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Aplicações da Integral... – Nunes & Goldfarb
Revista Diálogos – set. / out. – 2018 – N.º 20 91
APLICAÇÕES DA INTEGRAL: UMA ABORDAGEM SOBRE A
TROMBETA DE TORRICELLI
José Edvaldo de Oliveira Nunes1
Maurício Costa Goldfarb2
d.o.i. 10.13115/2236-1499v2n20p91
RESUMO
Neste trabalho, apresentamos discussões a respeito do ensino de cálculo
diferencial e integral (CDI), com foco nas aplicações da integral e na
apresentação da trombeta de Torricelli. Para tanto, fazemos um
levantamento da bibliografia sobre cálculo disponível na biblioteca da
Universidade de Pernambuco / UPE Garanhuns, a luz da análise de
conteúdo proposta por Bardin (2009). Buscamos, através dos conteúdos
do cálculo diferencial e integral, investigar uma maneira de
apresentação do problema da trombeta, que consiste em uma região de
área infinita que submetida a uma rotação em torno de um eixo, gera
um sólido de volume finito e área superficial infinita. Este tema é de
fundamental importância para o estudo das aplicações da integral e uma
melhor forma de apresentação nos livros textos poderia atuar, também,
como tópico norteador para o estudo dos sólidos de revolução e
consequentemente das integrais impróprias.
Palavras chave: Ensino de Cálculo. Sólidos de Revolução. Integrais.
Trombeta de Torricelli.
ABSTRACT
In this work, we present discussions about the teaching of differential
and integral calculus (CDI), focusing on the applications of the integral
1Universidade de Pernambuco (UPE) - Campus Garanhuns, E-mail:
[email protected] 2Prof. Dr. da Universidade de Pernambuco (UPE) - Campus Garanhuns, E-mail:
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and the presentation of the Torricelli trumpet. To do so, we make a
survey of the bibliography on calculation available in the library of the
University of Pernambuco / UPE Garanhuns, in light of the content
analysis proposed by Bardin (2009). We seek, through the contents of
differential and integral calculus, to investigate a way of presenting the
problem of the trumpet, which consists of a region of infinite area that
undergoes a rotation about an axis, generates a finite volume solid and
infinite surface area . This subject is of fundamental importance for the
study of the applications of integral and a better form of presentation in
textbooks could also act as a guiding topic for the study of solids of
revolution and consequently of improper integrals.
Keywords: Teaching Calculus. Revolution Solids. Integrals. Torricelli's
trumpet.
INTRODUÇÃO
Apresentamos o resultado final de um projeto de iniciação
científica e trazemos uma discussão sobre o ensino de cálculo
diferencial e integral, com ênfase nos estudos das aplicações da integral,
especificamente na trombeta de Torricelli.
Sobre o ensino de cálculo, autores como Wrobel et al (2013) e
Rafael e Escher (2015), preocupam-se com os elevados índices de
reprovação e obviamente com os enormes prejuízos associados. Nesse
mesmo sentido, Rezende (2003), tratando também sobre a questão do
ensino de cálculo, observa como fator limitante do aprendizado, a
omissão das ideias básicas e dos problemas construtores no ensino dos
conteúdos.
Assim, entende-se como ideias importantes e necessárias, as
curiosidades sobre a incongruência da trombeta que podem atuar como
motivação para construir conceitos no estudo das integrais. Além disso,
é importante ressaltar, que o estudo dos sólidos de revolução é
imprescindível para compreender a incongruência que estamos
investigando.
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Desse modo, mostramos nossas investigações sobre este tema,
curiosidades, formas de apresentação nos livros textos a fim de utilizar
este tema como recurso para lidar com as aplicações da integral.
REFERENCIAL TEÓRICO
A preocupação com o ensino do Cálculo diferencial e integral é
evidente nos trabalhos de diversos autores, que investigam e discutem
os motivos dos índices de reprovação da disciplina e os fatores
associados. Segundo Rezende (2003, p.1):
Muito se fala, muito se tem dito no meio acadêmico, a
respeito do ‘fracasso no ensino de cálculo’. Creio, no
entanto, que se investigarmos a origem histórica de tal
‘fracasso’, verificamos que este tem início desde o
momento em que se começa a ensinar cálculo.
Em conformidade a isto, alguns pesquisadores estudam este
problema associando a alguns fatores. De acordo com Gomes (2012
apud WROBEL, 2013, p.2).
O curso, cálculo 1 passa a ser o primeiro contato, para o
aluno, com uma Matemática “diferente” daquela que
trabalhava no Ensino Médio. Somada às novidades do ser
universitário, muitas vezes, a imaturidade e as algumas
deficiências trazidas do processo educacional anterior, a
reprovação e evasão no primeiro período dos cursos de
engenharia não é novidade.
Tratando sobre os sólidos de revolução, para Stewart (2001),
temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos
torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata, para
isso utilizamos o método das seções transversais e o método das cascas
cilíndricas.
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Com a definição de integral definida
podemos
trabalhar com uma função definida em um intervalo limitado [a, b] e
supomos que f não tem descontinuidade infinita. Ou seja, há uma
aplicação direta da integral definida para o cálculo de volume.
Para Neto et al (2012) há, no entanto, certas regiões que fogem a
esse padrão, como é o caso da região sobre o gráfico da função f(x) =
1/x com x [1, , mas mesmo assim é possível calcular uma área e
as integrais impróprias servem para lidar com este tipo de situação, e
podemos investigar se são divergentes ou convergentes.
Sobre intervalos com descontinuidade infinita, em 1641
Torricelli notou que uma área infinita, se submetida a uma rotação em
torno de um eixo de seu plano, pode às vezes fornecer um sólido de
revolução de volume finito. Uma superfície que apresenta as
propriedades estudadas por Torricelli é a Trombeta de Torricelli, ou
Gabriel, como também é conhecida. Esse nome se dá ao fato de
Torricelli ser católico e associar o nome da trombeta ao anjo da
anunciação, o anjo Gabriel.
Segundo Neto (2012) a incongruência está destacada no seguinte
fato: a trombeta pode ser preenchida com um pouco mais de 3 unidades
cúbicas de tinta, mas, mesmo que use toda a tinta do universo, não pode
ser pintada.
Outra explicação diz que, a incongruência da Trombeta de
Gabriel consiste no fato de, ao se analisar a área e o volume dessa
trombeta de comprimento infinita, temos que a área de sua superfície é
infinita, enquanto seu volume é finito (SILVA, 2016, p. 73).
Ambas ideias nos remetem a mesma conclusão. Assim, essa
pesquisa buscou estudar questões de área e volume por meio de
integrais impróprias e sólidos de revolução a fim de investigar
estratégias de apresentação do paradoxo supracitado.
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MATERIAIS E MÉTODOS
A metodologia desta pesquisa teve início com o estudo dos
conteúdos básicos da disciplina de cálculo diferencial e integral (CDI).
Estes conteúdos atuaram como norteadores para o desenvolvimento do
trabalho, visto que, são imprescindíveis para o cálculo de áreas e
volumes de sólidos de revolução. Além disso, foi verificada a literatura
que trata sobre o ensino de cálculo nas universidades brasileiras, como
também, a análise dos livros textos utilizados para esta disciplina na
universidade de Pernambuco/ Campus Garanhuns.
Integral definida
Definição de integral definida (STEWART, 2011, p.345) : Se f
é uma função contínua definida em dividimos o intervalo
em subintervalos de comprimento iguais .
Sejam as extremidades desses
subintervalos, escolhemos os pontos amostrais
nesses
subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo [ .
Então a integral definida de f de a a b é
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável
em [a , b].
O significado exato do limite diz que para todo número
existe um intervalo N tal que
para todo inteiro n e toda escolha de em [
Volumes de sólidos de revolução
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Seja f: [a, b] → ℝ uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, para
todo x [a, b].
Consideremos o sólido de revolução obtido pela rotação da
região limitada pelo eixo OX e pelo gráfico de f, em torno do eixo OX
(Neto, 2012).
De acordo com Stewart (2001) a definição se dá da seguinte
forma: Seja S um sólido que está entre x= a e x=b. Se a área da secção
transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x,
é A(x), onde A é a função contínua, então o volume de S é:
Quando usamos a fórmula do volume
é
importante lembrar que A(x) é a área de uma secção transversal móvel,
obtida fatiando em x (figura 1) , perpendicularmente ao eixo x.
Figura 1 - 'Fatiando' o sólido S
Integrais impróprias
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Na definição de integral definida
, consideramos a
função f contínua num intervalo fechado e limitado. Contudo há
funções definidas em intervalos do tipo [a, + ), (− , b] ou (− , + ),
ou seja, para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ℝ, respectivamente.
(a) Se
existe para cada número t a, então:
Desde que o limite exista (como um número finito).
(b) Se
existe para cada número t b, então:
Desde que o limite exista (como um número finito). As integrais
impróprias
São chamadas convergentes se os limites correspondentes existem e
divergente se os limites não existem.
(c) Se ambas
e
são convergentes, então
definimos:
Na parte (c), qualquer número real a pode ser usado.
Neste trabalho, estudamos as definições de convergência e
divergência nas integrais impróprias de intervalos infinitos
especialmente para investigação do problema da Trombeta de Torricelli,
exemplo clássico no ensino dos Sólidos de Revolução.
A Trombeta de Torricelli
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Como citado por Silva (2016) o nome Trombeta de Gabriel é
uma referência à bíblia, livro sagrado dos cristãos, onde o Anjo Gabriel
é considerado o mensageiro de Deus e supostamente um dos anjos a
tocar uma das trombetas que anuncia eventos apocalípticos, ou seja, o
dia do juízo final. Associando assim o divino, ou infinito, com o finito.
Tomando a região R={(x, y)| x 1, 0 y 1/x} (figura 2) e
girando em torno do eixo OX, obtemos a Trombeta de Torricelli (figura
3).
Figura 2- Região R={(x, y)| x 1, 0 y 1/x}
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Figura 3 - Trombeta de Torricelli
Por definição, a área da região R pode ser calculada por:
A integral imprópria
é divergente, logo esta área é
infinita. O volume e a área da superfície da Trombeta são calculados
respectivamente por:
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Cálculo da área da região R={(x, y)| x 1, 0 y
}
=
= O limite não existe como um número finito e, assim, a integral
imprópria
é divergente.
Cálculo do volume da Trombeta
Vamos calcular o volume da região limitada pela trombeta. Para
isso, usaremos a fórmula do volume, mas com a integral imprópria, para
incluir toda a trombeta (NETO, 2012, p.14).
=
Como a integral imprópria converge, dizemos que a trombeta,
apesar de comprimento infinito, tem unidades cúbicas de volume.
Usando a mesma abordagem, vamos calcular a área da
superfície que a recobre.
Cálculo da área da superfície que a recobre a trombeta
=
.
Mas,
. Como
diverge, pelo
teste do limite do quociente, a integral imprópria
diverge.
Ou seja, a área que recobre a trombeta também é infinita.
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Análise dos Livros
Para análise dos livros utilizamos a análise de conteúdo proposta
por Bardin (2009), que se organiza em torno de três fases: a pré-análise;
a exploração do material e o tratamento dos resultados, a inferência e a
interpretação.
A pré-análise é a fase de organização, e sistematização das
ideias iniciais e que geralmente é dividida em três partes. Segundo
Bardin (2009, p.95), esta fase possui três características: “a escolha dos
documentos a serem submetidos à análise, a formulação de hipóteses e
dos objetivos e a elaboração de indicadores que fundamentam a
interpretação final”. Esses fatores, não precisam estar em ordem
cronológica, embora mantenha forte ligação a escolha do material
depende dos objetivos, ou, inversamente, os objetivos dependam da
escolha do material.
A exploração do material compreende a execução do trabalho
propriamente dito, nesse caso, a leitura dos livros escolhidos e
elaboração de um resumo sobre os indicadores para cada livro texto
analisado. Finalmente, na interpretação dos resultados, a busca de um
comportamento padrão que confirme ou afaste as hipóteses
anteriormente concebidas sobre a forma de apresentação do problema
da Trombeta de Torricelli.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
A preocupação com o ensino do Cálculo diferencial e integral é
evidente nos trabalhos de diversos autores, que investigam e discutem
os motivos dos índices de reprovação na disciplina e os fatores
associados.
Ao analisar os livros textos, notamos que o problema da
Trombeta de Torricelli é apresentado, porém, não existe referência ao
nome de Torricelli.
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A melhor abordagem é no livro cujo autor é Stewart (2011)
(Figura 4).
Figura 4: Capa do livro de cálculo
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Nesste livro, no capítulo 7, onde trata de técnicas de integração,
o problema da trombeta é tratado como um exemplo resolvido (Figura
5). Figura 5: Exemplo encontrado no livro texto cujo autor é Stewart (2011)
É importante notar que, este exemplo não é citado como
“Trombeta de Torricelli”. O livro trata dele como um recurso para
compreensão do conteúdo de integrais impróprias.
Neste mesmo capítulo, na seção de exercícios, o problema
aparece novamente (figura 6) , contudo, é pedido para demonstrar que a
rotação da região em torno do eixo x
gera um sólido com volume finito.
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Figura 6: Questão que aborda o tema estudado
A integral estudada tem o seguinte formato:
Nesse sentido, o livro traz em um exemplo resolvido (figura 7), uma
generalização, onde determina para quais valores de p a integral
é
convergente.
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Figura 7: Exemplo do livro texto
Assim, fica fácil notar o motivo pelo qual a região R={(x, y)|
x 1, 0 y 1/x} é infinita. Pois, na integral
, temos que p
A obra de Munem (1982) também apresenta essa generalização.
Já na de Leithoald (1994) não notamos nenhuma abordagem.
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Como resultado, notamos também, por meio do trabalho de
Silva (2016) uma forma de explicar o problema da Trombeta de
Torricelli.
Considera-se inicialmente uma massa de modelar
incompressível (figura 8) (cujo volume, quando submetido à pressão,
não diminui) perfeitamente cilíndrica de raio r e comprimento l, por se
tratar de um cilindro circular reto, seu volume V e sua superfície lateral
A são e (SILVA, 2016, p.75)
Figura 8: Massa de modelar de raio r e comprimento l
Se rolarmos a massa de modelar no chão fazendo com que seu
raio se reduza a metade, ou seja,
Como não houve perda de material, temos que e o novo
comprimento é . Vejamos:
. Como , então
e daí,
Logo, a superfície lateral é dada por:
Observe que a área dobrou, enquanto o volume se manteve
constante.
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Se a massa continuar sendo rolada no chão, a medida que o raio
da base da massa é reduzido o volume permanece constante, porém a
área da sua superfície lateral aumenta cada vez mais, ou seja, tende ao
infinito.
Se fizermos com que seu raio se reduza n vezes, ou seja,
, como o volume se mantém constante, o novo comprimento da
massa de modelar será . Vejamos:
. Como , então
e daí,
Assim, a área da superfície lateral da massa de modelar nessa
situação será:
Se fizermos com que raio seja tão pequeno quanto quisermos, ou
seja, tomamos um n suficientemente grande, teremos que a área
superficial será consideravelmente grande, ou seja,
Este exemplo ajuda a entender a incongruência da Trombeta,
pois notamos que por menor que seja o raio, seu volume permanece
constante. É importante notar, que a incongruência da trombeta,
também é conhecida como paradoxo do pintor, pelo fato se ser possível
preenchê-la com tinta, mas, mesmo usando toda a tinta do universo, não
conseguir pintá-la.
No mais, com essa pesquisa, foi possível investigar as
possibilidades de apresentação da incongruência da trombeta nos livros
textos, como também estudar maneiras de apresentação em sala de aula.
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Nos livros, este problema não é tratado como paradoxo e não se
dá muita atenção a ele, talvez, uma melhor abordagem, despertaria o
interesse dos estudantes para os conteúdos visto nos cursos de cálculo
diferencia e integral.
CONCLUSÃO
O cálculo diferencial e integral é uma disciplina presente nos
diversos cursos de ciências exatas podendo ser aplicado na resolução de
vários problemas. No cálculo de volumes, podemos aplicar o conceito,
definições e teoremas sobre as integrais. Ao investigarmos a
incongruência da trombeta de Torricelli, não é diferente. Este tema é
importante para despertar a curiosidade dos estudantes além de
possibilitar diversas pesquisas na área. Por outro lado, notamos a
escassez deste tópico nos livros textos da universidade de
Pernambuco/UPE Garanhuns para esta disciplina.
Nessa perspectiva, deixamos uma contribuição para o ensino de
cálculo diferencial e integral (CDI) ao tempo que tratamos de um
paradoxo importante e curioso que fala do finito e infinito. As
abordagens destacadas aqui, podem ser apresentadas como tema de
pesquisa para a aprendizagem dos sólidos de revolução, como também
das integrais e suas aplicações.
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