apeirostikos logismos i · 2013-12-18 · apeirostikos logismos i 4. ori'o kai sunèqeia...

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

1 OktwbrÐou 2012

APEIROSTIKOS LOGISMOS IKwdikìc Maj matoc: 101 (U)

'Etoc didaskalÐac: 2012-2013, Qeimerinì Ex�mhno

Hmèrec didaskalÐac: Deut. - Tet. - Par. , 11:00-13:00

Did�skontec

Tm ma 1o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21,

BasÐleioc NestorÐdhc,

GrafeÐo: 307, thl. 210-7276304,

e-mail: [email protected]

Tm ma 2o (AM pou l gei se 3,4,5,6) Amf 23,

Le¸nh Euaggel�tou-D�lla,

GrafeÐo: 207, thl. 210-7276375,


Tm ma 3o (AM pou l gei se 7,8,9) Amf 24,

MarÐa PapatriantafÔllou,

GrafeÐo: 201, thl. 210-7276349,



IstoselÐda Maj matoc:

http://eclass.uoa.gr/courses/MATH130/


Perigraf Maj matoc:

1 PragmatikoÐ arijmoÐ

2 AkoloujÐec pragmatik¸n arijm¸n

3 Sunart seic

4 Sunèqeia kai ìrio sunart sewn

5 Par�gwgoc


1. PragmatikoÐ arijmoÐ:

Axiwmatik jemelÐwsh twn Pragmatik¸n arijm¸n

FusikoÐ, Akèraioi kai RhtoÐ arijmoÐ

AxÐwma plhrìthtac

'Uparxh tetragwnik c rÐzac

'Arrhtoi arijmoÐ

Akèraio mèroc

Puknìthta twn rht¸n kai twn arr twn stouc

pragmatikoÔc arijmoÔc

Klassikèc anisìthtec

APEIROSTIKOS LOGISMOS IRhtoÐ arijmoÐ

Η διαγώνια μέθοδος του Cantor και η « 1- 1 » αντιστοιχία με τουςφυσικούς αριθμούς

APEIROSTIKOS LOGISMOS I'Arrhtoi arijmoÐ

Το σοκ του Πυθαγόρα: Υποτείνουσα ορθογωνίων τριγώνων


Qrus tom : φ = 1+√5

2 = 1.6180339887...

Gewmetrik� prokÔptei mèsw thc analogÐac: a+ba = a

b ≡ φ

Algebrik� prokÔptei wc jetik rÐza thc exÐswshc:

x2−x−1 = 0

Ti ekfr�zei pragmatik� autìc o arijmìc?


Αρμονία στην αρχιτεκτονική του Παρθενώνα, 438 π.Χ.


Αρμονία στο έργο του Da Vinci - Vitruvian Man, 1487 μ.Χ.


Υπερβατικοί αριθμοί - Ρητή προσέγγιση του π με 999 δεκαδικά ψηφία


2. AkoloujÐec pragmatik¸n arijm¸n:

SugklÐnousec akoloujÐec

Monìtonec akoloujÐec

Kibwtismìc diasthm�twn

Anadromikèc akoloujÐec

APEIROSTIKOS LOGISMOS IAkoloujÐec

Ti eÐnai mia akoloujÐa pragmatik¸n arijm¸n?

EÐnai mia apeikìnish apì to sÔnolo N sto R.Mèsw tÔpou:

1 αn = n√n, limn→∞

n√n = 1

2 αn = (1+1/n)n, limn→∞(1+1/n)n = e = 2,71828...

Mèsw anadromik c sqèshc:

1 αn+1 =√1+αn, n ≥ 1, α1 = 1, limn→∞ αn = φ .

2 Ακολουθία Fibonacci: αn = αn−1+αn−2, α0 = 0, α1 = 1,limn→∞ αn =+∞, limn→∞

αn+1αn

= φ .

AkoloujÐa twn pr¸twn arijm¸n:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, ...

Up�rqei sun�rthsh anadromikìc tÔpoc pou na dÐnei thn

parap�nw akoloujÐa?



EÐnai mia apeikìnish apì to sÔnolo N sto R.

Mèsw tÔpou:


n√n = 1

2 αn = (1+1/n)n, limn→∞(1+1/n)n = e = 2,71828...


1 αn+1 =√1+αn, n ≥ 1, α1 = 1, limn→∞ αn = φ .


αn+1αn

= φ .


2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, ...





EÐnai mia apeikìnish apì to sÔnolo N sto R.Mèsw tÔpou:


n√n = 1

2 αn = (1+1/n)n, limn→∞(1+1/n)n = e = 2,71828...


1 αn+1 =√1+αn, n ≥ 1, α1 = 1, limn→∞ αn = φ .


αn+1αn

= φ .


2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, ...




Φραγμένη - μη συγκλίνουσα ακολουθία πραγματικών αριθμών

απείρων όρων


3. Sunart seic:

BasikoÐ orismoÐ

Algebrikèc sunart seic

Trigwnometrikèc sunart seic

Ekjetik sun�rthsh

APEIROSTIKOS LOGISMOS IPragmatikèc sunart seic

Γράφημα πολυωνυμικής συνάρτησης 4ouβαθμού


Γράφημα τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου

θ

sin θ

0

1

−1

2π


Γράφημα αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου

θ

arcsinθ

0

1

π/ 2


Gr�fhma trigwnometrik c sun�rthshc efaptomènhc

θ

tan θ

0

π

2π


Gr�fhma antÐstrofhc trigwnometrik c sun�rthshc

efaptomènhc

θ

arctanθ

0

−π/ 2

π/ 2


Γράφημα εκθετικής συνάρτησης για α > 1

x

y

0

y = ax

1


Γράφημα λογαριθμικής συνάρτησης για α > 1

x = logax

1 x

y

0


Η συνάρτηση f (x) =

{x , για x ∈Q

−x , για x /∈Q.


4. 'Orio kai Sunèqeia Sunart sewn:

H ènnoia tou orÐou sun�rthshc - Sunèqeia.

Arq thc metafor�c

Sunèqeia gnwst¸n sunart sewn

Sunèqeia kai topik sumperifor�

Je¸rhma endi�meshc tim c

'Uparxh megÐsthc kai elaqÐsthc tim c gia suneqeÐc

sunart seic orismènec se kleist� diast mata - Monìtonec

sunart seic

SuneqeÐc kai {1-1} sunart seic

AntÐstrofec trigwnometrikèc sunart seic

Logarijmik sun�rthsh


5. Par�gwgoc:

Eisagwg : ParadeÐgmata apì th GewmetrÐa kai th Fusik .

H ènnoia thc parag¸gou

Kanìnec parag¸gishc

Par�gwgoi basik¸n sunart sewn

Je¸rhma mèshc tim c

Je¸rhma Darboux

Krit ria monotonÐac sun�rthshc

Krit ria topik¸n akrot�twn

Genikeumèno je¸rhma mèshc tim c

Kanìnec De L’Hospital

Kurtèc kai koÐlec sunart seic - ShmeÐa kamp c

Melèth sunart sewn

APEIROSTIKOS LOGISMOS IPar�gwgoc sun�rthshc


{sin(1/x), x 6= 0

0 , x = 0


Η συνάρτηση g(x) =

{xsin(1/x), x 6= 0

0 , x = 0


Η συνάρτηση h(x) =

{x2sin(1/x), x 6= 0

0 , x = 0



{x2, για x ∈Q

−x2, για x /∈Q.

APEIROSTIKOS LOGISMOS IBibliografÐa

Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας:

« Απειροστικός Λογισμός Ι », Εκδόσεις Συμμετρία.

Λ. Τσίτσας: « Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός », Εκδόσεις

Συμμετρία.

M. Spivak: “ Calculus ”, Benjamin (κυκλοφορεί σε Ελληνικήμετάφραση με τίτλο: « Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός

», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.)

R. Courant and F. John: “ Introduction to Calculus and Analysis ”,Vol. I, Interscience.

G. H. Hardy: “ A Course in Pure Mathematics”, CambridgeUniversity Press.

S. Salas and E. Hille: “ Calculus ”, John Wiley.

R. Bartle and D. Sherbert: “ Introduction to Real Analysis ”, JohnWiley.

apeirostikos logismos i · 2013-12-18 · apeirostikos logismos i 4. ori'o kai sunèqeia...

Documents