ΣυστήματαΣυστήματα μεταβλητήςμεταβλητής μάζαςμάζας

rocketlaunchrocketlaunch

Συστήματα μεταβλητής μάζας:πως??Σταγόνα βροχής συμπύκνωση υδρατμών τηνμεταβολή μάζας.Μάζα m,ταχύτητα σταγόνων v,ταχύτητα υδρατμών vo και ρυθμός συμπύκνωσηςdm/dt

( )ovvdt

dm

dt

vdmF

-+=

dt

mVd

dt

dPF

)(==

επιτάχυνση σταγόναςρυθμός κέρδουςκέρδους ορμήςλόγω προσθήκης υδρατ-μών (μη μηδενικός όρος!)

( )ovvdt

dm

dt

dvmF -+=

““LaLaTomatinaTomatina””,, ΒαλέντσιαΒαλέντσια ((απόαπό τοτο 19401940……))

tΔPudt

dmF

= /)(kg/s)(m/s

u=0u=0 u=uu=uxx

u=u=uuxx u=u=00FF

F,vF,v

( )ovvdt

dm

dt

vdmF

-+=

uv

dt

dm

Κίνηση πυραύλου (Tipler)(Tipler)

mvt ,, mmvvtt -++ , ,

rocketexaustearthgazearthrocket vuvm /// )( , =-

( )( ) ( )

muvmmvmumvvmmvvmmv

uvmvvmmP

mvP

tt

t

-+=-+--+=

=-++-=

=

+

)(0

/ &

0

thrustώ

ttt

Famdt

dmu

dt

vdm

dt

Pd

dtdtt

muvmPPP

-=-==

-=-== +

v

dt

dmuFam thrust

-==

εξίσωσηεξίσωσηκίνησηςκίνησηςπυραύλουπυραύλουχωρίςχωρίς

εξωτερικέςεξωτερικέςδυνάμειςδυνάμεις

gmdt

dmu

Fdt

vdmam ώ

--=

=-== gm

--=

--=

t

o

m

m

v

v

dtgm

dmudv

gdtm

dmudv

f

i

f

i

gtm

muvv

i

f

if -

-=- ln

ΑπόΑπό τητη γηγη::(εξωτ.δυνάμεις)κατακόρυφα

εξεξ..κίνκίν..πυραύλουπυραύλουωςως προςπρος τητη γηγη

(μιαμια διάστασηδιάσταση,χωρίζωχωρίζω μεταβλητέςμεταβλητές)

gtm

muvv

i

f

if -

-=- ln

κάηκαν!m

m

skmu

διάρκειαstv

i

f

i

%901.0

/1

100 & 0

=

=

==

)( /3.1/981,0/3.2 γηskmskmskmv f -=

) (

/3.2

ά

skmv f =

gtvgtvv ff -=-= 3.2

σεσε τροχιάτροχιά??

στηστηγηγη

ύίm

muvv

ύίmadt

dvmRu

dt

dmR

final

initialinitialfinal 2 ln

1

=-

===-

( )

kgm

kgm

NF

skgdt

dm

skmu

fin

in

thrust

6

6

1077.0

1085.2

000,000,34

!!!/800,13

/46.2

=

=

SaturnVApollo11SaturnVApollo11

165 + 335 seconds(2 burns)(2 burns)

Burn time1 MN (225,000 lbf)Thrust11EnginesThird Stage360 secondsBurn time5 MN (1,000,000 lbf)Thrust5 5 Engines

Second Stage150 secondsBurn time34.02 MN (7,648,000 lbs)Thrust55Engines

First Stage

11.2km/s11.2km/sgt

m

muvv

i

f

if -

-=- ln

uumaxmax

• Από Vαρχ=0• Vδιαφυγής=11,2 km/s (~ 8 η πρώτη)• Με u~4km/s Mτελ~Mαρχ exp(-2,8)= ~Mαρχ /

16,4• Ο χρόνος επιτάχυνσης στο πεδίο βαρύτητας

της γης ελάχιστος• Επιστροφή 11,20 km/s συνολικά 22,4• Mτελ~Mαρχ exp(-5,6)= ~Mαρχ /270(χωρίς αεροδυναμικό φρένο)

( )u

vv

f

i

if

em

m-

=

ΤύποςΤύπος τουτου ΤσιολκόφσκιΤσιολκόφσκι

ΑπλέςΑπλές διατάξειςδιατάξεις πρόωσηςπρόωσης

Τσιολκόφσκι(1857-1935)

1903

ΕλεύθερηΕλεύθερη πτώσηπτώση 39.1m.39.1m.ΤοΤο ύψοςύψος τουτου πύργουπύργου 67.9m.67.9m.ΗΗ επιτάχυνσηεπιτάχυνση ((εμπέδησηεμπέδηση))φρένουφρένου 4.0g's.4.0g's.

DropzoneDropzone

HH

a/ga/g

tt

tt

a=0a=0

ΕλεύθερηΕλεύθερη πτώσηπτώση

ΚίνησηΚίνηση τουτου αεροπλάνουαεροπλάνου γιαγια μηδενικήμηδενική βαρύτηταβαρύτητα

Variables:a – acceleration t – timev – velocity g –

gravityy – position

Equations of Motion:Equations of Motion:

a = a = --gg

∫∫ a dt = a dt = -- ∫∫ g dtg dt

∫∫ a dt = a dt = -- g g ∫∫ dtdt

v = v = -- gt + Vgt + Voo

∫∫ v dt = v dt = -- g g ∫∫ (t + V(t + Voo//gg)dt)dt

y = y = --gtgt22/2 + V/2 + Voo t + yt + yoo

παραβολήπαραβολή

Τι σχήμα πρέπει να έχει η τροχιά του αεροπλάνου για

να αντισταθμίζει η επιτάχυνσή του το g?

gtm

muvv

i

f

if -

-=- ln

http://www.zerogravityflights.net/faq.asphttp://www.zerogravityflights.net/faq.asp

microgravitymicrogravity

KCKC--135135

http://www.youtube.com/watch?v=6nHj3mKwNTMhttp://www.youtube.com/watch?v=6nHj3mKwNTM

ΑσκήσειςΑσκήσεις σεσε μεταβλητέςμεταβλητέςμάζεςμάζες

( )( ) ( )

dt

dmu

dt

vdm

dt

Pd

dtέmuvmvm

muvmvmvmvmvm

uvmvvmmP

vmP

tt

t

-=

-+=

-+--+=

=-++-=

=

+

/

0=--+== gmdt

dmu

dt

dmv

dt

vdm

dt

PdF

( )( )( ) -+--=++

=

dmvududmmdttPdtt

umtPt

)(

)(

-+= dtdmvumddmutPd /)(

0)(

=-+=dt

dmv

dt

udm

dt

dmu

dt

tPd

5.25.244 ΠύραυλοςΠύραυλος μεμε αρχικήαρχική μάζαμάζα mmoo κινείταικινείται απόαπό τηντηνκατάστασηκατάσταση ηρεμίαςηρεμίας καικαι σεσε χρόνοχρόνο tt απαπooκτάκτά ταχύτηταταχύτηταuu ξοδεύονταςξοδεύοντας καύσιμακαύσιμα μάζαςμάζας mm. . ΟΟ πύραυλοςπύραυλος είναιείναιστοστο διάστημαδιάστημα χωρίςχωρίς πεδίοπεδίο βαρύτηταςβαρύτητας γηςγης καικαι οιοι τριτρι--βέςβές αμελητέεςαμελητέες. . ΒρείτεΒρείτε τητη σχέσησχέση ταχύτηταςταχύτητας καικαι μάζαςμάζας. . ΤαΤα αέριααέρια τηςτης καύσηςκαύσης ωςως προςπρος τοντον πύραυλοπύραυλο είναιείναι V.V.

διότιδιότι δενδεν ασκούνταιασκούνταιεξωτερικέςεξωτερικές δυνάμειςδυνάμεις

=+- άdt

udm

dt

dmvu 0)(

=+ 0dt

dum

dt

dmV

0=+dt

dum

dt

dmV

-=

mm

mVu

o

oln

=- - umm

m

dum

Vdmo

o0

5.85.8Βυτιοφόρο κινείται οριζόντια χωρίς τριβές με σταθεσταθε--ρήρή ταχύτητα uu.. Μια τρύπα διατομής SS δημιουργείται στοτοίχωμα του βυτίου και το νερόνερό βγαίνει με σταθερήσταθερή παρο-χή Π και ταχύτητα uuoo.. Ποια πρόσθετη δύναμη (με το πρό-σημο) πρέπει να εφαρμοσθεί στο όχημα για να μην αλλά-ξει η ταχύτητά του αν η τρύπα είναι στο εμπρός κάθετοτοίχωμα, στο πίσω ή στο πλάϊ.

( ) 0 ,' ==-==dt

udήuάuu

dt

dm

dt

dPF

( ) oo udt

dmu

dt

dmF =--=

ΠήH

uuuuoo

( )

( )

ς)της κίνησηδιεύθυνση

την η F κάθετηu-u'uό F

uSuuuSuudt

dmF

uSuuuSuudt

dmF

xoxoo

xoxoo

( 0 .3

ˆˆ .2

ˆˆ .1

2

2

==

==-=

-=-==

=====dt

dtSu

dt

dV

dt

dm

dt

dtSu

dt

Sdl

dt

dV oo &

ΓιαΓια τιςτις 33περιπτώσειςπεριπτώσεις

MM5bMM5b Πύραυλος συγκρατείται στον αέρα σε μικρό σταθερόύψος πάνω από την επιφάνεια της γης,εκτοξεύοντας αέριαμε ταχύτητα uu.Να βρεθούν ((αα)) πόσο χρόνο ο πύραυλος θασυγκρατείται στον αέρα αν η αρχική μάζα των καυσίμωνείναι kk--μέροςμέρος τηςτης συνολικήςσυνολικής μάζαςμάζας τουτου πυραύλουπυραύλου ((ββ)) Ποιαμάζα μμ(t)(t) αερίων πρέπει να εκτοξεύει ο πύραυλος κάθε sγια να παραμένει στο ίδιο ύψος αν η αρχική του μάζα μαζίμε τα καύσιμα είναι mmoo (γ)χαράξτε την γραφική μμ==μμ(t)(t)

=+= )( 0 & )( ίdt

dvu

dt

dmF

dt

dvma ά

-=-=

+= )1( 0

0

tm

m

dtu

g

m

dmdt

u

g

m

dmu

dt

dmmg

o

( ) mmmk o / -=ln

(2) 1

lnlnln

-

=

=-=

k

k

g

u

m

m

g

utt

t

g

m

m

oo

u

gt

oemmmu

g

dt

dm μ

-

=

=-= )2( )(

u

gt

oemu

g -

-=

0t(s)0t(s)

(g/u)m(g/u)m

||μμ||

•• ΆσκησηΆσκηση 4.32 (4.32 (ΙΙ&&ΤΤ))•• ΆσκησηΆσκηση 5.9 (5.9 (ΙΙ&&ΤΤ))•• ΆσκησηΆσκηση 5.10 (5.10 (ΙΙ&&ΤΤ))

MM5.9MM5.9 ΈναΈνα κομμάτικομμάτι πάγουπάγου 1kg1kg κινείταικινείται πάνωπάνω σεσε έναένακεκλιμένοκεκλιμένο επίπεδοεπίπεδο γωνίαςγωνίας αα=30=30οο..ΟΟ συντελεστήςσυντελεστής κινηκινη--τικήςτριβήςτικήςτριβής μμκινκιν μεταξύμεταξύ πάγουπάγου καικαι επιπέδουεπιπέδου είναιείναι 0,5.0,5.ΘερμαινόμενοςΘερμαινόμενος οο πάγοςπάγος χάνειχάνει μάζαμάζα σύμφωνασύμφωνα μεμε τητησχέσησχέση m=mo(1m=mo(1--0,5t).0,5t). ΠοιαΠοια είναιείναι ηη ταχύτηταταχύτητα τουτουπάγουπάγου μετάμετά απόαπό χρόνοχρόνο 1s?1s?

( )( )+-=+

=

+ duudmmPdtt

muPt

dtt

t

:

:

( ) mCaamgdt

dmu

dt

dum =-=- cossin

αααα

xxyy

ήx FBdt

dmu

dt

dum

dt

dP

dtudmmdudP

-=-=

-= /

CC==σταθεράσταθερά

FFτριβτριβ

ΒΒ

( )

Cm

m

u

dt

dum

dt

dm

tmmεπειδήCdt

dm

m

u

dt

du

oo

o

=

---=

-==-

22

5.01 &

( ) mCaamgdt

dmu

dt

dum =-=- cossin

( ) -=--

=-

-=-

+

CCtutdt

du

Ct

u

dt

duC

t

u

dt

du

22

2

2

( )

-+=

-+

tm

um

dt

du

t

m

m

u

dt

du

o

oo

o 2

2

25.012

( ) -=

- dtCCtdt

dt

tud)2(

2

smu

CCC

u

/985.0

657,022

-=

-=

( ) -=-- CCtutdt

du22

( )

( ) ( ) ( ) ( ) uuuu

όάCtCt

tu

=+-=---=---

-=-

21212021

|2|2

|2 1

0

1

0

21

0

( )

657.0~

5.0,866.0cos

,5.0sin,/81,9

cossin

2

C

smg

Caag

==

==

=-

5.17 Μικρό αεροπλάνο είναι δεμένο στο άκρο νήμα-τος μήκους LL με το άλλο άκρο του σταθεροποιημένο. Το αεροπλάνο εκτοξεύει καύσιμα με σταθερή ταχύτη-τα uu που είναι συνεχώς εφαπτόμενηεφαπτόμενη στη τροχιά. Αν ημάζα του αεροπλάνου μεταβάλλεται σαν m=mm=moo(1(1--λλt)t)(λλ γνωστή σταθερά) και η αρχική του ταχύτητα ήτανvvoo, υπολογίστε τη τάση TT του νήματος τη στιγμή πουη μάζα του θα γίνει μισήμισή της αρχικής

( )( )( ) dmvvdvdmmdtt

vmt

'

-+--+

( ) TdtdmuvmddmvvvmdPd

+=-+= /'

uu

( ) TdtdmuvmddmvvvmdPd

+=-+= /'

omdt

dmT

dt

dmu

dt

vdm -==+ &

Tumdt

vdm o

=-

( ) =-

=-

umdt

dvtm

umdt

dvm

oo

o

1

0εφαπτομενικήεφαπτομενικήσυνιστώσασυνιστώσα

( )tuvvt

dtudv o

tv

vo

--=-

= 1ln1

0

κεντρομόλοςκεντρομόλοςδύναμηδύναμη

( )( ) 2

2

1ln1

tuvL

tm

L

mvT o

o

---

==

καικαι γιαγια μισήμισή μάζαμάζα ==2

1

2t

mm o 22ln

2uv

L

mT o

o +=

uu

5.21 5.21 ΈναΈνα όχημαόχημα γεμάτογεμάτο μεμε άμμοάμμο, , πουπου αρχικάαρχικά έχειέχειμάζαμάζα mmoo,, αρχίζειαρχίζει νανα κινείταικινείται υπόυπό τηντην επίδρασηεπίδραση σταστα--θερήςθερής δύναμηςδύναμης FF. . ΑπόΑπό οπήοπή στονστον πυθμέναπυθμένα τουτου οχήοχή--ματοςματος πέφτειπέφτει άμμοςάμμος μεμε σταθερόσταθερό ρυθμόρυθμό λλ(kg/s)(kg/s).. ΒρείΒρεί--τετε τητη ταχύτηταταχύτητα uu τουτου οχήματοςοχήματος συναρτήσεισυναρτήσει τουτου t.t.

( )( )( ) -+--=++

=

dmuududmmdttPdtt

umtPt

)(

)(

dmuumddmuPd-+=

άί

tmm o

-=

==dt

udmF

dt

Pd

( )( )

=-

=- ut

o

oF

du

tm

dtF

dt

dutm

00

( ) ( )

o

o

o

o

m

tmFu

F

u

m

tm

-==

-lnln

1

5.155.15 Σώμα αρχίζει ελεύθερη πτώση από ύψος hh τηχρονική στιγμή t=0.Κατά τη πτώση η μάζα του σώ-ματος μεταβάλλεται σύμφωνα με το νόμο m=moexp(-αt), όπου αα γνωστήγνωστή >0>0σταθεράσταθερά.Η μάζα εκτοξεύ-εται οριζόντια με σταθερήσταθερή ταχύτηταταχύτητα uu ως προς τηγη.Υπολογίστε τη εξίσωση της τροχιάς του σώματος(επ>ταχ>y)

( )( ) dtudmvdvdmmdtt

vmt

/-+++

=-+ gmdt

dmu

dt

dmv

dt

vdm

( ) =-- - gmemuvdt

vdm t

o

( ) guv

dt

vd

=--

( ) -=-=-- gvdt

dvvu

dt

dvy

y

x

x & 0

=-

xv t

x

x dtvu

dv

0 0

txx eu

vut

u

vu =-

=-

ln

=-

yv t

y

ydt

gv

dv

0 0

=

-

-

tg

gvy

ln ( ) ( )2 1-= t

y eg

v

( ) ( )1 1-=

+==-

t

x

t

x

t

x

euv

uuevuevu

( ) -=-=dt

dx

u

g

dt

dyv

u

gv xy

2,1

-=--= x

u

ghydx

u

gdy

y

h

x

0

ΓραφικήΓραφική παράστασηπαράσταση??

( ) ( )2 1 -

= t

y eg

v

( ) ( )1 1-= t

x euv

xu

ghy

-=

ΜΜΜΜ 5.18(5.18(ΙΤΙΤ))ΚωνικόΚωνικό εκκρεμέςεκκρεμές μήκουςμήκους LL αποτελείταιαποτελείται απόαπόσώμασώμα ηη μάζαμάζα τουτου οποίουοποίου μεταβάλλεταιμεταβάλλεται σύμφωνασύμφωνα μεμε τητη σχέσησχέσηm(t)=mm(t)=m00exp(exp(--at)at) ((mm00,a,a γνωστέςγνωστές σταθερέςσταθερές).).ΗΗ μάζαμάζα πουπουφεύγειφεύγει εκτοξεύεταιεκτοξεύεται πάνταπάντα αντίθετααντίθετα τηςτης ταχύτηταςταχύτητας vv μεμεσταθερήσταθερή κατάκατά μέτρομέτρο σχετικήσχετική ταχύτηταταχύτητα uu.. ΙσχύειΙσχύει ότιότι v=vv=v00 γιαγιαt=0t=0.. ΥπολογίστεΥπολογίστε τητη γωνίαγωνία φφ σανσαν συνάρτησησυνάρτηση τουτου χρόνουχρόνου

')()( vdmdvvdmmP

vmP

dtt

t

-++=

=

+

0=+

+=-

dt

dmu

dt

dvm

Ngmdt

dmu

dt

vdm

φφLL

RR

NN

mgmg

uu

vv

= -- atat emaudt

dvem 00

tuavtv

tv

+= 0

,

0

)(mgtN

R

tvmtN

=

=

)(cos

)()(sin

2

( )

mgN

LRL

vmN

=

==

cos

sin ,sin2

2

=-

=gL

v

gL

v 2222

cos

cos1

cos

sin

=-+ 01coscos2

2 gL

v

γνωστάγνωστά όλαόλατατα μεγέθημεγέθη

-+=

gL

tv

gL

tv

2

)(1

4

)(arccos

24

5.105.10ΑμαξίδιοΑμαξίδιο κατεβαίνεικατεβαίνει χωρίςχωρίς τριβήτριβή σεσε πλαγιάπλαγιά χιονισμένηχιονισμένηυπόυπό γωνίαγωνία φφ. . ΚολλάειΚολλάει χιόνιχιόνι λλχιονιχιονι καικαι απόαπό βροχήβροχή λλΒρΒρ ((κάθετακάθετα).).ΣτοΣτο ΑΑ έχειέχει μάζαμάζα mmA A καικαι ταχύτηταταχύτητα uuAA.. ΠοιαΠοια ηη επιτάχυνσηεπιτάχυνση aaAAκαικαι ηη ταχύτηταταχύτητα μετάμετά τοτο AA

( )

( ) ( )( )++=++

=

duudmmdttPdtt

mutPt

:

:

( ) ( ) mudmduudmmdumutPdttPdP -+++=-+=

+=

+=

dt

dmu

dt

dum

dt

dP

udmmdudP

ΑΑφφ mmAA

χιόνιχιόνι

βροχήβροχή

uuAA

dt

dmuamgm

mgFdt

dmu

dt

dum

dt

dP

AAAA +=

=+=

sin

sin.

ήAόA

ήAόA udt

dmdtdtudm +=+=

( )( )

A

ήAόA

A

ήAόAAA

m

uuga

uuamgm

+-=

++=

sin

sin

Auua == 0