Taller de Enseñanza de Física Año 2012

Apuntes de Estática de Fluidos Ideales Presentación y Análisis del Principio de Pascal, del Teorema General

de la Fluidostática y del Principio de Arquímedes Estas líneas pretenden ayudar a comprender Fluidostática. Introducirán primero los modelos a utilizar: fluido ideal y elemento de volumen, luego el Teorema General de la Fluidostática y por último el Principio de Pascal. Aclaración: los vectores están escritos en negrita. Los Modelos: Fluido Ideal y Elemento de Volumen En este momento del curso vamos a estudiar cómo es la dinámica de algunos objetos

donde la modelización como partícula tiene algunos problemas. Empezaremos trabajando con

los fluidos, es decir a los líquidos y a los gases. Cotidianamente tenemos muchas experiencia

con fluidos. Cuando nos sumergimos en una pileta nos sentimos más livianos que fuera de ella.

Hay “algo” que hace que mientras más profundo nos sumerjamos más nos duelen los oídos.

¿Cuál es el origen de estas “fuerzas”? ¿Por qué conviene acostarse en una colchoneta inflable

en vez de pararse sobre ella, si el peso que tiene que aguantar es el mismo? Si quisiéramos

tratar estos problemas desde las leyes de Newton con las modelizaciones de fuerzas que

conocemos nos encontraríamos con un problema fundamental, ¡El modelo! Si modeláramos al

fluido como partícula no podríamos responder todas estas preguntas. ¿Cómo analizaríamos

“físicamente” la sensación de que somos más livianos mientras que nos aprietan los tímpanos

desde los costados?

La respuesta la encontraremos a partir de pensar un nuevo modelo al que llamaremos

“elemento de volumen”, éste se obtiene tomando una porción de volumen del fluido, tan

pequeña como se quiera. Es decir, nos imaginamos a la pileta como un montón de bloquecitos

o con otra forma (elementos de volumen) de agua pegados unos a otros, interactuando entre

sí y con su entorno. Algo muy importante e interesante es que este “elemento de volumen” es

tan pequeño que podemos seguir pensándolo

como partícula con masa que ¡sigue

cumpliendo las leyes de Newton!, pero le

estamos agregando el volumen como

variable a tener en cuenta. Esto significa que

todas las herramientas metodológicas vistas

hasta ahora siguen valiendo.

En un “elemento de volumen”, vamos

a poder identificar el volumen, la masa, la

posición, la velocidad y la aceleración; y

podremos calcular la energía cinética, la

cantidad de movimiento, etc. Todas estos

parámetros podrán ser obtenidos

independientemente del tamaño del

elemento de volumen. De las cantidades

antes mencionadas, podemos clasificarlas en

las que dependen de la cantidad de materia

Esquema de la circulación de un fluido ideal. Elementos de volumen y Líneas de Corriente.

X Y

Z

v

v

v

que se tenga (el valor total es la suma de las partes) y las llamamos variables extensivas; y las

que no dependen de la cantidad de materia las llamaremos variables intensivas. Ejemplos de

variables extensivas son la masa y el volumen, y de variables intensivas la densidad y la

presión.

Pero tendremos que hacer otra modelización. Vamos a estudiar la aplicación de la

Dinámica para un tipo especial de fluido al que llamaremos “Fluido ideal”. Luego veremos

cuán diferente es el fluido ideal de los fluidos que nosotros conocemos. Los fluidos ideales

tienen las siguientes características:

No viscoso: se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido.

Homogéneo: la densidad del fluido es la misma en todas las partes del fluido.

Estacionario: la velocidad del fluido en un punto es constante en el tiempo.

Incompresible: la densidad del fluido permanece constante en el tiempo.

Irrotacional: los elementos de volumen solo se traslada, no giran.

Con estas propiedades, podremos representar gráficamente a los fluidos utilizando las

líneas de corriente. Estas líneas de corriente representan las trayectorias que describen los

diferentes elementos de volumen. En un

fluido ideal un elemento de volumen que

se encuentra en un instante en una línea

de corriente seguirá su trayecto sin

cambiar de línea. Asimismo si en una

determinada posición

del fluido un elemento de volumen posee

una determinada velocidad , todos los

elementos de volumen que en un

determinado instante se encuentren en

la posición tendrán en ese instante la

velocidad (esto es la condición de

fluido estacionario).

Tenemos definidas, entonces, todas

las herramientas metodológicas que

necesitamos. Veamos ahora algunas

cuestiones conceptuales.

Presión

Hemos realizado un cambio de modelo para trabajar en fluidos que ahora justificaremos. Como planteamos, ahora debemos considerar el volumen de nuestro objeto de estudio cuando modelamos las acciones de los fluidos. Este cambio de modelo implica también un cambio en la función de estado que utilizaremos. Vamos a definir una función de estado escalar para caracterizar a los fluidos que llamaremos presión

Elemento de Volumen 3

Elemento de Volumen 1

Elemento de Volumen 2

Elemento de Volumen 6

Elemento de Volumen 5

Elemento de Volumen 4

Y

X Z

Volumen N F2N

F1N F5N

F4N

F6N

F3N

Esquema de las acciones del fluido sobre un elemento de volumen. Diagrama que representa las fuerzas de los elementos de volumen sobre el Volumen N modelizado como partícula

y es función de la posición y de la velocidad. Utilizaremos a esta función de estado para modelizar la fuerza que realizan los fluidos.

¿Cómo es que se vinculan las acciones del fluido con la necesidad de considerar el volumen de mi objeto de estudio? El punto es que si el objeto de estudio tiene volumen V también tiene área A. Y debemos considerar el área para modelizar la acción de los fluidos. Para esto imaginemos un elemento de volumen N en el seno de un fluido al cual seleccionaremos como objeto de estudio. Consideremos además un Marco de Referencia Inercial y un sistema de Coordenadas asociado. Éste elemento de volumen está interactuando con los elementos de volumen i = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La acción de estos elementos de fluido sobre el elemento N la modelizaremos como una fuerza repulsiva de módulo igual a presión ∙ Área y dirección perpendicular al área del elemento N en contacto con el elemento i. Es decir:

Donde p representa la presión, A el área y al vector de módulo unidad que apunta en la dirección perpendicular a la superficie.

Esto NO implica que (presión=Fuerza/Área), y entre otras razones lo vemos porque la presión y el área son escalares y la Fuerza un vector. La unidad de presión es el Pascal (simbolizado como Pa) con escala 1Pa = 1 N/m2. Al valor de la presión atmosférica al nivel del mar se le llama una atmósfera de presión y equivale a 101300 Pa (1013 hPa).

Con estas consideraciones ahora sí podemos modelizar al elemento de volumen como partícula y trabajar con las leyes de Newton como las conocemos.

Teorema General de la Fluidostática

En esta sección vamos a estudiar cómo varía la presión dentro de un fluido. Supongamos un elemento de volumen N inmerso en un fluido ideal qué se encuentra estático. Este elemento de volumen será nuestro objeto de estudio. Establecemos un Marco de Referencia Inercial (podría ser la base del recipiente que contiene el fluido) y un sistema de Coordenadas asociado con el eje Y en la dirección de la vertical del lugar.

El elemento de volumen N interacciona con dos objetos: la Tierra y el resto del fluido. Como el fluido se encuentra en reposo permanentemente, el estado dinámico del elemento de volumen es de equilibrio. Modelizando a nuestro objeto de estudio como partícula, planteamos la segunda ley de Newton sobre el elemento de volumen:

Elemento de Volumen 3

Elemento de Volumen 1

Elemento de Volumen 2

Elemento de Volumen 4

Y

X Z

Volumen N

FFluido- N

Esquema de las acciones del fluido sobre un elemento de volumen. Diagrama que representa las fuerzas sobre el elemento de volumen N de un fluido en reposo (izq). Diagrama que representa las contribuciones de las acciones de los elementos de volumen 1 y 2 para obtener la acción definitiva FFluido -

N (der).

Volumen N

FTierra- N F2A

F1A

y2 y1

Y en componentes

(1)

(2)

(3)

donde es evidente que la acción neta del fluido es en la dirección vertical Y y compensa a la fuerza peso.

Teniendo en cuenta lo visto en la sección anterior, vemos que la acción del fluido sobre el elemento N puede ser pensada como la contribución de la acción de los elementos de fluido que se encuentran por encima y por debajo del elemento N (los elementos 1 y 2). Entonces podemos plantear para la ecuación (1)

Por otro lado tenemos que . Donde hemos escrito la masa

mN en términos de su densidad ρN y su volumen V. Pero además sabemos que:

como el elemento N es también parte del fluido, ρN es la densidad del fluido

podemos escribir al volumen V en términos del área de la base A y la altura h

mediante la expresión V = A∙h.

a su vez en términos de las medidas del sistema de coordenadas h = y2 - y1

En definitiva nos queda

Reemplazando las expresiones trabajadas de FTierra - N y FFluido - N en la ecuación (1) tenemos

Y eliminando el término común A reordenamos los términos para establecer

Este resultado se conoce como Teorema General de la Fluidostática, y fue obtenido

para un elemento de volumen de dimensiones arbitrarias, por lo que podemos en definitiva vincular dos puntos 1 y 2 cualquiera del fluido mediante un elemento de volumen y tendremos entonces la relación entre las presiones en esos puntos. Sin embargo la expresión a la que hemos arribado para el Teorema General de la Fluidostática depende de haber elegido un sistema de coordenadas cuyo eje vertical Y sea positivo hacia arriba (no importa donde está el origen).

El teorema anterior nos plantea cómo varía la presión en el eje vertical. ¿Pero cómo varía la presión en los ejes X y Z? Para responder a esta pregunta observemos las expresiones (2) y (3). Estudiemos primero la componente Z de la acción neta sobre nuestro objeto de estudio.

Como vemos del segundo esquema, la componente Z de la fuerza del fluido sobre nuestro objeto de estudio se debe a la acción de los elementos de volumen laterales 3 y 4, es decir

Tomando la última parte de la expresión anterior, nos queda

Utilizando la modelización acerca de las fuerzas ejercidas por fluidos, esta expresión nos queda

Y como las áreas A son iguales, llegamos al resultado

que nos plantea que la presión en las direcciones laterales es siempre la misma. En definitiva, mediante esta última expresión y el Teorema General de la Fluidostática, podemos encontrar como varía la presión en cualquier dirección de un fluido en reposo. Principio de Pascal

El teorema general de la Fluidostática permite entender el uso que se le da a los líquidos en los diferentes sistemas hidráulicos como la dirección de los autos modernos, el freno de disco, los “gatos hidráulicos” y demás.

Supongamos que un fluido incompresible y en equilibrio está encerrado en una tubería, y que en alguna parte podemos (por ejemplo, con un pistón) controlar la fuerza que le hacemos al fluido. Por la tercera ley de Newton, el fluido deberá hacer una fuerza exactamente opuesta sobre el pistón. Ahora bien, la fuerza que el fluido hace sobre una superficie, como dijimos más arriba, depende del estado del fluido en ese punto (más específicamente, de la presión allí). O sea: por medio de acciones externas podemos controlar la presión de un fluido en cualquier punto. Si hacemos cierta fuerza con un émbolo de área muy pequeña, podemos hacer que en ese punto el fluido tenga una presión muy grande.

Ahora bien, como todos los elementos del fluido están en equilibrio, para ese fluido valdrá el teorema general de la fluidostática. O sea, si cambiamos la presión en un punto cualquiera, la presión cambiará en todo el fluido de manera que todos los elementos de fluido continúen en equilibrio. En particular, en todos los puntos situados a la misma profundidad, la presión es la misma. Si con un pistón aumentamos la presión en un punto cualquiera, todo el fluido estará a esa presión a esa altura. ¿Y qué sucede cuando este cambio de presión llega a las paredes del recipiente que contiene al fluido? Podemos pensar este cambio en la presión como un aumento en el módulo de la fuerza que el elemento de volumen aplica sobre la pared, de manera que si las paredes del recipiente son indeformables estás deberán tolerar el aumento de la fuerza. Si las paredes no son capaces de soportar esa fuerza se rompen. Una tercera posibilidad es que las paredes puedan desplazarse y es lo que permite el funcionamiento de las prensas hidráulicas, el cricket del auto y otros.

Este comportamiento de los fluidos incompresibles fue planteado por Blas Pascal como:

“La presión aplicada en un punto de un fluido ideal en reposo contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo.”

y se conoce como el Principio de Pascal.

El Principio de Pascal implicó una construcción histórica muy importante para su época. Tal es así que muchos libros de Física aún siguen citándolo y trabajándolo de la manera clásica enunciada. Sin embargo dentro del formalismo en el que hemos planteado el apunte debemos hacer algunas aclaraciones:

La presión no se “transmite”. La idea de transmitir hace referencia a que “algo” está

viajando lo cual es falso. Lo que se sucede es que la acción en un extremo del fluido

genera cambios en otro, pero esto no es debido a que viaje nada sino que cuando

sobre un elemento de volumen se aplica una fuerza, el elemento de volumen aplica

otra sobre su vecino y éste a su vez sobre el suyo. Lo que debemos tener claro es que

el cambio de presión en cada elemento de volumen es el mismo pero no la fuerza que

recibe.

Los cuerpos y elementos de volumen no “ejercen” presión. Esto se deduce fácilmente

recordando la idea de fuerza. La fuerza es la acción del entorno sobre el objeto de

estudio y ésta cambia su estado. Pero lo que actúa desde el entorno sobre el objeto

de estudio no es la función de estado (o acaso decimos “la Tierra ejerce una cantidad

de movimiento sobre los cuerpos en su superficie”!!!!).

El Principio de Pascal está incluido dentro del Teorema General de la Fluidostática. La

inclusión puede verse en que el Teorema General de la Fluidostática nos está

planteando cómo varía la presión en los distintos puntos del fluido. Nos proporciona

un “mapa” de la distribución de presiones en el fluido que podemos utilizar también

cuando producimos cambios de presión. El Principio de Pascal nos plantea justamente

la situación en los cambios de presión.

Principio de Arquímedes 1

Este es el principio por el que es más conocido este gran sabio de la humanidad. La historia cuenta que siendo rey de Siracusa Hierón II, mando a un orfebre de la ciudad que le hiciera una corona. Para ello el rey le entregó al orfebre una determinada cantidad de oro. El orfebre realizó el encargo y entregó la corona, pero el rey, desconfiado, quiso asegurarse de que el orfebre realmente utilizó todo el oro que le entregó.

Arquímedes ya era reconocido como un hombre de gran sabiduría, por lo que Hierón II le pidió que le resolviera este problema, es decir, saber si realmente se había utilizado toda la cantidad de oro para la elaboración de la corona o si hubo algún engaño. No sabemos cuanto tiempo transcurrió desde el planteamiento del problema hasta su resolución, pero lo cierto es que mientras Arquímedes se tomaba un baño observó que cuando se introdujo en la bañera una determinada cantidad de agua se desbordó de la misma. La observación de este fenómeno le dio la solución el problema, y según cuentan las crónicas, fue tal su emoción que salió corriendo desnudo de los baños gritando ¡eureka! ¡eureka! es decir ¡lo encontré! ¡lo encontré! (del gr. εúρηκα, encontrar, hallar).

1 Este material fue trabajado sobre la base de materiales de la Universidad del País Vasco y los libros “Física” (Tipler)

y “Física I” (Resnick y Halliday).

Tomó entonces Arquímedes la corona confeccionada por el orfebre y una cantidad de oro exactamente igual a la utilizada para su fabricación. Por otra parte preparó dos recipientes exactamente iguales conteniendo la misma cantidad de agua hasta su borde e introdujo en uno la corona y en el otro el oro. Observó entonces que el agua que se derramaba del recipiente que contenía la corona era diferente que el del otro recipiente demostrando el fraude del orfebre, pues sustituyó parte del oro que el rey le dio por plata. La razón es hoy bien conocida, pues la densidad de ambos metales es diferente, y el volumen que ocupan es diferente, pues el oro tiene una densidad de 19,3 g/cm3, mientras que la de la plata es de 10,5 g/cm3. Por esta razón se utilizó para determinar la proporción de los metales que componen algunas aleaciones, es decir para conocer su ley. A partir de esta observación se establece el Principio del Empuje Hidrostático o Principio de Arquímedes que se enuncia clásicamente del siguiente modo:

“Todo cuerpo que se sumerge en un líquido experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desalojado.”

De este enunciado debemos tener en cuenta dos cosas. Lo primero es que no es sólo aplicable a líquidos, también es aplicable a gases, es decir es aplicable a fluidos en general. Y lo otro es ¿qué entenderemos como “empuje”?. Esto se aclarará en breve pero podemos anticipar que llamamos “empuje” a la fuerza que el fluido realiza sobre el cuerpo.

Este principio tiene una gran importancia práctica para la flotación y estabilidad de los buques, algo que ya planteó el propio Arquímedes con su tratado “Sobre el equilibrio de los cuerpos flotantes”; pero además se aplica a los globos aerostáticos y se utiliza para la corrección de las pesadas de precisión.

Básicamente el principio de Arquímedes es la aplicación de las leyes de Newton a un cuerpo sumergido en un fluido, siendo su característica principal el cómo se modeliza la acción del fluido sobre el cuerpo. La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en la figura:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie. Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las

fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto, se cumple

Empuje = Peso = ρf ·g V

Que se interpreta como: el peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido ρf por la aceleración de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es la misma y actúa en el mismo punto, denominado centro de empuje. Lo que cambia es el peso del cuerpo sólido y su punto de aplicación que es el centro de masa, que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no

tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto. En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje. Resumen y Cierre

Definimos una nueva función de estado para trabajar en fluidos. Esa función de estado es la presión, y es función de la posición y la velocidad. Al ser una función de estado, podemos obtener la presión en cada punto del fluido. Pero ¿cómo varía la presión dentro de un fluido? La respuesta la obtenemos del Teorema General de la Fluidostática, que nos dice que las variaciones en presión se observan en la línea de la vertical del fluido, y depende de la gravedad y la densidad del fluido. Un análisis rápido de la expresión nos dice que cuanto más denso es el fluido, mayores son los cambios de presión que se producen. Y también que no hay variaciones horizontales de presión, es decir que todos los puntos que estén a la misma profundidad en un fluido en reposo tienen el mismo valor de presión.

Por último introducimos el Principio de Arquímedes que no es más que la aplicación de las Leyes de Newton a un cuerpo sumergido en un fluido. La característica principal está en la

modelización de la fuerza que el fluido realiza sobre el cuerpo y que resulta ser en la dirección vertical, apuntando en sentido contrario al que aumenta la profundidad y su módulo igual al peso del líquido desalojado.