APLICACIONES DE LA DERIVADA

INGRESO MARGINAL

Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:

donde p está en dólares, encuentre la función de Ingreso Marginal y evalúela cuando q=45.

1000

5p

q

El ingreso r recibido por vender q unidades cuando el precio por unidad es p, está dado por:

Con el empleo de la ecuación de demanda se expresará r sólo en términos de q.

Se diferencia para encontrar la función de ingreso marginal, .

; ingreso precio cantidad r pq

r

q

FUNCIÓN DE CONSUMO

Una función que desempeña un papel importante en el análisis económico es la función de consumo.

Expresa una relación entre el ingreso nacional total, I, y el consumo nacional total, C. En general C se expresan en miles de millones de dólares e I se restringe a cierto intervalo.

C f I

La PMC (Propensión marginal al consumo) se define como la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso.

Si se supone que la diferencia entre ingreso y el consumo es el ahorro S, entonces:

CPMC

I

S I C

Al diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a I se obtiene:

se define como la propensión marginal

al ahorro- Así, la PMS indica qué tan rápido cambia el ahorro con respecto al ingreso.

1S C

I CI I I I

S

I

1PMS PMC

PRODUCTO DEL INGRESO MARGINAL

Suponga que un fabricante emplea m personas para producir un total de q unidades de un producto por día. Se puede pensar que q es una

función de m. Así, se puede ver a como la razón de cambio del ingreso con respecto al número de empleados. Esta derivada se llama producto del ingreso marginal. Es el cambio en el ingreso que resulta cuando un fabricante emplea a un trabajador adicional.

r

m

EJEMPLO

Un fabricante determina que m empleados producirán un total de q unidades de un producto por día, donde:

Si la ecuación de demanda para el producto es

Determine el producto del ingreso marginal cuando m=9

2

2

10

19

mq

m

900

9p

q

DERIVADAS LOGARÍTMICAS

0 0

0 0 0

0

ln lnln lim lim

ln1 1

ln lim lim ln lim ln 1

1 1Al escribir como , se obtiene:

1ln lim ln 1

Puesto q

h h

h h h

h

f x h f x x h xdx

dx h hx h

d x h hxx

dx h h x h x

x

h x h

d x hx

dx x h x

0 0 0

ue ln ln :

1 1 1ln lim ln 1 lim ln 1 ln lim 1

r

x x x

h h h

h h h

r m m

d h h hx

dx x x x x x x

Para evaluar el límite, primero se observa que cuando h0, entonces x es constante y en consecuencia:

1

0

0 y viceversa, si 0, entonces 0.

Se reemplaza por k, el límite se convierte en:

lim 1

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

1 1 1ln ln 1 ; para

kh

h kh

k hh

x

k e

dx e x

dx x x x

0

y

1 1 1ln ; para 0

Se pueden combinar las dos últimas mediante la función de valor absoluto

1ln

d dx x x

dx x dx x x

dx

dx x

EJEMPLO 1

a) Diferencie

b) Diferencie

5lnf x x

2

ln xy

x

EJEMPLO 2

a) Diferencie

b) Diferencie

c) Diferencie

2ln 1y x

2 ln 4 2y x x

ln lny x

EJEMPLO 3

a) Encuentre si

b) Encuentre si

dy

dx

3ln 2 5y x

'f p

2 3 4ln 1 2 3f p p p p

EJEMPLO 4

a) Encuentre si

b) Encuentre si

'f w

2

2

1ln

1

wf w

w

'f x

3ln 2 5f x x

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE B

Para diferenciar una función logarítmica con base diferente a e, se puede convertir primero el logaritmo a logaritmos naturales por medio de:

Al diferenciar se tiene:

lnlog

lnb

uu

b

ln 1 1 1log ln

ln ln lnb

d d u d duu u

dx dx b b dx b u dx

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Si u

u u

y e

d due e

dx dx

Si x

x x

y e

de e

dx

Si

ln

u

u u

y b

d dub b b

dx dx

DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA La diferenciación implícita es una técnica para

diferenciar funciones que no están dadas en la forma usual y=f(x)

1. Diferenciar cada término de la ecuación respecto a x y y. Cuando se hace respecto a y se le agrega:

2. Agrupe los términos que tengan en el lado izquierdo del igual.

3. Se factoriza el lado izquierdo con el término común de:

4. Despeje

dy

dxdy

dx

dy

dxdy

dx

EJEMPLO 1

Encuentre mediante diferenciación implícita si:

Encuentre mediante diferenciación implícita si:

dy

dx

3 7y y x

EJEMPLO 2dy

dx3 2 44 27x xy y

EJEMPLO 4

Encuentra la pendiente de la curva en el punto (1,2)

Encuentre si:

23 2x y x

EJEMPLO 3

dq

dp

ln lnq p q p