aplicación de un modelo de control predictivo en el

Aplicación de un modelo de control predictivo en el

control óptimo de una columna de destilación.

Abel García Oviedo y Jorge M. Gómez

Grupo de Diseño de Productos y Procesos, Departamento de Ingeniería Química y de Alimentos,

Universidad de Los Andes, Carrera 1 No. 18a-10, Bogotá, Colombia

Resumen: En la industria química es necesario estrategias de control basadas en modelos

que describan detalladamente la dinámica de sistemas con comportamiento altamente no

lineal y que involucren un alto consumo energético. Para estos casos, se utilizan modelos de

ecuaciones algebro-diferenciales DAE (del inglés Differential-Algebraic equations). En este

trabajo se implementó un modelo de control predictivo no lineal NMPC (del inglés Nonlinear

model predictive control) con base en un modelo DAE de índice uno y un modelo DAE de

índice híbrido para representar el comportamiento dinámico de una columna de destilación

piloto. Se resolvió el problema de control óptimo de la columna de destilación frente a la

introducción de diferentes perturbaciones sobre la corriente de alimentación. Este problema

de control óptimo fue resuelto en lazo cerrado para tener en cuenta la discrepancia entre el

modelo y la planta del equipo piloto. El comportamiento de la planta se obtiene mediante

simulaciones en Aspen Dynamics, en las que se consideran las eficiencias de Murphree de

las etapas de la columna de destilación piloto. Para resolver el problema en lazo cerrado se

implementó como estimador de estados un filtro de Kalman extendido. Se demostró que la

estrategia de control implementada tiene un mejor desempeño que un controlador

convencional PI (Proporcional-Integral).

1. Introducción

Dada la creciente demanda energética mundial la producción de biocombustibles ha

aumentado significativamente en los últimos años. Entre estos biocombustibles destaca

el bioetanol por las diferentes fuentes y procesos de producción. El bioetanol debe

encontrarse en un alto grado de pureza para uso industrial [1]. Para esto, debe ser separado

del agua presente al final de los procesos de producción. Esto se realiza con una columna

de destilación para lograr una mezcla con una composición cercana al punto azeotrópico.

En caso de requerir una mezcla con una pureza mucho más alta de etanol se puede recurrir

a procesos en los que intervenga un agente de transferencia de masa. En este caso, el

equipo necesario corresponde a una columna de destilación extractiva [2].

Las columnas de destilación son los equipos que representan el mayor requerimiento

energético dentro de la industria química. Por esta razón, es importante mantener

condiciones eficientes de operación para reducir costos por consumo de energía, mientras

se cumplen con las especificaciones de composición [3]. Las condiciones de operación

de una columna pueden ser afectados por la introducción de perturbaciones. La adecuada

respuesta ante estas perturbaciones para restablecer las condiciones de operación influye

en la rentabilidad y la calidad de los productos de los procesos [4]. Por lo tanto, para

mantener la competitividad dentro de la industria química se requiere de un sistema de

control. Con un sistema de control se pueden manipular las variables de operación en los

equipos para mantener el desempeño óptimo del equipo [5].

Un modelo de control predictivo MPC (del inglés Model Predictive Control) es un

método de diseño y aplicación de sistemas de control de retroalimentación [6]. El

propósito del modelo de control predictivo es encontrar la secuencia óptima de valores

de las variables del sistema. Esta secuencia debe traducirse en la trayectoria deseada de

las variables de salida del sistema a lo largo de un horizonte de predicción. Por lo general,

la acción de control de las variables manipuladas se define de tal manera que las variables

del sistema alcancen determinados valores de referencia conocidos como set points [7].

En las dos últimas décadas, los modelos de control predictivo lineales se convirtieron en

las técnicas de control más poderosas y ampliamente utilizadas en los procesos

industriales [8]. Sin embargo, muchos sistemas en los procesos industriales son

inherentemente no lineales. En muchos casos estos procesos deben contar con un amplio

rango de condiciones de operación debido a los requerimientos de la industria química

[9].

Cuando se diseña el sistema de control para un sistema descrito por modelos matemáticos

no lineales, es necesario implementar un modelo de control predictivo no lineal NMPC

(del inglés Nonlinear Model Predictive Control). Estos modelos de control se aplican

principalmente a problemas de seguimiento de valores de referencia y estabilización de

las variables de estado. En cualquiera de los casos, los modelos de control predictivo se

utilizan para predecir y optimizar el comportamiento del sistema en el tiempo [10].

En este trabajo, se implementa un controlador NMPC a partir de modelos de ecuaciones

DAE para realizar la predicción del comportamiento dinámico de una columna de

destilación piloto Pignat DVI/3000/S. Se resuelve el problema de control óptimo para la

columna de destilación en lazo abierto y en lazo cerrado ante la introducción de tres

perturbaciones al sistema. La solución del problema en lazo abierto permite ajustar

parámetros de configuración del controlador NMPC. La solución del problema en lazo

cerrado se presenta como un estudio preliminar a la implementación del controlador en

el equipo piloto. Para este estudio, se modela el comportamiento del equipo piloto

mediante simulaciones en Aspen Dynamics. Teniendo en cuenta que la columna no opera

en equilibrio, se definen eficiencia de Murphree para las etapas. En el esquema de lazo

cerrado se evalúa el filtro de Kalman extendido como estimador de estados de la columna

de destilación.

El artículo está estructurado de la siguiente forma: En la sección 2 se hace una revisión

bibliográfica de casos de estudio de control óptimo para columnas de destilación. En la

sección 3 se presentan los sistemas DAE usados para el modelamiento dinámico de una

columna de destilación. En la sección 4, se expone la formulación general de un problema

de optimización dinámica y se especifica el algoritmo de integración para la solución de

las ecuaciones diferenciales de los modelos. En la sección 5 se describe el caso de estudio

correspondiente al control óptimo de una columna de destilación piloto Pignat

DVI/3000/S con una mezcla binaria etanol-agua. En la sección 6 se muestran y analizan

los resultados obtenidos del problema de control óptimo en lazo abierto y en lazo cerrado.

En la sección final se presentan las conclusiones y perspectivas futuras de este trabajo.

2. Estado del arte

En la Tabla 1, se mencionan concretamente metodologías implementadas para llevar a

cabo el control óptimo en columnas de destilación.

Año Autores Metodología Referencia

2001 Bloemen et al. Modelo Wiener. [11]

2002 Alpbaz et al. Simulación de una columna de destilación

empacada. Aplicación de un sistema de matriz

dinámica de control.

[12]

2002 Diehl et al. Esquema de control no lineal basado en el

método Direct multiple shooting.

[13]

2005 Jana et al. Implementación de un modelo de control

globalmente linealizado.

[14]

2005 Rueda et al. Implementación de un modelo con

linealización iterativa para un control

predictivo no lineal.

[15]

2015 Lozano et al. Modelo DAE de índice híbrido basado en

principios fundamentales para un modelo de

control predictivo no lineal de un separador

flash.

[16]

2015 Lozano et al. Modelo de control predictivo no lineal para

una columna de destilación extractiva usando

un modelo DAE de índice híbrido basado en

principios fundamentales.

[17]

Tabla 1: Metodologías para el control óptimo de una columna de destilación.

Diehl et al., [13] implementaron un modelo no lineal de control predictivo basado en el

método Direct multiple shooting. El control de la columna tenía como variables

manipuladas el calor suministrado por el rehervidor y la tasa del reflujo. El objetivo fue

mantener las especificaciones de pureza de los componentes en las corrientes de destilado

y de fondos. La respuesta del sistema de control se evaluó frente a perturbaciones en el

flujo y la composición de la corriente de alimentación.

Lozano et al., [16] presentaron una alternativa a la solución de problemas con modelos de

control predictivo. Se utiliza el método de colocación ortogonal sobre elementos finitos

para discretizar el modelo DAE (del inglés Differential-Algebraic Equations). En este

caso, se resuelve el problema convencional de seguimiento cuadrático de set point para

diferentes perturbaciones en un separador flash.

Lozano et al., [17] implementaron un modelo DAE híbrido, el cual se utiliza para la

implementación de un modelo de control predictivo en una columna de destilación

extractiva. La función objetivo determina el desempeño económico de la operación y se

evalúa la respuesta de la columna ante perturbaciones en la corriente de alimentación.

En este artículo se implementa un controlador NMPC basado en modelos DAE para llevar

a cabo el control óptimo de una columna de destilación frente a perturbaciones en la

corriente de alimentación. Las variables manipuladas son el calor en el rehervidor y la

relación reflujo, de tal manera que se reestablezca la condición de pureza del etanol en el

destilado. Con estas variables se plantea una función objetivo de seguimiento cuadrático

convencional. El problema de control óptimo para este caso se resuelve tanto en lazo

abierto y en lazo cerrado. Para la configuración en lazo cerrado se evalúa el efecto de las

limitaciones de transferencia de masa en la interfase a través de las eficiencias de

Murphree en las etapas del equipo piloto. En este trabajo, para implementar el controlador

NMPC en lazo cerrado se utiliza un filtro de Kalman extendido como estimador de

estados.

3. Modelo

El modelo matemático debe describir el comportamiento dinámico de la columna de

destilación. Se utiliza como base el modelo MESH (del inglés Material balance,

Equilibrium relationships, Summation equations and Heat balance) en un sistema de

ecuaciones algebro-diferenciales DAE para simular el comportamiento dinámico en cada

etapa.

En la Figura 1 se puede visualizar el esquema general de una columna de destilación para

la separación de una mezcla binaria. A la columna de destilación se alimenta una mezcla

de etanol-agua. El objetivo de la separación es obtener un alto porcentaje de etanol en la

corriente de destilado. La columna está compuesta por varias etapas de equilibrios. En

estas etapas interactúan corrientes de líquido y de vapor, de tal manera que se promueve

la transferencia de masa y energía. El condensador corresponde a la etapa 1 de equilibrio

y el rehervidor parcial a la etapa n de equilibrio.

Figura 1: Esquema general de una columna de destilación.

Las suposiciones para implementar la modelación dinámica basada en el modelo MESH

son [18]:

- Equilibrio termodinámico en cada etapa.

- Operación adiabática.

- Condensador total.

- Rehervidor parcial.

- Se desprecia la acumulación de vapor.

- No hay caída de presión en el rehervidor.

- No hay variación de la presión en el tiempo.

3.1 Modelo DAE de índice dos (DAE2)

Con estas suposiciones se obtiene un modelo dinámico simplificado de la columna de

destilación descrito por las siguientes ecuaciones algebraicas y diferenciales:

Balance total de materia:

Condensador:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡= 𝑉𝑛+1 − 𝐿𝑛 (1 +

1

𝑅𝑅) = 0 (1. 𝑎)

Rehervidor:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡= 𝐿𝑛−1 − 𝐿𝑛 − 𝑉𝑛 = 0 (1. 𝑏)

Alimentación:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡= 𝐿𝑛−1 + 𝑉𝑛+1 + 𝐹𝑛 − 𝐿𝑛 − 𝑉𝑛 (1. 𝑐)

Balance de materia por componente j:

Condensador:

𝑑(𝑀𝐿,𝑛𝑥𝑛𝑗)

𝑑𝑡= 𝑉𝑛+1𝑦𝑛+1

𝑗− 𝐿𝑛𝑥𝑛

𝑗 (1 +1

𝑅𝑅) (2. 𝑎)

Rehervidor:


𝑑𝑡= 𝐿𝑛−1𝑥𝑛−1


𝑗− 𝑉𝑛𝑦𝑛

𝑗 (2. b)

Alimentación:


𝑑𝑡= 𝐿𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑗+ 𝑉𝑛+1𝑦𝑛+1

𝑗+ 𝐹𝑛𝑧𝑛


𝑗− 𝑉𝑛𝑦𝑛

𝑗 (2. 𝑐)

1.

Balance de energía por plato:

Condensador:

𝑑(ℎ𝑛𝑀𝐿,𝑛)

𝑑𝑡= 𝑉𝑛−1𝐻𝑛−1 − 𝐿𝑛 (1 +

1

𝑅𝑅) ℎ𝑛 − 𝑄𝐶𝑜𝑛𝑑 (3. 𝑎)

2.

Rehervidor:


𝑑𝑡= 𝑄𝑅𝑒𝑏 + 𝐿𝑛−1ℎ𝑛−1 − 𝐿𝑛ℎ𝑛 − 𝑉𝑛ℎ𝑛 (3. 𝑏)

Alimentación:


𝑑𝑡= 𝐿𝑛−1ℎ𝑛−1 + 𝑉𝑛+1𝐻𝑛+1 + 𝐹𝑛ℎ𝑓 − 𝐿𝑛ℎ𝑛 − 𝑉𝑛ℎ𝑛 (3. 𝑐)

Cálculo de temperatura en cada plato:

La temperatura en cada plato se calcula de tal manera que la suma de las composiciones

en la fase de vapor en cada plato sea igual a 1, como se muestra en la ecuación 4. 𝑎 [7]:

∑ 𝑦𝑛𝑗

𝑗

= 1, ∀ 𝑛 ∈ 𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠, ∀ 𝑗 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (4. 𝑎)

Adicionalmente, se tiene en cuenta la relación de equilibrio de fases líquido-vapor en la

ecuación 4. 𝑏:

𝑦𝑛𝑗∗

=𝛾𝑛

𝑗𝑃𝑛

𝑗 𝑆𝑎𝑡𝑥𝑛

𝑗

𝑃𝑛, ∀ 𝑛 ∈ 𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠, ∀ 𝑗 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (4. 𝑏)

También, se verifica el error para el equilibrio de fases, presentado en la ecuación 4. 𝑐:

∑(𝑦𝑛𝑗

− 𝑥𝑛𝑗)

𝑗

= 0, ∀ 𝑛 ∈ 𝐸𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠, ∀ 𝑗 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (4. 𝑐)

Para la tasa de flujo de líquido en cada etapa de la columna de destilación se utilizan

ecuaciones hidráulicas (ecuación 5) que tienen en cuenta la acumulación de líquido, la

tasa de flujo de vapor y los parámetros geométricos del plato [19] [20]. Los parámetros

se presentan en el Apéndice A.7.

𝐿𝑛 = 𝑓(𝑀𝐿,𝑛, 𝑉𝑛) (5)

Dado que la tasa de flujo de vapor en cada etapa (𝑉𝑛) es una variable algebraica que no

figura dentro de las ecuaciones algebraicas, el sistema de ecuaciones algebro-

diferenciales presentado se clasifica como de índice dos (DAE2) [13].

3.2 Modelo DAE2 de índice reducido (DAE2r)

Al implementar el modelo DAE2 (sección 3.1) en esquemas de control se necesitan

condiciones iniciales consistentes para evitar comportamientos de impulsos en el sistema

que resulten en desplazamientos de la solución [17]. Para definir condiciones iniciales

consistentes se aplica un método de reducción de índice para modelos DAE de alto índice

(≥ 2) [21]. Este método se aplica al derivar el lado izquierdo de los balances de energía

diferenciales presentados en las ecuaciones 3. 𝑎, 3. 𝑏 y 3. 𝑐. Se tiene en cuenta que los

cambios en la entalpía específica de la fase líquida generalmente son muy pequeños

comparados con la entalpía total del plato. Entonces, los balances de energía resultantes

se presentan en las ecuaciones 6. 𝑎, 6. 𝑏 y 6. 𝑐:

Balance de energía por plato:

Condensador:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡ℎ𝑛 = 𝑉𝑛−1𝐻𝑛−1 − 𝐿𝑛 (1 +

1

𝑅𝑅) ℎ𝑛 − 𝑄𝐶𝑜𝑛𝑑 (6. 𝑎)

Rehervidor:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡ℎ𝑛 = 𝑄𝑅𝑒𝑏 + 𝐿𝑛−1ℎ𝑛−1 − 𝐿𝑛ℎ𝑛 − 𝑉𝑛ℎ𝑛 (6. 𝑏)

Alimentación:

𝑑𝑀𝐿,𝑛

𝑑𝑡ℎ𝑛 = 𝐿𝑛−1ℎ𝑛−1 + 𝑉𝑛+1𝐻𝑛+1 + 𝐹𝑛ℎ𝑓 − 𝐿𝑛ℎ𝑛 − 𝑉𝑛ℎ𝑛 (6. 𝑐)

En estas ecuaciones el término diferencial se conoce a partir de los balances totales de

materia presentados en las ecuaciones 1. 𝑎, 1. 𝑏 y 1. 𝑐. Por lo tanto, las ecuaciones

diferenciales para los balances de energía han sido transformadas en ecuaciones

algebraicas. Dado que la variable algebraica correspondiente a la tasa de flujo de vapor

se puede definir en estas ecuaciones algebraicas, el modelo de índice reducido obtenido

DAE2r es un modelo de índice uno [22].

3.3 Modelo DAE2 de índice híbrido (DAE2h)

Par resolver modelos DAE2 se puede utilizar un algoritmo de integración definiendo

condiciones iniciales consistentes. El modelo DAE2r permite definir condiciones

iniciales consistentes necesarias para la aplicación de un modelo DAE2 para estudios de

control predictivo [17]. Con las condiciones iniciales consistentes se garantiza una

adecuada solución del modelo DAE2, lo que equivale a implementar un modelo DAE de

índice híbrido (DAE2h). El algoritmo de integración requiere de un método numérico que

asegure estabilidad y evite la propagación de errores en las variables algebraicas [23].

4. Problema de control óptimo

4.1 Formulación de la optimización dinámica.

La formulación general del problema de control óptimo tiene como función objetivo la

ecuación 7. 𝑎. En esta ecuación el primer término se refiere a un costo terminal en función

de los estados en el tiempo final 𝑡𝑓. El segundo término está dado por el costo de las

trayectorias de las variables de estado y las variables manipuladas [24].

min 𝐽 = 𝜙(𝑡𝑓) + ∫ 𝜑(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡))𝑑𝑡

𝑡𝑓

𝑡0

(7. 𝑎)

Donde 𝑡0 es el tiempo inicial, 𝑦 es el vector de variables de estados diferenciales, 𝑧 es el

vector de variables de estado algebraicas y 𝑢 es el vector de variables manipuladas. La

solución de este problema de optimización dinámica se encuentra sujeta a un sistema de

ecuaciones algebro-diferenciales descrito en las ecuaciones 7. 𝑏 y 7. 𝑐 [24].

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡))

(7. 𝑏)

ℎ(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0 (7. 𝑐)

Los valores iniciales para los estados diferenciales están establecidos como se muestra

en la ecuación 7. 𝑑 [24].

𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (7. 𝑑)

Adicionalmente, se deben tener en cuenta las restricciones de desigualdad mostradas en

la ecuación 7. 𝑒 [24].

𝑔(𝑥(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)𝑝) ≥ 0 (7. 𝑒)

En muchos casos estas restricciones representan límites de las variables, como el

requerimiento de pureza de un componente a la salida de una corriente [25].

4.2 Discretización de las ecuaciones diferenciales

Los sistemas de ecuaciones DAE2r y DAE2h se resuelven implementando el algoritmo

de integración de colocación ortogonal sobre elementos finitos usando el método de tres

puntos de Radau [26]. Este método de integración resulta adecuado para aplicaciones en

procesos de control con introducción de perturbaciones debido a su precisión y

estabilidad numérica [23]. La implementación de este método de discretización permitirá

que las ecuaciones diferenciales sean transformadas y resueltas como ecuaciones

algebraicas [27]. Las variables de estado y de control se aproximarán a familias de

polinomios ortogonales en elementos finitos [28]. El horizonte de tiempo se divide en 10

elementos finitos y dentro de cada elemento finito los perfiles de las variables se

discretizan alrededor de tres puntos de colocación [24].

5. Caso de estudio

El propósito del estudio es realizar el control óptimo de una columna de destilación piloto

Pignat DVI/3000/S para la separación de una mezcla etanol-agua. El sistema de control

implementado debe ser capaz de responder adecuadamente a perturbaciones en el flujo y

en la composición de la corriente de alimentación. La columna de destilación piloto tiene

un condensador total (etapa 1), 15 etapas teóricas y un rehervidor parcial (etapa 17). Las

condiciones de operación se muestran respectivamente en las Tabla 2.

Para la simulación de la operación de la columna, se supone que la fase vapor presenta

un comportamiento ideal, mientras que la no idealidad de la fase líquida se describe con

el modelo NRTL (del inglés Non Random Two Liquids). Las ecuaciones del modelo se

encuentran en el Apéndice A.4. Las propiedades físicas de los componentes del sistema

como presiones de vapor, capacidades caloríficas, coeficientes de actividad de la fase

líquida, densidades y calores de vaporización se obtienen del programa Aspen

Properties® [29]. Está información se presenta en los Apéndices A.2 y A.3.

Condiciones de operación Valor

Presión en la columna (𝑏𝑎𝑟) 0.75

Número de etapas 17

Tasa de flujo de alimentación (𝐿/ℎ) 13.5

Temperatura de alimentación (𝐾) 333

Etapa de alimentación 11

Porcentaje molar de etanol en la alimentación 0.65

Porcentaje molar de agua en la alimentación 0.35

Pureza molar del etanol en el destilado ≥ 0.85

Tabla 2: Condiciones de operación.

Para este caso de estudio, se desea mantener una pureza deseada de etanol en el destilado

mientras se manipula la carga térmica en el rehervidor y la relación de reflujo. Bajo estas

condiciones, la función objetivo de seguimiento cuadrático planteada para el problema

de control óptimo se muestra en la ecuación 8 [24].

min 𝐽𝑘 = ∑ 𝛼𝑥(𝑥𝑘,𝑖 − 𝑥𝑠𝑝)2

𝑁𝑝

𝑖=0

+ ∑ 𝛽𝑄(𝑄𝑘,𝑖 − 𝑄𝑘,𝑖−1)2

+ 𝛽𝑅(𝑅𝑘,𝑖 − 𝑅𝑘,𝑖−1)2

𝑁𝑢

𝑖=1

(8)

Donde 𝑥 es la composición del etanol en el destilado, 𝑄 la carga térmica en el rehervidor

y 𝑅 la relación de reflujo. Los parámetros 𝛼 y 𝛽 son los pesos asignados a cada término

de la función objetivo. Los valores de estos parámetros se determinan arbitrariamente a

medida que se comparan las soluciones del problema de optimización para diferentes

combinaciones de valores. Para esto, se toman en cuenta solo las opciones en las que el

problema converge y en la solución se obtienen perfiles suavizados [22]. Los valores de

los pesos utilizados para cada término de la función objetivo se encuentran en la Tabla 3.

En el primer término se desea minimizar el error cuadrático de la variable controlada

respecto a un set point dentro del horizonte de predicción 𝑁𝑝. En el segundo término se

desea minimizar el cambio drástico en la trayectoria de las variables manipuladas dentro

del horizonte de control 𝑁𝑢 [12]. Esta ecuación se resuelve para cada instante de tiempo

𝑡𝑘 del problema de control óptimo, para determinar la secuencia de acción de control que

se ejercerá sobre el proceso [24].

Los parámetros de configuración del controlador NMPC se encuentran registrados en la

Tabla 3. El ajuste de estos parámetros se realiza a través del algoritmo propuesto por

Lozano et al. [30]. El tiempo de muestreo es el único de los parámetros que no se define

mediante el algoritmo de configuración. Este tiempo debe ser definido con base en las

limitaciones de los sensores y actuadores del equipo piloto. También hay que tener en

cuenta que este tiempo debe ser lo suficientemente pequeño para describir

adecuadamente la dinámica del sistema y que no haya pérdida de información durante el

muestreo. No obstante, el tiempo no puede ser tan pequeño ya que implicaría un problema

de optimización más grande, lo que se traduciría en un mayor gasto computacional.

Configuración del controlador Valor

Tiempo de muestreo (𝑚𝑖𝑛) 5

Longitud del horizonte de predicción (𝑚𝑖𝑛) 50

Longitud del horizonte de control (𝑚𝑖𝑛) 50

Períodos simulados 60

Peso pureza etanol 𝛼𝑥 10

Peso calor rehervidor 𝛽𝑄 5

Peso relación de reflujo 𝛽𝑅 1

Tabla 3: Parámetros de configuración del controlador NMPC.

Las perturbaciones que se van a evaluar en la corriente de alimentación son: (1)

perturbación tipo step de +5% en la composición de etanol (𝑧𝑚𝐸𝑡𝑂𝐻), (2) perturbación tipo

step de -5% en la composición de etanol (𝑧𝑚𝐸𝑡𝑂𝐻) y (3) perturbación tipo step de +12.5%

en la tasa de flujo de la corriente de alimentación (𝐹𝑚). Estas perturbaciones se

introducirán al sistema después de 30 minutos de operación del equipo.

Para este caso de estudio solo se resolverán los sistemas DAE2r y DAE2h, dado que

permiten realizar una mejor predicción del comportamiento del proceso para la aplicación

del esquema de control [16]. Primero se resolverá el problema de control óptimo en lazo

abierto y se comparará con el desempeño de un controlador PI convencional. Durante la

solución del problema de control óptimo en lazo abierto se evalúan y se definen los

valores de los pesos de los términos de la función objetivo. Luego, el problema se

resolverá en lazo cerrado, donde será necesario implementar un estimador de estados. Lo

anterior, se debe a que no todos los estados son medibles en la columna de destilación y

a la discrepancia entre el modelo de la columna de destilación y el comportamiento de la

planta.

5.1 Problema de control óptimo en lazo abierto

Para resolver el problema de control en lazo abierto, se supone que todos los estados son

medibles y que los estados predichos son iguales a los estados medidos. La anterior

suposición evita tener que implementar un observador para realizar la estimación de

estados dentro de la columna de destilación [12].

5.2 Estimación de estados

Para realizar la predicción para cada instante de tiempo 𝑡𝑘 del problema de control óptimo

debe estar disponible la información de todos los estados. Sin embargo, en la práctica no

todos los estados pueden ser medidos por lo que se debe recurrir a un estimador de

estados. Se decide implementar como estimador de estados, el filtro de Kalman extendido

EKF (del inglés Extended Kalman Filter). Este estimador es fácil de implementar y se ha

demostrado que puede ser eficaz para sistemas que involucren comportamientos

dinámicos no lineales con gran cantidad de restricciones [31].

Teniendo en cuenta un modelo no lineal de un sistema:

𝑥𝑘+1 = 𝑓(𝑥𝑘) + 𝑤𝑘 (9. 𝑎)

𝑦𝑘 = ℎ(𝑥𝑘) + 𝑣𝑘 (9. 𝑏)

Con el valor del estado estimado �̂�(𝑘|𝑘), al linealizar la dinámica del sistema alrededor

de este estado, se calcula la predicción del estado estimado �̂�(𝑘 + 1|𝑘) y la matriz de

covarianza de los estados estimados 𝑃(𝑘 + 1|𝑘):

�̂�(𝑘 + 1|𝑘) = 𝑓𝑘(�̂�(𝑘|𝑘)) (9. 𝑐)

𝑃(𝑘 + 1|𝑘) = 𝐹(𝑘)𝑃(𝑘|𝑘)𝐹𝑇(𝑘) + 𝑄(𝑘) (9. 𝑑)

Luego se linealiza la dinámica de observación a partir de la medida 𝑦𝑘 alrededor del

estado �̂�(𝑘 + 1|𝑘), para obtener los valores de las actualizaciones del filtro del estado

estimado �̂�(𝑘 + 1|𝑘 + 1) y de la matriz de covarianza 𝑃(𝑘 + 1|𝑘 + 1):

�̂�(𝑘 + 1|𝑘 + 1) = �̂�(𝑘 + 1|𝑘) + 𝐾(𝑘 + 1)[𝑦𝑘+1 − ℎ𝑘+1(�̂�(𝑘 + 1|𝑘))] (9. 𝑒)

𝑃(𝑘 + 1|𝑘 + 1) = [𝐼 − 𝐾(𝑘 + 1)𝐻(𝑘 + 1)]𝑃(𝑘 + 1|𝑘) (9. 𝑓)

Donde 𝐾(𝑘) es la ganancia del filtro, y 𝐹(𝑘) y 𝐻(𝑘) son las matrices jacobianas:

𝐹(𝑘) = ∇𝑓𝑘|�̂�(𝑘|𝑘) (9. 𝑔)

𝐻(𝑘 + 1) = ∇ℎ𝑘|�̂�(𝑘+1|𝑘) (9. ℎ)

5.3 Problema de control óptimo en lazo cerrado

Para la solución de este problema se requiere tener un modelo que permita adquirir

información del comportamiento del equipo piloto. A partir de la información disponible,

se implementará el estimador de estados para definir la acción del controlador NMPC.

Para la adquisición de información del equipo piloto se necesita un modelo que permita

conocer el comportamiento de la planta. Los datos necesarios para obtener el modelo de

la planta fueron obtenidos mediante simulaciones de la columna de destilación piloto en

Aspen Dynamics ®. Este software de Aspen® permite estudiar la dinámica de diferentes

equipos y procesos en la industria química [32].

Para llevar a cabo estas simulaciones se tienen en cuenta los parámetros geométricos y

de operación del equipo piloto, los cuales fueron expuestos en el caso de estudio. Las

especificaciones geométricas y de operación de la columna utilizadas en Aspen se

presentan en los apéndices A.5 y A.6. Para tener una mejor descripción del equipo piloto

se tienen en cuenta el efecto de las limitaciones de transferencia de masa para las etapas

de la columna, ya que se conoce que el equipo no opera en condición de equilibrio [33].

Por lo tanto, se recurre a definir eficiencias de Murphree para las etapas de la columna en

las simulaciones en Aspen Dynamics. El cálculo de las eficiencias de Murphree se logra

a partir de los resultados de un modelo de no-equilibrio en estado estacionario del equipo.

Este modelo se expone en el Apéndice A.1. Se obtienen valores entre 0.41 y 0.37 para

las eficiencias de Murphree en las etapas de la columna.

Los datos obtenidos en las simulaciones son procesados en Matlab usando los

complementos de identificación de sistemas. Con estos complementos se obtiene un

modelo no-lineal ARX (del inglés Autoregressive Exogenous Model), para modelar el

comportamiento de la planta. Con los datos disponibles se estiman parámetros a partir de

los estados de entrada y de salida del sistema [34]. Con estos parámetros se estructuran

expresiones polinómicas que constituyen el modelo en tiempo discreto de la planta [35].

Para este problema de control óptimo en lazo cerrado se debe reformular la función

objetivo como se muestra en la ecuación 9:

min 𝐽𝑘 = ∑ 𝛼𝑇(𝑇𝑘,𝑖𝑑 − 𝑇𝑟𝑒𝑓

𝑑 )2

𝑁𝑝

𝑖=0

+ ∑ 𝛽𝑄(𝑄𝑘,𝑖 − 𝑄𝑘,𝑖−1)2

+ 𝛽𝑅(𝑅𝑘,𝑖 − 𝑅𝑘,𝑖−1)2

𝑁𝑢

𝑖=1

(10)

Dado que la concentración es difícil de medir para la implementación del esquema de

control en lazo cerrado, se pueden controlar las temperaturas en las etapas de la columna.

Las temperaturas en las etapas son estados medibles que tienen correspondencia directa

con la concentración de etanol.

Para implementar el filtro de Kalman extendido se sabe que 5 temperaturas a lo largo de

la columna de destilación piloto pueden ser medidas directamente para realizar la

estimación de los estados. Los sensores de temperatura en la columna piloto están

ubicados en las etapas: 1 (condensador), 4, 10, 16 y 17 (rehervidor). El tiempo de

muestreo para la estimación de estados es de 5 minutos. En cada estimación, el filtro de

Kalman extendido realizará linealizaciones subsecuentes del modelo del sistema que

permitirá corregir los estados estimados, a partir de la comparación de las predicciones

del modelo no-lineal dadas por el controlador NMPC, con las mediciones de las 5

temperaturas suministradas a partir del modelo no lineal ARX de la planta [36]. El

esquema de control en lazo cerrado presentado se muestra en la figura 2.

Figura 2: Esquema de control en lazo cerrado.

6. Resultados y análisis

El problema de control se resuelve utilizando el software GAMS® 26.1.0 con el algoritmo

CONOPT en un computador con procesador Intel Core i3 2.00GHz y 8.0 GB de memoria.

En la solución se implementaron los dos modelos algebro-diferenciales expuestos:

DAE2r y DAE2h.

6.1 Problema de control óptimo en lazo abierto

Las respuestas del modelo de control predictivo con estos dos modelos ante las tres

perturbaciones presentadas en lazo abierto se compararon con un controlador

convencional PI. Para la determinación de los parámetros de sintonización del

controlador PI se utilizaron las reglas IMC (del inglés Internal Model Control) [37].

Para contrarrestar la primera perturbación, no se requirieron cambios drásticos en las

variables manipuladas (Figura 3) para reestablecer el grado de pureza deseado en el

destilado (Figura 4). En el caso de la segunda perturbación, deben implementarse

cambios drásticos en las variables manipuladas (Figura 5) para retornar al valor deseado

de pureza (Figura 6). Para la tercera perturbación evaluada, se necesitaron cambios de

magnitud significativa sobre las variables manipuladas (Figura 7) para mantener la

condición de pureza deseada en el destilado (Figura 8).

Como se puede apreciar en los resultados, el modelo de control predictivo responde

mucho más rápido que el controlador convencional PI, alcanzando el valor de la

restricción de pureza deseada en menor tiempo. Entre los modelos algebro-diferenciales

implementados se pudo observar que no hay una diferencia significativa en la respuesta

obtenida, sin embargo, el modelo DAE2h presenta un mejor desempeño en términos de

tiempo computacional como se puede observar en la Tabla 4.

Figura 3: Perfiles Perturbación 1: NMPC con dos modelos (DAE2h y DAE2r) y control

PI. (a) Calor en el rehervidor. (b) Relación de reflujo.

Figura 4: Perfil Composición molar de etanol en el destilado. Perturbación 1: NMPC con

dos modelos (DAE2h y DAE2r) y control PI.

Modelo

Tiempo computacional

promedio [𝒔]

Tiempo computacional

máximo [𝒔]

DAE2h DAE2r DAE2h DAE2r

Perturbación 1 63.74 93.42 240.95 753.46

Perturbación 2 71.68 96.81 268.24 282.14

Perturbación 3 58.21 79.54 262.38 261.23

Tabla 4: Desempeño computacional del controlador NMPC en lazo abierto con los

modelos DAE.



Figura 6: Perfil Composición molar de etanol en el destilado. Perturbación 2: NMPC con

dos modelos (DAE2h y DAE2r) y control PI.



Figura 8: Perfil Composición molar de etanol en el destilado. Perturbación 1: NMPC

con dos modelos (DAE2h y DAE2r) y control PI.

6.2 Problema de control óptimo en lazo cerrado

Las respuestas ante las tres perturbaciones del modelo de control predictivo con los

modelos se compararon con un controlador convencional PI. Para la determinación de

los parámetros de sintonización del controlador PI se utilizaron las reglas IMC (del inglés

Internal Model Control) [37].

Como se puede observar en las figuras 9-14, existe una tendencia similar en el

comportamiento de las variables manipuladas observada en las respuestas obtenidas para

las perturbaciones en lazo abierto. Sin embargo, existen diferencias como consecuencia

de evaluar la limitación de transferencia de masa con las eficiencias de Murphree. Esto

se evidencia en el cambio de los valores en la estabilización de las variables manipulables.

También los perfiles de respuesta presentan ligeras oscilaciones como efecto de las

correcciones de estados del sistema. Esto se debe a las fuentes de error contempladas en

los términos que introducen ruido proveniente del sistema y en las mediciones de

temperaturas.

En comparación con las respuestas en lazo cerrado, las variables manipulables toman

mayor tiempo en estabilizarse. De todas formas, la respuesta en lazo cerrado sigue

presentando un mejor desempeño en reestablecer la temperatura del destilado en

comparación con un controlador convencional PI.

Teniendo en cuenta los perfiles obtenidos de la temperatura del destilado, las variaciones

obtenidas como respuesta a las perturbaciones no serán perceptibles. Esto se debe a que

los sensores de medición de temperatura con los que cuenta el equipo piloto no cuentan

con la resolución necesaria para apreciar los cambios en la magnitud obtenidos.



Figura 10: Perfil Temperatura en el destilado. Perturbación 1: NMPC con dos modelos

(DAE2h y DAE2r) y control PI.









7. Conclusiones y perspectivas

Con los resultados obtenidos se puede concluir que al implementar una estrategia de

control NMPC con base en un modelo DAE, se obtiene un desempeño significativamente

superior a los esquemas de control tradicionales como un control convencional PI, tanto

en lazo abierto como en lazo cerrado.

Las respuestas obtenidas por la estrategia de control NMPC muestran un

comportamiento apropiado y consistente con el objetivo de la acción de control. Así, se

evidencia que el controlador NMPC es capaz de desempeñarse satisfactoriamente en

sistemas con dinámicas altamente no lineales, en un amplio rango de condiciones de

operación.

La eficiencia computacional al implementar el controlador NMPC en la configuración de

lazo cerrado planteada (Off-line) y el comportamiento adecuado en la respuesta indica

que la implementación del controlador NMPC On-line con el equipo piloto real es

factible. Sin embargo, la resolución de los sensores de temperatura impide totalmente el

seguimiento de los cambios de temperatura.

Con base en esto, se debe plantear otra variable medible que tenga correspondencia

directa con la concentración de etanol en el destilado para la formulación del problema

de control óptimo. Con esto, el trabajo a futuro estaría dirigido a desarrollar una interfaz

entre el controlador NMPC y el equipo piloto para realizar la verificación experimental

del esquema de control. Para la correcta verificación experimental, se debe considerar la

caída de presión en la columna de destilación piloto, la cual se controla mediante el calor

en el rehervidor.

En el trabajo a futuro también es necesario validar el filtro de Kalman extendido como

estimador de estados en la columna de destilación, ya que en este no se incorporan

restricciones que aseguren el sentido físico de las variables. En este aspecto, se podría

implementar la estimación de horizonte móvil MHE (del inglés Moving-Horizon

Estimation), en el cual se pueden incluir fácilmente restricciones de los estados del

sistema dinámico.

Nomenclatura 𝑎=Área interfacial total en cada etapa [𝑚2]

𝐴𝑎=Área activa del plato [𝑚2]

𝐶=Coeficiente cálculo propiedades

𝑐𝑡=Volumen molar [𝑚𝑜𝑙/𝑚3 ]

ℰ=Tasa de transferencia de energía a través de la interfase [𝐽/𝑠]

𝐸𝑀𝑉=Eficiencia de Murphree

𝐹=Flujo de la corriente de alimentación [𝑚𝑜𝑙/𝑠]

𝐹=Matriz jacobiana de la función 𝑓

𝐹=Función de mapeo no lineal

𝑓=Ecuaciones diferenciales

𝑓=Dinámica del sistema

𝐹𝑃=Parámetro de flujo

𝑔=Restricciones de desigualdad

𝐻0=Entalpía de formación [𝐽/𝑚𝑜𝑙]

𝐻=Entalpía del vapor [𝐽/𝑚𝑜𝑙]

�̅�=Entalpía molar parcial [𝐽/𝑚𝑜𝑙]

𝐻=Matriz jacobiana de la función ℎ

ℎ=Entalpía del líquido [𝐽/𝑚𝑜𝑙]

ℎ=Espacio de malla

ℎ = Restricciones de igualdad

ℎ=Función de medición

ℎ𝑤= Altura del bajante a la salida de la etapa [𝑚]

𝐼=Matriz identidad

𝐽=Función objetivo

𝑘=Coeficiente de transferencia de masa [𝑚/𝑠]

𝐾=Ganancia del filtro

𝐾=Número de puntos de colocación

𝐾=Valor K

𝑘=Instante de tiempo

𝐿=Flujo de líquido [𝑚𝑜𝑙/𝑠]

𝐿𝑤=Diámetro del bajante [𝑚]

ℓ=Interpolación polinómica de Lagrange

𝑀=Masa de líquido acumulada [𝑚𝑜𝑙]

𝑀𝑁=Peso molecular [𝑘𝑔/𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙]

𝑁=Longitud del horizonte

𝑁𝐸=Número de elementos de tiempo discretizado

𝒩=Tasa de transferencia de masa a través de la interfase [𝑚𝑜𝑙/𝑠]

𝑃=Presión total [𝑏𝑎𝑟]

𝑃=Matriz de covarianza

𝑃𝑆𝑎𝑡=Presión de saturación [𝑏𝑎𝑟]

𝑄=Carga térmica en el rehervidor [𝑊]

𝑄=Flujo volumétrico [𝑚3/𝑠]

𝑅𝐸𝑥𝑡=Radio externo de los platos (zona activa) [𝑚]

𝑅𝐼𝑛𝑡=Radio interno de los platos (zona activa) [𝑚]

𝑅𝑅=Relación de reflujo

𝑇=Temperatura [𝐾]

𝑡=Tiempo

𝑇𝑏=Temperatura de ebullición [𝐾]

𝑈=Energía interna [𝐽]

𝑢=Variables manipuladas

𝑢=Estados de entrada del sistema

𝑣=Fuentes de error en la medición

𝑉 = Flujo de vapor [𝑚𝑜𝑙/𝑠]

𝑤=Fuentes de error en el sistema

𝑥=Fracción molar en la fase líquida

𝑥=Estado del sistema

�̂�=Estado estimado del sistema

𝑦=Fracción molar en la fase vapor

𝑦=Variable de estado

𝑦=Variable de estado diferenciales

𝑦=Medición del sistema

𝑦=Estados de salida del sistema

𝑦0=Valores de las condiciones iniciales para las variables diferenciales

𝑧=Fracción molar en la corriente de alimentación

𝑧=Variables de estado algebraicas

𝜌=Densidad molar [𝑚𝑜𝑙/𝑐𝑚3]

Símbolos griegos

𝛼=Peso del término en la función de seguimiento cuadrático

𝛽=Peso del término en la función de seguimiento cuadrático

𝛾=Coeficiente de actividad

𝜏=Punto de Radau

𝜑=Función de trayectorias de las variables de estado

𝜙=Función de costo terminal de los estados

𝜔=Factor acéntrico

Superíndices

0=Propiedad de formación

𝑑=Destilado

𝐸𝑡𝑂𝐻=Etanol

𝐼=Interfase

𝑗=Componente

𝐿=Fase líquida

𝑉=Fase vapor

𝑆𝑎𝑡=Propiedad de saturación

Subíndices

0=Valor inicial

𝐴=Referencia a ecuación de Antoine Extendida

𝑐=Propiedad crítica

𝑐=Referencia capacidad calorífica gas ideal

𝐶𝑜𝑛𝑑=Se refiere al condensador

𝑑=Referencia a densidad molar líquida

𝑓=Valor final

𝑖=Elemento del mallado temporal

𝑖=Predicción

𝑖=Componente

𝑗=Componente

𝑗=Punto de colocación ortogonal

𝑘=Instante de tiempo actual

𝑘=Punto de colocación ortogonal

𝑚=Mezcla etanol-agua alimentada a la columna

𝑛= Número de etapa de la columna de destilación

𝑝=Horizonte de predicción

𝑄=Carga térmica en el rehervidor

𝑅=Relación de reflujo

𝑅𝑒𝑏=Se refiere al rehervidor

𝑟𝑒𝑓=Valor de referencia

𝑠𝑝=Set point

𝑇=Temperatura

𝑢=Horizonte de control

𝑣=Referencia entalpía específica vaporización

𝑣𝑎𝑝=Propiedad de vaporización

𝑥=Composición de etanol en el destilado

∗ =Fracción molar de la fase de vapor en equilibrio

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Apéndices A.1. Modelo de no equilibrio en estado estacionario para las etapas internas [38].

Balances de materia por componente 𝑗 en la fase vapor. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝑉𝑛𝑦𝑗,𝑛 − 𝑉𝑛+1𝑦𝑗,𝑛+1 − 𝐹𝑗,𝑛𝑉 + 𝒩𝑗,𝑛 = 0 (𝐴. 1)

Balances de materia por componente 𝑗 en la fase líquida. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝐿𝑛𝑥𝑗,𝑛 − 𝐿𝑛−1𝑥𝑗,𝑛−1 − 𝐹𝑗,𝑛𝐿 − 𝒩𝑗,𝑛 = 0 (𝐴. 2)

Balance de materia total para la fase vapor. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝑉𝑛 − 𝑉𝑛+1 − ∑ 𝐹𝑗,𝑛𝑉

𝑗

+ ∑ 𝒩𝑗,𝑛

𝑗

= 0 (𝐴. 3)

Balance de materia total para la fase líquida. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝐿𝑛 − 𝐿𝑛−1 − ∑ 𝐹𝑗,𝑛𝐿

𝑗

+ ∑ 𝒩𝑗,𝑛

𝑗

(𝐴. 4)

Balance de materia interfacial por componente 𝑗. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝒩𝑗,𝑛 = 𝑐𝑡,𝑛𝑉 𝑘𝑛

𝑉𝑎𝑛(𝑦𝑗,𝑛 − 𝑦𝑗,𝑛𝐼 ) + 𝑦𝑗,𝑛 ∑ 𝒩𝑗,𝑛

𝑗

(𝐴. 5)

𝒩𝑗,𝑛 = 𝑐𝑡,𝑛𝐿 𝑘𝑛

𝐿𝑎𝑛(𝑥𝑗,𝑛𝐼 − 𝑥𝑗,𝑛) + 𝑥𝑗,𝑛 ∑ 𝒩𝑗,𝑛

𝑗

(𝐴. 6)

Balance de energía para la fase vapor. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝑉𝑛𝐻𝑛𝑉 − 𝑉𝑛+1 − 𝐹𝑛

𝑉𝐻𝑛𝑉𝐹 + ℰ𝑛 = 0 (𝐴. 7)

Balance de energía para la fase líquida.

𝐿𝑛𝐻𝑛𝐿 − 𝐿𝑛−1𝐻𝑛−1

𝐿 − 𝐹𝑛𝐿𝐻𝑛

𝐿𝐹 + ℰ𝑛 = 0 (𝐴. 8)

Balance de energía interfacial. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

ℰ𝑛𝑉 = ℎ𝑛

𝑉𝑎𝑛(𝑇𝑛𝑉 − 𝑇𝑛

𝐼) + ∑ 𝒩𝑗,𝑛𝑉 �̅�𝑗,𝑛

𝑉

𝑗

(𝐴. 9)

ℰ𝑛𝐿 = ℎ𝑛

𝐿 𝑎𝑛(𝑇𝑛𝐼 − 𝑇𝑛

𝐿) + ∑ 𝒩𝑗,𝑛𝐿 �̅�𝑗,𝑛

𝐿

𝑗

(𝐴. 10)

Relaciones de equilibrio. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝐸𝑗,𝑛𝑀𝑉𝐾𝑗,𝑛𝑥𝑗,𝑛 − 𝑦𝑗,𝑛 − (1 − 𝐸𝑗,𝑛

𝑀𝑉)𝑦𝑗,𝑛+1 = 0 (𝐴. 11)

Relaciones de equilibrio en la interfase. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

𝐾𝑗,𝑛𝐼 𝑥𝑗,𝑛

𝐼 − 𝑦𝑗,𝑛𝐼 = 0 (𝐴. 12)

Ecuaciones de suma en la interfase. ∀ 𝑛 \{1, 𝑁}

∑ 𝑦𝑗,𝑛𝐼

𝑗

= 0 (𝐴. 13)

∑ 𝑥𝑗,𝑛𝐼

𝑗

= 0 (𝐴. 14)

A.2. Propiedades físicas.

La información de las propiedades de los componentes se obtiene a partir de la base de

datos de Aspen Plus ®.

Tabla A.1: Propiedades físicas y críticas de los componentes

𝑷𝒄 [𝒃𝒂𝒓] 𝑻𝒄[𝑲] 𝝎 𝑴𝑾 [

𝒌𝒈

𝒌𝒎𝒐𝒍] 𝑯𝟎 [

𝒌𝑱

𝒌𝒎𝒐𝒍]

𝑻𝒃 [𝑲]

Agua 220.64 373.946 0.344861 18.0153 −241.818 100

Etanol 61.37 240.85 0.643558 46.069 −234.95 78.29

A.3. Condiciones dependientes de las propiedades físicas.

Presión de saturación

ln 𝑃𝑖𝑆𝑎𝑡 = 𝐶1𝐴,𝑖 +

𝐶2𝐴,𝑖

𝑇 + 𝐶3𝐴,𝑖+ 𝐶4𝐴,𝑖𝑇 + 𝐶5𝐴,𝑖 ln 𝑇 + 𝐶6𝐴,𝑖 (𝐴. 15)

Tabla A.2: Coeficientes de la ecuación de Antoine extendida, 𝑻[𝑲], 𝑷𝒊𝑺𝒂𝒕[𝒃𝒂𝒓]

𝑪𝟏𝑨 𝑪𝟐𝑨 𝑪𝟑𝑨 𝑪𝟒𝑨 𝑪𝟓𝑨 𝑪𝟔𝑨 𝑪𝟕𝑨

𝑨𝒈𝒖𝒂 62.136 −7258.2 0 0 −7.3037 4.1653 ∙ 10−6 2

𝑬𝒕𝒂𝒏𝒐𝒍 61.791 −7122.3 0 0 −7.1424 2.8853 ∙ 10−6 2

Cálculo de densidad molar fase líquida

𝜏𝐻2𝑂 = 1 −𝑇 − 273.15𝐾

𝑇𝑐 (𝐴. 16)

�̅�𝐿,𝐻2𝑂 = 𝐶1𝑑,𝐻2𝑂 + 𝐶2𝑑,𝐻2𝑂(𝜏𝐻2𝑂)0.35

+ 𝐶3𝑑,𝐻2𝑂(𝜏𝐻2𝑂)23 + 𝐶4𝑑,𝐻2𝑂𝜏𝐻2𝑂

(𝐴. 17)

+𝐶5𝑑,𝐻2𝑂(𝜏𝐻2𝑂)4

3

�̅�𝐿,𝐸𝑡𝑂𝐻 =𝐶1𝑑,𝐸𝑡𝑂𝐻

(𝐶2𝑑,𝐸𝑡𝑂𝐻)1+(1−

𝑇𝐶3𝑑,𝐸𝑡𝑂𝐻

)𝐶4𝑑,𝐸𝑡𝑂𝐻

(𝐴. 18)

Tabla A.3: Coeficientes cálculo densidad molar líquido

𝑪𝟏𝒅 𝑪𝟐𝒅 𝑪𝟑𝒅 𝑪𝟒𝒅 𝑪𝟓𝒅

𝑨𝒈𝒖𝒂 17.863 58.606 −95.396 213.89 −141.26

𝑬𝒕𝒂𝒏𝒐𝒍 1.6288 0.27469 514 0.23178 0

Capacidad calorífica gas ideal

𝐶𝑝𝑣,𝑖𝑖𝑔

= 𝐶1𝑐,𝑖 + 𝐶2𝑐,𝑖𝑇 + 𝐶3𝑐,𝑖𝑇2 + 𝐶4𝑐,𝑖𝑇

3 + 𝐶5𝑐,𝑖𝑇4 + 𝐶6𝑐,𝑖𝑇

5 (𝐴. 19)

Tabla A.4: Coeficientes cálculo capacidad calorífica gas ideal

𝑪𝟏𝒄 𝑪𝟐𝒄 𝑪𝟑𝒄 𝑪𝟒𝒄 𝑪𝟓𝒄 𝑪𝟔𝒄

𝑨𝒈𝒖𝒂 33.738 −7.017 ∙ 10−3 2.729 ∙ 10−5 −1.664 ∙ 10−8 4.297 ∙ 10−12 −4.169 ∙ 10−16

𝑬𝒕𝒂𝒏𝒐𝒍 9.014 0.214 −8.39 ∙ 10−5 1.373 ∙ 10−9 0 0

Entalpía específica fase vapor gas ideal

𝐻𝑣,𝑖 = 𝐻𝑖0 + 𝐶1𝑐,𝑖(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) +

𝐶2𝑐,𝑖

2(𝑇2 − 𝑇𝑟𝑒𝑓

2 ) +𝐶3𝑐,𝑖


3 ) (𝐴. 20)

+𝐶4𝑐,𝑖


4 ) +𝐶5𝑐,𝑖


5 ) +𝐶6𝑐,𝑖


6 )

Entalpía específica de vaporización

∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 = 𝐶1𝑣,𝑖 (1 −𝑇

𝑇𝑐,𝑖)

𝐶2𝑣,𝑖+𝐶3𝑣,𝑖𝑇

𝑇𝑐,𝑖+𝐶4𝑣,𝑖(

𝑇𝑇𝑐,𝑖

)2

+𝐶5𝑣,𝑖(𝑇

𝑇𝑐,𝑖)

3

Tabla A.5: Coeficientes cálculo entalpía específica de vaporización

(𝐴. 21)

𝑪𝟏𝒗 𝑪𝟐𝒗 𝑪𝟑𝒗 𝑪𝟒𝒗 𝑪𝟓𝒗

𝑨𝒈𝒖𝒂 51546 0.28402 −0.15843 0.2375 0

𝑬𝒕𝒂𝒏𝒐𝒍 55789 0.31245 0 0 0

Entalpía especifica fase líquida

𝐻𝐿,𝑖 = 𝐻𝑣,𝑖 − ∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 (𝐴. 22)

A.4. Modelo termodinámico.

El modelo NRTL (del inglés Non Random Two Liquids) para el cálculo de los

coeficientes 𝛾𝑖 de actividad está descrito por las siguientes ecuaciones:

ln 𝛾𝑖 =𝐶𝑖

𝑆𝑖+ ∑ 𝑥𝑘𝜀𝑖𝑘

𝑘∈𝐶

(𝐴. 23. 𝑎)

𝜀𝑖𝑘 =𝐺𝑖𝑘

𝑆𝑘(𝜏𝑖𝑘 −

𝐶𝑘

𝑆𝑘)

(𝐴. 23. 𝑏)

𝐶𝑖 = ∑ 𝑥𝑗𝐺𝑗𝑖𝜏𝑗𝑖

𝑗∈𝐶

(𝐴. 23. 𝑐)

𝑆𝑖 = ∑ 𝑥𝑗

𝑗∈𝐶

𝐺𝑗𝑖 (𝐴. 23. 𝑑)

𝐺𝑖𝑗 = exp(−𝛼𝑖𝑗𝜏𝑖𝑗) (𝐴. 23. 𝑒)

𝜏𝑖𝑗 = 𝛼𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗

𝑇

(𝐴. 23. 𝑓)

Donde los parámetros 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗 y 𝛼𝑖𝑗 son los parámetros de interacción. Estos

parámetros se obtienen a partir de la información generada por el modelo UNIFAC

(del inglés Universal Functional-group Activity Coefficients).

Tabla A.6: Parámetros de interacción 𝑎𝑖𝑗 para el modelo NRTL.

Agua Etanol

Agua 0 3.4578

Etanol −0.8009 0

Tabla A.7: Parámetros de interacción 𝑏𝑖𝑗 para el modelo NRTL.

Agua Etanol

Agua 0 −568.081

Etanol 246.18 0

Tabla A.8: Parámetros de interacción 𝛼𝑖𝑗 para el modelo NRTL.

Agua Etanol

Agua 0 0.3

Etanol 0.3 0

A.5. Parámetros geométricos de los platos tipo campana.

Tabla A.9: Parámetros geométricos de los platos tipo campana

Parámetro Valor

ℎ𝑤 [𝑚] 6.3 ∙ 10−3

𝐿𝑤 [𝑚] 7.23 ∙ 10−3

𝑅𝐸𝑥𝑡 [𝑚] 0.025

𝑅𝐼𝑛𝑡 [𝑚] 0.02098

𝐴𝑎 [𝑚2] 0.00058

A.6. Simulaciones de la columna de destilación piloto en el software Aspen

En Aspen se simula una columna de destilación de 17 etapas en las que se incluyen un

rehervidor parcial y un condensador total. En esta columna se separa una mezcla binaria

de etanol (0.65) y agua (0.35). La alimentación entra a una tasa de 13.5 𝐿/ℎ a una presión

de 0.75 𝑏𝑎𝑟 y 333 𝐾 de temperatura. Se busca separar el etanol con un alto nivel de

pureza en el destilado. Parte del destilado se destina a la columna mediante un reflujo. En

primer lugar, se lleva a cabo una simulación de la operación en estado estable de la

columna en Aspen Plus. Para esto, se utiliza el modelo de Aspen RADFRAC. Las

siguientes especificaciones fueron utilizadas para simular la operación de la unidad

bloque correspondiente a la columna de destilación.

La simulación en estado estable realizada en Aspen Plus se exporta a Aspen Dynamics.

Para este caso, se lleva a cabo una simulación flow-driven. Este tipo de simulación se

basa en la suposición de un control perfecto para la determinación de los flujos en cada

etapa y en las salidas de la columna. También incorpora controladores automáticamente

con parámetros predeterminados [39]. En la simulación dinámica se define un

controlador para la variable de estado de interés correspondiente a temperatura en el

condensador. Para la identificación del modelo dinámico del proceso se recurre a evaluar

la respuesta del sistema ante una perturbación tipo step +𝟏𝟎% en la tasa de flujo de

alimentación. La perturbación se introduce a los 30 minutos de operación de la columna

en el estado estable inicial. Se tendrá en cuenta la respuesta del sistema en el

comportamiento de las variables manipulables. Las variables manipulables observadas

son el calor en el rehervidor y a la relación de reflujo. Los datos obtenidos de esta

simulación se utilizarán para definir el modelo matemático que representará el

comportamiento de la planta en la implementación del filtro de Kalman extendido. Dicho

modelo se obtiene mediante los complementos de identificación de sistemas no lineales

de Matlab.

Tabla A.10: Especificaciones de las condiciones de la columna de destilación en Aspen

Especificación Detalle

Altura de la columna [𝑚] 1.7

Diámetro de la columna [𝑚] 0.05



Tipo de plato Campana

Material de construcción Vidrio DN50

Tipo de condensador Total

Tipo de rehervidor Kettle

Tabla A.11: Especificaciones de las condiciones de alimentación en la columna de

destilación en Aspen

Condiciones de operación Valor

Presión en la columna (𝑏𝑎𝑟) 0.75


Tasa de flujo de alimentación (𝐿/ℎ) 13.5

Temperatura de alimentación (𝐾) 333


Porcentaje molar de etanol en la alimentación 0.65

Porcentaje molar de agua en la alimentación 0.35

A.7. Acumulación de líquido en la etapa 𝒏 [20].

𝑀𝑛𝐿 = 0.6𝜌𝑛

𝐿𝐴𝑎ℎ𝑤0.5 (𝐹𝑃𝑛

𝜋𝐴𝑎

𝐿𝑤)

0.25

(𝐴. 24. 𝑎)

Donde 𝐹𝑃𝑛 es el factor de flujo de la etapa 𝑛:

𝐹𝑃𝑛 =𝑄𝑛

𝐿

𝑄𝑛𝑣 (

𝜌𝑛𝐿

𝜌𝑛𝑉) (𝐴. 24. 𝑏)

A.8. Ecuación de colocación ortogonal [40].

Al realizar una discretización de ecuaciones diferenciales mediante colocación

ortogonal, se obtiene una suma ponderada de las variables en cada paso de integración.

∑ ℓ̇𝑘

𝐾

𝑘=0

(𝜏𝑗)𝑦𝑖𝑘 − ℎ𝑓(𝑦𝑖𝑗, 𝑢𝑖𝑗) = 0 𝑖 = 1, … , 𝑡𝑓 , 𝑗 = 1, … , 𝐾 (𝐴. 25. 𝑎)

Donde 𝜏𝑗 son los puntos de Radau. Siendo el espacio de malla ℎ

ℎ =𝑡𝑓 − 𝑡0

𝑁𝐸 (𝐴. 25. 𝑏)

Teniendo en cuenta la derivada de la interpolación polinómica de Lagrange ℓ:

ℓ̇𝑘(𝜏) =𝑑ℓ

𝑑𝜏(𝜏) (𝐴. 25. 𝑐)

A.9 Modelos no-lineales ARX

La estructura de un modelo no lineal ARX permite modelar el comportamiento no -lineal

de un sistema mediante funciones no-lineales flexibles. La forma general de un modelo

no lineal en tiempo discreto es:

𝑦(𝑡) = 𝐹(𝑦(𝑡 − 1), 𝑦(𝑡 − 2), 𝑦(𝑡 − 3), … , 𝑢(𝑡), 𝑢(𝑡 − 1), 𝑢(𝑡 − 2), … ) (𝐴. 26)

Donde 𝐹 es una función de mapeo no lineal que corresponde a un modelo de regresores

que depende de valores de estados de entrada y de salida del sistema en instantes de

tiempo anteriores.

aplicación de un modelo de control predictivo en el

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