antologia matematicas 1

7/21/2019 antologia matematicas 1

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UNIDAD 11.- LENGUAJE ALGEBRAICO.1.1.- TRADUCCION DEL LENGUAJE COTIDIANO AL LENGUAJEALGEBRAICO Y VICEVERSA.

-LENGUAJE COTIDIANO

3 grupos de 8 niños, mas 2 grupos de 3 niños, nos hacen un grupo de ¿cuantosniños?

-LENGUAJE ALGEBRAICO3(8)+2(3)=1x24+6=x=3!

"#$%&'# '"%#*'- "#$%&'# -./'$-3a0 # tripe de un numero a cuadrado

(+c)2 "a mitad de a suma de 2 nmeros

#5empos

7# doe de un nmero 2x

7# cuadrado de un nmero x0

7# tripe de un nmero 3x

7# cuo de un nmero x

7# doe de cuo de un nmero,9enos e tripe de otro nmero a cuadrado 2x73:0

EXPRESION ALGEBRAICA

3x+2:=;

<iendo 3x 2: ;, e termino ageraico, >ue se compone de e signo,coeciente, @ariae : gradoA

<%$- positi@os (+) negati@os (7)

-#B#$.# #s e nmero >ue nos indica por cuantas @eces se @a amutipicar a @ariae

C'*'"# #s a etra >ue puede adoptar muchos @aores

%*'/- # grado de un tDrmino con respecto a una etra, es e exponente dedicha etraA # 1 representa e primer grado, e 2, o sea a cuadrado, representae segundo grado, e 3 tercer grado : asE sucesi@amenteA



Jerarquía de oera!"o#e$.

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º.Calcular las potencias y raíces .

3º.Efectuar los productos y cocientes .

4º.Realizar las sumas y restas .

TAREA 1.

-F#*'-$#< '*.9#.'<A

2+48=34 2G(H+3)(4+2)I=J6 (2+4)8=48G(K+3)(H2)IL2=H! H+472+H272+1!L2=1K 1K2G1!!7

(1!1!)I=!'%*&F'*A

12L(371)=6 (2!L2)+3=13 (6+372)=KH(876)=1! (1H7H+3)2=26 (1H7H)+(32)=16

1.%.- PROBLE&AS DE VARIACION.

Var"a!"'# d"re!(a.

*eacin entre dos @ariaes de manera >ue os @aores de amas @ariaesaumentan o disminu:en a mismo tiempo a una ra;n constanteA

:=Mx

Var"a!"'# "#)er$a.*eacin entre dos @ariaes de manera >ue cuando e @aor de una @ariaeaumenta, a otra disminu:e o @ice@ersaA

: ¿ k

x

Var"a!"'# *"#ea*.

y=mx+b

<i x=! entonces :N!



' di@idir e a@ance en O:P entre e a@ance en OxP entre 2 pare5as de nmeros eresutado es constanteA

#5empo ! 1 2 3 H

Q 3 J 1H 21 33

<e cumpe a primer condicin por >ue x=! entonces :=3

*e@isin de segunda condicinA

'@ance en :=J73=6∆ y

∆ x =

6

1=6

'@ance en x=17!=1

'@ance en :=3371H=18∆ y

∆ x =

18

3=6

'@ance en x=H72=3

<e cumpe con a segunda condicin, por o tanto estamos haando de una@ariacin ineaA<iendo e 6 a constante de proporcionaidad @aor de a pendienteA<oo RatarEa determinar e @aor de OP, amada tamiDn ordenada a origen,por >ue esta tiene e @aor de O:P para cuando x=!A #n este caso seria:=mx+3=6(!)+=3

TAREA %.

C'*'-$ /*#.' Q C'*'-$ $C#*<'A7<i una pugada e>ui@ae a 2AH4cm ¿uSntos cm ha: en 32! pugadas?

R=320 x2.54

1=812.80 cm (Cariacin directa)

7#n una 5ornada de traa5o 4 costureras ogran armar 12H pa:eras ¿uSntascostureras necesitamos para >ue en una 5ornada terminen 3KH pa:eras?

R=375 x 4

125=12costureras (Cariacin in@ersa)

7<i 3H iretas cuestan T42! ¿uSnto costaran 1! iretas?

R=420 x 10

35=120 pesos (Cariacin directa)



7&n a@in consume 1! tonA /e comustie en un recorrido de 2H!! Mm,¿uSntas tonA /e comustie necesita para un recorrido de 3H!! Mm?

R=3500 x10

2500=14 ton. (Cariacin directa)

7# mismo a@in @ia5a a una @eocidad de J!!UmVra : se tarda 4H minA #n erecorridoA <i e a@in se tardo 1 horaA ¿a >ue @eocidad hi;o e mismo recorrido?

R=900 x 45

60=675 (Cariacin in@ersa)

TAREA +.

# @ia5e directo en a@in de a ciudad de 9Dxico a 9adrid se reai;a en 1! horascon un consumo de 4H!! tshra, antes de partir, e a@in se carga con 46,!!!ts de comustieA

a) #scrie e modeo matemStico >ue representa a cantidad decomustie >ue >ueda en e a@in despuDs de @oar OxP cantidad dehorasA

y=46000−4500 x

) #aora una taa con 1! @aores

1 2 3 4 H 6 K 8 J 1! Q 41H!!3K!!!32H!!28!!!23H!!1J!!!14H!!1!!!!HH!! 1!!!

c) #aora una graca >ue represente a modeo

d) /eterminar a pendiente de a recta

74H!!

e) /eterminar e @aor de a ordenada a origen

46!!!

TAREA ,.-

/# "' <%&#$.# .'"' /#.#*9$'A

a) #cuacin :=!AHx+1!!) %racac) Fendiente m=!AHd) -rdenada a origen 1!!



.aa

73 4! 71! H Q J8AH 12! JH 1!2AH

%.- ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE

ax+b=0

#cuacin #s una iguadad en a >ue ha: una o @arias cantidades desconocidas,amadas incgnitas : cu:o @aor soo se @erica para determinados @aores deeasA

"a cantidad de souciones para a incgnita en una ecuacin esta dada por egrado de a expresinA

#5empos

2x+3=H 4x+6x7K76=38 4x7x=2x+HKx+873=28

+H=H 3x78+2x7K+Hx7J=!

TAREA .

1

x−1−3 x+2=0

x=1

8 x+3 x−4+9− x=2 x− x+28 x=23J

( x ² x +8 x)2=10 x=1!18

√ 9 x ²+3 x+10=0 x=71!6



[3 ( x−8) ] 8−48=0 x=414

+.- SISTE&A DE ECUACIONES LINEALES CON % VARIABLES.

ax+by=c

dx+ey=f

.enemos 3 posies caminos para cuando tratamos de reso@er sistemas deecuaciones ineaes con 2 @ariaesA

- Coa("/*e de(er"#ado.

"as 2 rectas se cortan en un puntoa

d ≠

b

e

7 I#!oa("/*e.

"as 2 rectas son paraeasa

d=

b

e ≠

c

f

7 Coa("/*e "#de(er"#ada.

"as 2 rectas son coincidentesa

d=b

e=c

f

+.1.- SOLUCION POR &ETODO GRA0ICOBases para resoucin de sistemaA1A7 <e despe5a O:P en amas ecuacionesA

2A7 <e constru:e taa de @aores (x,:)A3A7 <e representan grScamente amas rectas en e5es coordenadosA

omo resutado tenemos una de as 3 opciones anteriores, en caso de >uesea compatie determinado, a soucin es donde se cru;an amas rectas,para os otros 2 casos no existe soucinA

#5empos

#ncontrar e @aor de (x,:) >ue satisRaga en amas ecuaciones por emDtodo gracoA

2x+3:=16 Hx+8:=HH4x+8:=6!

Hx72:=2 2x72:=74 2x7:=7H

3A2A7 <-"&-$ F-* 9#.-/-< '"%#*'-<A

9#.-/- /# *#/&-$



<e trata de sumar as 2 ecuaciones >ue tenemos, para de esta Rormaeiminar una @ariaeA For o tanto deemos mutipicar por @aorescominados : asE pro@ocar >ue una de as incgnitas tenga e mismo @aorpero con signo contrarioA

9#.-/- /# %&'"'-$

#n este mDtodo despe5amos una incgnita en as 2 ecuaciones, uego asiguaamos : nos >ueda una ecuacin con una incgnita, de esta Rormadeterminamos su @aor a despe5araA

9#.-/- /# <&<..&-$

.enemos 2 ecuaciones, en una despe5amos una @ariae, en a otrasustituimos esa @ariae por e dato >ue otu@imos de a primera : nos>ueda una ecuacin con una incgnita, despe5amos : istoA

/#.#*9$'$.#< /# 9'.*#<*ega de cramerA7

ax+:=cdx+e:=R

x=ce−bf

ae−bd

y=af −cd

ae−bd

TAREA .-*#<-"C#* "-< <%A <<.#9'< /# #&'-$#< F-* #" 9#.-/- W&#

%&<.#$A

72x+H:=34 (x=3, :=8) Hx+J:=23 (x=1, :=2)4x+J:=84 2x73:=74

2x73:=2! (x=4, :=74) 3x+H:=731 (x=72, :=7H)8x+2:=24 12x76:=6

7x74:=734 (x=2, :=8)2x74:=728

,.- SISTE&A DE ECUACIONES LINEALES CON + VARIABLES.

"a resoucin de os sistemas de ecuaciones ineaes con mSs de dos incgnitasocup durante os sigos C : C a una riante escuea de ageristas,



principamente itaianosA <us ingeniosos mDtodos ageraicos an siguenproponiDndose como aternati@a a a teorEa de matrices >ue Rue desarroada :renada en os sigos posterioresA&no de os procedimientos conceptuamente mSs sencios para reso@er$"$(ea$ !uadrado$ (con igua nmero de incgnitas : ecuaciones) de mSsde dos ecuaciones se asa en a amada 2ora e$!a*o#adaA #sta tDcnica

consiste en transRormar sucesi@amente, segn cua>uiera de os mDtodosageraicos comunes ($u$("(u!"'#, "3ua*a!"'# o redu!!"'#), e sistema deecuaciones en otro e>ui@aente >ue tenga Rorma escaonaA

&4(odo de Gau$$#n a resoucin de sistemas cuadrados con tres incgnitas se utii;a unprocedimiento escaonado, conocido por 4(odo de Gau$$, >ue consiste enuna generai;acin de 4(odo de redu!!"'#A #ste mDtodo, apicae tamiDna otras resouciones, dee su nomre a su descuridor, e matemStico aemSnar Briedrich %auss (1KKK718HH)A<egn e mDtodo de %auss, e sistema origina se @a transRormando en otros,hasta otener un

$"$(ea equ")a*e#(e na con7&na primera ecuacin con tres incgnitas x, :, ;A7&na segunda ecuacin con dos incgnitas :, ;A7&na tercera ecuacin con una incgnita ;A

<e resue@e a tercera ecuacin para otener ;, se sustitu:e en a segunda : seotiene :, : se rempa;an :, ; en a primera para reso@er competamente esistemaA#n un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, de a Rormaax + : + c; = dex + R: + g; = hix + 5: + M; = m/onde a,,c : d son nmeros reaes, con a, : c, no todos nuos, en unaecuacin inea con tres @ariaes ( x, :, ; )A/e a misma manera >ue se puede reso@er un sistema de dos ecuacionesineaes con dos incgnitas ( x, :), se puede reso@er un sistema de tresecuaciones ineaesAa soucin corresponde a os @aores de x, : : ; >ue hacen @erdadera as tresecuaciones, >ue corresponderEan a as coordenadas de un punto en e espacio,es decir a interseccin de tres panos (tercera dimensin)

Pro!ed""e#(o ara re$o*)er u# S"$(ea de e!ua!"o#e$ +5+##9F"-A6x X 4: X H; = 12 ecuacin (1)4x X 2: X 3; = 8 ecuacin (2)Hx + 3: X 4; = 4 ecuacin (3)

onsideremos as ecuaciones (1) : (2) : eiminemos a O:P mutipicando por (72) a ecuacin (2)6x X 4: X H; = 12 ecuacin (1)78x +4: + 6; = 716 ecuacin (2)



*eai;ando a suma ageraica72x + ; = 74 : a Dsta e amamos ecuacin (4)<e toma entonces a ecuacin (3) >ue no se utii; en e paso anterior : concua>uier otra de as ecuaciones se eimina a misma incgnita por e mismomDtodo de cominacin ineaA

4x 7 2: 7 3; = 8 ecuacin (2)Hx + 3: X 4; = 4 ecuacin (3)<e procede a eiminar a misma @ariae (:) en as dos ecuacionesmutipicando a ecuacin (2) por e coeciente de : de a ecuacin (3) siempre: cuando >uede e signo contrario de a ecuacin (2) : a a ecuacin (3) por ecoeciente de : de a ecuacin (2)12x 7 6 : 7 J ; = 241!x + 6 : 7 8; = 8<umando tDrminos seme5antes22x 7 1K; = 32 #cuacin (H)omo resutado de seguir os pasos anteriores >uedarS un sistema de dosecuaciones con dos incgnitas, a cua puede reso@erse por e mDtodo eegido

: asE haar e @aor de as dos incgnitasA72x + ; = 74 #cuacin (4)22x 7 1K; = 32 #cuacin (H)Fara eiminar a @ariae x se mutipica a ecuacin (4) por 11 : a ecuacin (H)por 1 A # caso es >ue tenemos >ue iguaar en @aor asouto os coecientes dedicha @ariae pero con diRerente signo722 x + 11 ; = 74422 x X 1K ; = 32*educiendo tDrminos seme5antes6 ; = 12/espe5ando a ;; = 2

<ustituimos ; = 2 en a ecuacin (4)72x + ; = 7472 x + 2 = 7472x = 747272x = 76x = 3



Fara encontrar a @ariae >ue nos hace Rata a sustituimos en cua>uiera deas ecuaciones originaesA6x7 4:7H; = 126(3) X 4: X H(2) = 1218 X 4: 71! = 1274: = 127 18 + 1!

74: = 4: = 7 1

TAREA 6.-*#<&#"C# "-< <%&#$.#< <<.#9'< /# #&'-$#<

Hx X 2: + ; = 24 x=3 :=72 ;=H2x + H: X 2; = 714x X 4: + 3; = 26

x + : + ; = 4 x=2 :=71 ;=3x X 2: X ; = 1

2x X : 7 2; = 71

2x + H: +2; = H x=2 :=71 ;=33x X 2: X 3; = 712x + 3: + 3; = 1!

##*- #$ "'<#&na compañEa produce tres tipos de siones e inRanti, norma : e de u5oA #proceso de produccin de cada pie;a consta de tres etapas corte, construccin: acaadoA # tiempo >ue se re>uiere para cada etapa se muestra en asiguiente taa

Etapas Infantil Normal De lujoCorte 5 hrs 7 hrs 8 hrsConstrucción 4 hrs 5 hrs 7 hrsAcabado 2 hrs 3 hrs 4 hrs

<i semanamente a empresa dispone de un mSximo de 216 horas para ecorte, 163 para a construccin : J2 para e acaado, ¿cuSntos siones de cadatipo puede producir a compañEa si opera a su mSxima capacidad?

UNIDAD %.



1.-PRODUCTOS NOTABLES.Produ!(o$ #o(a/*e$ es e nomre >ue recien mutipicaciones conexpresiones ageraicas cu:o resutado se puede escriir mediante simpeinspeccin, sin @ericar a mutipicacin >ue cumpen ciertas regas 5asA <uapicacin simpica : sistemati;a a resoucin de muchas mutipicaciones

haituaesA

ada producto notae corresponde a una Rrmua de Ractori;acinA Fore5empo, a Ractori;acin de una diRerencia de cuadrados perRectos es unproducto de dos inomios con5ugados, : recEprocamenteA

1A17 inomio a cuadrado

(a+)0= a0+73a+0(a7)0= a072a+0

1A27 inomio con5ugado(a+)(a7)= a070

1A37 inomio con termino comn

(a+)(a+c)= a0+(+c)a+c

1A47 inomio a cuo

(a+)=a+3a0+3a0+

%.- 0ACTORI7ACION.

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_perfecto

http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio_conjugado

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_perfecto

http://es.wikipedia.org/wiki/Binomio_conjugado

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n



#s expresar un poinomio o monomio en e producto de otros o5etos mSspe>ueños (Ractores), >ue, a mutipicaros todos, resuta e o5eto originaA Fore5empo, e numero 1H se Ractori;a en3 x HA

2A1A7 inomiosA

2A1A1A7 /iRerencia de cuadradosA

<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuadrado : unidos por e signomenosA <e resue@e por medio de 2 parDntesis, (a7)(a+), uno negati@o : otropositi@oA #n os parDntesis deen coocarse as raEces de cada tDrminoA#5empoAJ:074x0*aE; de J:0= 3:*aE; de 4x0= 2x(3:+2x)(3:72x)

2A1A2A7 /iRerencia de cuosA

<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuo : unidos por e signonegati@oA

1A7 se extrae a raE; cuica de cada termino de inomioA2A7 se Rorma un producto de 2 Ractores (un inomio por un trinomio)A3A7 os Ractores inomio son a diRerencia de as raEces cuicas de os tDrminosde inomioA4A7 os Ractores trinomios se determinan asE# cuadrado de a primer raE; mas e producto de estas raEces mas e cuadradode a segunda raE;A

a7= (a7)(a0+a+0)

#5empoABactori;ar :72K*aE; cuica de : = :*aE; cuica de 2K= 3*esutadoA7 (:73)(:0+3:+J)

2A1A3A7 <uma de cuosA<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuo unidos por un signopositi@oA

1A7 se extrae a raE; cuica de cada termino de inomioA2A7 se Rorma un producto de 2 Ractores (un inomio por un trinomio)A3A7 os Ractores inomio son a suma de as raEces cuicas de os tDrminos deinomioA4A7 os Ractores trinomios se determinan asE# cuadrado de a primer raE; menos e producto de estas raEces mas ecuadrado de a segunda raE;A

a+= (a+)(a07a+0)



#5empoABactori;ar 8x+64*aE; cuica de 8x= 2x*aE; cuica de 64= 4

*esutadoA7 (2x+4)G(2x)072xY4+40I= (2x+4)(4x078x+16)

2A2A7 .rinomios2A2A1A7.rinomio cuadrado perRectoA

<e identica por tener 3 tDrminos, de os cuaes 2 tienen raEces exactas : erestante e>ui@ae a doe producto de as raEcesA Fara soucionar deemosreordenar os tDrminos de5ando de primero : de tercero os tDrminos >uetengan raE; cuadrada, uego extraemos a raE; cuadrada de primer : tercertermino : os escriimos en un parDntesis, separSndoos por e signo >ueacompaña a segundo termino : ee@amos todo e inomio a cuadradoA

#5empo

Bactori;ar 2Hx073!x:+J:0

*aE; 2Hx0 = Hx

*aE; J:0 = 3:

*esutado =(Hx73:)0

2A2A2A7 .rinomio no cuadrado perRectoA

<e identica por tener 3 tDrminos, soo una itera tiene raE; : uno de eos es etermino independienteA <e resue@e por medio de 2 parDntesis, en os cuaes secoocan a raE; cuadrada de a @ariae, uscando 2 nmeros >ue mutipicadosden como resutado e termino independiente : sumados (pudiendo sernmeros negati@os) den como resutado e termino de medioA

#5empo

Bactori;ar a0+2a71H

*aE; de a0= a

9utipicacin 1x1H=1HHx3=1H

<umar : restar 1H71=14H73=2171H=71437H=72



*esutado (a+H)(a73)2A3A7 Bactor comnA

2A3A1A Bactor comn monomioA

1A7 <e extrae a @ariae comn de cua>uier case, >ue @iene a ser e primerRactorA2A7 <e di@ide cada parte de a expresin entre a @ariae comn : e con5unto@iene a ser e segundo RactorA

#5empoA

Bactori;ar xK+x no se aprecia un Ractor comn @isie"a @ariae comn con su menor exponente, ese es e Ractor

comnA

/i@isin x

7+ x3

x3 = x

4

+1

*esutado (x4+1)(x)

2A3A2A Bactor comn por agrupacinA

1A7 <e extrae e Ractor comn de cua>uier case, >ue @iene a ser e primerRactorA2A7 <e di@ide cada parte de a expresin entre e Ractor comn : e con5unto@iene a ser e segundo RactorA

#5empoA

Bactori;ar a(x+3)+(x+3) se aprecian Ractores comunes notaementeABactor comn con su menor exponente (x+3)

/i@isina ( x+3)+b( x+3)

( x+3) =a+b

*esutado (a+)(x+3)

Tarea 1 Tarea +BormuarioBactori;ar

Tarea %Jx072H:0= (3x+H:)(3x7H:) 2x6+4x0=2x0(x4+2)(2x+K:)0= 4x0+28x:+4J:0 x³+2x²+x=x(x²+2x+1)(3x+H)(3x7K)= Jx076x73H

4a0+2a+6a0=2a(2a+1+3)(x+4:)=x+12x0:+48x:0+64:



x0+6x+J=(x+3)0x071!x+2H=(x7H)0

UNIDAD +.

1A7 -F#*'-$#< -$ B*'-$#< W&# $"&Q#$ 9-$-9-<A

Braccin

Fropia &na Rraccin propia tiene su numerador menor >ue su denominadorA2

3,5

8,10

13

mpropia &na Rraccin impropia tiene su numerador ma:or o igua >ue sudenominadorA <e expresa como un entero con RraccinA

21

2,5

3

7,3

8

9

1A1A7 <impicacinA

Reducir una expresión o una ecuación a una forma ms senci!!a " e#ui$a!en%e a !a inicia!

<e pueden simpicar, productos, di@isiones, sumas : restasA

#n este tema nos ocupara e simpicar Rracciones con monomiosA

1A2A FroductoA

# producto de 2 Rracciones es igua a a mutipicacin de os numeradoressore a mutipicacin de os denominadoresA

#5empo

3

8 x

5

6=

15

48

' apicar esto a mutipicacin de monomios nos darEa

3ab ²c ³

2abc x

6 a ²bc ²

abc ²=

3ab ²c ³6a ²bc ²

2abcabc ²=

18 a ³b ³ c5

2a ²b ² c ³=9abc ²



1A3A /i@isinA

"a di@isin de 2 Rracciones es igua a mutipicar e numerador de a primera pore denominador de a segunda, e resutado se sita en e numerador de aresutante : para e denominador de a resutante astara con mutipicar e

denominador de a primera por e numerador de a segundaA

#5empo3

8÷ 5

6=

18

40=

9

20

' apicar esto a di@isin de monomios nos darEa

3ab ²c ³

2abc ÷

6 a ²bc ²

abc ²=

3ab ²c ³ abc ²

2abc6 a ²bc ²=

3a ²b ³c5

12a ³b ² c ³=

3bc ²

12a

1A4A <uma : resta

/enominador iguaA

uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador igua, o nico>ue tenemos >ue hacer es sumar o restar (segn indi>ue e signo de aoperacin) a os numeradores, e denominador seguirS siendo e mismoA

#5empo

2

9+5

9=7

9 ó 5

7−3

7=2

7

' apicar esto a suma o resta de monomios nos darEa

4abc

a ²+3abc

a ²=

7abc

a ²

omo a @ariae (ac) es a misma en amos casos soamente tenemos >uesumar os coecientes (4 : 3) : e denominador es e mismo soo o pasamosA

¿Wue pasa si a @ariae tiene una pe>ueña modicacin?

4ab ² c

a ²+3abc

a ²=(4ab2

c+3abc )a ²

<e expresarEa de esa Rorma, sin poder sumar coecientesA



/enominador distintoA

uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador distinto, o >uetenemos >ue hacer para e nue@o denominador es e producto de osdenominadores : para e nue@o numerador seria a suma de producto de

numerador de primero por e denominador de segundo mas e producto denumerador de segundo por e denominador de primeroA

#5empo

3

4+2

5=15+820

=23

20

' apicar esto a suma o resta de monomios nos darEa

4abc

a +

3abc

a ²=

4 abca ²+a3abc

a3

=4a ³bc+3a ²bc

a ³

omo a @ariae en os numeradores son distintas, no se pueden sumar oscoecientes, o >ue si podemos hacer es simpicar este resutado sacando eRactor comnA

4a ³bc+3a ²bc

a ³=

a ²(4abc+3bc )a ³

=4 abc+3bc

a

#n estos casos si en ugar de suma se tratara de una resta, e signo positi@o secamiaria por uno negati@o, si os numeradores tu@ieran as mismas @ariaes,entonces sus coecientes se restarEan, si no, se >uedarEa expresado con signonegati@oA

2A7 -F#*'-$#< -$ B*'-$#< W&# $"&Q#$ F-"$-9-<A

2A1A <impicacinA

Fara simpicar poinomios tendremos >ue echar mano de os productosnotaes : de mucha agera, por e5empo

4 x2−25 y ²

6 x ²+15 xy =(2 x−5 y)(2 x+5 y)

3 x (2 x+5 y) =

2 x−5 y

3 x



/e i;>uierda a derecha e primer numerador es una diRerencia de cuadrados, ecua transRormamos en un inomio con5ugado (segundo numerador), a primerdenominador e sacamos Ractor comn (3x), por utimo simpicamos etermino de numerador con e de denominador (2x+H:)A

#5ercicios

1) x ²+ x

ax+a=

x

a 2)an−nx

n ²−ny=

a− x

n− y 3) x ²−a ²

x ²+ax =

x−a

x

4)25 x ²−9

10 x−6=

5 x+32 H)

8a+8b

12n−12 y=

2(a+b)3(n− y ) 6)

4 x ² y−8 xy ²

12ax ³−24ax ² y=

y

3ax

2A2A FroductoA

# producto de 2 Rracciones es igua a a mutipicacin de os numeradoressore a mutipicacin de os denominadoresA

' apicar esto a mutipicacin de poinomios nos darEa

3 x+2 y6 x−3 y

x 3 x

6 y= 3 x (3 x+2 y )6 y (6 x−3 y )

= 9 x ²+3 xy36 xy−18 y ²

1A3A /i@isinA

"a di@isin de 2 Rracciones es igua a mutipicar e numerador de a primera pore denominador de a segunda, e resutado se sita en e numerador de a

resutante : para e denominador de a resutante astara con mutipicar edenominador de a primera por e numerador de a segundaA

' apicar esto a di@isin de poinomios nos darEa

3 x+2 y

6 x−3 y ÷ 3 x

6 y=

3 x (6 x−3 y )6 y (3 x+2 y)

= 18 x ²−9 xy

12 y ²+18 xy=

9 x(2 x− y )6 y (3 x+2 y)



1A4A <uma : resta

/enominador iguaA

uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador igua, o nico>ue tenemos >ue hacer es sumar o restar (segn indi>ue e signo de a

operacin) a os numeradores, e denominador seguirS siendo e mismoA

' apicar esto a suma o resta de poinomios nos darEa

3 x+2 y6 x−3 y

+ 3 x

6 x−3 y=3 x+2 y+3 x6 x−3 y

= 6 x+2 y

6 x−3 y= 2(3 x+ y )3(2 x− y )

omo a @ariae (3x+2:) : (3x) no es a misma en amos casos soamentetenemos >ue sumar os coecientes de as @ariaes iguaes : e denominadores e mismo soo o pasamosA

¿Wue pasa si a @ariae tiene una pe>ueña modicacin?

/enominador distintoA

uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador distinto, o >uetenemos >ue hacer para e nue@o denominador es e producto de osdenominadores : para e nue@o numerador seria a suma de producto denumerador de primero por e denominador de segundo mas e producto denumerador de segundo por e denominador de primeroA

' apicar esto a suma o resta de poinomios nos darEa

3 x+2 y6 x−3 y

+3 x

3 y=

3 y (3 x+2 y )+3 x (6 x−3 y )3 y (6 x−3 y )

=9 xy+6 y ²+18 x ²−9 xy

3 y (6 x−3 y ) =

6 (3 x2+ y2)3 y (6 x−3 y )

#n estos casos si en ugar de suma se tratara de una resta, e signo positi@o secamiaria por uno negati@o, si os numeradores tu@ieran as mismas @ariaes,entonces sus coecientes se restarEan, si no, se >uedarEa expresado con signonegati@oA

/C<-$ /# F-"$-9-<A



&i$idir'

43223422 376 7 1535 y xy y x y x x y xy x −+−−−+

0

3 5

3 5

62 10

373 10

9 3 15

23

376 7 1535

4322

4322

3223

43223

2234

22

43223422

y xy y x

y xy y x

xy y x y x

y xy y x y x

y x y x x

y xy x

y xy y x y x x y xy x

+−−

−+

−+

−++−

+−−

+−

−+−−−+

Pro/*ea$.-

-F#*'-$#< -$ 9-$-9-<

3

8c ²+

2

4c ²−

2

6c2=¿

3

6a ²−

2

5a+

2

6a2=¿

2

5b ³∗6

3

b3∗2

5b2=¿

32

16 x ² y ³÷

4

6 x ³ y=¿



-F#*'-$#< /# F-"$-9-< -$ 9-$-9-<

2

5 x ³ y (34 xy ²+

2

3 x ² y )=¿

( 26 y ³ x+ 2

3 y ² x ²)÷ 25 x ³ y ³=¿

-F#*'Z$ -$ F-"$-9-<

(2 x+8 ) (3 x ²−2 )=¿

(4

7

x ²+8 x−3

5

)(2

3

x ²+3

5

x+8

)=¿

(4 x ³−58 x−24 )÷ (2 x−8 )=¿

3A7 #&'-$#< &'/*'.'<A

Qa saemos >ue e grado de una ecuacin es e >ue determina e numero desouciones para estaAuando en una ecuacin tenemos en nuestra incgnita un exponente (2),saemos >ue se pueden encontrar dos @aores >ue satisRagan a ecuacinA#stas ecuaciones se aman de segundo grado o cuadrSticas, : a Rorma generapara estas es



ax ²+bx+c=0

&na ecuacin de segundo grado puede ser incompeta, si

$o tiene e tDrmino inea ax ²+c=0

$o tiene e tDrmino independiente ax ²+bx=0

"as ecuaciones de segundo grado competas pueden reso@erse principamentepor Ractori;acin, cuando e trinomio sea Ractori;ae mediante a Rormuagenera

x=−b±√ b ²−4 ac

2a

"as ecuaciones de segundo grado incompetas de a Rorma ax0+c=! seresue@en de Rorma mu: sencia, pues soo tienen una incgnitaAFodemos representar su soucin con a siguiente Rormua

x=±√−c

a

on esta Rormua se otendrSn 2 @aores para OxP, uno positi@o : otro negati@o,siempre : cuando OcP sea menor >ue cero, es decir >ue sea un numeronegati@o de o contrario no tendrEa soucin en os nmeros reaesAFor e5empo, para dar soucin a a ecuacin 2x07H!=!, primero oser@amos>ue no tiene termino inea[ es decir , de a Rorma x, por o >ue seguimos e

procedimiento con a Rormua :a indicada

x=±√−50

2=±√ 25 x1=+√ 25=5 x2=−√ 25=−5

"as ecuaciones de segundo grado incompetas, de a Rorma ax0+x=![ esto es,sin termino independiente (c), se resue@en Ractori;ando por Ractor comn,oteniendo siempre en una de sus souciones e ceroA <u Rormua genera es

x (ax+b )=0

/e donde se desprenden as 2 posiiidades de soucin

x1=

0

ax+b=0

x2=ax+b=0



For e5empo, para dar soucin a a ecuacin 3x07Jx=!, oser@amos >ue notiene termino independiente, por o >ue seguimos e siguiente procedimiento

Frimero Ractori;amos x(3x7J)=! : despuDs apicamos a Rormua

3x7J=!3x=J=J3=3

For o tanto e otro @aor de OxP serS ceroA

<-"&-$ F-* B'.-*\'-$ #&'-$ &'/*'.' -9F"#.'A

Fara dar soucin a una ecuacin cuadrStica por este mDtodo, deemosrecordar as Ractori;aciones de trinomios de Rorma x²+x+c " de !a forma ax²+x+c*a ecuación se dee fac%oriar, u%i!iando !os m-%odos "a expues%os

.! fac%oriar se o%ienen dos inomios como fac%ores/ es%os se i0ua!an a cero para asio%ener !os 2 $a!ores de nues%ra inco0ni%a

emp!o'

ncuen%ra !os 2 $a!ores posi!es para !a incó0ni%a en !as si0uien%es ecuacionescuadr%icas u%i!iando e! m-%odo de fac%oriación

a) x²+5x+=

(x+3)(x+2)=

x+3= x+2=x=3 x=2

) "²2"15=

("+3)("5)=

"+3= "5="=3 "=5

c) 5x²8x+3=

(x1)(5x3)=

x1= 5x3=x=1 x=365

*9:;< R >R?9*. @<R.*



&e una expresión de !a forma ax²+x+c= saemos #ue es una ecuación cuadr%ica &e!as cua!es exis%en expresiones no fac%oria!es, para %a!es casos deemos reso!$er!asmedian%e !a formu!a 0enera!'

x=

−b±√ b ²−4 ac

2a

emp!o'

ncuen%ra !os 2 $a!ores posi!es para !a incó0ni%a en !as si0uien%es ecuacionescuadr%icas u%i!iando !a formu!a 0enera!

a) 4x²+1x+7=

x=−(16)±√ (16 )

2

−4(4)(7)2(4)

=−16±√ 144

8

x1=−16+12

8=−4

8=−1

2

x2=−16−12

8=−28

8=−7

2

) 2x²42=5x

2x²5x42=

x=−(−5)±√ (−5 )

2

−4(2)(−42)2(2)

=−16±√ 144

8

x1=

5+194

=24

4=6

x2=

5−19

4=−14

4=−7

2



"e:es de os exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se

multiplica el número.

En este eemplo! 82 = 8 × 8 = 64

• #n paaras 82 se puede eer ]8 a asegunda potencia], ]8 a a potencia2] o simpemente ]8 a cuadrado]

.odo o >ue necesitas saerAAA

"odas las #Le$es de los Exponentes# %o también #re&las de los exponentes#' (ienen de tres

ideas!

# exponente de un nmero dice u*("*"!a e* #8ero or $í

"$o tantas @eces

"o contrario de mutipicar es di@idir, asE >ue un e5o#e#(e

#e3a(")o $"3#"9!a d")"d"r

&n exponente Rraccionario como 1:# >uiere decir ;a!er

*a raí< #-4$"a

)i entiendes esto* +entonces entiendes todos los exponentes,

- todas las re&las ue si&uen se basan en esas ideas.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-fraccionarios.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-fraccionarios.html



"e:es de os exponentes

/u estn las le$es %las explicaciones estn después'!

Le= E>e*o

x1 = x 61 = 6

x! = 1 K! = 1

x71 = 1x 471 = ^

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = xH

xmxn = xm7n x4x2 = x472 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2_3 = x6

(x:)n = xn:n (x:)3 = x3:3

(x:)

n

= x

n

:

n

(x:)

2

= x

2

:

2

x7n = 1xn x73 = 1x3



#xpicaciones de as e:es

Las tres primeras le$es %x1 x* x0 1 $ x1 1x' son slo parte de la sucesin natural de

exponentes. ira este eemplo!

E>e*o? o(e#!"a$ de

% 1 @ @ 2H

1 1 @ H

1 1

-1 1 !A2

-% 1 !A!4

AAA etcAAA

(ers ue los exponentes positi(os* cero $ ne&ati(os son en realidad parte de un mismo

patrn* es decir 5 (eces ms &rande %o peueo' cuando el exponente crece %o disminu$e'.

"a e: >ue dice >ue xmxn = xm+n

En xmxn* 8cuntas (eces multiplicas #x# Respuesta: primero #m# (eces* después otras #n#

(eces* en total #m:n# (eces.

#5empo x2x3 = (xx) _ (xxx) = xxxxx = xH

/s ue x2x3 x%2:3' x5

"a e: >ue dice >ue xmxn = xm7n

;omo en el eemplo anterior* 8cuntas (eces multiplicas #x# <espuesta! #m# (eces*

después reduce eso #n# (eces %porue ests di(idiendo'* en total #mn# (eces.

#5empo x472 = x4x2 = (xxxx) (xx) = xx = x2



%<ecuerda ue xx 1* as ue cada (e= ue >a$ una x #sobre la lnea# $ una #bao la lnea#

puedes cancelarlas.'

Esta le$ también te muestra por ué x0=1 !

#5empo x2x2 = x272 = x! =1

"a e: >ue dice >ue (xm)n = xmn

?rimero multiplicas x #m# (eces. @espués tienes ue hacer eso "n" veces* en total mAn(eces.

#5empo (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

/s ue %x3'4 x3A4 x12

"a e: >ue dice >ue (x:)n = xn:n

?ara (er cmo Bunciona* slo piensa en ordenar las #x#s $ las #$#s como en este eemplo!

#5empo (x:)3 = (x:)(x:)(x:) = x:x:x: = xxx::: = (xxx)(:::) = x3:3

"a e: >ue dice >ue (x:)n = xn:n

?arecido al eemplo anterior* slo ordena las #x#s $ las #$#s

#5empo (x:)3 = (x:)(x:)(x:) = (xxx)(:::) = x3:3



"a e: >ue dice >ue

?ara entenderlo* slo recuerda de las Bracciones ue nm n A %1m'!

#5empo

Q eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:

siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta p&ina.

'h, una cosa mSsAAA ¿WuD pasa si x= !?

#xponente positi@o(n`!)

!n = !

#xponente negati@o(n!)

No de9#"do (For>ue di@idimosentre !)

#xponente = ! Ummm ... bee mSs aa5o

# extraño caso de !!

Va: dos argumentos diRerentes sore e @aor correctoA !! podrEa ser 1, o >ui;Ss!, asE >ue aguna gente dice >ue es ]indeterminado]

x! = 1, asE >ue AAA !! = 1

!n = !, asE >ue AAA !! = !

uando dudesAAA !! = "indeterminado"

ercicios'

x6

x−10

=¿



√ ❑ es el signo radical.

n! es el "ndice.

a! es el radicando.

#! es la ra"z o soluci$n del radical.

Leyes de los radicales

n√ x¿

n= x¿

n√ a∗

n√ b=

n√ ab

n√ an√ b

=n

√a

b

n√ x

n= x

m

√

n

√ a=

mn

√ a

%ara &ue sir'en(((

1.- re)o'er factores del radicando

2.- con'ertir el radicando en no fraccionario

3.- e*presar un radical co)o un radical de orden )as #a+o

4.- incluir un factor dentro del signo radicalE+e)plos.-



b2¿

1

2

a4¿

1

2 ¿

81a4

b2¿

1

2=81

1

2 ¿

√ 81a4

b2

=¿

¿√ 81a4

2 b2

2

¿9a ²b

n12 ¿

1

4

m4 ¿

1

4 ¿

81m4

n12¿

1

4=81

1

4 ¿4

√ 81m4

n12=¿

¿ 4

√ 81m4

4 n12

4

¿3mn³

64a6¿

1

6

¿

b12¿

1

6

¿¿¿

6

√64 a6

b12 +a=¿



√ 8a ³b ³+ 3

√ ab−3

√ 8a4

b4−4

√ 4 a ²b ²

√ (2ab)²2ab+3

√ ab−3

√ (2ab)3

ab−√ √ (2ab)²

2ab√ 2ab+3

√ ab−2ab3

√ ab−√ 2ab

2ab√ 2ab−√ 2ab+3

√ ab−2ab3

√ ab

√ 2ab (2ab−1 )+ 3

√ ab(1−2ab)

(2ab−1)(√ 2ab− 3

√ ab)

E+ercicios.

antologia matematicas 1

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