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A n w e n d u n g d e r M e t h o d e d e r u n e n d l i c h e n De t e r m i n a n t e n zur B e r e c h n u n g d e r

E i g e n w e r t e im F a l l v d e s Starkeffok~s .

Von K. Basu in Calcutta.

(Eingegangen am 30. Juni 1930.)

1. Das Problem des Starkeffekts ist yore wellenmechanischen Standpunkt yon verschiedenen Autoren behandelt worden*. In diesem besonderen •alle gestattet die SehrSdingersche Differentialgleiehung die Trennung der u in parabolischen Koordihaten und ftihrt auf zwei Differentialgleichungen desselben Typs f'"u~tie ~- und ~?-Koordinate. Die Eigenwerte dieser Gleiehungen wurden clutch suksessive Approxi- mation nach der sogenannten ,,StOrungsmethode" berechnet. Ich babe jedoch gefunden, dai~ man eine formal vollstiindige LSsung der Differential- gleichungeu in Gestalt eiuer unendlichen Reihe von abgeleiteten L a g u e r r e - sehen Polynomen erhalten kann; die Eigenwerte der Gleiehungen ergeben sich gleiehzeitig als die charakterlstischen Wurzeln einer gleich Null ge- setzten unendlichen Determinante. Diese Methode hat den u dab sich die Aufgabe, die Eigenwerte bis zu irgendeiner gegebenen Naherung zu finden, auf das Problem zurtickfiihren li~l~, die Wurzeln der Determinanten- gleiehung zu bereehnen, wobei die mtihsamen Integrationen, die die StSrungs- methode im allgemeinen mit sich bringt, vermieden werden. Diese Methode der unendlichen Determinantea scheint auf wellenmeehanisehe Probleme in grSl~erem Mal~e bisher nicht angewendet zu sein. Ich habe es daher fiir niitzlich gehalten, eine kurze Skizze der Methode in ihrer Anwendung auf den Starkeffekt zu geben. Es wird auch gezeigt, dal~ sich jede Wurzel der entstehenden Determinantengleiehung ohne grol~e Schwierigkeit be- rechnen 1M~t und die Berechnung wird in dieser Arbeit his zur zweiten Naherung getrieben.

i~. Wir folgen der Sommerfe ldsehen Bezeiehnung** und sehreiben die gewShnliche SchrSdingersche Gleiehung flit diesen FalI folgender- maBen:

8 ~ m o Z e~\

* E. Sehr6dinger , Ann. d. Phys. 80, 437, 1926; G. Wentzel , ZS. f. Phys. 38, 518, 1927; I. Waller , ebenda 38, 635, 1927; S. Eps te in , Naturwiss. August 1928; A. Sommerfeld , Atombau und Spel~trallinien, Wellenmecha- nischer Erg~nzungsband, Kap. 11, w 2, 1929.

** 1. c.

K. Basu, Anwendung der Methode der unendlichen Determinantenusw. 709

wo 2 = 8z~2moeJ/h ~. (J ist alas /iuBere Feld in Riehtung der X-Aehse.) Unter Benutzung parabolischer Koordina~en $, ~7, ~ und unter der Annahme, dab

ist, wird die gemeinsame DiffereatiMgleichung t'iir / I u n d /2

c1"2/ Xa/ ( 2B C) ~r~+rir+ A+-7-+ ~ 1=2~/,

in der die Konstanten die folgende Bedeu~uag haben:

~2 ,/n~ A = 2 zc ~ m o E /h ~, B = . h~ ( Z e ~ T fl) (fl = Separationskons~an~e)

m ~t C = 4 2 = : t : ~ 2 m ~ - - ~ , ~ e J .

Hierin eatspreehen die doppelten Werte ~tir B u~d 2 den Differenti~l- gleiehungen ~iir/1 und/~ in der gegebenen Reihenfolge.

Mi~ dem Ansatz m2

gelangen wir sehlieBlich zu der Differentialgleichung

e wf' + (m + 1 - - e) w' + n~ ~o = 2'e ~ w, (1)

in der der Kfirze h~lber

B 1 n~-l/~-- 2 ~(m+l) gesetzt ist.

und 2 ' = (2V:7) ~

3. Es ist bekannt, dab die LSsung yon Gleichung (1) bei ~ehlendem 2' eine Ableitung des Laguerreschert Polynoms ist, die wit mit L ~ + n i bezeichnen und ,,ein zugeordnetes Laguerresches Polynora yore Grade n~ und yore Differentiationsgrad m" nennen wollen. Zur L5sung der voll- stiindigen Gleiohung (1) setzen wir eine Reihe dieser Polynome an, also

o o

~ L m ~ am, + r . + r (Q)" (2) r = O

Setzen wit dies in Gleichung (1) ein und beriicksichtigen, dab

L~ + ~ (5) + (~ + i - - 5) L ~ + ~ (5) + r L~ + ~ (5) = 0 (r = O, I , 2 , . . )

ist, so erh~lten wir o o

:~E % + ,. ( n ~ - - r) L,~ + ,. (e) = 2' . - . a , . + r ~ '-',~ + ,- (e)" (3) r = O r , = O

Zeltschri/?~ tiir Physlk. Bd. 64. 47

710 K. Basu,

Die rechte Seite dieser Gleiehung gesta~tet eine Entwicklung nach zu- geordneten Laguerresehen Polynomen, wie sich aus einer im n~chsten Abschnitt aufgestellten :Rekursionsformel ersehen ls

4. Man kann leicht zeigen, dab diese zugeordneten Laguerresehen Polynome eine folgenderma~en definierte erzeugende Funktion besitzen:

e ~ - t ~ , L~ + ~ (x). t ~ ( l - - t ) "~+1 ----,~=0~ ( n + m ) ! = W(x,t)"

Iu der Tut l~Bt sich dies Ergebnis leicht aus dem ~m C o u r a n t - H i l b e r t - schen Buch gegebenen entsprechenden Ergebnis ffir den Fall gewOhnlicher Laguerrescher Polynome ableiten. Durch Logurithmieren und Differen- tiation nach t erhalten wit:

[ ( ~ + 1) (1 - - t) - - x ] w = (1 - - t , ) ~ ' ,

wo yJ' die erste Ab!eitung yon y~ nach t l~edeuLe t. Setzen wit iiir yj and W' ihre entsprechenden oben angegebenen Reihenwerte ein und setzen die Koeffizienten yon t n auf beiden Seiten gleich, so erhalten wir die Rekursions- ~ormel

n + m ~- i L , ~ + m + l ( x ) - ( 2 n + m+ l - x ) Z , ~ + , ~ ( x ) + ( n + m ) L ,~+~_l (x ) - -O.

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel linden wit, dab x 2 L~+ ~n (x) sich durch Ifinf P01ynome mit konstanten Koeffizienten yore Grade n + 2, n Jr 1, n, n - 1, n - - 2 ausdriicken l~J3t~. In der Tat ist~

(n+ 1) (n + 2) 2(n+l) (O.n+m+2) x~L~+n( :c )=(n+m+l ) (n+m+2)L~+n+2(x ) n + m + l L~+n+l (x)

+ ( 6 n ~ + 6 n m + 6 n + m ~ + S m + 2 ) L~+,~ (x) 2 " m -- 2 (n+ ~rt) (2n + , t )Lm+ n - I (x) + ( ~ + n) 2 (m+ q't- 1)~L~+,~_2 (x).

5. Wenden wir dies Ergebnis auf die rechte Seite yon Gleiehung (3) an und setzen die Koeffizienten etwa von L~+r(@) auf beiden Seiten gleich, so haben wit

fl,.-2"am+r-~ +yr- l" am+r--1 + (0+ O~r) " a m + r + ~r+l"am+r+l + Sr+2"am+r+2, (4)

WO wir die folgenden Abkiirzungen benutzt haben:

fir-2 = ~' r ( r - - 1) . ), 2 r ( 2 r - - k m ) (r + m) (r + m - - 1 ) ' ~ 2 r - - 1 = - - r + m '

~r + l ~- - - ~ ' 2 ( r + m +1)'2(2r + m + 2) ; s~ + 2 ---- )J ( m + r + 2)~(m~-r + l)~;

~, -~ r + ~ ' ( 6 r ~ ' + 6 r m + 6 r + m 2 + 3 m + ~ ) ; 0 = - - n i .

Anwendung der Methode der unendlichen Determinanten usw. 711.

Pr~ktisch erhalten wit eine unendJiche Folge yon Beziehungen vom Ty, p (4). Durch Eliminieren der Koeffizienten a~+~,, a ~ + r + ~ usw. erhalten wir

die ofolgende DeterminantengleJehung unendlicher Ordaung, aus der der

Eigenwer~ O bestimm~ werden muB:

�9 . , ~ - 8 , ~'~-2, 0 + ~ , _ ~ , a~, s~+1, O, I o, . . . , o, f l~_~, ~'~- i , 0+o~ , a,.+~, e~+2, [ O, .

�9 ., 0 , 0 , ' ~r--1, ~'r, 0+or at+2, I s r + 3 , . . -

. . , O, O, O, f t , ~'r+l, 0+0~§ �9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

In dieser "Determinante sind die Grenzen ftir r Null und. ~ , so dal3 sie

nach einer Seite begrenzt ist; die Elemente der ersten Reihe dieser Deter- minante sind O + %, 81, % und ~lle iibrigen Null. Dies ist die im ersten Tell erw~hnte Determinantengleiehung*.

6. Wir gehen je~zt dazu iiber, die Methode zur angen~her~en Bereehnung der Wurzeln aufzuzeigen. Es ist Mar, da~ ftir g' gleich Null die Wurzeln einfach dadureh gegeben sind, dal~ man die Diagonalglieder 0 d- r(r = 0, 1, 9. . . . . ) gleieh Null setzt. Pfir deIi.vorliegenden Fall ist es leicht einznsehen, daS die rte Wurzel far tdeine Wer~e yon A' in der Niihe yon O :d- % = 0 liegen runS. Zur Bereehnung des Eigenwertes in tier NiChe von O = - % bis zur zweiten Naherung in A' gentigt es, die dutch Einrahmung hervor- gehobene fiinfreihige Determinante um das Zentralelement O + % an Stelle der ganzen unendliehen Determinante zn betraehten.- Dutch Aus-

rechnen und Verngehlgssigen yon Gliedern der dritten und hSherer Potenzen in A' erhalten wit

(O-}-O~r)({O § (O+(Xr§ (O'{-~r--2)(O'{-~Xr4-2) -- ar--1 ~2r--2" (O'{-if-r)(O-~r+ 1)(O'{-~r+ 2)

- e~./~, ~- (O+~-d(O + ~ + d (O+ ~,+:) - ~ r , - ~ �9 (O +~,._~) (O+~+d (O+~+~)

- er+~#,_~. (O +~)(O +~_2) (O + ~.~+ 2) -- a,+x ?~" (O +~-2) (O +~.~_~) (O+~+~) --~+~#~" (O+~r+d(O§ (O+~,_~) (O+~,.-d (O+~) = 0.

Dividieren wir dutch

(O + ~ _ ~ ) (O +~r+~) (O + ~ - 2 ) (O + ~ + 2 ) ,

�9 Die Verwendung der unondlichen Determinante bring~ natiirlioh die Frage nach ihrer Konvergenz mi~ sich. Ohne weiter auf mathematische Einzel- heiten einzugehen, kSnnen wir sagen, da[~ die fragliche Determinante durch Multiplizieren der Reihen mit passenden Faktoren absolut konvergent gemacht werden kann. Die ira nSchsten Absatz gegebene NSherungsmethode kann daher als zu Recht bestehend angesehen werden.

47*

712 K. Basu,

so ergibt sich:

[~rflr--2 + (~r~r--1 ~ r + l ~ r . 8r+2flr 1[ ~r--lYr--2 ]--1, 0 + ~ : tO+~.-~ O + ~_1 ~0-:~+~ + O+ ~.+--~J 1 (O+~.-0(O+~,-2) - " "

Lassen wit wieder kubische und hShere Ordnungen yon 2' fort, so verein- facht sich das zu

s (~rrr--1 O r + l ~ r .@ ~r-l-2~r

Das heil3t, dag aer Eigenwert in der Niihe yon O = - -~ r gegeben ist dutch

O + ~ = - - ~ . + ~ . - 2 - - ~ . + ~ . - 1 + + " ~ ~r -l- ~r + 1 - - CXr -l- {Xr + 2

= dr+lTr -- OrTr_.:l .j_ I (er+2~ r -- erflr_2 )

(unter Vernachl~ssigung aller Glieder yon hOherer Ordnung als 2 '3)

= ;t' 2 [4 {(r q- m q- 1) (2r d- m q- 2)' (r q- 1) - - r(r q- m) (2r -}- m) ~}

q- -~ {(r+ 1)(r q-9,)(rq-mq-1)(r+m q - 2 ) - r(r--1)(r- l-m--I)(r q-m)}].

Interessant ist die Bemerkung, dab die vier Glieder in der obigen Klammer identiseh mit den entsprechenden Gliedern yon Sommerfe ld sind (1. c. S. 191), die or durch StSrungsrechnung erhalten hat. Beim Verwenden dieses Ergebn!sses auf die Konstanten der beiden Differentialgleichungen in [1 und/~, wobei fox 2' die richtigenVorzeichen gewghlt sind, schreiben wir:

�9 (~'?'1+"++~) $ (?'1 +1)--?'1 ('rl +'~t)(~rl q~)2} + 1 {(rl J-l)('rl-}- ~ ) �9 (r 1 +m+ t) (r~+m+2}- r, (rl-1) (r 1 +m-l) (r l+m) }]. (5)

~r~m~ (Ze ~ +fl) -~ (m+ 1) = r~-2' (6r~ + 6r~m + 6r~ +m S + gin+ 2)

--2'~ [4{ (r~. + m + 1) (2 % + m + 2) ~ (r, + 1)- r~ (r, + m)(2 r, + m) ~ }

+ -~{(r~+l) (r~+2) (r~+m+l)(r~+m+2)-r~(r~-l)(r~+m-1)(r~+m)}]. (6)

Dutch Addieren yon (5) und (6) und einige notwendige algebraische Be- rechnungen kommen wir schlieNich zu dem Ergebnis

2~moZe ~ [ 6). 2 )) ~/~aa -- . [1 + (2 V ~ A ) ~ (ri-r=) (9, ~/---A)~ {4mU+lTm(Vl+ru+l)

~ (7) § 84 (r~ + r~ - r~r~) + 17 (f, + r~) + 18}],

worin wir n = rl-J-r~ + m-t-1 gesetzt haben. Das Ergebnis entspricht dem yon S o m m e r f e l d in Gleichung (38) (1. c. S. 191) gegebenen, wena

Anwendung der Methode der unendlichen Determinanten usw. 713

wit n 1 und n 2 an Stelle yon r 1 und r~ lesen. Setzen ~ nun den durch J

~usgedrtick~en Wer~ yon ~ ein, so werden wit dutch eine einfache Be~

reehnung uuf den folgenden Energiewert geffihrt:

Rh Sh~J E = - - - - ~ --[- S:,r~rnoeZ ( r l - - r ~ ) n

h 6 J~ 16 (2 ~r e) 6 m~ Z t n* [17 n * ~ 3 (r~ ~ r2) ~ - - 9 m ~ -4- 19].

Zum Schlu~ m6chte ich ausdrticken, wie sehr ich Herrn Professor

S. N. ]3 o s e yon der Universi tgt Dacca ffir seine Vorschliige und wertvolle

Hilfe im Laufe dieser Arbeit verbanden bin.

Calcutta, 12. Jua i 1980.