UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO PROGRAMA ACADEMICO INGENIERIA CIVILALGEBRA LINEALAPLICACIN DE MATRICES EN LA INGENIERIA CIVIL DOCENTE: GRUPO: A ALUMNOS: -Abigail Cusi Nayhua - Gabriel Elisban Perez Matheus - Yhomar Mario Perez Sucnier - Will Morales de la Cuba -Aleksander Rios Gonzales -Gary Elias Chahuayo Guevara Cusco - 2014

El presente trabajo de aplicacin de matrices en la ingeniera civil lo dedicamos a todas las personas que con la curiosidad de aprender el uso de las matemticas ms all del uso demostrativo.Adema tambin es dirigido a nuestra docente por la gua y orientacin para realizar este trabajo

INTRODUCCION:Lasmatrices,se ronporprimeravezenInglaterraamediadosdelsiglopasadoenlostrabajosdelIrlandsW.Hamilton,constituyenunadelasaportacionesmsvaliosasyfructferasalasmatemticasmodernas,porlasimplificacinrotacionalquepermitenenlarepresentacindeproblemascomplejosenlosqueintervieneungrannmerodevariables.En las msdiversas disciplinas, comola Fsica,la Ingeniera, la economa, la psicologa ola administracin,una grancantidad deproblemasque requierendelusodemuchasvariablesnopodranserdelimitados,planeadosyresueltosporlanotacinsimblicadellgebratradicionalacausadelospocosalcancesquestaotorga.Laescrituramatricialporsuagilidad,brevedadyprecisinsupleesta deficiencia.Dentro de la Ingeniera Civil en especfico, se ocupan las matrices en diversos aspectos:

El diseo estructural se resuelve mediante matrices. Los problemas de dinmica estructural se resuelven mediante matrices. Los anlisis avanzados de elemento finito se resuelven mediante matrices. Los anlisis de redes de flujo en mecnica de suelos se resuelven mediante matrices.

MATRICES, APLICACIN EN LA INGENIERIA CIVIL

Desarrollo de los diversos aspectos de aplicacin de las matrices en la Ing. Civil:

Primero que nada el ingeniero civil es un profesionista creativo y en permanente bsqueda de la innovacin capaz de trabajar analizando y proponiendo e implementando soluciones a problemas sociales, por medio de la planificacin y direccin de obras civiles, el desarrollo de sistemas hidrulicos, la elaboracin de proyectos estructurales y desarrollo de vas de comunicacin; respetando siempre el medio ambiente y promoviendo el desarrollo sostenible. La ingeniera civil es una especialidad que nos adhiere a la sociedad mediante el diseo y ejecucin de obras, y en el proceso de sus acciones tambin hace uso de l algebra lineal en especial en el tema de las matrices.

1.-DISEO ESTRUCTURAL:Siendo la aplicacin ms comn en los edificios en donde cada nodo de la estructura es un valor en la matriz que as puede ser de NxN. Tambin se usan los sistemas de ecuaciones, aplicndose en otras ramas como

a) Clculo Estructural:La estructura.- Es un conjunto mecnico encargado de soportar y transmitir un determinado nmero de cargas hasta la cimentacin. Es obviamente el ms importante. Se utiliza el mtodo matricial y es el ms usado actualmente, ya que es la base de todos los programas de clculo estructural. Es el mtodo directo de la rigidez aunque tambin se le denomina el mtodo de los desplazamientos. Este mtodo est diseado para realizar anlisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estticamente indeterminadas.El mtodo matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. Mediante este mtodo se pueden conocer las reacciones en los apoyos, fuerzas internas, deflexiones y desplazamientos de todos los miembros.

b) Resistencia de los materiales:Para calcular y dimensionar los elementos de una estructura hay que verificar que se cumplan los criterios de tensin, flecha y esbeltez. Siendo el primero el criterio resistente, que es justamente el que indica que el material soporta a la que se le encontrara sometido en la estructura bajo las condiciones previstas, el segundo el criterio de servicio, que responde a las deformaciones mximas admisibles bajo un determinado uso, y l la flexibilidad que tenga el material, por ltimo que es el de estabilidad. Para verificar todo esto se utilizan las siguientes matrices:

Matriz de rigidez:Se realiza de forma sistemtica, de modo que el mtodo se sintetiza en una serie de etapas mediante las cuales se da solucin al sistema estructural. Se realiza la descripcin de la estructura para as calcular la matriz de rigidez de cada barra y del vector de cargas nodales equivalentes. As por medio de esta matriz quedan relacionadas las fuerzas en extremo de barra con los desplazamientos nodales en ejes locales. La realizacin de esta matriz es muy importante ya que las cargas aplicadas sobre las barras deben ser sustituidas por unas equivalentes que al ser aplicadas en los nudos, produzcan en las estructura los mismos efectos que las originales.

Matriz de rotacin:La barra puede presentar una orientacin arbitraria por lo que debe ser definida mediante esta matriz.

Matriz de flexibilidades:Que se aplica para fuerzas unitarias una a la vez en los extremos y calcularemos los desplazamientos que se producen all. Esto se aplica para la deformacin de algn material o estructura.

Obtencin del hidrograma de escurrimiento:Es un procedimiento de clculo con matrices usado en Hidrologa. Este mtodo es el ms confiable, ya que nos permite reflejar el patrn de lluvia de una tormenta.A partir de un histograma de escurrimiento directo que es definido como la grfica del escurrimiento directo resultante de un centmetro de lluvia en exceso que se genera, de manera uniforme, sobre un rea de drenaje a razn constante durante el transcurso de una duracin efectiva de precipitacin y un hidrograma unitario se puede obtener un hidrograma de escurrimiento directo que se ajuste al patrn de lluvia del hidrograma.Este procedimiento se realiza de la misma manera en que trabaja la optimizacin con el uso de variables restringidas, se toma una funcin objetivo y se evala en un punto actual si no se llegan a lograr satisfacer las restricciones desde ah el intento se considera fallido y se continua el procedimiento con variables no restringidas, se tiene que obtener la mejora sin que se salga de la zona de los lmites de las restricciones y as es como continua el proceso que se termina cuando algn criterio de convergencia es cumplido. Debido a su complejidad al realizar o formar la funcin objetivo fue necesario hacer un algoritmo que permitiera la creacin y elaboracin de la misma, con este algoritmo es con el que se pretende hacer un matriz para llegar a la solucin de todo esto es cuando se utiliza la multiplicacin de matrices. Conclusin:El uso de l algebra lineal y sobre todo las matrices en la ingeniera civil es muy importante porque te permite planear y que te des una idea de lo que se espera que pase con las construcciones y sus estructuras y en caso de algn error poder corregirlo a tiempo o cambiar de material, si es eso o su resistencia lo que lo est haciendo fallar. Por ejemplo, si un proyecto es malo ejecutado, esto provocar, demolicin, eliminacin de los materiales, la adquisicin de nuevos materiales y la reconstruccin, adems de los costos de mano de obra.2.-LOS ANLISIS AVANZADOS DE ELEMENTO FINITO: Desde tiempos ancestrales el papel del ingeniero ha sido bsicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar los mecanismos de la naturaleza para as poder modificarla al servicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos, intuicin, experiencia y los medios naturales a los que en cada momento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cmputo que se tiene en estos das, el ingeniero dispone de grandes ventajas para poder llevar a cabo su misin y abordar cada da retos ms ambiciosos en la solucin de nuevos problemas, cuyos aspectos polticos, econmicos, cientficos o tecnolgicos pueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad de vida del hombre. Encontramos as aplicaciones delos mtodos numricos en los mbitos mas diversos desde sectores tecnolgicos tan clsicos como la ingeniera estructural o la aerodinmica de aviones, hasta aplicaciones ms sofisticadas como ingeniera de alimentos, ingeniera mdica, diseo de frmacos, biologa, etc. .En la actualidad, gracias a la gran evolucin que han tenido los mtodos numricos y su implementacin en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehculo o hacer el anlisis aerodinmico-estructural de un avin, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varioscientos demiles(a veces demillones) deincgnitas. Se presentan a continuacin algunas aplicaciones de los mtodos numricos a diversos problemas de ingeniera.

a) Mecnica de Slidos:Existen hoy en da, un gran nmero de estructuras en ingeniera civil, que son modelados desde su concepcin utilizando tcnicas de elementos finitos.

b) Mecnica de Fluidos:Una rama muy importante de la ingeniera, es el estudio de la mecnica de fluidos, en donde las ecuaciones que gobiernan el fenmeno fsico tienen ciertas peculiaridades que las hacen difciles de abordar desde el punto de vista numrico. Aqu se presentan problemas de bloqueo numrico de la solucin y deben seguirse ciertas alternativas para hacer abordable el problema. Un tipo de problemas que es interesantes resolver es por ejemplo determinar las presiones que provoca el viento sobre una estructura determinada. Un estudio de ese tipo se realiz en el observatorio astronmico de Gran Canarias, construido por la Comunidad Econmica Europea en las Islas Canarias a finales del siglo pasado. Se requera poder determinar qu deformaciones producira el viento sobre la estructura del telescopio, pues se afectara seriamente la calidad de las observaciones que se realizaran.

c) Medios de Transporte:En general, para la concepcin y produccin de un vehculo (ya sea un automvil, un avin o un barco) es muy comn utilizar modelos numricos de dinmica de fluidos para simular el comportamiento del vehculo en movimiento (ya sea entierra, enaire o en ambos).Esto permite optimizar la formageomtrica exterior del mismo de manera que su resistencia al avance sea la mnima posible, lo que permitir tener una vida til ms larga, menor consumo de combustible, que sea menos contaminante, que sea ms ligero (ms barato de producir). Pero el estudio no termina ah.

Conclusiones:La cantidad de problemas que se abordan aumenta da a da y la calidad de los resultados se ajusta ms a la realidad. La conjuncin de las matemticas y los mtodos numricos (elemento finito) ha permitido abordar problemas de mucho intereses tanto para la comunidad cientfica, como para que la sociedad se vea beneficiada de la aplicacin de simulaciones numricas.

3.-Anlisis dinmico

Para otros usos de este trmino, vase Anlisis dinmico (desambiguacin).Una varilla elstica vibrando puede modelizarse como una viga en voladizo mediante anlisis dinmico, usando la matriz de rigidez de un barra recta y la matriz de masa correspondiente.

El anlisis dinmico comprende el anlisis de las fuerzas, desplazamientos, velocidades y aceleraciones que aparecen en una estructura o mecanismo como resultado de los desplazamientos y deformaciones que aparecen en la estructura o mecanismo.

Gran parte de estos anlisis pueden ser simplificados al reducir el mecanismo o estructura a un sistema lineal, con lo que es posible aplicar el principio de superposicin para trabajar con casos simplificados del mecanismo.

a) Anlisis dinmico de mecanismos

El anlisis dinmico de mecanismos tiene por objeto determinar el movimiento de un mecanismo, las fuerzas y los esfuerzos internos que aparecen sobre cada uno de sus elementos en cada posicin de funcionamiento.

b) Mtodo directo o de Newton

Este mtodo analiza un mecanismo considerando cada una de sus partes rgidas como un slido rgido perfecto, y plantea un sistema de ecuaciones diferenciales de movimiento directamente basadas en las leyes de Newton, que en general resulta complejo y difcil de integrar ya que raramente la eleccin de coordenadas y referencias respetar las simetras tiles del problema. Una variacin trivial de este mtodo es escribir introducir coordenadas angulares, para poder escribir algunas de las ecuaciones del movimientos en trminos de momentos de fuerzas, as las ecuaciones bsicas usadas en el mtodo directo son:

c) Mtodo de d'Alembert

Este mtodo usa el Principio de d'Alembert que es una extensin de la segunda ley de Newton que tiene en cuenta las ligaduras existentes entre diversos elementos. El uso de este mtodo en lugar del mtodo directo simplifica notablemente las ecuaciones.Anlisis dinmico de estructurasArtculo principal: Anlisis modal utilizando FEM

El anlisis dinmico de estructuras se refiere al anlisis de las pequeas oscilaciones o vibraciones que puede sufrir una estructura alrededor de su posicin de equilibrio. El anlisis dinmico es importante porque ese movimiento oscilatorio produce una modificacin de las tensiones y deformaciones existentes, que deben tenerse en cuenta por ejemplo para lograr un diseo ssmico adecuado.

Como resultado de una perturbacin exterior un edificio o estructura resistente que bajo la accin de unas cargas estaba en reposo, experimenta oscilaciones que en primera aproximacin pueden representarse como un movimiento armnico compuesto, caracterizado por un sistema de ecuaciones lineal del tipo:

Donde:

: son respectivamente la matriz de masas, la matriz de amortiguacin y la matriz de rigidez de la estructura.

: son tres vectores que representan la posicin, velocidad y aceleracin de un conjunto de puntos de la estructura.

: es un vector que representa las fuerzas equivalentes aplicadas sobre el mismo conjunto de puntos anteriores, este vector est asociado a la solicitacin exterior que perturba la misma estructura.

El anlisis dinmico incluye estudiar y modelizar al menos estos tres aspectos:

- Anlisis modal de frecuencias y modos propios de vibracin. Tanto las frecuencias naturales de vibracin de una estructura como los modos principales de vibracin dependen exclusivamente de la geometra, los materiales y la configuracin de un edificio o estructura resistente.- Anlisis de la solicitacin exterior.- Anlisis de las fuerzas dinmicas inducidas.

4.- Anlisis dinmico de prticos planos

El anlisis de prticos planos formados por barras rectas de seccin constante puede llevarse a cabo generalizando las ecuaciones del mtodo matricial, incorporando adems de matrices de rigidez, matrices de masa. Las frecuencias propias de oscilacin de un prtico plano pueden determinarse a partir de las soluciones de la ecuacin:

La anterior ecuacin es un polinomio de grado N en , que tiene precisamente N soluciones reales. Los modos propios son un conjunto de modos de deformacin, cada uno de ellos representado por un conjunto finito de desplazamientos nodales. Estos modos propios son soluciones no-triviales de la ecuacin:

Cuando una estructura [elstica y lineal] vibra bajo la accin de fuerzas estticas antes de alcanzar el punto de equilibrio, el movimiento puede describirse mediante una deformacin esttica ms la suma de N movimientos armnicos simples atenudados. Cuando la carga no es esttica sino que vara con el tiempo, la solucin puede ser ms compleja pudindose incluso producir el fenmeno potencialmente destructivo de la resonancia.Anlisis dinmico en elementos finitos

En un buen nmero de aplicaciones ingenieriles, son analizadas y comprobadas mediante el uso del mtodo de los elementos finitos. en situaciones donde el estado del sistema es dependiente del tiempo el mtodo de los elementos finitos lleva a una ecuacin del tipo (1). Debido usualmente a la elevada dimensin de los vectores que aparecen en ellas en este tipo de aplicaciones, la resolucin exacta no resulta prctica y se usan diversos procedimientos de integracin numrica basados en el mtodo de las diferencias finitas y variantes del mismo. Estos mtodos pueden clasificarse segn varios criterios:

Mtodos implcitos/explcitos: un mtodo explcito es el que no requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo. En general los mtodos explcitos requieren menor tiempo de computacin que los mtodos implcitos aunque frecuentemente presentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempo mximo para que la computacin sea numricamente estable.

Mtodos incondicionalmente/condicionalmente convergentes: un mtodo de integracin numrica es incondicionalmente convergente cuando la aproximacin numrica calculada mediante el mismo no diverge exponencialmente de la solucin exacta. Entre los mtodos implcitos algunos son incondicionalmente convergentes slo para cierta eleccin fija de los parmetros del mtodo. En cambio, los mtodos explcitos suelen ser condicionalmente convergentes pero no incondicionalmente convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema de diferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

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