antiderivada inte indefinida

8/16/2019 Antiderivada Inte Indefinida

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CÁLCULO IIANTIDERIVADA

https://www.youtube.com/watch?v=SG_vEv7y1Tk&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=1https://www.youtube.com/watch?v=SG_vEv7y1Tk&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=1


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IMPRESIONES HD

El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el

ingreso marginal mensual es de R’(x) = – 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado

en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?


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• Funciones• Derivadas

Recordar


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Temario

Antiderivada

Integral Indefinida


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Logros de la sesión:

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas

vinculados a gestión e Ingeniería empleando el cálculo de integrales

indefinidas.


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DefiniciónUna función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I si,F’(x) = f(x) para todo x en I.

Ejemplos:

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

FUNCIÓN

f

ANTIDERIVADA

F

COMPROBACIÓN

F’(x)=f(x)

K xF )(0)( x f 0)'( K

x xF )(1)( x f 1)'( x

2)( x xF x x f 2)( x x 2)'( 2


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FUNCIÓN

f

ANTIDERIVADA

F

COMPROBACIÓN

F’(x)=f(x)

1;1

)(1

nn

x xF

nn

x x f )( nn

xn

x

'1

1

xe xF )( xe x f )( x x ee )'(

x xF ln)( x

x f 1)(

x x

1)'(ln

x x f sin)( x xF cos)( x x sin)'cos(

x x f cos)( x xF sin)( x x cos)'(sin x x f

2sec)( x xF tan)( x x 2sec)'(tan

x x f 2csc)( x xF cot)( x x csc)'cot(


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Una sola función tiene muchas

antiderivadas, mientras que una función

sólo puede tener una derivada

Antiderivada Función Derivada

3)( x xF

4)( 3 x xF

8)( 3 x xF

23)( x x f x x f 6)('


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INTEGRAL INDEFINIDA

Definición

Al conjunto de todas las antiderivadas de la función f se le llama INTEGRAL

INDEFINIDA de la función f y se representa por

cteC;)()( C xF dx x f


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Propiedades

dx x f k dx x f k )()(.1

dx xgdx x f dx xg x f )()()]()([.2

Sean f y g funciones continuas y k una constante real. Entonces se cumple

Ejemplo

dx xdx x sin5sin5

dxdx xdx xdx x x 4sin]4[sin 22

Ejemplo


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INTEGRALES BÁSICAS

Rcncn

x

dx x

nn

,1;1

1

Ejemplos

dx x2

)1

dx x23

)2

dx x3 2)3

dx x 23 c

x

123

12

c x

13

1

c x

3

c

x

12

12

c

x

3

3

dx x 3/2 c

x

1

3

2

13

2

c x 35

5

3


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INTEGRALES BÁSICAS

Rcaca

e

dxe

baxbax

,0;

Ejemplos

dxe x)1

dxe x)2

dxe

x 13)3

ce

x

1

ce x

c

e x

3

13

dxe

x1

2)4 ce

x

2

1

12

ce x

ce

x

1

22


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INTEGRALES BÁSICAS

Rck acbaxa

k

dxbax

k

,0,;ln

Ejemplos

dx

x

1)1

dx x

3)2

dx

x 53

2)3

c x ln3

c x ln

c x 53ln3

2

dx x524

)4 dx x 254

c x 25ln5

4


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INTEGRALES BÁSICAS

Rck aca

x

a

k dx

a x

k

,0,;arctan22

Ejemplos

dx

x 1

1)1

2

dx x 25

3)2

2

dx x 52

)32

c x )arctan(

c x

5arctan

5

2

dx x 22 5

3c

x

5arctan

5

3

dx

x22 5

2


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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Ejemplos

dx x)3(sec)1 2

dx x

)2(csc)2

2

dx x )23(sec4)3 2

c

x

)2cot(2

1

1

c x )3tan(3

1

c x )23tan(3

4

0;)tan(1

)(sec 2 acbaxa

dxbax

0;)cot(1

)(csc2 acbaxa

dxbax

c x

)2cot(2


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EJERCICIOS

1) Calcular dx x x x x I )

4

3

23( 2

3

Solución

dx x

x x x I )4

3

23( 22/13

dx xdx

xdx xdx x I

22/13 41

3

23

23

32

3

x

c x

x x x

dx x x

x x 4

ln3

22

4)

4

3

23( 3

4

2

3

4

4 x

xln3

2 c

x

1

41


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EJERCICIOS

2) Calcular dx xe x x I

x )2

4)13(sec(sin 222

Solución

c x

e x x I x

2arctan

2

4

2

1)13tan(

3

1cos 2

dx xdxedx x xdx I x

2

4)13(secsin 222


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EJERCICIOS

3) Calcular

dx x

x

I 13

53

Solución

c x xdx x x 13ln213 53

dx

xdx

x

x I

13

61

13

613

dx x

dx I

13

61


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EJERCICIOS

4) Calcular

dx x

x

I 2

52

Solución

https://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0pqtoSKWMgM&index=8&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU


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EJERCICIOS

5) Calcular

dz z z

z z

I 5

25103

24

Solución

https://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=TIaJ9iB9sYI&index=6&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU


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EJERCICIOS

6) Calcular

dx x x I )1(3

1 3/2

Solución

https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10https://www.youtube.com/watch?v=aX0_5stv_2c&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=10


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Vaciado de un líquidoUn tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional

constante de 0.05 m2

, localizado en la parte inferior del tanque. El tanque se llenacon agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye

a razón:

120 ,

25 50

dh t

dt

Determinar la altura del agua en cualquier instante t, Si su altura inicial es de 5metros.

h


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C t

t

dt t

t h

10020

25

1

5020

25

1)(

2

Solución

Integrando a ambos lados:

Usando la condición inicial h(0)=5, tenemos C=5. Entonces, la altura se describe

por:

5100

2025

1)(

2

t t t h


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IMPRESIONES HD

El administrador de servicios de la empresa «impresiones HD» conoce que el

ingreso marginal mensual es de R’(x) = – 0,4x + 30. Sin embargo él está interesado

en conocer el ingreso total mensual. ¿Podrías ayudarlo?

Solución

R(x) es la antiderivada de R’(x), entonces lo podemos calcular usando la integral

indefinida. Es decir:

dx x R x R )(')(

c x xdx x x R 302,0)304,0()( 2

x x x R 302,0)( 2

Se sabe que cuando se produce cero unidades el ingreso también es cero. Entonces

la constante de integración es: c=0


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UTILIDAD MARGINAL

Un fabricante estima que el ingreso marginal será dólarespor unidad cuando el nivel de producción sea de unidades. Se hadeterminado que el costo marginal correspondiente es de 0,4q dólarespor unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando ennivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del

fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?

2/1200)(' qq R

https://www.youtube.com/watch?v=0ICTyRISIzo&index=2&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=0ICTyRISIzo&index=2&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU


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CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN

Se ha determinado que la población de una cierta colonia de

bacterias, horas después de iniciar la observación, tiene un razón decambio

0.1 0.03200 150t t dP

e edt

Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación,¿cuál será la población 12 horas después?

https://www.youtube.com/watch?v=cdv6ikO2TKQ&index=23&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydUhttps://www.youtube.com/watch?v=cdv6ikO2TKQ&index=23&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU


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DESCONGELAMIENTO.

Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, latemperatura de la carne era de -4°C, y horas más tarde seincrementaba a una tasa de

0.35 o

' ( ) 7 C/ht

T t e

a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después dehoras.

b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?

c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperaturallega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela lacarne?

https://www.youtube.com/watch?v=hp4y6u267WE&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=24https://www.youtube.com/watch?v=hp4y6u267WE&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=24


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COSTO MARGINAL

Si el costo marginal mensual de un producto es

Encuentre la función del costo total, si el fijo es de $ 5 000.

2800100)(' 2 x x xC

https://www.youtube.com/watch?v=yHssLXHT4B4&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=3https://www.youtube.com/watch?v=yHssLXHT4B4&list=PLXmofKuuH4wm5sV7Fj6QvGUbKdO4R3ydU&index=3


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GRACIAS

antiderivada inte indefinida

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