Participantes:Francisco Medina Guevara.**Rafael Angel Rodríguez Cruz*Luis Manuel García Castillo.**Antonio Vega Corona*Donato Hernández Fusilier*

* Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica.Universidad de Guanajuato.

** Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Abasolo y estudiantes del Posgrado en Ingeniería Mecánica F.I.M.E.E., U. de Gto.

APLICACIÓN DEL MEF Y DEL DOE A LA SISTEMATIZACIÓN DEL DISEÑO DE ESTRUCTURAS RETICULARES.

Antecedentes• La búsqueda formas estructurales para cubrir

largos claros sin la necesidad de soportesintermedios ha sido uno de los principalesobjetivos de ingenieros y arquitectos.

• Una gran cantidad de investigaciones, tantoteóricas como experimentales, han sidodesarrolladas por diferentes universidades ylaboratorios de diversos países.

• Dentro de la gran variedad de estructurasreticulares, las estructuras de red de doble capano cuentan con mucha investigación.

En 1999 Rodríguez [5] realizó un estudio sobreestructuras espaciales de red de doble capa, en elcual encontró que estas estructuras se comportande manera similar a una placa, además reporta unconjunto de ecuaciones que describen elcomportamiento mecánico de las estructuras.

En años recientes se ha tratado de describir larelación existente entre dos característicasimportantes de estas estructuras, el claro y elperalte, sin embargo no se han encontrado estudiosrecientes que muestren, de manera cuantitativa, larelación existente entre los factores geométricos.

Antecedentes

Estructuras de red de doble capa(Double Layer Grid, DLG)

Es un marco espacial, consisteen una red en la parte superiory otra en la parteinferior, paralelas, y conectadasentre ellas por miembrosverticales o inclinados.

Se caracterizan por el tipo deunión que se utiliza, la cual noes capaz de soportarmomentos de flexión o detorsión.

Ventajas de las estructuras DLG Una de las ventajas más importantes de estas estructuras

en su ligereza. Los elementos que forman el marco pueden formar

unidades pequeñas que pueden se producidas en masa enuna fábrica.

Los marcos cuentan con una excelente rigidez, muy buena apesar de su ligereza. Dicha rigidez provee además una granhabilidad para soportar cargas asimétricas, cargasconcentradas y/o dinámicas.

Los marcos de acero pueden abarcar grandes claros máseficientemente que otros tipos deconstrucciones, minimizando con esto el número decolumnas e incrementando así la rapidez de la construcción.

ObjetivoDescribir con una ecuación el esfuerzo de

tensión o compresión máximo, así como eldesplazamiento máximo, presente en unaestructura metálica de red de doble capa enfunción de sus características geométricas.

◦ Lo anterior con propósito de ofrecer a losdiseñadores de este tipo de estructurasecuaciones que describan su comportamientomecánico, a fin de que éstas les ayuden a realizarsus análisis de una forma simple, rápida y eficaz.

METODOLOGÍA DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Diseño de Experimentos (Design of Experiments, DOE)

El diseño de experimentos es una técnica de gran alcanceusada para explorar nuevos procesos, tener un mejorconocimiento de los procesos existentes y optimizarlos paramejorar su funcionamiento. Es, además, una disciplina quetiene un uso muy amplio a través de todas las ciencias.

Montgomery [1] describe el diseño de experimentos de lasiguiente manera: “El diseño estadístico de experimentos esel proceso de planear un experimento de tal forma que serecaben datos adecuados que puedan analizarse conmétodos estadísticos que llevarán a conclusiones validas yobjetivas”.

Metodología del DOE

• Jiju [16] divide la metodología del DOEfundamentalmente en cuatro fases, éstas son:

– Fase de planeación.

– Fase de diseño.

– Fase de realización.

– Fase de análisis.

PLANEACIÓN

Respuestas• Se desean conocer tres aspectos importantes en el

diseño de una estructura espacial:

– El esfuerzo de tensión o compresión máximopresente en la estructura.

– El desplazamiento máximo.

– El volumen total del material a utilizar.

Variables Se tomarán en cuenta las variables geométricas mostradas en la

Figura. l1: largo de la base de la pirámide. l2: ancho de la base de la pirámide. h: altura de la pirámide. n1: número de pirámides a lo largo. n2: número de pirámides a lo ancho. a1: área de los elementos que forman las bases de las pirámides. a2: área de los elementos intermedios de las pirámides.

Condiciones de frontera

Estructura soportada en su perímetro

Estructura soportada en las 4 esquinas

Para el desarrollo de este trabajo se considerarán comocasos de estudio dos condiciones de frontera:

DISEÑO

Diseños factoriales Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos

en los que intervienen varios factores para estudiar el efectoconjunto de estos sobre una respuesta.

De acuerdo con las ecuaciones propuestas por Rodríguez [5] sepuede notar que las relaciones no son lineales.

uymax: desplazamiento máximo en la dirección transversal. σmax: esfuerzo máximo presente en la estructura. F: magnitud de la fuerza aplicada en la red superior. A: área transversal de los elementos de la estructura. h: peralte.

• El diseño factorial 3k ofrece la ventaja de tener tres niveles paracada variable y así obtener una curva que se puede ajustar a unaecuación cuadrática, exponencial, potencial, etc.

ub

ymax uFu a hA

= ⋅

bmax

F a hA

σσσ = ⋅

Selección de niveles

Valores

Variable A B C Unidades

l1 .5 1 1.5 m

l2 .5 1 1.5 m

h .5 1 1.5 m

n1 10 30 50

n2 10 30 50

a1 1.25E-04 5 E-04 1 E-03 m2

a2 1.25E-04 5 E-04 1 E-03 m2

Valores

Variable A B C Unidades

l1 .5 .75 1 m

l2 .5 .75 1 m

h .5 .75 1 m

n1 10 20 30

n2 10 20 30

a1 1.25E-04 5 E-04 1 E-03 m2

a2 1.25E-04 5 E-04 1 E-03 m2

Estructura soportada en su perímetro.

Estructura soportada en las 4 esquinas

REALIZACIÓN

Solución mediante ANSYS®

• La realización de los experimentos se lleva a cabo en elprograma de elemento finito ANSYS®.

• Para que el programa arroje los datos deseados (σ y u)se deben cumplir los siguientes pasos:– Seleccionar el tipo de elemento a utilizar.– Especificar características físicas.– Establecer propiedades mecánicas.– Realizar el modelo físico-matemático.– Aplicar condiciones de frontera.– Aplicar cargas.– Resolver.– Extraer los resultados buscados.

Tipo de elemento

Elemento LINK 8

Datos de Salida

Características físicas• Se establecen constantes reales.

Propiedades Mecánicas• Se utiliza un material lineal, elástico e

isotrópico con un E=2.1e11 Pa y ν=0.3.

Modelo físico-Matemático

• Se realiza lo siguiente:– Se crean kpoints para una

pirámide.– Se crean líneas entre los kpoints

creados.– Se hacen copias de los kpoints y

lineas n1 y n2 veces.– Se malla la estructura.

Condiciones de frontera

Cargas

Resultados

ANÁLISIS

Condición de frontera 1. Soportada en el perímetro.

Gráficas de efectos principales para u

Gráfica de interacción para u

Gráficas de efectos principales para s

Gráfica de interacción para s

Gráficas de efectos principales para Vt

Gráfica de interacción para Vt

Condición de frontera 2. Soportada en las esquinas.

ANÁLISIS

Gráficas de efectos principales para u

Gráfica de interacción para u

Gráficas de efectos principales para s

Gráfica de interacción para s

RESULTADOS

Análisis gráfico para BC1• Se tomaron casos al

azar y se pudo ver queen la mayoría de éstosel esfuerzo máximo sepresentaba en el centrode la estructura, sinembargo se encontraroncasos en los que elesfuerzo máximo sepresentaba en uno delos lados de laestructura.

Relación de área para asegurar un esfuerzo máximo al centro

• Se pudo observar que existe unacorrespondencia entre la relación de áreamáxima y una relación entre la longitud máscorta de la estructura y el peralte de lamisma.

1

2a

ara

=

2

max -0.0008 0.2864 0.7217anl nlrh h

= + +

Modificaciones al DOE para BC1• Se eliminan los experimentos en donde el

área 2 es mayor al área 1.

• Solo se toman en cuenta los resultados delos experimentos en donde l1 = l2.

• No se toma en cuenta el área 2 comofactor en el nuevo DOE.

Análisis gráfico para BC2• Se tomaron nuevamente varios

casos y se pudo observarexisten diferentes puntos endonde se encuentran losesfuerzos máximos.

• Además se nota que el esfuerzoen los elementos de las esquinasaumenta considerablemente enrelación al resto de loselementos.

• En base a los problemassurgidos se decide dejar estecaso para estudios posteriores.

Resultados del nuevo DOE

• Una de las partes masimportantes para realizarel análisis estadístico esel ANOVA ya quepermite conocer lavarianza de cadavariable así como larelación que existe entrecada una de lasvariables involucradasen el experimento.

RESULTADOS

Ecuación para el esfuerzo máximo σmax

Ecuaciones de efectos principales Gráfica s vs h

y = 228765x-0.9995

R2 = 1

050000

100000150000200000250000300000350000400000450000500000

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6h (m)

s (

Pa)

Gráfica a1 vs s

y = 76.241x-1

R2 = 1

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

0.00000 0.00020 0.00040 0.00060 0.00080 0.00100 0.00120a1 (m2)

s (

Pa)

Gráfica s vs l

y = 279531x1.0012

R2 = 1

050000

100000150000200000250000300000350000400000450000

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6l (m)

s (

Pa)

Gráfica s vs n1

y = -84.06x2 + 15960x - 101195R2 = 1

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0n1

s (

Pa)

Interacción n1-n2• Se propone inicialmente:

• donde

– N: número mayor de rejillas.– n: número menor de rejillas.

max 1, 2

1

( )nF l f n na h

σ =

s vs n (para n1=n2)

y = 69.0796x2.0297

R2 = 1.0000

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 10 20 30 40 50 60n

s

1 2

1 2

2 f fff f

=+

2.02971 1

2.02972 2

69.0796

69.0796

f nf n=

=

283.04822.24126.13146.002437.0 234 −+−+−= llllc rrrrf σ

nNrl =

( )( )( ) ( )

2.0297 2.02971 2

max 2.0297 2.02971 1 2

69.0796 69.079621000 69.0796 69.0796

nc

n nF l fa h n n

σ = +

Ecuación final para σmax

• Recomendaciones de uso:– Deben ser usadas dentro de los rangos establecidos en el DOE

que limitan el dominio de las ecuaciones.– Cuando l = 1.5 y h = 0.5, ra = 0.75ramax como valor máximo. – Si a1 = a2, rl < 1.2 y l ≠ h, error de s entre -7% y -20%.

( )( )( ) ( )

2.014974 2.0149741 2

max 2.014974 2.0149741 1 2

70.065 70.06521000 70.065 70.065

nc

n nF l fa h n n σσ

= +

0.3175-2.5076+1.418-0.3147+-0.024315 234llllc rrrrf =σ

Error para σmax

• Descartando los experimentos que no cumplen con lasrestricciones y recomendaciones anteriores, se tienen lossiguientes datos:

• Total de casos: 562.• Error promedio: 1.35%.• Desviación estándar: 2.70%.• Error mínimo: -6.67%.• Error máximo: 6.36%. • Rango de error: 13.03%.

6420-2-4-6

30

25

20

15

10

5

0

Error s

Po

rce

nta

je

Histograma de Error para s

RESULTADOS

Ecuación para el desplazamiento máximo umax

Ecuaciones de efectos principales

y = 35777x2.945

R² = 1

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

u

l

Gráfica u vs l

y = 6E-07x2 - 8E-06x + 2E-05R² = 1

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0 10 20 30 40 50 60

u

n1

Gráfica u vs n1

Ecuación final para umax

Recomendaciones de uso:– Deben ser usadas dentro de los rangos establecidos en el DOE.– Cumplen para l ≥ h.– Cuando a1 = a2, u dividido por 1.104. – Cuando a1/a2 = ramax, u dividido por 0.926.– Si a1 = a2, l ≠ h y n1 = n2 = 10, error de u entre -8% y -11%.– Si a1/a2 = ramax, h ≤ l ≤ h+0.1 y n1 ó n2 cercano a 10, error de u de

9% a 14%.

( )( )( ) ( )

3.9077 3.90772.94581 2

max 1.9669 3.9077 3.90771 1 2

6.853 3 6.853 321 11 6.853 3 6.853 3

ncu

E n E nF lu fE a h E n E n

− − = − + −

.8277.4003+0.3000-0.07631+-0.006371 234 += llllcu rrrrf

Error para umax

• Descartando los experimentos que no cumplen conlas restricciones y recomendaciones anteriores, setienen los siguientes datos:

• Total de casos: 604.• Error promedio: -0.13%.• Desviación estándar: 2.94%.• Error mínimo: -6.49%.• Error máximo: 6.39%. • Rango de error: 12.89%.

6420-2-4-6

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Error u

Porc

enta

je

Histograma de Error para u

RESUMEN DE RESULTADOS

Ecuaciones ( )( )( ) ( )

2.014974 2.0149741 2

max 2.014974 2.0149741 1 2

70.065 70.06521000 70.065 70.065

nc

n nF l fa h n n σσ

= +

0.3175-2.5076+1.418-0.3147+-0.024315 234llllc rrrrf =σ

( )( )( ) ( )

3.9077 3.90772.94581 2

max 1.9669 3.9077 3.90771 1 2

6.853 3 6.853 321 11 6.853 3 6.853 3

ncu

E n E nF lu fE a h E n E n

− − = − + −

.8277.4003+0.3000-0.07631+-0.006371 234 += llllcu rrrrf

2 2

1 2 1 224

2th lV n n la a

+= +

Esfuerzo máximo

Desplazamiento máximo

Volumen

Restricciones y recomendaciones• Deben ser usadas dentro de los siguientes rangos:

– 0.5 ≤ h ≤ 1.5 (m)– 0.000125 ≤ a1 ≤ 0.001 (m2)– 0.5 ≤ l ≤ 1.5 (m)– 10 ≤ n1 ≤ 50– 10 ≤ n2 ≤ 50

• Cumplen para l ≥ h.• Cuando l = 1.5 y h = 0.5, ra = 0.75ramax como valor máximo. • Cuando a1 = a2, u dividido por 1.104. • Cuando a1/a2 = ramax, u dividido por 0.926.• Si a1 = a2, rl < 1.2 y l ≠ h, error de s entre -7% y -20%.• Si a1 = a2, l ≠ h y n1 = n2 = 10, error de u entre -8% y -11%.• Si a1/a2 = ramax, h ≤ l ≤ h+0.1 y n1 ó n2 cercano a 10, error de u de 9% a 14%.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones1. Las ecuaciones obtenidas son similares a las ecuaciones propuestas

por Rodríguez [5], además es similar también a la ecuación de la teoríade placas, por lo que se concluye que Rodríguez [5] tiene razón al decirque este tipo de estructuras tiene un comportamiento similar a lasplacas.

2. Las ecuaciones encontradas aplican para estructuras simplementeapoyadas en su perímetro y con una fuerza perpendicular a la estructurauniformemente distribuida en los nodos superiores de la estructura.

3. El porcentaje de error encontrado para la Ecuación 5.9 oscila entre-6.67% y 6.36%, sin embargo el promedio de error es de 1.5%, y lamayoría de los errores son del 3%, por lo que para ser una ecuaciónbasada en un DOE se toma como una ecuación valida.

4. Para la Ecuación 5.12 los datos para los errores son similares, de talmanera que le ecuación encontrada predice el desplazamiento con unaprecisión bastante buena, dejando en claro que se puede tomar comouna ecuación valida.

Conclusiones5. Como toda ecuación basada en un DOE, estas ecuaciones son validas

sólo dentro de los dominios establecidos.6. Las observaciones hechas a las formulas se hacen para casos muy

específicos, los cuales es probable que no se lleguen a presentar porcuestiones constructivas o económicas, por lo que se puede decir quelas ecuaciones propuestas en este trabajo cumplen satisfactoriamentecon el objetivo propuesto en un principio.

7. Debido a los altos márgenes de seguridad e incertidumbre (factores deseguridad mayores a 2), los errores obtenidos en el cálculo de lasestructuras por este método se diluyen aumentando la confiabilidad delos resultados.

8. El DOE es una herramienta muy útil para describir el comportamiento dealgún fenómeno desconocido. En este caso fue de gran ayuda paradescribir el comportamiento de las estructuras DLG.

Conclusiones9. Después de analizar los DOE’s iníciales se llega a la conclusión de

que las áreas de los elementos intermedios no son una variable queinfluya mucho en las ecuaciones que describen el comportamiento delas estructuras. Esto permite que se abaraten los costos deconstrucción ya que se puede disminuir considerablemente el área deestos elementos, con lo que se reduce la cantidad de material y portanto el costo.

10.El DOE necesario para encontrar las ecuaciones que describan demanera adecuada las estructuras soportadas en las esquinas (BC2)puede llegar a ser complicado, esto debido a que requiere unacantidad mayor de variables. Es por esto que para el presente trabajose decidió dejar esta condición de frontera para una investigaciónposterior.

REFERENCIAS

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Optimal Geometrical Configuration Selection of Type, Shells, Membranes and Space Frames”, Proc. IASS Symp, Osaka, Japan, Sept 1986, Elsevier.

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13.Z. S. Makowski, “Steel Space Structures”, Michael Joseph, London1965.

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15.Alberto E. Ramperti, “Introducción al Diseño deExperimentos”, www.rubberservice.com.ar/literatura/confdoe.pdf.

16.Jiju Anthony, “Design of Experiments for Engineers andScientist”, Elsevier, 2003.

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18.Silva R. Victor, “Diseño Estructural de un Invernadero de producciónIntensiva”, julio 2003.

19.Sabed Moaveni, “Finite Element Analysis, Theory an ApplicationsWith ANSYS”, Second Edition, Pearson Education, 2003.

20.Warren C. Young, Richard G. Budynas, “Roark’s Formulas for Stressand Strain”, Seventh Edition, McGraw-Hill, 2002, Tabla 11.4.

21.Louis Leithold, “El Calculo”, Séptima Edición, Oxford UniversityPress, 1998.

¿PREGUNTAS?

GRACIAS POR SU ATENCION.