aplic indicatorii variatiei
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
1/27
Aplicaia 1 Calculul indicatorilor variaiei i indicatorilor deasimetrie
Pentru lucrtorii unei fabrici se cunosc urmtoarele date cuprivire la numrul de piese executate de fiecare ntr-o perioad detimp. (date convenionale)
Tabelul 1
Grupe de muncitori dupnumrul de piese lucrate
Numr lucrtori
Sub 30 7
30-40 5
40-50 12
50-60 20
60-70 26
70-80 17
Peste 80 13
Total 100
Se cere:1. S se reprezinte grafic seria de date folosind frecvenele
reale i cele cumulate.2. Numrul mediu de piese realizat de muncitorii fabricii.3. Indicatorii simpli i sintetici ai variaiei.4. Indicatorii de asimetrie5. Media i dispersia pentru muncitorii care fac mai multe
piese dect media.
Rezolvare
1. Reprezentarea grafic a seriei se face cu :- histograma i poligonul frecvenelor;
- ogiva sau diagrama frecvenelor cumulate;
1
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
2/27
Astfel vom avea:
Histograma
0
5
10
15
20
25
30
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90
Numr piese lucrat
Numrmuncitori
Poligonul frecvenelo
0
5
10
15
20
25
30
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90
Numr piese lucrat
Numrmuncitori
2
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
3/27
Diagrama frecvenelor cumulate
0
20
40
60
80
100
120
20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90
Numr piese lucrate
Frecvenecumulate
2. Calculul numrului mediu de piese lucrate
Pentru acesta se folosete fomula mediei aritmetice cu frecveneabsolute.
.6,60100
6060buc
n
nxx
i
ii==
=
Tabelul 2
Grupe demuncitori dup
numrul de pieselucrate
ix
in ii nx in
cumulat
Sub 30 25 7 175 7
30-40 35 5 175 12
40-50 45 12 540 24
50-60 55 20 1100 44
60-70 65 26 1690 70
70-80 75 17 1275 87
Peste 80 85 13 1105 100
Total - 100 6060
3
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
4/27
3. Calculul indicatorilor de variaie
Indicatorii simpli ai variaiei:
1) Amplitudinea
- n mrimi absolutebucXXAx 602585minmax ===
- n mrimi relative
%991006,60
2585100minmax% =
=
=X
XXAx
2) Abaterile individuale de la medie
- n mrimi absolutexxd ii = (vezi tabelul 3)
- n mrimi relative
100%
=x
xxd ii (vezi tabelul 3)
3) Abaterile individuale de la medianPentru aceasta este necesar s calculm mai nti valoarea
medianei. Astfel vom avea:
- se stabilete locul medianei, dat de intervalul corespunztor primei
frecvene cumulate care depete 5,502
100
2
1==
+ in
70 > 50,5 [ ]70,60Me
4
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
5/27
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
6/27
25 7 -35,6 -58,7459 -37,5 -60
35 5 -25,6 -42,2442 -27,5 -44
45 12 -15,6 -25,7426 -17,5 -28
55 20 -5,6 -9,24092 -7,5 -12
65 26 4,4 7,260726 2,5 4
75 17 14,4 23,76238 12,5 20
85 13 24,4 40,26403 22,5 36- 100 -39,2 -64,6865 -52,5 -84
4) Abaterea maxim- n mrimi absolute
4,246,6085maxmax === xxd
- n mrimi relative
%26,401006,60
6,6085100max
%max=
=
=
x
xxd
5) Abaterea minim
- n mrimi absolute
6,356,6025minmin === xxd
- n mrimi relative
%74,581006,60
6,6025100min
%min =
=
=x
xxd
Indicatorii sintetici ai variaiei
Tabelul 4
6
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
7/27
ix
in ii nxx
iinMex
( ) ii nxx 2
ii nx 2
25 7 249,2 262,5 8871,52 4375
35 5 128 137,5 3276,8 6125
45 12 187,2 210 2920,32 24300
55 20 112 150 627,2 60500
65 26 114,4 65 503,36 109850
75 17 244,8 212,5 3525,12 95625
85 13 317,2 292,5 7739,68 93925- 100 1352,8 1330 27464 394700
1) Abaterea medie liniar de la medie (vezi tabelul 4)
528,13100
8,1352==
=
i
ii
n
nxxd
2) Abaterea medie liniar de la median (vezi tabelul 4)
3,13100
1330==
=
i
iiMe
n
nMexd
3) Dispersia sau variana
(vezi tabelul 4)
( )64,274
100
274642
2==
=
i
ii
xn
nxx
Calculul dispersiei prin metoda momentelor iniiale(vezi tabelul 4)
64,2746,60100
394700 222
2==
=
xn
nx
i
ii
x
7
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
8/27
Calculul simplificat al dispersiei(vezi tabelul 5)
Tabelul 5
ix
in
k
axx i
=
' ii nx 2'
25 7 -4 112
35 5 -3 45
45 12 -2 48
55 20 -1 20
65 26 0 075 17 1 17
85 13 2 52- 100 - 294
( ) ( )
64,27436,19294
656,6010100
294 22222'
==
==
=
axkn
nx
i
iii
x
unde: a este centrul intervalului cu frecvena maxim, iar kmrimea intervalului de grupare;
4) Abaterea medie ptratic
57,1664,2742 === xx
5) Coeficientul de variaie
%32,221006,60
528,13100 ===x
dv
x
x
8
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
9/27
%34,271006,60
57,16100 ===x
v xx
Observaie:Deoarece coeficientul de variaie are o valoare mai mic dect
35% se consider distribuia ca fiind omogen. De asemenea cu ctacest coeficient are o valoare mai mic cu att distribuia este maiomogen.
4. Calculul indicatorilor de asimetrie
Momente centrate i necentrate
Momentul de ordinul p n raport cu o valoare cunoscuta :
=
=m
i
i
p
i
i
p naxn
am1
*)(*1
)(
Momentul necentrat de ordinul p este momentul deordinul p pentru care originea a = 0 :
===
i
m
i
i
p
i
pp
n
nx
mm 1*
)0(
pentru : p = 0 , m0 = 1 ;p = 1 , m1 = x ;
p = 2 , m2 =22)(xx +
.
Momentul centrat de ordinul p pentru care originea aeste egal cu media aritmetic a seriei ( x ) :
=
==
i
i
m
i
i
p
i
ppn
nxx
xm 1*)(
)(
9
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
10/27
pentru : p = 0 , 0 = 1 ;p = 1 , 1 = 0 ;
p = 2 , 2 = x2 .
Tabelul 6
ix
in ( ) ii nxx
3 ( ) ii nxx 4
25 7 -315826 11243410
35 5 -83886,1 2147484
45 12 -45557 710689,1
55 20 -3512,32 19668,99
65 26 2214,784 9745,05
75 17 50761,73 730968,9
85 13 188848,2 4607896
- 100 -206957 19469861
1) Momentul centrat de ordinul 3 (vezi tabelul 6)
57,2069100
206957*)(
3
3 =
=
=
i
i
ii
n
nxx
2) Coeficienii de asimetrie propui de Karl Pearson
11,
= aso
as CMx
C
33,)(*3
= ase
as CMx
C
unde )(*3 eeo MxMM =
3) Coeficienii lui Pearson pentru exces i boltire
10
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
11/27
2
2
3
2
3
2
2
3
1 *1
==
2
2
4
2
=
unde :
=
i
i
ii
n
nxx *)(2
2 momentul centrat de ordinul 2
= i
i
ii
n
nxx *)(3
3 momentul centrat de ordinul 3
=
i
i
ii
n
nxx *)(4
4 momentul centrat de ordinul 4
4. Coeficientul de simetrie al lui Fisher (CaF)
4548,054,4549
57,2069
57,16
57,206933
3 =
=
==
aFC
5. Coeficientul de asimetrie al lui Yulle (CaY)
12
12
qq
qqCaY
+
=
unde : q1 = Me Q1q2 = Q3 Me 1 CaY 1
6. Coeficientul de asimetrie al lui Bawley (CasB)
11
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
12/27
''
''
12
12
qq
qqCasB +
=
unde : q1 = Me D1q2 = D9 Me
Pentru calculul celorlali coeficieni de asimetrie vor trebuicalculate valorile pentru modul, cuartile i decile conformexplicaiilor din capitolul anterior.
Interpretarea coeficienilor de asimetrie
Dac avem:- coeficienii > 0 seria prezint asimetrie la stnga;- coeficienii = 0 seria este perfect simetric;- coeficienii
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
13/27
Pentru aceasta problem coeficientul este mai mare dect 3,aadar distribuia este alungit.
3= apPapF CC
Interpretare:- dac acest coeficient este mai mic de 0 seria este aplatizat;- dac acest coeficient este egal cu 0 seria prezint distribuie
normal;- dac acest coeficient este mai mare dect 0 distribuia este
alungit;
5. Media i dispersia caracteristicii alternativeMedia
56,0100
56===
N
Mp
unde:M = numrul muncitorilor care realizeaz mai multe piese dectmedia;N = numrul total al muncitorilor
Dispersia( ) 2464,0)56,01(56,012 === ppp
Aplicaia 2 Calculul indicatorilor statistici pentru o seriede frecvene relative i pe intervale neegale
Despre veniturile realizate de angajaii unei companii se cunoscurmtoarele date:
Tabelul 1
Grupe de angajai dup venituri Structura angajailor n funcie
13
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
14/27
(zeci mii lei) de venituri (%)
250-300 20
300-400 28
400-600 24
600-1000 16
1000-2000 12
Total 100%
Se cere:
S se caracterizeze statistic seria folosind metoda grafic,indicatorii tendinei centrale, mediile de structur i indicatoriide variaie.
Rezolvare:
Seria privind repartiia angajailor dup venituri este peintervale neegale i cu frecvene relative.
Pentru reprezentarea grafic sunt necesare urmtoarele calculepentru a determina frecvenele reduse i cele cumulate.
Tabelul 2
Grupe dupvenituri
Structuraangajailor
( )%i
n
Mrimeaintervalului
(hi)
Raportul fa deprimul interval
1h
hK ii =
250-300 20 50 1
300-400 28 100 2
400-600 24 200 4
600-1000 16 400 8
1000-2000 12 1000 20
Total 100% - 35
14
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
15/27
Tabelul 3
Frecvene reduse
i
i
K
n (%)*
Frecvee relative cumulate
cresctor descresctor
20 20 100
14 48 80
6 72 52
2 88 28
0,6 100 12
- - -
Folosind datele din tabelul 3 se costruiesc histograma, poligonulfrecvenelor i diagrama frecveelor cumulate.
Astfel vom avea:
Reprezentrile grafice n SPSSAvnd n vedere c seria este un pe intervale neegale, pentru a
calcula indicatorii ce o caracterizeaz trebuie calculate centrele deinterval i apoi se va aplica formula de calcul simplificat.
Astfel vom avea:
Tabelul 4
Intervale devariaie
Frecvenarelativ
( )(% )*i
n
Centrulintervalului
( )ix
axi
250-300 20 275 -75300-400 28 350 0400-600 24 500 150600-1000 16 800 450
1000-2000 12 1500 1150
15
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
16/27
Total 100% - -
Tabelul 5axi ( ) *ii nax ( )
*2
ii nax Frecvenerelative
cumulate
-75 -1500 112500 20
0 0 0 48
150 3600 540000 72
450 7200 3240000 88
1150 13800 15870000 100- 23100 19762500 -
( )581350231350
100
23100
100
*
=+=+=+
= anax
x ii zeci mii lei
( )( ) =
= 2
*2
2
100ax
nax iix
( ) 14426453361197625350581100
19762500 2===
82,3791442642 ===xx zeci mii lei/angajat
%52,71100531
82,379100 ===xv x
Observaie: Distribuia angajailor dup venituri nu este omogendeoarece v>35%.
[ ]400,300Mo corespunztor frecvenei maxime
16
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
17/27
( )
( ) ( )66,366
12
800300
24282028
2028100300
21
1 =+=+
+=
+
+= hxMo o
zeci mii lei
[ ]600,4005,502
101
2
1==
+=
Men
Li
Me
85,417
28
485,50200400
2
1
*
1
1
*
*
inf =
+=
+
+=
=
m
m
i
i
i
n
nn
kxMe
[ ]400,30025,254
10111== QLQ
=
+=28
2025,25100300
1Q 318,75
MeQ =2
[ ]1000,60075,7510143
33 == QLQ
75,69316
7275,754006003 =
+=Q
43,082,379
66,366531=
=
=
x
as
MoxC
, ceea ce indic asimetrie
uoar la stnga;
( )8937,0
82,379
85,41753133=
=
=
x
as
MexC
17
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
18/27
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
47.082.374
62.176
1.9972.275
1.9972.275
75.31885.41785.41757.693
75.31885.41785.41757.693
13
13
==+
=
=+
=
+
=
QMeMeQ
QMeMeQCas
Valoarea 0.47 pentru coeficientul de asimetrie ne indic uoarasimetrie la stnga.
Analiznd rezultatele se constat c seria are caracter neomogen
deoarece coeficientul de variaie total este de 71,52%. Aceastsituaie era de ateptat deoarece seria are intervale neegale devariaie, iar frecvenele nu sunt distribuite uniform.
Aplicaia 3 Calculul mrimilor medii, a indicatorilor devariaie i asimetrie, interpretarea gradului de omogenitate,verificarea regulii de adunare a dispersiilor
Se cunosc urmtoarele date cu privire la distribuia magazinelordintr-un complex comercial n funcie de cifra de afaceri realizatntr-o sptmn i suprafaa comercial:
Tabelul 1
Grupe demagazine dup
suprafaa
Subgrupe de magazine dup cifra deafaceri (mil. lei) Total
Sub 100 100-200 200-300 300-400Peste400
18
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
19/27
comercial(mp)
Sub 60 5 2 1 - - 8
60-120 - 6 8 3 - 17
Peste 120 - - 1 2 2 5
Total 5 8 10 5 2 30
Se cere:1. Poligonul frecvenelor privind repartiia magazinelor dup cifra
de afaceri pe total i pe grupe dup suprafaa comercial;2. Calculul mediilor pe grupe i pe total;
3. Indicatorii sintetici ai variaiei pe fiecare grup i pe total;4. Interpretarea gradului de omogenitate pe grupe i pe total;5. Verificarea regulii de adunare a dispersiilor;6. Ce indicatori statistici se pot calcula pe baza regulii de adunare
a dispersiilor i cum se interpreteaz statistic aceti indicatori.
1.Reprezentarea grafic se face:
- pe total
- pe grupe
19
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
20/27
Repartiia magazinelor dup cifra de afaceri
0
2
4
6
8
10
12
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500
Cifra de afaceri (mil. lei )
Numrmagazine
Repartiia magazinelor dup cifra de afaceri
0
2
4
6
8
10
12
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500
Cifra de a faceri (mil lei)
Numrmagazine
Total
Gr I
Gr II
Gr III
2. Calculul mediilor
Mediile de grup
=
ij
ijj
i n
nyy
20
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
21/27
1008
125021505501 =
++=y mil lei
35.23217
3350825061502 =
++=y mil lei
3705
2450235012503 =
++=y mil lei
Media general ( 0y )
=j
jj
n
nyy0
22030
245053501025081505500 =
++++=y
sau pe baza mediilor de grup, media general este:
22030
53701735.23281000
0
=++
=
=
y
n
nyy
i
ii
3. Calculul indicatorilor sintetici ai variaiei
Dispersiile de grup
( )
=
ij
ijij
i
n
nyy2
2
21
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
22/27
( ) ( ) ( )5000
8
11002502100150510050222
2
1 =++
=
( ) ( ) ( )
41.498217
098.84701
17
335.232350835.232250635.232150222
2
2
==
=++
=
( ) ( ) ( )5600
5
237045023703501370250222
2
3 =++
=
Dispersia total
( )
=
j
jj
n
nyy2
02
0
( ) ( ) ( )
( ) ( )66.12766
30
383000
30
22204505220350
30
102202508220150522050
22
222
2
0
==+
+
+++
=
4. Interpretarea gradului de omogenitate pe grupe i pe total
Pentru aceasta trebuie calculai coeficienii de variaie pegrupe i pe total, astfel:
%71.70100100
71.70100
71.705000
1
11
2
11
===
===
yv
22
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
23/27
%37.3010035.232
58.70100
58.7041.4982
2
22
2
22
===
===
yv
%22.20100370
83.74100
83.745600
3
33
2
33
===
===
yv
%35.51100220
98.112100
98.11266.12766
0
00
200
===
===
yv
Comparnd rezultatele obinute se constat c :
Prima grup nu este omogen deoarece coeficientul devariaie este mai mare dect 35%;
A doua, respectiv a treia grup se consider omogenedeoarece coeficientul de variaie este mai mic dect 35%;
Colectivitatea general nu este omogen deoarececoeficientul de variaie este mai mare de 35%;
Se poate concluziona c gradul de omogenitate nu esteridicat i deci mediile nu caracterizeaz corectcolectivitile.
6. Verificarea regulii de adunare a dispersiilor
222
0 +=
23
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
24/27
( )
( ) ( ) ( )
42.7676
30
88.230292
30
11250088.2592115200
30
52203701722035.2328220100222
2
02
==++
=
=++
=
=
=
j
ji
n
nyy
24.509030
556001741.4982850002
2=
++=
=
j
ji
n
n
12766,66 = 7676,42 + 5090,24
7. Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calculacoeficientul de determinaie i cel de nedeterminaie, astfel:
Coeficientul de determinaie
%12.6010066.12766
42.7676100
2
0
22
===
xyR
Coeficientul de nedeterminaie
%88.3910066.12766
24.5090100
2
0
22
===
xyK
24
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
25/27
Se poate afirma c 60,12% din variaia total estedeterminat de factorul principal de grupare, respectiv suprafaacomercial, restul de 39.88% fiind influena altor factori de grupare.
PROBLEME PROPUSE
1. Pentru un agent economic se cunosc datele:
Grupe de salariai dup valoareavnzrilor relizate (mil lei)
Numr salariai
Sub 100 4
100-140 11
140-180 15
180-220 30
220-260 18
25
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
26/27
260-300 12
Peste 300 10
Total 100
Se cere:1. S se reprezinte grafic distribuia salariailor dup valoarea
vnzrilor;2. S se calculeze indicatorii simpli i sintetici ai variaiei;3. S se specifice dac distribuia salariailor dup valoarea
vnzrilor este omogen;
2. Pentru 400 de elevi ai unei coli se cunosc datele:
Grupe de elevidup vrst
(ani)
Numrelevi
Bani de buzunar(mii lei)
Abaterea medieptratic pentrubanii de buzunar
(mii lei)
Sub 10 125 100 12,5
10-16 175 150 16,8
Peste 16 100 180 14,3
Se cere:1. S se reprezinte grafic structura elevilor dup vrst;2. S se verifice omogenitatea pe grupe i pe total;
3. S se determine n ce msur variaia banilor debuzunar se datoreaz vrstei.
3. Dintr-un sondaj statistic de 10% proporional stratificat s-auobinut datele:
Grupe de ag
ec dup Grupe de ageni economici dup mrimeacifrei de afaceri (mld lei)
26
-
8/2/2019 Aplic indicatorii variatiei
27/27
numrul desalariai
TotalSub10
10-20 20-30 30-40 40-50 Peste50
Sub 20 5 8 6 1 - - 20
20-30 - 3 12 10 5 - 30
Peste 30 - - 6 24 8 2 40
Total 5 11 24 35 13 2 90
Se cere:
1. S se reprezinte grafic distribuia agenilor economici dupmrimea cifrei de afaceri pe total;
2. S se verifice regula de adunare a dispersiilor i s se aratedac factorul de grupare este semnificativ sau nu;
3. S se caracterizeze omogenitatea pe fiecare grup i pe total;4. S se msoare gradul de asimetrie pentru ultima grup;
27