NIVEL PREPARATORIA

ELABORÓ: ASESOR DE MATEMATICAS MAESTRO ING. FRANCISCO ARCOS

2009- 2010

INTRODUCCION

La presente Antología de estudios es un instrumento educativo que sirve para orientar y auxiliar en el proceso de aprendizaje enseñanza de la asignatura de MATEMÁTICAS IV, contenida en el plan de estudios de la UNAM de la Escuela Nacional Preparatoria.

Está concebida para asistir a los estudiantes, durante su proceso formativo en las ciencias exactas. En este sentido se pretende fortalecer la formación educativa del estudiante para que sea capaz de alcanzar los conocimientos generales con respecto a los objetivos fundamentales de la materia. La guía ofrece una visión adecuada, clara y precisa de la estructura y contenidos de la asignatura Matemáticas IV para implementar una estrategia de estudio que lo habilite para poder presentar los exámenes correspondientes extraordinarios con resultados positivos.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

El estudiante:Resolverá problemas o situaciones algebraicas mediante el uso de métodos o modelos matemáticos como operaciones con polinomios, ecuaciones lineales, simultáneas de dos y tres variables y ecuaciones cuadráticas que le permitan su aplicación en la vida cotidiana, en un ambiente de responsabilidad, tolerancia y respeto.

UNIDAD 0: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

OBJETIVO: construirá el lenguaje generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones, series y sucesiones, mediante la resolución de problemas o situaciones en un ambiente, de respeto y de tolerancia.

SUHABILIDAD: al término de la unidad el alumno tendrá la capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas y poder responder a las siguientes preguntas: ¿Qué estoy haciendo?, ¿Por qué lo hago? y ¿Para qué lo hago?

1.1 Problemas aritméticos

1.1.1 Números reales

1 . Resuelve las siguientes operaciones con números enteros:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

2. Escribe el número que representa cada situación, empleando para ello, los números enteros :

1. Un submarino está sumergido a 93 metros2. La temperatura es de 4º3. Está a 6 metros sobre el nivel del mar4. Debe $5005. La ciudad de México está a 2300 metros sobre el nivel del mar6. Se tienen $8507. Bajé tres kilos8. La bolsa de valores perdió 5 puntos9. Un submarino está a 210 m bajo el nivel del mar, descendió 250 m y después ascendió 150 m ¿Cuál es su profundidad?10. Juan tenía $6500 en su tarjeta y pagó con ella tres productos de $1500, $1800 y $5300 y depositó $2100 ¿Cuál es su saldo actual?

3. Realizar las siguientes operaciones con números racionales:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.1.2 Razones y proporciones4. Encuentra el valor de X en las siguientes proporciones:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

5. Resolver los siguientes problemas, empleando para ello, razones y proporciones:

a) ¿Cuál es la razón entre la altura de una casa de 10 m de altura y la altura de su maqueta de 20cm?

b) Una inversión de $3324 produce $227 de interés en un año ¿Cuánto producirían $3780 al mismo tasa de interés?

c) Si un auto recorrió 225km en 3hrs ¿Cuánto recorriera en 5hrs a la misma velocidad?d) Dos números están a razón de 3/7 si el menor de ellos es 189 ¿Cuál será el otro número?e) Dos obreros trabajan empacando calcetines mientras uno empaca 3 cajas el otro empaca 7

cajas, si el más hábil ha empacado 91 cajas ¿Cuántas cajas ha empacado el otro?f) Si dos números se encuentran a una razón de ¼ si se sabe que uno es tres unidades

mayores que el otro ¿Cuáles son dichos números?g) Si comiendo 90gr de cereal se consumen 360caloria ¿Qué cantidad de cereal debe comerse

para consumir 80 calorías?

1.2 Lenguaje algebraico

1.2.1 Algoritmos geométricos e iconográficos

6. Expresar en lenguaje algebraico, los siguientes enunciados: a) Un número mas 25b) La suma de dos númerosc) La diferencia de dos númerosd) La semisuma de tres númerose) La semidiferencia de dos númerosf) El cuadrado de un númerog) La raíz cuadrada de la suma de dos númerosh) El tercio de un número más el quíntuplo de otro númeroi) El cociente de dos númerosj) Un número disminuido en tresk) Un número mas la quita parte de otrol) El doble de la suma de dos números m) La suma de los cuadrados de dos númerosn) Un número elevado a la sexta potenciao) El cociente de la suma de dos números y un tercerop) Tres decimos de un númeroq) El doble de un número disminuido en el triple del cuadrado de otro númeror) El cubo de la diferencia de dos númeross) Un número par cualquierat) Un número impar cualquierau) El triple de un número entre el cuadrado del mismo númerov) El triple de un número disminuido en tres

7. Enunciar verbalmente las siguientes expresiones algebraicas:

a)

b)

c)d)e)f)g)h)

i)

j)

k)

l)

m)n)o)p)q)

r)

s)t)

u)

UNIDAD I TEORIA DE CONJUNTOS

I. Define los siguientes:1. ¿Qué es un elemento?

2. ¿En qué consiste el método de extensión? Escribe tres ejemplos.

3. ¿En qué consiste el método de comprensión? Escribe tres ejemplos.

4. ¿Qué es un conjunto finito?

5. ¿Qué es un conjunto infinito?

6. ¿Qué es un conjunto vacío?

7. ¿Qué es un conjunto unitario?

8. ¿Qué es la cardinalidad? ¿Para qué sirve?

9. ¿Cuándo se dice que un conjunto es subconjunto de otro?

10. Define qué es una unión de conjuntos.

11. Establece qué es la intersección de conjuntos.

12. Explica qué es una resta de conjuntos.

13. ¿Qué es un conjunto complementario.

14. Define el concepto de conjunto.

15. Cuándo dos conjuntos son Equivalentes?

16. Cuándo dos conjuntos son no comparables?

17. Cuándo dos conjuntos son ajenos?

18. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro?

19. Qué es un sistema numérico?

20. Proporcione el significado o utilidad de cada uno de los siguientes símbolos:

A B ________________________________________________________________________

A B ________________________________________________________________________ B - A _____________________________________________________________________A,B,C,D......Z __________________________________________________________________( X,Y) ________________________________________________________________________ 3,6,9...... ____________________________________________________________________ = _______________________________________________________________________5 E _________________________________________________________________________x / x y x U ___________________________________________________________(A B) ‘ __________________________________________________________________a,b,c,d, ........z ______________________________________________________________n(A) ______________________________________________________________________2,4,6,8,10 ________________________________________________________________(A C) B c _______________________________________________________________ 7 F ___________________________________________________________________n ( B x D) ___________________________________________________________________B A ______________________________________________________________________

II.- Conteste las siguientes preguntas, colocando una “ V” si es verdadera o una “F” si es falsa.a) A A’ = A _______________________________________________ ( )b) A A’ = ______________________________________________ ( )

c) x / 1 < x < 10 = 1,2,4,6,8,10_______________________________ ( )d) 2, -22 , 8 = 4,2, 23 _____________________________________ ( )e) El conjunto A =2,6,8,12,5 y el de la s vocales son equivalentes____ ( )f) El conjunto de estrellas del universo es un conjunto finito _____ ( )g) A - B = x / x A, x B _________________________________ _ ( ) h) 2,4 = 2 , 4 _______________________________________ ( )i) 0 = ____________________________________________________ ( )

III. Dados los siguientes conjuntos, , represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.

U = x / 1 x < 11 A = 1,2,3,4 B =2,4,6 C =X / 3<X<10, X es parD = 2,3,5,7, E = 4,8,1 F = 2,4,6,8,1

1) A B 2) A B 3) D E

4) B C 5) A´ 6) B´

7) E´ 8) B E 9) B E

10) A C 11) ( B C)´ 12) ( C D )´

13) A D 14) ( A D )´ 15) ( E C )´

16) E C 17) ( E C )´ 18) A D

19)A – B 20)A – C 21)A – D

22)B – A 23)B – C 24) A ( B C )

25) ( A B ) C 26) ( B E ) B 27) ( A D ) E

28)D‘ A’ = 29) ( A’ C)’ = 30) (D E)’ ( B A) =

31) ( A E’ )’ C’ = 31)) A’ (B D)’ = 32)( B C) ( A D)’ =

33) U ‘ A = 33) ‘ C’ = 34)

IV. Sombrea en cada uno de los diagramas la solución que satisfaga a la operación de conjuntos pedida.

H I´ L K´

( A – B ) C ( H – G ) I

V. De las tres operaciones proporcionadas para cada ejercicio subraye aquella que corresponda a la zona gris (zona sombreada)

1) U – (T R S ) 1) I´ – (H – G )

2) (S – R )´ 2) H´ ( G – I )

3) ( S R ) T 3) ( H G ) – I

1) ( U – L ) K 1) H I

2) K – L 2) H I

3) ( U´ L ) K 3) U – ( H I )

VI. Dados los conjuntos contesta correctamente: U = x / 1 x < 11A = 1,2,3,4 B =2,4,6 C =X / 3<X<10, X es par

D = 2,3,5,7, E = 4,8,1 F = 2,4,6,8,1

i) D y F son iguales ? ________, porqué _____________________________________________j) 7 D ? ________, porqué ______________________________________________________k) 8,9 C’ ? _____, porqué _____________________________________________________l ) A ? ______, porqué ________________________________________________________ll) E C ? ______ , porqué ________________________________________________________m) F es un súper conjunto ? _______, porqué _________________________________________n) A y E son ajenos ? _______, porqué _____________________________________________ñ) F y C son no comparables? _______, porqué ________________________________________o) E B C ? _______, porqué ___________________________________________________p) A x B = q) F C ? _______, porqué _______________________________________________________

VII.- Realiza los siguientes productos cartesianos y represéntalos en el plano cartesiano.

A={ -8, -4, 0, 1, 7} B={-4, -1, 2/3, 8/9, 4} C={-2, -5/3, -2/4, 0, 0.1, 5.3}

D={-7, -16/3, 0.33, 7}

1) B x B 2) A x C 3) D x A 4) B x A

5) C x B 6) D x C 7) B x D 8) C x C

9) A x D 10) C x A 11) A x A 12) D x D

VIII: Utilizando el Diagrama de Venn resuelva los siguientes problemas:

a. En una escuela de idiomas trabajan 87 personas de las cuales: 47 hablan ingles, 23 hablan francés y 20 hablan ambos idiomas ¿Cuántas personas que trabajan en dicho instituto no hablan ni ingles ni francés?

b. En un grupo de 60 alumnos, 25 reprobaron la materia de Matemáticas, 20 reprobaron la materia de Ingles, 15 reprobaron la materia de Física, 12 reprobaron tanto Inglés como Física, 10 reprobaron Matemáticas e Ingles, 11 reprobaron Física y Matemáticas y 5 reprobaron las 3 materias ¿Cuántos alumnos no reprobaron ninguna de las 3 materias?

c. En el jardín botánico de la UNAM se encuentran clasificadas la mayoría de las especies de plantas de las especies oriundas de México. Entre las clasificaciones utilizadas por

los botánicos se encuentran los siguientes datos: 15 especies son aromáticas, 28 son de uso medicinal, 25 son ornamentales, 32 son de uso industrial, dentro de las aromáticas existen 8 especies de plantas que se utilizan como alimento, 10 tienen uso industrial, ornamental y medicinal, 4 tienen uso medicinal y son aromáticas, 11 son medicinales y ornamentales, 14 son de uso industrial y medicinal, además existen 12 especies que se desconoce su uso¿ Cuántas especies existen registradas en el jardín botánico?

d. En una escuela de idiomas existen 380 profesores, de los cuales: 45 hablan ingles, francés e italiano. 75 hablan francés e ingles. 85 hablan ingles e italiano. 95 hablan italiano y francés. 160 de los profesores hablan ingles, 165 hablan francés y 170 hablan italiano y el 5% del total del profesorado habla japonés. ¿Qué cantidad de profesores no habla inglés, ni francés, ni japonés?

e. En un estudio realizado en 24 municipios de estado de Veracruz por los Herpetólogos de la UNAM encontraron los siguientes datos, 20 especies de serpientes arbóreas, 24

especies de serpientes son terrestres, 24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, además algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes características: 6 especies arbóreas también terrestres, 10 especies que son acuáticas también son arbóreas, 4 especies arbóreas son terrestres y también son acuáticas, 9 especies de las serpientes terrestres también son acuáticas, 3 especies que son terrestres también son acuáticas y son venenosas, 6 especies terrestres son también son venenosas, 8 especies de serpientes que son acuáticas también son venenosas ¿Cuántas especies estudiaron los Herpetólogos?

f. En una escuela de preparatoria con dos turnos de trabajo, la planta docente de ambos turnos tiene los siguientes datos: 19 profesores de Biología, 30 Profesores de Química, 15 Profesores de Física, 24 Profesores de Matemáticas y 19 Profesores de Inglés; algunos maestros enseñan otras materias y he aquí los datos: 8 profesores enseñan tanto Biología como Química, 9 Profesores enseñan tanto Física como Química, 10 profesores de Matemáticas enseñan también Química y 9 profesores de Inglés también imparten la materia de Matemáticas. Si existen 230 profesores de otras asignaturas ¿Qué cantidad de profesores hay en ambos turnos? ¿Cuántos profesores imparten a lo más una asignatura?

g. Un

publicista después de entrevistar a 2500 personas para detectar la influencia de tres emisoras de radio, encontró que:

590 escuchan radio Olimpia.790 escuchan radio Sinfonía.950 escuchan radio Moderna.195 escuchan radio Olimpia y radio Moderna.250 escuchan radio Olimpia y radio Sinfonía.295 escuchan radio Sinfonía y radio Moderna.105 escuchan las tres emisoras.

1) ¿Cuántas personas no escuchan ninguna emisora?.2) ¿Cuántas personas escuchan al menos dos emisoras?3) ¿Cuántas personas escuchan radio Olimpia pero no radio Emisora?4) ¿Qué decisión será mejor: - Lanzar un comercial en radio Olimpia y radio Moderna, o - Lanzar un comercial sólo en radio Sinfonía?

h) En una encuesta realizada a cien personas se ha obtenido lo siguiente:

40 leen el periódico “A”42 leen el periódico “B”45 leen el periódico “C”13 leen el periódico “A” y “B”20 leen el periódico “A” y “C”18 leen el periódico “B” y “C” 7 leen el periódico “A” , “B” y “C”

d) ¿Cuántas personas no leen ninguno de los tres periódicos?d) ¿Cuántas personas n leen únicamente el periódico “A”?d) ¿Cuántas personas leen únicamente un solo periódico?d) ¿Cuántas personas leen al menos dos periódicos?

UNIDAD II Sistemas de NumeraciónI. Contesta brevemente lo que se te pide:

a) ¿Qué es un sistema de numeración?

b) ¿Qué es un número?

c) ¿Qué es un numeral?

d) ¿Cuál es la ventaja del sistema babilónico sobre el sistema romano?

e) ¿A qué se refiere el principio repetitivo y cuál es su utilidad?

f) ¿Cómo se utiliza el principio aditivo?

g) ¿Cuál es la importancia del principio sustractivo?

h) ¿En qué sistemas numéricos se utilizó el principio multiplicativo?

i) ¿Qué es la base de un sistema numérico? ¿Cuál es su importancia?

j) ¿Qué base utilizaba el sistema de numeración babilónico?

k) ¿Qué base utilizaba el sistema de numeración maya?

l) ¿Qué base utilizaba el sistema de numeración egipcio?

m)¿Qué base utilizaba el sistema de numeración romano?

n) ¿Qué base utilizaba el sistema de numeración chino?

o) ¿Qué base utiliza el sistema de numeración binario?

II. Transforme las siguientes cantidades al sistema de numeración indicado: a) a maya (base 20).

1) 56210(10) 2) 6897(10) 3) 213(10)

4) 209(10) 5) 5075(10) 6) 3046(10)

7) 9805(10) 8) 1085(10) 9) 7205(10)

b) a base binaria:

10) 160(10) 11) 97(10) 12) 223(10)

13) 129(10) 14) 75(10) 15) 146(10)

16) 215(10) 17) 185(10) 18) 205(10)

c) china (base 5) a sistema maya (base 20):

19) 320(5) 20) 42(5) 21) 223(5)

22) 121(5) 23) 13(5) 24) 141(5)

25) 210(5) 26) 110(5) 27) 204(5)

d) a base decimal:

28) 1100100(2) 29) 345(6) 30) 437(9)

31) 10010110(2) 32) 22345(7) 33) 10100111110(2)

34) 10011010(2) 35) 111100111(2) 36) 4342 (5)

e) Transforme las siguientes cantidades a la base indicada

1101112 b10 ; 543627 b10 543627 b10

234128 b10 34562710 b3 6543210 b5 5643218910 b2

f) Realice las siguientes operaciones en base binaria:

a. 11011 x 11011 b. 10010 + 1011d) 1011010

101a. 110011 –101 b. 11001011 1001 c. 101010 x 10101d. 101011011 1011 e. 101110110 – 10110 f. 1011 x 10110

g) Realizar las siguientes operaciones en la base indicada:

1100112 12345 432568 43269 3252436 1101112

1011012 43225 x45328 - 33679 - 2535446 x 1018

+1111012 + 33435

1101012 23425

UNIDAD III El CAMPO DE LOS NUMEROS REALES

I .Contesta correctamente las siguientes preguntas:a) ¿Qué es número natural?

b) ¿Qué es un número real?

c) ¿Qué es un número racional?

d) ¿Qué es un número irracional?

e) ¿Qué es un número imaginario?

f) ¿Qué es un logaritmo?

g) ¿Qué es una potencia?

h) ¿Qué es un número primo?

i) ¿Qué se entiende por notación científica?

j) Explica brevemente en qué consiste el método de Euclides.

k) Explica brevemente en qué consiste el método de la criba de Erastótenes y para qué se utiliza.

II. Descomponga cada una de las siguientes cantidades en sus números primos:

g. 21544 h. 48512 i. 96210j. 82004 k. 4632 l. 58610m. 5852 n. 32486 o. 56550

III. Obtén el mínimo común múltiplo de las siguientes cantidades:

a) 21544, 48512, 96210.

b) 82004, 4632, 58610.

c) 5852, 32486, 56550.

IV. Resuelve los siguientes problemas:d) Tres barcos zarpan del puerto de Veracruz con las siguientes frecuencias: el primero, cada

tres días; el segundo, cada 8 días y el tercero, cada 10 días. Si los tres salen el mismo día,¿en cuánto tiempo volverán a partir juntos y cuántas veces habrá zarpado cada uno antes de que vuelvan a coincidir?

e) ¿Cada cuántos años se realiza en año bisiesto el cambio de presidente?

f) En una carrera de automóviles, uno da una vuelta completa en 80 segundos y otro en 60 segundos.Si ambos automóviles salen al mismo tiempo y mantienen una velocidad constante,¿cuánto tardará el más rápido en lograr una vuelta de ventaja sobre el otro?

g) En la terminal de Autobuses Oriente de la Ciudad de México, cada 12 minutos salen autobuses a la ciudad de Puebla y cada 15 minutos a la ciudad de Tlaxcala. Si a las 12 del día salen autobuses hacia ambos destinos, ¿ a qué hora volverán a coincidir las salidas?

h) En un grupo de la prepa CHMS, hay menos de 100 alumnos. Si los alumnos forman tres filas, falta uno para igualar todas las hileras; si integran cuatro filas, también falta uno; si se alinean en cinco filas ocurre lo mismo.¿Cuántos alumnos hay en el grupo?

V. Obtén el máximo común divisor de las siguientes cantidades:a) 21544, 48512, 96210.

b) 82004, 4632, 58610.

c) 5852, 32486, 56550.

VI. Resuelve los siguientes problemas correctamente.a) Luis va a dividir un terreno de 216 m por 252 m en parcelas cuadradas de la mayor área

posible.¿ DE qué dimensiones deben ser las parcelas para abarcar todo el predio?

b) En la tienda de Luis hay 120 chocolates y 96 dulces. Luis quiere vender toda esa mercancía en bolsitas con el mismo contenido.¿Cuál es el máximo número de bolsitas que puede formar? ¿Cuántos chocolates y cuántos dulces debe contener cada bolsa?

c) Rosa tiene tres piezas de listón de 48,60 y 84 metros, respectivamente, y quiere cortarlas en la menor cantidad de pedazos de la misma longitud, sin desperdiciar listón. ¿ De qué longitud deben ser los pedazos?

d) ¿ Cuál es el valor del número N si se sabe que éste es mayor que 50 y menor que 60 y que el M.C.D de N y 16 8?

VII. Realice las siguientes operaciones números enteros:a) 38 + (-8) –(-7) +15=

b) 125+[(-3)(4)(3)] – (-8) =

c) (5)[8+(-2)] [(-15)(2)] =

d) –7 + 4 + (-3) – 28 =

e) [(6)(4)] – [(7)(3)] – [(8)(-1)] =

f) [13 + (-8) +[(-3)(4)] - 6]

g) 7+[(-3)(5)(8-2)] + (8)[ 9+(-6) + 2 +(-7)] =VIII. Escribe la propiedad de los números reales que ilustra en cada caso:a) 3 + ( + 5) = ( 3 + ) +5 ___________________________________

b) 6 + (4)2 = 4(2) + 6 _________________________________

c) 3 + ( + 5) = ( + 5) +3 __________________________________

d) 8 = 8 __________________________________

e) (17 23)34 = (23 17)34 __________________________________

f) 6 = 6 __________________________________

g) 3(4+6) = 3x4+3x6 ___________________________________

h) 34x1 = 34 ___________________________________

i) 2 +(-2) = 0 ___________________________________

j) ( -4)(-1/4) = 1 ___________________________________ k) 5(3+6) = 5x3 +5x6 ___________________________________

l) 6 (1) = 6 ____________________________________

IX. Realiza las siguientes operaciones.

a) 4(2+·3) - 7- 4 - ( 8+5) -3 +4 -3-5 =

b) 9- (6+4) 2(5 - 3) +2 =

c) - 5- ( 8+4) 3(-2) +6(-3) +4 - (7+5) (-4) +2 =

d) 3(4+2) -7 - 4-(6+5) - 3(6) 2(-3) -5 - 4 =

e) 3/4+ 5/3 – 4/3 +6/4 =

f) 4 5(2-6) +6(-3-5) 4+2(4-5+6) 3+4(4-1+3) +3/4 =

g) 5 +8(-3+7) 16+12 -4(3(2)-5) -11 =

h) 4+ ( 3-6) +5 -6(8-5) = 3(-3+4) -6 +2(5-7)

X. Conteste correctamente las siguientes operaciones de números racionales:

a.3

+6

– 8

= b.- 8 2

=4 5 3 3 15

c.23

– 3 – 8

= d.10

x3

x3

=4 3 7 12 2

e.23

– 7

– - 18

= f.8 3

=3 5 4 12 5

g.- 5

+7

– 8

= h.3

x16

x- 3

=9 12 15 - 4 5 7

i.-12 7

= j.10

– 25

+ 2 =24 4 8 13

XI. Realice los siguientes ejercicios de potencias:

k. (2)3 (3)8 (4)5 (3)-5 (2)-6 =

l. (a)6 (b)8 (k)3 (b)-3 (a)-3 (k)4 (a)-4 (b) –6 (k)2 (b)3 =

m. (-2)3 (3)-5 (b)3 (3)-6 (-2)-3 (b)6 (-2)5=

n. (2a)2 (3b)-8 (1c)3 (3b)6 (2a)-3 (1c)6 (2a)-5 (1c)3 =

o. (a)2 (s)7 (d)-5 (s)-4 (d)-2 (a)6 (s)-2 (d)8 =

XII. Graficar los siguientes intervalos, expresarlos en forma de desigualdad: y escriba de que tipo es:

a) ( -3, 6)

b) 2,8)

c) -4,-1

d) (-5,5

e) (-2, 6)

XI.- Exprese cada desigualdad en forma de intervalo, haga la grafica correspondiente y clasifíquelo:

a) -1 x 2

b) 1 x 4

c) x 0

d) -5 x -2

XIII.- Dados los siguientes intervalos, realiza las operaciones indicadas y su gráfica correspondiente: A = (-2,6) B= 1,4) C= -4, -1

a) A B

b) A C

c) A B C

d) C A

XIV. realice las operaciones siguientes:

a) 7 5 = b) 4 -5 = c) 3 7 = d) 5 5 = 77 47 37 5-8

e) 4x 5 = f) 14x 5 = g) 2x 7 y 5 = h) 5 5 ·4x 5 -3 = 2x6 7x-7 4x4 y-6 5-82x5

i) 42x 5 = j) 14x 5 = k) 32x 7 y 5 = l) 3 5 ·4x 5 2 = 6x6 7x-7 4x4 y-6 -8·2x5

m) (-4)3 (-4)5 = n) 2 5 ·3 5 = ñ) (3)-3 = 26 ·3-4

p) 51/2= q) 32= u) -25 = v) (2233)-2 = w) ( -64) -1/2 =

XVI.-Realizar las siguientes operaciones de números complejos y hacer la gráfica

correspondiente.

a) (2 + 3i) + (-4 –5i) =

b) (-4 – 2i) – (3+4i) =

c) (4 - 5i) + ( 5 –3i) =

d) (5-2i) –( 2i + 3) =

e) (-2 –3i)(3 – 4i) =

f) (3+2i)(-2 – 5i) =

g) (-4 –5i)(-4 –i) =

h) (-2 –3i) - (3 – 4i) =

XV.- Aplicando logaritmos, encuentre lo que se pide:

a) log 2 128 =

b) log 3 81 =

c) log 5 3125 =

d) log 4 64 =

e) (325.16) 23.56) = f) (23.52)1.23(145,5) = g) (342.6)(65.87) =34.5

h) 3.2 (56.34) 2.36 ( 123.7) i) log 3 x 5 y 4 j) log 3x4 = k) log (x3y4/z3) = 34.56 z3

XVI: Realice los siguientes operaciones de logaritmos y simplifica cada expresión al mínimo posible:

p. Log 2x – log 3x + log (x5) =

q. Log 4 + log 23 – log 8 + 3 log 7 =

r. Log a +log 7b – log 83 – log 3c =

s. Log 8f4 – log 6f + log 5f – log 7f2 =

t. Log 3x3h4 – log 6h5x8 + log 2x5h =

XVII. Escribe las siguientes cantidades en notación científica:

u. 81200000000000/309800000000=

v. 0.0000000234 x 2980000000 =

w. 10000000000 + 1239990000000 – 999000000 =

x. 82394000000000 x 0.0000000003 =

y. 0.0000023423499 / 0.00000000000000125 =

z. (000000000000023 x 145000000000000000) /50000 =

UNIDAD IV POLINOMIOSI. Contesta brevemente lo que se pide:

a) ¿Qué es un monomio?

b) ¿Qué es un polinomio?

c) ¿Cuál es la importancia del uso de monomios y polinomios en tu vida diaria?

d) ¿Qué es un factor común?

e) Explica 3 usos prácticos de un polinomio.

II. Realice las siguientes operaciones:

a) (-6xy+3xy2-5x4y-2) - ( -8xy-3xy2-4x4y-2 ) + (-3xy+5xy2+4x4y-2)=

b) (5x4y-2) (-2x-2y4-6x3y3+4x-3y5z)=

c) (2x2y3+2x4y5)(3x2y4-3x3y-2)=

d) (-3x4y5+2x2y-3)(-3x2y-2-3xy-3x3y-2)=

e) Restar (-6xy+3xy2-5x4y-2) a ( -8xy-3xy2-4x4y-2 ) =

f) a 4xy+5xy2-8x4y-4 restar -4xy-4xy2-3x4y-4 =

g) (4x4y+5xy2-8x3y2) ( -4xy - 4xy3-3x3y4 ) =

h) (-23x2y-322 )3 =

i) (-24x2y3) –2 =

j) (33x7y-52-3 )5 =

k) -6x 5 y 3 z+5x 3 y 2 z 2 -12x 2 y 3 -9x 3 y 2 z 2 - 4x 2 y 3 -4x 3 y 2 z 2 = -2 x-2y-3z-2

l) -6x -3 y -5 +6x -5 y -4 z 2 +18x -3 y 3 -15x 3 y 2 z 2 - 24x -4 y -3 -30x 3 y -4 z 2 =-3 x-4y-2z2

m) (3 – 2)(3+2) =

n) 6x 3 +11x 2 +4 x +35 2x +5

ñ) 8x 3 - 22x 2 -5 x +12 4x +3

o) 24x 3 + 2x 2 -15

3x - 2

p) (-23x3y2)(3x4y-3) =

q) Log x5 =

r) =

III.- Elimina los signos de agrupación y reduce términos semejantes:

a) 10(x+3) - 4 +2(-2x-1) +6 =

b) -6(x+4(2x-2) -3(x-2) -5 =

c) 2a-2b+-4-(3a-2b)+(6a-b) -(a-b) -3 -2a +b =

d) 8 - 32x - (x +4) -3 –2

UNIDAD V FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES

IV.- Identifica los siguientes productos notables y resuelva aplicando las reglas correspondientes.

1) ( 3X2Y3 +5X3Y4)2 =

2) ( 5X3Y3 -5X2Y5)2 =

3) ( 4X2Y4 +7X2Y3)2 =

4) ( -2X2Y-2 - 6X4Y3)2 =

5) ( 5X2Y2 -7X3Y2)2 =

6) ( 2X6Y3 - 3X5Y4)2 =

7) ( 3X2Y3 + 5X3Y4)3 =

8) ( 5X2Y2 -4X3Y5)3 =

9) ( -4X5Y3 -5X2Y4)3 =

10) ( 6X3Y2 - 5X3Y2)3 =

11) ( 8X2Y4 +5X3Y3)3 =

12) ( 5X3Y4 -6X4Y2)3 =

13) ( 3X2Y3 + 5X3Y4 +2X2Y3 )2 =

14) ( 4X3Y2 - 5X4Y3 +2X5Y2 )2 =

15) ( 4X2Y4+ 6X2Y5 +3X3Y7 )2 =

16) ( 8X-2Ya +6X3Y2a z+2X2Y3 z)2 =

17) (3X2Y3 + 5X3Y4)( 3X2Y3 -5X3Y4)=

18) ( 8X3Y2 +4X5Y2) ( 8X3Y2 -4X5Y2)=

19) ( 5X2Y2 - 4X4Y2) ( 5X2Y2 -4X4Y2)=

20) ( 2X3Y5 +7X4Y3) ( 2X3Y5 -7X4Y3)=

21) ( 3X3Y-2 + 4X-5Y2) ( 3X3Y-2 -4X-5Y2)=

22) (3xy +2xz-4yz)2 =

23) ( 8X3Y3 + 4zX5Y2) ( 8X3Y3 –4zX5Y2)=

V.- Relaciona las dos columnas de acuerdo a la regla del producto notable, factorización o propiedad del logaritmo correspondiente:

1) a(b + c) ( ) log a – log b

2) ax + bx + by + ay ( ) (a + b)(a - b)

3) (a + b)2 ( ) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

4) log (A B) ( ) ab + ac

5) (a - b)2 ( ) B log a

6) (a + b + c)2 ( ) a2 + 2ab + b2

7) log (A/B) ( ) (a – b)(a2 + ab+ b2 )

8) (a + b - c)2 ( ) log a/b

9) a3 – b3 ( ) a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc

10) a3 + b3 ( ) a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

11) log ab ( ) a2 -2ab + b2

12) a2 - b2 ( ) log A + log B

13) b __ log a ______________

( ) (a + b)(a2 – ab + b2 )

14) (a + b)3 ( ) (a + b)(x + y)

VI. Factoriza los siguientes polinomios:

aa. 20 ab2 – 15 a3b =

bb. m5 – 2 m2 + 6 m =

cc. 25 y 3 – 15 y2 – 10 y =

VII. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados:

dd. 25 x2 – 36 a4 = ee. bx2 – b =

ff. 36 m2 – 1 = gg. 5 ab4 – 245 a =

hh. 49x2y – 169 y = ii. 4 – 49 a2b2 =

VIII: Factoriza los siguientes trinomios:

jj. 49 x2 – 42 xy + 9 y2 =kk. 4 x2 – 4 xy + y2 =

ll. 6 x2 – 19 x + 3 = mm. 6x 2 – 23 x – 4 =

nn. 25 a 2 + 40 ab + 16 b2 = oo. 36 a 2 – 60 ab + 25 b2 =

IX. Resuelva los siguientes cuadrados de binomios:

pp. ( 2b – 2 ) 2 = qq. ( y +1/3 ) 2 =

rr. ( 3 ab – c ) 2 = ss. ( a/b – c/2 ) 2 =

tt. ( x/2 + 2 ) 2 = uu. ( b2 – a/x ) 2 =

X- Identifique los siguientes factorizaciones y resuelva cada una:

1) ax +ay +az =

2) 3X2Y3 +15X3Y4 +12X2Y3 =

3) -32X5Y2 -22X3Y4 -12X2Y =

4) 64X12Y24 +8X6Y3 =

5) X2Y8 -25X6Y4 =

6) 4X12Y24 - 100X6Y12 =

7) 16X8 -24X4Y5 +9y10 =

8) X2 +12X +36 =

9) xy + 2x + y +2 =

10) X3Y6 -125X6Y12 =

11) 4X2 –3xy –24xz –yz =

12) 6X2 -13X +7 =

13) 18X2 -23XY +7y2 =

14) -2a2b –4ab2+8a3b2=

15) 9X2Y4 -49X6Y14 =

16) 25X8 -80X4Y6 +25y12 =

17) y2 +10X +25 =

18) 3X2 +12X +12 =

19) xy + 2x + y +2 =

20) 24X2 -26X +5 =

21) X12Y9 - 1000X6Y24 =

22) 7X2 -26X +15 =

23) 6r2 –5rs +18rt –15st =

24) a3 +27X6 =

25) 625X16 –256s 8 =

26) 4a2 +12a +9 =

27) 3X3y2 -9X2y3 -27X3y3 =

28) 6uv –12ux –15v w+10vx =

29) X4Y10 -121X6Y4 =

30) X3Y9 -216X6 =

31) 16X2 -56XY +49y2 =

32) 15c2 –17xc +4x2 =

33) X2 +6X +9 =

34) 1 - X12Y24 =

35) 3p2 +5p +2 =

36) t2 –8t -65 =

37) X2 -4XY +y2 –4z2 –12zw –9w2 =

38) 4a2 –4ab +b2 –c2 +6cd –9d2 =

39) 27X18Y15 +8X6Y24 =

40) X-3Y12 - 8X9Y3 =

41) X15Y24 + 8X18Y32 =XI.- Resuelve los siguientes problemas:

1.- Un cubo mide de lado 5x + 3, hallar su volumen.

2.- El área de un terreno cuadrangular es x2+14x -95.Calcular cuánto mide de lado y el valor de su perímetro.

3.- Un terreno rectangular mide de largo 2x+5 y de ancho 2x – 7, Determinar el valor de su área y el valor de su perímetro

UNIDAD VI OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES

h) Contesta brevemente lo que se te pide:

a) ¿Qué es un número complejo y para qué sirve?

b) Explica tres usos prácticos de los números imaginarios.

i) Factoriza por agrupamiento los siguientes trinomios:

a. 3 x2 – 13 x + 4 = b. 3 –10y + 8 y2 =

c. 6 t2 – 20 t + 16 = d. 2 w2 – 17 w + 21 =

e. 14 w2 + 23 w – 15 = f. 5 s2 + 14 s – 3 =

j) Factoriza por agrupamiento los siguientes polinomios:a. nx + ny + 5x + 5y = b. x3 – 5 x2 – 9x + 45 =

c. 6 x2 – 48x – x + 8 = d. x2 – 6x + 9 – y2 =

e. 15 x2 + 6ax + 20 xb + 8 ab = f. 3 a2 – a + 3a – 1 =

XII.- Simplifica las fracciones siguientes:

a) a 3 x y 2 = g) 3ab = axy 2a2x – 2a3

b) 30 x 6 y 2 z 2 = h) 6xy = 45a3y5z3 3x2y – 3xy2

c) 3 ab = i) 8x 3 + 1 = 2a2x –2a3 8x 3 - 4x 2 +2x

d) 2ax + 4bx = j) 4 - 4x = 3ay+6by 6x - 6

e) 54 x 9 y 11 z 18 = k) ) x 2 - y 2 = 63x10 y9 z4 y2 - x2

f) 15 a 12 b 15 c 20 = a11b12 c3

XIII.- Realice las sig: operaciones con fracciones y simplifique:

a) 3 + a-2 = 2a 6a2

b) x – 2 + 3x + 2 = 6 4

c) 2a 2 x 6b 2 x 2a = 3b 4a 2b2

d ) x 2 2x = 3y2 y3

e) ( a + a ) ( a – a ) = b b+1

f) x – 1 2x – 2 = 6 4

g) 2 + 1 = 5a2 3ab

h) a–2b + 3x + 2 = 15a 20b

i) x 2 y x 10a 3 x 9m = 5 3m2 x3

j) 3a 2 b a 3 b 3 =5x2 2x

k) ( x – 2 )( x + 1 ) = a+x x+2

l) x + 1 2x + 2 = 6 3

m) ( a + b) 2 – c 2 x ( a+c) 2 – b 2 a+b+ c = ( a - b)2 – c2 a2 +ab -ac a2

n) a 2 – 5a ( a 2 +6a - 55 x ax +3a ) = b + b2 b2 - 1 ab2 + 11b2

XIV..- Simplifica las fracciones complejas siguientes:

a) a - a e) X – 1 - 5 b = X + 3 = b - 1 X + 5 - 35 b X + 3

b) x + 4 + 3 f) 1 + X + 1 ______ x = X – 1 =

x – 4 – 5 1 - 1 x X – 1 X +1

c) X2 - 1 g) a - b x = a –b a+b = x - 1 a+b + a x a - b b

d) a - 4 0+ 4 h) 1 – 9 + 20 _____a = a a 2 a 3 = 1 – 2 16 - a

a a

XV .Realice las siguientes operaciones de fracciones algebraicas:

g.x2 + 2x + 1

= h.x2 – 4

=x2 + 5x + 4 3x + 6

i.2 a – 4 b

= j.x3 + 27

=12 b – 6 a x2 – 3x + 9

k.2x + 4 x x2 – y2

= l.y3 + y2

x 4y2 –4y=

x + y 4x + 8 y2 - 1 y3

m.x2 + 3x – bx – 3b x nx + nb

= n.2y – 14 6y – 30

=x2 – b2 4x + 12 y2 – 2y - 35 y2 - 25

o. x2 – 4x – 21 7x – x2 = p. b2 – 2b – 8 4 –b2 =

x3 + 27 x3y – 3x2 y + 9xy 4b – b2 5b - 10

XVI. Utilizando el Teorema del Binomio resuelva los siguientes ejercicios (Triángulo de Pascal):

q. ( x – 3 )4 = r. ( x – 3 )6 =

s. ( 2 – y )5 = t. ( 4 – 2y )4 =

u. ( -x + 3 )6 = v. ( 5 + 3x )5 =

w. ( -2 – y )4 = x. ( 2y – x )6 =

y. ( y – x/3 )5 = z. ( 3x + y )7 =

XVII. Simplifique los siguientes radicales: _________

1. 2a 88a3b7c9 =

3 ______ _ 2. 2xy 256 x2y8 =

_____________ 3. 2 x2 –4xy +2y2 =

3________4. 2 32x2y7 =

7 _______5. 3 384x8y9 = 2x

_____________6. 9x3 - 36 x2 +36x =

XVIII Introduce el término al bajo el radical. _____1. 4x 2 x2 =

2. (x+1) 2x = x+1

4 _____3. 2a 8ab5 =

_____4. (x-1) x –2

x-1

IX- realice las siguientes operaciones de radicales: _ __ __ a) 25 - 5 5 + 6 5 =

b) 40 + 1029 - 625= 3 ____ 3 _____c) 5 9b2c3 * 4 3b4c2 =

d) 2 ( 2 - 3 ) =

3 _____ 3 _____

e) 48a3b7 8a9b2 =

5 ______f) 3(162 a4b5 )7 =

3__________

g) 512 x7y9z12 =

_____h) 55 =

i) 28 + 58 - 88 - 128 =

3 __ 3___ 3 ___ 3___j) ½ 24 – 2/3 54 + 3/5 375 –1/4 128 =

__ __ __k) ½ 21 * 2/3 42 * 3/722 =

l) (5 + 32)(5+42 ) =

ll) 46 23 = 5 ________ m) 3 (324 a5b7 )11 = n) 33

X.- Racionaliza el denominador de:

1. 8 = 7 2. 6 =

5

3. 5 = 2

4. 7 = 5 - 25

5. 7 =2 - 26

6. 3 = 3 -211

7: 3 - 2 7 = 8: 5 - 2 7 = 3 - 37 3 - 25

XI. Realice los siguientes operaciones de radicales:

UNIDAD VII TEORIA DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

a. √( 2y + x/3 )12 =

b. √(16x4 – 160x3y + 216x2y2 – 216xy3 + 81y4)=

c. √( 3x – 5 )-12=

d. √(( 6 + 4a )22 / ( 2 a + 3)18)=

e. √((16y4 – 96y3z + 216y2z2 – 136yz3 + 81z4)/(5 + 2x)6)=

11)Resuelva las ecuaciones de primer grado, segundo grado y desigualdades indicadas.

a) Encuentre el valor de la literal en las siguientes ecuaciones de primer grado y compruebe:

aa. 7 x + 15 = 3 bb. 3 (4/b) = 6

cc. 6 y – 27 = 37 dd. 3/x – 3 = 4

ee. 11 a + 15 = 92 ff. 6(3x – 1 ) – 2x = 2(2x – 5 ) – 8

gg. 4 ( 5 – 3b/2 ) + b ( 2 – 1/4) = 10 hh. 7( x + 3 ) – 3 ( x- 2 ) = 16 – (2 x - 3)

ii. 1/y + y = 15 jj. [(4x+13 )/7] –1 = [(3x – 5)]/10

b)Encuentre el valor de la literal en las siguientes ecuaciones de segundo grado y compruebekk. x2 + 6x = 0 ll. 4 x2 – 1 = 0

mm. 4x2 – 20 x = 0 nn. x2 – 5x + 6 = 0

oo. 5 x2 +15 x = 0 pp. 3x2 + x – 10 = 0

c) Resuelva las siguientes desigualdades de primer grado y compruebe su respuesta. Exprese su resultado como un intervalo, indicando si sus extremos son abiertos o cerrados:

qq. 2 x + 5 3 rr. –1 3x + 17 < 2

ss. 5 x – 1 -6

tt. –10 < 5 ( x +3 ) 5

uu. 6 – 3y < 9 vv. 2(5 – x ) > x + 19 -15

ww. 5 ( 9 – x ) > 4 ( x + 15 ) +12 xx. 21 < 3(5 – 2x) < 39

yy. –20 4( x – 8 ) 16 zz. 5( x – 1 ) – 2 ) x – 3 ) 13

d).Realice las desigualdades de segundo grado y compruebe su respuesta. Exprese su resultado como un intervalo, indicando si sus extremos son abiertos o cerrados:

A) x2 – 9x + 14 0 F) x2 – 6x – 16 < 0

B) 3x2 – 13x + 4 < 0 g) x2 + 5x + 24 0

C) 64 – y2 <0 h) x2 – 4x + 3 > 8

D) x2 – 2x – 15 0 I)x2 – x + 9 2x + 21

E) x2 – 5x – 20 < 16 J) y2 – 9y + 14 > 0

e).Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de suma:

c) 2x + 4y = 23x + 9y = 7

d) 8x + y = 213x + y = 11

e) 8x – 3y = 55x – 2y = 4

f) 2x + y = -26x – 5y = 18

g) 7x – 15 = -2y5y – 3 = 6x

f). Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de resta:

h) 2x - 4y = 2-3x + 9y = 0

i) 7x + y = -213x + 5y = 11

j) 2x – 3y = 35x – 8y = 4

k) 2x + 2y = -26x – 5y = 8

l) -7x – 15 = -2y5y – 13 = 6x

g) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación:

m) -2x + 4y = -2x + 4y = 6

n) 8x + 11 = 2y2x + y = 11

o) 4x + 6y = 55x – 3y = -10

p) 2x + y = -205x – 5y = 18

q) 7x – 15y = 05y – 3x = 0

h). Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de sustitución:

11) 8x - 4y = 312x + 9y = -7

12) 8x + 7y = 1-5x +3 y = 11

13) 9x – 4y = 55x – 7y = 0

14) -2x + y = 16x + 5y = 8

15) 9x = -2y5y – 9 = 6x

i).Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de kramer (determinantes):16) 3x - 8y = -2

-2x = 7y17) 7x + 4y = 2

3x + 5y = 14

18) 2x + 6y = 58x – 5y = 4

19) -2x + 3y = -84x – 5y = 10

110) 7x – 11 = -2y5y – 3 = 16x

j). Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

111) 6x – 4y – 5z = 124x – 2y – 3z = 85x + 3y – 4z = 4

112) 2x+ 5 y + 2z = 53x – 2y – 3z = -12x + 3y + 3z = 10

113) x + y + z = 4x – 2y – z = 12x – y – 2z = –1

114) 3x – 2y – z = 32x – y + z = 4x – 2y + 3z = 3

k).Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico:

115) x2 + y2 = 25x2 + y2 = 11

116) y – x2 + 4x = 74x – y = 8

117) 9x2 –4y2 = 36-x + y = 2

118) x2 + y2 = 9x + y = -3

119) x2 + y2 + 2x – 12y + 12 = 0x + y = 0

XIII- resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por el método indicado:

1. (factorizando) a) x2 +15x +56 = 0

b) x2 - 5x +6 = 0

c) x2 + x -56 = 0

d) x2 - 7x + 12 = 0

e) 6x2 + 5x + = 6

f) 2x2 + 5x + 3 = 0

2. (completando trinomio cuadrado perfecto)

a) x2 -16x +63 = 0

b) 4x2 +3x -22 = 0

c) x2 -19x + 88 = 0

d) 3x2 - 5x +2 = 0

e) 8x2 +10x – 3 = 0

f) 2x2 - 3x -5 = 0

3. ( aplicando fórmula general)

a) 25(x+2)2= (x-7)2 – 81 –x+2

b) (x+4)2= 2x( 5x – 1) – 7 ( x - 3)

c) 5x-4)2 –(3x+5)(2x-1) = 20x(x-2) +37

d) (x-1)(x-2) – (2x-3)(x+4) – x+14 =6

e) (2x+3)2= 2x( 5x – 1) – 5 ( 3x - 2)

f) (3x+5)2= 2x( 6x – 1) – 3 ( 4x - 7) –5x +2

g) x6 – 39x4 + 26x3 – 52x2+ 29x – 30 x – 6

XIV.- Resuelva los siguientes problemas indicando el procedimiento.

1. Un grupo de excursionistas efectúan un recorrido de 380 km. En 7 horas durante una expedición. Durante 4 horas viajan a lo largo de una carretera pavimentada y el resto del camino por una carretera de terracería. Si la velocidad media por el camino de terracería es de 25 km/h. Menor que la velocidad por carretera. Determina la velocidad en la carretera y la distancia recorrida en cada uno de los tramos.

2- Un agricultor puede arar un terreno en 4 días. Su hijo, empleando maquinaria más pequeña puede hacerlo en 8 días. ¿ En cuánto tiempo pueden arar el terreno si trabajan conjuntamente.

3. El largo de un terreno rectangular es 7 m. mayor que el ancho, y la diagonal mide 13 m. Hallar las dimensiones el terreno.

4. Hallar dos números enteros consecutivos y positivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85.

5. El doble de un número equivale al número aumentado en 111. Hallar en número.

6. área del piso de un cuarto rectangular es 2400 m2 . Hallar sus dimensiones sabiendo que el largo es 4 metros menor que el doble del ancho.

7. Un hombre y su hijo pueden pintar un automóvil en dos días. ¿ En cuánto tiempo pueden pintarlo cada uno si el hijo requiere para ello 3 días más que el padre?

8. Un automóvil sale de Monterrey a las 13 horas con dirección a Torreón y otro sale de Torreón a Monterrey a las 14 horas del mismo día. En el camino se encuentran a las 16 horas. La velocidad del segundo automóvil era 16 km/h. menor que la del primero y las dos ciudades están a 392 Km. una de otra. Hallar la velocidad de cada automóvil.

9. La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años. Hallar las edades.

10.A tiene 3 años más que B y el cuadrado de la edad de A aumentado en el cuadrado de la edad de B equivalen a 317 años. Hallar ambas edades.

11. Hallar las dimensiones del siguiente rectángulo, si su área es de 375 centímetros cuadrados.

x (2x – 5)

12 La suma de los cuadrados de tres enteros positivos consecutivos es 85. Hallar los números.

13. Un señor tiene 60 años y su hijo 28. ¿Dentro de cuántos años la edad del hijo será los 5/9 de la edad del padre?

14. ¿En cuál de las opciones se muestra la gráfica del sistema explique por

qué y el procedimiento?a) b)

c) d)