardo A. Sapulia

A NECESSIDADE DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

Todos os dias nos deparamos com as seguintes palavras: taxa de juros, capital, desconto,

etc. Estes conceitos surgiram quando o Homem percebeu a existência de uma estreita

relação entre o dinheiro e o tempo.

Nos antigos costumes, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras

conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos

costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. O

primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocavam

directamente mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objectos de grandenecessidade. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia foi o boi. Em outros

lugares era usado colares de pérolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por

trocar faixas de tecido por animais ou objectos. O tecido era a moeda. No Egipto, a

moeda era o metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata). Desse modo, as

mercadorias passaram a ser trocadas em função de seu "justo preço".

Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras, as moedas dos

diferentes países eram trocadas. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram

conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes

quantidades. Tem início a actividade de guardar e emprestar dinheiro. Com isto, os

bancos são criados. O primeiro banco privado foi fundado pelo Duque Vitali em 1157,

em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada.

Com a criação dos bancos a Matemática Financeira evoluiu e passou a estar mais

presente na vida das pessoas.

Hoje ela além de fazer parte de nosso quotidiano, tornou-se uma importante ferramenta

para todos, já que auxilia na resolução de problemas que envolvem o cálculo do valor de


2/72



_____________________________________________________________________Página 2 de 72


prestações, no pagamento de impostos, rendimento de poupanças e outros. Para tanto, é

de fundamental importância o entendimento de alguns termos e conceitos.

Formas de Aplicação ou Destino dos Rendimentos

O rendimento que as pessoas dispõem pode ser destinado para o consumo ou aforro

(poupança).

O consumo consiste na compra de bens para o consumo final.

O aforro consiste em manter na sua forma líquida ou colocar a render juros. A parte derendimento que é mantida na sua forma líquida é designada por capital monetário e o

processo de manter o capital a render juros é designada por investimento financeiro e o

rendimento colocado a render juros por capital financeiro.

O capital monetário ou rendimento mantido na sua forma líquida torna-se improdutivo,

isto é, não produz rendimento adicional e o objectivo principal deste é suportar as

despesas correntes. Esse processo de manter o rendimento improdutivo é designado por

entesouramento.

Objecto de Estudo

O objecto de estudo da Matemática Financeira é o tratamento matemático do juro, as suas

várias aplicações.

O juro é o preço do capital financeiro, ou seja, é o custo pela utilização de recursos

alheios.


3/72



_____________________________________________________________________Página 3 de 72


Processo de Capitalização

Consiste em fazer render um determinado capital ao fim de um determinado período. Um

processo de capitalização é composto por vários sub-processos de capitalização também

designados por períodos de capitalização (ou períodos de formação de juro).

Em cada sub-processo de capitalização (período de capitalização), encontramos o capital

inicial periódico, juro periódico e o capital final periódico.

O capital inicial periódico é o rendimento colocado a render juros; o juro periódico é o

rendimento produzido num determinado período e o capital final periódico é a soma docapital inicial periódico e o juro periódico.

Se considerarmos CIK como capital inicial do período K e JK o juro do período K e CFK o

capital final do período, então:

CFK = CIK + JK

Onde: K = 1,2,3....n

Casos notáveis de Processos de Capitalização

O juro periódico produzido pode manter-se no processo ou retirado do processo, daí que

existem dois casos notáveis:

1º- Os juros periódicos saem do processo- aqui o capital inicial periódico

permanece o mesmo e o juro periódico será constante se a taxa de juro for a

mesma ao longo do processo. Este tipo de processo é designado por processo de

capitalização simples.

2º- Os juros periódicos permanecem no processo- aqui os juros periódicos

permanecem no processo e tem efeitos na produção de outros juros. O capital


4/72



_____________________________________________________________________Página 4 de 72


inicial periódico será composto por capital mais juro. Este tipo de processo é

designado por processo de capitalização composto. Os capitais iniciais periódicos

são diferentes e crescentes e os juros periódicos também crescentes.

Função Juro

Refere-se a correspondência existente entre o juro e os elementos capital, tempo e taxa de

juro. Indica as relações matemáticas existentes entre o juro e capital, tempo e taxa de

juro.

Juro como função de Capital

Para cada variação do capital, mantendo constante o tempo e a taxa de juro,

corresponderá a um determinado valor de juro.

J = f (C) juro como função do capital

Juro com função do Tempo

Para cada variação do tempo, mantendo constante o capital e a taxa de juro,

corresponderá um determinado valor de juro.

J = f (T) juro como função do tempo

Juro como função da taxa de juro

Para cada variação da taxa de juro, mantendo constante o capital e o tempo;

corresponderá a um determinado valor de juro.

J = f (r) juro como função da taxa de juro


5/72



_____________________________________________________________________Página 5 de 72


Juro com função de capital, tempo e taxa de juro

Para cada variação simultânea do capital, tempo e a taxa de juro; corresponderá a um

determinado valor de juro.

J = f (C; T; r)

Condições Básicas para a existência do juro

Para que exista o juro é necessário que a existência de Capital, Tempo e Taxa de Juro;

esses valores devem ser positivos e maiores que zero.

Regras da Matemática Financeira1

1. É uma impossibilidade em Matemática Financeira a presença de capital, presença

de tempo e ausência de juro. A ausência de capital e tempo e presença de juro é

outra impossibilidade.

2. Qualquer operação matemática sobre 2 ou mais capitais requer a sua

homogeneização no tempo. Ou seja, C1 + C2; C1 – C2; C1 = C2, etc, só pode fazer-

se se e só se esses capitais estiverem referidos ao mesmo momento, ou data focal

(ou seja, quando esses capitais estiverem localizados no mesmo momento).

3. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no início do período,

multiplicado pela taxa de juro a vigorar nesse período.

1 A Matemática Financeira rejeita certas práticas, mas há que reconhecer que a liberdade negocial entre partes, devidamente esclarecidas, é sempre mais forte que qualquer imperativo da matemática.


6/72



_____________________________________________________________________Página 6 de 72


REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

- Regime de Capitalização Simples;

- Regime de Capitalização Composto;

- Regime de Capitalização Dito Simples;

- Regime Misto.

Regime de Capitalização simples – Características

- O juro produzido por período sai do processo de capitalização e como

consequência o capital mantém-se constante em cada período de capitalização eigual ao investido no início do processo.

CI1 = CI2 = CI3 = CI4 = ...... = CIn

- Em cada período de capitalização, o juro é constante e incide sobre o capital

investido no inicio do processo:

J1 = J2 = J3 = J4 = ..... = Jn= CI*r

- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro final do processo

(ou seja, o juro do último período):

CFn = CI + JF, onde JF = juro do último período

Como o juro periódico é igual em todos os períodos:

JF = JK = CI*r


7/72



_____________________________________________________________________Página 7 de 72


Então o capital final será dado pela seguinte fórmula:

CFn = CI + CI*r → CF = CI (1+r)

EXEMPLO 1: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros

a uma taxa de juro anual de 20%, com os juros pagos no final de cada ano. Determine:

a) O montante recebido no 1 e 4 ano;

b) O montante recebido no 5 ano.

c) O juro acumulado produzido ao longo do processo.

RESOLUÇÃO:

Como os juros são pagos no final de cada ano, então estamos perante o regime de

capitalização simples, pois os juros são do processo de capitalização periodicamente, ou

seja, anualmente.

a) O montante recebido em cada período de capitalização é o juro produzido

nesse período. Assim sendo, é necessário calcular o juro do primeiro e do

quarto ano:

J1 =J4= CI*i=100.000*20%=20.000

b) O montante recebido no 5º ano (último período/ano) é o capital final, ou seja:

CF = CI (1+r)=100.000 (1+20%)=120.000

c) Não é possível determinar o juro acumulado porque este regime não acumula.


8/72



_____________________________________________________________________Página 8 de 72


Regime de Capitalização composto – Características

- Neste regime os juros não saem do processo de capitalização, mantém-se no

processo e constituem uma nova parcela para efeitos de cálculo do juro do

período seguinte:

CIK = CFK-1 (o capital inicial do período é igual ao capital final do período

anterior)

- O juro produzido em qualquer período é diferente do juro produzido no período

anterior:

J1 ≠ J2 ≠ J3 ≠ ........ ≠ Jn

- O juro periódico incide sobre o capital em dívida no início desse período:

JK = CIK * r

- Os juros produzidos ao longo do processo são entregues juntamente com o capital

inicial no final do processo, isto é, o capital final do processo é igual ao capital

inicial + o juro total do processo.

CFn = CI + JT

- O juro total é igual a diferença entre o capital final do processo e o capital inicial

do processo:

JT = CFn - CI


9/72



_____________________________________________________________________Página 9 de 72


- A fórmula do capital final obtém-se da seguinte forma (sendo a taxa de juro igual

em todo o processo):

CFK = CIK + JK

Se K=1 → CF1 = CI1 + J1 e como J1 = CI1*r → CF1 = CI1 + CI1*r = CI1(1+r)1

Se K=2 → CF2 = CI2 + J2 e como CI2 = CF1 → CF2 = CI2 + CI2*r = CI2(1+r) →

………...→ CF2 = CI1(1+r)(1+r) = CI1 (1+r)2

Se K=3 → CF3 = CI3 + J3 e como CI3 = CF2 → CF3 = CI3 + CI3*r = CI3(1+r) →

………...→ CF3 = CI1(1+r)2(1+r) = CI1 (1+r)

3

Se K=n → → → CFn = CI1 (1+r)n → → → Cn = C0(1+r)

n

Onde: CI1=C0 → capital inicial

CFn=Cn → capital acumulado

(1+r)n → factor de capitalização composto porque permite o incremento do capital, período por período.

- O capital final do processo é composto por 3 parcelas, o capital inicialmente

investido, o juro produzido com base no capital inicialmente investido e o juro

produzido pelo juro capitalizado (juro do juro).

JT = C0 (1+r)

n

– C0 = C0 [(1+r)

n

– 1]

- O juro do juro é igual ao capital final menos capital inicial e menos a soma dos

juros simples produzidos em cada período ou seja JJ = Cn – C0 – n * C0 * r.


10/72



_____________________________________________________________________Página 10 de 72


EXEMPLO 1: Num empréstimo de MT 200.000,00, pelo prazo de 6 anos, foi acordada

uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Determine:

a) O juro produzido no 1 e 3 ano;

b) O juro acumulado no final do empréstimo;

c) O capital acumulado no final do empréstimo.

RESULUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15% composto

a) Jk = CIk *i = CFk-1*i J1 = CI1*i = 200.000*15% = 30.000

J3 = CI3*i = CF2*i = Co(1+i)

2

*i = 200.000(1+15%)

2

*15% = 39.675O juro do período k é igual ao capital final do período anterior (k-1) multiplicada pela

taxa de juro do período k.

b) JT = Co [(1+i)n -1] = 200.000 [(1+15%)6 -1] = 262.612,1531

O juro acumulado no final do empréstimo é igual ao capital acumulado no final (Cn)

subtraída pelo capital no inicio do empréstimo (Co).

c) CF = Co + JT = 200.000+262.612,1531 = 462.612,1531 ou

CF = Co(1+i)n = 200.000(1+15%)6 = 462.612,1531

O capital final é igual ao capital inicial adicionado ao juro acumulado no final do

empréstimo.

EXEMPLO 2: Um indivíduo depositou, por 10 anos, MT 40.000,00 numa instituição de

poupança que remunerava a taxa anual composta de 15%. Sabendo que passados 4 anos,

aquela taxa foi alterada para 20% e a partir do 7 ano para 25%, afectando então todo o

capital acumulado. Determine:


11/72



_____________________________________________________________________Página 11 de 72


a) O montante recebido no final da aplicação;

b) O juro produzido no 5 ano;

c) O juro produzido no 8 ano.

RESULUÇÃO: Dados: Co = 40.000, i1 = 15%, n = 10, i2 = 20%, i3 = 25%

a) Neste exercício, como estamos na presença de várias taxas de juros,

primeiro devemos determinar o valor acumulado nos primeiros 4 anos

em que vigora a taxa de 15%: CF4 = Co(1+15%)4;

Depois temos que calcular o valor acumulado nos 2 anos seguintes em

que vigora a taxa de 20%. No entanto, valor inicial deste período (2

anos) é igual ao valor final dos primeiros 4 anos, assim: CI =

Co(1+15%)4.

CF6 = CI(1+20)2 = Co(1+15%)4(1+20%)2

Por fim, temos que calcular o valor acumulados dos últimos 4 anos,

em que vigora a taxa de 25%. O valor inicial deste último período (4

anos) é igual ao valor final dos primeiros 6 anos, assim CI =

Co(1+15%)4(1+20%)2.

CF10 = CI(1+25%)4 = Co(1+15%)4(1+20%)2(1+25%)4 =

40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)4 = 245.954,0039

b) J5 = CF4*i2 = 40.000(1,15)4*20% = 13.992,05

c) J8 = CF7*i3 = 40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)*25% = 31.482,1125


12/72



_____________________________________________________________________Página 12 de 72


Regime de capitalização “ dito simples” – características

É um processo convencional, sem sustentação teórica, e que mais se pratica dada a

facilidade de entendimento, mesmo por pessoas pouco versadas em matemática

financeira. Contém em si características que são relativas ao regime simples e outras que

são relativas ao regime composto.

- O capital inicial de qualquer período é igual ao capital final do período anterior:

CIK = CFK-1 (características do regime composto)

- O juro de qualquer período incide sobre o capital investido no inicio do processo:

JK = C0 * r (características do regime simples), ferindo a 3ª regra da matemáticafinanceira já referida, fazendo com que não se produzam os juros de juros

- O juro total do processo é igual a pura soma dos juros produzidos ao longo do

processo: JT = n * C0 * r

- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro total: CF n = Cn =

C0 + n * C0 * r = C0 (1 + n * r)

- Quando são dadas várias taxas ao longo do processo de capitalização: CFn = Cn =

C0 + J1 + J2 + J3 + Jn = C0 + C0*r 1 + C0*r 2 + C0*r 3 +...+ C0*r n =

= C0 (1 + r 1 + r 2 + r 3 +....+ r n)

EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a

uma taxa de juro anual de 20%, com os juros (sem juros de juros) pagos no final da

aplicação. Determine:

a) O montante recebido no 1 e 4 ano;

b) O montante recebido no 5 ano.

c) O juro acumulado produzido ao longo do processo.

d) Os juros de juros produzidos ao longo do processo.


13/72



_____________________________________________________________________Página 13 de 72


e) O montante recebido no 5 ano, considerando que no primeiro ano vigorou

a taxa de 20%, no segundo 21%, terceiro 22%, quarto 24% e no quinto

ano 25%.

RESOLUÇÃO:

a) Não é possível determinar o montante recebido periodicamente uma vez

que neste regime os juros são acumulados e entregues no final do

processo.

b) O montante recebido no 5 ano (último período) é o capital final, ou seja:

CF = CI (1+n*r)=100.000 (1+5*20%)=200.000.

c) JT = n * C0 * r = 5*100.000*20%=100.000,00.

d) Neste regime não há lugar a produção de juros de juros.

e) CF= C0 (1 + r 1 + r 2 + r 3+..+r n)=100.000*(1+21%+22%+23%+24%+25%)=

= 215.000

Regime misto – Características

É uma situação em que ou funcionam os regimes composto e simples em simultâneo ou

funcionam os regimes dito simples e simples em simultâneo. Implica que uma parte de

juros seja retirado do processo e o remanescente seja recapitalizado ou simplesmente

acumulado.


14/72



_____________________________________________________________________Página 14 de 72


Duas hipóteses podem acontecer neste tipo de regime:

1. Tratar-se de levantamento de uma parte de juros e a parte remanescente ser

recapitalizado ou acumulado; o processo continuará até ao penúltimo período

e sendo que no último período levantar-se-á a totalidade dos juros juntamente

com o montante acumulado no início desse último período.

2. Tratar-se de pagamento de imposto pela retenção na fonte – implica que

apenas serão recapitalizados ou acumulados uma parte de juros até ao final do

processo de capitalização.

Se considerarmos:

α – percentagem dos juros pagos/retirados (que saem do processo); e

β – percentagem dos juros remanescentes (retidos/mantidos no processo)

α + β = 1 ou α + β = 100%

Fórmulas para a 1ª Hipótese:

Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros

Cn = C0 (1 + β*r)n-1*(1+r) Capital Final

JK = C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Produzido

JKα = α * C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Pago

JKβ = β * C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Retido


15/72



_____________________________________________________________________Página 15 de 72


Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de juros

Cn = C0 [1 + (n-1)β* r](1+r) Capital Final

JK = C0*r Juro Periódico Produzido

JKα= C0*r*α Juro Periódico Pago

JKβ= C0*r*β Juro Periódico Retido

Fórmulas para a 2ª Hipótese:

Nesta hipótese apenas a fórmula de cálculo do capital final (ou acumulado) é que muda, o

resto mantém-se inalterado, ou seja:

Cn = C0 (1+ β*r)n para o Regime Composto, com pagamentos periódicos de parte de juros

Cn = C0 (1 + nβ* r) para o Regime Dito Simples, com pagamentos periódicos de parte de

juros

EXEMPLO: Num empréstimo de MT 200.000,00 pelo prazo de 6 anos, foi acordada

uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Considerando que

30% dos juros periódicos saem do processo, sendo a restante capitalizada, determine:

a) O juro produzido no 1 e 4 ano;

b) O juro pago no 1 e 4 ano;

c)

capital acumulado no final do empréstimo

RESOLUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15%, α = 30%, β = 70%

a) Jk = Co(1+β*i)k-1*i

J1 = Co(1+0,7*15%)1-1*15% = Co*15% = 200.000*15% = 30.000


16/72



_____________________________________________________________________Página 16 de 72


J4 = Co(1+0,7*15%)4-1*15% = 200.000(1+0,7*15%)3*15% =

40.476,98

Aqui pretende-se determinar o montante de juro produzido periodicamente (a soma do

juro pago e o juro retido no processo).

b) J1pago = α* J1produzido = 30%*30.000 = 9.000

J4pago = 30%*J4produzido = 30%*40.476,98 = 12.143,09

Neste caso, pretende-se saber o valor do juro que foi pago, ou seja, do montante de juro

produzido qual o montante que foi pago no primeiro e no quarto ano.

c) CF6 = CI6+Jult = CI6+CI6*i = CF5+CF5*i = Co(1+β*i)5+Co(1+β*i)5*i =

Co(1+β*i)5(1+*i) = 200.000(1+0,7*15%)5(1+15%) = 378.912,7562

NOTA:

Para se determinar o capital final (ou acumulado) neste regime misto é necessário

considerar que em todos os períodos (excepto o último), a taxa de juro será

multiplicada pela percentagem dos juros que ficam retidos no processo (β). No

último período, o juro é calculado com base na totalidade da taxa de juro.


17/72



_____________________________________________________________________Página 17 de 72


Regimes de Capitalização – Quadro Resumo

Simples Composto Dito simples

CIK C0 CFK-1 CFK-1

JK C0 * r CIK * r C0 * r

CFn C0 (1+r) C0 (1+r)n C0 (1+n*r)

JT ------- C0 [(1+r)n-1] C0 * n * r

JJ ------- Cn - C0 - C0 * n * r --------

NOTA:

n, r (ou seja, o tempo e a taxa de juro) devem vir expressos na mesma

unidade de tempo que é o período de capitalização, ou seja, se período de

capitalização for mensal, n e r, deverão vir expressos em meses; se o período

de capitalização for anual, n e r, deverão vir expressos em anos.

Cálculo do juro quando o tempo vem dado em dias:

J =365

r *t*C0 , onde n =365

t para o ano civil e dividir por 360 para o ano comercial

Cálculo do juro quando o tempo vem dado em meses:

J =12

r *t*C0 , onde n =12

t

Deve-se utilizar o ano comercial (360) somente quando for indicado, pois que, nos casos

em que nada se diz, utiliza-se o ano civil (365).


18/72



_____________________________________________________________________Página 18 de 72


NOTA IMPORTANTE:

Se não nos derem o período de capitalização, subentende-se que este coincide

com o período da taxa de juro, ou seja, se a taxa de juro for anual o período

de capitalização será anual, se for trimestral o período de capitalização

também será trimestral.

Se não nos derem o período da taxa de juro, subentende-se que o período é

anual.

Os regimes simples e dito simples são usados no curto prazo (processo de

capitalização inferior a um ano), se a taxa de juro dada for anual. Mas, se

por exemplo tivermos um processo de capitalização de 9 meses (inferior a um

ano) e dada uma taxa de juro trimestral de 5% (inferior a um ano), usaremos

o regime composto (com 3 períodos trimestrais inteiros). E se tivermos o

mesmo processo de capitalização de 9 meses (inferior a um ano) e dada uma

taxa de 9 meses (inferior a um ano), usaremos o regime composto (com um

período inteiro).


19/72



_____________________________________________________________________Página 19 de 72


Processos práticos de cálculo de juros

- Método de divisores fixos;

- Método de multiplicadores fixos;

Método de divisores fixos

Sabendo que: J =365

r*t*C0

Dividindo por r, J =r /365

r r /*t*C0 = C0 * t *

r

365

1

Se: C0 * t = N e 365 / r = D, então teremos J =D

N

Onde N é número e D é o Divisor

Sejam:

C1------t1-----r

C2------t2-----r

Cn------tn-----r

JT = J1 + J2 + ---- + Jn

J1 = 365

r *t*C1 , se N1 = C1 * t1 e r

365= D, então J1 = D

N1

Jn =365

r *t*C1 , se Nn = Cn * tn er

365= D, então J2 =

D

N 2


20/72



_____________________________________________________________________Página 20 de 72


Assim, JT =D

N1 +----+D

N n =D

N1 b

b

n

=D

N

EXEMPLO.

Abrimos em 2 de Agosto uma conta de depósitos a ordem colocando MT 50,00,

posteriormente em 25 de Agosto levantámos MT 10,00. Em 15 de Setembro depositámos

MT 15,00 e em 2 de Novembro depositámos MT 25,00. Em 15 de Dezembro levantámos

MT 6,00.

Sabendo que foi utilizada a taxa de capitalização de 4%, determine os juros totais

recebidos no final do ano (31 de Dezembro), utilizando o Método de Divisores Fixos.

RESOLUÇÃO:

Movimento Datas Capital (C) Nº de dias (t) N = C * t

Depósito de MT 50,00 2/8 a 25/8 50 23 1.150

Levantamento 10 25/8 a 15/9 50-10=40 21 840Depósito 15 15/9 a 2/11 40+15=55 47 2.585

Depósito 25 2/11 a 15/12 55+25=80 43 3.440

Levantamento 6 15/12 a 31/12 80-6=74 16 1.184

Total () ------ ------ ------ 9.199

D = 125.9%4

365

r

365 e como N = 9.199, então JT = 008,1

125.9

199.9

D

N

Método de multiplicadores fixos

Este método difere do outro acima, porque toma-se que:


21/72



_____________________________________________________________________Página 21 de 72


C * t = N e365

r = M, assim JT = N * M

No exemplo anterior, se usasses o método de multiplicadores fixos, teríamos que:

M = 000109589,0365

%4 e JT = 9.199,00 * 0,000109589 = 1,008


22/72



_____________________________________________________________________Página 22 de 72


EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JURO

- Introdução. Disparidade entre o período da taxa e o período de capitalização

- Taxas equivalentes e taxas proporcionais

- Taxas efectivas e taxas nominais

- Processo de capitalização com um número não inteiro de períodos de

capitalização: solução prática e solução teórica.

Assumimos até aqui que o período de capitalização coincide com o período de referência

da taxa de juro, mas nem sempre isto ocorre, situação há em que a taxa de juro vem dada

numa unidade de tempo diferente do período de capitalização.

Exemplo: Investimos MT 10.000,00 no processo de capitalização composto, a taxa de

juro de 10% ao ano, com capitalização semestral e durante um ano.

Neste caso, a taxa de juro dada é de período anual e a capitalização faz-se ao semestre e a

questão que se coloca é de como capitalizar ao semestre com uma taxa anual?

A disparidade entre o período de capitalização e o de referência da taxa de juro, leva-nos

a questão de equivalência de taxas de juros e considerando o nosso exemplo, teríamos

que procurar uma taxa de juro de período semestral – período de capitalização – que

fosse equivalente a taxa anual de 10%.

A priori diríamos que a taxa semestral procurada é de 5% e obtida da seguinte forma:

1 ano ----------- 10% X =ano1

%10*ano5,0 = 5% ao semestre

½ ano ----------- X


23/72



_____________________________________________________________________Página 23 de 72


Considerando o conceito de equivalência de taxas, duas taxas de juro referidas a períodos

diferentes (anual e subanual) dizem-se equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital

inicial e para a mesma duração do processo de capitalização produzem o mesmo valor

acumulado.

Considerando o nosso exemplo e tomando a taxa de 10% ao ano e o tempo em um ano,

usando o conceito de equivalência de taxas, teremos para valor acumulado:

CF1ano = 10.000 (1+10%) = 11.000

Tomando a taxa de 5% ao semestre e o tempo em semestre (2 semestres = 1 ano),teremos para valor acumulado:

CF2 sem = 10.000 (1+5%)2 = 11.025

Comparando os dois capitais acumulados, concluímos que estes são diferentes e onde

então podemos dizer que a taxa de 10% ao ano não é equivalente a taxa de 5% ao

semestre.

Posto isto, qual é então a taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%?

Considerando o conceito de equivalência de taxas acima referido e representando r’ a taxa

semestral equivalente a taxa anual de 10%, podemos estabelecer a equivalência de taxas

com base na equação:

CF1ano = CF2sem

10.000 (1+10%) = 10.000 (1+r’)2

(1+10%)=(1+r’)2

r’ = (1+10%)1/2 – 1 = 4,88%


24/72



_____________________________________________________________________Página 24 de 72


Que tipo de taxa é então a taxa de 5%?

A taxa de 5% foi obtida com recurso a proporcionalidade directa, donde é designada por

taxa proporcional.

Assim, podemos concluir que entre duas taxas referidas a períodos diferentes (uma taxa

anual e outra subanual), podemos encontrar dois tipos de relações: relação de

equivalência e a relação de proporcionalidade.

Simbologia

r taxa anual equivalente

r (m) taxa anual nominal, composta m meses durante o ano

Exemplos:

r (2) = taxa anual nominal, composta semestralmente (duas vezes ao ano)

r (4) = taxa anual nominal, composta trimestralmente (quatro vezes ao ano)

r (12) = taxa anual nominal, composta mensalmente (doze vezes ao ano)

r m taxa subanual reportada ao período que corresponde a 1/m do ano.Exemplos:

r 2 = taxa semestral

r 4 = taxa trimestral

r 12 = taxa mensal

Considerando que entre a taxa r e a taxa r m existe uma relação de equivalência e tomando

em atenção o conceito de equivalência de taxas, teremos:

C0 (1+r) = C0 (1+r m)m

(1+r) = (1+ r m)m


25/72



_____________________________________________________________________Página 25 de 72


Onde:

m = é o número de vezes que o período da taxa subanual cabe no período da taxa anual,

ou seja: m = menor período

maior período

Considerando que entre a taxa r e a taxa subanual r m, existe uma relação de

proporcionalidade.

r --------------------- 1 r m =mr

r m -------------------- 1/m

Onde:

m = é o número de vezes que o período da taxa subanual cabe no período da taxa anual,

ou seja: m =menor período

maior período

Taxas efectivas e nominais

Quando a relação que existe entre a taxa anual r e a taxa subanual r m for de equivalência é

indiferente trabalhar com a taxa anual r ou trabalhar com a taxa subanual r m, isto é, ao

trabalhar com a taxa r anual e contar o tempo em anos, estaremos no período 1/m do ano

a trabalhar em simultâneo com a taxa r m.

Assim, podemos concluir que se r e r m são equivalentes, ambas são efectivas.


26/72



_____________________________________________________________________Página 26 de 72


Se ao invés de uma relação de equivalência, tiver uma relação de proporcionalidade entre

a taxa r (m) e r m, teremos uma taxa efectiva que é aquela cujo período coincide com o

período de capitalização, e a outra obtida por proporcionalidade directa é nomeada como

sendo a que se pratica noutro período diferente do período de capitalização, designa-se

por taxa nominal ou proporcional.

Dizem-se nominais as taxas que são declaradas (“nomeadas”) em vigor num processo de

capitalização, enquanto são efectivas aquelas que efectivamente tem influência na

produção dos juros.

Taxas de Juros – Outros Conceitos

Taxas ilíquidas e taxas líquidas

Chama-se taxa ilíquida (ou bruta) à taxa que não leva em consideração a existência de

impostos sobre os juros produzidos e a taxa líquida que já reflete o efeito da fiscalidade.

Regra geral, sempre que há juro, há imposto. Este imposto é normalmente determinado

aplicando uma taxa (t) ao montante do juro produzido, pelo que o beneficiário fica apenas

com o restante do juro periódico produzido (a outra parte vai para o Estado).

Simbologia:

r liq taxa de juro líquida

r iliq taxa de juro ilíquida (ou bruta)

t taxa de imposto2

2 É chamada de taxa liberatória, na medida em que “libera” o beneficiário da obrigação de incluir essesrendimentos na sua declaração anual de rendimentos


27/72



_____________________________________________________________________Página 27 de 72


Assim teremos r liq = r iliq(1- t)

Taxas correntes e taxas reais

Chama-se taxa corrente à taxa que não leva em consideração o efeito da inflação e a taxa

real aquela que já reflecte esse efeito.

Existe inflação num dado período quando nesse período o nível geral de preços sobe.

Portanto, quando a taxa de juro real for inferior a taxa de juro corrente significa que, em

termos reais, o poder de compra se deteriore. Por outro lado, quando a taxa de juro realfor superior a taxa de juro corrente significa que, em termos reais, o poder de compra seja

maior.

Simbologia:

i taxa de juro corrente (anual)

iz taxa de juro real (anual)z taxa de inflação

Assim, teremos iz3 = 1

z1

i1

Como se chegou a esta fórmula?

Através da expressão abaixo:

3 Deve perceber-se que, em rigor, a taxa real não é igual à diferença entre a taxa corrente e a taxa deinflação.


28/72



_____________________________________________________________________Página 28 de 72


C0(1+i) = C0(1+z)(1+iz) (1+i) = (1+z)(1+iz) (1+iz) =z1

i1

iz = 1

z1

i1

Vejamos, agora, o que sucede para n períodos de tempo, se as taxas forem variáveis

período a período. Aqui deve-se determinar a taxa real média para o prazo da aplicação e

que notaremos por i’z. Logo, vem que:

C0(1+i1)*….*(1+in) = C0(1+z1)*….*(1+zn)(1+iz)

Donde resulta que:

iz = 1)z(1*....*)z1(

)i1(*....*)i(1

n1

n1

Exemplo 1: Dada a taxa anual efectiva de 10%, calcule a taxa equivalente de período

bimestral.

Dados:

r = 10% (1 + r) = (1 + r m)m

r 6 = ? bimestral (1 + 10%)= (1 + r 6)6

m = 12/2 = 6 (1,1)1/6 - 1 = r 6

r 6 = 1,6%

E é a taxa equivalente para o período de 7 meses?

Dados:

r = 10% (1 + 10%) = (1 + r 12/7)12/7

r 12/7 = ? (7 meses) r 12/7 = (1,1)7/12 – 1

m = 12/7 r 12/7 = 5,72%


29/72



_____________________________________________________________________Página 29 de 72


Exemplo 2: Um depósito no montante de MT 8.000,00 esteve colocado durante 2 anos,

em regime de juro composto, à taxa de 6%. Qual será o valor real dos juros produzidos,

sabendo que no primeiro ano a taxa de inflação foi de 3% e de 1,75% no segundo ano?

Dados:

C0 = 8.000

i = 6%

z1 = 3%

z2 = 1,75%

Vamos calcular o juro, considerando à taxa real média para o prazo da aplicação. Assimsendo, vem que:

iz = 1)%75,13%)(11(

%)6(1 2

iz = 7,2%

Podemos, agora, calcular o montante dos juros. E sendo que a taxa obtida anteriormente

se reporta a todo o prazo da aplicação, o montante total dos juros pode ser obtido

multiplicando esta taxa pelo valor de C0. Donde resulta que:

Jz (juro real) = iz*C0 = 7,2%*8.000 = 576,00

Exemplo 3: Qual o capital final real líquido de um capital de MT 100.000,00 que esteve

aplicado a prazo em regime de juro composto, durante 5 anos, sabendo que:

- Produziu, durante os 3 primeiros anos, juros à taxa de 8%, tendo sido de 6% a

taxa praticada nos 2 últimos;

- Do 1º ao 5º ano da aplicação se observou uma taxa de inflação da ordem dos

6,75%, 4,5%, 5% e 6,5%, respectivamente?


30/72



_____________________________________________________________________Página 30 de 72


Considere uma taxa liberatória de 20%.

Resolução:

Determinar o capital final real líquido implica considerar, em simultâneo, os efeitos da

fiscalidade e da inflação.

Assim, os juros vão capitalizar à taxa líquida, isto é, 6,4% (=8%*80%) nos 3 primeiros

anos e 4,8% (=6%*80%) nos 2 últimos.

O capital final real líquido será determinado da seguinte forma:

CFRL = C0*)z)(1z)(1z)(1z)(1z1(

)i1()i(1

54321

2

2

3

1

Enquanto que as taxas constantes no numerador nos permitem apurar o valor líquido do

capital, no denominador consideramos o efeito resultante da perda do poder de compra da

moeda. Logo,

CFRL = 100.000*)%5,6)(1%7)(1%5)(1%5,4)(1%75,61(

%)8,41()6,4%(1 23

= 99.115,28

O capital final real líquido é inferior ao seu valor inicial, donde resulta que a

rendibilidade auferida por este investimento, ao longo dos 5 anos, não foi suficiente para

compensar os efeitos das elevadas taxas de inflação, sendo que deverá ser procurado uma

aplicação alternativa.


31/72



_____________________________________________________________________Página 31 de 72


Dada uma taxa de juro anual efectiva, como podemos obter uma taxa de juro

nominal referida para o mesmo período, ou seja, como podemos obter a taxa de juro

anual nominal?

Equivalência Proporcionalidade

Resposta: Dada uma taxa de juro anual efectiva, para se obter uma taxa de juro anual

nominal, primeiro temos que achar a taxa de juro em que o seu período coincide com o

período de capitalização (conforme a figura imediatamente acima). Ou seja, se a

capitalização for ao semestre (por outras palavras, se a formação do juro for semestral)

então, devemos achar a taxa de juro semestral.

NOTA:

A relação de equivalência é aplicável para os casos de regime de capitalização

puramente simples e regime de capitalização composto, pois que no caso do regime

dito simples e considerando o conceito de equivalência de taxas leva-nos a situação

de proporcionalidade entre taxas.

Taxa de juroanual efectiva

Taxa de juroanual nominal

Taxa de juro em que oseu período coincidecom o período decapitalização.


32/72



_____________________________________________________________________Página 32 de 72


PROCESSOS DE CAPITALIZAÇÃO COM UM NÚMERO NÃO INTEIRO DE

PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO – REGIME COMPOSTO.

Seja um processo de capitalização com n períodos inteiros de capitalização, mais uma

fracção x cuja duração é inferior ao período p de capitalização.

Expressando o período não inteiro x em fracção de período inteiro p, teremos x/p e para o

nosso processo de capitalização n + x/p períodos de capitalização.

No período de capitalização p (período inteiro) vigora a taxa r, e se o nosso processo

tivesse só n períodos inteiros, o valor acumulado seria obtido com base na formula C n =C0 (1 + r)

n, mas acontece que para além dos n períodos, temos um período não inteiro x/p,

donde que o valor acumulado do processo será ser igual ao valor acumulado dos n

períodos inteiros mais o juro do período não inteiro x/p. Ou seja,

Cn+x/p = Cn + Jx/p

Cn = C0 (1 + r)n e Jx/p = CIx/p * r x/p

Como CIx/p = Cn então

Cn+x/p = C0 (1+r)n + C0 (1+r)

n * r x/p

= C0 (1+r)n (1+r x/p)

Que tipo de relação existe entre a taxa de período inteiro (r) e taxa de período não inteiro

(r x/p)? Por outras palavras, que taxa de juro usaremos no período não inteiro?

a)

Relação de equivalência (solução teórica)

Neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa efectiva ou equivalente,

donde a taxa subanual (não inteira) é obtida por recurso a equação de equivalência de

taxas.


33/72



_____________________________________________________________________Página 33 de 72


Dados:

r (1+r)=(1+r p/x) p/x

r p/x = ? Donde r p/x = (1+r)x/p – 1

m = p/x

Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+r p/x) = C0 (1+r) [1+(1+r)

x/p – 1] = C0 (1+r)n (1+r)x/p

= C0 (1+r)n+x/p

b)

Relação de proporcionalidade (solução prática)

Neste caso, toma-se que no período não inteiro vigora uma taxa nominal ou proporcional,donde a taxa subanual (não inteira) é obtida por recurso a equação de proporcionalidade

de taxas.

r p/x = r * p

x

p/x

r

m

r

Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+r p/x) = C0 (1+r)n (1+ p

x* r)

NOTA: Nas duas relações acima, devemos assegurar que o período da taxa r (taxa

inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa r (inteira) será

uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é

possível usar a relação de equivalência como a relação de proporcionalidade.


34/72



_____________________________________________________________________Página 34 de 72


CASO DE REGIME PURAMENTE SIMPLES

No regime simples, vimos que o juro é pago no final de cada período da sua

formação/produção e no final do processo o devedor tem a pagar o capital inicialmente

obtido mais o juro do último período. O último período, é neste caso o período não inteiro

(x/p), donde:

C n+x/p = C0 + Jx/p e Jx/p = C0 * r p/x, onde Cn+x/p = C0 + C0 * r p/x = C0 (1+r p/x)

a)

Relação de equivalência (solução teórica):

A taxa subanual será r p/x = (1+r)x/p – 1

E o Cn+x/p = C0 [1+(1+r)x/p -1] = C0 (1+r)

x/p

Ou seja, Cn+x/p = C0 (1+r)x/p

b) Relação de proporcionalidade (solução prática):

A taxa subanual (ou taxa de período não inteiro) será r p/x = p

x * r

E o Cn+x/p = C0 (1+ p

x* r)

NOTA: Nas duas relações acima, devemos também assegurar que o período da taxa

r (taxa inteira) seja igual ao período de capitalização. Desse modo, a taxa r (inteira)será uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, pelo que com essa taxa é

possível usar a relação de equivalência como a relação de proporcionalidade.


35/72



_____________________________________________________________________Página 35 de 72


EXEMPLO: Um capital de MT 80.000,00, esteve colocado durante 10 anos e 11 meses,

num processo de capitalização composto de período trimestral, a taxa de juro anual

nominal de 20%. Determine o capital acumulado, considerando para eventual fracção do

período de capitalização:

a) Taxa proporcional;

b) Taxa equivalente.

RESOLUÇÃO: Dados: Co = 80.000, n = 10 anos e 11 meses, im = 20%

a) i4 =

4

%20 = 5% n = 43 +

3

2Trimestres

Cn+x/p =Co(1+i)n(1+x/p*i) = 80.000(1+5%)43(1+2/3*5%) = 673.705,80

b) Cn+x/p = Co(1+i)n+x/p = 80.000(1+5%)43+2/3 = 673.528,60

EXEMPLO: Um capital de MT 10.000,00 foi colocado durante 3 anos e 5 meses, num

processo de capitalização simples, a taxa de juro anual nominal de 15% (capitalização

trimestral). Calcule o valor no final do processo, considerando que na eventual fracção do

período, vigorou:

a) Solução teórica (taxa equivalente);

b) Solução prática (taxa proporcional).

RESULUÇÃO: Dados: Co = 10.000, n = 3 anos e 5 meses, i (4) = 15%, i4 = ?

a) i4 = 15%/4 = 3,75%Cn+x/p = Co(1+i)

x/p = 10.000(1+3,75%)2/3 = 10.248,50

b) Cn+x/p = Co(1+x/p*i) = 10.000(1+ 2/3*3,75%) = 10.250,00


36/72



_____________________________________________________________________Página 36 de 72


DESCONTOS

- Introdução

- Desconto Simples: Desconto por Fora e Desconto por Dentro

- Desconto Composto

- Desconto bancário de letras e livranças

Até aqui temos analisado processos de capitalização que vão do início até ao vencimento

dos mesmos, mas nem sempre isso ocorre, situação há em que quer por necessidade do

devedor como do credor os processos são interrompidos antes do seu vencimento, quando

faltam t períodos do processo por cumprir.

Perante esta situação, quanto é que o devedor terá que pagar na data da antecipação? Ou

ainda, do ponto de vista do credor, quanto ele irá receber na data da antecipação?

Cn = valor nominal da dívida

Cn-t = valor actual da dívida

n-t = momento da antecipação da dívida

t = número de períodos que faltam por vencer

Na data da antecipação, o devedor irá pagar o valor actual da dívida, isto é, o valor

nominal da dívida actualizado ou descontado para o momento da antecipação.

Designando por Desconto, o encargo que o credor suporta pelo recebimento antecipado

da dívida e representando por D, podemos concluir que o valor actual da dívida (C n-t) é

igual ao valor nominal da dívida (Cn) deduzido do montante de Desconto (D):

Cn-t = Cn – D

Donde virá para Desconto: D = Cn – Cn-t


37/72



_____________________________________________________________________Página 37 de 72


Dissemos que o valor actual da divida resulta da actualização ou desconto do valor

nominal pelos t períodos que faltam por vencer. Par a fazer a actual ização ou desconto

teremos de pressupor a existência de um processo de capital ização implícito que vai

correr do momento do vencimento da dívida (n) e o momento da antecipação (n -t).

Esta capitalização poderá ser feita recorrendo ao regime dito simples ou ao regime

composto. O caso de regime puramente simples, deixa de ter relevância dado que neste

regime o capital em dívida em qualquer momento corresponde ao valor inicialmente

cedido mais o juro do período vencido.

Ao Desconto realizado com base no regime dito simples, designa-se por Desconto

Simples e ao realizado com base no regime composto designa-se por Desconto

Composto .

Desconto Simples

Tem como base o regime de capitalização dito simples e corresponde ao juro dito simples

referente aos t períodos que faltam por cumprir, e pode ser calculado com base no valor

actual da divida ou com base no valor nominal da dívida.

Desconto por Dentro ou Racional – neste caso o desconto corresponde ao juro dito

simples calculado com base no valor actual da dívida:

DD = JDS = Cn-t * t * r

Acontece que no momento da actualização, não conhecemos o valor actual da dívida,

pelo que devemos procurar uma fórmula que nos permita determinar o valor do desconto

com base no valor nominal da dívida.


38/72



_____________________________________________________________________Página 38 de 72


Sabendo que:

D = Cn – Cn-t e D = DD = Cn-t * t * r, então Cn – Cn-t = Cn-t * t * r

Cn = Cn-t (1+t * r) Cn-t =r *t1

Cn

(Fórmula de cálculo do valor actual com base no

valor nominal).

Assim, como DD = Cn-t * t * r e Cn-t =r *t1

Cn

, então DD =

r *t1

r *t*Cn

(Fórmula de cálculo

do desconto por dentro, com base no valor nominal).

Desconto por Fora ou Comercial – É o que mais se pratica e toma como base o valor

nominal da dívida, ou seja, o desconto corresponde ao juro dito simples calculado com

base no valor nominal:

DF = JD S= Cn * t * r

Para calcular o valor actual, sabemos a priori que:

D = Cn – Cn-t e DF = Cn * t * r, então Cn * t * r = Cn – Cn-t

Assim, Cn-t = Cn (1 - t * r) (Fórmula de cálculo do valor actual com base no valor

nominal).

Nota:

Tanto o desconto por fora como por dentro são utilizados para períodos de tempo curtos,

geralmente inferiores a 1 ano. Normalmente a taxa de juro que nos é dada é de período

anual pelo que nos casos em que o tempo vem dado em meses ou dias deve-se dividir o t

por 12 quando o tempo vem dado em meses e por 365 ou 360 quando o tempo vem dado

em dias.


39/72



_____________________________________________________________________Página 39 de 72


Desconto Composto

Utiliza o regime de capitalização composto.

O valor actual é calculado com base na actualização do valor nominal nos moldes do

regime de capitalização composto:

Cn-t = Cn (1+r)-t

Sabendo que:

D = Cn – Cn-t e que Cn-t = Cn (1+r)-t, então D = Cn – Cn (1+r)

-t D = Cn [1-(1+r)-t]

Desconto de títulos de crédito

A emissão de títulos de crédito (letras e livranças) ocorre, no contexto da actividade

comercial, essencialmente devido a 2 razões:

1. A emissão de um título de crédito justifica-se perante a ausência de uma forte

relação de confiança entre o devedor e o credor. Em caso de incumprimento, a

posse do título permite ao credor mover uma acção contra o devedor;

2. Mesmo havendo confiança, a existência de um título de crédito possibilita a sua

apresentação a desconto junto de uma instituição bancária (desconto bancário),

que adianta ao credor os fundos correspondentes à dívida titulada. Acresce ainda

que os títulos podem ser endossados (desse modo, os próprios títulos funcionam

como meios de pagamento, uma vez que o direito ao crédito é transferido para

outrem).


40/72



_____________________________________________________________________Página 40 de 72


Letras – Conceito e Características

A letra é um título de crédito pelo qual uma pessoa (sacador/credor) ordena a outra

(sacado/devedor) que lhe pague a si próprio ou a um terceiro (tomador/beneficiário) uma

determinada importância, em determinada data.

Para além dos intervenientes acima apontados – sacador, sacado e tomador ou

beneficiário – outros poderão surgir no contexto da emissão e da negociação de uma

letra:

Aceitante – o sacado após ter reconhecido o saque e assinado a letra;

Endossante – pessoa que transfere os seus direitos por intermédio do acto de

endosso;

Endossado – aquele a quem são transmitidos os direitos pelo endossante;

Cedente – pessoa que apresenta a letra ao banco para desconto.

Desde a emissão da letra até ao seu vencimento, duas situações podem ocorrer:

1. A letra pode permanecer em carteira ou na fonte, isto é, na posse do sacador ou

daquele a quem o título foi endossado até ao vencimento. No vencimento,compete ao devedor proceder à liquidação do montante em dívida junto do

beneficiário (ou sacador), sem que haja intervenção directa de uma entidade

bancária;

2. A letra pode ser apresentada a desconto junto de uma entidade bancária, nos casos

em que o sacador (ou da pessoa cuja posse da letra se encontra) necessite de

fundos antes do vencimento. A entidade bancária credita na conta à ordem do

cedente o valor líquido da operação, já deduzidos os encargos inerentes ao

desconto.


41/72



_____________________________________________________________________Página 41 de 72


Desconto de letras

No desconto de letras, designaremos por desconto bancário a totalidade de encargos a

deduzir ao valor nominal do título. Quais são esses encargos?

O juro ou o desconto propriamente dito (calculado segundo as regras do desconto

comercial simples, também designado por desconto por fora) – vamos representar

por DF;

A comissão de cobrança, que é uma percentagem ou permilagem que incide, em

regra, sobre o valor nominal da letra. No fundo é o preço de um serviço prestado

pelo banco e varia de banco para banco, de acordo com factores como o local de pagamento diferente do local de desconto da letra, etc – vamos representar por α.

Imposto de selo, que é um encargo fiscal, imposto por lei (ao contrário do juro,

comissão de cobrança e portes que são receita do banco, o imposto de selo é

receita do Estado). Incide sobre o somatório do montante dos juros (desconto por

fora) e da comissão de cobrança) – vamos representar por I;

Portes, à semelhança do que sucede com as comissões de cobrança, o valor de

portes depende do estabelecido na tabela de preços de cada banco, muito embora

sejam, em regra, de montante reduzido. Destinam-se a cobrir despesas de correio

e/ou de comunicação associadas ao desconto da letra. O seu montante é fixo por

letra, sendo também frequente a isenção do pagamento para determinados

segmentos da clientela – vamos representar por P.

NOTA:

A prática bancária permite que as letras sejam liquidadas nos 2 dias posteriores ao

seu vencimento.


42/72



_____________________________________________________________________Página 42 de 72


Assim,

DB = Juros + Comissão de Cobrança + Imposto de Selo + Portes.

DB = DF + C + IS + P

DB = (DF + C)(1 + I) + P

DB = (Cn * t * r + α*Cn)(1+I) + P

DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P

As vendas crédito e o cálculo do valor nominal da letra

As vendas quanto a modalidade de pagamento poderão ser a pronto ou a crédito e no casodas vendas a crédito estas poderão levar a emissão de letras e livranças.

Na emissão desses títulos de crédito em geral, e da letra em particular, um dos princípios

a que se deve obedecer é a inclusão do valor da dívida a pagar na data do vencimento. Na

determinação deste montante, temos que ter em conta um dos dois pressupostos, como

vimos atrás:

1. A letra é emitida pressupondo o seu imediato desconto junto ao banco . Neste

caso quem concede efectivamente o crédito é o banco, pois que o

vendedor/sacador realiza de imediato por recurso ao desconto bancário o valor do

preço de pronto pagamento. Nesta opção podemos encontrar duas alternativas:

a) Emissão de uma só letra – neste caso o crédito é representado por uma

letra aceite pelo comprador/sacador e na determinação do valo nominal

dessa letra, o vendedor inclui para além do preço de pronto pagamento (é

dívida para o comprador e representaremos pela letra PPP) o valor do

encargo de desconto da mesma junto ao banco:

Cn = PPP + DB


43/72



_____________________________________________________________________Página 43 de 72


Se: DB = Cn(t * r + α)(1+I) + P

Então Cn = PPP + Cn(t * r + α)(1+I) + P

Cn = I)1)(r*(t-1

PPPP

Ou, Cn = I)1)(r*(t-1

PParcial)Pagamento-(PPP

, no caso em que o vendedor

procede ao pagamento de uma parte do PPP.

b) Emissão de várias letras – Neste caso a dívida é representada por váriasletras de vencimentos distintos. Quanto ao valor nominal, este poderá ser

constante ou variável e essa variação poderá obedecer a uma lei específica

(progressão aritmética, geométrica) ou não.

Na determinação do valor nominal de cada letra, o somatório dos valores nominais das

letras será igual a PPP (valor em dívida) mais o somatório do desconto bancário das

letras.

DBPPPCn

Ou, DBParcial)Pagamento-PPP(Cn no caso em que o vendedor procede ao

pagamento de uma parte do PPP.

2. A letra é emitida pressupondo a sua retenção pelo credor ate ao vencimento . Neste caso na determinação do valor nominal este para além da PPP (dívida) irá

incluir o juro relativo ao crédito pelo tempo que vai da emissão até ao vencimento

do título:


44/72



_____________________________________________________________________Página 44 de 72


Cn = PPP (1+ t*r)

Ou, Cn = (PPP-Pagamento Parcial) (1+ t*r)

A reforma da letra e o cálculo do valor nominal da nova letra

Chegada a data de vencimento da letra, uma das duas situações pode ocorrer: o devedor

paga o valor em dívida ou o devedor não paga. Nesta segunda hipótese, ele pode negociar

com o vendedor a prorrogação do prazo, pois uma das condições essenciais da letra é a

inclusão da data de vencimento e esta não pode ser rasurada. Esta situação leva a emissãode uma nova letra com um novo prazo de vencimento – a esta substituição de uma letra

vencida por uma nova de vencimento posterior designa-se por reforma da letra.

Os procedimentos para o cálculo do valor nominal da nova letra (Cn+t) são os mesmos

que vimos anteriormente, mas só que o preço de pronto pagamento (PPP) é substituída

pelo valor nominal da antiga letra (Cn).

Há reforma total/integral quando na data de vencimento o devedor/comprador não

efectua qualquer amortização. No caso da reforma parcial, o devedor/comprador liquida

certa percentagem do valor em dívida, havendo lugar à emissão de uma nova letra

correspondente à quantia remanescente.

Livranças – Conceito e Características

A livrança é um título de crédito negociável, através do qual o subscritor se compromete

a pagar ao beneficiário, ou à ordem deste, uma dada importância, numa data futura. As

livranças são utilizadas, na maioria dos casos, para titular financiamentos bancários de


45/72



_____________________________________________________________________Página 45 de 72


curto prazo, em que o beneficiário é uma instituição bancária, apesar de existirem

livranças em que ambos os intervenientes são particulares.

A livrança distingue-se da letra, na medida em que a primeira se trata de uma promessa

de pagamento, a segunda comporta uma ordem de pagamento. Por outro lado, a letra

surge na sequência de uma transacção comercial, sendo que a livrança se associa a

financiamentos directos.

Na livrança intervirão o subscritor ou emitente, quem emite o título e que pela sua

assinatura se obriga a pagar uma determinada importância no futuro e o beneficiário ou

tomador, aquele a quem ou à ordem de quem, o título é pagável.

Desconto de livranças

No desconto de livranças (também chamada de desconto por financiamento) são devidos

juros calculados de modo idêntido ao caso das letras, isto é, considerando os 2 dias

adicionais para pagamento. Porém, estando as livranças na posse do banco que realiza a

operação de financiamento, não são devidas as quantias referentes a comissões de

cobrança e portes. Mas, é cobrado o imposto de selo, que, como apontámos atrás resulta

da imposição legal (receita do Estado), incidindo assim, sobre o montante dos juros.

Assim sendo, no contexto do desconto por financiamento, os encargos cingem-se aos

juros, determinados em função do montante de crédito efectivamente concedido e ao

imposto de selo.

Existem 3 possibilidades no que concerne à concessão de crédito titulado por intermédio

de livranças, a saber:


46/72



_____________________________________________________________________Página 46 de 72


1. O valor nominal da livrança corresponde ao capital concedido, sendo os encargos

decorrentes da operação de desconto tratados autónoma e postecipadamente.

Aqui o valor nominal da livrança será o capital mutuado (C0), quantia que a instituição

bancária creditará na conta do subscritor da livrança na data da operação e que deverá ser

restituída até ao último dia de pagamento, juntamente com o montante dos encargos.

VN = C0

VL (valor a liquidar/pagar na data do vencimento)

VL = C0 + DD + IS

IS = DD*I, então, VL = VN + DD + DD*I = VN +DD (1+I)DD = C0*t*i

VL = VN + C0*t*i(1+I),

então VL = C0 [1+t*i(1+I)] ou VL = VN[1+t*i(1+I)]

2. O valor nominal da livrança inclui o montante de capital mutuado, bem como os

respectivos encargos.

Nesta opção, uma vez que o valor nominal da letra engloba os encargos inerentes à

operação de desconto, na data da emissão, a conta à ordem do subscritor será creditada

pelo capital mutuado (C0), devendo a mesma ser debitada, no vencimento, pelo valor

nominal da livrança.

VN = C0 + DD + IS

VN = C0 + DD + DD*I = C0 + DD (1+I)

VN = C0 + D*t*i (1+I) = C0 [1+t*i(1+I)] (aqui, o VN é diferente do C0)


47/72



_____________________________________________________________________Página 47 de 72


3. O valor nominal da livrança corresponde ao capital mutuado, sendo os juros

pagos antecipadamente pelo seu valor actual.

Aqui o valor nominal vai corresponder à quantia a liquidar no vencimento e o valor a

creditar na conta à ordem do subscritor na data de emissão será menor que o valor do

título e a diferença corresponderá aos encargos actualizados de acordo com a modalidade

do desconto por dentro.

VC (valor a creditar na conta do subscritor)

VC = VN – DD – IS sendo que IS = DD*I

VC = VN – (DD + IS) = VN – (DD + DD*I)VC = VN – DD(1+I),

Mas como os encargos são pagos antecipadamente, existe a necessidade de actualizar

esses encargos para o momento presente, nos moldes do desconto por dentro, ou seja:

VC = VN – )I1(r*t1

DD

Os encargos do desconto, são calculados, como dissemos atrás, através do montante

efectivamente emprestado. Neste caso, como os encargos são pagos antecipadamente, e

pese embora o montante que será creditado na conta do devedor seja menor, o valor do

empréstimo é o valor nominal (C0 = VN), pelo que os encargos incidirão sobre o valor

nominal da livrança. Assim, DD = VN*t*i

Pelo que, VC = VN – )I1(r*t1

i*t*VN

= VN

)I1(

r*t1

i*t1

VC = VN

)I1(

r*t1

i*t1 ou VC = C0

)I1(

r*t1

i*t1


48/72



_____________________________________________________________________Página 48 de 72


A reforma da livrança e o cálculo do valor nominal da nova livrança

Os procedimentos na reforma da livrança são os mesmos que vimos da reforma da letra.

Pode existir também a reforma total/integral ou a reforma parcial.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

- Equivalência Simples;

- Equivalência composta.

A relação entre o devedor e o credor em muitos casos não se resume a uma única dívida,

pode ser estendida a várias dívidas que o devedor tem para com o seu credor e pode haverinteresse em substituir essas dívidas por um pagamento único ou por vários pagamentos.

Tanto num como noutro, os capitais a substituir como os capitais substitutos deverão ser

financeiramente equivalentes.

Diz-se que dois ou mais capitai s são f inanceiramente equivalentes quando, para um

determinado momento (data f ocal), os seus valores actuais são iguais.

Para estabelecer a equivalência de capitais é necessário considerar dois passos:

1. Actualizar todos os capitais para um determinado momento, data focal, (para

facilitar, consideraremos o momento presente), o que pressupõe a existência de

um processo implícito de capitalização que vai decorrer entre o vencimento de

cada capital e o referido momento, pelo que é necessária a adopção de uma taxa

de juro, neste caso, designada de taxa de avaliação. A actualização pode efectuar-

se recorrendo ao regime de capitalização dito simples ou ao regime composto, dai

resulta a equivalência simples e composta.


49/72



_____________________________________________________________________Página 49 de 72


2. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualar aos valores actuais

dos capitais substitutos. No caso de substituição de vários capitais por um único

pagamento a esse pagamento único é designado por capital comum (CC) e o

vencimento desse capital designa-se por vencimento comum (t).

Equivalência Simples

Toma como base o regime dito simples e actualização dos capitais é feita nos moldes do

desconto por fora ou por dentro, daí desdobra-se em equivalência por fora e por dentro.

Equivalência por dentro

Neste caso toma-se a fórmula do valor actual por dentro para a actualização dos capitais.

Seja os capitais Cx e Cy vencíveis em tx e ty, para que esses capitais sejam equivalentes é

necessário que os seus valores actuais sejam iguais. Sabendo que o valor actual no

Desconto por Dentro é dado pela formula: Cn-t = r *t1 Cn

e considerando os passos

necessários para estabelecer a equivalência:

1º. Actualizar os capitais (para o momento presente, para facilitar):

Cα-tα =r *t1

C

; C β -t β =

r *t1

C

2º. Igualar os valores actuais:


50/72



_____________________________________________________________________Página 50 de 72


r *t1

C

r *t1

C

No caso de equivalência de vários capitais por um único capital (CC)

Sejam os capitais C1; C2;....; Cn, vencíveis em t1; t2;.....; tn. Para substituir esses capitais

por um capital único de vencimento único (t), teremos:

1º. Actualizar os capitais (para o momento presente):

C1-t1 =

r *t11

C1

; C2-t2 =

r *t21

C2

; Cn-tn =

r *tn1

Cn

VA =r *t1

(t)CC

2º. Adicionar os valores actuais a substituir e igualar ao valor actual do capital único:

r *t1

CC(t)

r *tn1

C

.......r *t21

C

r *t11

C n21

Se a incógnita for o vencimento comum é só resolver a equação em ordem a t.

1+ t*r =

r *t1

C

CC(t)

No caso de equivalência de vários capitais por vários capitais, o procedimento é o

mesmo, ou seja, é necessário actualizar tanto os capitais a substituir como os capitais

substitutos.


51/72



_____________________________________________________________________Página 51 de 72


r *t1

C

r *t1

C

Equivalência por fora

Neste caso, utiliza-se a fórmula de cálculo do valor actual no Desconto por FORA e os

procedimentos são os mesmos da equivalência por dentro.

Equivalência Composta

Os passos para estabelecer a equivalência são os mesmos, mas a actualização é feita com base no regime composto.

Sejam os capitais C1; C2; ....; Cn vencíveis em t1; t2; ...; tn. Para substituir esses capitais

por um capital único vencível no momento t (vencimento comum), teremos:

1º. Actualizar todos os capitais, incluindo o capital único:

C1-t1 = C1(1+r)-t1 , C2-t2 = C2(1+r)

-t2 , ....., Cn-tn = Cn(1+r)-tn

VA = CC(t) (1+r)-t

2º. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualá-los ao valor actual

da dívida única (capital único):

C1(1+r)-t1 + C2(1+r)

-t2 + ....+ Cn(1+r)-tn = CC(t) (1+r)-t

Se a incógnita for capital comum é só resolver a equação em ordem a CC(t):


52/72



_____________________________________________________________________Página 52 de 72


CC(t) = (1+r)t tk -

1k

k r)1(C

n

E se a incógnita for o vencimento comum, é só resolver a nossa equação em ordem a t.

EXEMPLO: Uma empresa tem a pagar uma divida composta por 4 títulos de crédito de

MT 15.000,00; MT 27.500,00; MT 15.000,00 e MT 20.000,00, com vencimentos a 6, 18,

15 e 24 meses, respectivamente, as quais incluem juros calculados a uma taxa de juro

anual efectiva de 10%.

Determine:

a) O vencimento médio;

b) O vencimento comum, considerando um pagamento único de MT 80,000;

c) O pagamento único que teria de fazer de imediato, para liquidar aquelas

dividas.

RESOLUÇÃO:

a) Para calcularmos o vencimento, primeiro temos que calcular o capital comum,

que será a soma das 4 dívidas (=15.000+27.500+15.000+20.000= 77.500)

15.000(1+10%)-6/12+27.500(1+10%)-18/12 +15.000(1+10%)-15/12 +2.000(1+10%)-24/12 =

(15.000+27.500+15.000+20.000) (1+10%)-t

67.982,7 = 77.500 (1,1)-t

t = 1,37 anos


53/72



_____________________________________________________________________Página 53 de 72


b)

67.982,7 = 80.000 (1,1)-t

t = 1,74 anosc)

CC(0) (1,1)0= 67.982,7 → CC(0) = 67.982,7

RENDAS

No capítulo anterior estudamos como se calcula o capital comum e o vencimento comum,

em equivalência de capitais, a um dado conjunto de capitais com diversos vencimentos.

Agora iremos tratar de um caso especial de equivalência de capitais composta,

particularizado pela periodicidade dos vencimentos, de acordo com a seguinte

definição:

Definição: renda é uma sucessão de capitais vencíveis periodicamente (ou seja, de

capitais com vencimentos de igual periodicidade).

Algumas definições importantes:

- Período de diferimento ou de carência: é o período que vai desde o momento

zero até ao início do primeiro termo da renda (desde o momento zero até ao

momento da constituição da renda). Pode ser total (de capital e juros) ou apenas

de capital. Quando a carência é total, não há pagamento nem da parcela dos juros

nem do capital e quando é apenas de capital, há pagamento de juros. - Valor duma renda: é o valor comum de uma sucessão de capitais.


54/72



_____________________________________________________________________Página 54 de 72


Classificação das rendas

a) Quanto ao número de termos: temos as rendas finitas ou temporárias quando

sabemos o número de termos da renda e rendas infinitas ou perpétuas quando não

sabemos o número de termos da renda (termos ilimitados);

b) Quanto ao momento da constituição da renda: temos rendas imediatas quando

o diferimento é igual a zero (ou seja, o momento da constituição da renda

coincide com o momento zero) e rendas diferidas quando o diferimento é maior

que zero (quando o momento da constituição da renda é posterior ao momento

zero).

c)

Quanto ao vencimento dos termos: temos rendas posticipadas ou normaisquando o vencimento dos termos da renda ocorre no final do período em que

dizem respeito e rendas antecipadas quando o vencimento dos termos ocorre no

início do período em que dizem respeito.

d) Quanto a periodicidade dos termos: temos rendas anuais, semestrais,

quadrimestrais, etc.

e) Quanto ao objectivo da sua constituição: temos rendas de amortização que são

aquelas que têm por objectivo a amortização de um capital concedido no

momento zero (t=0). Os seus termos são constituídos por duas parcelas, uma para

o reembolso do capital e outra para fazer o serviço da divida (o juro); temos

também as rendas de acumulação, que tem em vista a constituição de um

montante acumulado no momento de vencimento (t=w+n), os seus termos são

calculados de modo a que acrescidos dos respectivos juros resultem no montante

desejado no vencimento.

Valor de uma renda de termos quaisquer

Calcular o valor duma renda num momento t qualquer, não é mais do que calcular o

capital comum desse conjunto de capitais. Sabendo que o capital comum no momento t é


55/72



_____________________________________________________________________Página 55 de 72


dado por CC(t) = (1+r)t k -

1

k r)1(C

n

k

e representando por R(t), o valor da renda no

momento t será:

R(t) = CC(t) = (1+r)t k -

1k

k r)1(C

n

,

onde k é o vencimento de cada capital, que no caso das rendas é precedido ou inclui a

parte do diferimento (w) e considerando as rendas posticipadas ou de termos normais, em

que o primeiro termo vence no final do primeiro período após o diferimento (w+1) e o

segundo termo dois períodos após o diferimento (w+2) e assim em diante, podemos

constituir tk por w+k, onde w representa o diferimento e k o vencimento do termos apóso diferimento, variando de 1 ate n, no caso de rendas temporárias ou finitas.

Assim teremos:

R(t) = (1+r)t [C1(1+r)-w-1 + C2(1+r)

-w-2 + ....+ Cn(1+r)-w-n]

= (1+r)t {(1+r)-w[C1(1+r)-t1 + C2(1+r)

-t2 + ...+ Cn(1+r)-tn]}

= (1+ r)t-w k -n

1k

k r)1(C

Caso de rendas antecipadas

As rendas antecipadas são aquelas cujos termos vencem no início do respectivo período.

Se considerarmos a existência de um período antes de w (ou seja, antes do momento da

constituição da renda) a nossa renda antecipada passa a ser posticipada mas com um

diferimento de w-1, ou seja, R(t)AntW = R(t)PostW-1.

Sabendo que o valor no momento t de uma renda posticipada é dada por:


56/72

UUEEMM ––

apontamentos de mat financeira - 2016.pdf

Documents