aplicaciones ec. diferencias
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7/24/2019 Aplicaciones Ec. diferencias
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APLICACIN DE ECUACINES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
CIRCUITOS
1. Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a unabateraque transmite un voltaje de 20 voltios. i el interru!tor esta inicialmentea!a"ado # se lo$nciende des!u%s de 10 se"undos, !ermaneciendo conectada !orun la!so de 20 e" # lue"o desconectada definitivamente. i inicialmente no ha#car"a en elcondensador # la corriente inicial es cero, determine&
a' La car"a acumulada en el condensador en los tiem!os t=(s, # t=20s.
b' La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiem!os t=)s, # t=*0s.
oluci+n
LQ+RQ+1
cQ= (t)=20u (t10 )20u(t30)
l [LQ ]+l [RQ ]+ l [1cQ]=l [ (t)]
s2Q ( s )+12 sQ ( s )+100Q (s )=20
[
e10 se30 s
s
]s
( 2 Q ( s)+12 sQ ( s)+100)Q ( s)=20[e10 s
s
e10 s
s ]
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Q (s )=20[ e10 s
s(s2+12 s+100)
e10 s
s (s2+12 s+100) ]
A
S+
Bs+C
s2+12 s+100 A s2
+12As+100A+B s2
Cs=1
A= B=1
C=1
1100
s
1
100 ( s+12s2+12 s+100 )
Q (s )=1
5 [e10 s(1s s+6( s+6 )2+64 s+6(s+6)2+64 )e30 s(1s s+6(s+6 )2+64 s+6(s+6)2+64 )]Q (t)=l1 [Q(s )]
Q (t)=1
5 [(1e6 ( t10) cos8 ( t10 )34e6 (t10) sen8( t10))U10 (t)15 ((1e6 ( t10) cos
Cuandot=5 s
Q (5 )=0Condensador descargado
Cuandot=20 s
Q (t)=1
5
1
5e6 (t10)
cos 8 (t10 ) 3
20e6 (
t10 ) sen8(t10)
Q (20 )=1
5
1
5e
60cos80
3
20e60
sen80
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Q (20 )=1
5
1
5e
60(0.110)3
20e
60(0.993)
2. Un circuito en erieLRC t iene una fuera electromotri de(cos-2 t'losvalores de las com!onentes sonR= 2L= 1/enrr# #C =11F inicialmente lacar"a sobre el ca!acitor # la corriente en la resistenciaes cero.
a'e te rminar la ca r"a en e l ca!ac i to r # la co r r ien te comofunc i+ndel tiem!o.
b'eterminar las condiciones de borde # es!eci3car que tiem!o demovimiento es&
Solucin
Lq+Rq+1
cq=E (t)
1.q+2q+ 1
1
17
q=5cos (2 t)(2)
$. 4o /omo"%nea
q +2 q +17 q=0 $. /omo"%nea
2+2+17=0
1,2=
244x172
=264
2 =
28 i2
1,2=14 i
q=et(c1 cos (4 t)+c2 sen ( 4 t))
$. 4o /omo"%nea
qp=Asen(2 t)+Bcos (2t)
q p=2Acos (2 t)2 Bsen(2t)
Q (20 )=2.08x1025 couloms
q+2q +17q=5co
q+2q +17q=5cos (2 t)
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qp=4Asen (2t)4 Bcos(2 t)
Reem!laado la $. 4o /omo"%nea
4Asen(2 t)4 Bcos(2 t)+4Acos (2t)4 Bsen(2t)+17Asen(2 t)+17 Bcos(2 t)=5cos (2 t)
(13A+4 B ) sen(2 t)+ (4A+13 B ) cos (2 t)=5cos (2 t)
13A4 B=04A+13 B=5 }
qp=
9
13sen(2t)+
6
13cos (2t)
La solucin Geneal !e la E.D No "o#o$%nea
c1 cos (4 t)+c2 sen (4 t)+ 4
37sen(2 t)+
13
37cos (2t)
q=et
q (0 )=0 ! i (0 )=0
c1cos (4 t)+c2 sen (2 t)+et(4 c1 sen (4 t)+4cos (4 t))+
8
37cos (2 t)+
26
37sen(2t)
i=dq
dt=et
0=(c1 cos0+c2 sen0 )e0 (4 c1 sen0+4cos0 )+
8
37cos0
26
37sen0
0=c1+4 c2+ 8
37
8
37=c1+4 c2
0=c1cos0+c2 sen0+ 4
37sen0+
13
37cos0
A= 4
37" B=
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0=c1+13
37c1=
1337
! 8
37=
13
37+ 4
374 c2 c2=
21148
q=et(1337 cos (4 t) 21148sen(4 t))+ 437sen (2 t)+ 1337cos (2t)
i=dq
d te
t
(1337 cos (4 t) 21148sen(2 t))+et( 1337x 4 cos (4 t)(4)(21)
148 cos (4 t))+ 837 cos (
&. eterminar la car"a del ca!acitor de un circuito en serie LRC cuando t= 0,01(
L ' ()(*") R' 2o+# C ' ()(1 F) E,- ' ( /. 0,(' * Coulo# i,('( A#
Solucin q+R
Lq+
1
CLq=0
q+40 q+2000 q=0
r2+40 r+2000=0
q (t)=e20 t(Acos ( 40t)+Bsen(40 t))
Acos(40 t)+Bsen (40 t)+e20 t(40Asen ( 40t)+40 tcos(40 t))i=20 e20 t
q (0 )=5 i (0 )=0
r=2040
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3. Un circuito en erieLRC t iene una fuera electromotrid e ( c o s -2 t'los valores de las com!onentes sonR= 2L= 1/enrr##C =11F inicialmente la car"a sobre el ca!acitor # la corriente en la
resistenciaes ce ro .
a'e te rminar la ca r"a en e l ca!ac i to r # la co r r ien te comofunc i+ndel tiem!o.
b'eterminar las condiciones de borde # es!eci3car que tiem!o demovimiento es&Solucin
Lq+Rq+1
cq=E (t)
1.q+2q+ 1
1
17
q=5cos (2 t)(2)
$. 4o /omo"%nea
q+2 q +17 q=0 $. /omo"%nea
2+2+17=0
1,2=244x17
2 =
2642
=28 i
2 1,2=14 i
q=et
(c1 cos (4 t)+c2 sen ( 4 t))
$. 4o /omo"%nea
qp=Asen(2 t)+Bcos (2t)
E=5
2
A=5
q+2q +17q=5cos (2 t)
q+2q +17q=5cos (2 t)
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q p=2Acos (2 t)2 Bsen(2t)
qp=4Asen (2t)4 Bcos(2 t)
Reem!laado la $. 4o /omo"%nea
4Asen(2 t)4 Bcos(2 t)+4Acos (2t)4 Bsen(2t)+17Asen(2 t)+17 Bcos(2 t)=5cos (2 t)
(13A+4 B ) sen(2 t)+ (4A+13 B ) cos (2 t)=5cos (2 t)
13A4 B=04A+13 B=5 }
qp= 9
13sen(2t)+
6
13cos (2t)
La soluci+n 5eneral de la $. 4o /omo"%nea
c1 cos (4 t)+c2 sen (4 t)+ 4
37sen(2 t)+
13
37cos (2t)
q=et
q (0 )=0 ! i (0 )=0
c1cos (4 t)+c2 sen (2 t)+et(4 c1 sen (4 t)+4cos (4 t))+
8
37cos (2 t)+
26
37sen(2t)
i=dq
dt=et
0=(c1 cos0+c2 sen0 )e0 (4 c1 sen0+4cos0)+
8
37cos0
26
37sen0
0=c1+4 c2+ 8
37 8
37=c1+4 c2
0=c1cos0+c2 sen0+ 4
37sen0+
13
37cos0
A= 4
37"B=
1
-
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0=c1+13
37c1=
1337
! 8
37=13
37+ 4
374 c2 c2=
21148
q=et(1337 cos (4 t) 21148sen(4 t))+ 437sen (2 t)+ 1337cos (2t)
i=dq
dte
t
(1337 cos (4 t) 21148sen(2 t))+et( 1337x 4 cos (4 t)(4)(21)
148 cos(4 t))+ 837 cos (
5.Un circuito en serie LRC tiene una fuente de E,- ' & cos-los valores de lacom!onetesR ' & o+# L ' ()* " 4 C ' ()3F en - ' (la car"a sobre los ca!acitores cero # la corriente en el circuito es 1A. 6eterminar la car"a en el ca!acitor # lacorriente como funci+n del tiem!o7.
Solucin
Ld
2q
d t2+R
dq
dt+
1
cq=E (t)
0,5 q+3 q+ 1
0,4q=3 cost(2)
$.4o /omo"%nea q+6 q +5 q=0 $. /omo"%nea
2+6+5=0
=6364x5
2
1=1,2=5
q=c1 et+c2e
5 t$. 4o /omo"%nea
qp=# $(t)=6 cost
qp=Asent+Bcostq p=AcostBsent
q+6q +5q=6cost
q+6q +5q=6cost
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qp=AsentBcost
Reem!laado la $. 4o /omo"%nea
AsentBcost+6Acost6Bsent+5Asent+5Bcost=6cost
(6A+4 B )cost+(4A6B )sent=6cost
6A+4 B=64A6 B=0}
qp= 9
13sent+
6
13cost
La soluci+n 5eneral de la $. 4o /omo"%nea
q= 9
13sent+
6
13cost+c1 e
t+c2 e5 t
Condici+n de borde
q (t=0 )=i (t=0 )=1A
0= 913sen0+ 613
cos0+c1 e0+c2 e0
0=6
13+c1+c2
-1'
dq
dt=
9
13cost
6
13sentc1 e
t5 e5 t
1= 9
13cos0
6
13sen0c1e
05c2 e0
1= 9
13c15 c2
A=9
3"B=
6
13
-
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-2'
Resolviendo -1' # -2'
c1=1
2 " c2=
1
26
5. Un circuito en serie LRC tiene una fuente de E,- ' & cos- los valores de la
com!onetesR ' & o+# L ' ()* " 4 C ' ()3F en - ' (la car"a sobre los ca!acitores cero # la corriente en el circuito es 1A. 6eterminar la car"a en el ca!acitor # lacorriente como funci+n del tiem!o7.
Solucin
Ld
2q
d t2+R
dq
dt+
1
cq=E (t)
0,5 q+3 q+ 1
0,4
q=3 cost(2)
$.4o /omo"%nea
q+6 q +5 q=0 $. /omo"%nea
2+6+5=0
=6364x5
2
1=1,2=5
q=c1 et+c2e
5 t$. 4o /omo"%nea
q= 9
13sent+
6
13cost
1
2e
t+ 1
26e
5t
dq
dt=i=
9
13cost
6
13sent+
1
2et+
1
26e5 t
q+6q +5q=6cost
q+6q +5q=6cost
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qp=# $(t)=6 cost
qp=Asent+Bcostq p=AcostBsent
qp=AsentBcost
Reem!laado la $. 4o /omo"%nea
AsentBcost+6Acost6Bsent+5Asent+5Bcost=6cost
(6A+4 B )cost+(4A6B )sent=6cost
6A+4 B=6
4A6 B=0}
qp= 9
13sent+
6
13cost
La soluci+n 5eneral de la $. 4o /omo"%nea
q= 9
13sent+
6
13cost+c1 e
t+c2 e5 t
Condici+n de borde
q (t=0 )=i (t=0 )=1A
0=9
13sen0+
6
13cos0+c1 e
0+c2 e0
0=6
13+c1+c2
-1'
dq
dt=
9
13cost
6
13sentc1 e
t5 e5 t
A=
9
3"B=
6
13
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1= 9
13cos0
6
13sen0c1e
05c2 e0
1= 9
13c15 c2
-2'
Resolviendo -1' # -2'
c1=1
2 " c2=
1
26
dq
dt=i=
9
13cost
6
13sent+
1
2et+
1
26e5 t
6. $n el circuito, el condensador est8 car"ado con 100 9 interru!tor se cierra t = 0
e tiene& La utilidad de la constante de tiem!o de esta e:!onencial no es tantacomo en los circuitos de !rimer orden en cuanto a la duraci+n del transitorio, debido
a la !resencia de otros factores e:!onenciales, los de e:!onente ;.
q= 9
13sent+
6
13cost
1
2e
t+ 1
26e
5t
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( R2L )2
%
LC=( 5002x 1 )
2
1
1x 40x 106=37500>0
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?!licando al circuito la se"unda le# de Dirchhoff en t = 0
di
dt=( c (0 )Ri (0)
L =
(100 )500x 01
=100
Eue el valor de la derivada en t=0. ustitu#endo obtenemos ?1&
100= F(G,H(?1 @ **H,G( ?1 = H),H0 ?1
?1=100
387,30=0,26
?si la e:!resi+n de la intensidad queda com!leta&
i= 0,2G-e F(G,H(tB eF**H,G(t' A t I 0.
7. eterminar la car"a q-t' en el ca!acitor de un circuito en serie LRC cuando L '()2*/enrr#R ' 1( o+#) C ' ()((1 F) E,- ' () 0,( ' 0. coulo# 4 i,( ' (A
Solucin
0 8R
Lq+
1
CLq=
E
L
-
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0 8R
Lq+
1
CLq=0
0 810
0,25q+
1
0,0010,025q=0 0 8 3( q 8 3(((0 ' (
2 8 3( 8 3((( ' ( '4016004x 4000
2
'4014400
2 =
40120i2
' 9 2( : 5(iubamorti"uador
q= eF20t -?cos-G0t' @ J sen -G0t''
0,( ' 0 i,( ' (
i' ' 92(eq 92(-,Acos,5(- 8 ; sen ,5(-8 e 92(-,95(A sen,5(- 8 5(; cos,5(-
( ' 92(A 8 5(;
0 ' A
7.
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SolucinPa-e aa sabemos que la ecuaci+n diferencial !ara el voltaje de la ca!acitancia enestecircuito es&
d(c(t)dt
+ 1
RC(c (t)=
1
RC(in(t)
/aciendo una com!araci+n con la si"uiente ecuaci+n diferencial se !uedever que&
dx( t)dt x (t)=$(t)
$( t)= 1
RC) (t)=
1
RC)*C
=1RC
e tal forma que la soluci+n !ara el voltaje del condensador es&
)c(t + t )=e (tt )x (t )+
t
t
e ( t,) $( ,) d,
0+t
t
e
1RC
(t,))*C
RCd,
,=RC
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)c(t + t )=[)*CRC](
RC) - e1
RC(tt)
muestra la res!uesta en el tiem!o. Como se !uede ver en estado estable el voltajede la ca!acitancia tiende a ser i"ual que el voltaje de entrada dela fuente VDC.
5rafica
Pa-e a sabemos que la ecuaci+n diferencial !ara el voltaje de la ca!acitancia en estecircuito es&
d )c (t)
dt +
1
RC)c ( t)=
1
RC) (t)
/aciendo una com!araci+n con la si"uiente ecuaci+n diferencial se !uede ver que&
)c(t + t )=)*C[1e
1
RC(tt) ]
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dx( t)dt x (t)=$(t)
$( t)= 1
RC) (t)=
1
RC)*C
=1RC
e tal forma que la soluci+n !ara el voltaje del condensador es&
)c
(t + t )=e (tt )x (t )+
t
t
e( t,) $( ,) d,
)co e1RC
( tt )+
t
t
e
1RC
(t,))*C
RCd,
)c(t + t )=)co e1RC
(tt)+( )*CRC) (RC) e
1RC
(t,)
)c(t + t )=)co e1RC(tt)+)c -(1e
1RC( tt )
)
Recordando que M = RC !odemos escribir esta ecuaci+n como&
)c(t + t )=)co e(tt )
, +)*c -(1e(tt )
, )
,=RC
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5rafica
i factoriamos las dos e:!onenciales la e:!resi+n toma la si"uiente forma&
)c(t + t )=)*C+()co)*C)e(tt)
,
$n esta nueva forma no !odemos distin"uir entre la res!uesta natural # la forada.i calculamos el lmite cuando el tiem!o tiende a infinito -el estado estable',tenemos&
)c(. )=limt /.
)c(t)=)*C+()co)*C) ( 0 )=)*C
)c(. )=)*C
e manera que !odemos reescribir la soluci+n como&
)c (t)=)c(. )+()c(.)) . e(tt)
,
?hora vamos a resolverlo !or el m%todo de coeficientes indeterminados !ara tIto.
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d0
dt+
1
RC0=
1
RC(*C
0+ 1
RC0=
1
RC(*C
0=(*C
La ecuaci+n homo"%nea tiene como ecuaci+n caracterstica
(+ 1RC)=0
Conra12 ( =1RC) " demaneraquela soluci3n4omog5nea ser6 :
)c(t)=0 - et=0 e
1RC
t
)c(t + t )=)c (t)+)Cp (t)=0 -e1RC
t
+)*C
?hora calculamos la condici+n inicial&
)c(t )=0 -e
1RC
t
+)*C=)
co
0=) co)*C
e
1RC
t=[ )co)*C] - e
1RC
t
Reem!laando K en la soluci+n com!leta tenemos&
)Cp(t + t )=(*C
-
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)c(t + t )=[ )co)*C] - e1RC
t
- e1RC
t
+)*C
)c(t + t )=[ )co)*C] - e1RC
(tt)+)*C
1(. Paa el cicui-o RC encon-aol-ios ,/# una corriente de I,-am!eres ,Aen eltiem!o t . $l circuito contiene tambi%n un resistor de una resistencia de / o+#ios,?# un inductor con una inductancia de L henrios -/'.La le# de hm establece que la cada de voltaje debida al resistor es R O La cada
de voltaje debida al inductor es L,!I@!-. Una de las le#es deDirchhoff e:!resaque la suma de las cadas de voltaje es i"ual al voltaje $-t',suministrado. emodo que se tiene
que es una ecuaci+n diferencial de !rimerorden. La soluci+n !ro!orciona lacorriente O en el tiem!o t
u!on"a que en el circuito la resistencia es de 12 # la inductanciaes de */ila batera !ro!orciona un voltaje constante de G0 9 # el interru!tor se
cierracuandot P 0 de manera que la corriente em!iea con el valor O -0' P0, encontrar.
a O-t'b la corriente al cabo de 1se"undoc el valor lmite de la corriente.
Solucinas Da#>a 20enermos. );eri$uar el nmero de enermos que Da#r' al ca#o dedoce d>as.
Solucin:Llamamos P,tal nmero de !ersonas enfermas en el momento t, que loe:!resaremos en das -a la vista de los datos'.La le# que nos dicen en el enunciado, se e:!resa as&P,t ' k P,t ,1(((( 9 P,t
$sta ecuaci+n es de variables se!aradas, # quedara&d8
8(1048)=;dt
)que !ara inte"rarlo necesitaramos descom!oner el !rimer t%rmino enfracciones sim!les&
1
8(100008)=A
8+ B
100008< 1=A (1048 )+B8/
Resolviendo las inte"rales se lle"a a qu%&1
104
ln ( 8 (t)1048 ( t) )=;t+c
des!ejando P,-)8(t)
1048( t)
=C - e104;t
8 (t)=C -(1048 (t))e10
4;t
obteniendo as
que&
A= 1
104
8 (t)=10
4Ce104;t
1+Ce104;t
-
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@.).A.,.M Nombre: CristianZurita Cabrera Facultad Ciencias de la Computacin y TelecomunicacionesMateria Ecuaciones DiferencialesCarrera: Ing Inform!tica M"T#$% &C &EM&T'E ()#$(*
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@.).A.,.M Nombre: CristianZurita Cabrera Facultad Ciencias de la Computacin y TelecomunicacionesMateria Ecuaciones DiferencialesCarrera: Ing Inform!tica M"T#$% &C &EM&T'E ()#$(*
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7/24/2019 Aplicaciones Ec. diferencias
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@.).A.,.M Nombre: CristianZurita Cabrera Facultad Ciencias de la Computacin y TelecomunicacionesMateria Ecuaciones DiferencialesCarrera: Ing Inform!tica M"T#$% &C &EM&T'E ()#$(*
&.La !oblaci+n de una comunidad de bacterias crece a ra+n !ro!orcional a su
!oblaci+n en cualquier momento t. ?l cabo de H horas se observa que ha#*00 individuos.
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@.).A.,.M Nombre: CristianZurita Cabrera Facultad Ciencias de la Computacin y TelecomunicacionesMateria Ecuaciones DiferencialesCarrera: Ing Inform!tica M"T#$% &C &EM&T'E ()#$(*
3.e sabe que la !oblaci+n de cierta comunidad aumenta con una ra!ide!ro!orcional a la cantidad de !ersonas que tiene en cualquier momento t.i la !oblaci+n se du!lic+ en ( aKos, 6$n cu8nto tiem!o se tri!licar8 #cuadru!licar87
Solucino -iene una can-i!a! inicial P !e ac-eias. Cuan!o -' 1 +) la can-i!a!
!e ;ac-eias es !e3
28 . Si la ai!e !e ceci#ien-o es oocional a la
can-i!a! !e ac-eias P ,- en el #o#en-o !e -) calcule el -ie#o necesaioaa -ilica la can-i!a! inicial !e #icoo$anis#os.
Solucin