aplicaciÓn de la derivada

ANALISIS MATEMATICO I

A P L I C A C I Ó N D E L A D E I V A D A

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E

C A J A M A R C A S E D E _ J A E N

F A C U L T A D D E I N G I E N E R I A C I V I L

I

LIC.

SANCHEZ CULQUI ELADIO

RESPONSABLES:

VICENTE GUERRERO JOSE LUIS

SANCHEZ DELGADO FEDDY LINCOL

TARRILLO CRUZ ANTONIO

RIVERA ZURITA ELIZABETH

PAREDES VALDIVIA SANDY

ANALISIS MATEMATICO I I

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES

Examinar el comportamiento de una función es una parte básica de las Matemáticas y tiene aplicaciones en muchas áreas de estudio. Cuando esbozamos una curva colocando simplemente puntos, no puede dar información suficiente acerca de su forma.

Ejemplo: La función pasa por los puntos (-1; 0), (0; -1) y (1; 0). Observemos que los

siguientes gráficos lo cumplen, pero solo el representado en la figura 1, es .

Por esto, se ha desarrollado todo un procedimiento basado en conceptos del análisis matemático, para acercarse a la forma de una función.

Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase la figura 3).

Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo.

Página 1

2 1 1 2x

1

1

2

y

Figura 1

2 1 1 2x

1

1

2

3y

Figura 2

x

y

0 ba c d

f(d)

f(c)

x

y

0 ba c d

f(d)

f(c)

y

0 ba c d

f(d)

f(c)

Figura 3x

y

0 ba c dfe x

y

0 ba c dfe

y

0 ba c dfe Figura 4


En la figura 4, c y d no son máximo y mínimo, respectivamente, en [a, b], pero sí en una vecindad.

Definición de Máximo Relativo o local (Mínimo relativo o local)

Un punto x0 es un punto de máximo local (mínimo local) de la función , si existe >0 tal que:

para todo x tal que < .

Recuerde que: = <

El valor de recibe el nombre de valor máximo relativo de la función o (valor mínimo relativo).

Los valores máximos y mínimos se llaman extremos de la función.

Condición necesaria para la existencia de extremos

Teorema de Fermat

Sea una función y c un punto de extremo local de . Entonces, si es derivable en c, = 0.

Luego, si es derivable en c, una condición necesaria para que c sea extremo local, es = 0.

Pero puede suceder:

que no exista la primera derivada de una función en algún punto, y este no constituya un punto de extremo. Por ejemplo, . que no exista la primera derivada de una función en algún punto, y este sea un punto de extremo. Por ejemplo, . que una función no sea derivable en un punto, y este constituya un punto de extremo.

Puntos críticos o estacionarios: los valores c tales que = 0.

Puntos singulares: puntos en los que la derivada no existe, pero sí la función.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos

Criterio de la primera derivada: se basa en el signo de la primera derivada.

Analizamos el signo de la primera derivada por la pendiente de la recta tangente a la curva en una vecindad de x0. (Véanse las figuras 5 y 6).

Página 2

Figura 5


0

y

x

f ‘(x) < 0

f ’(x) > 0

x00

y

x

f ‘(x) < 0

f ’(x) > 0

x0

Teorema (Criterio de la Primera derivada)

Sea continua en = [ ] = [a, b] y derivable en = (a, b), y

supongamos que x0 (a, b) es un punto crítico o estacionario. Entonces:

1. Si para y para , entonces x0 es un punto de máximo

local de .

2. Si para y para , entonces x0 es un punto de mínimo

local de .

3. Si no cambia de signo en , entonces x0 no es un punto de extremo local de la función.

Ejemplo resuelto 5:

Determinar los extremos de: = .

Página 3


Solución:

Hacemos

x = 1 ó x = -1

En la cercanía x = 1, si x < 1, < 0, y si x > 1, > 0. Luego, x = 1, punto de mínimo local.

Si un punto de abscisa es de mínimo, tiene asociado un valor ordenado, o valor de correspondiente, al que llamamos valor mínimo. Si es de máximo, le llamamos valor máximo.

En este caso en particular, el valor mínimo se obtiene encontrando el valor de .

= = 1 – 3 = -2, valor mínimo.

En la cercanía x = -1, si x < -1, > 0, y si x > -1, < 0, luego, x = 1, punto de máximo local.

(-1) = – 3(-1) = -1 + 3 = 2, valor máximo.

Criterios para funciones crecientes o decrecientes

Sea derivable en el intervalo (a, b). Si >0 para toda x en (a, b), entonces es creciente en (a, b).

Si < 0, entonces es decreciente en el intervalo.

Ejemplo resuelto 6:

Analice la monotonía de una función que tiene como primera derivada: = .

Solución:

=

(x -1)(x +1) = 0

x = 1 ó x = -1

Luego, es creciente en ( ; -1) y (1; + ), y decreciente en (-1; 1). Representemos en un rayo numérico los valores críticos. (Véase figura 7). Verifique los signos de la primera derivada.

Ejemplo resuelto 7:

Determine los extremos relativos de las siguientes funciones y analizar la monotonía en todo su dominio.

Página 4

-1 1

+ +-

Figura 4.15

-1 1

+ +-

Figura 4.15Figura 7


a) = b) = x2.

Solución:

a)

Hallar los extremos relativos de la función, implica encontrar los cambios de signo de en el dominio de . Este proceso es similar al de resolución de inecuaciones fraccionarias. Encontramos los ceros del numerador y del denominador de la primera derivada de :

2 0 Luego, el numerador nunca toma valor cero.

= 0 x = 0 Observe que no está definida, pero sí lo está. Luego, x = 0 es un valor

crítico, y no hay ningún otro. Podemos determinar los cambios de signo de , colocando los signos de esta derivada alrededor de los puntos críticos. (Figura 8).

Recuerde que es creciente donde es positiva, y decreciente, donde es negativa.

Así, observe que:

Si x < 0, < 0, luego, en ese intervalo es decreciente.

Si x > 0, > 0, luego, en ese intervalo es creciente.

Como hay un cambio de signo de la primera derivada, alrededor del punto x = 0, de negativo a positivo, este es un punto de mínimo relativo. Además, porque está definida en x = 0.

(0) = = 0. Luego, el punto (par ordenado) donde existe un mínimo, es (0; 0).

b) =

=

= 0 = 0 x = 0 ó x = -2

Cuando la función no es racional, como es el caso de , se usará una tabla para determinar los signos de la función en los diferentes intervalos de su dominio. La tabla, en este caso, consiste en determinar los signos de , en correspondencia con los signos de y en los intervalos , y . De acuerdo con el ejemplo que desarrollamos, tenemos:

Página 5

0

+-

Figura 4.16

0

+-

Figura 4.16Figura 8


(-2,0) (0, )

- - +

+ + +

- + +

+ - +

Podemos notar que es creciente en (- ; -2) y (0; + ), y decreciente en: (-2; 0).

Alrededor de x = -2 hay un cambio de signo de la primera derivada, de positivo a negativo, por lo que este es un punto de máximo relativo.

Alrededor de x = 0 hay un cambio de signo de la primera derivada, de negativo a positivo, por lo que este es un punto de mínimo relativo.

La primera derivada proporciona mucha información útil para el análisis de funciones, sin embargo, para conocer la verdadera forma de una curva necesitamos más información.

Ejemplo: 2x x = 0 es valor crítico. Si x < 0, < 0, y si x > 0, > 0.

Notemos que las curvas representadas en las figuras 9 y 10 satisfacen las condiciones anteriores, pero, ¿qué gráfica describe verdaderamente la función?

Esta pregunta se contesta fácilmente usando la segunda derivada y la noción de concavidad, que vienen a completar el análisis del comportamiento de una función.

Concavidad de una función

En las figuras 11 y 12, observe que cada curva se “flexiona” (o abre) hacia arriba.

Página 6

2 1 1 2x

1

2

3

4y

Figura 9


Si se trazan tangentes a las curvas, las curvas quedarán “por arriba” de estas. Además, las pendientes de las líneas tangentes crecen en valor al crecer x. Luego, es una función creciente. Se dice entonces que la función es cóncava hacia arriba.

Si la curvas se encuentran “por debajo” de las tangentes, se flexionan hacia abajo. (Véanse los gráficos de las figuras 13 y 14).

0

y

x0

y

x

Criterio de concavidad

Sea derivable en (a, b). Si > 0 para toda x (a, b), entonces es cóncava hacia arriba en (a, b).

Si < 0 para toda x (a, b), entonces es cóncava abajo en (a, b).

La noción de concavidad nos permite reconocer la curva que verdaderamente se corresponde con la función dada ( ). (Recordar las figuras 9 y 10). Si determinamos la concavidad de la función , nos percatamos de que la curva que se corresponde con esta función es la representada en la figura 9, pues cumple que: > 0 para todo , luego es cóncava hacia arriba en todo su dominio.

Página 7

0

y

x0

y

xFigura 11

Figura 13

0

y

x0

y

x

Figura 12


Ejemplo resuelto 8:

Analizar la concavidad de la función = .

Solución:

a) = 6x

< 0 para x < 0 y > 0 para x > 0. Luego, si x < 0, es cóncava hacia abajo; si x > 0, es cóncava hacia arriba. Compruebe este resultado en la gráfica de la figura 15.

Punto de inflexión

Definición

Una función tiene un punto de inflexión en x = x0 si y solo si, es continua en x0 y cambia de concavidad en x0.

Entonces, x0 es un posible punto de inflexión si:

1. ; o no existe , pero sí .

2. debe ser continua en ese punto.

Ejemplo resuelto 9:

Analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de = .

Solución:

24 = 24x (3x -2) Luego, en

x = 0, y en x = , que son posibles puntos de inflexión.

Se procede de forma análoga a la solución de una inecuación, como lo hemos visto anteriormente. Ubiquemos los signos en un rayo numérico para observar los cambios de signo de la segunda derivada. (Figura 16).

Página 8

4 2 2 4x

2

1

1

2

y

Figura 15

0 2/3

+ +-

0 2/30 2/3

+ +-

Figura 16


En (- ; 0) es cóncava hacia arriba, al igual que en ( ; + ), pues en estos intervalos es positiva.

En (0; ) es cóncava hacia abajo, pues es negativa.

Luego, x = 0 y x = son puntos de inflexión, pues hay cambio de signo de la segunda derivada

alrededor de estos puntos. Recuerda que son puntos de inflexión, si es continua en esos puntos y existe cambio de signo de la segunda derivada alrededor de estos ellos. Verifique este resultado en la figura 17.

Criterio de la segunda derivada para la existencia de puntos extremos

Si , y < 0, entonces tiene máximo relativo en x0.

Si , y > 0, entonces tiene mínimo relativo en x0.

Ejemplo resuelto 10:

Verifique la existencia de extremos de la función = , considerando los criterios de la primera y segunda derivadas.

Solución:

= 4x - 4

Página 9

1 0.5 0.5 1x

1

1

2

3

y

Figura 17

1

+-

1

+-

Figura 18


< 0 para x < 1 y > 0 para x > 1.

Luego, x = 1 es punto de mínimo. (Véase figura 18).

Comprobemos que x = 1 es punto de mínimo, si se verifica que > 0.

4 > 0 para todo x del dominio de , por lo que se verifica la existencia de un mínimo en x = 1.

Las asíntotas en el comportamiento de una función

Para completar el análisis del comportamiento de una función, resulta muy necesaria la comprensión de los conceptos de asíntotas verticales y no verticales. Estudiemos la existencia de asíntotas en el gráfico de una función.

En el análisis del comportamiento de una función son importantes los casos en que la gráfica de la función se aproxima indefinidamente a una recta, cuando la variable independiente se acerca a un punto o cuando crece o decrece indefinidamente.Definición de asíntotaDada una función , se dice que la recta L es una asíntota de si cuando un punto P(x, y) se desplaza continuamente por , de tal forma que ó tienda a + ó -, la distancia entre P(x, y) y la recta L tiende a cero.A continuación se muestran gráficas de funciones que tienen asíntotas. (Están representadas en las figuras 19-22).

Las asíntotas las clasificamos en verticales (o sea perpendiculares al eje x) y oblicuas, o sea, no verticales.Asíntotas verticalesSe muestra a continuación los gráficos de funciones que presentan asíntotas verticales, en las figuras 23 – 25.

Página 10

Figura 19 Figura 20 Figura 21 Figura 22


Como se observa, la distancia entre un punto P(x, y) de y la recta x = x0, se hace cada vez más pequeña cuando x es próximo a x0, si y solo si uno de los límites laterales en x0 de es + ó -.

Definición de asíntota vertical La recta x = x0 es una asíntota vertical de la curva de una función continua si al menos uno de los límites laterales en x0 de es + ó -.

Para determinar si la recta x = x0 es asíntota vertical, se debe encontrar los puntos en los cuales la función es discontinua y analizar los límites laterales en dichos puntos.

Ejemplos:

1. ; es discontinua en 0, se cumple que:

y Luego, la recta x = 0 es una asíntota vertical

de la función , y la gráfica de la función alrededor de la

recta x = 0 toma la forma que se muestra en la figura 26.

2. es discontinua en 2; se cumple que:

y

Luego la recta x = 2 es una asíntota vertical de la función

, y la gráfica de la función tomará alrededor de la

recta x = 2, la forma de la figura 27

3. no es continua en –1 y 3; se

cumple que : Para x = –1,

y

Página 11

Figura 23 Figura 24 Figura 25

Figura 26

Figura 27


Para x = 3,

y

Luego las rectas x = -1 y x = 3 son asíntotas verticales de la función , y la gráfica de la función tomará alrededor de las rectas x = -1 y x = 3, la forma que se muestra en la figura 28.

Definición de asíntota oblicua Se dice que la recta es una asíntota oblicua de si se cumple que: 28

es la pendiente de la recta oblicua (lógicamente es un valor finito), y

es el intercepto de la recta con el eje de las Y.

Observe un ejemplo en la figura 29.

Cuando ocurre que m = 0, y n existe, la asíntota no vertical es horizontal, por lo que la recta se convierte en . En estos casos, es el punto o valor de Y, donde la función tiene una asíntota

horizontal, y como , .


Sea . Analizar si tiene asíntota oblicua.

Solución:

Página 12

Figura 29


Investiguemos si existen y .

Luego = 4x es una asíntota oblicua.


Aproximarse al gráfico de la función .

Solución:

Dominio: \

Intercepto con los ejes coordenados:

Eje de las x: 1 0 No tiene intercepto con el eje x.

Eje de las y: si x = 0, y = Luego, (0; - )

Asíntotas:

Asíntotas verticales:

Si existen, es en los puntos que anulan el denominador de .

y

Luego, x = 5 es asíntota vertical.

Asíntotas No verticales:

=

Luego, si la pendiente, , es igual a cero, y existe n, hay una asíntota horizontal, porque no existe inclinación alguna de dicha recta con respecto al eje de las X. Así, se transforma en . Luego, si existe, ¿en qué punto se verifica la asíntota horizontal? Basta calcular: =

Página 13


, que en este caso en particular porque , se calcula, =

Luego, es una asíntota horizontal.

Extremos y monotonía:

para toda x . Luego, no hay extremos.

Observe que < 0 para todo el dominio de , pues el término del denominador siempre será positivo

porque está elevado al cuadrado, y el signo negativo delante de la expresión, cambia el signo de .

Comprobemos:

> 0 < 0.

Ubiquemos los ceros del denominador de esta expresión en un rayo numérico. (Figura 30).

Note que no hay cambio de signo porque x = 5 es un cero doble, y se comienza con signo negativo pues se está

indicando que la expresión sea < 0. Luego, es decreciente en todo su dominio, porque es negativa en todo punto.

Puntos de inflexión y concavidad:

para toda x . No tiene puntos de inflexión.

> 0 ; (x – 5)3 = 0 x = 5 Solución triple.

Observe que, si x > 5, > 0, luego, es cóncava hacia arriba en dicho intervalo. Si x < 5, < 0, luego, es cóncava hacia abajo. (Véase la figura 31).

Note que, aunque exista cambio de signo de la segunda derivada alrededor de x = 5, este no es punto de inflexión, porque no pertenece al dominio de la función. Este punto es de discontinuidad de . Observe el gráfico de la función en la figura 32.

Página 14

5

+-

5

+-

Figura 31

15 10 5 5 10 15x

6

4

2

2

4

6

y

Figura 32

5

--

5

--

Figura 30



Trazar la gráfica de la función .

Solución:

Dominio: \


Eje de las x: x2 = 0 x = 0. Luego, (0; 0)

Eje de las y: Si x = 0, y = 0 Luego, (0; 0)

Asíntotas:

Asíntotas Verticales:

y . Luego, x = 1 es una asíntota vertical.

Asíntotas no verticales: = = = Luego, si existe n,

tiene una asíntota oblicua.

=

= Luego, = -x -1 es una asíntota oblicua.

Extremos y monotonía:

=

Página 15


Ceros del numerador y del denominador:

x(2 –x) = 0 x = 0 ó x = 2

(1 –x)2 = 0 x = 1 Observe los cambios de signo de en la figura 33.

es monótona creciente en (0; 1) y en (1; 2)

es monótona decreciente en (- ; 0) y en (2 + )

Luego, en x = 0 hay un mínimo local, y en x = 2 un máximo.

= Valor mínimo; = Valor máximo.

Puntos de inflexión y concavidad:

= =

.

para todo x . Luego, no hay puntos de inflexión.

(1 –x)3 = 0 x = 1

Como > 0 para todo x < 1, luego, es cóncava hacia arriba para (- ; 1)

Como < 0 para todo x > 1, luego, es cóncava hacia

abajo para (1; + ). (Véanse los signos de en la figura 34). Compruebe los resultados obtenidos en este análisis del comportamiento de la curva, en la gráfica de la figura 35.

Página 16

0 2

- -+

1

+

0 2

- -+

1

+

Figura 33

1

-+

1

-+

Figura 34

2 2 4x

2015105

51015

y

Figura 35


III. APLICACIÓN DE LA DERIVADA A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas de optimización.

En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas.

La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo.

La función que representa el problema de optimización se le llama función objetivo.

Fases en la solución de un problema de Optimización

1. Planteamiento del problema

2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente)

3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica)

4. Obtención de las soluciones

Veamos el siguiente ejemplo.


Una empresa tiene la siguiente función de producción: Q = , donde L representa el

número de horas de trabajo aprovechadas por la empresa diariamente, y Q el número de quintales obtenidos de un determinado producto agrícola.

a) Halle el valor de L para el cual el producto total es máximo. Halle el producto total máximo.

b) Haga el gráfico de esta función.

c) Haga en un gráfico debajo del anterior, las funciones de producto marginal y producto medio.

Página 17


d) ¿Qué conclusiones saca usted de estos gráficos?

Solución:

a) = - . 3L2 + 10. 2L -2L2+ 20L = 0

= -2L2+ 20L L2 -10L = 0

= -4L +20 L(L -10) = 0

L = 0 ó L = 10

(0) = 20 > 0, luego, L = 0 es punto de mínimo.

(10) = -4.10+20 = -20 < 0 Luego, L = 10 es punto de máximo.

Q (10) = - (10)3 +10. (10)2 = - .1000 +1000 = 333,3

El valor de L es 10, y el producto total máximo es aproximadamente 333. Luego, si la empresa labora 10 horas diarias, obtiene su máxima producción, de aproximadamente 333 quintales.

b) Q = - L3 + 10 L2

=


Eje de las x: - L3 + 10 L2 = 0 Eje de las y: Si x = 0, y = 0.

L2(- L +10) = 0 Luego, (0; 0).

L2 = 0 ó - L +10 = 0

L = 0 ó L = 15

Luego, (0; 0) y (15; 0) intercepto con el eje de las x.

Asíntotas:

Asíntotas verticales: No tiene, pues la función no tiene puntos en los que no esté definida.


= No tiene asíntotas no verticales.

Página 18


Monotonía y puntos extremos:

= -2L2 + 20L

-2L2 + 20L > 0

2L2 - 20L < 0

2L( L - 10) = 0 L = 0 ó L = 10

Luego, Q es creciente en [0; 10] , y decreciente en (- ; 0) y [10; +). (Comprobarlo en la figura 36).

Entonces, (0; 0) es punto de mínimo, y (10; 333) es punto de máximo.

Concavidad y puntos de inflexión:

-4L + 20

-4L + 20 = 0 L = 5

Luego, si L < 5, Q es cóncava hacia arriba. Si L > 5, Q es cóncava hacia abajo. (Véase la figura 37). Entonces, L = 5 es punto de inflexión: (5; 166,6).

Observe el gráfico de Q en la figura 38.

c) Producto marginal:

= -2L2 + 20L La función de producto marginal es una función cuadrática.

2L( L - 10) = 0 L = 0 ó L = 10 Raíces de la función.

Página 19

0 10

- -+

0 10

- -+

Figura 36

5

-+

5

-+

Figura 37

20 10 10 20x

400

200

200

400

600

800

y

Figura 38


Vértice : V( ; ) = V( - ) = V( 5; 50)

El intercepto con el eje de las Y es el propio cero de la función (0; 0), pues en la parábola, C = 0. Observe el gráfico de la parábola en la figura 39.

Producto medio:

= - L2 + 10L

- L2 + 10L = 0 L(- L + 10) = 0 L = 0 ó L = 15 Ceros de la función.

Vértice:

Otra forma de encontrar el vértice de la parábola, es utilizando la primera derivada de la función:

= - L + 10

- L + 10 = 0 L = = 7,5

L = 7,5 es punto crítico, pero, lógicamente, es de máximo, pues la parábola abre hacia abajo porque A < 0.

En la figura 40 se muestra la gráfica de la función del producto medio, y en la figura 41 podemos observar las funciones de producto marginal y producto medio en un mismo sistema de coordenadas.

Página 20

15 10 5 5 10 15x

400

300

200

100

y

Figura 39

Figura 40

20 10 10 20x

300

200

100

y

Figura 41


d) El rango de utilización de horas de trabajo diarias , es aquel donde el producto marginal supera al producto medio (verifíquelo en el gráfico). Es el rango en el que, un incremento en una hora de trabajo adicional a partir de cualquier valor de L que pertenezca al rango, determina un incremento productivo superior a la producción promedio en cada uno de los instantes (horas de trabajo) que se encuentran en el rango . Decimos, en estos casos, que los rendimientos de la producción son crecientes en ese intervalo de horas de trabajo. A partir de 7.5 horas, observe que, aunque la producción crece hasta L = 10 horas, crece lentamente. Decimos que los rendimientos, en estos casos, son decrecientes. Comienza a actuar lo que se conoce en Economía como ley de los rendimientos decrecientes de la producción. No descuide que, aún actuando la mencionada ley, la producción continúa incrementándose hasta L = 10, pero, en este caso, lo esencial es percatarnos de que este crecimiento es más lento a partir de 7.5 horas de trabajo (compruébelo en el gráfico de Q).


Dada la función de demanda y la función de costo medio de un monopolista, = .

a) Represente las funciones de costo total e ingreso total en un mismo gráfico.

b) Represente las funciones de costo marginal e ingreso marginal en otro gráfico.

c) Determine el valor de que maximiza la ganancia. Compruebe estos resultados en los gráficos de los incisos a) y b). Halle la ganancia máxima.

d) Calcule la elasticidad de la demanda para y para . Determine el valor de para el cual la elasticidad es -1.

Solución:

a) CT = . =

No tiene intercepto con el eje de las x.

=

q = 1

CT(1) = 12 -2 + 4 = 3

(1; 3) es el vértice, que es punto de mínimo, porque la función de CT es una parábola que abre hacia arriba.

=

Página 21


ó Ceros de la función.

=

= Luego, es punto de máximo, pues la función de ingreso total es una parábola que abre hacia abajo.

El gráfico de la figura 42 representa las funciones de costo e ingreso total en un mismo sistema de coordenadas.

b) Costo marginal: = Ingreso marginal: =

Ambas funciones son lineales. Bastan dos puntos arbitrarios para obtener sus gráficas, o sea, dos rectas.

Denotemos como a la función de Costo marginal, e a la función de ingreso marginal.

Si , ; si , . Si , ; si , .

En la figura 43 se muestran las funciones de costo e ingreso marginal en un mismo sistema de coordenadas.

Página 22

3 2 1 1 2 3x

3

4

5

y

Figura 42

3 2 1 1 2 3x

7.5 5

2.5

2.55

7.510y

Figura 43


c) El proceso de optimizar la ganancia comienza por encontrar la función objetivo, en este caso Ganancia. Como no está dada en el ejercicio, requerimos modelarla. La ganancia, comúnmente, es el resultado de deducir todos los costos a los ingresos totales obtenidos.

G = IT - CT

G =

G =

=

= - 4 < 0, por lo que es punto de máximo.

Gmáx = -2.(1,5)2 +6.(1,5) – 4 = 0,5 Esta es la máxima ganancia: 0,5 unidades monetarias.

Observe en el gráfico de la figura del inciso a) que, en el punto q donde se obtiene la máxima ganancia, se verifica la mayor distancia entre las curvas de ingreso y costo total.

Verifique en el gráfico del inciso b), que la máxima ganancia se obtiene en el punto q donde .

d) = =

Si , E = -

Si , E = -3

Si .


El director de mercado de una compañía ha estimado que la ganancia depende de la inversión hecha en

publicidad, del siguiente modo: . Esboce gráficamente la función de ganancia.

Solución:

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= {x / x 0}


Eje de las X: 22x + 11 = 0 x = - ; (- ; 0)

Eje de las Y: G (0) = ; (0; )

Asíntotas:

Asíntotas verticales:

= + , y = - Luego, x = -2 es asíntota vertical.


= 0. Luego, si n existe, hay una asíntota horizontal. Investiguémoslo:

Luego, y = 22 es asíntota horizontal.

Monotonía y puntos extremos:

Observe que > 0 para todo x. Luego, la función G es siempre creciente, y no tiene puntos

extremos.

Concavidad y puntos de inflexión: =

x = -2 Cero del denominador.

x = -2 Cero del numerador.

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Luego, x = -2 es una solución que se obtuvo 5 veces. Existe cambio de signo alrededor de este punto. (Véase la figura 44).

La función es cóncava hacia arriba en , y cóncava hacia abajo en .

No tiene puntos de inflexión, porque x = -2 no pertenece al dominio de G.

Luego, en la gráfica de la figura 45 representamos la función de ganancia.

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-2

-+

-2

-+

Figura 44

60 40 20 20 40 60x

40

20

20

40

60

80

y

Figura 45


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular:

a) b)

c) d)

2. Encuentre:

a) b)

c) d)

3. Calcular:

a)

xsenxx

11lim

0 b)

4. Hallar:

a) b)

c)

5. Analizar si se cumple el teorema del valor medio para la función en [-1; 1] y

encuentre los puntos x (-1; 1) tales que: = .

6. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange para la función = x – x3 en [-2; 1] y hallar el correspondiente valor intermedio.

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7. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones dadas en los intervalos señalados, y hallar el valor intermedio.

a) = x2 + 2 = x3 -1 en [1; 2]

b) = sen x =cos x en [0; ]

8. Trazar la gráfica de las siguientes funciones:

a) b) c)

9. Aproximarse al gráfico de las siguientes funciones:

a) -x2 + 12x -20 b) x3 -27x

10. Esbozar gráficamente:

a) b)

c) d)

11. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p = 72 -0,04q, y la función de costos es C = 500 +30q.

¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?

¿A qué precio ocurre este, y cuál es la utilidad correspondiente?

12. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: ; y la función de costo

promedio es: .

Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad.

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A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

13. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad, está dado

por: , donde .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [2; 10] debe fijarse la producción para minimizar el costo total?

b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [5; 10], ¿qué valor minimiza el costo total?

14. La demanda de un mercado monopolizado sigue la ley: p = 100 -3x, y el monopolista produce x

unidades a un costo total de: . Determinar el precio del artículo y la cantidad que

debe producirse para obtener la máxima utilidad.

15. Para un monopolista, el costo por unidad de producir un artículo es de $3.00, y la ecuación de

demanda es .

¿Cuál es el precio que dará la utilidad máxima?

16. Para el producto de un monopolista, la ecuación de demanda es: p = 42 -4q y la función de costo

promedio es: . Encuentre el precio que maximiza la utilidad.

17. Un fabricante puede producir cuando mucho, 420 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es: p = q2 -100q +3200, y la función de costo promedio del fabricante es:

.

P R O B L E M A S D E O P T I M I Z A C I Ó N

E n l a r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s d e o p t i m i z a c i ó n d e f u n c i o n e s s e g u i r e m o s l o s

s i g u i e n t e s p a s o s :

1 . P l a n t e a r l a f u n c i ó n q u e h a y q u e m a x i m i z a r o m i n i m i z a r .

Página 28


2 . P l a n t e a r u n a e c u a c i ó n q u e r e l a c i o n e l a s d i s t i n t a s v a r i a b l e s d e l p r o b l e m a ,

e n e l c a s o d e q u e h a y a m á s d e u n a v a r i a b l e .

3 . D e s p e j a r u n a v a r i a b l e d e l a e c u a c i ó n y s u s t i t u i r l a e n l a f u n c i ó n d e m o d o

q u e n o s q u e d e u n a s o l a v a r i a b l e .

4 . D e r i v a r l a f u n c i ó n e i g u a l a r l a a c e r o , p a r a h a l l a r l o s e x t r e m o s l o c a l e s .

5 . R e a l i z a r l a 2 ª d e r i v a d a p a r a c o m p r o b a r e l r e s u l t a d o o b t e n i d o . D e t o d o s

l o s t r i á n g u l o s i s ó s c e l e s d e 1 2 m d e p e r í m e t r o , h a l l a r l o s l a d o s d e l q u e t o m e á r e a

m á x i m a .

L a f u n c i ó n q u e t e n e m o s q u e m a x i m i z a r e s e l á r e a d e l t r i á n g u l o :

R e l a c i o n a m o s l a s v a r i a b l e s :

2 x + 2 y = 1 2

x = 6 − y

S u s t i t u i m o s e n l a f u n c i ó n :

Página 29


D e r i v a m o s , i g u a l a m o s a c e r o y c a l c u l a m o s l a s r a í c e s .

R e a l i z a m o s l a 2 ª d e r i v a d a y s u s t i t u i m o s p o r 2 , y a q u e l a s o l u c i ó n y = 0 l a

d e s c a r t a m o s p o r q u e n o h a y u n t r i á n g u l o c u y o l a d o s e a c e r o .

P o r l o q u e q u e d a p r o b a d o q u e e n y = 2 h a y u n m á x i m o .

L a b a s e ( 2 y ) m i d e 4 m y l o s l a d o s o b l i c u o s ( x ) t a m b i é n m i d e n 4 m , p o r l o

q u e e l t r i á n g u l o d e á r e a m á x i m a s e r í a u n t r i á n g u l o e q u i l á t e r o .

R e c o r t a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e e n c a d a e s q u i n a d e u n a l á m i n a d e c a r t ó n d e

d i m e n s i o n e s 8 0 c m x 5 0 c m u n c u a d r a d o d e l a d o x y d o b l a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e

Página 30


( v é a s e f i g u r a ) , s e c o n s t r u y e u n a c a j a . C a l c u l a r x p a r a q u e v o l u m e n d e d i c h a c a j a

s e a m á x i m o .

U n a h o j a d e p a p e l d e b e t e n e r 1 8 c m 2 d e t e x t o i m p r e s o , m á r g e n e s s u p e r i o r e

i n f e r i o r d e 2 c m d e a l t u r a y m á r g e n e s l a t e r a l e s d e 1 c m d e a n c h u r a . O b t e n e r

r a z o n a d a m e n t e l a s d i m e n s i o n e s q u e m i n i m i z a n l a s u p e r f i c i e d e l p a p e l .

Página 31


D e s c o m p o n e r e l n ú m e r o 4 4 e n d o s s u m a n d o s t a l e s q u e e l q u í n t u p l o d e l

c u a d r a d o d e l p r i m e r o m á s e l s é x t u p l o d e l c u a d r a d o d e l s e g u n d o s e a u n m í n i m o .

Página 32


E l v a l o r d e u n d i a m a n t e e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e s u p e s o . D i v i d e u n

d i a m a n t e d e 2 g e n d o s p a r t e s d e f o r m a q u e l a s u m a d e l o s v a l o r e s d e l o s d o s

d i a m a n t e s f o r m a d o s s e a m í n i m a .

E l d i a m a n t e s e h a d e d i v i d i r e n d o s p a r t e s i g u a l e s d e 1 g .

U n a b o y a , f o r m a d a p o r d o s c o n o s r e c t o s d e h i e r r o u n i d o s p o r s u s b a s e s h a d e s e r

c o n s t r u i d o m e d i a n t e d o s p l a c a s c i r c u l a r e s d e 3 m d e r a d i o . C a l c u l a r l a s d i m e n s i o n e s

d e l a b o y a p a r a q u e s u v o l u m e n s e a m á x .

Página 33


S e p r e t e n d e f a b r i c a r u n a l a t a d e c o n s e r v a c i l í n d r i c a ( c o n t a p a ) d e 1 l i t r o d e

c a p a c i d a d . ¿ C u á l e s d e b e n s e r s u s d i m e n s i o n e s p a r a q u e s e u t i l i c e e l m í n i m o

p o s i b l e d e m e t a l ?

Página 34


S e t i e n e u n a l a m b r e d e 1 m d e l o n g i t u d y s e d e s e a d i v i d i r l o e n d o s t r o z o s

p a r a f o r m a r c o n u n o d e e l l o s u n c í r c u l o y c o n e l o t r o u n c u a d r a d o . D e t e r m i n a r l a

l o n g i t u d q u e s e h a d e d a r a c a d a u n o d e l o s t r o z o s p a r a q u e l a s u m a d e l a s á r e a s

d e l c í r c u l o y d e l c u a d r a d o s e a m í n i m a .

U n s e c t o r c i r c u l a r t i e n e u n p e r í m e t r o d e 1 0 m . C a l c u l a r E l r a d i o y l a a m p l i t u d d e l

s e c t o r d e m a y o r á r e a .

Página 35


O b t e n e r e l t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e á r e a m á x i m a i n s c r i t o e n u n c í r c u l o d e

r a d i o 1 2 c m .

Página 36


Página 37


U n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e p e r í m e t r o 3 0 c m , g i r a a l r e d e d o r d e s u a l t u r a

e n g e n d r a n d o u n c o n o . ¿ Q u é v a l o r d e b e d a r s e a l a b a s e p a r a q u e e l v o l u m e n d e l

c o n o s e a m á x i m o ?

Página 38


C o n c a v i d a d y c o n v e x i d a d

E s t u d i o d e l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d y c o n v e x i d a d

f ( x ) = x 3 − 3 x + 2

1 . H a l l a m o s l a d e r i v a d a s e g u n d a y c a l c u l a m o s s u s r a í c e s .

f ' ' ( x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 .

2 . F o r m a m o s i n t e r v a l o s a b i e r t o s c o n l o s c e r o s ( r a í c e s ) d e l a d e r i v a d a

s e g u n d a y l o s p u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d ( s i l o s h u b i e s e ) .

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3 . T o m a m o s u n v a l o r d e c a d a i n t e r v a l o , y h a l l a m o s e l s i g n o q u e t i e n e e n l a

d e r i v a d a s e g u n d a .

S i f ' ' ( x ) > 0 e s c ó n c a v a .

S i f ' ' ( x ) < 0 e s c o n v e x a .

D e l i n t e r v a l o ( − ∞ , 0 ) t o m a m o s x = − 1 , p o r e j e m p l o .

f ' ' ( − 1 ) = 6 ( − 1 ) < 0 C o n v e x a .

D e l i n t e r v a l o ( 0 , ∞ ) t o m a m o s x = 1 , p o r e j e m p l o .

f ' ' ( 1 ) = 6 ( 1 ) > 0 C ó n c a v a .

4 . E s c r i b i m o s l o s i n t e r v a l o s :

C o n c a v i d a d : ( 0 , ∞ )

C o n v e x i d a d : ( − ∞ , 0 )

E j e r c i c i o s

Página 40


Página 41


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P u n t o s d e i n f l e x i ó n

E n l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n h a y c a m b i o d e c o n c a v i d a d a c o n v e x i d a d o

v i c e v e r s a .

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C á l c u l o d e l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n

f ( x ) = x 3 − 3 x + 2

1 . H a l l a m o s l a d e r i v a d a s e g u n d a y c a l c u l a m o s s u s r a í c e s .

f ' ' ( x ) = 6 x 6 x = 0 x = 0 .

2 . R e a l i z a m o s l a d e r i v a d a t e r c e r a , y c a l c u l a m o s e l s i g n o q u e t o m a n e n e l l a

l o s c e r o s d e d e r i v a d a s e g u n d a y s i :

f ' ' ' ( x ) ≠ 0 T e n e m o s u n p u n t o d e i n f l e x i ó n .

f ' ' ' ( x ) = 6 S e r á u n p u n t o d e i n f l e x i ó n .

3 . C a l c u l a m o s l a i m a g e n ( e n l a f u n c i ó n ) d e l p u n t o d e i n f l e x i ó n .

f ( 0 ) = ( 0 ) 3 − 3 ( 0 ) + 2 = 2

P u n t o d e i n f l e x i ó n : ( 0 , 2 )

C á l c u l o d e l o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n c o n o c i e n d o l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d y c o n v e x i d a d

L o s p u n t o s d e i n f l e x i ó n s o n l o s p u n t o s d e l a f u n c i ó n e n q u e é s t a p a s a d e c ó n c a v a a

c o n v e x a o v i c e v e r s a .

Página 44


E j e r c i c i o s

T e n e m o s u n p u n t o d e i n f l e x i ó n e n x = 0 , y a q u e l a f u n c i ó n p a s a d e c o n v e x a

a c ó n c a v a .

P u n t o d e i n f l e x i ó n ( 0 , 0 )

D o m i n i o

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07.- La suma de perímetros de un cuadrado y un triángulo equilátero es 10. Hallar las dimensiones de ambos para que el área total sea mínima.

a

b

Tenemos:

4a + 3b = 10

…………. (a)

Luego: At = A + A

= ………… (b)

Reemplazando:

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Rpta: los lados del cuadrado deben ser 1.087u y del triangulo 1.88 u

08.- Hallar la relación entre el radio R y la altura H del cilindro que tiene la menor superficie total conociendo su volumen.

Reemplazando en A:

Página 47


Haciendo:

Página 48

aplicaciÓn de la derivada

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