تاٖڋَاڀظاؾٺزطكٞ 40-10-702-01...

فشرده‌سازی‌اطالعات01-702-10-40

بخش‌پنجمقسمت‌اول

دانشگاه‌شهيد‌بهشتیپژوهشکده‌ی‌فضای‌مجازی

1395پاييز‌‌احمد‌محمودی‌ازناوه

http://faculties.sbu.ac.ir/~a_mahmoudi/

Information Compression

فهرست‌مطالب

(فرکانسی)پردازش‌تصوير‌در‌فضای‌تبديل•تبديل‌های‌خطی•

مرور‌برخی‌مفاهيم‌پايه‌–تبديل‌های‌يک‌بعدی–بردارهای‌پايه–بردارهای‌متعامد‌يکه–تبديل‌های‌يکانی–

تبديل‌های‌دوبعدی•تبديل‌های‌جدايی‌پذير–تصاوير‌پايه–

ی رده‌‌ساز ش ف 2

دارایمکانی-زمانیحوزه‌یدراصلیسيگنال•.دمی‌باش(پيکسل‌‌ها)نمونه‌هابينهمبستگی

چونروابطیبهنيازپردازشومحاسبهبرای•.داردبااليیپيچيدگیکهاستکانولوشن

تبديلازهدف•حوزه‌یدرضرببهکانولوشنچونروابطیتبديل–

تبديلنمونه‌هاميانهمبستگی(کردنکم)بردنمياناز–برخیسنجشدر‌يافتهتبديلداده‌یازاستفاده–

کميت‌ها

چرا‌تبديل؟

3ی رده‌ساز ش ف

بردارمجموعه‌ایشاملبرداریفضایيک•.است«خطیمستقل»از«خطیترکيب»توسطمذکورفضایبردارهای•

.استساختقابلمجموعهآن:مثال•

فضای‌برداری

1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

بردار‌های‌يکه

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a

b a b c

c


ر‌ها‌‌بردارهای‌يک‌فضا‌در‌نظر‌گرفته‌شوند،‌دviاگر‌‌•:تباشند،‌خواهيم‌داش«مستقل‌خطی»صورتی‌که‌

استقالل‌خطی

0, 0 ,i i i

i

a v iff a i


υمانندبردار‌یهرباشند،«پايهبردارهای»ها‌viاگر•

:می‌شودمحاسبهزيررابطه‌یاز

اربرداریفضایباشد،متعامدپايهبردار‌هایاگر•:گويندمتعامد

نکات

0, , 0i i i

i

b v b

2

0 ,

i j

j

for i jv v

v for i j

فضایيکگردد،نرماليزهيکمقداربهبردار‌هااندازه‌یاگر

.می‌شودايجادنرمالمتعامد

orthogonal

6orthonormalی رده‌ساز ش ف

تبديل‌در‌فضای‌يک‌بعدی

0 0

( ) ( )

0 1 0 1

x n X K

n N K N

0 1

0

0

( ) ( , ) ( )

0 1

N

n

X K K n x n

K N

در‌فضای‌ا‌تبديل‌هبرای‌سادگی‌بيشتر،‌نخست‌به‌بررسی‌:يک‌بعدی‌خواهيم‌پرداخت


...(ادامه‌)تبديل‌در‌فضای‌يک‌بعدی‌0

0

0 0 0 0

1

0

0

0,0 0,1 0,2 0, 1

1,0

2,0

0 01,0 1,1 1, 1

( ) ( , ) ( ) 0 1

.(0) (0)

(1) (1). . . .

. .. . . .

. .. . . . .

( 1) ( 1). .

N

n

N

N N N N

X K K n x n K N

X x

X x

X N x N

1 1 N N N NX A x


ن‌را‌به‌‌گونه‌ای‌در‌نظر‌گرفت‌که‌بتواBمی‌توان‌ماتريس‌•:تخمين‌زدXرا‌از‌xبردار‌

تبديل‌معکوس X Ax

0 1

0

0

.

( ) ( , ) ( ) 0 1 N

K

x B X

x n b n K X K n N

:اگر‌داشته‌باشيم•

،B=A-1باشد،وارون‌پذيرAماتريسچنان‌چه•دستxاصلیمقداربهوارونتبديلبامی‌توان.يافت


ترانهاده‌ی-مزدوجباشد،مختلطماتريسیAاگر•Aمی‌دهندنشانزيرصورتبهرا::مثال•

-مزدوجباشيمداشتهزيرصورتبهراAاگر•:کنيدمحاسبهآن‌راترانهاده‌ی

ويژگی‌های‌ماتريس‌‌تبديل

* TA


...(ادامه)ويژگی‌های‌ماتريس‌‌تبديل‌

يکمعکوسوترانهادهمتعامد،ماتريس‌هایدر•دارند؟همباارتباطیچهماتريس

0

0 0 0 0

0,0 0,1 0,2 0, 1

1,0

2,0

0 01,0 1,1 1, 1

.(0) (0)

(1) (1). . . .

. .. . . .

. .. . . . .

( 1) ( 1). .

N

N N N N

X x

X x

X N x N

AAAT=? 11

0 1

0

( ) ( , ) ( ) N

n

X K K n x n

ی رده‌ساز ش ف

ماتريس‌يکانی•و‌معکوس‌يک‌ماتريس‌با‌هم‌برابر‌A*Tهنگامی‌که‌•

.خواهيم‌داشت«ماتريس‌يکانی»باشد‌يک‌

...(ادامه)ويژگی‌های‌ماتريس‌‌تبديل‌

1 TA A

Unitary

* 1 T

A A

يکمعکوسوترانهادهمتعامد،ماتريس‌هایدر•دارند؟همباارتباطیچهماتريس

12

* T HA Aه کت :ن

Hermitianی رده‌ساز ش ف

.يکانی‌استAنشان‌دهيد‌ماتريس‌•

.پس‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌و‌ماتريس‌يکانی‌است•

مثال

* 1 T

A A

* T

A A


نظردرباباشد،معکوس‌پذيرAماتريساگر•سماتريبهيکتاگونه‌یبهمی‌توانB=A-1گرفتن

Bيافتدستمعکوستبديلو.تحالايندرباشد،يکانیماتريسیAماتريساگر•

.استيکانیآمدهبه‌دستتبديل:استزيرصورتبهآنمعکوسوتبديلروابط•

معکوس‌تبديل‌يکانی

1 TA A

14

0 1

0

( ) ( , ) ( ) N

n

X K K n x n

0 1

0

( ) ( , ) ( )N

K

x n b n K X K

0 1*

0

( ) ( , ) ( )N

K

x n a K n X K


تبديل‌

15

0

0 0 0 0

0,0 0,1 0,2 0, 1

1,0

2,0

0 01,0 1,1 1, 1

.(0) (0)

(1) (1). . . .

. .. . . .

. .. . . . .

( 1) ( 1). .

N

N N N N

X x

X x

X N x N

0

0 0 0 0

0,0 1,0 2,0 1.0

0,1

0,2

0 00, 1 1, 1 1, 1

.(0) (0)

(1) (1). . . .

. .. . . .

. .. . . . .

( 1) ( 1). .

N

N N N N

x X

x X

x N X N

0 1

0

( ) ( , ) ( ) N

n

X K K n x n

0 1

0

( ) ( , ) ( )N

K

x n b n K X K

0 1

*

0

( ) ( , ) ( )N

K

x n a K n X K


اندازه‌یدارایAماتريسويژه‌یمقاديرتمامی•.هستنديک

.استيکسانيافتهتبديل‌واصلیبردارانرژی•

خصوصيات‌تبديل‌يکانی

2 2( . ) . . . . .H H HX A x A x x A A x x


تبديل‌دو‌بعدی

1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , )

0 , 1 0 , 1

f n n F K K

n n N K K N

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

K K

N N

f

n n

F K K f n n t n n

K K N


تبديل‌معکوس

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

n n

N N

b

K K

f n n F K K t K K

n n N

tfوtbعقببهرووجلوبهروتبديلنشان‌دهنده‌ی,K1ضرايبتمامیبهکههستند، K2, n1, n2

.وابسته‌اند


‌رانآنوشت،زيرصورتبهراتبديلیبتواناگر•:می‌گويند«جدايی‌پذير»

تبديل‌جدايی‌پذير

,1 2 1 21 2 1 1 2 2 ( , ) ( ). ( )

K K K Kf f ft n n t n t n

. . T

f fF T f T

T

b bf T FT

.گويند«متقارن»اگر‌دو‌بخش‌با‌هم‌برابر‌باشند،‌تبديل‌را‌•جدايی‌پذير‌و‌متقارن‌باشد،‌نحوه‌ی‌نمايشاگر‌تبديلی‌•

:ماتريسی‌را‌به‌گونه‌ی‌زير‌خواهيم‌داشت

:نيز‌خواهيم‌داشت(‌حقيقی)تبديلبرای‌معکوس‌•


تبديل‌جدايی‌پذير‌متقارن

20

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

( , ) ( , ) ( , )K K

N N

f

n n

F K K f n n t n n

1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 1 2 2

0 0

( , ) ( , ) ( ). ( )K K

N N

f f

n n

F K K f n n t n t n

1 2

1 2

1 1

1 2 1 1 1 2 2 2

0 0

( , ) ( ) ( , ). ( )K K

N N

f f

n n

F K K t n f n n t n

,1 2 1 21 2 1 1 2 2 ( , ) ( ). ( )

K K K Kf f ft n n t n t n

اعمال‌تبديل‌روی‌سطر‌هااعمال‌تبديل‌روی‌ستون‌ها


:اگر‌داشته‌باشيم•

ايندرداشت،‌خواهيميکانیبعدیدوتبديل•:داريمbوfانديس‌هایازکردنصرفنظرباحالت

تبديل‌جدايی‌پذير

1 * = T T

f f f fF T fT T T

21

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

K K

N N

n n

F K K f n n t n n

K K N

,1 2

1 2

1 1*

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

K K

N N

K K

f n n F K K t n n

n n N


تبديل‌معکوس

-1 * T TF TfT T T

* ** *

* *

. . . . . .

. .

T TT T T T T

T

T F T T T f T T

T F T f

. . TF T f T* *. .Tf T F T


انتقالماتريسواصلیماتريسدرانرژیمقدار•.استيکسانيافته

نوعبهبستهنتيجه‌شدهماتريسدرانرژیتوزيع•.باشدمتفاوتمی‌تواندانتقال

درلتبديبهبستهانرژیتمرکزديگربيانیبه•.می‌گيردقرارخاصیمحدوده‌ی

انرژی‌در‌حوزه‌ی‌تبديل

1 2 1 2

2 21 1 1 1

1 2 1 2

0 0 0 0

( , ) ( , )N N N N

n n K K

f n n F K K


.تمرکز‌داشته‌باشد،‌تبديل‌برای‌فشرده‌سازی‌مناسب‌تر‌استهر‌چه‌انرژی‌در‌ضرايب‌محدودتری‌

-12

65

تصاوير‌پايهBasis Images

1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 5 6

0 0 0 0 1 0 0 1

بردار‌يکه‌محور‌اول بردار‌يکه‌محور‌دوم بردار‌يکه‌محور‌سوم بردار‌يکه‌محور‌چهارم

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

K K

N N

n n

F K K f n n t n n

K K N


بگيريمنظردرثابتراK2وK1مقاديراگر•.می‌پذيردصورتجمعn2وn1مقاديرتمامیبرای

...(ادامه)تصاوير‌پايه

,1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 1 2

0 0

1 2

( , ) ( , ) ( , )

0 , 1

K K

N N

n n

F K K f n n t n n

K K N

1 2

,1 2 1 2

1 2

1 1

1 2

0 0

, 1 2

,( ( , ). )

( , )K K

N N

n n

n n

n nf n n

A t n n

A


دوداخلیضربهمانآمدهدستبهنتيجه‌ی•.دارداسکالرحاصلیکهاستماتريس

خارجیضربنتيجه‌یآمدهدستبهAماتريس•K1ترانهاده‌یدرماتريسستونامينK2

:استستونامين

...(ادامه)تصاوير‌پايه

1 2 1 2

1 2

1 1

1 2 1 2 , 1 2 ,

0 0

1 2

( , ) ( ( , ) ( , )) ,

0 , 1

N N

K K K K

n n

F K K f n n A n n f A

K K N

1 2 1 2, ( 1) (1 ) T

K K K N K NA

TT

TT

26

. . TF T f T


مثال0,0

5,6

(0,0) ,

(5,6) ,

F f A

F f A

محاسبه‌یبامی‌توانراFازعنصرهرماتريسدرfماتريسداخلیضرب

.نمودمحاسبهAمتناظر

.می‌شوندناميدهپايهتصاوير1 2,K KA


را‌ماتريس‌انتقال‌در‌نظر‌Tرا‌تصوير‌اصلی‌و‌fاگر‌•:بگيريم

مثال

-11 1 1 21

T= f=1 1 3 42

1 1 1 2 1 1 4 6 1 11 1. . . . .

1 1 3 4 1 1 2 2 1 12 2

10 2 5 11

4 0 2 02

TF T f T


تصاوير‌پايه

0,0 0,1

1,0 1,1

1 1 1 11 1 1

1 1 1 12 2 2

1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 12 2 2 2

1 11. 1 1 . 1 1

1 12

1 1. 1 1 . 1 1

1 1

A A

A A

-1 *T1 1 1 11 1

T= T = 1 1 1 12 2

1 2 f=

3 4

0,0 0,1

1,0 1,1

, ,

, ,

f A f AF

f A f A

29


را‌ماتريس‌انتقال‌در‌نظر‌Tرا‌تصوير‌اصلی‌و‌fاگر‌•:بگيريم

مثال-1

1 1 1 21T= f=

1 1 3 42

0,0 0,1 1,0 1,1

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 A A A A

5 1

2 0F

0.0

0.1

1.0

1.1

1 2 1 11

3 4 1 12

1 2 1 11

3 4 1 12

1 2 1 11

3 4 1 12

1 2 1 11

3 4 1 12

. (1 2 3 4) / 2 5

. (1 3 2 4) / 2 1

. (1 2 3 4) / 2 2

. (1 4 2 3) / 2 0

F

F

F

F


منبع

• Fundamentals of digital image processing

Book by Anil Kumar Jain

ی رده‌‌ساز ش ف 31

تاٖڋَاڀظاؾٺزطكٞ 40-10-702-01...

Documents