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Aplicações de Álgebra Linear
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 1
5 de janeiro de 2009
1/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Apresentação
2/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Ementa
Revisão: base, transformação linear, núcleo, imagem, posto.
Métodos numéricos para resolução de sistemas lineares.
Ortogonalização, decomposição em valores singulares e aplicações.
Programação Linear: método simplex. Dualidade e teoria dos jogos.
3/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Bibliografia básica
Gilbert Strang. Linear Algebra and Its Applications. Third edition.Thomson Learning, 1988.
Elon Lages Lima. Álgebra Linear. Coleção MatemáticaUniversitária. IMPA, 2008.
Flávio Ulhoa Coelho e Mary Lilian Lourenço. Um Curso de ÁlgebraLinear. Editora da Universidade de São Paulo, 2002.
Grégoire Allaire and Sidi Mahmoud Kaber. Numerical LinearAlgebra. Springer-Verlag, 2008.
4/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/2
Programação e Avaliação
Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor àssegundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quintaserão realizadas com o monitor e consistirão de resoluçãoe discussão das listas de exercícios.
Avaliação: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esessões de discussão.
Datas das provas: 16/01/2009 e 30/01/2009.
Página WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2009.1/fgv00000/
5/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/5
Programação e Avaliação
Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor àssegundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quintaserão realizadas com o monitor e consistirão de resoluçãoe discussão das listas de exercícios.
Avaliação: Baseada em duas provas e desempenho nas aulas esessões de discussão.
Datas das provas: 16/01/2009 e 30/01/2009.
Página WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2009.1/fgv00000/
5/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/5
Espaços Vetoriais
6/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Espaços vetoriais
Sejam:
(1) V 6= ∅ (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v
(adição de vetores),
(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v
(multiplicação de vetor por escalar).
Definição
7/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Espaços vetoriais
Sejam:
(1) V 6= ∅ (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v
(adição de vetores),
(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v
(multiplicação de vetor por escalar).
Definição
7/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Espaços vetoriais
Sejam:
(1) V 6= ∅ (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v
(adição de vetores),
(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v
(multiplicação de vetor por escalar).
Definição
7/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Espaços vetoriais
Sejam:
(1) V 6= ∅ (conjunto de vetores),
(2) K = Q ou K = R ou K = C (conjunto de escalares),
(3) +: V × V → V(u,v) 7→ u + v
(adição de vetores),
(4) · : K× V → V(α,v) 7→ α · v
(multiplicação de vetor por escalar).
Definição
7/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Espaços vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial se as seguintescondições forem satisfeitas ∀α, β ∈ K e ∀u,v,w ∈ V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) ∃0 ∈ V tal que ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) ∀v ∈ V , ∃w ∈ V tal que v + w = w + v = 0,[notações: w = −v e u− v = u + (−v)]
(M1) (associatividade) (α · β) · v = α · (β · v),
(M2) (multiplicação por 1) 1 · v = v,
(D1) (distributividade) α · (u + v) = α · u + α · v,
(D2) (distributividade) (α + β) · v = α · v + β · v.
Definição
8/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Espaços vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial se as seguintescondições forem satisfeitas ∀α, β ∈ K e ∀u,v,w ∈ V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) ∃0 ∈ V tal que ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) ∀v ∈ V , ∃w ∈ V tal que v + w = w + v = 0,[notações: w = −v e u− v = u + (−v)]
(M1) (associatividade) (α · β) · v = α · (β · v),
(M2) (multiplicação por 1) 1 · v = v,
(D1) (distributividade) α · (u + v) = α · u + α · v,
(D2) (distributividade) (α + β) · v = α · v + β · v.
Definição
8/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Espaços vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial se as seguintescondições forem satisfeitas ∀α, β ∈ K e ∀u,v,w ∈ V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) ∃0 ∈ V tal que ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) ∀v ∈ V , ∃w ∈ V tal que v + w = w + v = 0,[notações: w = −v e u− v = u + (−v)]
(M1) (associatividade) (α · β) · v = α · (β · v),
(M2) (multiplicação por 1) 1 · v = v,
(D1) (distributividade) α · (u + v) = α · u + α · v,
(D2) (distributividade) (α + β) · v = α · v + β · v.
Definição
8/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Espaços vetoriais
Dizemos que (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial se as seguintescondições forem satisfeitas ∀α, β ∈ K e ∀u,v,w ∈ V :
(A1) (comutatividade) u + v = v + u,
(A2) (associatividade) (u + v) + w = u + (v + w),
(A3) (vetor nulo) ∃0 ∈ V tal que ∀v ∈ V , v + 0 = 0 + v = v,
(A4) (inverso aditivo) ∀v ∈ V , ∃w ∈ V tal que v + w = w + v = 0,[notações: w = −v e u− v = u + (−v)]
(M1) (associatividade) (α · β) · v = α · (β · v),
(M2) (multiplicação por 1) 1 · v = v,
(D1) (distributividade) α · (u + v) = α · u + α · v,
(D2) (distributividade) (α + β) · v = α · v + β · v.
Definição
8/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/10
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/10
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/10
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/10
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/10
Exemplo: Rn
V = Rn = {(v1, . . . , vn) | v1 ∈ R, . . . , vn ∈ R}
K = R
u + v = (u1, . . . ,un) + (v1, . . . , vn) = (u1 + v1, . . . ,un + vn)
α · u = α · (u1, . . . ,un) = (α · u1, . . . , α · un)
0 = (0, . . . ,0)
− u = − (u1, . . . ,un) = (−u1, . . . ,−un)
9/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/10
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/1
Exemplo: o espaço das sequências reais
V = R∞ = {(v1, . . . , vi , . . .) | v1 ∈ R, . . . , vi ∈ R, . . .}
K = R
u + v = (u1, . . . ,ui , . . .) + (v1, . . . , vi , . . .) = (u1 + v1, . . . ,ui + vi , . . .)
α · u = α · (u1, . . . ,ui , . . .) = (α · u1, . . . , α · ui , . . .)
0 = (0, . . . ,0, . . .)
− u = − (u1, . . . ,ui , . . .) = (−u1, . . . ,−ui , . . .)
10/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/1
Exemplo: o espaço das matrizes reais m × n
V =Mm×n(R) =
a11 · · · a1n
.... . .
...am1 · · · amn
∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
K = R
u + v =
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
+
v11 · · · v1n...
. . ....
vm1 · · · vmn
=
u11 + v11 · · · u1n + v1n...
. . ....
um1 + vm1 · · · umn + vmn
α · u = α ·
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
=
α · u11 · · · α · u1n...
. . ....
α · um1 · · · α · umn
11/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplo: o espaço das matrizes reais m × n
V =Mm×n(R) =
a11 · · · a1n
.... . .
...am1 · · · amn
∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
K = R
u + v =
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
+
v11 · · · v1n...
. . ....
vm1 · · · vmn
=
u11 + v11 · · · u1n + v1n...
. . ....
um1 + vm1 · · · umn + vmn
α · u = α ·
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
=
α · u11 · · · α · u1n...
. . ....
α · um1 · · · α · umn
11/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplo: o espaço das matrizes reais m × n
V =Mm×n(R) =
a11 · · · a1n
.... . .
...am1 · · · amn
∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
K = R
u + v =
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
+
v11 · · · v1n...
. . ....
vm1 · · · vmn
=
u11 + v11 · · · u1n + v1n...
. . ....
um1 + vm1 · · · umn + vmn
α · u = α ·
u11 · · · u1n...
. . ....
um1 · · · umn
=
α · u11 · · · α · u1n...
. . ....
α · um1 · · · α · umn
11/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/1
Exemplo: o espaço das funções reais
V = F(X ,R) = conjunto de todas as funções f de X em R com X 6= ∅
K = R
f + g : X → Rx 7→ (f + g)(x) = f (x) + g(x)
α · f : X → Rx 7→ (α · f )(x) = α · f (x)
12/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/1
Propriedades
(1) O vetor nulo é único.
(2) O inverso aditivo de um vetor é único.
(3) Se u + w = v + w, então u = v.
(4) 0 · v = 0 e α · 0 = 0.
(5) Se α 6= 0 e v 6= 0, então α · v 6= 0.
(6) (−1) · v = −v.
(7) −0 = 0.
(8) −(−v) = v.
13/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/1
Demonstração da propriedade (1)
O vetor nulo de um espaço vetorial é único.
Demonstração. Considere 0 e 0̃ dois vetores nulos do espaço vetorial. Temosque:
0̃(A3)= 0̃ + 0
(A3)= 0.
14/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração.
Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w
= (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w
= w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w)
= w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0
= w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/1
Exercício
Mostre que o inverso aditivo de um elemento v é único:{v + w = w + v = 0v + w̃ = w̃ + v = 0 ⇒ w = w̃.
Demonstração. Temos que
w = 0 + w = (w̃ + v) + w = w̃ + (v + w) = w̃ + 0 = w̃.
15/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/1
Subespaços Vetoriais
16/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Subespaços vetoriais
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial. Um subespaço vetorial de Vé um subconjunto W ⊆ V com as seguintes propriedades:(1) 0 ∈W .(2) Se w1,w2 ∈W , então w1 + w2 ∈W .(3) Se α ∈ K e w ∈W , então α ·w ∈W .
Definição
Note que, em particular,(W ,K, +|W×W , · |K×W
)é, em si mesmo, um espaço vetorial.
{0} e V são sempre subespaços de V , para qualquer espaço vetorial V .
17/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/7
Subespaços vetoriais
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial. Um subespaço vetorial de Vé um subconjunto W ⊆ V com as seguintes propriedades:(1) 0 ∈W .(2) Se w1,w2 ∈W , então w1 + w2 ∈W .(3) Se α ∈ K e w ∈W , então α ·w ∈W .
Definição
Note que, em particular,(W ,K, +|W×W , · |K×W
)é, em si mesmo, um espaço vetorial.
{0} e V são sempre subespaços de V , para qualquer espaço vetorial V .
17/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/7
Subespaços vetoriais
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial. Um subespaço vetorial de Vé um subconjunto W ⊆ V com as seguintes propriedades:(1) 0 ∈W .(2) Se w1,w2 ∈W , então w1 + w2 ∈W .(3) Se α ∈ K e w ∈W , então α ·w ∈W .
Definição
Note que, em particular,(W ,K, +|W×W , · |K×W
)é, em si mesmo, um espaço vetorial.
{0} e V são sempre subespaços de V , para qualquer espaço vetorial V .
17/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/7
Exemplos
(1) W = {(v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn | v1 = 0} é subespaço de Rn.
(2) W = {A ∈ Mn×n(R) | A = AT} (conjunto das matrizes reaissimétricas) é subespaço deMn×n(R).
(3) W = {f ∈ F(R,R) | f é contínua} (conjunto das funções reaiscontínuas) é subespaço de F(R,R).
(4) W =
(x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.
(soluções de um sistema linear homogêneo) é subespaço de Rn.
18/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/2
Exemplos
(1) W = {(v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn | v1 = 0} é subespaço de Rn.
(2) W = {A ∈ Mn×n(R) | A = AT} (conjunto das matrizes reaissimétricas) é subespaço deMn×n(R).
(3) W = {f ∈ F(R,R) | f é contínua} (conjunto das funções reaiscontínuas) é subespaço de F(R,R).
(4) W =
(x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.
(soluções de um sistema linear homogêneo) é subespaço de Rn.
18/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/2
Exemplos
(1) W = {(v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn | v1 = 0} é subespaço de Rn.
(2) W = {A ∈ Mn×n(R) | A = AT} (conjunto das matrizes reaissimétricas) é subespaço deMn×n(R).
(3) W = {f ∈ F(R,R) | f é contínua} (conjunto das funções reaiscontínuas) é subespaço de F(R,R).
(4) W =
(x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.
(soluções de um sistema linear homogêneo) é subespaço de Rn.
18/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/2
Exemplos
(1) W = {(v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn | v1 = 0} é subespaço de Rn.
(2) W = {A ∈ Mn×n(R) | A = AT} (conjunto das matrizes reaissimétricas) é subespaço deMn×n(R).
(3) W = {f ∈ F(R,R) | f é contínua} (conjunto das funções reaiscontínuas) é subespaço de F(R,R).
(4) W =
(x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣∣∣∣∣a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = 0.
(soluções de um sistema linear homogêneo) é subespaço de Rn.
18/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/2
Exercício
W1 = {A ∈Mn×n(R) | tr(A) = 0} e W2 = {A ∈Mn×n(R) | tr(A) 6= 0}
são subespaços vetoriais de V =Mn×n(R)?
tr
a11 · · · a1n
.... . .
...an1 · · · ann
= a11 + a22 + · · ·+ ann =
n∑i=1
aii .
19/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/3
Operações com Subespaços
20/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 9/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 10/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 11/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 12/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 13/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 14/4
Interseção
Seja {Wλ}λ∈Λ uma coleção de subespaços de um espaço vetorial V .Então, a interseção
W =⋂λ∈Λ
Wλ
também é um subespaço de V .
Teorema
Demonstração.(1) Para todo λ ∈ Λ, temos que 0 ∈ Wλ, pois cada Wλ é subespaço vetorial
de V . Logo, 0 ∈W =⋂
λ∈Λ Wλ.(2) Se w1,w2 ∈ W =
⋂λ∈Λ Wλ, então w1,w2 ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Como
cada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que w1 + w2 ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ.Logo, w1 + w2 ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
(3) Se α ∈ K e w ∈ W =⋂
λ∈Λ Wλ, então w ∈ Wλ, para todo λ ∈ Λ. Comocada Wλ é subespaço vetorial, segue-se que α ·w ∈ Wλ, ∀λ ∈ Λ. Logo,α ·w ∈W =
⋂λ∈Λ Wλ.
21/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 15/4
União
União de subespaços não é, em geral, um subespaço.
W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
são subespaços de R2.
Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.
De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .
22/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/6
União
União de subespaços não é, em geral, um subespaço.
W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
são subespaços de R2.
Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.
De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .
22/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/6
União
União de subespaços não é, em geral, um subespaço.
W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
são subespaços de R2.
Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.
De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .
22/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/6
União
União de subespaços não é, em geral, um subespaço.
W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
são subespaços de R2.
Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.
De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .
22/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/6
União
União de subespaços não é, em geral, um subespaço.
W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}
são subespaços de R2.
Mas W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2.
De fato: w1 = (1,0) ∈W , w2 = (0,1) ∈W ,mas w = w1 + w2 = (1,1) 6∈W .
22/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/6
Soma
Sejam W1 e W2 dois subespaços de um espaço vetorial V . Então,a soma
W = W1 + W2 = {w1 + w2 ∈ V | w1 ∈W1 e w2 ∈W2}
também é um subespaço de V .
Teorema
23/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/6
Soma direta
Dizemos que W é soma direta dos subespaços W1 e W2 se
W1 + W2 = W e W1 ∩W2 = {0}.
Notação: W = W1 ⊕W2.
Definição
24/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/9
Exemplos
(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.
R2 = W1 ⊕W2
(2) W1 = {A ∈Mn×n(K) | A = AT} e W2 = {A ∈Mn×n(K) | A = −AT}.
Mn×n(K) = W1 ⊕W2
(3) W1 = {f ∈ F(R,R) | f é par} e W2 = {f ∈ F(R,R) | f é ímpar}.
F(R,R) = W1 ⊕W2
25/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplos
(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.
R2 = W1 ⊕W2
(2) W1 = {A ∈Mn×n(K) | A = AT} e W2 = {A ∈Mn×n(K) | A = −AT}.
Mn×n(K) = W1 ⊕W2
(3) W1 = {f ∈ F(R,R) | f é par} e W2 = {f ∈ F(R,R) | f é ímpar}.
F(R,R) = W1 ⊕W2
25/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplos
(1) W1 = {(x ,0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.
R2 = W1 ⊕W2
(2) W1 = {A ∈Mn×n(K) | A = AT} e W2 = {A ∈Mn×n(K) | A = −AT}.
Mn×n(K) = W1 ⊕W2
(3) W1 = {f ∈ F(R,R) | f é par} e W2 = {f ∈ F(R,R) | f é ímpar}.
F(R,R) = W1 ⊕W2
25/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Soma direta
W = W1 ⊕ · · · ⊕Wk
mW = W1 + · · ·+ Wk
e
∀1 ≤ j ≤ k ,Wj ∩ (W1 + · · ·+ Wj−1 + Wj+1 + · · ·Wk ) = {0}.
Definição
26/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/4
Combinações Lineares e Geradores
27/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/3
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/5
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/5
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/5
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/5
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/5
Combinações Lineares e Geradores
Seja V um espaço vetorial.
(1) Um vetor v ∈ V é uma combinação linear dos vetoresv1, . . . ,vk ∈ V se existem escalares α1, . . . , αk ∈ K tais que
v = α1 · v1 + · · ·+ αk · vk =k∑
i=1
αi · vi .
(2) Seja B um subconjunto de V . O subespaço gerado por B,denotado por [B], é o conjunto formado por todo todo elementode V que é uma combinação linear de um número finito deelementos de B. Convenção: [∅] = {0}.
(3) Se [B] = V , dizemos que B é um conjunto de geradores de V .
Definição
Exercício: mostre que, de fato, [B] é subespaço vetorial de V .
28/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/5
Exemplos
(1) [(1,0), (0,1)] = R2.
(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.
(3) [R2] = R2.
(4) [1, x , . . . , xn, . . .] = P(R), onde P(R) é o espaço vetorial dos polinômios comcoeficientes reais .
29/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplos
(1) [(1,0), (0,1)] = R2.
(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.
(3) [R2] = R2.
(4) [1, x , . . . , xn, . . .] = P(R), onde P(R) é o espaço vetorial dos polinômios comcoeficientes reais .
29/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplos
(1) [(1,0), (0,1)] = R2.
(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.
(3) [R2] = R2.
(4) [1, x , . . . , xn, . . .] = P(R), onde P(R) é o espaço vetorial dos polinômios comcoeficientes reais .
29/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exemplos
(1) [(1,0), (0,1)] = R2.
(2) [(1,0), (0,1), (1,1)] = R2.
(3) [R2] = R2.
(4) [1, x , . . . , xn, . . .] = P(R), onde P(R) é o espaço vetorial dos polinômios comcoeficientes reais .
29/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Combinações lineares e sistemas lineares
a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.
m
x1 ·
a11...
am1
+ · · ·+ xn ·
a1n...
amn
=
b1...
bm
Moral:
o sistema linear possui solução
m
o vetor (b1, . . . ,bm) pode ser escrito como combinação lineardos vetores (a11, . . . ,am1), . . . , (a1n, . . . ,amn).
30/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Combinações lineares e sistemas lineares
a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.
m
x1 ·
a11...
am1
+ · · ·+ xn ·
a1n...
amn
=
b1...
bm
Moral:
o sistema linear possui solução
m
o vetor (b1, . . . ,bm) pode ser escrito como combinação lineardos vetores (a11, . . . ,am1), . . . , (a1n, . . . ,amn).
30/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Combinações lineares e sistemas lineares
a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.
m
x1 ·
a11...
am1
+ · · ·+ xn ·
a1n...
amn
=
b1...
bm
Moral:
o sistema linear possui solução
m
o vetor (b1, . . . ,bm) pode ser escrito como combinação lineardos vetores (a11, . . . ,am1), . . . , (a1n, . . . ,amn).
30/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Combinações lineares e sistemas lineares
a11 · x1 + · · · + a1n · xn = b1,
...am1 · x1 + · · · + amn · xn = bm.
m
x1 ·
a11...
am1
+ · · ·+ xn ·
a1n...
amn
=
b1...
bm
Moral:
o sistema linear possui solução
m
o vetor (b1, . . . ,bm) pode ser escrito como combinação lineardos vetores (a11, . . . ,am1), . . . , (a1n, . . . ,amn).
30/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
ym×1 = Bm×r · xr×1
my1...
ym
=
|b1|
· · ·|
br|
·
x1...
xr
m
y1...
ym
= x1 ·
|b1|
+ · · ·+ xr ·
|br|
Moral:
Se y = B · x, então y é combinação linear das colunas damatriz B.
31/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/7
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
ym×1 = Bm×r · xr×1
my1...
ym
=
|b1|
· · ·|
br|
·
x1...
xr
m
y1...
ym
= x1 ·
|b1|
+ · · ·+ xr ·
|br|
Moral:
Se y = B · x, então y é combinação linear das colunas damatriz B.
31/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/7
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
ym×1 = Bm×r · xr×1
my1...
ym
=
|b1|
· · ·|
br|
·
x1...
xr
m
y1...
ym
= x1 ·
|b1|
+ · · ·+ xr ·
|br|
Moral:
Se y = B · x, então y é combinação linear das colunas damatriz B.
31/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/7
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
ym×1 = Bm×r · xr×1
my1...
ym
=
|b1|
· · ·|
br|
·
x1...
xr
m
y1...
ym
= x1 ·
|b1|
+ · · ·+ xr ·
|br|
Moral:
Se y = B · x, então y é combinação linear das colunas damatriz B.
31/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/7
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
Am×n = Bm×r · Cr×n
m |a1|
· · ·|
an|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c11...
cr1
· · ·c1r...
crn
m |
aj|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c1j...
cr j
Moral:
Se A = B · C, então as colunas da matriz A são combinaçõeslineares das colunas da matriz B.
32/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/8
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
Am×n = Bm×r · Cr×n
m |a1|
· · ·|
an|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c11...
cr1
· · ·c1r...
crn
m |
aj|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c1j...
cr j
Moral:
Se A = B · C, então as colunas da matriz A são combinaçõeslineares das colunas da matriz B.
32/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/8
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
Am×n = Bm×r · Cr×n
m |a1|
· · ·|
an|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c11...
cr1
· · ·c1r...
crn
m |
aj|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c1j...
cr j
Moral:
Se A = B · C, então as colunas da matriz A são combinaçõeslineares das colunas da matriz B.
32/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/8
Multiplicação de matrizes e combinações lineares
Am×n = Bm×r · Cr×n
m |a1|
· · ·|
an|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c11...
cr1
· · ·c1r...
crn
m |
aj|
=
|b1|
· · ·|
br|
·
c1j...
cr j
Moral:
Se A = B · C, então as colunas da matriz A são combinaçõeslineares das colunas da matriz B.
32/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/8
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/7
Geradores e a escolha de K
B = {(1,0), (0,1)} é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = C.
De fato: ∀(z1, z2) ∈ C2, (z1, z2) = z1 · (1,0) + z2 · (0,1).
Mas
B = {(1,0), (0,1)} não é um conjunto gerador de V = C2
sobre K = R.
Por exemplo, (i ,0) 6∈ [(1,0), (0,1)].
B = {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é um conjunto gerador de V = C2 sobre K = R.
33/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/7
Bases
34/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/8
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/4
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/4
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/4
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/4
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/4
Dependência e independência linear
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .
(1) Dizemos que B é um conjunto linearmente independente (LI) se,para qualquer escolha de vetores v1, . . . ,vk ∈ B tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0 ⇒ α1 = · · · = αk = 0,
onde α1, . . . , αk ∈ K. Por convenção, ∅ é LI.
(2) Dizemos que B é linearmente dependente (LD) se ele não for LI.
Definição
35/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/4
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/1
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é LI em (Rn,R,+, · ).
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LI em (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é LD em (C2,C,+, · ).De fato: i · (1,0) + 0 · (0,1)− 1 · (i ,0) + 0 · (0, i) = (0,0).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N
é um conjunto LI em C([a,b],R).De fato: pelo teorema fundamental da álgebra,
(∀t ∈ [a,b], α1 · tn1 + · · ·+ αk · tnk = 0)⇒ α1 = · · · = αk = 0.
36/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/1
Bases
Sejam (V ,K,+, · ) um espaço vetorial e B um subconjunto de V .Dizemos que B é uma base de V se
(a) B for um conjunto gerador de V e
(b) B for linearmente independente.
Definição
37/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/2
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é uma base do espaçovetorial (Rn,R,+, · ). Ela é denominada base canônica de Rn.
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N∪{0}
é uma base de
P([a,b],R) = conjunto das funções polinomiais de [a,b] em R sobre K = R.
38/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/6
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é uma base do espaçovetorial (Rn,R,+, · ). Ela é denominada base canônica de Rn.
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N∪{0}
é uma base de
P([a,b],R) = conjunto das funções polinomiais de [a,b] em R sobre K = R.
38/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/6
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é uma base do espaçovetorial (Rn,R,+, · ). Ela é denominada base canônica de Rn.
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N∪{0}
é uma base de
P([a,b],R) = conjunto das funções polinomiais de [a,b] em R sobre K = R.
38/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/6
Exemplos
(1) {(1,0, . . . ,0), (0,1, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,1)} é uma base do espaçovetorial (Rn,R,+, · ). Ela é denominada base canônica de Rn.
(2) {(1,0), (0,1), (i ,0), (0, i)} é uma base de (C2,R,+, · ).
(3) {(1,0), (0,1)} é uma base de (C2,C,+, · ).
(4) O conjunto infinito{fn : [a,b] → R
t 7→ fn(t) = tn
}∣∣∣∣n∈N∪{0}
é uma base de
P([a,b],R) = conjunto das funções polinomiais de [a,b] em R sobre K = R.
38/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/6
Espaços Finitamente Gerados
39/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/3
Espaços finitamente gerados
Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.
Definição
(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.
(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.
(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.
(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.
40/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/11
Espaços finitamente gerados
Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.
Definição
(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.
(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.
(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.
(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.
40/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/11
Espaços finitamente gerados
Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.
Definição
(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.
(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.
(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.
(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.
40/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/11
Espaços finitamente gerados
Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.
Definição
(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.
(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.
(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.
(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.
40/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/11
Espaços finitamente gerados
Dizemos que um espaço vetorial (V ,K,+, · ) é finitamente gerado seele possui um conjunto gerador finito.
Definição
(1) (R2,R,+, · ) é finitamente gerado por B = {(1,0), (0,1)}.
(2) (R2,Q,+, · ) não é finitamente gerado.
(3) (Pn([a,b],R),R,+, · ) não é finitamente gerado.
(4) (Pn([a,b],R),R,+, · ) é finitamente gerado por B = {1, x , . . . , xn}.
40/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/11
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Proposição
Se B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador de V , então todo conjuntoLI de V possui no máximo k elementos.
Proposição
Demonstração.Passo 1. Vamos mostrar que todo subconjunto de V com mais do que k
vetores é LD.
Passo 2. Seja X = {u1, . . . ,um} um subconjunto de V com m > kelementos.
Passo 3. Como B = {v1, . . . ,vk} é um conjunto gerador para V , existemescalares aij , com 1 ≤ i ≤ k e 1 ≤ j ≤ m tais que
u1 = a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk =∑k
i=1 ai1 · vi ,...
um = a1m · v1 + · · ·+ akm · vk =∑k
i=1 aim · vi .
41/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Demonstração
Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :
x1 · u1 + · · ·+ xm · um
=
x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )
=
(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .
Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.
Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,
...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
42/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração
Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :
x1 · u1 + · · ·+ xm · um
=
x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )
=
(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .
Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.
Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,
...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
42/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração
Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :
x1 · u1 + · · ·+ xm · um
=
x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )
=
(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .
Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.
Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,
...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
42/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração
Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :
x1 · u1 + · · ·+ xm · um
=
x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )
=
(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .
Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.
Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,
...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
42/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração
Passo 4. Vamos agora estudar as combinações lineares de u1, . . . ,um emtermos de v1, . . . , vk :
x1 · u1 + · · ·+ xm · um
=
x1 · (a11 · v1 + · · ·+ ak1 · vk ) + · · ·+ xm · (a1m · v1 + · · ·+ akm · vk )
=
(a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm) · v1 + · · ·+ (ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm) · vk .
Passo 5. Para mostrar que {u1, . . . ,um} é LD, precisamos exibir x1, . . . , xmnão todos nulos tais que a combinação linear acima resulta novetor nulo.
Passo 6. Para isto, basta exibir x1, . . . , xm não todos nulos tais quea11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,
...ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
42/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração
Passo 6. Ou seja, o sistema linear homogêneo abaixo deve ter pelo menosuma solução (x1, . . . , xm) não nula:
a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,...
ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
Passo 7. Mas isto acontece, porque o número de equações (k ) é menor doque o número de variáveis (m).
43/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração
Passo 6. Ou seja, o sistema linear homogêneo abaixo deve ter pelo menosuma solução (x1, . . . , xm) não nula:
a11 · x1 + · · ·+ a1m · xm = 0,...
ak1 · x1 + · · ·+ akm · xm = 0.
Passo 7. Mas isto acontece, porque o número de equações (k ) é menor doque o número de variáveis (m).
43/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Corolário
Se (V ,K,+, · ) é um espaço vetorial não nulo finitamente gerado,então toda base de V possui o mesmo número de elementos,denominado dimensão de V .
Corolário
Demonstração. Sejam B e B′ duas bases de V .
Passo 1. Como V é finitamente gerado e B e B′ são LI, pela proposiçãoanterior, B e B′ são conjuntos finitos.
Passo 2. Sejam então m = #B e m′ = #B′.
Passo 3. Como [B] = V e B′ é LI, pela proposição anterior, m′ ≤ m.
Passo 4. Como [B′] = V e B é LI, pela proposição anterior, m ≤ m′.
Passo 5. Logo, m = m′.
44/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Exemplos
(1) dimR(Rn) =
n.
(2) dimR(C2) =
4.
(3) dimC(C2) =
2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =
∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) =
m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) =
4.
(3) dimC(C2) =
2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =
∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) =
m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) =
2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =
∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) =
m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) = 2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =
∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) =
m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) = 2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) =
m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) = 2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.
(6) dimK({0}) =
0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) = 2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.
(6) dimK({0}) = 0.
Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Exemplos
(1) dimR(Rn) = n.
(2) dimR(C2) = 4.
(3) dimC(C2) = 2.
(4) dimR(P([a,b],R)) =∞.
(5) dimR(Mm×n(R)) = m · n.
(6) dimK({0}) = 0. Lembre-se que, por convenção, ∅ é LI e [∅] = {0}.
45/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Corolário
Seja (V ,K,+, · ) um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1.
(1) Todo conjunto de vetores com mais do que n elementos é LD.
(2) Nenhum conjunto com menos do que n elementos pode gerar V .
Corolário
46/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Proposição
Seja B = {v1, . . . ,vk} um subconjunto LI de um espaço vetorial V .Se v 6∈ [B], então {v1, . . . ,vk ,v} também é LI.
Proposição
Demonstração.
Passo 1. Suponha, por absurdo, que {v1, . . . ,vk ,v} seja LD.
Passo 2. Então existem escalares α1, . . . , αk , α não todos nulos tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk + α · v = 0.
Passo 3. Obrigatoriamente, α 6= 0 pois, caso contrário, {v1, . . . ,vk} seriaLD.
Passo 4. Então, v = −α1
α· v1 − · · · −
αk
α· vk ∈ [B]. Uma contradição.
47/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Teorema
(1) Todo espaço vetorial não nulo finitamente gerado possui umabase.
(2) Se B é subconjunto LI de um espaço vetorial V finitamentegerado, então existe base de V que contém B.
Teorema
48/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Teorema
(1) Todo espaço vetorial não nulo finitamente gerado possui umabase.
(2) Se B é subconjunto LI de um espaço vetorial V finitamentegerado, então existe base de V que contém B.
Teorema
48/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Proposição
Seja V um espaço vetorial e sejam W1, W2 dois subespaços vetoriaisde V , ambos de dimensão finita. Então
dimK(W1 + W2) = dimK(W1) + dimK(W2)− dimK(W1 ∩W2).
Teorema
49/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Coordenadas
50/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Proposição
Seja V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 e seja B ⊆ V . As duasafirmações abaixo são equivalentes.
(a) B é uma base de V .
(b) Todo elemento de V se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B.
Proposição
51/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Proposição
Seja V um espaço vetorial de dimensão n ≥ 1 e seja B ⊆ V . As duasafirmações abaixo são equivalentes.
(a) B é uma base de V .
(b) Todo elemento de V se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B.
Proposição
51/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Demonstração: (a)⇒ (b)
Como B é base de V , certamente B gera V . Logo, todo vetor v de V seescreve como combinação linear de elementos de B. Resta mostrar que oscoeficientes desta combinação linear são únicos.
Passo 1. Vamos escrever B = {v1, . . . ,vn} e supor que
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn = β1 · v1 + · · ·+ βn · vn.
Passo 2. Logo, (α1 − β1) · v1 + · · ·+ (αn − βn) · vn = 0.
Passo 3. Como {v1, . . . ,vn} é LI, segue-se que α1 = β1, . . . , αn = βn.
52/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 9/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Demonstração: (b)⇒ (a)
Como, por hipótese, todo elemento v se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que B gera V . Resta mostrarque B é LI.
Passo 1. Seja v1, . . . ,vk ∈ V e α1, . . . , αk ∈ K tais que
α1 · v1 + · · ·+ αk · vk = 0.
Passo 2. Temos também que:
0 · v1 + · · ·+ 0 · vk = 0.
Passo 3. Como, por hipótese, todo vetor se escreve de maneira única comocombinação linear de elementos de B, segue-se que
α1 = · · · = αk = 0.
Passo 4. Isto mostra que B é LI.
53/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Bases
Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base de V . Fixando-se a ordem doselementos desta base, pela proposição anterior, cada elemento vde V fica determinado de maneira unívoca pelos coeficientesα1, . . . , αn da combinação linear
v = α1 · v1 + · · ·+ αn · vn.
A n-upla ordenada[v]B = (α1, . . . , αn)B
será denominada coordenadas do vetor v com relação à base B.
Definição
54/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Aplicação
55/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Aplicação
Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:
dk fdxk + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·
dfdx
+ a0f = 0.
Isto significa que:(1) f ∈ F(R,R),(2) f tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,
dk fdxk (x) + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·
dfdx
(x) + a0f (x) = 0.
Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).
56/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Aplicação
Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:
dk fdxk + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·
dfdx
+ a0f = 0.
Isto significa que:(1) f ∈ F(R,R),(2) f tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,
dk fdxk (x) + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·
dfdx
(x) + a0f (x) = 0.
Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).
56/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Aplicação
Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:
dk fdxk + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·
dfdx
+ a0f = 0.
Isto significa que:(1) f ∈ F(R,R),(2) f tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,
dk fdxk (x) + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·
dfdx
(x) + a0f (x) = 0.
Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).
56/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Aplicação
Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:
dk fdxk + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 + · · ·+ a1 ·
dfdx
+ a0f = 0.
Isto significa que:(1) f ∈ F(R,R),(2) f tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,
dk fdxk (x) + ak−1 ·
dk−1fdxk−1 (x) + · · ·+ a1 ·
dfdx
(x) + a0f (x) = 0.
Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).
56/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Aplicação
Seja W o conjunto das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes:
y (k) + ak−1y (k−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
Isto significa que:(1) y ∈ F(R,R),(2) y tem derivada até ordem k para qualquer x ∈ R e(3) ∀x ∈ R,
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0.
Exercício: W é um subespaço de F(R,R).Exercício mais interessante: W é um subespaço de C∞(R,R).
57/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Teorema de Existência e Unicidade (TEU)
Existe uma única solução y : R→ R para o problema de valor inicial y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = c0, y ′(0) = c1, . . . , y (k−1)(0) = ck−1.
Teorema
58/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Teorema
O subespaço W das soluções da equação diferencial linearhomogênea de ordem k com coeficientes constantes
y (k) + ak−1y (k−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0.
tem dimensão k .
Teorema
59/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração
Seja y1 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
Seja y2 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
...
Seja yk solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .
Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !
60/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração
Seja y1 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
Seja y2 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
...
Seja yk solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .
Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !
60/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração
Seja y1 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
Seja y2 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
...
Seja yk solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .
Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !
60/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração
Seja y1 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
Seja y2 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
...
Seja yk solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .
Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !
60/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração
Seja y1 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 1 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
Seja y2 solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 1 , . . . , y (k−1)(0) = 0 .
...
Seja yk solução de
y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = 0 , y ′(0) = 0 , . . . , y (k−1)(0) = 1 .
Fato: B = {y1, . . . , yk} é base de W !
60/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V
Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que
z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
61/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V
Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que
z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
61/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V
Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que
z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
61/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V
Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que
z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
61/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} gera V
Seja z ∈W . Afirmamos que z = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
Passo 1. Note que f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk também satisfazo problema de valor inicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 2. Note que a própria função z satisfaz o mesmo problema de valorinicial: y (k)(x) + ak−1y (k−1)(x) + · · ·+ a1y ′(x) + a0y(x) = 0,
y(0) = z(0), y ′(0) = z ′(0), . . . , y (k−1)(0) = z(k−1)(0).
Passo 3. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue-se que
z = f = z(0)y1 + z ′(0)y2 + · · ·+ z(k−1)(0)yk .
61/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 1/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 2/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 3/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 4/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 5/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 6/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 7/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 8/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 9/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 10/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
62/40 Aula 1 Aplicações de Álgebra Linear 11/
Demonstração: B = {y1, y2, . . . , yk} é LI
Sejam α1, . . . , αk escalares tais que α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0. Sendo assim,
α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0,α1y ′′1 + α2y ′′2 + · · ·αky ′′k = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0.
Agora
α1y1 + α2y2 + · · ·αkyk = 0⇒ α1y1(0) + α2y2(0) + · · ·αkyk (0) = 0⇒ α1 = 0,α1y ′1 + α2y ′2 + · · ·αky ′k = 0⇒ α1y ′1(0) + α2y ′2(0) + · · ·αky ′k (0) = 0⇒ α2 = 0,
...
α1y (k−1)1 + α2y (k−1)
2 + · · ·αky (k−1)k = 0⇒ α1y (k−1)
1 (0) + α2y (k−1)2 (0) + · · ·αky (k−1)
k (0) = 0⇒ αk = 0.
Isto demonstra que B = {y1, y2, . . . , yk} é LI.
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