aplicaciones de laintegralcanek.uam.mx/integral/cap03.aplicaciones/3.3.volumen/ftvolumen.pdf ·...

CAPITULO

3

Aplicaciones de la integral

3.1 Volumen de solidos

Lo que dio origen a la integral en el calculo de areas (hacer una particion de un intervalo, obtener aproxi-macion del area, refinar la particion, tomar lımites, entre otros) puede ahora aplicarse para calcular el volu-men de un solido, teniendo en cuenta ciertas suposiciones generales. Imaginemos un solido B en el espaciocuyo volumen V.B/ deseamos calcular.

Este volumen es una medida de la extension del solido, y al igual que el area satisface las propiedades:

1. V.B/ � 0.

2. V.B1

S

B2/ D V.B1/ C V.B2/, siempre que B1

T

B2 D Ø.

Un cilindro es un solido que tiene una cara plana que llamaremos base y altura constante h. Ademas, Labase tiene exactamente la misma forma que la tapa superior y que cualquier corte o seccion transversalparalela a la base.

canek.azc.uam.mx: 13/ 1/ 2017

1

2 Calculo integral

El solido que usualmente llamamos cilindro es en realidad un cilindro circular recto. El cilindro como loacabamos de definir puede tener base de cualquier forma R, en particular cuando R es un polıgono elcorrespondiente cilindro es un prisma:

Una vez aclarado lo que entendemos por cilindro, enunciamos la propiedad de normalizacion del volumen:

3. Si B es un cilindro cuya base es la figura plana R y con altura h, entonces su volumen es

V.B/ D A.R/ � h;

es decir, es el producto del area de su base por su altura.

Observacion. La propiedad anterior concuerda con las ideas previamente adquiridas en geometrıa, porejemplo, si el cilindro es un prisma, su volumen se calcula exactamente como el area de la base por laaltura.

Para calcular el volumen de solidos que no necesariamente sean cilindros utilizamos un razonamiento pare-cido al que aplicamos para el calculo de areas, basado en rectangulos; pero ahora calcularemos basandonosen el volumen de cilindros, esto es:

� Supongamos que para el solido B cuyo volumen queremos calcular hay una lınea recta ` de tal formaque podemos hacer cortes del solido B con planos perpendiculares a `, como sucede en las maquinasque se usan para rebanar alimentos.

3.1 Volumen de solidos 3

Para que nuestro argumento avance, tenemos que suponer algo mas: que la lınea ` esta graduada otiene escala, de manera que podemos hacer un corte perpendicular a ` a cualquier distancia x dentrode cierto rango Œa; b�.

� Suponemos tambien que ese corte a la distancia x es una cara plana, digamos R.x/, cuya area debeser posible calcular; denotemos dicha area por

A.x/ D area de R.x/:

� Con los anteriores supuestos, podemos calcular el volumen de un solido B por medio de los pasossiguientes:

F Tomamos una particion del intervalo Œa; b�, esto es, a D x0 < x1 < x2 < � � � < xn D b.

F Para cada subintervalo de la particion Œxi�1; xi � tomamos un punto x�i 2 Œxi�1; xi �.

F Hacemos un corte perpendicular a la lınea ` que pase por el punto x�i . Este corte determina una

region plana del solido cuya area A.x�i / se calcula.

`b

x�

i

F Se construye un cilindro recto cuya area de la base es A.x�i / y la altura es �xi D xi � xi�1.

`b

�xi

F Obtenemos ası, una aproximacion al volumen del solido mediante la formula

Vol.B/ �nX

iD1

A.x�i /.xi � xi�1/ D

nX

iD1

A.x�i /�xi ;

`

F La aproximacion sera mejor a medida que tomamos particiones mas finas, con n tendiendo a 1 ycon �xi tendiendo a cero. El metodo ası esbozado producira, en el lımite, el volumen del solido:

Vol.B/ DZ b

a

A.x/ dx:

4 Calculo integral

Ejemplo 3.1.1 Calcular el volumen de una piramide de base cuadrada con lado a & altura h.

H Pongamos en el eje x la lınea que une los centros de los cuadrados que forman las secciones transver-sales de la piramide, como se muestra en la siguiente figura:

a

b

b

b

h

`.x/

x

y

b b b

a

h

`.x/

x

0

b

.h; a2/

De esta forma el vertice de las caras triangulares de la piramide coincide con el origen, y los cortes conplanos perpendiculares al eje son todos cuadrados; hay un cuadrado para cada x desde 0 hasta h. El ladode esos cuadrados crece linealmente, desde 0 cuando x D 0 hasta a cuando x D h; por tanto, el lado `.x/

del cuadrado en el corte por x es `.x/ D ax

h, para 0 � x � h. El area correspondiente a dicho cuadrado sera

entonces:

A.x/ D Œ`.x/�2 D�ax

h

�2

D a2x2

h2:

De acuerdo con la discusion previa, el volumen de la piramide es

V DZ h

0

A.x/ dx DZ h

0

a2x2

h2dx D a2

h2� x3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h

0

D a2

h2

�

h3

3

�

D a2h

3;


es decir, el volumen de una piramide es1

3del producto del area de la base por la altura. Vale la pena

comentar que esta formula ya era conocida por culturas antiguas, como la egipcia.

�

� Generalizando el ejemplo anterior, si R es una region plana acotada, llamamos cono sobre R de alturah al solido que resulta de unir todos los puntos de la region con un punto P del espacio, situado auna distancia h del plano que contiene a la region.

Por supuesto, el cono circular recto (que es a lo que comunmente llamamos cono) es un caso particularde lo que acabamos de definir.

Ejemplo 3.1.2 Demostrar que el volumen de cualquier cono sobre una region R de altura h es

VolD 1

3area.R/ � h

H Es necesario hacer la siguiente observacion: si se interseca el cono sobre la region R de altura h con unplano perpendicular a la base que pase por el vertice P el resultado sera siempre un triangulo de altura h

con vertice P (vease figura):

6 Calculo integral

P

R

La region R esta en un plano horizontal.

Plano vertical que pasa por P .

Por otro lado, las intersecciones del solido que estamos considerando con planos paralelos al plano quecontiene a la region R son todas semejantes a la region R:

P

R.0/ D R

R.x/

Es decir, el corte a la altura x, con 0 � x � h, es una region R.x/ semejante a la base R.0/, mientras queR.h/ degenera en el punto P .

Ahora bien, ¿como cambia el area A.x/ de la region R.x/?

Llamamos cuerda a cualquier segmento de recta que une dos puntos de la frontera de R. Supongamos queuna cuerda tiene longitud `.

b b

`.x/

`

0

x

h

h � x

Queremos calcular la longitud de la cuerda asociada, `.x/, a la altura x.De la figura anterior, por semejanza de triangulos:

`.x/

`D h � x

hD 1 � x

h) `.x/ D `

�

1 � x

h

�

:

Por lo tanto:

� Cualquier cuerda ` en la base disminuye con la altura a razon de `.x/ D `�

1 � x

h

�

.

� Las secciones horizontales del cono R.x/ son semejantes a la base R.0/.


Una ultima observacion: si las dimensiones lineales disminuyen como�

1 � x

h

�

a la altura x, entonces el

area de R.x/ debe disminuir como su cuadrado, es decir:

A.x/ D A.R/�

1 � x

h

�2

;

puesto que las areas varıan como el cuadrado de las dimensiones lineales.Como constatamos, el volumen del cono sobre R de altura h es

V DZ h

0

A.R/�

1 � x

h

�2

dx D A.R/

Z h

0

�

1 � x

h

�2

dx D

u D 1 �x

h) du D �

1

hdx ) dx D �h du:

D A.R/

Z 0

1

u2.�h du/ D A.R/

Z 1

0

hu2du D

D A.R/ � h � u3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

D A.R/ � h

3:

Esto es lo que se deseaba probar.�

Ejemplo 3.1.3 Un solido tiene como base un cırculo de radio r , y todas las intersecciones del solido con planosverticales paralelos a una direccion fija son rectangulos con altura igual a la mitad de lo que mide su base. Determinarsu volumen.

H Tal vez lo mas difıcil en estos problemas es imaginarse el solido cuyo volumen calcularemos a partir deuna descripcion verbal, como el enunciado de este ejemplo. Para fijar ideas, supongamos que la base delmismo esta en el plano xy, como un circulo de radio r y centro en el origen.

x

yx2 C y2 D r2

r�r 0 x

De hecho, visto desde arriba, este cırculo es todo lo que verıamos del solido. Supongamos que las inter-secciones del solido con planos verticales y paralelos al eje y son los rectangulos que dice el enunciado.Entonces la lınea marcada en la figura anterior serıa la base de uno de esos rectangulos; observe que esa

lınea tiene una longitud `.x/ D 2p

r2 � x2. Por otro lado, si vemos el solido de perfil desde el eje y o desdeel eje x, verıamos algo ası:

r�r 0Vista desde el eje y.

r�r 0

Vista desde el eje x.

r

8 Calculo integral

Un bosquejo del solido es

Una vez que visualizamos el solido, para el calculo de su volumen podemos elegir el eje x para integrar lafuncion del area A.x/, donde �r � x � r . Como observamos antes, la longitud de la base del rectanguloque resulta al intersecar el solido con el plano vertical paralelo al eje y y que pasa por el punto x es

`.x/ D 2p

r2 � x2I

su altura es la mitad de `.x/; por lo tanto, tenemos:

A.x/ D .2p

r2 � x2/.p

r2 � x2/ D 2.r2 � x2/;

donde el volumen es

V DZ r

�r

A.x/ dx DZ r

�r

2.r2 � x2/ dx˛D 2 � 2

Z r

0

.r2 � x2/ dx D 4

�

r2x � x3

3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

0

D

D 4

�

r3 � r3

3

�

D 8

3r3:

Observe que en la igualdad ˛ se hizo uso de la paridad del integrando para reducir la integral de �r a r aldoble de la integral de 0 a r .

�

Ejemplo 3.1.4 Un solido tiene base en el sector de parabola comprendido entre y D x2 y la recta y D 4, y lasintersecciones con planos perpendiculares a la base y paralelos al eje x son cuadrados. Determinar su volumen.

H La base del solido es

x

y

y

�2 20

bb (2,4)(-2,4)

x

y

x Dp

yx D �p

y

0

b

b

4

Donde la region se representa como:

R D˚

.x; y/ˇ

ˇ � 2 � x � 2 & x2 � y � 4


o bien

R D˚

.x; y/ˇ

ˇ 0 � y � 4 & � py � x � p

y

:

Las dos formas de describir la base R del solido son igualmente validas, sin embargo, la segunda es masadecuada al proposito de calcular el volumen del solido. La lınea marcada a la altura y sera la base delcuadrado que resulta de cortar al solido con un plano vertical paralelo al eje x, como se muestra:

Si escogemos como eje de rotacion al eje y para calcular el volumen, vemos que 0 � y � 4 y que el lado delcuadrado en la base mide `.y/ D 2

py, por lo que su area es

A.y/ D .2p

y/2 D 4y:

El calculo del volumen es

V DZ 4

0

A.y/ dy DZ 4

0

4y dy D 4y2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 32 u3:

�

Ejercicios 3.3.1 Volumenes. Soluciones en la pagina 52

1. Un solido tiene como base un cırculo de radio 5 en el plano xy. Calcular, en cada caso, el volumen delsolido si todas sus intersecciones con planos verticales, paralelos a una direccion fija son

a. Cuadrados.

b. Triangulos equilateros (con base en el plano xy).

c. Rectangulos de altura 1.

2. La region R del plano entre las curvas y D x2 � 3x � 2 & y D x � 1 es la base de un solido. Calcular,en cada caso, el volumen del solido si todas las intersecciones con planos paralelos al eje y son

a. Cuadrados.

b. Rectangulos de altura 1.

c. Rectangulos con perımetro 10.

3. La region R del plano entre las curvas y D x2 & y Dp

x es la base de un solido. Calcular, en cadacaso, el volumen del solido si todas las intersecciones con planos paralelos al eje y son

a. Cuadrados.

b. Hipotenusas de triangulos rectangulos isosceles.

c. Diametros de cırculos.

10 Calculo integral

4. La region R del plano entre la curva y D cos x & el eje x entre x D ��

2& x D �

2es la base de un

solido. Calcular, en cada caso, el volumen del solido si todas las intersecciones con planos perpendi-culares al eje x son

a. Cuadrados.

b. Rectangulos de perımetro 2.

c. Diametros de semicırculos.

3.3.1 Volumenes de solidos de revolucion

Un caso especial de volumen de un solido es el de los solidos de revolucion. Estos solidos se obtienenal hacer girar una region plana alrededor de un eje (recta) que esta en el mismo plano que la region, sinatravesarla:

Õ

`

R

Ejemplos de este tipo de solidos en la vida cotidiana: vasos, copas, botellas, entre otros, al igual que muchaspiezas mecanicas, tienen forma de solidos de revolucion. Los conos y cilindros circulares rectos, las esferas,elipsoides y muchos solidos mas son de este tipo.

Por ejemplo, un toro se genera al girar un cırculo alrededor de una recta

El resultado es esta figura que tiene la forma de una dona o rosquilla. Ahora bien, ¿como se calcula elvolumen de un solido de revolucion? Empezaremos por un caso sencillo.

Consideremos una funcion f .x/ � 0 definida y continua en un intervalo Œa; b� y el solido generardo al girarla region bajo la grafica de y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas x D a & x D b alrededor del eje x:


x

y

y D f .x/

Õa bx

f .x/

En este caso conviene tomar como eje para el calculo del volumen al propio eje x (que es el eje de revolucion)y no olvidar que cualquier seccion transversal obtenida al intersecar al solido con un plano perpendicularal eje x por un punto x entre a, b es un cırculo. El area de ese cırculo es

A.x/ D �Œradio en x�2;

pero se puede ver, por la figura anterior, que el radio en x es f .x/, por lo que

A.x/ D �Œf .x/�2:

Ası que el volumen del solido de revolucion es

Volumen DZ b

a

A.x/ dx DZ b

a

�Œf .x/�2 dx: (3.1)

Ejemplo 3.3.5 Calcular el volumen de una esfera de radio r .

H Podemos considerar la esfera como el solido de revolucion generado al girar el semicırculo de radio r

con centro en el origen alrededor del eje x:

x

y

r rxÕ

x2 C y2 D r2, y � 0 )

) y D f .x/ Dp

r2 � x2

12 Calculo integral

Como f .x/ Dp

r2 � x2, entonces

A.x/ D �Œf .x/�2 D �hp

r2 � x2i2

D �.r2 � x2/I

el volumen es

V.x/ DZ r

�r

�.r2 � x2/ dx D 2�

Z r

0

.r2 � x2/ dx D 2�

�

r2x � x3

3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

r

0

D 2�

�

r3 � r3

3

�

D 4

3�r3 u3:

�

Ejemplo 3.3.6 Calcular el volumen de un cilindro y de un cono, ambos circulares rectos, con radio r en la base yaltura h, considerados como solidos de revolucion.

H Tanto el cilindro como el cono se generan como solidos de revolucion al girar un rectangulo y untriangulo, respectivamente, alrededor del eje x como se muestra en la figura:

x

y

0 x h

.h; r/f .x/ D r

x

y

0 x h

.h; r/g.x/ D r

hx

Utilizamos la formula (3.1) de la pag. 11 para el calculo del volumen de revolucion con f .x/ D r para el

cilindro ası como g.x/ D r

hx para el cono (puesto que y D r

hx es la ecuacion de la recta que pasa por los

puntos .0; 0/ y .h; r/, obtenemos:

Para el cilindro,

volumen DZ h

0

�Œf .x/�2 dx D �

Z h

0

r2dx D �r2x

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h

0

D �r2h u3:

Para el cono,

volumen DZ h

0

�Œg.x/�2 dx DZ h

0

�� r

hx�2

D �r2

h2

Z h

0

x2dx D �r2

h2

x3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

h

0

D �r2

h2

h3

3D 1

3�r2h u3:

Esto es:

1. El volumen del cilindro es el area de su base (�r2) por la altura h.

2. El volumen del cono es1

3del volumen del cilindro.

Como vimos en el ejemplo (3.1.2).�

Ejemplo 3.3.7 Calcular el volumen del solido de revolucion obtenido al girar la region comprendida entre la curva

y D x2, el eje x y la recta vertical x Dp

2 alrededor de:


1. El eje x.

2. El eje y.

H

La region que gira, tiene dos lados rectos (el eje x & la recta x Dp

2) y un tercer lado curvo, la parabolay D x2.

x

y

0p

2

1. Eje de giro o rotacion: el eje x.

x

y

0p

2x

2

Õ

Aplicando la formula .3:1/ de la pag. 11 para volumenes de revolucion y usando f .x/ D x2:

Volumen DZ

p2

0

�Œf .x/�2 dx D �

Z

p2

0

.x2/2dx D �

Z

p2

0

x4dx D �

x5

5

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

p2

0

D �.p

2/5

5D 4�

p2

5:

2. Eje de giro o rotacion: el eje y.

x

y

b

b

.p

2; 2/

.p

2; 0/0

2

y

Õ

14 Calculo integral

El solido que se obtiene es un cilindro al que se le ha removido un volumen con forma de paraboloidede revolucion.

Podemos calcular el volumen, encontrando primero el volumen del cilindro solido y restandole el

volumen del paraboloide que se le ha removido. El cilindro tiene radio en la basep

2 y altura 2, porlo que su volumen es

Vcil D �.p

2/2.2/ D 4�u3:

Para el volumen del paraboloide removido hay que integrar sobre el eje y desde 0 hasta 2, y el ra-dio correspondiente a la altura y esta dado por la abscisa x del punto en la parabola y D x2 conordenada y:

x

y

x Dp

2

x Dp

y

0

2

y

Õ

Esto significa que si escribimos x en funcion de y tendremos x D g.y/ D py. Por lo tanto, la integral

que corresponde al volumen del paraboloide es

Volp DZ 2

0

�Œg.y/�2 dy DZ 2

0

�.p

y/2dy D �

Z 2

0

y dy D �y2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D �

2

�

22 � 02�

D 2�:

El volumen buscado es

Volumen D Vcil � Volp D 4� � 2� D 2�u3:

�

3.3.2 Volumenes de solidos de revolucion. Metodo de las Arandelas

En los ejemplos considerados hasta el momento, el eje de revolucion ha sido una parte de la frontera de laregion R que se gira alrededor del eje (figura A), pero ¿que sucedera si dicho eje esta separado de la regionR al girar? (figura B) ¿Como calcular el volumen resultante?

Õ

R

`Eje

de revolu

cion

Figura A

Õ

R

`Eje

dere

voluci

on

Figura B


Si rotamos la region R alrededor de la recta `, al menos 360ı, el resultado es un solido de revolucion con unhueco o perforacion. Para resolver este problema, es preciso:

� Calcular el volumen del solido exterior. Esto es, el volumen que se forma al rotar la region R.

� Calcular el volumen del solido interior. Es decir, el volumen del hueco, considerado como un solidoque se remueve del solido exterior.

Entonces, al girar la region R alrededor del eje `:

Volumen del solido generado por R D volumen exterior � volumen interior:

Para darle una forma mas concisa a la igualdad anterior, suponemos que la recta ` es el eje x y ademas quela region R se puede describir como sigue:

R consta de los puntos .x; y/; con a � x � b; y con g.x/ � y � f .x/IR D

˚

.x; y/ 2 R2ˇ

ˇa � x � b & g.x/ � y � f .x/

:

Por lo tanto, la region R se encuentra definida como la porcion del plano xy entre las graficas de dosfunciones, f .x/ la funcion que define la region exterior ası como g.x/ la funcion que define la region interiorcon respecto al eje de revolucion `.

Õ

R

` D eje x

Ejede

revolu

cion

Figura C

a bx

f .x/

g.x/

Entonces, continuando con el razonamiento, el volumen V del solido generado por R al girar alrededor deleje x, es

V DZ b

a

�Œf .x/�2 dx �Z b

a

�Œg.x/�2 dx DZ b

a

�Œf .x/2 � g.x/2� dx:

Una manera alternativa de obtener esta formula es considerar el mismo solido de la figura C, con seccio-nes transversales perpendiculares al eje de rotacion cuya forma es la de un disco perforado o arandela,es decir, la region comprendida entre dos cırculos concentricos cuyos radios son re D radio exterior yri D radio interior:

re

ri

16 Calculo integral

El area de dicha figura es

�r2e � �r2

i D �.r2e � r2

i /:

Para cada x en el intervalo Œa; b�, la arandela obtenida al hacer el corte transversal por x tiene radiosre D f .x/ & ri D g.x/, de modo que su area sera

A.x/ D �h

.f .x//2 � .g.x//2i

:

El volumen de revolucion se obtendra de la siguiente manera:

V DZ b

a

A.x/ dx DZ b

a

�h

.f .x//2 � .g.x//2i

dx:

Veamos algunos ejemplos de aplicacion de este metodo.

Ejemplo 3.3.8 Determinar el volumen del solido de revolucion generado al rotar alrededor del eje x, la region R

comprendida entre f .x/ D 4 & g.x/ D 2p

x desde x D 0 hasta x D 4.

x

y

0 x 4Õ

f .x/

g.x/

H El intervalo de integracion para obtener el volumen es Œ0; 4� y las funciones para calcular los radiosexterior e interior del corte transversal en x son f .x/ D 4 & g.x/ D 2

px, respectivamente; ası que el

volumen se calcula:

V DZ b

a

�h

.f .x//2 � .g.x//2i

dx D �

Z 4

0

Œ42 � .2p

x/2� dx D �

Z 4

0

Œ16 � 4x� dx D

D �.16x � 2x2/

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D �.64 � 32/ D 32�u3:

�

Ejemplo 3.3.9 Determinar el volumen de una esfera de radio R a la que se practica una perforacion cilındrica, deradio r < R, a lo largo de uno de sus diametros.


x

y

Õx

y Dp

R2 � x2

y D r

H Podemos imaginar la esfera con la perforacion indicada, como el solido generado al girar la regionsombreada en la figura alrededor del eje x. Es claro, para cualquier seccion transversal, que el radio exterior

es f .x/ Dp

R2 � x2 y que el radio interior es g.x/ D r , el cual debe cumplir r < R. Hace falta calcular los

lımites de integracion. Para ello baste notar que el semicırculo y Dp

R2 � x2 y la recta horizontal y D r seintersecan cuando: p

R2 � x2 D r ) x2 D R2 � r2 ) x D ˙p

R2 � r2:

Ası tenemos que los lımites de integracion son �p

R2 � r2 &p

R2 � r2; el volumen buscado es

V DZ

pR2�r2

�p

R2�r2

�h

.p

R2 � x2/2 � r2i

dx D 2

Z

pR2�r2

0

�h

.p

R2 � x2/2 � r2i

dx D

D 2�

Z

pR2�r2

0

.R2 � r2 � x2/ dx D 2�

�

.R2 � r2/x � x3

3

�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

pR2�r2

0

D

D 2�

"

.R2 � r2/p

R2 � r2 � .p

R2 � r2/3

3

#

D 2�

2

4.R2 � r2/32 � .R2 � r2/

32

3

3

5 D

D 4�

3.R2 � r2/

32 :

�

Ejemplo 3.3.10 Sea R la region del plano limitada por la recta y � 2x D 0 y la parabola x2 � y D 0. Utilice elmetodo de Arandelas para calcular el volumen del solido obtenido al rotar R alrededor de

1. y D 0.

2. x D 0.

3. y D 5.

4. x D 3.

5. y D �1.

6. x D �1.

H Calculamos las intersecciones entre la recta `.x/ D 2x & la parabola p.x/ D x2.

`.x/ D p.x/ ) 2x D x2 ) x2 � 2x D 0 ) x.x � 2/ D 0 ) x D 0 & x D 2:

Los puntos de interseccion en el plano son

P1 D .0; 0/ P2 D .2; 4/:

Pintamos la region R en el plano:

18 Calculo integral

x

y

b

b

.0; 0)

2,4)

y D x2

y D 2x

1. Eje de rotacion y D 0.

Para calcular el area de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaciony D 0 hasta las graficas de las funciones que definen la region:

a. El radio exterior re D `.x/ � 0 D `.x/ D 2x.

b. El radio interior ri D p.x/ � 0 D p.x/ D x2.

x

y

b

b

.0; 0/

2,4)

re

ri

Õy D 0

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucion de la region R se calcula como sigue:

VR DZ 2

0

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ 2

0

��

.2x/2 � .x2/2�

dx D

D �

Z 2

0

�

4x2 � x4�

dx D �

�

4

3x3 � 1

5x5

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D 64

15�:

2. Eje de rotacion x D 0.

Para poder aplicar el metodo de las arandelas se requiere medir la longitud de los radios exterior einterior de la frontera de la region que rota alrededor del eje x D 0. Estos radios son perpendicularesal eje de rotacion. En nuestro caso, el eje de rotacion es el eje y. Por lo tanto las funciones que definenla region deben de tener variable independiente y, es decir, de la forma x D g.y/. Ahora es facildespejar la variable x de las ecuaciones y obtener explıcitamente las funciones inversas. Veamos:

`.x/ D y D 2x ) x D 1

2y D i`.y/I

p.x/ D y D x2 ) x D py D ip.y/:

La funcion i`.y/ es la inversa de la funcion `.x/, es decir, i`Œ`.x/� D x & `Œi`.y/� D y, como se puedecomprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la otra funcion p.x/ y suinversa ip.y/.

R se encuentra entre las graficas de i`.y/ & ip.y/ en el intervalo Œ0; 4�


x

y

b

b

.0; 0/

2,4)

ri

re

Õx D 0

Para calcular ahora el area de la arandela se requiere medir los radios del eje de rotacion x D 0 a lasgraficas de las funciones que definen la region:

a. El radio exterior re D ip.y/ � 0 D py D y

12 .

b. El radio interior ri D i`.y/ � 0 D 1

2y.


VR DZ 4

0

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ 4

0

�

"

.p

y/2 ��

1

2y

�2#

dy D

D �

Z 4

0

�

y � 1

4y2

�

dy D �

�

1

2y2 � 1

12y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 8

3�:


Para calcular el area de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaciony D 5 hasta las graficas de las funciones que definen la region:

a. El radio interior ri D 5 � `.x/ D 5 � 2x.

b. El radio exterior re D 5 � p.x/ D 5 � x2.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/ri

re

Õy D 5


VR DZ 2

0

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ 2

0

��

.5 � x2/2 � .5 � 2x/2�

dx D

D �

Z 2

0

�

20x � 14x2 C x4�

dx D �

�

10x2 � 14

3x3 C 1

5x5

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D 136

15�:

20 Calculo integral


x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

re

ri

Õx D 3

Para calcular ahora el area de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje derotacion x D 3 hasta las graficas de las funciones que definen la region:

a. El radio interior ri D 3 � ip.y/ D 3 � py.

b. El radio exterior re D 3 � i`.y/ D 3 � 1

2y.


VR DZ 4

0

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ 4

0

�

"

�

3 � 1

2y

�2

� .3 � py/2

#

dy D

D �

Z 4

0

�

6p

y � 4y C 1

4y2

�

dy D �

�

4y32 � 2y2 C 1

12y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 16

3�:

5. Eje de rotacion y D �1.

Para calcular el area de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaciony D �1 hasta las graficas de las funciones que definen la region:

a. El radio interior ri D p.x/ � .�1/ D x2 C 1.

b. El radio exterior re D `.x/ � .�1/ D `.x/ C 1 D 2x C 1.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

re

ri

Õy D �1


VR DZ 2

0

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ 2

0

��

.2x C 1/2 � .x2 C 1/2�

dx D

D �

Z 2

0

�

4x C 2x2 � x4�

dx D �

�

2x2 C 2

3x3 � 1

5x5

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D 104

15�:


6. Eje de rotacion x D �1.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

ri

re

Õx D �1

Para calcular ahora el area de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje derotacion x D �1 hasta las graficas de las funciones que definen la region:

a. El radio exterior re D ip.y/ � .�1/ D py C 1.

b. El radio interior ri D i`.y/ � .�1/ D 12y C 1.


VR DZ 4

0

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ 4

0

�

"

�py C 1

�2 ��

1

2y C 1

�2#

dy D

D �

Z 4

0

�

2p

y � 1

4y2

�

dy D �

�

4

3y

32 � 1

12y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 16

3�:

�

Ejemplo 3.3.11 El solido de revolucion generado al girar un cırculo de radio r alrededor de una recta en su mismoplano situada a una distancia R � r del centro del cırculo se llama toro. Determinar el volumen de dicho solido.

H Para fijar notacion e ideas, podemos suponer que el cırculo de radio r tiene su centro en el eje y, y quese gira alrededor del eje x.

x

y

b

b

Õx

R

22 Calculo integral

Por lo tanto el centro estara en .0; R/ y la ecuacion del cırculo sera

.x � 0/2 C .y � R/2 D r2;

de donde.y � R/2 D r2 � x2 ) y D R ˙

pr2 � x2:

Se toma el signo positivo para describir el semicırculo superior y el negativo para el inferior. En la figura sedescribe como se verıa un corte transversal del solido al nivel x, para x entre �r & r . Es claro que el radio

exterior de la arandela es f .x/ D R Cp

r2 � x2 y que el radio interior es g.x/ D R �p

r2 � x2, de modoque el volumen buscado es

V DZ r

�r

�h

.f .x//2 � .g.x//2i

dx D �

Z r

r

h

.R Cp

r2 � x2/2 � .R �p

r2 � x2/2i

dx D

D 2�

Z r

0

4Rp

r2 � x2 dx:

Para resolver esta integral, utilizamos sustitucion trigonometrica:

x D r sen � ) dx D r cos � & r2 � x2 D r2 � r2sen

2� D r2�

1 � sen2��

D r2cos

2 �;

tomando en cuenta que el intervalo de integracion es, 0 6 x 6 r con el cambio de variable se convierte en

0 6 � 6�

2, en donde el cos � es no negativo, tenemos:

V D 2�

Z r

0

4Rp

r2 � x2 dx D 8�R

Z

�2

0

pr2 cos2 � � r cos � d� D 8�R � r2

Z

�2

0

cos2 � d� D

D 8�R � r2

Z

�2

0

1

2.1 C cos 2�/ d� D 4� � Rr2

�

� C sen 2�

2

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

�2

0

d� D 4�Rr2�

�2

�

D 2�2r2R:

Por lo tanto el volumen del toro esV D 2�2r2R:

�

Ejemplo 3.3.12 Sea R la region del plano limitada por las rectas y D �2x � 3, 7x � y C 9 D 0 & 4x � y C 2 D 0.Usando el metodo de Arandelas, calcular el volumen del solido obtenido al rotar R alrededor de los siguientes ejes:

1. y D 0.

2. x D 0.

3. y D 1.

4. x D 2.

5. y D �8.

6. x D �4.

H Calculamos las intersecciones de las rectas `1.x/ D �2x � 3, `2.x/ D 7x C 9, `3.x/ D 4x C 2.

`1.x/ D `2.x/ ) �2x � 3 D 7x C 9 ) 9x D �12 ) x D �4

3) y D `1 .x/ D �1

3:

`1.x/ D `3.x/ ) �2x � 3 D 4x C 2 ) 6x D �5 ) x D �5

6) y D `1 .x/ D �4

3:

`2.x/ D `3.x/ ) 7x C 9 D 4x C 2 ) 3x D �7 ) x D �7

3) y D `2 .x/ D �22

3:


P12 D�

�4

3; �1

3

�

; P13 D�

�5

6; �4

3

�

; P23 D�

�7

3; �22

3

�

:

Dibujamos la region R en el plano:


x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 13

� 56

� 43

� 73

� 223

R

`1.x/ D y D �2x � 3;

`2.x/ D y D 7x C 9;

`3.x/ D y D 4x C 2.


En la siguiente figura, la region R se divide en dos subregiones R1 & R2.

a. R1 se encuentra entre las graficas de las rectas `2.x/ y `3.x/ en el intervalo

�

�7

3; �4

3

�

.

b. R2 se encuentra entre las graficas de las rectas `1x/ y `3.x/ en el intervalo

�

�4

3; �

5

6

�

.

x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

Õy D 0

El area de las arandelas, para cada region, se calcula usando las distancias entre el eje de rotaciony D 0 y las graficas de las funciones que definen las regiones:

a. El radio exterior re D 0 � `3.x/ D �`3.x/ D �.4x C 2/ D �4x � 2, en ambas regiones.

b. El radio interior ri D 0 � `2.x/ D �`2.x/ D �.7x C 9/ D �7x � 9, en la region R1.

c. El radio interior ri D 0 � `1.x/ D �`1.x/ D �.�2x � 3/ D 2x C 3, en la region R2.

Por lo tanto, el volumen del solido de revolucion de la region R1 se calcula como sigue:

VR1DZ � 4

3

� 73

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ � 4

3

� 73

��

.�4x � 2/2 � .�7x � 9/2�

dx D

D �

Z � 43

� 73

�11�

7 C 10x C 3x2�

dx D �11��

7x C 5x2 C x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 11�:

24 Calculo integral

El volumen del solido de revolucion de la region R2 es

VR2DZ � 5

6

� 43

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ � 5

6

� 43

��

.�4x � 2/2 � .2x C 3/2�

dx D

D �

Z � 56

� 43

�

�5 C 4x C 12x2�

dx D ��

�5x C 2x2 C 4x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D 5

2�:

El volumen del solido de revolucion solicitado es

Vol.R/ D Vol.R1/ C Vol.R2/ D 11� C 5

2� D 27

2�:


Para poder aplicar el metodo de las Arandelas se requiere medir los radios exterior e interior de lasfronteras de la region que rota alrededor del eje x D 0. Estos radios son perpendiculares al eje derotacion. En nuestro caso, el eje de rotacion es el eje y. Por lo tanto las funciones que definen la regiondeben de tener variable independiente y, es decir, de la forma x D g.y/. En este caso es facil despejarla variable x de las ecuaciones de las rectas y obtener explıcitamente las funciones inversas. Veamos:

`1.x/ D y D �2x � 3 ) x D �1

2.y C 3/ D i`1.y/I

`2.x/ D y D 7x C 9 ) x D 1

7.y � 9/ D i`2.y/I

`3.x/ D y D 4x C 2 ) x D 1

4.y � 2/ D i`3.y/:

La funcion i`1.y/ es la inversa de la funcion `1.x/, es decir, i`1Œ`1.x/� D x & `1Œi`1.y/� D y, comose puede comprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con las otras dos fun-ciones y sus funciones inversas correspondientes.

La region R se divide en dos subregiones R1 & R2.

a. R1 se encuentra entre las graficas de las rectas i`2.y/ e i`3.y/ en el intervalo

�

�22

3; �4

3

�

.

b. R2 se encuentra entre las graficas de las rectas i`2.y/ e i`1.y/ en el intervalo

�

�4

3; �1

3

�

.

x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

Õx D 0

El area de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotacion x D 0 y las graficas delas funciones que definen las regiones:


a. El radio exterior re D 0 � i`2.y/ D �i`2.y/ D � 17.y � 9/ en ambas regiones.

b. El radio interior ri D 0 � i`3.y/ D �i`3.y/ D � 14.y � 2/ en la region R1.

c. El radio interior ri D 0 � i`1.y/ D �i`1.y/ D ��

� 12.y C 3/

�

D 12.y C 3/ en la region R2.


VR1DZ � 4

3

� 223

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ � 4

3

� 223

�

�

�1

7.y � 9/

�2

��

�1

4.y � 2/

�2!

dy D

D �

Z � 43

� 223

�1

784

�

�1 100 C 92y C 33y2�

dy D �1

784��

�1 100y C 46y2 C 11y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D 585

98�:


VR2DZ � 1

3

� 43

��

.re/2 � .ri /�2�

dx DZ � 1

3

� 43

�

"

�

�1

7.y � 9/

�2

��

�1

2.y C 3/

�2#

dy D

D �

Z � 13

� 43

�3

196

�

39 C 122y C 15y2�

dy D �3

196��

39y C 61y2 C 5y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D 153

196�:


Vol.R/ D Vol.R1/ C Vol.R2/ D 585

98� C 153

196� D 27

4�:


El razonamiento es semejante al del inciso 1., pag. 23. Lo que cambia es el eje de rotacion y el calculode los radios.

x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

Õy D 1

El area de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotacion y D 1 y las graficas delas funciones que definen las regiones:

a. El radio exterior re D 1 � `3.x/ D 1 � .4x C 2/ D �4x � 1 en ambas regiones.

b. El radio interior ri D 1 � `2.x/ D 1 � .7x C 9/ D �7x � 8 en la region R1.

c. El radio interior ri D 1 � `1.x/ D 1 � .�2x � 3/ D 2x C 4 en la region R2.

26 Calculo integral


VR1DZ � 4

3

� 73

��

Œre�2 � Œri �2�

dx DZ � 4

3

� 73

��

Œ�4x � 1�2 � Œ�7x � 8�2�

dx D

D �

Z � 43

� 73

�

�63 � 104x � 33x2�

dx D ��

63x C 52x2 C 11x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 14�:


VR2DZ � 5

6

� 43

��

Œre�2 � Œri �2�

dx DZ � 5

6

� 43

��

Œ�4x � 1�2 � Œ2x C 4�2�

dx

D �

Z � 56

� 43

�

�15 � 8x C 12x2�

dx D ��

�15x � 4x2 C 4x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D 4�:


Vol.R/ D Vol.R1/ C Vol.R2/ D 14� C 4� D 18�:


El razonamiento es semejante al del inciso 2, p. 24. Lo que cambia es el eje de rotacion y el calculo delos radios.

x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

Õx D 2

El area de las arandelas se calcula usando las distancias del eje de rotacion x D 2 a las graficas de lasfunciones que definen las regiones:

a. El radio exterior re D 2 � i`2.y/ D 2 � 1

7.y � 9/ D �1

7y C 23

7, en ambas regiones.

b. El radio interior ri D 2 � i`3.y/ D 2 � 1

4.y � 2/ D �1

4y C 5

2, en la region R1.

c. El radio interior ri D 2 � i`1.y/ D 2 ��

�1

2.y C 3/

�

D1

2y C

7

2, en la region R2.



VR1DZ � 4

3

� 223

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ � 4

3

� 223

�

"

�

�1

7y C

23

7

�2

��

�1

4y C

5

2

�2#

dy D

D �

Z � 43

� 223

1

784

�

3 564 C 244y � 33y2�

dy D 1

784

�

3 564y C 122y2 � 11y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D 1 341

98�:


VR2DZ � 1

3

� 43

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ � 1

3

� 43

�

"

�

�1

7y C 23

7

�2

��

1

2y C 7

2

�2#

dy D

D �

Z � 13

� 43

� 15

196

�

19 C 58y C 3y2�

dy D � 15

196��

19y C 29y2 C y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D 405

196�:


Vol.R/ D Vol.R1/ C Vol.R2/ D 1 341

98� C 405

196� D 63

4�:



x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

Õ y D �8

El area de las arandelas se calcula usando las distancias del eje de rotacion y D �8 a las graficas delas funciones que definen las regiones:

a. El radio interior ri D `3.x/ � .�8/ D .4x C 2/ C 8 D 4x C 10, en ambas regiones.

b. El radio exterior re D `2.x/ � .�8/ D .7x C 9/ C 8 D 7x C 17, en la region R1.

c. El radio exterior re D `1.x/ � .�8/ D .�2x � 3/ C 8 D �2x C 5, en la region R2.


VR1DZ � 4

3

� 73

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ � 4

3

� 73

��

.7x C 17/2 � .4x C 10/2�

dx D

D �

Z � 43

� 73

�

189 C 158x C 33x2�

dx D ��

189x C 79x2 C 11x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 13�:

28 Calculo integral


VR2DZ � 5

6

� 43

��

.re/2 � .ri /2�

dx DZ � 5

6

� 43

��

.�2x C 5/2 � .4x C 10/2�

dx D

D �

Z � 56

� 43

�

�75 � 100x � 12x2�

dx D ��

75x C 50x2 C 4x3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D19

2�:



2� D 45

2�:



x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

Õx D �4

El area de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotacion x D �4 y las graficasde las funciones que definen las regiones:

a. El radio interior ri D i`2.y/ � .�4/ D 1

7.y � 9/ C 4 D 1

7y C 19

7, en ambas regiones.

b. El radio exterior re D i`3.y/ � .�4/ D 1

4.y � 2/ C 4 D 1

4y C 7

2, en la region R1.

c. El radio exterior re D i`1.y/ � .�4/ D �1

2.y C 3/ C 4 D �1

2y C 5

2, en la region R2.


VR1DZ � 4

3

� 223

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ � 4

3

� 223

�

"

�

1

4y C 7

2

�2

��

1

7y C 19

7

�2#

dy D

D �

Z � 43

� 223

1

784

�

3 828 C 764y C 33y3�

dy D 1

784��

3 828y C 382y C 11y2�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D

D 927

98�:



VR2DZ � 1

3

� 43

��

.re/2 � .ri /2�

dy DZ � 1

3

� 43

�

"

�

�1

2y C 5

2

�2

��

1

7y C 19

7

�2#

dy D

D �

Z � 13

� 43

3

196

�

�73 � 214y C 15y2�

dy D 3

196��

�73y � 107y2 C 5y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D

D 351

196�:



98� C 351

196� D 45

4�:

�

Ejemplo 3.3.13 Un vaso tiene la forma de cono truncado al que se le ha extraıdo un paraboloide de revolucion comose muestra en la figura.

x

y

Ô

Calcular el volumen del material necesario para fabricar el vaso.

H El solido se obtiene al girar alrededor del eje y, la region del primer cuadrante comprendida entre losejes coordenados, la recta y D 10x � 20 y la parabola y D x2 C 1.

x

y

.3; 10/

y D 10x � 20

y D x2 C 1

Ô

30 Calculo integral

La region sombreada genera el volumen del vaso. Una rapida inspeccion da como resultado que la rectay D 10x � 20 y la parabola y D x2 C 1 se intersecan en el punto .3; 10/:

x2 C 1 D 10x � 20 ) x2 � 10x C 21 D 0 ) x D 10 ˙p

.�10/2 � 4.21/

2D 10 ˙

p16

2D 5 ˙ 2 D

(

3I7:

Tomamos el primer valor de x; para dicho valor x D 3 tenemos y D 10.Podemos calcular el volumen buscado con el metodo de las Arandelas, pero como ahora el eje de revoluciones el vertical, tendremos que integrar con respecto a y desde 0 hasta 10. Tambien tenemos que tomar encuenta que las secciones transversales del solido difieren a distintas alturas.

� Si 0 � y � 1, la seccion es un cırculo.

� Si 1 � y � 10, la seccion es una arandela.

Los radios correspondientes se obtienen escribiendo las ecuaciones de la recta y parabola para x en funcionde y:

y D 10x � 20 ) 10x D y C 20 ) x D 1

10y C 2: Para la recta

y D x2 C 1 ) x2 D y � 1 ) x Dp

y � 1: Para la parabola

Ası resulta que

� Si 0 � y � 1, el radio del cırculo es x D 1

10y C 2; entonces la funcion del area de la seccion transversal

es

A.y/ D �

�

1

10y C 2

�2

:

� Si 1 � y � 10, el radio exterior de la arandela es re D 1

10y C 2, mientras que el radio interior es

ri Dp

y � 1; de aquı que el area de la arandela sera

A.y/ D �.r2e � r2

i / D �

"

�

1

10y C 2

�2

��

p

y � 1�2#

D �

�

y2

100C

4y

10C 4 � .y � 1/

�

D

D �

�

1

100y2 � 6

10y C 5

�

:

Con estas consideraciones, el volumen deseado es

Volumen DZ 10

0

A.y/ dy DZ 1

0

�

�

1

10y C 2

�2

dy CZ 10

1

�

�

1

100y2 �

6

10y C 5

�

dy D

D �

100

Z 1

0

.y C 20/2dy C �

100

Z 10

1

.y2 � 60y C 500/ dy D

D�

100

.y C 20/3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

C�

100

�

y3

3� 30y2 C 500y

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

10

1

D

D �

300.213 � 203/ C �

100

�

103

3� 30 � 102 C 500 � 10 �

�

13

3� 30 C 500

��

D

D �

3001 261 C �

100

�

1 000

3� 3 000 C 5 000 � 1

3C 30 � 500

�

D

D �

3001 261 C �

1001 863 D 22:83�:

Por lo anterior el volumen del material necesario para fabricar el vaso es 22:83� � 71:733 u3.�



1. Sea R la region del plano limitada por la parabola y D x2 y la recta 4x�y �1 D 0. Calcular el volumendel solido que se obtiene al rotar la region alrededor de los siguientes ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D �2.

d. x D �2.

e. y D 15.

f. x D 5.

2. Sea R la region del plano limitada por la parabola y2 D 4x y la recta x � y D 0. Calcular el volumendel solido que se obtiene al rotar la region alrededor de los siguientes ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D �1.

d. x D �1.

e. y D 6.

f. x D 6.

3. Sea R la region del plano limitada por el triangulo con vertices .1; 0/, .2; 1/, .1; 1/. Calcular el volumendel solido que se obtiene al rotar la region alrededor de los siguientes ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D �2.

d. x D �2.

e. y D 3.

f. x D 3.

4. Sea R la region limitada por el eje x y la grafica de la funcion y D sen x con x 2 Œ0; 2��. Calcular elvolumen del solido que se obtiene al rotar la region R alrededor de los siguientes ejes:

a. y D 1. b. y D �3. c. y D 0.

5. Sea R la region acotada por las graficas de la funciones y D sen x, y D 1 C sen x, la recta x D 0

& la recta x D � . Calcular el volumen del solido que se obtiene al rotar la region R alrededor de lossiguientes ejes:

a. y D 0. b. y D �1. c. y D 4.

6. Sea R la region acotada por las graficas de la funciones y D � sen x, y D 2 sen x donde x 2 Œ��; 0�.Calcular el volumen del solido que se obtiene al rotar la region R alrededor de los siguientes ejes:

a. y D 3.

b. y D �3.

c. x D 0.

d. x D 1.

e. x D �4.

7. Sea R la region acotada por la grafica de la funcion y D ln x, la recta x D 1, la recta x D e y el eje x.Calcular el volumen del solido que se obtiene al rotar la region R de los siguientes ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 3.

d. x D 3.

e. y D �2.

f. x D �2.

8. Sea R la region acotada por la grafica de la funcion y D arcsen x, recta y D �

2y el eje y. Calcular el

volumen del solido que se obtiene al rotar la region R de los siguientes ejes:

32 Calculo integral

a. x D 0.

b. x D �1.

c. x D 3.

d. y D 0.

e. y D �1.

f. y D 2.

3.3.3 Volumenes de solidos de revolucion. Metodo de Cascarones Cilındricos

El metodo que presentamos ahora parte de un principio diferente para calcular un volumen de revolucion.Vamos a considerar el solido como si estuviera formado por hojas o capas cilındricas muy delgadas.

1. Se grafica la curva y se determina la region que rota alrededor del eje y. En este caso, el dominio deesta curva es Œ0; b�.

x

y

y D f .x/

0 b

2. El solido de revolucion se obtiene al rotar la region.

x

y

y D f .x/

0 b

3. Para calcular el volumen del solido es preciso lo siguiente:

F Se hace una particion del intervalo Œ0; b� que define la region que rota, esto es

0 D x0 < x1 < x2 < : : : < xi�1 < xi < : : : < xn D b:


F Para cada subintervalo de la particion, Œxi�1; xi �, tomamos el punto medio x�i 2 Œxi�1; xi �. Construi-

mos el rectangulo de altura f .x�i / y base �xi D xi � xi�1.

F Al rotar este rectangulo alrededor del eje y, como se ve en la figura,

x

y

y D f .x/

0 bxi�1 xi

obtenemos un cascaron cilindrico.

F Para calcular el volumen de este cascaron cilındrico, restamos del volumen del cilindro exterior conradio xi el volumen del cilindro interior con radio xi�1 [ambos cilindros con altura f .x�

i /�.

Ve � Vi D �.xi /2f .x�

i / � �.xi�1/2f .x�i / D �Œ.xi/

2 � .xi�1/2�f .x�i / D

D �.xi � xi�1/.xi C xi�1/f .x�i / D 2�.xi � xi�1/

.xi C xi�1/

2f .x�

i / D

D 2�x�i f .x�

i /�i x: �i x D xi � xi�1I x�i D .xi C xi�1/

2.

F El volumen del solido de revolucion B se aproxima sumando los volumenes de los cascaronescilındricos ası contruidos:

V.B/ �nX

iDi

2�x�i f .x�

i /�i x D 2�

nX

iDi

x�i f .x�

i /�i x:

F La aproximacion sera mejor a medida que tomamos particiones mas finas, con n tendiendo a 1 ya la vez �xi tendiendo a cero. El volumen del solido es

Vol.B/ D 2�

Z b

0

xf .x/ dx:

Si usamos un plano que pasa por el eje de revolucion, como el de la figura:

34 Calculo integral

Rectangulo de interseccion delsolido con el semiplano de corte.

h

r

Obtenemos un corte del solido de revolucion en donde se ve el cascaron cilındrico de radio r & altura h. Elperımetro de la base del cascaron cilındrico es 2�r .

h

rA

B

b

b

h

Perımetro de la base del cascaron D 2�r .

El cascaron cilındrico se obtiene haciendo rotar el segmento AB alrededor del eje y (el eje de rotacion). Estarecta se encuentra a una distancia r del eje de rotacion (radio del cilindro) y tiene una longitud h (altura delcilindro). Tenemos por lo tanto:

Area lateral de cilindro D A.r/ D 2�rh:

Para este ejemplo, r D x 2 Œ0; b� & h D f .x/ es la funcion que define la region que rota.

Prodrıamos pensar que cada capa cilındrica tiene un grosor dr y por lo tanto el volumen de revolucion es

V DZ rmax

rmın

2�rh dr DZ b

0

2�xf .x/ dx:

Aquı, por supuesto, se debe escribir h D f .r/ como funcion de r D x para poder realizar el calculo. Loslımites de integracion rmın & rmax son los extremos del dominio de la funcion que define la region que rota.


Rotacion de una region entre dos curvas

Eje

b b

rmın rmax

Region entre dos curvas que rota alrede-dor de un eje para obtener un solido derevolucion.

Debe tenerse claro que (veanse figuras):

� El intervalo Œrmın; rmax� define a la region entre las curvas.

� P 2 Œrmın; rmax�.

� r es el radio de cada cascaron cilındrico y es la distancia de punto P a la recta que es el eje de revo-lucion.

� h mide la longitud del segmento entre las curvas en el punto P . Este segmento es paralelo al eje derevolucion.

Eje

P

b

r

h

Ejemplo 3.3.14 Se tiene una region limitada como sigue: arriba por la parabola y D �x2 C 4x � 3, abajo por eleje x. Calcular el volumen del solido generado al rotar la region alrededor del eje y.

H La region que se rota es la senalada en la figura y esta comprendida entre la parabola con vertice .2; 1/

que abre sus ramas hacia abajo y el eje x al cual corta en x D 1 y en x D 3.

x

y

y D �x2 C 4x � 3

1 3

b b

r

h

36 Calculo integral

Como el eje de giro es el eje y entonces, el radio es r D x & la altura es h D f .x/ D �x2 C 4x � 3; ası que elvolumen buscado es

V DZ 3

1

2�rh dr DZ 3

1

2�x.�x2 C 4x � 3/ dx D 2�

Z 3

1

.�x3 C 4x2 � 3x/ dx D

D 2�

�

�x4

4C 4

x3

3� 3

x2

2

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3

1

D 2�

�

�81 � 1

4C 4

27 � 1

3� 3

9 � 1

2

�

D

D 2�

�

�20 C 104

3� 12

�

D 2�8

3D 16

3� u3:

�

Ejemplo 3.3.15 Calcular el volumen del solido del ejemplo 3:3:13 usando cascarones cilındricos

x

y

Ô

H El solido se genera al rotar, alrededor del eje y, la region sombreada, limitada por la parabola y D x2C1,por el eje y, por el eje x & por la recta y D 10x � 20. Al tomar los cascarones cilındricos, el radio r de estoscoincide con x y varıa de 0 a 3; las correspondientes alturas h se definen en dos casos distintos:

1. Si 0 � x � 2, entonces h D x2 C 1.

x

y

x

h

b

b

.2; 0/

.3; 10/

Ô

2. Si 2 � x � 3, entonces el segmento vertical es la diferencia entre la parabola y D x2 C 1 y la rectay D 10x � 20, por lo tanto:

h D .x2 C 1/ � .10x � 20/ D x2 � 10x C 21:


x

y

x

h

b

b

.2; 0/

.3; 10/

Ô

Entonces el volumen es

V DZ 3

0

2�rh dr D 2�

Z 3

0

xh.x/ dx D 2�

�Z 2

0

x.x2 C 1/ dx CZ 3

2

x.x2 � 10x C 21/ dx

�

D

D 2�

�Z 2

0

.x3 C x/ dx CZ 3

2

.x3 � 10x2 C 21x/ dx

�

D

D 2�

��

x4

4C

x2

2

��ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

C�

x4

4� 10

x3

3C 21

x2

2

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3

2

D 2�

�

4 C 2 C81 � 16

4� 10

27 � 8

3C 21

9 � 4

2

�

D

D 2�

�

6 C 65

4� 190

3C 105

2

�

D 2�72 C 195 � 760 C 630

12D 137

6� � 71:733 u3;

esto es, el mismo resultado que obtuvimos antes, con un poco menos de esfuerzo.�

Ejemplo 3.3.16 Sea R la region del plano limitada por la recta y � 2x D 0 y la parabola �x2 C y D 0. Utilice elmetodo de Cascarones Cilındricos para calcular el volumen del solido obtenido al rotar R alrededor de los siguientesejes:

1. x D 0.

2. y D 0.

3. x D 3.

4. y D 5.

5. x D �1.

6. y D �1.

H Calculamos las intersecciones entra la recta y D `.x/ D 2x & la parabola y D p.x/ D x2.

`.x/ D p.x/ ) 2x D x2 ) x2 � 2x D 0 ) x.x � 2/ D 0 ) x D 0 & x D 2:


P1 D .0; 0/I P2 D .2; 4/:


x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

y D x2

y D 2x

38 Calculo integral


Para calcular el area lateral de un cascaron cilındrico, se requiere calcular su altura h y su radio r

(perpendicular al eje de rotacion):

a. La altura del cascaron cilındrico es h D `.x/ � p.x/ D 2x � x2.

b. El radio del cascaron es r D x.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

h

r

Õx D 0


VR DZ 2

0

2�rh dr DZ 2

0

2�x Œ`.x/ � p.x/� dx DZ 2

0

2�x�

2x � x2�

dx DZ 2

0

2��

2x2 � x3�

dx D

D 2�

�

2

3x3 �

1

4x4

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D8

3�:


Para poder medir la altura h del cascaron, las funciones que definen a la region deben tener variableindependiente y, es decir, de la forma x D g.y/. En este caso es facil despejar la variable x de lasecuaciones de la recta y de la parabola para obtener explıcitamente las funciones inversas. Veamos:

`.x/ D y D 2x ) x D 1

2y D i`.y/I

p.x/ D y D x2 ) x D py D ip.y/:

La funcion i`.y/ es la inversa de la funcion `.x/, es decir, i`Œ`.x/� D x & `Œi`.y/� D y, como se puedecomprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la otra funcion p.x/ y sufuncion inversa ip.y/.

R se encuentra entre las graficas de las rectas i`.y/ & ip.y/ en el intervalo Œ0; 4�. Tenemos:

a. El radio de un cascaron cilındrico, perpendicular al eje de rotacion y D 0 es r D y.

b. La altura del cascaron cilındrico es h D ip.y/ � i`.y/ D py � 1

2y.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

h

r

Õy D 0



VR DZ 4

0

2�rh dr DZ 4

0

2�y Œip.y/ � i`.y/� dy DZ 4

0

2�y�p

y � 12y�

dy D

DZ 4

0

2�

�

y32 � 1

2y2

�

dy D 2�

�

2

5y

52 � 1

6y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 64

15�:


a. El radio del cascaron, r D 3 � x.

b. La altura del cascaron, `.x/ � p.x/ D 2x � x2.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

h

r

Õx D 3


VR DZ 2

0

2�rh dr DZ 2

0

2�.3 � x/ Œ`.x/ � p.x/� dx DZ 2

0

2�.3 � x/�

2x � x2�

dx D

DZ 2

0

2��

6x � 5x2 C x3�

dx D 2�

�

3x2 � 5

3x3 C 1

4x4

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D 16

3�:


a. El radio del cascaron, r D 5 � y.

b. La altura del cascaron, ip.y/ � i`.y/ D py � 1

2y.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

h

r

Õy D 5


VR DZ 4

0

2�rh dr DZ 4

0

2�.5 � y/ Œip.y/ � i`.y/� dy DZ 4

0

2�.5 � y/�p

y � 12y�

dy D

DZ 4

0

2�

�

5y12 � 5

2y � y

py C 1

2y2

�

dy D 2�

�

10

3y

32 � 5

4y2 � 2

5y

52 C 1

6y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 136

15�:

40 Calculo integral


a. El radio del cascaron, r D x � .�1/ D x C 1.

b. La altura del cascaron, `.x/ � p.x/ D 2x � x2.

x

y

b

b

0; 0/

.2; 4/

h

r

Õx D �1


VR DZ 2

0

2�rh dr DZ 2

0

2�.x C 1/ Œ`.x/ � p.x/� dx DZ 2

0

2�.x C 1/�

2x � x2�

dx D

DZ 2

0

2��

2x C x2 � x3�

dx D 2�

�

x2 C 1

3x3 � 1

4x4

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2

0

D 16

3�:


a. El radio del cascaron, r D y � .�1/ D y C 1.

b. La altura del cascaron, ip.y/ � i`.y/ D py � 1

2y.

x

y

b

b

.0; 0/

.2; 4/

h

r

Õy D �1


VR DZ 4

0

2�rh dr DZ 4

0

2�.y C 1/ Œip.y/ � i`.y/� dy DZ 4

0

2�.y C 1/�p

y � 12y�

dy D

DZ 4

0

2�

�

py � 1

2y C y

32 � 1

2y2

�

dy D 2�

�

2

3y

32 � 1

4y2 C 2

5y

52 � 1

6y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

4

0

D 104

15�:

�

Ejemplo 3.3.17 Calcular el volumen del solido de revolucion generado al girar un cırculo de radio r > 0 alrededorde un eje situado a una distancia R > r de su centro.


H Este solido es el toro del ejemplo 3.3.11; ahora usando el metodo de Cascarones Cilındricos.

x

y

Õ

R C ry

bR

R � r

En este caso hemos tomado el eje x como el de revolucion. El cırculo tiene ecuacion:

x2 C .y � R/2 D r2: (3.2)

Al tomar una capa cilındrica, para un segmento vertical con R � r � y � R C r tenemos que el radiode la capa es el propio y, mientras que la altura h es lo que mide el segmento de �x a x, donde x es elcorrespondiente valor que cumple .3:2/, es decir:

x Dp

r2 � .y � R/2I �x D �p

r2 � .y � R/2Ih D x � .�x/ D 2x D 2

p

r2 � .y � R/2:

Por lo tanto el volumen es

V DZ RCr

R�r

2�yh dy D 4�

Z RCr

R�r

yp

r2 � .y � R/2 dy D � � � D 2�2Rr2:

Resolver la integral anterior requiere de tecnicas de sustitucion trigonometrica que se vieron en el capıtuloII. Aquı solamente indicamos el valor final y hacemos hincapie en que se obtiene el mismo resultado uti-lizando este metodo o el de las Arandelas.

�

Ejemplo 3.3.18 Sea R la region del plano limitada por las rectas y D �2x � 3, 7x � y C 9 D 0 & 4x � y C 2 D 0.Utilice el metodo de Cascarones Cilındricos para calcular el volumen del solido obtenido al rotar R alrededor de losejes:

1. x D 0.

2. y D 0.

3. x D 2.

4. y D 1.

5. x D �4.

6. y D �8.

H Calculamos las intersecciones de las rectas `1.x/ D �2x � 3, `2.x/ D 7x C 9, `3.x/ D 4x C 2.

`1.x/ D `2.x/ ) �2x � 3 D 7x C 9 ) 9x D �12 ) x D �4

3) y D `1 .x/ D �1

3:

`1.x/ D `3.x/ ) �2x � 3 D 4x C 2 ) 6x D �5 ) x D �5

6) y D `1 .x/ D �4

3:

`2.x/ D `3.x/ ) 7x C 9 D 4x C 2 ) 3x D �7 ) x D �7

3) y D `2 .x/ D �22

3:

42 Calculo integral


P12 D�

�4

3; �1

3

�

; P13 D�

�5

6; �4

3

�

; P23 D�

�7

3; �22

3

�

:


x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 13

� 56

� 43

� 73

� 223

R

`1.x/ D y D �2x � 3;

`2.x/ D y D 7x C 9;

`3.x/ D y D 4x C 2.


La region R se divide en dos subregiones R1 y R2. Vease la siguiente figura.

a. R1 se encuentra entre las graficas de las rectas `2.x/ & `3.x/ en el intervalo

�

�7

3; �4

3

�

.

b. R2 se encuentra entre las graficas de las rectas `1x/ & `3.x/ en el intervalo

�

�4

3; �

5

6

�

.

x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

h

r

Õx D 0

Para calcular el area lateral de los cascarones cilındricos, debemos tener en consideracion:

a. El eje de un cascaron cilındrico es el eje de rotacion. En este caso el eje y (x D 0).

b. La altura h de un cascaron cilındrico es un segmento, entre las curvas que definen la region,paralelo al eje de rotacion.

c. El radio r de un cascaron cilındrico es la distancia entre su altura h y el eje de rotacion.


Por lo tanto:

a. En la region R1, la altura es h1 D `2.x/ � `3.x/ D .7x C 9/ � .4x C 2/ D 3x C 7.

b. En la region R2, la altura es h2 D `1.x/ � `3.x/ D .�2x � 3/ � .4x C 2/ D �6x � 5.

c. El radio r en los dos casos es 0 � x D �x.

El volumen del solido generado por la region R1 es

VR1DZ � 4

3

� 73

2�rh dr DZ � 4

3

� 73

2�.�x/Œ`2.x/ � `3.x/� dx DZ � 4

3

� 73

2�.�x/.3x C 7/ dx D

D �2�

Z � 43

� 73

.7x C 3x2/ dx D �2�

�

7

2x2 C x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 5�:

El volumen generado por la region R2 es

VR2DZ � 5

6

� 43

2�rh dr DZ � 5

6

� 43

2�.�x/Œ`1.x/ � `3.x/� dx DZ � 5

6

� 43

2�.�x/.�6x � 5/ dx D

D 2�

Z � 56

� 43

.5x C 6x2/ dx D 2�

�

5

2x2 C 2x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D 74�:



4� D 27

4�:


Para calcular el area de un cascaron cilındrico observamos:

a. El eje de un cascaron cilındrico es el eje de rotacion. En este caso el eje x (y D 0).

b. La altura h de un cascaron cilındrico es un segmento, entre las graficas de las funciones quedefinen la region; dicho segmento es paralelo al eje de rotacion. Es decir, perpendicular al eje y.La variable independiente de las funciones debe ser y.

`1.x/ D y D �2x � 3 ) x D �1

2.y C 3/ D i`1.y/I

`2.x/ D y D 7x C 9 ) x D 1

7.y � 9/ D i`2.y/I

`3.x/ D y D 4x C 2 ) x D 1

4.y � 2/ D i`3.y/:

c. El radio r de un cascaron cilındrico es la distancia entre su altura h y el eje de rotacion

44 Calculo integral

x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

h

r

Õy D 0

Por lo tanto:

a. En la region R1, la altura es h1 D i`3.y/ � i`2.y/ D 1

4.y � 2/ � 1

7.y � 9/ D 3

28y C 11

14.

b. En la region R2, la altura es h2 D i`1.y/ � i`2.y/ D � 12.y C 3/ � 1

7.y � 9/ D � 9

14y � 3

14.

c. El radio r en cada caso es 0 � y D �y.


VR1DZ � 4

3

� 223

2�rh dr DZ � 4

3

� 223

2�.�y/ Œi`3.y/ � i`2.y/� dy DZ � 4

3

� 223

2�.�y/

�

3

28y C

11

14

�

dy D

D � 1

14�

Z � 43

� 223

�

22y C 3y2�

dy D � 1

14��

11y2 C y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D 90

7�:


VR2DZ � 1

3

� 43

2�rh dr DZ � 1

3

� 43

2�.�y/ Œi`1.y/ � i`2.y/� dy DZ � 1

3

� 43

2�.�y/

�

� 9

14y � 3

14

�

dy D

D 3

7�

Z � 13

� 43

�

y C 3y2�

dy D 3

7�

�

1

2y2 � y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D 9

14�:

El volumen de revolucion solicitado es


7� C 9

14� D 27

2�:


El razonamiento es similar al del inciso 1. pag. 42. Cambian los radios de los cascarones.


x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

h

r

Õx D 2



c. El radio r en cada caso es 2 � x.


VR1DZ � 4

3

� 73

2�rh dr DZ � 4

3

� 73

2�.2 � x/ Œ`2.x/ � `3.x/� dx DZ � 4

3

� 73

2� .2 � x/ .3x C 7/ dx D

D 2�

Z � 43

� 73

�

14 � x � 3x2�

dx D 2�

�

14x � 1

2x2 � x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 11�:


VR2DZ � 5

6

� 43

2�rh dr DZ � 5

6

� 43

2� .2 � x/ Œ`1.x/ � `3.x/� dx DZ � 5

6

� 43

2� .2 � x/ .�6x � 5/ dx D

D 2�

Z � 56

� 43

�

�10 � 7x C 6x2�

dx D 2�

�

�10x � 7

xx2 C 2x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D 19

4�:



4� D 63

4�:


46 Calculo integral

x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

h

r

Õy D 1


4.y � 2/ � 1

7.y � 9/ D 3

28y C 11

14.

b. En la region R2, la altura es h2 D i`1.y/ � i`2.y/ D �1

2.y C 3/ � 1

7.y � 9/ D � 9

14y � 3

14.

c. El radio r en cada caso es 1 � y.


VR1DZ � 4

3

� 223

2�rh dr DZ � 4

3

� 223

2� .1 � y/ Œi`3.y/ � i`2.y/� dy DZ � 4

3

� 223

2� .1 � y/

�

3

28y C 11

14

�

dy D

D �1

14�

Z � 43

� 223

�

�22 C 19y C 3y2�

dy D �1

14�

�

�22y C19

2y2 C y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D117

7�:


VR2DZ � 1

3

� 43

2�rh dr DZ � 1

3

� 43

2� .1 � y/ Œi`1.y/ � i`2.y/� dy DZ � 1

3

� 43

2� .1 � y/

�

� 9

14y � 3

14

�

dy D

D3

7�

Z � 13

� 43

�

�1 � 2y C 3y2�

dy D3

7��

�y � y2 C y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D9

7�:



7� C 9

7� D 18�:


El razonamiento es similar al del inciso 1. pag. 42. Cambian los radios de los cascarones.


x

y

b

b

b

`1

`3

`2

� 43

� 56

� 73

R2

R1

h r

Õx D �4



c. El radio r en cada caso es x � .�4/ D x C 4.


VR1DZ � 4

3

� 73

2�rh dr DZ � 4

3

� 73

2� .4 C x/ Œ`2.x/ � `3.x/� dx DZ � 4

3

� 73

2� .4 C x/ .3x C 7/ dx D

D 2�

Z � 43

� 73

�

28 C 19x C 3x2�

dx D 2�

�

28x C 19

2x2 C x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 73

D 7�:


VR2DZ � 5

6

� 43

2�rh dr DZ � 5

6

� 43

2� .4 C x/ Œ`1.x/ � `3.x/� dx DZ � 5

6

� 43

2� .4 C x/ .�6x � 5/ dx D

D �2�

Z � 56

� 43

�

20 C 29x C 6x2�

dx D �2�

�

20x C 29

2x2 C 2x3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 56

� 43

D 17

4�:



4� D 45

4�:


48 Calculo integral

x

y

b

b

b

i`1

i`3

i`2

� 13

� 43

� 223

R2

R1

h

r

Õy D �8


4.y � 2/ � 1

7.y � 9/ D 3

28y C 11

14.

b. En la region R2, la altura es h2 D i`1.y/ � i`2.y/ D �1

2.y C 3/ � 1

7.y � 9/ D � 9

14y � 3

14.

c. El radio r en cada caso es y � .�8/ D y C 8.


VR1DZ � 4

3

� 223

2�rh dr DZ � 4

3

� 223

2� .y C 8/ Œi`3.y/ � i`2.y/� dy DZ � 4

3

� 223

2� .y C 8/

�

3

28y C 11

14

�

dy D

D 1

14�

Z � 43

� 223

�

176 C 46y C 3y2�

dy D 1

14��

176y C 23y2 C y3�

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 43

� 223

D 18�:


VR2DZ � 1

3

� 43

2�rh dr DZ � 1

3

� 43

2� .y C 8/ Œi`1.y/ � i`2.y/� dy DZ � 1

3

� 43

2� .y C 8/

�

� 9

14y � 3

14

�

dy D

D �3

7�

Z � 13

� 43

�

8 C 25y C 3y2�

dy D �3

7�

�

8y C 25

2y2 C y3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

� 13

� 43

D 9

2�:



2� D 45

2�:

�

Ejemplo 3.3.19 Un tanque para almacenar gas tiene la forma de un cilindro circular recto de radio a, altura b, conuna semiesfera del mismo radio en cada extremo. Calcular su volumen.


x

y

r a rra

h

pa2 � r2

pa2 � r2b

a

Ô

H Podemos suponer que el eje x es el eje de rotacion del tanque. Una capa cilındrica a distancia r del ejede rotacion se muestra en la figura.

� r varıa desde 0 hasta a

� La altura h correspondiente del cilindro se calcula sumando b (la altura del cilindro original) con 2

segmentos que midenp

a2 � r2 ( por el teorema de Pitagoras), por lo tanto:

h D b C 2p

a2 � r2:

El volumen del tanque es

V DZ a

0

2�rh dr DZ a

0

2�r.b C 2p

a2 � r2/ dr D �b

Z a

0

2r dr C 2�

Z a

0

pa2 � r2.2r dr/

�

u D a2 � r2I

du D �2r dr:

D

D �br2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

0

� 2�

Z 0

a2

pu du D �a2b C 2�

u32

32

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a2

0

D

D �a2b C 4

3�a3:

Lo anterior es la suma del volumen del cilindro original mas el volumen de la esfera que forman las dossemiesferas de los extremos.

�

Tambien podıamos haber usado el metodo de Arandelas, pero serıa un poco mas laborioso. Lo mas sensatoen ejemplos de este tipo es usar la aditividad del volumen y partir el calculo del solido que se pide en elcalculo del volumen de un cilindro y una esfera (resultado de pegar las dos semiesferas de los extremos).Alguna vez se preguntara el lector cual de los metodos usados (el de Arandelas o el de Cascarones Cilın-dricos) se debe utilizar para calcular el volumen de un solido de revolucion dado. La respuesta es queno hay un metodo que sea el mejor para todos los casos. Si se decide aplicar uno de ellos, lo mas seguroes que se pueda plantear la integral correspondiente determinando los lımites de integracion y la funcionintegrando adecuada; si la integral por calcular resulta demasiado laboriosa, o no se puede resolver con lastecnicas de integracion desarrollada hasta ahora, puede ser buena idea intentar el otro metodo para ver sicon el es posible completar el calculo.Cerramos esta seccion con un ejemplo sencillo en el que aplicamos los dos metodos de calculo de volumende un solido de revolucion, para que el lector los pueda comparar una vez mas.

Ejemplo 3.3.20 Un solido tiene la forma de un cono circular recto de radio a, altura b; coronado por una semiesferade radio a (como un barquillo de nieve). Calcular su volumen usando el metodo de Arandelas y el de CascaronesCilındricos.

50 Calculo integral

H El solido se genera al girar el triangulo de vertices .0; 0/, .0; �b/ y .a; 0/ y al girar el cuarto de cırculox2 C y2 � a2 del primer cuadrante alrededor del eje y; vease la siguiente figura:

x

y

Cortes transversales para arandelas.

.0; a/b

.0; �b/b

.a; 0/b

Ô

y D ba

x � b o bien

x D ab

.y C b/

x2 C y2 D a2 o bien

x Dq

a2 � y2

x

y

Capas cilındricas concentricas.

.0; a/b

.0; �b/b

.a;0/b

Ô

h Dp

a2 � x2 ��

ba

x � b�

r D x

1. Calculo por el metodo de Arandelas:

V DZ a

�b

A.y/ dy DZ 0

�b

�ha

b.y C b/

i2

dy CZ a

0

��

p

a2 � y2�2

dy D

D �a2

b2

Z 0

�b

.y C b/2dy C �

Z a

0

�

a2 � y2�

dy Du D y C bI

du D dy:

D �a2

b2

Z b

0

u2du C �

�

a2y � y3

3

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

0

D

D �a2

b2� b3

3C � � 2a3

3D �a2

3.b C 2a/:

2. Calculo por el metodo de Cascarones Cilındricos:

V DZ a

0

2�rh dr DZ a

0

2�x

�pa2 � x2 �

�

b

ax � b

��

dx D

D �

Z a

0

pa2 � x2 � 2x dx � 2�

Z a

0

�

b

ax2 � bx

�

dx D u D a2 � x2I

du D �2x dx:

D �

Z 0

a2

�p

u du � 2�

�

bx3

3a� bx2

2

�ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a

0

D

D �2u

32

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a2

0

� 2�

�

ba2

3� ba2

2

�

D 2�

3

�

a3�

� 2�

��a2b

6

�

D

D �a2

3.2a C b/:

Observe que ambos procedimientos arrojan el mismo resultado, que tambien puede verse como la suma

del volumen de un cono

�

�a2b

3

�

y el de una semiesfera

�

2�a3

3

�

.

�



1. Sea R la region del plano delimitada por la curva y D sen 2x y el eje x, entre x D 0 y x D �

2. Calcular

el volumen del solido que se genera al hacer girar la region alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 3.

d. x D 4.

e. y D �2.

f. x D �1.

2. Sea R la region del plano delimitada por las parabolas y D x2

4, y D .x � 6/2 y la recta y D 0. Calcular

el volumen del solido que se genera al hacer girar la region alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 4.

d. x D 6.

e. y D �1.

f. x D �2.

3. Sea R la region del plano delimitada por y D ex, y D e5�x & x D 3. Calcular el volumen del solidoque se genera al hacer girar la region alrededor alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 20.

d. x D 6.

e. y D �1.

f. x D �2.

4. Sea R la region del plano delimitada por y D x3, y D �.x � 10/3 y la recta y D 0. Calcular el volumendel solido que se genera al hacer girar la region alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 130.

d. x D 11.

e. y D �2.

f. x D �1.

5. Sea R la region del plano delimitada por y D �x2 C 8x � 3 & y D jx � 4j C 1. Calcular el volumen delsolido que se genera al hacer girar la region alrededor alrededor de los ejes:

a. y D 13.

b. x D 0.

c. y D �2.

d. x D 8.

e. x D �1.

6. Sea R la region del plano delimitada por por y D 4 � e�x, y D 4 � ex & x D 1. Calcular el volumendel solido que se genera al hacer girar la region alrededor alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D 4.

d. x D 1.

e. y D �2.

f. x D �2.

7. Sea R la region del plano delimitada por y D 2 � cos x & y D 1. Calcular el volumen del solido que segenera al hacer girar la region alrededor alrededor de los ejes:

a. y D 0.

b. x D 0.

c. y D �2.

d. x D �2.

e. y D 3.

f. x D 7.

52 Calculo integral

Ejercicios 3.3.1 Volumenes. Preguntas, pagina 9

1. a. 666:667.

b. 288:675.

c. 166:667.

2. a. 59:6285.

b. 14:9071.

c. 14:9071.

3. a. 0:1286.

b. 0:04546.

c. 0:1010.

4. a. 1:5708.

b. 0:429204.

c. 0:61685.


1. a. 252:481.

b. 87:0624.

c. 339:543.

d. 174:125.

e. 400:487.

f. 130:594

2. a. 33:5103.

b. 26:8083.

c. 50:2655.

d. 43:5634.

e. 67:0206.

f. 73:7227.

3. a. 2:0944.

b. 4:1888.

c. 8:37758.

d. 10:472.

e. 7:33038.

f. 5:23599.

4. a. 29:6088. b. 187:522. c. 9:8696.

5. a. 22:436. b. 22:436. c. 56:5209.

6. a. 127:902.

b. 98:2929.

c. 59:2176.

d. 96:9167.

e. 91:5788.

7. a. 2:25655.

b. 13:1775.

c. 31:9903.

d. 13:1775.

e. 36:4155.

f. 25:7439.

8. a. 2:4674.

b.1

4�.8 C 3�/.

c. 16:3822.

d. 6:28319.

e. 12:5664.

f. 6:28319.


1. a. 2:4674.

b. 4:9348.

c. 28:0311.

d. 20:1979.

e. 34:773.

f. 11:218.

2. a. 305:363.

b. 175:929.

c. 160:85.

d. 125:664.

e. 129:434.

f. 276:46.

3. a. 547:942.

b. 55:3852.

c. 137:551.

d. 61:8441.

e. 272:752.

f. 94:4617.

4. a. 70 124:8.

b. 9 817:48.

c. 345 800.

d. 11 781.

e. 74 177:5.

f. 11 781.


5. a. 2 689:83.

b. 1 446:56.

c. 2 734:77.

d. 1 367:86.

e. 1 808:2.

6. a. 18:6205.

b. 4:62291.

c. 8:67769.

d. 2:20164.

e. 32:2696.

f. 18:272.

7. a. 93:0484.

b. 130:854.

c. 151:095.

d. 211:755.

e. 51:1587.

f. 152:302.

aplicaciones de laintegralcanek.uam.mx/integral/cap03.aplicaciones/3.3.volumen/ftvolumen.pdf ·...

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