Aplicações dos Postulados da Mecânica Quântica Para SimplesCasos: Sistema de Spin 1/2 e de Dois Níveis

Bruno Felipe Venancio

28 de abril de 2014

1 Partícula de Spin 1/2: Quantização do Momento Angular

1.1 A Experiência de Stern-Gerlach e o Spin do Elétron

A medida dos possíveis valores da componentes do memento angular dos elétrons de um átomofoi realizada pela primeira vez em 1922 por O. Stern e W. Gerlach. Em seu experimento Sterne Gerlach exploraram a dinâmica do momento magnético formado por átomos de prata napresença de um campo magnético externo não uniforme.

Na Fig. (1) temos a descrição do aparato experimental, onde e, E é um forno em altatemperatura que emite um feixe de átomo de prata, F é um colimador, em A temos um magnetoque gera o campo externo não uniforme e em P temos a placa onde serão depositado os átomoapós passarem pelo interior do campo.

Figura 1: Aparato experimental da experiência de Stern-Gerlach.

Quando um dipolo magnético está sujeito a um campo magnético externo não uniforme seuspolos ficam sujeitos a forças intensidade distintas, Fig. (2). Assim, a força resultante sobre oátomo faz ele se deslocar deslocar na direção z no interior do campo magnético.

A energia potencial associada a um corpúsculo com momento de dipolo magnético ~µ imersoem um campo magnético ~B é dada por

U = ~µ. ~B. (1)

1

Figura 2: Comportamento de um dipolo magnético na presença de um campo magnético nãouniforme.

Assim a força resultante sobre o corpúsculo pode ser obtida através de

~F = −∇U = ∇(~µ. ~B). (2)

Na região central do ímã podemos escrever:

Fz = ∂

∂z(~µ. ~B) = µz

∂Bz∂z

. (3)

Para determinar o momento de dipolo magnético do átomo, vamos primeiro considerar ummodelo clássico de um átomo de Bohr de um elétron de carga −e e massa m em uma órbitacircular de raio r, movendo-se com velocidade v, Fig. (3).

Figura 3: Esquema de um átomo de Bohr em uma órbida circular.

O elétron em movimento circular gera uma corrente elétrica de módulo I dada por

I = e

T= ev

2πr (4)

2

onde T é o período da órbita e v = 2πr/T . Do eletromagnetismo sabemos que uma correntecircular gera um campo magnético que a grande distâncias equivale a um campo magnéticogerado por um dipolo magnético, ~µ, localizado no centro da órbita, como na Fig. (3).

Se a órbita circular tem área A = πr2, então, o módulo do dipolo magnético será dado por

µ = IA = Iπr2. (5)

O momento angular do sistema é dado por~L = ~r × ~p = m (~r × ~v) . (6)

Uma vez que ~r e ~v são perpendiculares entre si, a direção de ~L é dada na Fig. (3). Observe quedevido a carga negativa do elétron, seu momento de dipolo magnético e seu momento angularsão antiparalelos, portanto

~µ = −k~L (7)onde k é uma constante de proporcionalidade.

O módulo do momento angular é dado por

L = mrv (8)

combinando as Eqs. (4) e (5), temosv = 2µ

er. (9)

Portanto µ = (e/2m)L, ou seja,~µ = − e

2m~L. (10)

No experimento de Stern-Gerlach foram utilizados átomos de prata, pois sua configuraçãoeletrônica é dada por

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10 5s1.

Uma vez que o momento angular total dos orbitais internos,

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10,

é zero, o átomo de prata pode ser aproximado para um átomo de um elétron, logo

Fz ≈∂

∂z(~µ. ~B) = µz

∂Bz∂z

. (11)

Como µz = − e2mL cos θ, então

Fz ≈ −e

2mL cos θ∂Bz∂z

. (12)

Assim, segundo a teoria clássica, deveríamos observar uma mancha contínua na placa fotográfica,mas isso não ocorre, veja a Fig. (4).

Esses resultados indicam que deve haver algum momento magnético no átomo que não foiconsiderado. Se, como proposto por Bohr e Sommerfeld, o elétron possui um momento angularintrínseco ~S, denominado de Spin, seu momento angular total será:

~J = ~L+ ~S, (13)

com~µs = − ge

2m~S, (14)

onde g é o fator giromagnético, e no caso de elétrons g = 1.Hoje, sabe-se que, a medida da componente Sz do momento angular intrínseco do elétron

resulta em dois valores discretos, ±~2 ; que o spin do elétron é uma propriedade puramente quân-

tica que não tem nenhum análogo clássico, e é previsto à partir de um tratamento relativísticoda teoria quântica de Schrödinger; e não podemos medir simultaneamente as três componentesde ~S, (Sx, Sy e Sz), pois elas estão associados a operadores que não comutam entre si.

3

(a) (b)

Figura 4: (a) Esquema dos resultados esperador e obtidos da experiência de Stern-Gerlach. (b)Postal enviado por Walther Gerlach a Niels Bohr em 8 de fevereiro de 1922, que mostra uma fotoonde aparece a prata depositada na placa de vidro, após uma revelação (fotográfica), para oscasos sem campo (esquerda) e com campo magnético (direita). Gerlach escreve: “Anexo [está]a prova experimental da quantização direcional. Nós felicitamos [você] pela confirmação de suateoria”.

2 Descrição Teórica do Spin

2.1 O Observável Sz

A componente µz do momento magnético intrínseco do elétron associamos um observável Sz,tal que

Sz|±〉 = ±~2 |±〉. (15)

com1̂ =

∑σ=±|σ〉〈σ|, (16)

〈σ|σ′〉 = δσσ′ . (17)

O estado mais geral do elétron associado a seu Spin pode é dado por

|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉, (18)

com|α|2 + |β|2 = 1 (19)

Na base {|+〉, |−〉} Sz é representado por

Sz = ~2

(1 00 −1

). (20)

2.2 Outros observáveis: Sx e Sy

Na base dos autovetores de Sz, {|+〉, |−〉} Sx e Sy, são representados por

Sx = ~2

(0 11 0

), Sy = ~

2

(0 −ii 0

). (21)

4

Vamos agora determinar os autovalores e autovetores dos observáveis Sx e Sy. Para Sxobtemos a seguinte equação característica

det(Sx − λ1̂) = 0, (22)

ondeSx − λ1̂ =

(−λ ~

2~2 λ

). (23)

Assim temos ∣∣∣∣∣ −λ ~2

~2 λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − ~2

4 = 0 ⇒ λ = ±~2 . (24)

Para achar o autovalor associado ao autovetor λ = +~2 , basta substituir o valor de λ na Eq.

(23), e atuar sobre um vetor genérico dado na base de autovetores de Sz, e impor que o resultadoseja zero. Assim temos

Sx − (+~/2)1̂|ψ〉 = 0~2

(−1 11 −1

)(αβ

)=(

00

).

Da equação acima obtemos o seguinte sistema{−α+ β = 0α− β = 0 (25)

cujo uma solução, que satisfaz a condição de normalização |α|2 + |β|2 = 1 é dada por α = β =1/√

2. O mesmo deve ser feito para o autovalor λ = −~/2, neste caso obtemos α = −β = 1/√

2.Logo os autovetores associado ao autovalores do observável Sx, na base de autovetores de Sz sãodados por.

|±〉x = 1√2

(|+〉 ± |−〉) . (26)

Para achar os autovalores e autovetores do observável Sy, devemos proceder da mesma forma,assim pode se mostra que λ = ±~/2 e

|±〉y = 1√2

(|+〉 ± i|−〉) . (27)

2.3 Caso Geral: S~u

Um observável genérico dado na direção do vetor ~u, Fig. (5), S~u é dado por

S~u = ~S.~u = Sx sin θ cosϕ+ Sy sin θ sinϕ+ Sz cos θ. (28)

Matricialmente temosS~u = ~

2

(cos θ sin θe−iϕ

sin θeiϕ cos θ

). (29)

Seus autovalores são λ = ±~/2 e seus autovetores

|+〉~u = cos(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ sin(θ/2)eiϕ/2|−〉 (30)

|−〉~u = − sin(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ cos(θ/2)eiϕ/2|−〉. (31)

5

Figura 5: Representação do vetor ~u em coordenadas cartesianas e esféricas.

3 Aplicação dos Postulados no Caso de um Spin 1/2Vamos agora aplicar os postulados da mecânica quântica a um sistema de spin 1/2, para prepararo sistema em estados conhecidos e para realizar medidas das componentes do observável ~S.

3.1 Preparando o Estado do Sistema

Para realizar experiencias com o aparato de Stern-Gerlach, precisamos preparar o estado inicialdo sistema. Podemos fazer isso adicionando magnetos no aparato original, pois eles funcionamcomo “filtros” dos estados associados as componentes do observável ~S, veja a Fig. (6). Antesde passar pelos magnetos temos uma mistura de átomo nos mais variados estados associados ascomponentes de ~S. Após passar pelos magnetos os átomos vão para estados bem definidos. Issoé decorrente do postulado da medida, pois ao passarem pelos magnetos os átomos sofrem umprocesso de medida de uma componente do observável ~S. Assim, imediatamente após a medidao estado do sistema deve ser um auto estado do observável medido.

3.2 Realizando Medidas de Spin

Vamos discutir a realização de dois experimentos simples, descritos na Fig. (7). O primeiroconsiste em passar o feixe de átomo de prata por dois magnetos na direção z, e o segundoconsiste em passar por um magneto na direção ~u(θ, ϕ = 0) e depois por um na direção z.

Observa-se que no primeiro caso, temos 100% de probabilidade de encontrar o sistema noautovalor |+〉, e no segundo temos cos2 θ/2 para o estado |+〉 e sin2 θ/2 para o estado |−〉. Alémdisso é fácil verificar que o valor médio de Sz para cada experiência é dado por:

• 1o experimento:〈Sz〉 = 〈+|Sz|+〉 = 〈+|+〉~2 = ~

2 ; (32)

• 2o experimento: lembrando que para ϕ = 0, |+〉~u = cos(θ/2)|+〉+ sin(θ/2)|−〉,

6

Figura 6: Aparato experimental para prepara o sistema em estado bem definidos.

Figura 7: Experiencias derivadas do experimento de Stern-Gerlach.

〈Sz〉 =~u 〈+|Sz|+〉~u〈Sz〉 = (cos(θ/2)〈+|+ sin(θ/2)〈−|)Sz (cos(θ/2)|+〉+ sin(θ/2)|−〉)

〈Sz〉 = cos2(θ/2)〈+|Sz|+〉+ sin2(θ/2)〈−|Sz|−〉+ cos(θ/2) sin(θ/2)

〈+|Sz|−〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 |+〉−=0

+ 〈−|Sz|+〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 |−〉+=0

〈Sz〉 = ~

2(cos2(θ/2)〈+|+〉 − sin2(θ/2)〈−|−〉

)〈Sz〉 = ~

2

cos2(θ/2)− sin2(θ/2)︸ ︷︷ ︸=cos θ

〈Sz〉 = ~

2 cos θ. (33)

7

3.3 Valor Médio Si, i = z, x, y

O estado mais geral para representar o sistema é dado por

|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉,

com|α|2 + |β|2 = 1.

Pode-se mostrar, que a menos de um fator de fase global, se

cos θ/2 = |α|, e sin θ/2 = |β|,

temos

|ψ〉 = |+〉~u = e−iξ/2(cos(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ sin(θ/2)eiϕ/2|−〉

). (34)

Para Sz temos

〈Sz〉 =~u 〈+|Sz|+〉~u〈Sz〉 =

(cos(θ/2)eiϕ/2〈+|+ sin(θ/2)e−iϕ/2〈−|

)Sz

(e−iϕ/2 cos(θ/2)|+〉+ sin eiϕ/2(θ/2)|−〉

)

〈Sz〉 = cos2(θ/2)〈+|Sz|+〉+ sin2(θ/2)〈−|Sz|−〉+ cos(θ/2) sin(θ/2)

eiϕ 〈+|Sz|−〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 |+〉−=0

+e−iϕ 〈−|Sz|+〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 |−〉+=0

〈Sz〉 = ~

2(cos2(θ/2)〈+|+〉 − sin2(θ/2)〈−|−〉

)〈Sz〉 = ~

2

cos2(θ/2)− sin2(θ/2)︸ ︷︷ ︸=cos θ

〈Sz〉 = ~

2 cos θ. (35)

Para calcular o valor médio de Sx e Sy em um estado genérico, precisamos saber qual é oresultado da ação dos operadores Sx e Sy nos autovetores de Sz. Assim temos para Sx

Sx|±〉 = Sx1̂x|±〉Sx|±〉 = Sx [〈+|x|+〉x + 〈+|x|+〉x] |±〉

Sx|±〉 = ~2

[12 (|+〉+ |−〉) (〈+|+ 〈−|)− 1

2 (|+〉 − |−〉) (〈+|+ 〈−|)]|±〉

Sx|±〉 = ~2 [|+〉〈−|+ |−〉〈+|] |±〉

Sx|±〉 = ~2 [|+〉〈−|±〉+ |−〉〈+|±〉]

Sx|±〉 = ~2 |∓〉. (36)

Da mesma maneira, podemos calcular para Sy e obter o seguinte resultado

Sy|±〉 = ± i~2 |∓〉. (37)

Logo, para Sx temos

8

〈Sx〉 =~u 〈+|Sx|+〉~u〈Sx〉 =

(cos(θ/2)eiϕ/2〈+|+ sin(θ/2)e−iϕ/2〈−|

)Sx

(e−iϕ/2 cos(θ/2)|+〉+ sin eiϕ/2(θ/2)|−〉

)

〈Sx〉 = cos2(θ/2) 〈+|Sx|+〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 〈+|−〉=0

+ sin2(θ/2) 〈−|Sx|−〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 〈−|+〉=0

+ cos(θ/2) sin(θ/2)

eiϕ 〈+|Sx|−〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 〈+|+〉

+e−iϕ 〈−|Sx|+〉︸ ︷︷ ︸= ~

2 〈−|−〉

〈Sx〉 = ~

2 cos(θ/2) cos(θ/2)︸ ︷︷ ︸= 1

2 sin θ

eiϕ + e−iϕ︸ ︷︷ ︸2 cosϕ

〈Sx〉 = sin θ sinϕ. (38)

O mesmo pode ser feito para Sy,

〈Sy〉 =~u 〈+|Sy|+〉~u〈Sy〉 =

(cos(θ/2)eiϕ/2〈+|+ sin(θ/2)e−iϕ/2〈−|

)Sy

(e−iϕ/2 cos(θ/2)|+〉+ sin eiϕ/2(θ/2)|−〉

)

〈Sy〉 = cos2(θ/2) 〈+|Sy|+〉︸ ︷︷ ︸= i~

2 〈+|−〉=0

+ sin2(θ/2) 〈−|Sy|−〉︸ ︷︷ ︸=− i~

2 〈−|+〉=0

+ cos(θ/2) sin(θ/2)

eiϕ 〈+|Sy|−〉︸ ︷︷ ︸= i~

2 〈+|+〉

+e−iϕ 〈−|Sy|+〉︸ ︷︷ ︸=− i~

2 〈−|−〉

〈Sy〉 = ~

2 cos(θ/2) cos(θ/2)︸ ︷︷ ︸= 1

2 sin θ

−i (eiϕ + e−iϕ)︸ ︷︷ ︸

2 sinϕ

〈Sy〉 = sin θ sinϕ. (39)

Resumindo, temos

~u〈+|Sz|+〉~u = ~2 cos θ, (40)

~u〈+|Sx|+〉~u = ~2 sin θ cosϕ, (41)

~u〈+|Sy|+〉~u = ~2 sin θ sinϕ. (42)

Observe que os valores médio das componentes do operador ~S são iguais as componentede um momento angular clássico de módulo ~/2 orientado ao longo do vetor ~u definido pelosângulos polares θ e ϕ.

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