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ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 1 / 12
Aplicac ao do Capıtulo VI
a Classificac ao de Conicas e Qu adricas
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 2 / 12
A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na
classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por
equacoes do 2o grau.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 2 / 12
A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na
classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por
equacoes do 2o grau.
Definic ao
Uma conica e o conjunto dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem uma
equacao do segundo grau em duas variaveis da forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 2 / 12
A diagonalizacao de matrizes simetricas reais pode ser utilizada na
classificacao de curvas no plano e superfıcies no espaco definidas por
equacoes do 2o grau.
Definic ao
Uma conica e o conjunto dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem uma
equacao do segundo grau em duas variaveis da forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma
[
x y]
.
[
A B
2B
2C
]
.
[
x
y
]
+[
D E]
.
[
x
y
]
= F
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 3 / 12
Efectuando uma mudanca de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo
uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, e possıveldar a equacao anterior uma forma mais simples.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 3 / 12
Efectuando uma mudanca de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo
uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, e possıveldar a equacao anterior uma forma mais simples.
A matriz quadrada real
M =
[
A B
2B
2C
]
e simetrica, logo, existe uma matriz Q ortogonal, tal que QT MQ = D, com
D diagonal. As colunas de Q sao vectores proprios ortonormados de M e oselementos diagonais de D sao os correspondentes valores proprios λ1 e λ2
de M .
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 4 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 4 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
obtem-se uma equacao da forma
λ1(x′)2 + λ2(y
′)2 + D′x′ + E′y′ = F ′.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 4 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
obtem-se uma equacao da forma
λ1(x′)2 + λ2(y
′)2 + D′x′ + E′y′ = F ′.
Em seguida, eliminam-se os termos do primeiro grau, procurando quadrados
perfeitos de modo a obter uma equacao da forma
λ1(x′ + x0)
2 + λ2(y′ + y0)
2 = F ′′.
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Fazendo uma outra mudanca de coordenadas (uma translacao)
x′′ = x′− x0, y′′ = y′ − y0
obtem-se uma equacao reduzida
λ1(x′′)2 + λ2(y
′′)2 = F ′′′
e pode-se finalmente classificar a conica.
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Proposic ao
Considere-se a conica de equacao
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =
[
A B
2B
2C
]
. Entao:
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 6 / 12
Proposic ao
Considere-se a conica de equacao
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =
[
A B
2B
2C
]
. Entao:
(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse
degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 6 / 12
Proposic ao
Considere-se a conica de equacao
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =
[
A B
2B
2C
]
. Entao:
(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse
degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);
(b) Se B2− 4AC = λ1λ2 < 0, a conica e uma hiperbole ou uma hiperbole
degenerada (duas rectas concorrentes);
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 6 / 12
Proposic ao
Considere-se a conica de equacao
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F.
Sejam λ1 e λ2 os valores proprios de M =
[
A B
2B
2C
]
. Entao:
(a) Se B2− 4AC = λ1λ2 > 0, a conica e uma elipse ou uma elipse
degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);
(b) Se B2− 4AC = λ1λ2 < 0, a conica e uma hiperbole ou uma hiperbole
degenerada (duas rectas concorrentes);
(c) Se B2− 4AC = λ1λ2 = 0, a conica e uma parabola ou uma parabola
degenerada (duas rectas paralelas, uma recta ou o conjunto vazio).
Exemplo
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A conica de equacao
2x2− 4xy − y2
− 4x + 10y = 13
pode escrever-se da seguinte forma
[
x y]
.
[
2 −2−2 −1
]
.
[
x
y
]
+[
−4 10]
.
[
x
y
]
= 13
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A matriz quadrada real
M =
[
2 −2−2 −1
]
e simetrica, logo, existe uma matriz Q =
[
2√
5
5
√5
5
−
√5
5
2√
5
5
]
ortogonal, tal que
QT MQ =
[
3 00 −2
]
.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 9 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 9 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
obtem-se uma equacao da forma
3(x′)2 − 2(y′)2 +18
√
5
5x′ +
16√
5
5y′ = 12.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 9 / 12
Efectuando a mudanca de coordenadas (uma rotacao)
[
x
y
]
= Q
[
x′
y′
]
,
obtem-se uma equacao da forma
3(x′)2 − 2(y′)2 +18
√
5
5x′ +
16√
5
5y′ = 12.
Em seguida, procuram-se quadrados perfeitos e obtem-se uma equacao da
forma
(x′−
3√
5
5)2
4−
(y′ − 4√
5
5)2
6= 1.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 10 / 12
Fazendo uma outra mudanca de coordenadas (uma translacao)
x′′ = x′−
3√
5
5, y′′ = y′ −
4√
5
5
obtem-se uma equacao reduzida
(x′′)2
4−
(y′′)2
6= 1,
equacao de uma hiperbole com semieixo transverso alinhado com o eixo dos
x′′ com comprimento 2.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 11 / 12
Definic ao
Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma
equacao do segundo grau em tres variaveis da forma
Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 11 / 12
Definic ao
Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma
equacao do segundo grau em tres variaveis da forma
Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.
Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma
[
x y z]
.
AB
2
C
2
B
2D
F
2
C
2
F
2E
.
x
y
z
+[
F G H]
.
x
y
z
= F
ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 11 / 12
Definic ao
Uma quadrica e o conjunto dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma
equacao do segundo grau em tres variaveis da forma
Ax2 + Bxy + Cxz + Dy2 + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz = J.
Esta equacao pode escrever-se da seguinte forma
[
x y z]
.
AB
2
C
2
B
2D
F
2
C
2
F
2E
.
x
y
z
+[
F G H]
.
x
y
z
= F
Analogamente , a diagonalizacao de matrizes simetricas reais de ordem 3
pode ser utilizada na classificacao de quadricas.