aplicaciones funciones vectoriales
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APLICACIONES FUNCIONES VECTORIALES
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FUNCIONES VECTORIALES
• Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:
F : R → R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)),
donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de
variable real.
Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
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DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL
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Reglas de derivación de funciones vectoriales relacionadas con las operaciones entre vectores
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Movimiento en el espacio
Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primeraderivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curvaAl vector F´(t) se le llama vector velocidad .
Al vector F´´(t) se le llama vector aceleración. Demodo que la velocidad en un instante t es F´(t) y la aceleración es kF(t)k. .Al vector F´(t) también se le llama vector tangente a la curva F(t) en t.
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Vector tangente unitario
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Vector unitario normal
• Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f(t), determinan un plano llamado osculador de la curva.
• El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.
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Componentes Tangencial y Normal de la aceleración
• El vector velocidad v es tangente a la trayectoria.• El vector aceleración a puede descomponerse en
dos componentes (llamadas componentes intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una componente tangencial (en la direcciónde la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).
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o
• at=a.T=𝑣.𝑎
𝑣aN=a.n=
𝑣𝑥𝑎
𝑣=
𝑎 2 − 𝑎𝑡2
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Vector Binormal unitario
• Es El producto cruz entre los vectores tangentes y normales unitarios.𝐵(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑥𝑁(𝑡)
• Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a N´(t).
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Longitud de arco de curva
La longitud de un arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.
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Curvatura
Se define la curvatura como “la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco.
La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parame trizadas por el arco, se puede calcular como:
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Componentes de la aceleración
• Componente normal
𝑎𝑁 = 𝑘 𝑣 2=𝑟´ 𝑡 𝑥 𝑟´´(𝑡)
𝑟´(𝑡)
• Componente tangencial
aT= 𝑣 ´=𝑣.𝑎
𝑣=
𝑟´ 𝑡 .𝑟´´(𝑡)
𝑟´(𝑡)• La componente tangencial de la aceleración es la responsable
de que cambie la rapidez, mientras que la componente normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. 𝑎 =𝑎𝑡𝑇+𝑎𝑁𝑁
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• Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto se define la torsión como: