aplicação da técnica de programação linear na busca da solução
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APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR NA BUSCA
DA SOLUÇÃO ÓTIMA DE PRODUÇÃO
EM UMA PIZZARIA
Edvan Araujo de Sousa Junior (IFMG )
Elias Junio Dias Ferreira (IFMG )
Pablo Parreira Paula (IFMG )
Pamela Nayara Ribeiro de Oliveira (IFMG )
STEFANIE GIORDANA PEREIRA DE SOUZA (IFMG )
Em um cenário extremamente competitivo, onde várias organizações
competem por um mesmo nicho de mercado, a sobrevivência de uma
empresa está condicionada as estratégias de mercado que a mesma
adota. Independentemente do tamanho ou tipo da eempresa, é de suma
importância a correta utilização dos recursos disponíveis, de forma a
garantir o lucro sobre as operações e a excelência nos produtos ou
serviços prestados. A questão é que com tantas ferramentas e
metodologias disponíveis fica difícil decidir qual é a mais adequada e
competitiva para o sistema produtivo. Dessa forma a pesquisa
operacional apresenta-se como um importante método no auxílio à
tomada de decisão. O presente artigo trata-se de um estudo aplicado a
uma pizzaria “delivery” da cidade de Congonhas- MG, onde o objetivo
de trabalho é maximizar o lucro da empresa analisando as restrições
do sistema produtivo, além de mostrar a importância da aplicação da
pesquisa operacional em micro e pequenas empresas. Para isso
utilizou-se a programação linear juntamente com método Simplex e o
suplemento Solver do Microsoft® Excel para modelar e resolver o
problema, de modo a atingir o objetivo. Ao final, a análise de
sensibilidade verificou a estabilidade da solução encontrada.
Palavras-chave: Pesquisa operacional, programação linear, simplex,
solver, pizzaria
XXXVI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCÃO Contribuições da Engenharia de Produção para Melhores Práticas de Gestão e Modernização do Brasil
João Pessoa/PB, Brasil, de 03 a 06 de outubro de 2016.
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1. Introdução
As organizações ao longo da história passaram por diversas transformações, principalmente
no que diz respeito ao tamanho e complexidade das relações interorganizacionais. Segundo
Hillier e Liberman (2006), a crescente divisão e especialização do trabalho trouxe inúmeros
benefícios às organizações, porém tornou-se difícil a alocação dos recursos para as diferentes
atividades como um todo, criando assim o ambiente propício para o desenvolvimento da
Pesquisa Operacional (PO).
Hillier e Liberman (2006), acrescentam que o termo foi utilizado pela primeira vez na
Segunda Guerra Mundial, quando percebeu-se a necessidade de coordenar, escolher e
dimensionar frotas e recursos para o combate.
Para Ehrlich (1991), pesquisa operacional é uma metodologia de estruturar processos
aparentemente não estruturados por meio da construção de modelos, utilizando um conjunto
de técnicas quantitativas com o intuito de resolver matematicamente os modelos. “A PO tem
por objetivo selecionar as melhores condições de aproveitamento de recursos sujeitos às
restrições econômicas, materiais, temporais e de recursos humanos” (MILHOMEN et
al.,2015).
Segundo Arenales et al. (2006), a PO é muito utilizada para tomada de decisão, a fim de
determinar o problema, analisar as limitações e, por fim, obter-se uma solução coerente e
estruturada. A tomada de decisão é um processo complexo, pois existem diversos fatores
interligados, tais como: o ambiente, incertezas, qualidade final, aspecto cultural e o próprio
mercado.
A pesquisa operacional utiliza-se de várias ferramentas para encontrar ou aproximar da
solução ótima do problema. É possível encontrar uma ou infinitas soluções ótimas,
descrevendo-as por meio de combinação linear.
O objetivo geral desse artigo é aplicar em uma pizzaria da cidade de Congonhas-MG, os
métodos da pesquisa operacional, de modo que permita encontrar uma solução ótima que
maximize o lucro da empresa.
O objetivo específico busca modelar o problema usando programação linear e resolvê-lo pelo
método simplex, com o auxílio do suplemento solver do Microsoft®
Excel. E posteriormente
fazer análise de sensibilidade para avaliar a estabilidade da solução encontrada.
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2. Referencial teórico
2.1. Pesquisa operacional
Segundo Chaves (2011) é impossível identificar o contexto histórico da pesquisa operacional,
porém, ao analisar suas manifestações, podemos encontrar seus prenúncios desde a época de
Arquimedes. Mas foi a partir da Revolução Industrial que surgiram os primeiros problemas
que a PO viria a solucionar.
Chaves (2011) ainda acrescenta que as inovações tecnológicas estimularam o crescimento das
indústrias e aumentaram de forma nunca antes vista a produtividade. As mudanças foram tão
efetivas que a sociedade foi totalmente modificada, tanto socialmente quanto
economicamente. Para suprir a demanda crescente da sociedade surgiram novas indústrias,
mudou-se a maneira de administrar e iniciou uma série de estudos destinados a aumentar a
eficiência das operações industriais.
O termo pesquisa operacional surgiu na Segunda Guerra Mundial quando o comando militar,
britânico e norte-americano, convocou inúmeros cientistas para aplicar a abordagem científica
a fim de resolver problemas táticos e estratégicos (HILLIER; LIBERMAN, 2006).
Colin (2007), afirma que a pesquisa operacional e a programação linear são importantes
descobertas, equiparando-se à máquina a vapor, a produção em massa e a tecnologia da
informação. Também acrescenta que, a PO aliada à microinformática possibilitou a
implementação e processamento de algoritmos capazes de confrontar e solucionar problemas
empresariais de alta complexidade relacionados à tomada de decisão, provenientes do
crescimento econômico que se seguiu.
A pesquisa operacional utiliza-se de vários modelos para encontrar ou aproximar da solução
ótima. Esses modelos se dividem em três grupos: os modelos determinísticos, os estocásticos
e outras técnicas; demonstrado conforme a figura 1.
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Figura 1: Modelos da pesquisa operacional
Fonte: Adaptado de Belfiore e Fávero (2013)
2.2. Programação linear
A Programação Linear (PL) é um dos métodos mais utilizados da pesquisa operacional. Sua
aplicação está presente em várias áreas como logística, finanças, recursos humanos, entre
outras.
“O desenvolvimento da programação linear foi considerado como um dos mais
importantes avanços científicos dos meados do século XX. Hoje é a ferramenta
padrão que tem economizado milhares ou milhões de dólares para muitas
companhias nas nações industrializadas do mundo” (HILLIER; LIBERMAN, 2006.
p. 25).
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De acordo com Belfiore e Fávero (2013), um Problema de Programação Linear (PPL) tem por
objetivo determinar a solução ótima do modelo, que maximiza ou minimiza a função objetivo
(função linear das variáveis de decisão), satisfazendo todas as restrições do modelo
(representadas por equações ou inequações, incluindo as de não negatividade),
matematicamente representado por:
Sujeito à:
A capacidade do modelo de gerar lucro ou reduzir custos é determinada pela função objetivo.
Já as restrições garantem que a (s) solução (ões) esteja (m) de acordo com as limitações
técnicas ligadas ao sistema. Segundo Ragsdale (2009), caso as restrições representem recursos
limitados, a aplicação da PO evita o desperdício dos mesmos.
Por ser um modelo determinístico, todas suas variáveis são lineares, constantes e conhecidas.
Os modelos podem ser resolvidos por métodos analíticos (problemas de baixa complexidade)
ou computacionais (problemas de média e alta complexidade) por meio de algoritmos como o
simplex (BELFIORE; FÁVERO, 2013).
2.3. Método Simplex
Implementado por George Dantzig (1914-2005), o simplex é um algoritmo que permite
encontrar a solução ótima de um modelo de programação linear, caso a mesma exista. Para
Barba (2013), o simplex é amplamente utilizado devido sua eficiência em resolver problemas
onde existem muitas variáveis e restrições influenciando em situações que necessitam ser
otimizadas.
Segundo Belfiore e Fávero (2013), o simplex é um método interativo que parte de uma
Solução Básica Viável (SBV) inicial e busca, a cada iteração, uma nova solução básica viável
que contribua mais efetivamente com a função objetivo, descrita na figura 2:
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Figura 2: Fluxograma da descrição geral do algoritmo simplex.
Fonte: Adaptado de Lachtermarcher (2009)
O método simplex possui duas variações: a primeira denominada método simplex de uma
fase, ocorre quando a utilização dos recursos é menor ou igual à disponibilidade dos recursos.
A segunda denominada método simplex de duas fases, ocorre quando as restrições são do tipo
igual e/ou maior à disponibilidade dos recursos (ANDRADE, 2010).
3. Metodologia
O presente artigo trata-se de um estudo de caso aplicado a uma pequena empresa do setor
alimentício da cidade de Congonhas - MG.
Segundo Milhomen et al. (2015) o estudo de caso é uma estratégia empírica baseada na
observação de determinado assunto. Yin (2001), acrescenta que o estudo de caso é uma
investigação de um fenômeno dentro do contexto da vida real.
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Foi realizada uma pesquisa exploratória para a obtenção dos dados. Gil (1999) descreve que a
principal finalidade da pesquisa exploratória é desenvolver, esclarecer e modificar conceitos e
ideias, tendo em vista, a formulação de problemas precisos ou hipóteses.
O estudo foi desenvolvido em três etapas: revisão bibliográfica, estudo de caso, e análise dos
resultados. A revisão bibliográfica foi usada para dar suporte teórico, enquanto o estudo de
caso evidencia a aplicabilidade da pesquisa operacional em micro e pequenas empresas. Por
fim, a análise dos resultados mostrou a melhor forma para maximização dos lucros.
4. Estudo de caso
4.1. A empresa objeto de estudo
Fundada em 2013, na cidade Congonhas – MG, a pizzaria de estudo, conta com cinco
funcionários efetivos e dois temporários. Atua como delivery, ou seja, pronta entrega, no
período das 18 horas às 23 horas, de terça a domingo. Com um layout bem definido, a
fabricação das pizzas segue uma padronização de tempo e montagem, de tal forma, que
atenda sempre, de maneira rápida seus clientes.
Seu cardápio é composto por uma enorme variedade de sabores dispostos em três grupos:
pizzas tradicionais, especiais e doces; e também em três tamanhos: pequena, média e grande.
Para acompanhar as pizzas, comercializa também bebidas, como refrigerante, cerveja, suco e
vinho.
Futuramente, não descarta a possibilidade de abrir uma filial ou a inserção de um novo
produto em seu cardápio, como sanduíches. Apesar de ser uma microempresa, a pizzaria não
esquece da sua responsabilidade social, desta forma, contribui com uma Organização Não
Governamental (ONG) através de parcerias e doações.
4.2. Problematização
Através de entrevistas com a proprietária, a mesma destacou os problemas enfrentados na
pizzaria e a insegurança quanto ao negócio. Os principais problemas descritos foram o
controle de estoque e a incerteza de produção. Por se tratar de um estabelecimento que
manipula produtos alimentícios de alta perecibilidade, seu estoque é mensurado através de
demandas sazonais.
A pizzaria trabalha com um cardápio composto por 42 pizzas, pois a proprietária considera
que dessa forma é possível atender todos os clientes, dos mais variados gostos e requintes
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alimentares, como por exemplo, os vegetarianos. Porém nem todas as pizzas possuem uma
venda considerável, tornando questionável a viabilidade econômica de produção das mesmas.
Portanto, através da pesquisa operacional buscou-se verificar as pizzas que compensam ser
produzidas com base na utilização dos recursos disponíveis.
4.3. Coleta de dados
A proprietária destacou as principais pizzas que deveriam ser analisadas. Segundo ela, as
pizzas doces faz questão de mantê-las, pois tendo boa ou má venda, acredita que é um
diferencial dentre as pizzarias da região. Conforme a figura 3, é possível ver as pizzas que
serviram de objeto de estudo. É importante observar o preço de venda de cada item.
Figura 3 – Principais pizzas do cardápio
Fonte: A empresa de estudo
Após a seleção das pizzas, destacou-se as quantidades de cada ingrediente na confecção de
cada pizza, e também o total de recursos disponíveis para sua produção. Os dados fornecidos
pela proprietária, quanto aos ingredientes utilizados, são unitários, ou seja, são quantidades
aplicáveis em cada pizza de tamanho grande. Segundo ela, são as pizzas que mais vendem, e
consequentemente são as que mais gastam ingredientes. Quanto aos recursos disponíveis, os
dados foram fornecidos com base em valores semanais, mas em seguida foram transcritos, de
acordo sua necessidade mensal. Os dados obtidos estão apresentados na tabela 1 abaixo:
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Tabela 1 – Quantidade de ingredientes em cada pizza
Os autores
É importante salientar que são produzidas entre 840 a 920 pizzas mensalmente. O tempo de
preparo em média de cada pizza é 9 minutos, num total de 120 horas de trabalho por mês. O
custo de cada pizza varia conforme sua variedade de ingredientes. Deste modo, segundo a
proprietária, o custo da pizza à moda é de R$ 20,00; calabresa e frango com catupiry é de R$
17,00; portuguesa e atum é de R$ 19,00; lombinho canadense é de R$ 21,00; gnomos é de R$
22,00; filé ao alho e óleo é de R$ 23,00; e por fim, filé ao gorgonzola e camarão é de R$
24,00.
4.4. Modelamento do problema
Com base nos dados coletados, foi possível determinar as variáveis para o modelamento
matemático, obedecendo suas restrições. A função objetivo descreverá a solução ótima de
produção. Para esse modelo foi determinado que cada variável seria a quantidade a ser
produzida de cada pizza, dessa forma, são 10 variáveis de decisão no total, representadas
abaixo:
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Após determinar as variáveis do modelamento matemático, foi possível determinar a função
objetivo. Por isso, a função objetivo tem como propósito maximizar o lucro da pizzaria na
busca pela solução ótima de produção. Para determinar o lucro de cada pizza, foi feita a
subtração entre o preço de venda da pizza grande e o custo unitário de cada pizza. Portanto,
obteve-se a seguinte função objetivo:
Por fim, definiu-se as restrições do sistema de acordo com a disponibilidade de recursos.
Foram avaliadas três restrições básicas: restrição de massa, restrição de mão-de-obra/tempo e
restrição dos ingredientes.
A restrição das massas está condicionada à capacidade máxima de produção, ou seja, 920
unidades por mês. A restrição de mão-de-obra/tempo é condicionada às 120 horas de trabalho
por mês e cada pizza há a necessidade de 9 minutos (0,15 horas) para preparo e montagem. O
conjunto de restrições ingredientes, são os elementos presentes na descrição de cada pizza. É
importante destacar a presença da restrição de não negatividade do modelamento matemático.
Em notação matemática, as restrições são:
Restrição de massas:
Restrição de mão-de-obra/tempo:
Restrições de ingredientes:
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Restrição de não-negatividade:
4.5. Apresentação e análise dos resultados
Após a coleta de dados, os mesmos foram formulados matematicamente, e aplicados no solver
do Microsoft®
Excel. A ferramenta solver é muito utilizada para resolver problemas de
maximização e de minimização. A complexidade varia conforme o modelamento matemático
da função objetivo e suas restrições.
A ferramenta solver permite utilizar três métodos, entre eles, o simplex, utilizado para
resolução deste problema. Neste modelo determinístico foi utilizado a programação linear
para determinar a solução ótima.
Com base nos dados fornecidos pelo solver do Excel, apresentado na tabela 2, pode-se chegar
a um lucro total de R$ 12.541,33 por mês. A quantidade exata de cada pizza pode ser
conferida na coluna “Valor Original”. Para a maximização dos lucros seria viável não fabricar
as pizzas portuguesa e filé ao alho e óleo. Destaca-se a quantidade de pizza à moda a ser
produzida, 166 unidades. Tal valor condiz com a realidade, pois é uma das pizzas mais
vendidas. Já as pizzas de atum e camarão foram duas pizzas que apresentaram menor
fabricação, 16 e 11 unidades, respectivamente. A proprietária da pizzaria, através do seu
conhecimento comercial, esperava pouca ou nenhuma participação dessas pizzas no lucro.
Mas não esperava, deixar de fabricar a pizza portuguesa, pois possui uma venda razoável
quando comparada às outras.
Tabela 2 – Resultado do lucro total/quantidade a ser produzida
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Os autores
Definido o valor máximo de lucro possível, é importante analisar os recursos utilizados para
se obter êxito. A tabela 3 apresenta a análise dos recursos, onde a coluna “Status” apresenta
duas designações: “Associação” para recursos escassos e “Não-associação” para recursos não
escassos. Caso opte por reduzir os custos, a coluna “Margem de Atraso” representa a
quantidade de recursos que sobraram, portanto, a redução desses itens não impactaria no lucro
final, desde que não ultrapassassem o valor determinado.
Tabela 3 – Restrições satisfeitas/ não satisfeitas
RESTRIÇÕES
Célula Nome Valor da
Célula
Status Margem de
Atraso
$N$10 Restrição de Creme de Leite 0,34 Não-associação 4,657142857
$N$11 Restrição de Filé Mignon 24,00 Associação 0
$N$12 Restrição de Alho Porro 2,02 Não-associação 1,980952381
$N$13 Restrição de Gorgonzola 2,06 Não-associação 13,94285714
$N$14 Restrição de Alho 0,00 Não-associação 4
$N$15 Restrição de Azeitona 8,00 Associação 0
$N$16 Restrição de Tomate 11,76 Não-associação 80,23619048
$N$17 Restrição de Palmito 7,47 Não-associação 4,533333333
$N$18 Restrição de Provolone 5,33 Não-associação 4,666666667
$N$19 Restrição de Champignon 4,00 Associação 0
$N$20 Restrição de Lombinho 4,00 Associação 0
$N$21 Restrição de Catupiry 32,00 Associação 0
$N$22 Restrição de Atum 4,00 Associação 0
$N$23 Restrição de Frango 29,87 Não-associação 10,13333333
$N$24 Restrição de Cebola 10,80 Não-associação 9,196190476
$N$25 Restrição de Ovo 10,00 Não-associação 48
$N$26 Restrição de Pimentão 6,67 Não-associação 13,33333333
$N$27 Restrição de Presunto 30,00 Associação 0
$N$28 Restrição de Calabresa 21,44 Não-associação 2,56
$N$6 Restrição de Massa 622,67 Não-associação 297,3333333
$N$7 Restrição de Mão-de-
obra/Tempo
93,40 Não-associação 26,6
$N$8 Restrição de Muçarela 204,80 Não-associação 135,2
$N$9 Restrição de Camarão 4,00 Associação 0
Os autores
Utilizando a análise de sensibilidade, pode-se determinar o limite inferior e superior dos
recursos escassos que não alterariam a solução ótima, conforme pode ser visto na tabela 4. O
filé mignon, lombinho, atum, presunto e camarão apresentam um intervalo de estabilidade
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maior se comparado com os outros recursos, ou seja, permitem um maior acréscimo ou
decréscimo. Já a azeitona, champignon, catupiry apresentam limites menores, se comparados
com disponibilidade total, e também são os recursos que mais impactariam positivamente no
lucro, caso não obedecesse às margens estabelecidas.
A coluna “Sombra preço” representa a quantidade em que a função objetivo melhoraria ou
pioraria se o limite da restrição aumentasse ou diminuísse uma unidade. Foi sugerido a
compra, principalmente, de azeitonas, pois impactaria significamente no lucro obtido.
Tabela 4 – Análise de sensibilidade
Os autores
5. Considerações finais
A importância da pesquisa operacional aplicada em micro e pequenas empresas mostrou-se
evidente com esse estudo, pois auxiliou na tomada de decisão do que e quanto produzir de
cada item. Aplicando a programação linear, o método simplex e a ferramenta solver foi
possível determinar um lucro máximo a ser alcançado obedecendo os recursos disponíveis.
A aplicação da solução possui algumas ressalvas. Por exemplo, a retirada da pizza portuguesa
do cardápio, que possui venda considerável, mantendo outras de menor venda. O lucro obtido
através do modelamento matemático não se trata de um lucro global, pois o estudo só
contabilizou os recursos para produção das pizzas grandes e aquelas que são ou não viáveis
produzir, excluindo as demais pizzas.
Referências
ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para a análise de
decisão. 4. Ed. Rio de Janeiro: LCT, 2009.
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ARENALES, M. N.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: Campus,
2006.
BARBA, Pedro V. de. Proposta de aplicação de métodos de pesquisa operacional em uma microempresa do
setor comercial do ramo alimentício. 2013. 50 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia
de Produção e Sistemas) - Graduação. Centro de Ciências Tecnológicas. Universidade do Estado de Santa
Catarina, Joinville, 2013.
BELFIORE, Patrícia; FÁVERO, Luiz Paulo. Pesquisa Operacional para cursos de Engenharia. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2013.
CHAVES, Viviane H. Corrêa. Perspectivas históricas da pesquisa operacional. 2011. 117 p. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) - Programa de Pós-Graduação. Instituto de Geociências e Ciências Exatas.
Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2011.
COLIN, Emerson C. Pesquisa Operacional: 170 Aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, Produção,
Marketing e Vendas. Rio de Janeiro: LTC, 2007
EHRLICH, Pierre Jacques. Pesquisa Operacional: curso introdutório. 7 ed. São Paulo: Atlas 1991.
HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à pesquisa operacional. 8 ed. São Paulo:
McGraw Hill, 2006.
MILHOMEM, DANIEL ALCÂNTARA, et. al. Utilização da Programação Linear e do Método Simplex
para Otimização da Produção de Pães em uma Empresa de Panificação. Encontro Nacional de Engenharia
de Produção, Fortaleza. 2015.
RAGSDALE, Clift T. Modelagem e Análise de Decisão. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
YIN, Robert K. Estudo de Caso: Planejamento e Métodos. Tradução Daniel Rossi. 2ed. Porto Alegre:
Bookman, 2001.