1. 1. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 79 3 3.1. REAS DE REGIONES PLANAS 3.2. VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN 3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA 3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIN 3.5. INTEGRALES IMPROPIAS. Objetivo: Calcular reas de regiones planas generales, volmenes de slidos de revolucin, longitud de una curva plana. Evaluar integrales de funciones no acotadas
2. 2. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 80 3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS 3.1.1 REA BAJO UNA CURVA Ya se mencion que para calcular el valor del rea bajo una curva, se particiona la regin y luego se hace una suma infinita de las reas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando slo una particin representativa, un rectngulo diferencial que represente a cualquier particin de la regin plana El rea del elemento diferencial ser: dxxfhdxdA )( Por tanto, el rea de la regin plana est dada por: b a dxxfA )( Ejemplo 1 Hallar el rea bajo la curva 2 xy en 3,1 SOLUCIN: Primero, hacemos un dibujo de la regin: El rea bajo la curva estar dada por: 3 3 3 3 3 2 1 1 3 1 27 1 26 3 3 3 3 3 3 x A x dx 1 3 2 y x x y Fig. 3.1 Fig. 3.2
3. 3. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 81 Ejemplo 2 Calcular el rea de la regin limitada por 0 6 y xy xy SOLUCIN: Primero se dibuja en el mismo plano xy y 6 xy Luego, identificamos la regin plana, sombrendola y hallamos las intercepciones de las curvas. El rea est dado por: 3 22 2483618 3 16 46 2 4 66 2 6 04 6 2 6 22 2 3 3 2 6 4 24 0 2 3 3 2 6 4 4 0 A x x x dxxdxxA Para regiones generales, la metodologa sera debe ser algo anloga a la anterior. 49 049 03613 3612 6 6 2 2 22 xx xx xx xxx xx xx Fig. 3.3
4. 4. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 82 3.1.2 REA ENTRE CURVAS Si la regin plana tuviera la siguiente forma: La idea sera bsicamente la misma, hacer particiones de la regin (se obtienen tambin rectngulos) y sumar las reas de las particiones. Siendo breve, el rea del elemento diferencial ser: ( ) ( )dA hdx f x g x dx Entonces el rea de la regin plana est dada por: ( ) ( ) b a A f x g x dx CONCLUSIN: Para hallar el rea de una regin plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la regin plana. Aqu se definen los lmites de integracin. 3. Defina el rectngulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o las integrales para l rea. 5. Evale la integral definida. Fig. 3.4
5. 5. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 83 Ejemplo 1 Calcular el valor del rea de la regin limitada por 2 4 2 xy xy SOLUCIN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4 xy y 22 xy PASO 2: Identificamos la regin plana, sombrendola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el rea sera: 3 2 2 24 dxxxA PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 6 5 122 3 8 18 2 9 9 26 2 2 3 2 )3(6 2 3 3 3 6 23 624 2323 3 2 23 3 2 2 3 2 2 A x xx dxxxdxxxA 23 0)2(3 06 24 2 2 xx xx xx xx Fig. 3.5
6. 6. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 84 Ejemplo 2 Calcular el valor del rea de la regin limitada por 0 623 y xxxy SOLUCIN: PASO 1: Dibujamos xxxy 623 PASO 2: Identificamos la regin plana, sombrendola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el rea sera: dxxxxdxxxxA 3 0 23 0 2 23 6()0()0(6 PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 12 253 279 4 81 12 3 8 4 )0( 2 3 6 3 3 4 3 2 2 6 3 2 4 2 0 2 6 342 6 34 66 6()0()0(6 234234 3 0 234 0 2 234 3 0 23 0 2 23 3 0 23 0 2 23 A xxxxxx dxxxxdxxxx dxxxxdxxxxA 230 0)2(3 06 06 2 23 xxx xxx xxx xxx Fig. 3.6
7. 7. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 85 Ejemplo 3 Calcular el valor del rea de la regin limitada por 2 2y x y x SOLUCIN: PASO 1: Dibujamos las curvas dadas PASO 2: Identificamos la regin plana, sombrendola y hallando las intercepciones PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el rea sera: Como la regin es simtrica al eje y , calculamos el rea de 0 a 2 y la multiplicamos por 2. 2 2 0 2 2A x x dx PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos: 2 22 3 2 0 0 2 2 2 2 2 3 8 20 2 2 4 3 3 x x A x x dx x y xy x 2 2y x Fig. 3.7
8. 8. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 86 3.1.3 REA DE REGIONES SIMPLE- y Si la regin plana tuviese la forma: Aqu es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, tambin se obtienen rectngulos cuya altura en este caso est dada por la distancia horizontal x, definida por la funcin. Para este tipo de regin hay que tener la ecuacin de la curva en la forma x f y . El rea del elemento diferencial ser: dyyfxdyhdydA )( El rea de la regin plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de particiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir: d c dyyfA )( Y para el caso de regiones simple- y ms generales, tenemos: El rea del elemento diferencial ser: dyygyfhdydA )()( Fig. 3.8 Fig. 3.9
9. 9. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 87 Entonces el rea de la regin plana est dada por: d c dyygyfA )()( Ejemplo 1 Calcular el rea de la regin limitada por 0 6 y xy xy SOLUCIN: PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy y 6 xy PASO 2: Identificamos la regin plana, sombrendola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El rea est dada por: 3 22 3 8 212 0 3 2 2 2 26 32 6 6 32 2 0 32 2 0 2 A yy y dyyyA Fig. 3.10
10. 10. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 88 Ejemplo 2 Calcular el rea de la regin limitada por 2 3 1 yx xy SOLUCIN: PASO 1, PASO 2y PASO 3: El elemento diferencial sera mejor horizontal en este caso Paso 4 y 5: Elrea de la regin sera: 2 9 42 3 8 2 2 1 3 1 22 2 2 3 2 12 2 1 3 1 2 23 2 13 2323 1 2 23 1 2 2 1 2 2 A y yy dyyy dyyyA Ejercicios propuestos 3.1 Hallar el rea de la regin limitada por las curvas: 1. ,,2 2 xyxy 2. ,0,4 2 yxxy entre 1x y 3x . 3. 8,0,4 xyxy . 4. 01,342 yxxxy . 5. 0,42,2 xxyxy . 6. 0124,02 22 xyxy . 7. 422 xy,xy 12 012 02 31 2 2 yy yy yy yy Fig. 3.11
11. 11. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 89 8. xxyxy 4, 22 9. ,,6 3 xyxy 4 2x y . 10. 3,1 2 xyxy 11. xyxxy 4,3 23 12. xxyxxxy 4,86 223 3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES. Ahora trataremos regiones simple- , regiones que estn limitadas por curvas cuyas ecuaciones estn dadas en forma polar. En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular, entonces su rea est dada por: drdA 2 2 1 Por tanto el rea de la regin est dada por: 2 1 2 )( 2 1 dfA Ejemplo 1 Hallar el rea de la regin encerrada por ar SOLUCIN: Graficando la circunferencia ar e identificando la regin, tenemos: Fig. 3.12
12. 12. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 90 El rea estara dada por: 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 aA a da da dfA Ejemplo 2 Hallar el rea de la regin encerrada por cos1r SOLUCIN: Graficando la cardioide cos1r e identificando la regin, tenemos: Fig. 3.13 Fig. 3.14
13. 13. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 91 El rea estara dada por: A A ddd ddd d d dfA 0 2 1 000 0 2 00 0 2 0 2 2 4 2sen sen2 2 2cos 2 1 cos2 coscos2 coscos21 cos1 2 1 2 )( 2 1 2 1 Ejemplo 3 Hallar el rea de la regin encerrada por 3sen4r SOLUCIN: Graficando la rosa 3sen4r e identificando la regin, tenemos: El rea estara dada por: Fig. 3.15
14. 14. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 92 4 6 24 6 0 0 6 6 6 24 6 6 24 2 6cos1 48 3163 34 2 1 6 )( 2 1 6 6 0 6 0 6 0 2 6 0 2 2 2 1 A A sensen A sen d dsen dsen dfA Ejemplo 4 Hallar el rea de la regin encerrada por el rizo de cos42r SOLUCIN: Graficando el caracol cos42r e identificando la regin, tenemos: El rea estara dada por: Fig. 3.16
15. 15. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 93 374 2 3 2 2 3 164 0sen20sen16)0(12 3 2sen2 3 sen16 3 12 2 2sen 48sen164 2 2cos1 16cos164 cos16cos164 cos16cos164 cos42 2 1 2 )( 2 1 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 2 3 0 3 0 3 0 2 3 0 2 2 2 1 A A A A ddd ddd d d dfA Ejemplo 5 Hallar el rea de la regin interior a ambas curvas cos1 sen3 r r SOLUCIN: Graficando las figuras e identificando la regin, tenemos: El ngulo de interseccin se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuacin trigonomtrica que se forma, es decir: Fig. 3.17
16. 16. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 94 3 2 1cos1cos 01cos21cos 01coscos2 02cos2cos4 coscos21cos13 coscos21sen3 cos1sen3 cos1sen3 2 2 22 22 22 El rea estara dada por: 3 4 3 4 3 3 16 9 44 33 16 3 4 8 3 3 22 3 2 1 8 3 62 3 4 2sen 2 1 sen2 2 1 4 2sen 2 1 2 3 cos1 2 1 sen3 2 1 3 3 0 3 2 3 0 2 A A A A ddA Ejercicios propuestos 3.2 1. Hallar el rea limitada por la curva 3cosar . 2. Determinar el rea de la regin exterior a sen2r , e interior a sen5r 3. Determine el rea de la regin interior de la cardioide cos33r y exterior a la cardioide senr 33 en el primercuadrante 4. Determine el rea de la regin dentro de la circunferencia senr 3 y fuera de senr 2 . 5. Determinar el rea interior a 2cos82 r y exterior a 2r . 6. Calcular el rea de la regin que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide cos22r 7. Determine el rea interior al limaron senr 63 pero exterior al rizo. 8. Hallar el rea de la regin interna comn entre 2cosr y 2senr 9. Determine el rea de la regin 2cos633/, rrR
17. 17. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 95 3.2 VOLUMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN Suponga que se tiene una regin plana y que se la hace girar 0 360 con respecto a un determinado eje, esta situacin provoca que se genere lo que se llama SLIDO DE REVOLUCIN. En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan. CASO I. Suponga que se tiene una regin plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la regin con respecto al eje "x" se formar un slido de revolucin: El volumen de este slido de revolucin se lo puede calcular de la siguiente manera: Primero: se determina el volumen del slido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. Observe que lo anterior tambin se lo puede ver como que se rebana el slido y se determina el volumen de una particin. En este caso el slido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen est dado por: dxxfdxrdV 22 )( Fig. 3.18 Fig. 3.19
18. 18. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 96 Segundo: El volumen de todo el slido es una suma infinita de los volmenes de las particiones, es decir: dxxfV b a 2 )( CASO II. Suponga ahora que la regin plana fuese como la que se sombrea en la figura. Al girar la regin alrededor del eje "x" se genera un slido de revolucin de la siguiente forma: Primero: El slido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada particin tiene la forma de un ANILLO El volumen del slido diferencial estara dado por: dxrrdV 2 1 2 2 Observe que: )(2 xfr y )(1 xgr entonces: dxxgxfdV 22 )()( . Fig. 3.20 Fig. 3.21
19. 19. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 97 Segundo: EL volumen total del slido que se genera al girar la regin plana alrededor del eje "x", estara dado por: b a dxxgxfV 22 )()( CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuvisemos que girar la regin anterior en torno al eje "y": El slido diferencial tendra la forma de una CORTEZA: Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular: r2 h dx Fig. 3.22 Fig. 3.23 Fig. 3.24
20. 20. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 98 Su volumen sera: rhdxdV 2 Observe que: )()( xgxfh xr Por tanto el volumen total del slido sera: dxxgxfxV b a )()(2 . Para regiones simples-y, los procedimientos son anlogos. Ejemplo 1 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje x. SOLUCIN: PASO 1: trazamos las grficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la regin. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen est dado por: dxrrdV 2 1 2 2 y en este caso xr 82 y 2 1 xr PASO 4: Por tanto: 20 08 8 8 3 4 2 xx xx xx xx Fig. 3.22
21. 21. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 99 3 2 0 52 2 0 4 2 0 222 5 48 5 32 16 52 8 8 8 uV xx dxxx dxxxV NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal. Ejemplo 2 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje y. SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza Cuyovolumen est dado por rhdxdV 2 y en este caso xr y 2 8 xxh PASO 4: Por tanto: Fig. 3.25
22. 22. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 100 3 4 2 5 2 0 4 2 5 2 0 32 3 2 0 2 5 24 4 5 32 2 )0( 4 2 2 5 82 2 45 82 2 82 82 uV x x dxxx dxxxxV Ejemplo 3 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje 4y SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 4y " da lugar a una Anillo El volumen de este diferencial est dado por dxrrdV 2 1 2 2 y en este caso 2 2 4 xr y xr 841 PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos: Fig. 3.26
23. 23. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 101 3 2 3235 2 0 2 3235 2 0 2 1 24 2 0 42 2 0 222 15 206 3 128 16 3 64 5 32 )0(2 3 232 2 2 8 3 2 8 5 2 3 232 2 8 3 8 5 8888 88816816 844 uV x xxx dxxxxx dxxxxx dxxxV Ejemplo 4 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje 1y SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1y " da lugar a una Anillo El volumen de este diferencial est dado por dxrrdV 2 1 2 2 y en este caso 2 1 1 xr y xr 812 PASO 4: Por tanto: Fig. 3.27
24. 24. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 102 3 53 22 3 2 0 5322 3 2 0 42 2 1 2 0 42 2 0 222 15 174 5 32 3 16 16 3 32 )0( 5 2 3 2 2242 3 28 53 2 2 8 2 3 82 2882 218821 181 uV xxxx dxxxxx dxxxxx dxxxV Ejemplo 5 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje 2x SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 2x " da lugar a una corteza El volumen de este diferencial est dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 2 y 2 8 xxh PASO 4: Por tanto: Fig. 3.28
25. 25. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 103 3 4 2 53 2 3 2 0 42 5 32 3 2 0 3 2 32 2 1 2 0 32 2 0 2 15 88 4 16 5 32 3 16 3 32 2 )0( 4 2 2 5 24 3 2 22 3 28 2 4 2 5 22 3 2 2 3 242 222242 82822 822 uV xxxx dxxxxx dxxxxxx dxxxxV Ejemplo 6 Hallar el volumen del slido que se genera al girar la regin plana xy xy R 8 : 2 alrededor del eje 1x SOLUCIN: PASO 1 Y PASO 2: La regin plana es la misma que la de los ejercicios anteriores PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1x " da lugar a una corteza El volumen de este diferencial est dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 1 y 2 8 xxh PASO 4: Por tanto: Fig. 3.29
26. 26. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 104 3 4 2 53 2 3 2 0 42 5 32 3 2 0 3 2 32 2 1 2 0 32 2 0 2 15 152 4 16 5 32 3 8 3 16 2 )0( 4 2 2 5 24 3 2 2 3 24 2 4 2 5 22 3 2 3 222 22222 882 812 uV xxxx dxxxxx dxxxxxx dxxxxV Ejercicios Propuestos 3.3 1. Calcular el volumen del slido generado por la rotacin de la regin R alrededor del eje indicado; siendoR la regin limitada por lascurvas, cuyas ecuaciones se dan a continuacin: a. 1,0,0,2 2 xxyxxy ; eje y b. 4,tg, 2 ,1 xxarcyyx ; eje y . c. 1; 1 1 ,3,1,3,0 xeje x yxxyy . 2. Sea R la regin limitada por lascurvas: x yxy 1 ,2 y las rectas 2,0 xy .. a) Calcule el volumen del slido que se genera al rotar R alrededor del eje 2x . b) Calcule el volumen del slido que se genera al rotar R alrededor del eje 1y . 3. Determine el volumen del slido de revolucin generado al rotar en torno al eje 9x la regin limitada por las curvas: xyxy 3,92 . 4. Calcular el volumen del slido generado al hacer girar alrededor de la recta 4x , la regin acotada por las curvas: 3, 22 yxyyx . 5. Encuentre el volumen del slido generado por la rotacin en torno a la recta 2y de la regin del primer cuadrante limitada por las parbolas 048163 2 yx , 080162 yx y el eje de las y . 6. Calcular el volumen del slido generado al rotar la regin R alrededor del ejey, dondeR es: 0 05 4 0 2 03422 x yx y y x yyx 7. Sea la regin 2 241/, xyxyxR . Calcule el volumen del slido generado al girar R alrededor del eje: a) 1x , b) 1y
27. 27. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 105 3.3 LONGITUD DE ARCO Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar reas de regiones planas y volmenes de slidos de revolucin, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita. Una particin diferencial tendr la forma: Y su longitud est dada por: 22 dydxds 1. Si )(xfy entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dx dx dy dx dx dydx ds 222 1 Es decir: b a dx dx dy s 2 1 2. Si )(yfx entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dy dy dx dy dy dydx ds 222 1 Es decir: d c dy dy dx s 2 1 ids dx dy Fig. 3.30
28. 28. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 106 3. Finalmente si )( )( : tyy txx C entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma: dt dt dy dt dx dt dt dydx ds 2222 Es decir: 2 1 22 t t dt dt dy dt dx s Ejemplo 1 Encuentre la longitud de arco de la curva 2 3 xy desde el punto )1,1( al punto )8,4( SOLUCIN: En este caso usamos el diferencial de arco de la forma b a dx dx dy s 2 1 por qu? Ahora 2 1 2 3 x dx dy Por tanto: 2 3 4 132 3 4 1 2 3 4 1 4 1 2 2 1 4 1 2 10 27 8 4 9 4 9 1 3 2 4 9 1 2 3 1 1 s x dxx dxx dx dx dy s Fig. 3.31
29. 29. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 107 Ejemplo 2 Encuentre la longitud de la curva 21;1 1 3 xduuy x SOLUCIN: La longitud de arco esta dada por: 2 1 2 1 dx dx dy s Para lo cual la derivada sera: 11 3 1 3 xduuD dx dy x x Reemplazando resulta: 124 5 2 12 5 2 2 5 11 11 1 2 5 2 5 2 1 2 5 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 s x dxx dxx dxx dx dx dy s Ejemplo 3 Calcular la longitud de la circunferencia 222 ayx SOLUCIN: Fig. 3.32
30. 30. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 108 Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramtrica 2 1 22 t t dt dt dy dt dx s La ecuacin de la circunferencia en forma paramtrica es: 20; sen cos : t tay tax C Por tanto ta dt dx sen y ta dt dy cos . Reemplazando resulta: as at dta dta dttta dttata dttata dt dt dy dt dx s 2 cossen cossen cossen 2 0 2 0 2 0 2 0 222 2 0 2222 2 0 22 2 0 22 Ejercicios Propuestos 3.4 1. Determine la longitud de arco de la curva 4 ;cosln1 xxy 2. Determine la longitud de arco de la curva: ty ttx cos1 sen en el intervalo 40 t 3. Determine la longitud de arco de la curva: tatasenty atsenttax cos cos en el intervalo 11 t 4. Encuentre la longitud de lacurva 36 ,1cos64 6 42 xduuuseny x
31. 31. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 109 3.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES. La longitud de arco esta dada por: d d dy d dx s 2 1 22 Reemplazando, tenemos: dsenfsenfs d fsenffsenf senfsenfff s dfsenfsenffs 2 1 2 1 2 1 222222 2222 2222 22 cos)(cos)( cos)(cos)()(2)( )(cos)()(2cos)( cos)()(cos Resultando finamente: dffs 2 1 22 )()( Ejemplo 1 Hallar la longitud de la circunferencia ar SOLUCIN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta: as as das doas dffs 2 )()( 2 0 2 0 2 0 22 22 2 1 Ejemplo 2 Hallar la longitud de la cardioide cos1r SOLUCIN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta:
32. 32. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 110 8sen4 cos222 cos222 cos122 cos222 sencoscos212 sencos12 )()( 02 0 2 0 2 2 0 0 0 1 22 0 22 22 2 1 s ds ds ds ds ds ds dffs Ejemplo 3 Hallar permetro de regin interior a las curvas cos1 sen3 r r SOLUCIN: En este caso el permetro estara dado por Fig. 3.33
33. 33. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 111 2 3 3 44 3 3 sen43 cos2cos3sen3 sencos1cos3sen3 2 1 3 2 3 0 3 2 3 0 22 3 22 3 0 22 Per Per Per ddPer dPer Ejercicios propuestos 3.5 1. Determine el reay el permetro de la regin interior a las curvas cos3r y cos1r . 2. Determinar: a) El valor de a para el cual el rea de la regin limitada por la cardioide cos1 ar sea igual a 9 unidades cuadradas. b) La longitud de la cardioide definida en el literal a). 3.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIN DE UNA VARIABLE Sea f una funcin continua en el intervalo ba, . El VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de f , denotado como f , est dado por: b a dxxf ab f )( 1 Ejemplo Las estadsticas indican que " t " meses despus del principio de ao, el precio de la carne de res era 6.12.009.0)( 2 tttp dlares por libra. Cul fue el precio medio de la carne durante los 3 primeros meses?. SOLUCIN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es:
34. 34. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 112 57.1$ 8.49.081.0 3 1 6.1 2 2.0 3 09.0 3 1 6.12.009.0 03 1 )( 1 3 0 23 3 0 2 p t tt dttt dttp ab p b a 3.5 INTEGRALES IMPROPIAS Se trata ahora de trabajar con regiones que estn limitadas por curvas no acotadas, que tengan asntotas horizontales y verticales. 3.5.1 LMITES INFINITOS. Se presentan cuando se plantean integrales de la forma a dxxf )( , o de la forma a dxxf )( , o de la forma dxxf )( . En este caso, es una integral impropia porque uno de los lmites de integracin o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deber tratrselas con propiedad. Es decir: N a N a dxxfdxxf )(lm)( a N N a dxxfdxxf )(lm)( Y finalmente la ltima integral por la propiedad de aditividad se la tratara as: a a dxxfdxxfdxxf )()()(
35. 35. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 113 Ejemplo 1 Hallar el rea de la regin 0 0: x y ey R x , en el primer cuadrante. SOLUCIN: Dibujando las curvas dadas e identificando la regin tenemos: El rea de la regin estara dada por 0 dxeA x , la cual es una integral impropia, que escribindola con propiedad tenemos: N x N x dxedxeA 00 lm Al calcular la integral definida y luego tomando lmite resulta: 111lmlmlm 0 0 eeedxe N N Nx N N x N En este caso se dice que el rea converge a 1 ( 2 1uA ) Ejemplo 2 Hallar el rea de la regin 0 1 1 : y x x y R SOLUCIN: Fig. 3.34 Fig. 3.35
36. 36. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 114 El rea de la regin estara dada por 1 1 dx x A , la cual es una integral impropia, que escribindola con propiedad tenemos: N N dx x dx x A 11 1 lm 1 Al calcular la integral definida y luego tomando lmite resulta: 1lnln1lnlnlmlnlm 1 lm 1 1 Nxdx x N N N N N En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un nmero muy grande, el resultado es una cantidad muy grande. Ejemplo 3 Hallar el volumen del slido que se genera al rotar la regin 0 1 1 : y x x y R , alrededor del eje x. SOLUCIN: El volumen del slido estara dado por 1 2 1 dx x V , esto es una integral impropia, que escribindola con propiedad tenemos: N N dx x dx x V 1 2 1 2 1 lm 1 Al calcular la integral definida y luego tomar lmite resulta: Nx dx x N N N N N 1 1lm 1 lm 1 lm 1 1 2 Note que mientras el rea era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica. Ejemplo 3 Determina el valor de "k" para que el rea bajo la curva de 2 1 x k y sea iguala a 1. SOLUCIN: Dibujando la curva para un k positivo sera: Fig. 3.36
37. 37. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 115 El rea estara dado por dx x k A 2 1 . Como es una funcin par, aplicando simetra, tendremos 0 2 1 2 dx x k A . Escribindola con propiedad y resolviendo: kA k k xk dx x k dx x k A N N N N N N 2 0 0 2 0 2 2 0arctgarctg2 arctglm2 1 1 lm2 1 lm2 Si la condicin es que 2 1uA entonces 1k por tanto 1 k Ejemplo 4 Determine para qu valores de "p" la integral impropia 1 1 dx x p converge y para que valores diverge. SOLUCIN: Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos: N pN dx x 1 1 lm Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1p y si 1p Primero si 1p tenemos: 1lnlmlnlm 1 lm 1 1 LnNxdx x N N N N N (Diverge) Segundo si 1p tenemos: pp N p x dxx pp N N p N N p N 1 1 1 lm 1 lmlm 11 1 1 1 de lo ltimo hay que considerar dos casos: Si 1p entonces ppp N pp N 1 1 1 1 1 lm 11 (diverge)
38. 38. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 116 Si 1p entonces pppp N pp N 1 1 0 1 11 1 1 1 lm 11 (converge) Por lo tanto: 1; 1 1 1; 1 1 p p p dx x p 3.5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que estn limitadas por curvas no acotadas, las graficas de las curvas tienen asntotas verticales Ejemplo 1 Hallar el rea de la regin 0 0 1 : y x x y R . SOLUCIN: La regin referida sera: La integral para el rea es: 1 0 1 dx x A note que la funcin x xf 1 )( no est definida en 0x por tanto es una integral impropia, que escribindola con propiedad y resolviendo resulta: 0ln0ln1lnlmlnlm 1 lm 1 0 1 0 1 0 1 0 txdx x dx x A t t t t t (diverge) Fig. 3.37
39. 39. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 117 Ejemplo 2 Calcular 2 1 2 1 dx x SOLUCIN: La funcin no est definida 0x , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente manera: )( 1 2 11 lm 1 1lm 1 lm 1 lm 1 lm 1 lm 1 2 1 2 00 2 010 2 20 1 20 2 1 2 divergedx x tt xx dx x dx x dx x tt tt t t t t t t Ejercicios propuestos 3.6 1. Evale la integral impropia dada o demuestre que es divergente. a. 1 dxex b. 522 xx dx c. 0 sen dxxe x d. dx x x 22 4 e. 3 2 9 x xdx f. 3 0 2 2xx dx Fig. 3.38
40. 40. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 118 2. Dada la curva x ey , determine el rea bajo lacurva para 2lnx . 3. Encuentre el volumen del slido generado al rotar R alrededor del eje y . 1 030/, xyxyxR 4. Encuentre el volumen del slido generado al rotar la regin limitada por 0, 1 , y x yxy ; alrededor del eje x (en el primer cuadrante). 5. Sea R la regin del primercuadrante bajo la curva 3 2 xy y a la izquierda de 1x . a) Determine el rea de la reginR. b) Encuentre el volumen del slido generado al rotar R alrededor del eje 1y . 6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral 1 0 1 dx x p converge y los valores para los cuales diverge. Miscelneos 1. Sea R la regin definida por : 2 , /ln 1 1R x y x y x e . Calcule: a) El rea de la regin R. b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor del eje "y" 2. Sea la regin 2 2 , / 2 4 0 2 4 0R x y x y x x x y x x Calcule: a) El rea de la regin R. b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 4y c) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 1x 3. Calcule el volumen del slido de revolucin que se genera al rotar la regin 2 2 , / 14R x y x y x Alrededor de la recta 4x . 4. Calcular el rea de la regin interior a la rosa 2cos2r y exterior a la circunferencia 1r . 5. Sea la regin R limitada por la recta 0x y la curva xy 42 . Determine el valor de " a " de tal modo que la recta ax divida a la regin R en dos regiones de igual rea. 6. Sea la regin 2 40/, xyyxR . Determine el valor de " a " de tal modo que la recta ay divida a la regin R en dos regiones de igual rea. 7. Calcule el rea de la regin xyxxyxyyxR 21222/, 2 8. Calcular el rea de la regin interior al rizo grande y exterior al rizo pequeo de cos2r . 9. Sea 1012/, 2 xxyxyxR . Calcule el volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 1x 10. Calcular el rea de la regin interior al rizo grande y exterior al rizo pequeo de cos42r . 11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramtricas 2,0, 22 2coscos2 t tsensenty ttx 12. Sea R la regin limitada por xxy xy y 4 0 2 2 Calcule: a) El rea de la regin R. b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 1x 13. Calcular el rea de la regin interior a cos21r y exterior a la 1r .
41. 41. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 119 14. Sea 22 230/, yxyxyyxR . Calcule el volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor del eje 1y . 15. Calcule el permetro de la regin ubicada en el primer cuadrante y limitada por 1 3 2 3 xy , 3 1 3 2 xy , 3 8 xy , 0x , 0y . 16. Determinar el volumen del slido que se genera al rotar la regin limitada por 4 2 x y , 2 1 yx , yx 3 , 0x alrededor de 2y . 17. Sea 22 42/, xyxIRyxR . Determine: a) El rea de dicha regin R b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor del eje "y" c) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 2y . 18. Determine el rea de la regin dentro de 222 senr y fuera de senr 2 19. Encuentre el rea de la regin limitada por lascurvas 3 x xey , 0y , 9x . 20. Determinar el volumen del slido que se genera al rotar la regin limitada por 13 xy , 0y , , 1x alrededor de 1x . 21. Calcule el rea de la regin que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide cos22r . 22. Sea R la regin limitada por 3 xy , 1 2 1 xy , 10 xy . Calcule el volumen del slido que se genera cuando la regin R rota alrededor de la recta 8x . 23. Calcular elvolumen del slido generado por la rotacin de la regin R limitada por xy , 2y , 0x alrededor de la recta 2y . 24. Hallar el rea de la regin limitada por 022 xy , 01242 xy 25. Hallar el rea de la regin limitada por 3cos4r que est fuera del circulo 2r 26. Calcular el rea de la regin interior a la circunferencia ar y exterior a la rosa 3asenr , 0a . 27. Determine el volumen del slido que se genera al rotar la regin limitada por las curvas 3 xy , xxy 22 alrededor de la recta 2x 28. Determine el volumen del slido que se genera al rotar la regin limitada por las curvas 0;4 2 xxy , 0y , 0x alrededor de la recta 2x 29. Hallar el rea interior a cos6r y exterior a cos22r . 30. Determine el volumen del slido que se genera al rotar la regin limitada por xy 2ln , 0y , ex alrededor del eje: a) ex b) ey 2ln 31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramtricas t tey sentex t t 0, cos 32. Determine el volumen del slido que se genera al rotar la regin xyxyxR 14/, 2 alrededor de la recta 4x 33. Calcule el rea de la regincomprendida entre 2 3 xy y la recta 12 xy 34. Calcular el volumen del slido que se genera al rotar la regin comprendida entre 2 xxy , 0y alrededor de la recta 1y 35. Determine el volumen del slido que se genera al rotar la regin 2 0/, xxyyxR alrededor de la recta 2x . 36. Sea la reginR definida por 2 , / 0 1 1 x R x y x y x . Calcule si es posible: a) El rea de la regin R. b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor de la recta 1y 37. Calcular si es posible la longitud de la espiral 0;2 er . 38. Encuentre el volumen del slido generado mediante la rotacin de la regin limitada por x ey , 0y , 3lnx ; alrededor del eje x .
42. 42. MOISES VILLENA MUOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral 120 39. Hallar el volumen del slido de revolucin que se genera al girar la regin limitada por 0; 1 x x y y los ejescoodenados; alrededor del eje y . 40. Si 2 2 1 , /0 0 1 R x y y x x . Determine si es posible el rea de la regin R. 41. Si 2 3 1 , / 0 1R x y y x y x . Si es posible calcule el volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor del eje 1x . 42. Determine elvalor del rea de la regin, en el primer cuadrante, limitada por 0 1 1 2 y x y . 43. Encuentre el rea de la regin limitada por las x y 2 1 , y los ejes coordenados en el primer cuadrante. 44. Calcular si es posible el volumen del slido generado al rotar la regin R alrededor del eje x, donde 2 , / 0 1 x R x y y y x y e . 45. Determine elvolumen del slido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y" la regin bajo la curva 0; 2 xey x . 46. Determine los valores de c, 0c , tal que elvolumen del slido generado por la rotacin alrededor del eje x, de la regin limitada por el ejex, 1x y la funcin C x xf 1 )( exista. 47. Sea R la regin definida por 2 , /ln 1 0R x y x y x e . Calcule si es posible: a) El rea de la regin R. b) El volumen del slido que se genera al rotar la regin R alrededor del eje y . 48. Determine el permetro de la regin ubicada en el plano polar, que est limitada por: a) Una parte de la recta 2ln b) El tramo de la cardioide cos1r para 2 , y c) La espiral 2ln0,2 er