aplicaciones del calculo integral

APLICACIONES DEL CÁLCULO

INTEGRAL

Ing. Gerardo Valdés Bermudes

RESUMEN DE CONTENIDOS

Notación Sigma

Sumas de Riemman

Cálculo de Áreas

Integral Definida

Teorema fundamental del Calculo

Integral Indefinida

Formulas de Integración

Métodos de Integración

Integración Aproximada

NOTACIÓN SIGMA

Notación Sigma

Necesidad de generalizar el proceso de sumar

Sumas de Riemman

Suma de infinitos rectángulos que forman parte del área bajo una curva

Definición de Integral Definida

Teorema Fundamental del Cálculo

INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA

APLICACIONES

Geométricamente, la expresión

Representa el área bajo la curva f´(x), entre los

limites x=a y x=b. Cuando se sustituyen x e y

por variables relacionadas a

situaciones reales, se tiene

una aplicación real de la

integral definida.


APLICACIONES


APLICACIONES

En términos generales, cualquier producto entre dos

cantidades que tenga un significado real puede tener

aplicación en el cálculo integral.

TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL

Teorema fundamental del cálculo

es la razón de cambio de y=f(x) con respecto

a x.

f(b)-f(a) es el cambio en y cuando x cambia de a

hacia b

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL.

HIDRODINÁMICA

Si V(t) es el volumen de agua de un deposito, en el

instante t, entonces su derivada V’(t) es la

proporción a la cual fluye el agua hacia el

deposito en el instante t. Por eso:

Es el cambio en la cantidad de agua en el deposito

entre los instantes t1 y t2.


QUÍMICA

Si es la concentración del producto de una

reacción química en el instante t, entonces la

velocidad de reacción es la derivada , en el

instante t. Por eso:

Es el cambio en la concentración de C, desde

el instante t1 hasta el t2.


FÍSICA

Si la masa de una varilla, medida desde el extremo

izquierdo hasta un punto x, es m(x), entonces la

densidad lineal es p(x)=m’(x). Por consiguiente,

Es la masa del segmento de varilla entre x=a

y x=b.


SOCIOLOGÍA

Si la rapidez de crecimiento de una población es

entonces,

Es el cambio total en la población durante el

periodo desde t1 hasta t2.

(La población aumenta cuando ocurren

nacimientos y disminuye cuando se suscitan

muertes)


ECONOMÍA

Si C(x) es el costo de producir x unidades de un

articulo, entonces el costo marginal es la derivada

C´(x). De esa manera,

Es el incremento en el costo cuando la producción

aumenta de x1 unidades hasta x2 unidades.


FÍSICA

Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta

con función de posición s(t), entonces su velocidad

es v(t)=s

es el cambio de la posición o desplazamiento de la

partícula durante el periodo desde t1 hasta t2.


CONDICIONES

Si una situación de la vida cotidiana en la que se

relacionen dos variables, puede representarse

como una función, entonces puede ser posible

estudiarla con el enfoque del calculo diferencial e

integral aplicando alguna de las formulas o

métodos que estudiamos en el curso.

Cuando no se tenga una función para representar

algún fenómeno, pero se tiene información de un

grafico o una tabla, podemos hacer el estudio o

análisis empleando la integración aproximada

(Trapecios o Simpson).


EJEMPLO

Un corredor especialista en los 100 metros planos,

puede desarrollar una velocidad en función del

tiempo desde su arranque (t=0), de acuerdo con la

siguiente formula:

¿Qué distancia recorrerá en los primeros 10

segundos? ¿y en los primeros 20 segundos?


EJEMPLO

En los primeros 10 segundos el corredor recorrerá:

EJEMPLO PRÁCTICO.

CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA

En la gráfica se muestra el consumo de energía

eléctrica (potencia) en la ciudad de Culiacán un día de

Agosto (P se mide en Megawatts y t en horas, a partir

de la medianoche). Estime la energía que se utilizó ese

día.

EJEMPLO PRÁCTICO.

CONSUMO DE ENERGÍA ELÉCTRICA

Solución: La potencia es la relación de cambio de

la energía: P(t)=E´(t). Por lo tanto, la cantidad de

energía que se usó ese día es:

Empleando un método de integración aproximada

(Trapecios o Simpson).

15840 Megawatts-horas.

EJEMPLO PRÁCTICO.

DISTANCIA RECORRIDA

La velocidad de un automóvil se leyó en su

velocímetro a intervalos de 10 segundos y se

registró en una tabla. Usa un método de

integración aproximada para estimar la distancia

recorrida por el vehículo.


DETERMINACIÓN DE FORMULAS

En todas las disciplinas donde intervienen

relaciones entre variables que pueden

representarse como ecuaciones o funciones, el

Cálculo es una herramienta importante en la

deducción de nuevas formulas a partir de ciertas

condiciones conocidas.



¿Qué formula nos permite calcular el área de una

elipse?

Condiciones conocidas:

Ecuación de la elipse con centro en el origen:



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