aplic2 - profs.info.uaic.rofliacob/an1/2007-2008... · operatori liniari 91 probleme rezolvate 1....
TRANSCRIPT
OPERATORI LINIARI
91
Probleme rezolvate 1. Dacă T ∈ ℒ(Km, Kn) şi A 'BB = [aij] ∈ ℳnm(K) este matricea lui T în perechea de baze canonice (B, B’) din Km, respectiv Kn, atunci are loc egalitatea rg T = dim [CA] (prin CA s-a notat subspaţiul generat de vectorii coloană ai matricei A). Soluţie. Folosind expresia analitică a operatorului T în perechea de baze canonice (B, B’), avem:
(*) yi = ∑=
m
1jjijxa , i = n,1 ,
unde x = ∑=
m
1iiiex şi y = T(x ) = ∑
=
n
1j
'j jey .
Din relaţia (*) rezultă
(y1, y2, ... , yn) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑∑∑===
m
1kknk
m
1kkk2
m
1kkk1 xa,...,xa,xa =
= ∑=
m
1knkk2k1k )a,...,a,a(x ,
ceea ce implică Im T = [CA], adică rg T = dim [CA]. Observaţie. Analog se poate arăta că rg T = dim [LA], unde [LA] este subspaţiul generat de vectorii linie ai matricei A. Deci au loc egalităţile: rg T = dim [CA] = dim [LA]. 2. Fie endomorfismul T : ℝ3 → ℝ3 a cărui matrice în baza canonică B = {e 1, e 2, e 3} este:
AB = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
112433211
.
a) Să se afle T(x ) pentru ∀x ∈ ℝ3 şi T(1, -2, 3). b) Să se afle matricea operatorului T în baza B1 = {(2, 3, -1), (0, -2, 1), (-1, -1, 1)}. c) Să se afle Im T şi rg T.
CAPITOLUL III
92
d) Să se afle Ker T şi def T. Soluţie. a) Folosind liniaritatea lui T rezultă T(x ) = T(x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3) = x1T(e 1) + x2T(e 2) + x3T(e 3) = = x1(-1, 3, 2) + x2(1, 3, 1) + x3(2, 4, 1) = = (-x1 + x2 + 2x3, 3x1 + 3x2 + 4x3, 2x1 + x2 + x3). T(1, -2, 3) = (3, 9, 3). b) Folosind formula A
1B = S -1. AB.S, unde S este matricea
schimbării de baze B ⎯→⎯S B1, S = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
111123102
, avem
A1B =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
425134211
71
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
112433211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
111123102
.
c) Vectorii T(e 1), T( e 2), T(e 3) sunt liniar dependenţi şi o combinaţie liniară a lor este T(e 1) - 5T(e 2) + 3T(e 3) = 0 . Im T = {T(x )| T(x ) = y1T(e 1) + y2T(e 2) + y3T(e 3), y1, y2, y3∈ℝ}= = {T(x )| T(x ) = (5y1 + y2)T(e 2) + (y3 - 3y1)T(e 3), y1, y2, y3∈ℝ}= = {T(x )| T(x ) = αT(e 2) + βT(e 3), α, β ∈ ℝ}. O bază în Im T este formată din vectorii T(e 2), T(e 3), deci dim Im T = rg T = 2. d) Ker T = {x ∈ ℝ3 | T(x ) = 3R0 }. Egalitatea T(x ) = 3R0 conduce la sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++−
0xxx20x4x3x30x2xx
321
321
321
, cu soluţia x1 = 31x3, x2 =
35
− x3 , x3 ∈ ℝ.
Ker T = {x ∈ ℝ3 | x = 31x3(1, -5, 3), x3 ∈ ℝ}.
O bază în Ker T este formată din vectorul (1, -5, 3), deci dim Ker T = def T = 1.
OPERATORI LINIARI
93
3. Se dă operatorul liniar T : ℝ3 → ℝ4 definit prin T(x ) = (x1 - x2 + x3, -3x1 + 2x2 - 4x3, 3x1 - x2 + 5x3, x1 + x2 + 3x3), pentru ∀x ∈ ℝ3. a) Să se scrie matricea operatorului în perechea de baze canonice (B, B'). b) Să se scrie matricea lui T în perechea de baze (B1, B1'), unde B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)},
B1' = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}. c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle Ker T şi def T.
Soluţie. a) Matricea operatorului este formată, pe coloane, din coordonatele imaginilor prin T ale vectorilor din baza B.
T(e 1) = T(1, 0, 0) = (1, -3, 3, 1) = e 1' - 3e 2' + 3e 3' + e 4'; T(e 2) = T(0, 1, 0) = (-1, 2, -1, 1) = - e 1' + 2e 2' - e 3' + e 4'; T(e 3) = T(0, 0, 1) = (1, -4, 5, 3) = e 1' - 4e 2' + 5e 3' + 3e 4',
adică ABB' =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
311513423
111
.
b) Folosind formula schimbării matricei unui operator la o schimbare de bază, A 'BB 11
= (S') -1. ABB' .S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1',
cu S = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
011101110
, S' =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1111011100110001
rezultă
CAPITOLUL III
94
A 'BB 11 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
1100011000110001
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
311513423
111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
011101110
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
0403156192
020
.
c) rg T = rg [LA] = 2 deoarece
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
000000010001
~
220220110
111
~
311513423
111
.
Mulţimea {T(e 1), T(e 2)} formează o bază în Im T. d) Ker T = {x ∈ ℝ3 | T(x ) = 4R0 } =
= {x ∈ ℝ3 | x = x3(2, -1, 1), x3 ∈ ℝ}. O bază în Ker T este formată din vectorul (2, -1, 1), deci def T = 1. 4. Fie endomorfismul T: ℝ2[t] → ℝ2[t] definit prin T(a0 + a1t + a2t2) = a0 + a1 + (a1 + a2)t + (a2 - a0)t2. a) Să se calculeze T(1 - 2t + 3t2). b) Să se scrie matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ2[t], B = {1, t, t2}. c) Să se scrie matricea endomorfismului T în baza B' = {-1 + t + 3t2, -t + 2t2, 2 + 4t - t2}. d) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. e) Să se afle Ker T şi def T. Soluţie. a) T(1 - 2t + 3t2) = (1 - 2) + (-2 + 3)t + (3 - 1)t2 = = - 1 + t + 2t2. b) Deoarece T(1) = 1 - t2, T(t) = 1 + t, T(t2) = t + t2,
OPERATORI LINIARI
95
matricea lui T în baza B este AB = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 101110011
.
c) Matricea schimbării de baze este S = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
123411201
, deci
AB' = S-1. AB . S =
1
123411201 −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 101110011
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
123411201
=
= 171
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
1256513247
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 101110011
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
123411201
=
= 171
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
3311253222036156
.
d) rg T = rangA = 2 şi o bază în Im T este formată din vectorii T(1) = 1 - t2 şi T(t) = 1 + t. e) Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | T(p) = 0}. Relaţia T(p) = 0 este echivalentă cu T(a0 + a1t + a2t2) = 0 + 0.t + 0.t2, care conduce la sistemul liniar şi omogen
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+=+
0aa0aa0aa
02
21
10
, cu soluţia a0 = a2 = -a1, a1 ∈ ℝ.
Deci Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | p(t) = -a1(1 - t + t2), a1 ∈ ℝ}. O bază în Ker T este formată din polinomul 1 - t + t2 şi def T = 1.
CAPITOLUL III
96
5. Fie operatorul liniar T: ℝ2[t] → ℝ3 definit prin T(a0 + a1t + a2t2) = (-a1 - a2, -a1, a0 + a1 + a2). a) Să se calculeze T(1 - 2t + 3t2). b) Să se afle matricea operatorului liniar în perechea de baze canonice (B, B'). c) Să se afle matricea operatorului liniar în perechea de baze (B1, B1'), unde B1 = {t + t2, t, t2 + 1}, B1' = {(2, 0, 3), (-1, 4, 1), (3, 2, 5)}, d) Să se studieze dacă T este inversabil şi să se afle T -1. Soluţie. a) T(1 - 2t + 3t2) = (-1, 2, 2). b) Se calculează T(1) = (0, 0, 1) = e 3, T(t) = (-1, -1, 1) = - e 1 - e 2 + e 3, T(t2) = (-1, 0, 1) = - e 1 + e 3.
ABB' = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−
111010110
.
c) A 'BB 11 = (S') -1. ABB'
.S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1'.
A 'BB 11 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ − −
101011100
111010110
513240312 1
=
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−282545
141121464072
61
212011112
8512416
14818
61 .
d) Ker T = {p ∈ ℝ2[t] | T(p) = 0 3R
}. Din T(p) = 0 3R rezultă
sistemul liniar omogen
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−=−−
0aaa0a0aa
210
1
21
, a cărui matrice are rangul 3.
OPERATORI LINIARI
97
Sistemul admite numai soluţia banală a0 = a1 = a2 = 0. Deoarece def T = 0 rezultă că T este inversabil şi există
T -1: ℝ3 → ℝ2[t]. Din relaţia T -1(x ) = p rezultă T(p) = x , adică sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−=−−
3210
21
121
xaaaxaxaa
, cu soluţia a0 = x1 + x3, a1 = -x2, a2 = -x1 + x2.
Deci T -1(x1, x2, x3) = (x1 + x3) - x2t + (-x1 + x2)t2. Matricea operatorului T -1 în perechea de baze canonice este
CB' B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
011010101
=
1
111010110 −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−− = A 1
'BB− .
În general, matricea operatorului T -1 este inversa matricei operatorului T. Expresia operatorului T -1 se poate calcula şi direct:
T -1(x1, x2, x3) = A 1'BB
− . XB' = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
011010101
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
21
2
31
3
2
1
xxx
xx
xxx
.
6. Se dă operatorul liniar T: ℝ2[t] → ℝ2 prin matricea sa
ABB' = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−132314
în bazele canonice din ℝ2[t], respectiv ℝ2.
a) Să se afle T(a0 + a1t + a2t2), T(1 - t + t2). b) Să se afle matricea operatorului T în bazele: B1 = {1 - t + t2, 1 + t - t2, t2 + t - 1}, B1' = {{(1, -2), (2, -1)}. c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle def T şi o bază pentru Ker T. Soluţie. a) Din definiţia matricei unui operator liniar rezultă că T(1) = 4e 1 - 2e 2, T(t) = -e 1 + 3 e 2, T(t2) = 3e 1 + e 2. Avem
CAPITOLUL III
98
T(a0 + a1t + a2t2) = a0T(1) + a1T(t) + a2T(t2) = = a0(4e 1 - 2e 2) + a1(- e 1 + 3e 2) + a2(3e 1 + e 2) =
= (4a0 - a1 + 3a2) e 1 + (-2a0 + 3a1 + a2) e 2 = = (4a0 - a1 + 3a2, -2a0 + 3a1 + a2). T(1 - t + t2) = (8, -4). b) A 'BB 11
= (S') -1. ABB' .S, unde B ⎯→⎯S B1, B' ⎯→⎯ 'S B1',
S = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
111111111
, S' = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 1221
.
c) rg T = 2 şi o bază pentru Im T este {T(1), T(t)}. d) def T = 1 şi o bază pentru Ker T este {1 + t - t2}. 7. Fie ℝ-spaţiul vectorial C2(ℝ) = {f | f: ℝ → ℝ, f, f ’, f ’’ continue} şi S = {f1, f2, f3}, unde f1 = 3, f2 = 3 – x, f3 = 3 – x – ex, un sistem de vectori din C2(ℝ).
a) Să se arate că S este un sistem liniar independent. b) Să se arate că operatorul D1: [S] → [S] definit prin
D1(f) = f ’ este liniar şi să se determine matricea sa în baza S. c) Să se arate că operatorul D2 : [S] → [S] definit prin
D2(f) = f ’’ este liniar şi să se determine matricea sa în baza S. Soluţie. a) Din orice combinaţie liniară αf1 + βf2 + γf3 = 0, α, β, γ ∈ ℝ rezultă α = β = γ = 0. Mulţimea de vectori S este liniar independentă şi generează [S], deci formează o bază pentru [S]. b) Avem D1(f1) = 0,
D1(f2) = -1 = -31 f1,
D1(f3) = -1 – ex = -31 f1 – f2 + f3.
OPERATORI LINIARI
99
AS =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
10010031
310
.
b) D2(f1) = 0, D2(f2) = 0, D2(f3) = -ex = -f2 + f3.
BS = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−100100
000.
8. Pe spaţiul vectorial ℝn[x] se consideră aplicaţia A: ℝn[x] → ℝn[x] definită prin A(p(x)) = p(x + 1) – p(x).
a) Să se arate că această aplicaţie este liniară. b) Să se afle matricea operatorului în baza canonică din
spaţiul ℝn[x]. Soluţie. a) Pentru orice p1, p2 ∈ ℝn[x] şi α, β ∈ ℝ are loc
relaţia A((αp1 + βp2)(x)) = (αp1 + βp2)(x + 1) - (αp1 + βp2)(x) =
= αp1(x + 1) + βp2(x + 1) - αp1(x) - βp2(x) = = α[p1(x + 1) - p1(x)] + β[p2(x + 1) - p2(x)] = = αA(p1(x)) + βA(p2(x)),
ceea ce înseamnă că aplicaţia A este un operator liniar.
b) Deoarece A(1) = 1 – 1 = 0, A(x) = (x + 1) – x = 1, A(x2) = (x + 1)2 – x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1, A(x3) = (x + 1)3 – x3 = 3x2 + 3x + 1,
CAPITOLUL III
100
A(x4) = (x + 1)4 – x4 = ∑=
4
0k
kk4 xC - x4 = ∑
=
4
1k
kk4 xC =
= 14C x3 + 2
4C x2 + 14C x + 0
4C = 4x3 + 6x2 + 4x + 1, ..........................
A(xn) = (x + 1)n – xn = ∑=
n
0k
kkn xC - xn = ∑
−
=
1n
0k
kkn xC =
= 1 + 1nC x + 2
nC x2 + 3nC x3 + … + 1n
nC − xn-1. Matricea operatorului A este
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
0...00000C...00000
.....................C...C0000C...CC000C...CCC001...11110
1nn
3n
34
2n
24
23
1n
14
13
12
.
9. Se dă operatorul liniar T: ℝ3 → ℝ3 definit prin T(u i) = v i , i = 1, 2, 3, unde u 1 = (0, 0, 1), u 2 = (0, 1, 1), u 3 = (1, 1, 1), şi v 1 = (2, 3, 5), v 2 = (1, 0, 0), v 3 = (0, 1, -1).
a) Să se afle matricea operatorului în baza canonică din ℝ3. b) Să se afle matricea operatorului în baza B1 = {u 1, u 2, u 3}. c) Să se afle T –1(x ) şi în particular T –1 (2, 1, 5). Soluţie. a) Din relaţiile
T(e 3) = T(u 1) = v 1 = 2e1 + 3e 2 + 5e 3, T(e 2 + e 3) = T(u 2) = v 2 = e 1, T(e 1 + e 2 + e 3) = T(u 3) = v 3 = e 2 - e 3, rezultă T(e 3) = 2e 1 + 3 e 2 + 5e 3,
T(e 2) = e 1 - T(e 3) = -e1 - 3e 2 - 5e 3, T(e 1) = e 2 - e 3 - T(e 2) - T( e 3) = -e1 + e 2 - e 3.
OPERATORI LINIARI
101
Matricea operatorului este AB = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
551331211
.
b) A1B =
1
111110100 −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
551331211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
111110100
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
012111202
.
c) Din rg T = rg A = 3 rezultă că T este injectiv, deci există T –1.
Y = A 1B− XB =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−+−−
+−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−
321
321
32
3
2
1
x4x4x8x5x3x8
x3x5
81
xxx
448538350
81
T –1 (2, 1, 5) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
035
41 .
10. Pe spaţiul liniar ℝn – 1[t] se consideră operatorul liniar D: ℝn – 1[t] → ℝn – 2[t] definit prin D(p(t)) = p’(t).
a) Să se arate că B = {f1, f2, … , fn}, unde fk(t) = !)1k(
t 1k
−
−,
k = n,1 , este o bază pentru ℝn – 1[t]. b) Să se scrie matricea AB a operatorului D în baza B. c) Să se afle rg D şi să se precizeze dacă D este inversabil.
Soluţie. a) Pentru a arăta că B este bază în spaţiul linar ℝn – 1[t] este suficient să arătăm că vectorii fk(t), k = n,1 , sunt liniar independenţi, deoarece dim ℝn – 1[t] = n.
CAPITOLUL III
102
Din relaţia ∑=α
n
1kkk )t(f = 0 = 0 + 0.t + 0.t2 + … + 0.tn – 1 ⇒
α1.1 + α2 !1
t + α3 !2t2
+ … + αn !)1n(t 1n
−
− = 0, deci αk = 0, k = n,1 .
Avem D(f1(t)) = f1’(t) = 0 = 0. f1(t) + 0.f2(t) + … + 0.fn(t),
D(f2(t)) = f2’(t) = !1
1 = 1 = 1. f1(t) + 0.f2(t) + … + 0.fn(t),
D(f3(t)) = f3’(t) = !2t2 =
!1t = f2(t) = 0.f1(t) + 1.f2(t) + 0.f3(t) + …
+ 0.fn(t), …………………………
D(fn - 1(t)) = fn - 1’(t) = !)2n(
t)2n( 3n
−− −
= !)3n(
t 3n
−
− = fn - 2(t) =
= 0.f1(t) + 0.f2(t) + 0.f3(t) + … + 1.fn-2(t) + 0.fn-1(t) + 0.fn(t),
D(fn(t)) = fn’(t) = !)1n(
t)1n( 2n
−− −
= !)2n(
t 2n
−
− = fn - 1(t) =
= 0.f1(t) + 0.f2(t) + 0.f3(t) + … + 0.fn-2(t) + 1.fn-1(t) + 0.fn(t).
Deci AB =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
00...000010...000001...0000.....................00...100000...010000...0010
∈ ℳn(ℝ).
b) rg D = rg A = n – 1. Din relaţia dimensiunilor, dim ℝn – 1[t] = rg D + def D,
rezultă că def D = n – (n – 1) = 1, ceea ce înseamnă că D nu este injectiv, deci D nu este inversabil.
OPERATORI LINIARI
103
11. Fie matricea C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21 şi operatorii liniari
Ti : ℳ2(ℝ) → ℳ2(ℝ), i = 1, 2, 3, definiţi prin T1(A) = CA, T2(A) = AC, T3(A) = CA – AC.
a) Să se afle expresiile operatorilor liniari Ti, i = 1, 2, 3 în baza canonică din ℳ2(ℝ).
b) Să se afle matricele operatorilor Ti, i = 1, 2, 3 în baza canonică din ℳ2(ℝ).
c) Să se afle matricele operatorilor Ti, i = 1, 2, 3 în baza
B1 = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 10
11,
2111
,1111
,11
11.
Soluţie. a) ∀A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
∈ ℳ2(ℝ) avem
T1(A) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−
++
4231
4231
xxxxx2xx2x
,
T2(A) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−
4343
2121
xx2xxxx2xx
,
T3(A) = CA – AC = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−−−
3241
1423
x2xxxx2x2xx2
.
b) T1(E11) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0101
0001
=
= 1. E11 + 0. E12 + (-1) . E21 + 0. E22,
T1(E12) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡10
100010
=
= 0. E11 + 1. E12 + 0 . E21 + (-1) . E22,
CAPITOLUL III
104
T1(E21) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡0102
0100
=
= 2. E11 + 0. E12 + 1 . E21 + 0. E22,
T1(E22) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 11
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡1020
1000
=
= 0. E11 + 2. E12 + 0 . E21 + 1. E22.
Matricea operatorului T1 în baza { E11, E12, E21, E22} este
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
1010010120100201
A1B .
Analog se obţin matricele operatorilor T2, respectiv T3:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
1100210000120011
A2B ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
=
0210100120020210
A3B .
c) Matricea schimbării de baze S, B ⎯→⎯S B1, se obţine din:
F1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−1111
= 1. E11 + 1. E12 + 1 . E21 + (-1) . E22,
F2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1111
= 1. E11 + 1. E12 + 1 . E21 + 1 . E22,
F3 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −2111
= 1. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 2 . E22,
F4 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1011
= 1. E11 + 1. E12 + 0 . E21 + 1 . E22
OPERATORI LINIARI
105
şi este S =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
1211011111111111
.
Matricele operatorilor T2 , T3 în baza B1 se obţin cu formulele SASA .i
B.1i
B1−= , i = 1, 2, 3.
12. Fie operatorul liniar T : ℳ2(ℝ) → ℳ2(ℝ), dat prin matricea sa în baza canonică,
AB =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
511211111111
4201
a) Să se afle expresia operatorului liniar T în baza canonică din ℳ2(ℝ).
b) Să se afle matricea operatorului T în baza
B’ = ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0111
,1011
,1101
,1110
.
c) Să se afle rg T şi o bază pentru Im T. d) Să se afle def T şi o bază pentru Ker T. Soluţie. a) Din matricea AB a operatorului T rezultă
T(E11) = 1. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 2. E22, T(E12) = 0. E11 + 1. E12 + (-1) . E21 + 1. E22, T(E21) = 2. E11 + 1. E12 + (-1) . E21 + 1. E22, T(E22) = 4. E11 + (-1) . E12 + 1 . E21 + 5. E22. Expresia operatorului T este
T(A) = T( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
) = T(x1E11 + x2E12 + x3E21 + x4E22) =
= x1T(E11) + x2T(E12) + x3T(E21) + x4T(E22) =
CAPITOLUL III
106
= =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −5114
x1112
x1110
x2111
x 4321
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++−−−++−++
43214321
4321431
x5xxx2xxxxxxxxx4x2x
,
pentru ∀A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
∈ ℳ2(ℝ).
b) Matricea operatorului T în baza B’ este dată de formula
AB’ = S-1. AB . S, unde B ⎯→⎯S B’, S =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0111101111011110
.
c) rg T = rg AB = 2; o bază pentru Im T este {T(E11), T(E12)}.
d) Ker T = {X ∈ ℳ2(ℝ) | X = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
xxxx
, T(X) = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0000
}
Din relaţia T(X) = O2 rezultă sistemul liniar omogen
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++=+−−=−++−=++
0x5xxx20xxxx0xxxx
0x4x2x
4321
4321
4321
431
cu soluţia x1 = -2x3 - 4x4, x2 = -3x3 - 3x4, x3, x4 ∈ ℝ.
KerT = {X∈ℳ2(ℝ)| X= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−−
43
4343
xxx3x3x4x2
, x3, x4∈ℝ} =
= {X ∈ ℳ2(ℝ)| X = x3 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−0132
+ x4 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−1034
, x3, x4 ∈ ℝ}.
OPERATORI LINIARI
107
Sistemul format din matricele { ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−0132
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−1034
}
generează Ker T şi este liniar independent, deci formează o bază pentru Ker T; def T = 2. 13. Să se arate că polinomul caracteristic al matricei A ∈ ℳ4(K) este P(λ) = (-1)4 (λ4 – S1λ3 + S2λ2 – S3λ + S4), unde Si, i = 4,1 , reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A – λI4 . Soluţie. Din definiţie
P(λ) = det (A – λI4) =
λ−λ−
λ−λ−
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
=
=
λ−λ−
λ−
44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
+
λ−λ−
λ−λ−
444342343332242322141312
aaa0aaa0aaa0aaa
=
=
λ−λ−
44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
+
λ−λ−
λ−
444341343331242321141311
aa0aaa0aaaaaa0a
+
+
λ−λ−
λ−
444342343332242322141312
aaa0aaa0aaa0aaa
+
λ−λ−
λ−λ−
4443343324231413
aa00aa00aa0aa0
=
CAPITOLUL III
108
=
λ−44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
+
λ−λ−
444241343231242221141211
a0aaaaaa0aaa0aa
+
+
λ−
λ−
444341343331242321141311
aa0aaa0aaaaaa0a
+
λ−λ−
λ−
4441343124211411
a00aa0aa0aa00a
+
+
λ−
λ−
444342343332242322141312
aaa0aaa0aaa0aaa
+
λ−λ−
λ−
4442343224221412
a0a0aa0a0a0a0a
+
+
λ−
λ−λ−
4443343324231413
aa00aa00aa0aa0
+
λ−λ−
λ−λ−
44342414
a000a00a00a00
=
=
44434241343332312423222114131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
+
λ−434241333231232221131211
aaa0aaa0aaa0aaa
+
+
444241343231242221141211
a0aaaaaa0aaa0aa
λ− +
λ−λ−
0aa0aa00aa00aa
4241323122211211
+
444341343331242321141311
aa0aaa0aaaaaa0a
λ− +
OPERATORI LINIARI
109
+
λ−
λ−
4341333123211311
a0a0a0a0aa0a0a
+
4441343124211411
a00aa0aa0aa00a
λ−λ− +
λ−λ−
λ−
00a00a00a000a
41312111
+
+
444342343332242322141312
aaa0aaa0aaa0aaaλ−
+
λ−
λ−
4342333223221312
aa00aa00aa00aa
+
4442343224221412
a0a0aa0a0a0a0a
λ−
λ−
+
+
λ−λ−
λ−
0a00a000a000a
42322212
+
4443343324231413
aa00aa00aa0aa0
λ−λ−
+
λ−
λ−λ−
43332313
a000a000a00a0
+
+
44342414
a000a00a00a00
λ−λ−
λ−
+ λ−
λ−λ−
λ−
000000000000
=
= (-λ)4 + (-λ)3(a11 + a22 + a33 + a44) + (-λ)2(22211211
aaaa +
33311311
aaaa +
+ 44411411
aaaa +
33322322
aaaa +
44422422
aaaa +
44433433
aaaa ) +
+ (-λ)1(333231232221131211
aaaaaaaaa
+ 444241242221141211
aaaaaaaaa
+ 444341343331141311
aaaaaaaaa
+
CAPITOLUL III
110
+ 444342343332242322
aaaaaaaaa
) + det A = (-1)4(λ4 - S1λ3 + S2λ2 – S3λ + S4).
Observaţie. Polinomul caracteristic al matricei A ∈ ℳn(K) este P(λ) = (-1)n (λn – S1λn - 1 + S2λn - 2 – S3λn - 3 + … + (-1)n Sn), unde Si, i = n,1 , reprezintă suma minorilor principali de ordinul i ai matricei A – λIn . Din forma lui P(λ) se observă că:
S1 = tr A = a11 + a22 + … + ann , Sn = P(0) = det (A – 0In) = det A.
Deoarece λ1λ2…λn = Sn = det A, rezultă că o matrice nesingulară are toate valorile proprii nenule. 14. Fie A ∈ ℳn(K). Să se arate că:
a) Matricele A, At au aceleaşi valori proprii. b) Dacă λ este valoare proprie pentru A, atunci λk este valoare
proprie pentru Ak, k ≥ 2. c) Dacă A este matrice nesingulară cu polinomul caracteristic
P(λ), atunci polinomul caracteristic pentru A-1 este
R(λ) = )1(P)0(P
)1( nn
λ⋅
λ− .
Soluţie. a) det (At - λIn) = det (A - λIn). b) det(Ak - λkIn) = det(A - λIn)(Ak - 1 + λAk - 2 +...+ λk - 2A + λk - 1In) =
= det (A - λIn) . det (Ak - 1 + λAk - 2 + ... + λk - 2A + λk - 1In). c) A nesingulară implică P(0) ≠ 0.
==== )λ(R)λ-(Adet)Iλ-A(A)
λ1-det()I
λ1-Adet()
λ1(P nn
1-n
= )λ(R)λ-()0(Pn .
OPERATORI LINIARI
111
Din relaţia demonstrată rezultă că dacă λ este valoare proprie
pentru A, atunci λ1
este valoare proprie pentru A-1.
15. Să se arate că două matrice asemenea A, B ∈ ℳn(K) au acelaşi polinom caracteristic. Soluţie. Deoarece A, B sunt asemenea, există o matrice nesingulară C astfel încât B = C –1AC. det (B – λIn) = det (C –1AC - λC –1C) = det C –1(A - λIn)C =
= det C –1 . det (A - λIn) . det C = det (A - λIn).
16. Să se afle ecuaţia caracteristică a matricei
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
422633211
.
Soluţie. Ecuaţia caracteristică a matricei A ∈ ℳn(ℝ) se poate scrie sub forma λn + p1λn - 1 + p2λn - 2 + p3λn - 3 + … + pn - 1λ + pn = 0, în care coeficienţii p1, p2, … , pn sunt soluţiile sistemului
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++++
=+++=++
=+
−−− 0npps...pspss......
0p3pspss0p2pss
0ps
n1n122n11nn
321123
2112
11
(relaţiile lui Newton),
unde: s1 = tr A = λ1 + λ2 + … + λn , s2 = tr A2 = λ1
2+ λ22+ … + λn
2, ….. sk = tr Ak = λ1
k+ λ2k+ … + λn
k. În cazul problemei, puterile matricei A sunt:
CAPITOLUL III
112
A2 = 2⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
422633211
, A3 = 4⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
422633211
,
deci s1 = tr A = 2, s2 = tr A2 = 4, s3 = tr A3 = 8. Din sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++=++=+
0p3p2p480p2p24
0p2
321
21
1
, rezultă p1 = -2, p2 = p3 = 0.
Deci ecuaţia caracteristică este λ3 - 2λ2 = 0. 17. Să se afle valorile şi vectorii proprii pentru matricea
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθθθθ
0sin2sin2sin0sin2sinsin0
, unde θ ≠ kπ, θ ≠ 3π
± + 2kπ.
Soluţie. Ecuaţia caracteristică este λ3 - (sin2θ + sin22θ + sinθ sin2θ)λ - sin2θ sin2θ(1 + 2cosθ) = 0.
Pentru cosθ ≠ 21
obţinem valorile proprii λ1 = sinθ + sin2θ,
λ2 = -sinθ, λ3 = -sin2θ şi vectorii proprii corespunzători: u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, -1 - 2cosθ, 1), u 3 = (2cos, 2cosθ, -1 - cosθ).
18. Să se arate că matricea A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa............
a...aaa...aa
, unde
numerele aij , i, j = n,1 , sunt nenegative şi ∑=
n
1jija = 1, admite pe λ = 1
ca valoare proprie.
OPERATORI LINIARI
113
Soluţie. Deoarece det (A - 1.I3) =
=
1a...aa............
a...1aaa...a1a
nn2n1n
n22221
n11211
−
−−
=
1a...a0............
a...1a0a...a0
nn2n
n222
n112
−
− = 0,
rezultă că λ = 1 este valoare proprie (s-au adunat toate coloanele la prima coloană). 19. Fie endomorfismul T: ℝ3 → ℝ3 definit prin T(x) = (2x1 - 2x2 + 3x3, x1 + x2 + x3, x1 + 3x2 - 3x3), pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 în baza canonică a lui ℝ3.
a) Să se afle valorile şi vectorii proprii; b) Să se determine subspaţiile proprii şi dimensiunile lor; c) Să se scrie matricea operatorului în baza formată cu
vectorii proprii. Soluţie. a) Din definiţia vectorilor proprii T(x) = λx, x ≠ 0 , rezultă sistemul
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−++=+−+=+−−
0x)λ1(x3x0xx)λ1(x
0x3x2x)λ2(
321
321
321
Sistemul admite soluţii nenule dacă λ131
1λ1132λ2
−−−−−
= 0,
adică λ3 - 2λ2 - 5λ + 6 = 0, din care rezultă valorile proprii: λ1 = -2, λ2 = 1, λ3 = 3. Pentru a afla vectorul propriu corespunzător valorii proprii λ1 = -2 se rezolvă sistemul vectorilor proprii
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=+−
0xx3x0xx3x
0x3x2x4
321
321
321
,
CAPITOLUL III
114
care admite soluţia x1 = 11x2, x3 = -14x2, x2 ∈ ℝ. Vectorii proprii sunt (11x2, x2, -14x2), x2 ∈ ℝ. Analog, vectorii proprii corespunzători valorilor proprii λ2 = 1, λ3 = 3 sunt (x1, -x1, -x1), cu x1 ∈ ℝ, respectiv (x1, x1, x1), cu x1 ∈ ℝ. b) S(-2) = {x ∈ ℝ3 | x = α(11, 1, -14), α ∈ ℝ}. O bază pentru S(-2) este {u 1 = (11, 1, -14)}, deci dim S(-2) = 1.
S(1) = {x ∈ ℝ3 | x = β(1, -1, -1), β ∈ ℝ}. O bază pentru S(1) este {u 2 = (1, -1, -1)}, deci dim S(1) = 1. S(3) = {x ∈ ℝ3 | x = γ(1, 1, 1), γ ∈ ℝ}. O bază pentru S(3) este {u 3 = (1, 1, 1)}, deci dim S(3) = 1. c) Deoarece T(u 1) = (-2)u 1, T(u 2) = 1u 2, T(u 3) = 3u 3, matricea lui T în baza {u 1, u 2, u 3} este
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
300010002
.
20. Folosind algoritmul lui Fadeev, să se afle polinomul caracteristic şi matricea asociată pentru
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
320222
021.
Soluţie. Algoritmul lui Fadeev permite calculul polinomului caracteristic şi al matricei asociate B(λ) (orice coloană nenulă a matricei B(λ0) este vector propriu al matricei A, corespunzător valorii proprii λ0). Ecuaţia caracteristică va fi
λn + p1λn - 1 + p2λn - 2 + ... + pn - 1λ + pn = 0, unde pentru determinarea coeficienţilor pi, i = n,1 , se folosesc formulele:
OPERATORI LINIARI
115
.IpAB,Atrn1p,ABA
;IpAB,Atr1n
1p,ABA......................................................................................
;IpAB,Atr21p,ABA
;IpAB,Atrp,AA
nnnnnn1nn
n1n1n1n1n1n2n1n
n2222212
n11111
+=−==
+=−
−==
+=−==
+=−==
−
−−−−−−−
Matricea asociată valorii proprii λ este
B(λ) = Inλn - 1 + B1λn - 2 + ... + Bn - 2λ + Bn - 1.
În cazul problemei avem:
A1 = A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
320222
021, p1 = -tr A = -6,
B1 = A1 + p1I3 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−
320242
025,
A2 = AB1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
524206461
, p2 = 21
− tr A2 = 21
− (-6) = 3,
B2 = A2 + p2I3 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 224236462
,
CAPITOLUL III
116
A3 = AB2 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
100001000010
, p3 = 31
− tr A3 = 31
− (-30) = 10.
Ecuaţia caracteristică este λ3 - 6λ2 + 3λ + 10 = 0, deci valorile proprii sunt λ1 = -1, λ2 = 2, λ3 = 5. Matricea asociată este
B(λ) = I3λ2 + B1λ + B2 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
2
λ000λ000λ
+ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−
λ3λ20λ2λ4λ2
0λ2λ5 +
+ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 224236462
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−+−+−+−
+−+−
2λ3λ2λ242λ23λ4λ6λ2
46λ22λ5λ
2
2
2
.
Pentru λ1 = -1 se obţine B(λ1) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
244488488
, deci vectorul
propriu corespunzător este u 1 = (2, 2, 1).
Pentru λ2 = 2 se obţine B(λ2) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
424212
424, deci vectorul
propriu corespunzător este u 2 = (2, -1, -2).
Pentru λ3 = 5 se obţine B(λ3) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
884884
442, deci vectorul
propriu corespunzător este u 3 = (1, -2, 2).
OPERATORI LINIARI
117
21. Să se studieze posibilitatea diagonalizării endomorfismului T: ℝ3 → ℝ3 definit prin: a) T(x) = (4x1 + 6x2, -3x1 - 5x2, -3x1 - 6x2 + x3), b) T(x) = (x1 - x2 + x3, 2x1 + 2x2 - x3, x1 - x2 + 2x3), c) T(x) = (2x1 - x2 + 2x3, 5x1 - 3x2 + 3x3, -x1 - 2x3), pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3. Soluţie. a) Matricea endomorfismului T în baza canonică din
ℝ3 este A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
163053064
.
Polinomul caracteristic, det (A - λI3) = λ163
0λ5306λ4
−−−−−−
− =
= (1 - λ)(λ2 + λ - 2) are rădăcinile λ1 = -2, λ2 = λ3 = 1, care reprezintă valori proprii ale lui T. Subspaţiul propriu S(1) = {x ∈ ℝ3 | x = (-2x2, x2, x3), x2, x3 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x2(-2, 1, 0) + x3(0, 0, 1), x2, x3 ∈ ℝ} are o bază formată din vectorii (-2, 1, 0), (0, 0, 1), dimS(1) = 2, care este egală cu ordinul de multiplicitate al rădăcinii 1.
Subspaţiul propriu S(-2) = {x ∈ ℝ3 | x = (x1, - x1, - x1), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x1(1, -1, -1), x1 ∈ ℝ} are o bază formată din vectorul nenul (1, -1, -1); dim S(-2) = 1. Endomorfismul este diagonalizabil şi matricea sa în baza formată din vectorii proprii, B1 = {(-2, 1, 0), (0, 0, 1), (1, -1, -1)}, este
CAPITOLUL III
118
D = S- 1AS = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 200010001
, unde S = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
110101
102 reprezintă
matricea schimbării de bază de la baza canonică la baza B1. b) Matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ3 este
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
211122
111.
Valorile proprii sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice (λ - 1)(λ - 2)2 = 0, adică λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2.
Subspaţiul propriu S(2) = {x ∈ ℝ3 | x = (x1, x1, 2x1), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x1(1, 1, 2), x1 ∈ ℝ} are dimensiunea 1, deci mai mică decât ordinul de multiplicitate al rădăcinii λ = 2. Endomorfismul nu este diagonalizabil. c) Matricea endomorfismului T în baza canonică din ℝ3 este
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
201335212
.
Valorile proprii sunt rădăcinile ecuaţiei caracteristice (λ + 1)3 = 0, adică λ1 = λ2 = λ3 = -1.
Subspaţiul propriu S(-1) = {x ∈ ℝ3 | x = (2x3, - x3, x3), x3 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℝ3 | x = x3 (2, -1, 1), x3 ∈ ℝ} are dimensiunea 1, deci mai mică decât ordinul de multiplicitate al rădăcinii λ = -1. Endomorfismul nu este diagonalizabil.
OPERATORI LINIARI
119
22. Să se studieze posibilitatea diagonalizării endomorfismului T: ℂ4→ℂ4 definit prin T(e 1) = e 3, T( e 2) = e 4, T(e 3) = - e 1, T(e 4) = -2e 2, unde B = {e 1, e 2, e 3, e 4} este baza canonică a ℂ-spaţiului ℂ4. Soluţie. Matricea endomorfismului în baza canonică este
A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
001000012000
0100
şi are polinomul caracteristic det (A - λI4) = (λ2 + 1)(λ2 + 2) cu rădăcinile λ1 = i, λ2 = -i, λ3 = i 2 , λ4 = - i 2 , care reprezintă valorile proprii ale lui T. Subspaţiile proprii sunt: S(i) = {x ∈ ℂ4 | x = (x1, 0, -ix1, 0), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x1( 1, 0, -i, 0), x1 ∈ ℝ}, S(-i) = {x ∈ ℂ4 | x = (x1, 0, ix1, 0), x1 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x1( 1, 0, i, 0), x1 ∈ ℝ}, S(i 2 ) = {x ∈ ℂ4 | x = (0, i 2 x4, 0, x4), x4 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x4(0, i 2 , 0, 1), x4 ∈ ℝ}, S(-i 2 ) = {x ∈ ℂ4 | x = (0, -i 2 x4, 0, x4), x4 ∈ ℝ} = = {x ∈ ℂ4 | x = x4(0, -i 2 , 0, 1), x4 ∈ ℝ}. Deoarece λj ∈ ℂ şi dim S(λj) = 1, ∀j ∈ {1, 2, 3, 4}, rezultă că T este diagonalizabil. Matricea S a schimbării de bază de la baza canonică a lui ℂ4 la baza B1 formată din vectorii proprii, B1={( 1, 0, -i, 0), ( 1, 0, i, 0), (0, i 2 , 0, 1), (0, -i 2 , 0, 1)} este
CAPITOLUL III
120
S =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
110000ii
2i2i000011
,
deci D = S- 1AS =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
2i00002i0000i0000i
.
23. Fie spaţiul euclidian ℝ3 dotat cu produsul scalar canonic şi endomorfismul f: ℝ3 → ℝ3 definit prin
f(x ) = (31 x1 +
32 x2 +
32 x3, 3
2 x1 + 31 x2 - 3
2 x3, 32 x1 - 3
2 x2 + 31 x3),
pentru ∀x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3. a) Să se arate că f este endomorfism ortogonal; b) Să se scrie matricea lui f în baza canonică şi să se arate că este ortogonală. Soluţie. a) f este endomorfism ortogonal dacă )x(f = x , ∀x ∈ ℝ3. Avem
)x(f 2 = 91 [(x1 + 2x2 + 2x3)2 + (2x1 + x2 - 2x3)2 +(2x1 - 2x2 + x3)2]=
= 91 (9x1
2 + 9x22 + 9x3
2) = x12 + x2
2 + x32 = x 2.
b) f( e 1) = 31 e 1 +
32 e 2 +
32 e 3,
f( e 2) = 32 e 1 +
31 e 2 - 3
2 e 3,
f( e 3) = 32 e 1 - 3
2 e 2 + 31 e 3,
deci matricea lui f în baza canonică este
OPERATORI LINIARI
121
A =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
31
32
32
32
31
32
32
32
31
.
Deoarece A.At =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
31
32
32
32
31
32
32
32
31
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
31
32
32
32
31
32
32
32
31
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
= I3,
rezultă că A este matrice ortogonală. 24. Să se arate că dacă λ1, λ2 sunt valori proprii distincte ale unui endomorfism simetric f: En → En, atunci S(λ1) şi S(λ2) sunt subspaţii ortogonale. Soluţie. Pentru ∀x ∈ S(λ1) şi ∀y ∈ S(λ2) ⇒ f(x ) = λ1 x , f( y) = λ2 y . Deoarece f este simetric, rezultă că <x , f( y)> = <f(x ), y>, deci <x , λ2 y> = <λ1 x , y> ⇒ ⇒ (λ1 - λ2)<x , y> = 0 ⇒ <x , y> = 0. 25. Endomorfismul f: ℝ3 → ℝ3 are în baza canonică B
matricea AB = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
124222421
. Să se arate că există o bază
ortonormată în care matricea lui f are forma diagonală. Soluţie. Deoarece baza canonică din ℝ3 este ortonormată şi AB este simetrică, rezultă că f este endomorfism simetric, deci diagonalizabil.
CAPITOLUL III
122
Valorile proprii sunt soluţiile ecuaţiei caracteristice (λ + 3)2(λ - 6) = 0, deci λ1 = λ2 = -3, λ3 = 6. Sistemul vectorilor proprii este
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−−=−+−=−+−
0x)λ1(x2x40x2x)λ2(x20x4x2x)λ1(
321
321
321
.
Pentru λ = -3 obţinem soluţia x1 = α, x2 = -2α + 2β, x3 = β, unde α, β ∈ ℝ*, deci subspaţiul propriu corespunzător este S(-3) = {x ∈ ℝ3 | x = α(1, -2, 0) + β(0, 2, 1), α, β ∈ ℝ}. Pentru λ = 6 obţinem soluţia x1 = 2α, x2 = α, x3 = -2α, unde α ∈ ℝ*, deci subspaţiul propriu corespunzător este S(6) = {x ∈ ℝ3 | x = α(2, 1, -2), α ∈ ℝ}. O bază în S(-3) este {u 1,u 2}, unde u 1=(1,-2, 0), u 2 =(0, 2, 1). Ortonormând această bază, rezultă: v 1 = u 1,
v 2 = u 2 - a v 1, a = 21
12
vv,u >< = -
54 ⇒ v 2 = (
54 ,
52 , 1).
Obţinem baza ortonormată { w 1, w 2}, unde
w 1 = 1
1vv = (
51 , -
52 , 0), w 2 =
2
2vv = (
534 ,
532 ,
535 ).
O bază în S(6) este {u 3}, unde u 3 = (2, 1, -2). Deoarece S(-3) şi S(6) sunt subspaţii ortogonale, normând această bază, rezultă
w 3 = 3
3uu = (
32,
31,
32
− ).
Deci B' = { w 1, w 2, w 3} este o bază ortonormată în ℝ3. Din w 1, w 2 ∈ S(-3), w 3 ∈ S(6) rezultă f(w 1) = -3w 1,
OPERATORI LINIARI
123
f( w 2) = -3w 2, f(w 3) = 6w 3. Deci în baza ortonormată B' = BS,
unde S =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
32
5350
31
532
52
32
534
51
, matricea lui f este
AB' = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
600030003
= StABS.
26. Se consideră spaţiul euclidian ℝ2 dotat cu produsul scalar uzual şi endomorfismul f: ℝ2 → ℝ2 definit prin f( x ) = (3x1 + x2, x1 + 3x2), pentru ∀x = (x1, x2) ∈ ℝ2. a) Să se arate că f este endomorfism simetric; b) Să se scrie matricea lui f în baza canonică şi să se arate că este simetrică; c) Să se scrie matricea lui f în baza B' = {u 1, u 2}, unde u 1= (1, 1), u 2 = (1, 2) şi în baza ortonormată obţinută din B'. Sunt simetrice cele două matrice? Soluţie. a) f este endomorfism simetric dacă <x , f( y)> = <f(x ), y>, ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2. Avem: <f(x ), y> = (3x1 + x2)y1 + (x1 + 3x2)y2, <x , f( y)> = x1(3y1 + y2) + x2(y1 + 3y2), de unde rezultă egalitatea. b) Fie B = {e 1, e 2} baza canonică din ℝ2. Avem f( e 1) = (3, 1) = 3 e 1 + e 2, f( e 2) = (1, 3) = e 1 + 3e 2,
deci matricea lui f în baza B este AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡3113
= ABt.
CAPITOLUL III
124
c) Din f(u 1) = (4, 4) = 4u 1, f(u 2) = (5, 7) = 3u 1 + 2u 2,
rezultă că matricea lui f în baza B' este AB' = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2034
≠ AB't.
Ortogonalizăm baza B' utilizând procedeul Gram-Schmidt.
v 1 = u 1 = (1, 1), v 2 = u 2 - a v 1, a = 21
12
vv,u >< =
23 ⇒
⇒ v 2 =(-21 ,
21 ). Rezultă baza ortogonală { v 1, v 2}.
Normând această bază obţinem baza ortonormată B'' = {w 1, w 2},
unde w 1 = 1
1vv =
21 (1, 1), w 2 =
2
2vv =
21 (-1, 1).
Din f(w 1) = 2
1 (4, 4) = 4 w 1,
f(w 2) = (- 2 , 2 ) = 21 w 2,
rezultă că matricea lui f în baza B'' este AB'' = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
21004
= AB''t.