antanas lapinskas matematikos praktikumas su mathcad
TRANSCRIPT
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA
Antanas Lapinskas
M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S
S U M A T H C A D
(MOKOMOJI KNYGA)
AKADEMIJA 2006
2
UDK 004.9 (075.4) Sudarė: doc. dr. Antanas LAPINSKAS Apsvarstyta: Matematikos katedros posėdyje 2006.06.17. protokolo Nr. 0 –
106. FMSI metodinės komisijos posėdyje 2006.09.28. protokolo Nr.: 0 – 1.
Recenzavo: doc. dr. Rimantas DIDŽGALVIS doc. dr. Algimantas KURLAVIČIUS Redagavo: A. PABRICAITĖ
3
TURINYS
PRATARMĖ ............................................................................................... 4 1. SKAIČIAVIMO PROCESO VALDYMAS .............................................. 5 2. MATEMATINIŲ REIŠKINIŲ SKAIČIAVIMAS ................................... 7 3. SIMBOLINIAI SKAIČIAVIMAI ............................................................. 8 3.1. Algebrinių reiškinių pertvarkymai ..................................................... 8 4. LYGČIŲ IR NELYGYBIŲ SPRENDIMAS ......................................... 10 5. GRAFIKŲ BRAIŽYMAS ...................................................................... 14 5.1. Grafikų braižymas stačiakampėse koordinatėse ............................. 15 5.2. Grafikų braižymas polinėse koordinatėse........................................ 17 5.3. Lygčių (((( )))) 0====xf grafinis sprendimas ............................................... 18 5.4. Erdviniai grafikai .............................................................................. 19 6. DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS .................................. 24 6.1. Skaitmeninis diferencialinių lygčių sprendimas .............................. 24 6.2. Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas ................................... 28 6.2.1. Lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais .................................. 29 6.2.2. Homogeninė lygtis ..................................................................... 30 6.2.3. Tiesinė lygtis .............................................................................. 31 6.2.4. Tiesinė su pastoviaisiais koeficientais diferencialinė lygtis ..... 32 LITERATŪRA......................................................................................... 35
4
PRATARMĖ
MathCad yra programinės įrangos paketas, specializuotas matematinių, techninių ir ekonominių uždavinių sprendimui. Iš panašių žinomų PC programinės įrangos paketų, kaip MATLAB, Maple, Matematika bei kitų šis paketas išsiskiria tuo, kad jame uždavinių sprendimo komandos rašomos simboliais, praktiškai nesiskiriančiais nuo klasikinės simbolikos. Nors MathCad turi kiek mažesnes galimybes nei žinomi galingesni, specializuoti matematinių uždavinių sprendimui paketai, kaip Matematika, Aksiom ar Maple, tačiau šios galimybės pakankamai tenkina vartotojų, turinčių matematinio raštingumo lygį, pradedant vidurinės mokyklos abiturientu ir baigiant technologijų mokslo krypties mokslo darbuotoju, poreikius. Vaizdžiau vertinant, MathCad galima vadinti XXI amžiaus skaitytuvais ar logaritmine liniuote. MathCad panaudojimo efektyvumas priklauso nuo naudotojo matematinio bei kompiuterinio raštingumo lygio. Sprendžiant uždavinius MathCad pagalba nebūtina žinoti įvairias skaičiuojamąsias procedūras. Tuo pačiu MathCad naudotojas turi geriau suprasti sprendžiamų uždavinių fizinę ar geometrinę prasmę. Galima teigti, kad naudojant MathCad negali būti lavinami matematinių uždavinių sprendimo skaičiuojamieji įgūdžiai. Kartu šis paketas gali būti naudojamas kaip efektyvi priemonė, padedanti geriau suprasti sprendžiamų uždavinių geometrinę ar fizinę prasmę. MathCad yra didelės įvairių matematinių priklausomybių bei uždavinių sprendimo rezultatų geometrinio vaizdavimo galimybės.
MathCad pakete yra patogi informacinė pagalbinė sistema. Šią sistemą sudaro iš MathCad dialogo lango atidaromas daugelio skyrių žinynas „Resource Center“. Taip pat iš MathCad dialogo lango atidarius dialogo langą „Insert Function“ ir jame pažymėjus parinktos funkcijos vardą, pateikiamas trumpas jos aprašymas. Papildomai iš šio dialogo lango gali būti atidarytas informacinės sistemos žinyno puslapis. Šiame puslapyje pateikiama platesnė informacija apie „Insert Function“ lange pažymėtą funkciją.
Ši metodinė priemonė skirta technologijos mokslo universitetinių studijų studentams. Naudojantis MathCad paketu žymiai supaprastėja įvairūs matematiniai skaičiavimai bei padidėja šių skaičiavimų galimybės. Dėl šios aplinkybės lieka daugiau laiko įvairių matematinių uždavinių fizinės prasmės išsiaiškinimui. Tai ypač svarbu technologijos mokslų studijose. Tenka sutikti su kai kurių kritikų nuomone, kad panaudojant PC matematinius programinės įrangos paketus, supaprastėja studentų lavinimas, orientuotas įvairių matematinių reiškinių pertvarkymui. Įvertinant informacinių technologijų progresą, technologijos moksluose svarbiau mokėti nagrinėjamus reiškinius formalizuoti matematine simbolika, o atliekant gautų priklausomybių pertvarkymą racionalu pasinaudoti įvairiais PC programinės įrangos paketais.
5
1. SKAIČIAVIMO PROCESO VALDYMAS
Windows terpėje inicijavus MathCad programą monitoriaus ekrane atidaromas MathCad langas (žr. 1 pav.), toliau vadinamas „Darbo lapu“.
1 pav. Tipinis MathCad puslapis.
Valdymo komandų skydeliai: 1 viršutinis – pagrindinis Windows; 2 vidurinis – standartinė Windows „Standart“; 3 apatinis – MathCad simbolių „Math“. Dešinėje darbo lapo pusėje išskleistos „Math“ matricos.
Skaičiavimo komandų rašymo pradžia darbo lape indikuojama raudonu kryželiu, atsirandančiu po pelės rodykle, toliau „PR“, perkėlus į parinktą vietą ir paspaudus kairįjį pelės klavišą. Tolesnio simbolių skaičiavimo komandoje rašymo vieta indikuojama mėlyna žyme. Žymė gali būti perkeliama spustelėjant PC klaviatūros klavišus „→“, „↓“, „←“, „↑“ arba tarpo įvedimo klavišą.
Skaičiavimo komandos gali būti užrašomos: • reikalingus simbolius surenkant PC klaviatūra; • reikalingus simbolius bei atskiras komandas pele perkeliant iš simbolių
„Math“ matricų; • reikalingų funkcijų simbolius pele perkeliant iš atidaromo šių simbolių
lango „Insert Function“. Tolesniame aprašyme panaudoti veiksmų, atliekamų renkant skaičiavimo
komandas, trumpiniai surašyti 1.1 lentelėje.
6
Veiksmų trumpiniai 1.1 lentelė.
Eil.Nr.
Veiksmo trumpinys Veiksmo aprašymas
1. |objekto adresas, <*>| PR perkeliama ties objektu „*“ ir spustelėjamas kairysis pelės klavišas
2. |objekto adresas, <<*>>| Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik du kartus spustelėjamas kairysis pelės klavišas
3. |objekto adresas, >*<| Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik spustelėjamas dešinysis pelės klavišas
4. |objekto adresas, >>*<<| Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik du kartus spustelėjamas dešinysis pelės klavišas
5. “*“ Paspaudžiamas PC klaviatūros klavišas su simboliu “*“
6. “*&#“ Vienu metu paspaudžiami PC klaviatūros klavišai su simboliais “*“ ir “#“
7. |< >| PR perkeliama į laisvą vietą ir spustelėjamas kairysis pelės klavišas
Atidarius MathCad PC klaviatūrą, automatiškai perjungiamas matematinių
simbolių rašymas, tačiau šių simbolių rašymui patogiau naudoti „Math“ komandas. Matematinių simbolių matricos „Math“ į darbo lapą perkeliamos taip: |Pagrindinis Windows komandų skydelis, <Wiew>|, |Toolbars, <Math>|. Rezultatas: darbo lapo viršuje simbolių „Math“ skydelis, papildytas MathCad
žinyno skyriaus „Tutorials...“ atidarymo komandomis (žr. 1 pav. apatinis komandų skydelis).
PR perkėlę ties parinkta simbolių „Math“ skydelio piktograma ir spustelėję kairįjį pelės klavišą atidarome atitinkamų matematinių simbolių matricą (žr. 1 pav. darbo lape dešinėje dalyje). Tolesniame aprašyme dešinėje darbo lapo dalyje yra visos simbolių „Math“ matricos: „Calculator“, „Graph“, „Matrix“, „Evaluation“, „Calculus“, „Boolean“, „Programming“, „Symbolic“, „Greek“ (žr. 1 pav.).
Veiksmu: |“Math“ skydelis, <Go>| atidaromas šalia žymės „Go“ esančiame langelyje įrašyto MathCad žinyno skyrius.
Funkcijų simbolių perkėlimas iš „Insert Function“ lango atliekamas atidarius šį langą veiksmu |“Standard“ skydelis“, < ( )xf >|. Jei skydelio „Standard“ nėra, tai reikia atlikti veiksmus: |pagrindinis Windows komandų skydelis, <View>|, |Toolbars, <Standard>|. Dabar veiksmu: |„Standard“ skydelis, <“f(x)“>| atidaromas „Insert Function“ langas.
„Insert Function“ lange yra daugiau kaip 250 funkcijų simbolių. Visos „Insert Function“ aplinkos funkcijos surašytos lango dešinėje dalyje, o lango kairėje dalyje „Function Category“ pažymėtas skyrius „All“. Kairėje „Insert Function“ lango dalyje „Function Category“ yra apie 30 funkcijų skyrių. Lango „Insert Function“ apačioje yra trumpas pažymėtos funkcijos aprašas.
Reikalingos funkcijos simbolis į pažymėtą darbo lapo vietą perkeliamas taip: |pažymima vieta darbo lape|, |atidaromas „Insert Function“ langas|, |dešinėje „Insert Function“ lango dalyje „Function Name“ pažymimas reikalingas funkcijos simbolis|, |“Insert Function“, <OK>|.
7
1.1 pavyzdys. Trimis būdais užrašysime funkciją sinx: a) PC klaviatūra užrašome tokiais veiksmais: |< >|, „s“, „i“, „n“, „Shift&9“, „x“, „Shift&0“, „Enter“; b) naudojantis „Math“ matrica „Calculator“ užrašoma tokiais veiksmais: |< >|, |Calculatos, <sin>|, „x“, |< >|; c) naudojantis „Insert Function“ simboliais užrašoma tokiais veiksmais: |< >|, |“Standard“ panelė, <f(x)>|, |“Insert Function“, „Function Name“,
<sin>|, |“Insert Function“, <OK>|, „x“, |< >|.
2. MATEMATINIŲ REIŠKINIŲ SKAIČIAVIMAS
2.1. Funkcija y=f(x) užrašoma taip: „funkcijos vardas („argumento vardas“)“, :=, „funkcijos simbolis, kurioje
argumentas yra rašomas su funkcijoje parinktu vardu“.
2.1 pavyzdys. Funkcija 23sin xy = užrašoma taip:
y21 x( ) sin x2( )3
:= arba y21 x( ) sin x2( )( )3
:= . Pastaba. Čia ir toliau funkcijų vardai numeruojami numeriu, lygiu pavyzdžio
numeriui. Priešingu atveju viename darbo lape, rašant įvairius matematinius reiškinius, gali susidaryti daugiaprasmės komandos, kurios indikuojamos raudonai, kaip klaidingos.
2.2. Funkcijos ( )xfy = reikšmė )(af skaičiuojama: a) užrašant funkcijos vardą taip: 1. „Funkcijos vardas („argumento vardas“)“, :=, „funkcijos simbolis su
argumento vardu“; 2. „Funkcijos vardas (argumento reikšmė“)“, „=“.
2.2 pavyzdys. Funkcijos 23sin xy = reikšmė 23 2sin=y apskaičiuojama taip:
y22 x( ) sin x2( )( )3
:= y22 2( ) 0.433−= ; b) nerašant funkcijos vardo:
„funkcijos simbolis, kuriame argumento vietoje rašoma argumento reikšmė“, „=“.
2.3 pavyzdys. Funkcijos xsin reikšmė 2sin apskaičiuojama taip: sin 2( ) 0.909= . 2.3. Funkcijos ( )xfy = reikšmių ( )ii xfy = vektoriaus skaičiavimas gali
būti atliekamas užrašant arba neužrašant funkcijos vardą. Užrašant funkcijos vardą, jos reikšmių vektoriaus skaičiavimas atliekamas taip:
1. užrašomas argumento x reikšmių vektorius ix arba jo apskaičiavimo komandos;
2. užrašoma funkcija ( )xfy = ir jos reikšmių vektorius ( )ii xfy = ;
3. skaičiavimo lape rašoma „ =iy “ arba „ =iy “ ir „ =ix “.
2.4 pavyzdys. Funkcijos xy = reikšmių iy vektorius, dėl N
ixi
αβ −= ,
10=β ; 0=α ; ( )Ni ;0∈ ; 5=N , apskaičiuojamas taip:
N 5:= i 0 N..:= α 0:= β 10:=
8
x24ii β α−( )⋅
N:=
y24 x( ) x:= y24i y24 x24i( ):= y24i
0
1.414
2
2.449
2.828
3.162
=
x24i0
2
4
6
8
10
=
Pastaba. Apatinio indekso žymė x■ rašoma veiksmu „[“, o intervalas „..“ –
veiksmu „;“.
3. SIMBOLINIAI SKAIČIAVIMAI
Algebrinių reiškinių pertvarkymai, lygčių nelygybių sprendimas, matematinės analizės veiksmai MathCad aplinkoje realizuojami simboliniu skaičiavimu. Bet kokio simbolinio skaičiavimo komanda yra „→“ kuri perkeliama iš „Math“ komandų matricos „Symbolic“.
3.1 pavyzdys. Funkcijos xy cos= išvestinė apskaičiuojama taip: 1. Pasinaudodami „Math“ komandų matricomis „Calculus“ ir
„Calculator“ rašome )cos(xdx
d.
2. Šio užrašo pabaigoje iš „Math“ komandų matricos „Symbolic“ perkėlę simbolinių skaičiavimų komandų „→“ gauname rezultatą:
xcos x( )
d
dsin x( )−→
3.1. Algebrinių reiškinių pertvarkymai
Algebriniai reiškiniai pertvarkomi panaudojant matricos „Symbolic“ komandas: float, expand, coeffs, collect, substitute, series, parfrac. Po komanda float rašoma skaičiumi nurodomas skaičiavimo rezultato skaitmenų skaičius.
3.2 pavyzdys. Skaičiaus 2sin užrašymas 10 skaitmenų atliekamas taip: sin 2( ) float 10, .9092974268→ . Komanda assume atliekami skaičiavimai, esant sąlygai, užrašytai po šios
komandos. 3.3 pavyzdys. Reiškinys cc −− 23 , kai 2≤c apskaičiuojamas taip:
3c 2 c−− assume c 2≤, 4 c⋅ 2−→ . Komanda simplify prastinami algebriniai reiškiniai.
3.4 pavyzdys. Reiškinio 91264
34234
2
+−−+
−+
dddd
dd prastinimas atliekamas taip:
.
9
d2
4d+ 3−
d4
4d3
+ 6d2
− 12d− 9+
simplify1
d2
3−
→
. Komanda factor atliekamas algebrinių reiškinių skaidymas. Jei po šios
komandos esančios žymės vietoje įrašoma daugianario reali šaknis – skaidymas atliekamas neskaidant trinarių, kurių diskriminantas neigiamas. Jei po šios komandos užrašoma kompleksinės šaknies menamoji dalis – atliekamas skaidymas dvinariais.
3.5 pavyzdys. Reiškinio 44 −z skaidymas atliekamas taip:
R35 z( ) z4
4−:= z1 2:= z2 2−:=
R35 z( ) factor z1, z2
2+( ) z 2
1
2+
⋅ z 2
1
2−
⋅→
R35 z( ) factor z2, z i 2
1
2⋅+
z i 2
1
2⋅−
⋅ z 2
1
2+
⋅ z 2
1
2−
⋅→
Komanda expand atliekamas algebrinio reiškinio skleidimas daugianariu. Po šios komandos esančios žymės vietoje rašomas kintamojo vardas.
3.6 pavyzdys. Reiškinys ( )( ) ( )( )3232 22 +−−−− zzzz daugianariu išskleidžiamas taip:
R36 z( ) z2
2−( ) 3 z−( )⋅ 2 z−( ) z2
3+( )⋅− expand z, z2
12− 5 z⋅+→:= . Komanda coeffs parašomas daugianario koeficientų vektorius. Po šios
komandos esančios žymės vietoje rašomas kintamojo vardas. 3.7 pavyzdys. 3.5. pavyzdyje nagrinėto daugianario koeficientų vektorius
parašomas taip:
R36 z( ) coeffs z,
12−
5
1
→
. Komanda collect daugianaris išskleidžiamas ir surenkami panašūs nariai. Po
komandos collect esančioje žymėje rašomas argumento vardas.
3.8 pavyzdys. Daugianaris ( )( )( )31533 +−++ zzzz komanda collect išskleidžiamas taip:
z3
3z 5+( ) 1 z−( ) z 3+( )+ collect z, 2− z3
⋅ 11 z2
⋅− z− 15+→ . Komanda substitute parašomas reiškinys, apskaičiuotas atlikus pakeitimą,
nurodytą po šios komandos. Norint, kad atlikus pakeitimą būtų atliekami veiksmai su laipsniais, kartu su komanda substitute reikia panaudoti komandą series. Šiuo atveju po komandos series pirmos žymės vietoje rašomas naujo kintamojo vardas, o antra žymė ištrinama.
3.9 pavyzdys. Reiškinyje zzzz 574 −− keitimas 2tz = atliekamas taip:
4z 7z z⋅− 5 z⋅− substitute z t2
, 4 t2
⋅ 7 t2( )
3
2⋅− 5 t
2( )1
2⋅−→
4z 7z z⋅− 5 z⋅−substitute z t
2,
series t,5− t⋅ 4 t
2⋅ 7 t
3⋅−+→
.
.
10
Komanda series funkcija užrašoma dalinė Teiloro eilutės suma. Po šios komandos pirmos žymės vietoje rašomas kintamojo vardas, o antros – vienetu padidintas eilutės dalinės sumos kintamojo laipsnis.
Pastaba. Komanda series skleidžiant funkcijas nenagrinėjamas gautos eilutės konvergavimas.
3.10 pavyzdys. Funkcija ( )zsin1ln + daline Teiloro eilutės suma iki 5 kintamojo z laipsnio parašoma taip:
ln 1 sin z( )+( ) series z, 6, 1 z⋅1
2z2
⋅−1
6z3
⋅1
12z4
⋅−+1
24z5
⋅+→
Komanda parfrac (po komandos „parfrac“ perkėlimo iš komandų matricos „Symbolic“ gaunama: convert, parfrac) atliekamas racionaliųjų trupmeninių
funkcijų ( )( )( )zP
zQzR
m
n= skaidymas. Šios komandos gale esančios žymės vietoje
rašomas kintamojo vardas. Pastaba. Norint atlikti racionaliųjų trupmenų skaidymą paprastomis, prieš šį
skaidymą trupmenos vardiklis turi būti išskaidytas naudojant komandą factor.
3.11 pavyzdys. Racionali trupmeninė funkcija 4
64
6
−
−
z
z skaidoma taip:
Q311 z( ) z6
6−:= P311 z( ) z4
4−:= Q311 z( )
P311 z( )convert parfrac, z, z
2 1
2 z2
2−( )⋅
+7
2 z2
2+( )⋅
+→
P3111 z( ) P311 z( )factor 2,
float 2,z2
2.+( ) z 1.4+( )⋅ z 1.4−( )⋅→:=
Q311 z( )
P3111 z( )
convert parfrac, z,
float 2,z2
4.0 10-2
⋅−.14
z 1.4+−
.14
z 1.4−+
3.5
z2
2.0+
+→
P3112 z( ) P311 z( )factor 2−,
float 2,z 1.4 i⋅+( ) z 1.4 i⋅−( )⋅ z 1.4+( )⋅ z 1.4−( )⋅→:=
Q311 z( )
P3112 z( )
convert parfrac, z,
float 2,z2 .14
z 1.4+− 1.2
1i
z 1.4 1i⋅+⋅ 1.2
1i
z 1.4 1i⋅−⋅−+
.14
z 1.4−+→
4. LYGČIŲ IR NELYGYBIŲ SPRENDIMAS
Lygtys ir nelygybės MathCad pagalba gali būti sprendžiamos tokiais būdais: • „Symbolic“ matricos komanda „solve“; • „Insert Function“ funkcijomis „Solving“; • „Graph“ matricos komanda „x-y Plot“ (pirma piktograma).
4.1. Komanda „Solve“ lygčių, nelygybių ar jų sistemų sprendimas atliekamas užpildžius sprendimo ■ solve ■ šabloną taip:
• kairės žymės vietoje rašant sprendžiamą lygtį, nelygybę ar jų sistemą; • dešinės žymės vietoje – nežinomųjų vardus.
Pastaba 1. Rašant lygtis ar nelygybes lygybės ar nelygybės ženklai rašomi juos perkeliant iš komandų matricos „Boolean“.
.
11
Pastaba 2. Lygčių sistemų sprendimo komandoje ■ solve ■, lygčių sistemos rašymui ir nežinomųjų vardų surašymui naudojama matrica – vektorius, perkeliamas komandų matricos „Matrix“ komandą „Matrix or Vector“ (pirma piktograma).
4.1 pavyzdys. Lygtis 02 =++ cbxax sprendžiama taip:
a x2
⋅ b x⋅+ c+ 0 solve x,
1
2 a⋅b− b
24 a⋅ c⋅−( )
1
2+
⋅
1
2 a⋅b− b
24 a⋅ c⋅−( )
1
2−
⋅
→
.
4.2 pavyzdys. Nelygybė 0322 ≥−− xx sprendžiama taip:
x2
2x− 3− 0≥ solve x,x 1−≤
3 x≤
→.
4.3 pavyzdys. Lygčių sistema ( )
=−
=−+
=++
3
2ln
1322
2
zy
zyx
xyx
sprendžiama taip:
2 x⋅ 3 y⋅+ z+ 1
ln x y2
+ z−( ) 2
y z− 3
solve
x
y
z
,
float 2,
5.4−
3.4
3.7
.7−
.7
3.7−
→
4.4 pavyzdys. Nelygybių sistema
=+
≥+
3
12
yx
yx sprendžiama taip:
x y+ 1≥
x2
y+ 3
solvex
y
, y x2
− 3+ 1− x≤ x 2≤( )→
4.2. „Insert Function“ aplinkos funkcijos, skirtos lygčių ir jų sistemų
sprendimui, randamos dalyje „Function Category“ pažymėjus skyrių „Solving“. Šį skyrių sudaro funkcijos: „Find“, „lsolve“, „Maximize“, „Minimize“, „Minerr“, „polyroots“, „root“.
Sprendimas funkcija Find atliekamas taip: • PC klaviatūra užrašomas raktažodis „Given“; • po jo rašomos sprendžiamos sistemos lygtys ar nelygybės; • po jų iš „Insert Function“ perkeliama funkcija Find (■,■,...), kurioje
žymių vietose rašomi nežinomųjų vardai; • iš komandų matricos „Symbolic“ perkeliama simbolinių skaičiavimų
komanda „→“.
.
.
12
4.5 pavyzdys. Lygčių sistema
=−
=+
=
33
2
12
2
2
xz
yzx
yx
sprendžiama taip:
Given x2
2 y⋅+ 1 x y z⋅+ 2 z2
3 x⋅− 3
Find x y, z,( ) float 2,
1.3
.29−
2.6−
1.7− 1.1 i⋅+
.40− 1.9 i⋅+
.94− 1.8 i⋅−
1.7− 1.1 i⋅−
.40− 1.9 i⋅−
.94− 1.8 i⋅+
.61 .67 i⋅−
.54 .41 i⋅+
2.2 .45 i⋅−
.61 .67 i⋅+
.54 .41 i⋅−
2.2 .45 i⋅+
→
Funkcija „lsolve“ sprendžiamos tiesinių lygčių sistemos BXM =⋅ .
Funkcijos lsolve(■,■) šablone esančių žymių vietose rašoma: • pirmos žymės vietoje prieš tai parašyta matrica M; • antros – prieš tai parašyta matrica B.
4.6 pavyzdys. Lygčių sistema
−=+−
−=−
=−−
64422
2
1323
zyx
zyx
zyx
sprendžiama taip:
M
3
1
2
2−
2−
2−
3−
0
4
:=
B
1
2−
6−
:=
X lsolve M B,( )
0
1
1−
→:=
Funkcijomis „Maximize“ („Minimize“) apskaičiuojamas tikslo funkcijos
( )nxxxf ,...,, 21 maksimumo (minimumo) esant apribojimams ( ) 0,...,, 21 ≥ni xxxϕ ,
ei ,1∈ argumentas ( )Tnxxx ,...,, 21 . Naudojant šią funkciją sprendimas atliekamas
taip: • rašoma tikslo funkcija ir pradinės jos argumentų reikšmės; • PC klaviatūra rašomas raktažodis „Given“; • rašomos apribojimų sąlygos; • rašomas parinktas matricos – vektoriaus vardas, po kurio rašomas
priskyrimo ženklas „:=“ ir iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija „Maximize“ („Minimize“);
• funkcijos „Maximize“ („Minimize“) žymių vietose rašoma: pirmos – tikslo funkcijos vardas, sekančiose – argumentų vardai;
• skaičiavimo rezultatas gaunamas užrašant skaičiuojamos matricos vardą ir lygybės simbolį „=“;
• tikslo funkcijos maksimumo (minimumo) reikšmė apskaičiuojama parašant tikslo funkcijos vardą, kurioje vietoje argumentų vardų rašomos jų apskaičiuotos reikšmės ir po to užrašant lygybės simbolį „=“.
4.7 pavyzdys. Funkcijos 53 +−= yxz maksimumas, esant apribojimams
1022 =+ yx ; 1≤y apskaičiuojamas taip: z47 x y,( ) 3 x⋅ y− 5+:= x 0:= y 1:=
Given x2
y2
+ 10 y 1≤
H Maximizez47 x, y,( ):=
H2.999
1.002−
=
z47 2.999 1.002−,( ) 14.999= .
.
13
Funkcija „Minerr“ atliekamas taškų ( )iii yxM , , ni ,1∈ aproksimuojančios
priklausomybės ( )γβα ,,,xF parametrų γβα ,, kokybės kriterijaus ( )γβα ,,S atžvilgiu apskaičiavimas. Uždavinio sprendimas atliekamas taip:
• užrašomi ix ir iy empirinių reikšmių vektoriai, kartu nurodant šių
vektorių komponenčių skaičių n ; • užrašoma pasirinkta aproksimuojanti priklausomybė ( )γβα ,,,xF ir
nurodomos pradinės parametrų γβα ,, reikšmės;
• užrašoma kokybės kriterijaus funkcija ( )γβα ,,S ;
• užrašomas raktažodis „Given“ ir ( ) 0,, =γβαS ; • iš komandų matricos „Matrix“ perkeliamas matricos – vektoriaus
šablonas (pirma piktograma), kuriame surašomos komponentės γβα ,, . Po šios matricos – vektoriaus rašomas priskyrimo simbolis „:=“ ir iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija „Minerr“;
• funkcijoje „Minerr (■,■...)“ esančių žymių surašomi parametrų γβα ,, vardai;
• parametrų γβα ,, reikšmės išvedamos užrašant jų vardus ir lygybės simbolį „=“.
4.8 pavyzdys. Taškus ( )iii yxM , , (žr. 4.1 lentelę) 4.1 lentelė.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ix 0 0 0 4 4 4 7 7 7 9 9 9
iy 5 1 7 25 34 28 52 46 50 26 83 91
aproksimuosime kvadratine priklausomybe γβα ++= xxy2 . Kokybės kriterijumi
imsime funkciją ( ) ( )( )∑=
→++−=n
i
iii xxyS
1
22 min,, γβαγβα . Nubraižysime šios
funkcijos grafiką ir sužymėsime taškus ( )iii yxM , . Uždavinio sprendimas panaudojant funkciją „Minerr“ atliekamas taip:
x 0 0 0 4 4 4 7 7 7 9 9 9( )T
:=
y 5 1 7 25 34 28 52 46 50 96 83 91( )T
:= n 11:= i 0 n..:=
F x α, β, γ,( ) α x2
⋅ β x⋅+ γ+:= α 0:= β 1:= γ 2:=
S α β, γ,( )
i
yi F xi α, β, γ,( )−( )2∑:=
Given S α β, γ,( ) 0
α
β
γ
Minerr α β, γ,( ):=
α 0.877= β 1.131= γ 5.509= .
14
0 5 10
50
100
F x α, β, γ,( )
yi
x xi, 4.1 pav. Funkcijos ( ) γβαγβα ++= xxxF
2,,, grafikas
Funkcijomis „polyroots“ atliekamas lygties 0...110 =+++ −
nnn
axaxa sprendimas. Funkcijos „polyroots“ žymės vietoje rašomas sprendžiamos lygties daugianario vektoriaus vardas. Šis vektorius prieš tai turi būti užrašytas.
4.9 pavyzdys. Lygtis 0322 =−− tt sprendžiama taip:
G t2
2 t⋅− 3− coeffs t,
3−
2−
1
→:=
X polyroots G( ):=
X1−
3
=.
5. GRAFIKŲ BRAIŽYMAS
Grafikai braižomi panaudojant komandas, esančias komandų matricoje
„Graph“:
Matricos „Graph“ komandų funkcijos surašytos 5.1 lentelėje
5.1 lentelė.
X-Y Plot (Grafikai Dekarto koordinatėse)
Zoom, (Mikrosko-pas – Grafiko dalies
išskyrimas)
Trace (Pėdsakas)
Polar Plot (Grafikai polinėse koordinatėse)
Surface Plot (paviršiai Dekarto
koordinatėse
Contour Plot (Lygio linijos Dekarto koordinatėse)
3D Bar Plot (Histograma)
3D Scatter Plot (Erdvinė linijos taškai)
Vector Field Plot (Plokščias vektorinis
laukas)
15
5.1. Grafikų braižymas stačiakampėse koordinatėse
Grafikai stačiakampėse koordinatėse braižomi į parinktą ir pažymėtą darbo
lapo vietą iš komandų matricos „Graph“ perkėlus komandą „x-y Plot“ „ “. Šiuo veiksmu atidarome grafiko braižymo langą, kurį toliau vadiname grafiko langu.
x-y Plot grafiko lange rašomi: • apačioje esančios žymės vietoje – argumentų vardai. Jei viename
brėžinyje braižomi keleto funkcijų grafikai, tai kiekvienos funkcijos argumentų vardai atskiriami „ , “ ženklu;
• kairėje esančios žymės vietoje rašomi funkcijų vardai arba jų išraiškos. ●● Jei norima rašyti tik funkcijų vardus, tai jų išraiškos turi būti
užrašytos aukščiau grafiko lango. ●● Jei viename brėžinyje braižomi keleto funkcijų grafikai, tai jų vardai
arba išraiškos atskiriamos „ , “ ženklu.
5.1 pavyzdys. Nubraižysime funkcijų 1251 2 −= xy ir
=
=
ty
tx
sin
cos grafikus:
y51 x( ) 2 x2
⋅ 1−:=
10 0 10100
0
100
200
y51 x( )
sin t( )
x cos t( ),
y51 x( )
sin t( )
x cos t( ),
5.1 pav. Funkcijų grafikai OXY koordinatėse
Atlikę anksčiau nurodytus veiksmus gauname 5.1 pav. kairėje esančiame
grafiko lange pavaizduotus grafikus. Šiuos grafikus iki pavidalo, pavaizduoto 5.1 pav. dešinėje esančiame grafiko lange, pertvarkome tokiais veiksmais:
1. |brėžinio langas, < >|; 2. ištriname argumentų intervalo galų koordinates -10 ir 10 ir vietoje jų
įrašome -1.1 ir 1.1; 3. ištriname funkcijų intervalo galų koordinate -1 ir 199 ir vietoje jų įrašome
-1.1 ir 1.1; 4. |brėžinio langas, << >>|. 5. atliekame veiksmus atidarytame“Formating Currently...“ lange:
5.1. atidarę dalį „X-Y Axes“: • panaikiname „X – Axis“ žymę „Numbered“; • panaikiname „Y – Axis“ žymę „Numbered“; • žymę „Axis Style“ perkeliame į poziciją „Crossed“.
5.2. atidarome dalį „Traces“ ir pakeičiame grafikų linijų storį: • trace 1 Weight 3;
16
• trace 2 Weight 3. 6. veiksmus baigiame atidaryto lango komanda „OK“. Taškų (((( ))))iii yxM , ir juos interpoliuojančio splaino grafikai.
Taškus (((( ))))iii yxM , interpoliuojantis splainas braižomas „Insert function“ lango kairėje dalyje „Function Category“ pažymėjus skyrių „Interpolation and Prediction“. Interpoliacinės funkcijos panaudojamos taip:
• užrašomas taškų ( )iii yxM , reikšmių skaičiaus vardas ir jo reikšmė, bei
indekso i kitimo intervalas; • užrašomi x ir y empirinių reikšmių vektoriai; • užrašomas pagalbinės funkcijos vardas ir po priskyrimo simbolio „:=“.
Po to iš lango „Insert Function“ perkeliama viena iš funkcijų „spline“, „cspline“, „lspline“;
• perkeltoje funkcijoje esančių žymių vietose rašome: ●● pirmos žymės vietoje – pirmo kintomojo vardas; ●● antros žymės vietoje – antro kintamojo vardas.
• toliau rašomas interpoliuojančios funkcijos vardas, kurios argumentas t , priskyrimo simbolis „:=”, o po jo iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija interp.
• funkcijos interp (■,■,■,■) žymių vietose rašoma: ●● pirmos žymės vietoje – pagalbinės funkcijos vardas; ●● antras žymės vietoje – pirmo kintamojo vardas; ●● trečios žymės vietoje – antro kintamojo vardas; ●● ketvirtos žymės vietoje – interpoliuojančios funkcijos argumento vardas.
Splaininė interpoliacija grafiškai pavaizduojama taip:
• komandų matricos „Matrix“ komanda „ “ atidaromas grafiko langas. • grafiko lango apatinės žymės vietoje rašoma: ●● interpoliuojančios funkcijos argumento vardas ir pirmo kintamojo
vardas su indeksu; ●● grafiko lango kairės žymės vietoje – interpoliuojančios funkcijos vardas
ir antro kintamojo vardas su indeksu. Toliau grafikai apiforminami analogiškai kaip tai buvo atlikta 5.1. pavyzdyje.
Be to taškų ( )iii yxM , vaizdavimui atidarius langą „Formatting Currently“ dalyje „Traces“ antrai linijai skyriuje „Symbol“ pažymimas parinktas simbolis „+“.
5.2 pavyzdys. Taškus ( )iii yxM , (žr. 5.2 lentelė) interpoliuosime splainu „lspline“ ir šią interpoliaciją pavaizduosime grafiku.
5.2 lentelė.
i 1 2 3 4 5 6 7
ix -9 -7 -3 0 3 6 9
iy 5 1 7 9 5 3 8
Uždavinio sprendimą anksčiau aprašytais veiksmais atliekame taip: n 7:= i 0 n 1−..:=
x 9− 7− 3− 0 3 6 9( )T
:= y 5 1 7 9 5 3 8( )T
:= z lsplinex y,( ):= S t( ) interp z x, y, t,( ):=
17
10 0 10
5
10
15
S t( )
yi
t xi, 5.2 pav. Taškų ( )iii yxM , ir jų splino grafikai
5.2. Grafikų braižymas polinėse koordinatėse
Grafikai polinėse koordinatėse braižomi analogiškai kaip ir stačiakampėse
koordintėse panaudojant komandų matricos „Graph“ komandą „Polar plot “ 5.3 pavyzdys. Analogiškai, kaip ir 5.1 pavyzdyje veiksmais, panaudoję
komandą „Polar plot “ nubraižome funkcijos ( ) ϕϕρ cos1−= grafiką.
Tiesiogiai panaudoję komandą „Polar plot “ grafiką gauname tokį, koks jis pavaizduotas 5.3. pav. kairėje. Šį grafiką iki pavidalo, pavaizduoto 5.3. pav. dešinėje pertvarkome taip:
• grafiko lange du kartus spustelėjame kairįjį pelės klavišą; • dialogo lange „Formating Currently...“ atliekame veiksmus:
●● skyrelyje dalyse „Radial“ ir „Angular“, „Polar Axes“ panaikiname žymes „Numbered“ ir pažymime „Grid Lines“;
●● dalyje „Axis Style“ pažymime „Crossed“. • atidarę skyrelį „Traces“ pakeičiame pirmos linijos „Trace1“ storį
„Weight“ iki reikšmės „3“.
ρ53 φ( ) 1 cos φ( )−:=
0
30
6090
120
150
180
210
240270
300
330
1.5
0.5ρ53 φ( )
φ
ρ53 φ( )
φ
5.3 pav. Grafikai polinėse koordinatėse
18
5.3. Lygčių ( ) 0=xf grafinis sprendimas
Grafinis lygčių ( ) 0=xf grafinis sprendimas atliekamas panaudojant komandų
matricos „Graph“ komandas „ x-y Plot“, „ Zoom“ ir „ Trace“. Grafinio
lygties ( ) 0=xf sprendimo nagrinėjimą atliksime lygties 1sincos2 2 =− xxx pirmos teigiamos šaknies skaičiavimo pavyzdžiu.
5.3 pavyzdys. Lygties 01sincos2 2 =−− xxx pirmą teigiamą šaknį apskaičiuojame taip:
1) užrašome funkciją:
y54 x( ) 2x cos x2( )⋅ sin x( )− 1+:=
2) veiksmais, analogiškais atliktais sprendžiant 5.1 pavyzdį, nubraižome užrašytos funkcijos grafiką, pavaizduotą 5.4 pav.
0 1 2
5
5
y54 x( )
x
5.4 pav. Funkcijos y54 x( ) 2x cos x2( )⋅ sin x( )− 1+:= grafikas
3) spustelėjame kairįjį pelės klavišą grafiko lange; 4) spustelėję kairįjį pelės klavišą ties komandų matricos „Graph“ antra
piktograma „ „ atidarome dialogo langą „x-y Zoom“; 5) pelės rodyklę grafiko lange perkėlę ties tašku, kuriame funkcijos grafikas
kerta argumentų ( )x0 ašį ir paspaudę kairįjį pelės klavišą apibraukiame nedidelę sritį apie šį tašką;
6) pelės rodyklę perkėlę dialogo lange „x-y Plot“ ties žyme „OK“ ir
spustelėję kairįjį pelės klavišą grafiko lange gauname 5.5 pav. pavaizduotą grafiką.
19
1.25 1.3 1.35y54 x( )
x x0 1.261:=
5.5 pav. Funkcijos y57(x) grafikas ties tašku y54:=0
7) pakartoję 4 veiksmą ir pelės rodyklę perkėlę ties komandų matricos
„Graph“ trečia piktograma ir spustelėję kairįjį pelės klavišą atidarome dialogo langą „x-y Trace“.
8) pelės rodyklę grafiko lange perkėlę į tašką, kuriame funkcijos grafikas kerta
argumentų ( )x0 ašį ir spustelėję kairįjį pelės klavišą dialogo lange „x-y
Trace“ langelyje „X-Value“ gauname lygties 01sincos2 2 =+− xxx sprendinio reikšmę 2613.1=x .
9) šią reikšmę darbo puslapyje nukopijuojame.
5.4. Erdviniai grafikai
Funkciją ( )yxfz ,= atitinkantis paviršius braižomas komanda
„Graph“ „Surface Plot “. Funkcijos ( )yxfz ,= lygio linijos ( ) iCyxf =, braižomos komanda
„Graph“ „Contour Plot “. Funkciją ( )yxfz ,= atitinkanti histograma braižoma komanda „Graph“ „3D
Bar Plot “. Šiomis komandomis funkcijų grafikai braižomi Math Cad lape užrašius jų
vardus ir jų išraiškas. Ne aukščiau šio užrašo iš komandų matricos „Graph“ atitinkama komanda perkeliama reikalingas grafiko langas. Grafiko lange
20
esančios žymės vietoje užrašomas funkcijos vardas ir taip gaunamas su nagrinėjamos funkcijos grafikas.
5.4.1 pavyzdys. Funkcijos 22yxz += paviršiaus, lygio linijų ir histogramos
grafikai nubraižomi taip:
z541 x y,( ) x2
y2
+:=
z541 z541 z541 a) b) c)
5.6 pav. Funkcijos 22: yxz += a – grafikas; b – lygio linijos; c – histograma
Komanda „3D Scater Plot “ braižomi erdvės taškų grafikai (erdvinių
linijų grafikai). Erdvinė linija
( )( )
( )
=
=
=
trz
tgy
thx
braižoma atliekant tokius veiksmus:
• užrašomas erdvės linijos taškų skaičius N ir argumento t reikšmių it ,
Ni ,1∈ išraiška;
• užrašomos erdvės koordinačių zyx ,, vardai ir išraiškos; • užrašomos erdvės taškų koordinačių reikšmės esant argumento reikšmėms
it ;
• iš komandų matricos „Graph“ komanda „3D Scater Plot“ perkeliamas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose surašomi erdvės koordinačių vardai.
5.4.2 pavyzdys. Spiralės
( )( )( )( )
=
−=
−=
tz
tty
ttx
2
cos05,0exp2
sin05,0exp2
grafikas braižomas taip:
N 100:=
i 0 N..:=
ti i 4⋅π
N⋅:=
x542 t( ) 2 exp 0.05− t⋅( )( )⋅ sin t( )⋅:= y542 t( ) 2 exp 0.05− t⋅( )( )⋅ cos t( )⋅:= z542 t( ) 2 t⋅:= x542i x542 ti( ):= y542i y542 ti( ):= z542i z542 ti( ):= .
21
z542 z542t( ):=
x542 y542, z542,( ) 5.7 pav. Spiralė
Parametrine forma
( )( )
( )
=
=
=
vurz
vugy
vuhx
,
,
,
užrašyto paviršiaus grafikas braižomas
atliekant tokius veiksmus: • užrašomi erdvės koordinačių zyx ,, vardai ir jų, kaip u ir v argumentų
funkcijų, išraiškos;
• iš komandų matricos „Graph“ komanda „Surface Plot “ perkeliamas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose surašomi erdvės koordinačių vardai.
5.4.3 pavyzdys. Paviršiaus
( )( )
=
+=
+=
vz
vuy
vux
sincos210
coscos10
grafikas braižomas taip:
a 10:= b 2:= x543 u v,( ) a b cos u( )⋅+( ) cos v( )⋅:= y543 u v,( ) a b cos u( )⋅+( ) sin v( )⋅:= z543 u v,( ) v:=
x543 y543, z543,( ) 5.8 pav. Paviršiaus ( ) vux coscos10 += , ( ) vuy sincos210 += , vz =
22
Komanda „Graph“ „Vector Field Plot “ braižomas vektorinio lauko
( ) ( ) ( )( )yxByxAyxF ,,,, = grafikas. Vektorinio lauko grafikas braižomas atliekant tokius veiksmus:
• užrašomi vektoriaus lauko vardas ir jo dedamųjų išraiškos, • užrašomos kintamųjų x ir y reikšmių ix ir iy intervale [ ]BA, , [ ]DC,
apskaičiavimo išraiškos, • užrašomos vektorinio lauko dedamųjų, apskaičiuotų taškuose ( )jiij yxM , ,
reikšmės, • iš komandų matricos „Graph“ komanda „Vector Field Plot
“ atidaromas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose įrašomi vektorinio lauko dedamųjų vardai.
5.4.4 pavyzdys. Funkcijos 22yxyxz −−+= gradientinis ( )yx zzgradz ′′= ,
laukas braižomas taip:
z544 x y,( ) x y+ x2
− y2
−:=
gradz544 x y,( )x
z544 x y,( )d
d
yz544 x y,( )
d
d
:=
A 5−:= B 5:= C 5−:= D 5:= Nx 10:= Ny 10:=
i 0 Nx 1−..:=
xi AB A−
Nxi⋅+:=
j 0 Ny 1−..:=
yj CD C−
Nyj⋅+:=
V544i j, gradz544 xi yj,( ):=
A544i j, V544i j,( )0
:=
B544i j, V544i j,( )1
:=
A544 B544,( ) 5.9 pav. Funkcijos 22
yxyxz −−+= gradientas
Dviejų kintamųjų funkcijos ( )yxfz ,= grafikas parinktoje srityje [[[[ ]]]]bax ,∈∈∈∈ ,
[[[[ ]]]]dcy ,∈∈∈∈ braižomas naudojant „Insert Function“ lange skyriuje „Function
23
Category“ – „Graph“ esančią funkciją „CreateMesh“. Funkcija „CreateMesh“ ( )yxfz ,= grafikai braižomi tokiais veiksmais:
• užrašomas funkcijos vardas ir išraiška; • užrašomas ( )yxfz ,= grafiko braižymo funkcijos vardas ir po priskyrimo
simbolio „:=“ iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija „CreateMesh“; • funkcijos „CreateMesh“ šablone esančių žymių vietose įrašoma:
●● pirmos – nagrinėjamos funkcijos vardas; ●● antrosios ir trečiosios – parinktos pirmojo kintamojo intervalo apatinė ir
viršutinė reikšmės; ●● ketvirtosios ir penktosios – parinktos antro kintamojo intervalo apatinė
ir viršutinė reikšmės; ●● šeštosios – parinkta taškų skaičiaus reikšmė; ●● septintoji ir aštuntoji žymės ištrinamos.
5.4.5 pavyzdys. Funkcijos ( ) yxyz sincos −−= intervale ( )5;0∈x , ( )10;0∈y ir jos lygių linijų grafikai braižomi taip:
F545 x y,( ) cos y x−( ) sin y( )−:= P CreateMesh F545 0, 5, 0, 10, 30,( ):=
P P 5.10 pav. Funkcijos ( ) yxyz sincos −−= ir jos lygių linijų grafikai
Funkcijos
( )( )( )
=
=
=
vuHz
vuGy
vuFx
,
,
,
grafikai srityje ( )BAu ;∈ , ( )DCv ;∈ funkcijos
„CreateMesh“ pagalba braižomi atliekant tokius veiksmus: • užrašomi erdvės koordinačių zyx ,, vardai ir jų funkcinės priklausomybės
nuo u ir v išraiškos; • užrašomas nagrinėjamos funkcijos grafiko braižymo funkcijos vardas ir po
priskyrimo simbolio „:=“ iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija „CreateMesh“;
• funkcijos „CreateMesh“ šablone esančių žymių vietose įrašoma: ●● pirmos, antros ir trečios – erdvės koordinačių funkcijų vardai;
24
●● ketvirtos ir penktos – pirmo parametro u parinkto intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės;
●● šeštos ir septintos – antro parametro v parinkto intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės;
●● aštuntos – parinkta taškų skaičiaus reikšmė. 5.4.6 pavyzdys. Sukinių, gautų sukant apie x0 ir y0 ašis kreivę xxy cos= ,
[ ]1;0∈x , grafikai braižomi taip: y x( ) x cos x( )⋅:= F5x u v,( ) u:= G5x u v,( ) y u( ) cos v( )⋅:= H5x u v,( ) y u( ) sin v( )⋅:= S5x CreateMesh F5x G5x, H5x, 0, 1, π−, π, 30,( ):= F5y u v,( ) u sin v( )⋅:= G5y u v,( ) u cos v( )⋅:= H5y u v,( ) y u( ):= S5y CreateMesh F5y G5y, H5y, 0, 1, π−, π, 30,( ):=
S5x S5y 5.11 pav. Sukinių apie x0 (S5x) ir y0 (S5y) grafikai
6. DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS
PC programinė įrangos paketu MathCad diferencialinės lygtys gali būti
sprendžiamos: • skaitmeniniais metodais; • analitiniais skaičiavimais; • operaciniu metodu.
6.1. Skaitmeninis diferencialinių lygčių sprendimas Diferencialinių lygčių skaitmeninis sprendimas sprendimas atliekamas
panaudojant „Insert Function“ aplinkoje skyriaus „Function Category“ – „Differential Equation Solve“ funkcijas. Šiame skyriuje yra apie 20 funkcijų. Tarp šių funkcijų esančios funkcijos: multigrid, numo, Pdesolve, relax skirtos diferencialinių lygčių su dalinėmis išvestinėmis sprendimui.
Diferencialinių lygčių ar jų sistemų sprendimas „Differntial Equation Solve“ funkcijomis atliekamas parinktos ir atidarytos funkcijos šablone esančių
25
žymių vietose tinkamai surašius reikalingus skaitmeniniam sprendimui argumentų vardus. Šių argumentų išraiškos užrašius parinktus jų vardus po priskyrimo ženklo „:=“ rašomos aukščiau skaitmeninio sprendimo funkcijos šablono. Skaitmeninio sprendimo funkcijos šablonas perkeliamas po priskyrimo simbolio „:=“, sekančio po užrašyto parinkto šios funkcijos vardo.
Trumpas bet kurios „Differential Equation Solvin“ funkcijos naudojimo aprašymas atsiranda apatinėje lango „Insert Function“ dalyje pažymėjus atitinkamą funkciją. Esant reikalui, išsamesnį kiekvienos funkcijos naudojimo paaiškinimą galima rasti pelės rodyklę „Insert Function“ lange perkėlus ties žyme „ “ ir spustelėjus jos kairįjį klavišą. Taip minimaliai žinant anglų kalbą ir susipažinus su skaitmeniniais Koši uždavinio sprendimo principais galima sėkmingai parinkti tinkamą ir atlikti įvairių diferencialinių lygčių bei jų sistemų sprendimą.
Dauguma diferencialinių lygčių ir jų sistemų sėkmingai gali būti sprendžiamos „Differential Equation Solving“ skyriaus funkcijomis:
• Bulstoer – Bulizsch – Stoer metodu; • Radau – RADAU5 metodas; • Rkadapt – Runge – Kutta metodas; • rkfixed – Runge – Kutta fiksuoto žingsnio metodas. Šiomis funkcijomis sprendžiant diferencialines lygtis ar jų sistemas naudojami
tie patys sprendimo parametrai, kurie surašomi sprendimo funkcijos šablone esančių žymių vietose. Sprendimas pradedamas darbo lape užrašant:
• argumento intervalo kraštinės reikšmes; • sprendinio ar jo vektoriaus dedamųjų reikšmes apatiniame intervalo taške; • parinktą diskretizavimo taškų skaičių; • diferencialinės lygties ( )ytfy ,=′ ar jų sistemos dešinės pusės vardą ir
išraišką. Po šių užrašų darbo lape užrašomas skaitmeninio sprendimo funkcijos vardas
ir po priskyrimo simbolio „:=“ iš „Insert Function“ aplinkos perkeliama parinkta skaitmeninio sprendimo funkcija.
Funkcijų: Bulstoer, Radau, Rkadapt, rkfixed šablonuose esančių žymių vietose įrašoma:
• pirmos – sprendinio ar jo vektoriaus apatiniame intervalo taške vardas; • antros ir trečios – argumento apatinės ir viršutinės reikšmių vardai arba
reikšmės; • ketvirtos – diskretizavimo taškų skaičiaus vardas arba reikšmė; • diferencialinės lygties ir ar jų sistemos dešinės pusės vardas. Po skaitmeninio sprendimo funkcijos šablono užrašoma: • parinktas argumento reikšmių vektoriaus vardas ir po priskyrimo simbolio
„:=“ rašomas sprendinio vardas su viršutiniu indeksu „0“ (nulinis sprendinio reikšmių matricos vektorius);
• parinktas sprendinio reikšmių vektorius vardai ir po priskyrimo simbolio „:=“ rašomas sprendinio funkcijos vardas su viršutiniu indeksu „1“.
Panaudojant šias funkcijas galima komanda „Graph“ „ x-y Plot“ nubraižyti sprendinių grafikus.
Sprendinio reikšmių matricą galima gauti užrašius skaitmeninio sprendimo funkcijos vardą ir po jo sekantį lygybės simbolį „=“.
26
6.1 pavyzdys. Diferencialinė lygtis ( )2sin tyy −=′ , ( ) 00 =y [ ]10;0∈t funkcija „Bulstoer“ sprendžiama taip:
b0 0:= b1 10:= yb0 0:= N 1000:= f b yb,( ) sin yb b2
−( ):= YB Bulstoer yb0 b0, b1, N, f,( ):= b YB 0⟨ ⟩
:= yb YB 1⟨ ⟩:=
0 2 4 6 8 10
1
0.5
0.5
yb
b 6.1 pav. Lygties ( )2sin tyy −=′ sprendinys
6.2 pavyzdys. Diferencialinė lygtis ( ) 3100 tytyy =−+′+′′ ( ) 10 =y ( ) 20 =′y , [ ]5;0∈t skaitmeniniais metodais sprendžiama pakeitus: ( )0,1 zyzy ==′ . Taip
gaunama lygčių sistema:
( )
( ) ( )
=−−−=′
==′
.01,101001
100,103
zzzzttz
zzz (6.1.)
Lygčių sistema (6.1.) funkcija „Rkadapt“ sprendžiama taip:
T0 0:=
T1 5:=
Z01
2
:=
N 1000:=
D T Z,( )Z1
T3
100 T−( ) Z0⋅− Z1−
:=
SR Rkadapt Z0 T0, T1, N, D,( ):= T SR 0⟨ ⟩:= yR SR 1⟨ ⟩
:=
0 1 2 3 4 5
2
2
yR
T 6.2 pav. Lygties ( ) 3100 tytyy =−+′+′′ sprendinys
Šiek tiek kitaip diferencialinės lygtys ar jų sistemos sprendžiamos funkcija
„Odesolve“. Sprendžiant funkcija „Odesolve“ darbo lape nuosekliai užrašoma: • argumento kraštinės reikšmės kartu su jų vardais; • PC klaviatūra raktažodis „Given“; • diferencialinės lygties ar jų sistemos; • sprendinio ar jo vektoriaus reikšmės apatiniame argumento intervalo taške. Pastaba. Diferencialinės lygtys ir sprendinio reikšmės užrašomas naudojant
logines lygybės simbolį „=“, perkeliamą iš komandų matricos „Boolean“. • sprendinio vardas arba jų vektoriaus vardų matrica ir po priskyrimo
simbolio „:=“ iš „Insert Function“ lango perkeliama funkcija „Odesolve“; • funkcijos „Odelsolve“ šablone esančių žymių vietose rašoma:
27
●● pirmos: - ištrinama, jei sprendžiama viena diferencialinė lygtis; - diferencijuojamų funkcijų vardų vektorius, jei sprendžiama
diferencialinių lygčių sistema. ●● antros – argumento vardas; ●● trečios – argumento intervalo viršutinė reikšmė arba jos vardas, ●● ketvirta žymė ištrinama.
6.3 pavyzdys. Diferencialinė lygtis ( )yty cossin −=′ ( ) 00 =y intervale [ ]10;0∈t funkcija „Odesolve“ sprendžiama taip:
t0 0:= t1 10:= Given v' t( ) sin t cos v t( )( )−( ) v t0( ) 0 v Odesolve t t1,( ):=
0 2 4 6 8 10
2
2
v t( )
t 6.3 pav. Lygties ( )yty cossin −=′ sprendinys
6.4 pavyzdys. Diferencialinė lygtis ( ) 0100exp =+′−′′ yyty , ( ) 00 =y
( ) 10 =′y intervale [ ]2;0∈t po pakeitimo 0vy = , 1vy =′ parašoma diferencialinių lygčių sistema
( )
( ) ( )
=−=
==
.101,01001exp1
000,10
vvvtdt
dv
vvdt
dv
(6.2)
Ši lygčių sistema funkcija „Odelsolve“ sprendžiama taip: T0 0:= T2 2:= Given
Tv0 T( )
d
dv1 T( )
v0 T0( ) 0
Tv1 T( )
d
dexp T( ) v1 T( )⋅ 100 v0 T( )⋅−
v1 T0( ) 1
s0
s1
Odesolvev0
v1
T, T2,
:=
0 0.5 1 1.5 2s0 T( )
T 6.4 pav. Lygties ( ) 0100exp =+′−′′ yyty sprendinys
28
6.2. Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas atliekamas tinkamai panaudojant
komandas iš komandų matricos „Symbolic“ bei „Calculus“. Komandų matricos „Symbolic“ komandos buvo nagrinėtos 3 skyriuje. Komandų matricos „Calculus“ panaudojimas nors minimaliai žinant matematinės analizės principus nesudaro problemų.
Atliekant analitinį diferencialinių lygčių sprendimą darbo lape užrašomos teoriškai pagrįstos atitinkamų lygčių sprendimo programos. Šių programų užrašymui pasinaudojama „Programing“, „Boolean“ bei „Matrix“ komandomis.
Programing matricos komandomis atliekami veiksmai: • Add Line – skaičiavimo programoje po vertikalaus brūkšnio pridedama
nauja komandų eilutė; • ← atliekamas vietinis po ženklo nurodytų veiksmų priskyrimas; • if – atliekami veiksmai jei tenkinamos po šios komandos užrašytos sąlygos; • otherwise – atliekami veiksmai, esant priešingoms anksčiau užrašytoms
sąlygoms; • for – veiksmų ciklas; • while – veiksmų ciklas kol bus įvykdyta po šios komandos nurodyta sąlyga; • break – veiksmų vykdymo pertraukimas; • continue – veiksmų vykdymo atnaujinimas; • return – grįžimas vykdyti veiksmus, jei buvo rasta klaida.
6.5 pavyzdys. Funkcija
≥
≤≤
<≤−
−<
=
2,0
20,sin
01,1
2,0
xkai
xkaix
xkai
xkai
y naudojant Add Line; if ir
othervise komandas taip: y6 x( ) 1 x+ 2− x≤ 0<if
sin x( ) 0 x≤ 2<if
0 otherwise
:=
3 2 1 0 1 2 3
2
2
y6 x( )
x 6.5 pav. Funkcijos ( )xyy 6= grafikas
Boolean komandų matricoje yra loginių veiksmų komandos: • =, <, >, ≤, ≥, ≠ – reiškinių loginio lygybės ir palyginimo komandos. Šių
komandų panaudojimą galima rasti ankstesniuose pavyzdžiuose; • ┐ - neigimas (loginis „ne“); • ∧∧∧∧ - konjukcija (loginis „ir“); • ∨∨∨∨ - disjunkcija (loginis „arba“);
29
• ⊕⊕⊕⊕ - sumavimas dvejetainėje sistemoje (moduliu „du“). Kai kurios matricos „Matrix“ komandos buvo naudojamos anksčiau
nagrinėtuose pavyzdžiuose. Kitų komandų panaudojimas nėra sudėtingas. Perkėlus pelės rodyklę ties bet kurios komandos piktograma indukuojamas atitinkamos komandos vardas. Atliekant platesnius skaičiavimus su vektoriais ir matricomis papildomai dialogo lange „Insert Function“ skyriuje „Function Category – Vector and Matrix“ yra apie 100 vektorinės ir tiesinės algebros funkcijų.
6.6 pavyzdys. Matricos A pirmo ir antro stulpelių – vektorių v1 ir v2 skaliarinė ir vektorinė sandaugos „Matrix“ komandomis apskaičiuojamos taip:
A
3
4
3
5
8
9
2
3
5
6
7
4
:=
v1 A 0⟨ ⟩:=
v2 A 1⟨ ⟩:=
skal v1 v2⋅:= skal 74= VEK v1 v2×:= VEKT
12 12− 4( )= 6.7 pavyzdys. Lygtis 0122 =+− xx „Matrix“ komandomis užrašoma ir po to
komanda „Symbolic – Solve“ išsprendžiama taip:
B 1 2 3−( ):=
X x( ) x2
x 1( ):=
B X x( )T
⋅ solve x,3−
1
→
6.2.1. Lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais
Jei
6.8 pavyzdys. y' sin x( ) cos y( )⋅ y0 0:= x0 1:= Sprendimas. φ x( ) sin x( ):= ψ y( ) cos y( ):=
Φ x( ) xφ x( )⌠⌡
d cos x( )−→:=
Ψ y( ) y1
ψ y( )
⌠⌡
d ln sec y( ) tan y( )+( )→:=
Sprendžiame Koši uždavinį:
Φ x0( ) Ψ y0( ) C+
solve C,
simplify
float 2,
.54−→
Parašome sprendinį ir išreiškiame x:
Φ x( ) Ψ y( ) C+
substitute C .54−,
solve x,
float 2,
3.1 1. acos ln sec y( ) tan y( )+( ) .54−( )⋅−→
x y( ) acos 1.− ln sec y( ) tan y( )+( )⋅ .54+( ):= .
y' φ x( ) ψ y( )⋅ tai Φ x( ) Ψ y( ) C+ Φ x( ) xφ x( )⌠⌡
d Ψ y( ) y1
ψ y( )
⌠⌡
d .
30
Nubraižome sprendinio grafiką:
0 2 4 6 8 10
2
4
x y( )
y 6.6 pav. Lygties yxy cossin ⋅=′ grafikas
6.2.2. Homogeninė lygtis
Jei ytxtfyxfy ⋅⋅==′ ,(),( , tai keičiame xuy ⋅= ir gauname ( )ux
u φ⋅=′1
( ) ( ) uufu −= ,1φ
Φ u( ) u1
φ u( )
⌠⌡
d
Φy x( )
x
ln C x⋅( )
6.9 pavyzdys.
x1y1
d
d
x12
y12
+ y1+
x1 x10 2:=
y10 1:=
Sprendimas.
f x1 y1,( )x1
2y1
2+ y1+
x1f t x1⋅ t y1⋅,( )
t x1⋅( )2
t y1⋅( )2
+ t y1⋅+
t x1⋅ Skaičiuojame
φ u( )1
2u2
− u+
1u− simplify 1 u
2−( )
1
2→:=
Φ u( ) u1
φ u( )
⌠⌡
d asin u( )→:=
asiny1
x1
ln C x1⋅( )
Sprendžiame Koši uždavinį
C asiny10
x10
ln C x10⋅( )solve C,
float 2,.85→:=
asiny1
x1
ln .85 x1⋅( )solve y1,
float 2,sin ln .85 abs x1( )⋅( )( ) x1⋅→
y1 x1( ) sin ln .85 x1⋅( )( ) x1⋅:=
.
.
.
.
31
Nubraižome sprendinio grafiką:
30 20 10 0 10 20 30
10
10
y1 x1( )
x1
6.7 pav. Lygties x
yyxy
+−=′
22
grafikas
6.2.3. Tiesinė lygtis
Tiesinė lygtis ( ) ( )xgxhzz +⋅=′ keitimu vuz ⋅= užrašoma sistema
v' v h x( )⋅
u'g x( )
v x( )
v x( ) exp xh x( )⌠⌡
d−
u x( ) xg x( )
v x( )
⌠⌡
d
z x( ) u x( ) C+( ) v x( )⋅
6.10 pavyzdys.
z'z
wsin w( )+
w0 1:=
z0 0:=
Sprendimas. čia
h w( )1
w:=
g w( ) sin w( ):=
Skaičiuojame
v w( ) exp wh w( )⌠⌡
d−
1
w→:=
u w( ) wg w( )
v w( )
⌠⌡
d
sin w( ) w cos w( )⋅−→:=
z w( ) u w( ) C1+( ) v w( )⋅ Sprendžiame Koši uždavinį:
C1 u w0( ) C1+( ) v w0( )⋅ z0solve C1,
float 3,.301−→:=
Parašome sprendinį:
z w( ) u w( ) C1+( ) v w( )⋅sin w( ) w cos w( )⋅− .301−
w→:=
.
.
32
Nubraižome sprendinio grafiką:
20 15 10 5 0 5 10 15 20
2
2
z w( )
w
6.8 pav. Lygties ( )ww
zz sin+=′ grafikas.
6.2.4. Tiesinė su pastoviaisiais koeficientais diferencialinė lygtis
( ) ( )xxPycybya n ⋅⋅=⋅+′⋅+′′⋅ αexp , jos sprendinys ( ) ( ) ( )xgxhxy +=
h x a, b, c, C1, C2,( ) D b2
4 a⋅ c⋅−←
r1b− D−( )
2 a⋅←
r2b− D−( )
2 a⋅←
C1 exp r1 x⋅( )⋅ C2 exp r2 x⋅( )⋅+ D 0>if
C1 exp r1 x⋅( )⋅ C2 x⋅ exp r2 x⋅( )⋅+( ) D 0if
exp Re r1( ) x⋅( ) C1 sin Im r1( ) x⋅( )⋅ C2 cos Im r1( ) x⋅( )⋅+( ) D 0<if
g x( ) Qn x( ) exp α x⋅( )⋅ r1 α≠ r2 α≠∧if
x Qn⋅ x( ) exp α x⋅( )⋅ r1 r2≠ r1 α r2 α∨( )∧if
x2
Qn⋅ x( ) exp α x⋅( )⋅ r1 r2 αif 6.11 pavyzdys. Sprendžiame lygtį: y'' 2 y'⋅+ 5 y⋅+ x 1+( ) exp 2− x⋅( )⋅ x0 0:= y0 0:= y'0 0:= Sprendimas.
( ) ( ) ( )xgxhxy += . Skaičiuojame sprendinio homogeninę dedamąja h(x). Užrašome ir sprendžiame charakteringąją lygtį: a 1:= b 2:= c 50:=
sprendziame charakteringaja lygti
a b c( ) r2
r 1( )T⋅ 0 solve r,1− 7 i⋅+
1− 7 i⋅−
→
x) matrica
r1
1− 7i+:= .
33
Parašome funkcijų h(x) matricą:
H x( ) exp Re r1( ) x⋅( ) sin Im r1( ) x⋅( ) cos Im r1( ) x⋅( )( )T⋅
sin 7 x⋅( ) exp x−( )⋅
cos 7 x⋅( ) exp x−( )⋅
→:=
Rašome dalinį sprendinį )2exp()()( xDxBxg ⋅−⋅+⋅= ir skaičiuojame koeficientus B, D:
y'' 2 y'⋅+ 50 y⋅+ x 1+( ) exp 2− x⋅( )⋅+[ ]
exp 2− x⋅( )
substitute y B x⋅ D+( ) exp 2− x⋅( )⋅,
substitute y'x
B x⋅ D+( ) exp 2− x⋅( )⋅[ ]d
d,
substitute y''2
xB x⋅ D+( ) exp 2− x⋅( )⋅[ ]
d
d
2,
collect x,
coeffs x,
2− B⋅ 50 D⋅+ 1+
50 B⋅ 1+
→
0:=
G2− B⋅ 50 D⋅+ 1+ 0
50 B⋅ 1+ 0
solve B D( ),1−
50
13−
625
→:=
Parašome atskirtąjį sprendinį:
g x( ) G x 1( )T
⋅ exp 2− x⋅( )⋅1−
50x⋅
13
625−
exp 2− x⋅( )⋅→:=
Sprendžiame Koši uždavinį:
exp Re r1( ) x⋅( ) C1 sin Im r1( ) x⋅( )⋅ C2 cos Im r1( ) x⋅( )⋅+( )⋅ g x( )+ y0
xexp Re r1( ) x⋅( ) C1 sin Im r1( ) x⋅( )⋅ C2 cos Im r1( ) x⋅( )⋅+( )⋅ g x( )+
d
dy'0
substitute x x0,
solve C1 C2( )T
,
1−
8750
13
625
→
C1−
8750
13
625
:=
Parašome diferencialinės lygties sprendinį:
y x( ) C H x( )⋅ g x( )+1−
8750sin 7 x⋅( )⋅ exp x−( )⋅
13
625cos 7 x⋅( )⋅ exp x−( )⋅+
1−
50x⋅
13
625−
exp 2− x⋅( )⋅+→:=
Nubraižome sprendinio grafiką:
0 1 2 3 4 5
0.02
y x( )
x 6.8 pav. Lygties ( ) ( )xxyyy ⋅−+=+′+′′ 2exp152 grafikas.
.
34
Lygtys a z''⋅ bz'+ cz+ f t( ) z 0( ) A z' 0( ) B bei jų sistemos gali būti sprendžiamos operaciniu metodu.
6.12 pavyzdys. Operaciniu metodu išspręsime lygtį ( ) ( )tttzzz sinexp2 ⋅−⋅=+′⋅+′′ ( ) 00 =z
( ) 00 =′z Sprendimas. Apskaičiuojame istorines funkcijos f(t) vaizdą F(s): f t( ) t exp t−( )⋅ sin t( )⋅:=
f t( )laplace t,
simplify2
s 1+
s2
2 s⋅+ 2+( )2⋅→
F s( ) 2s 1+
s2
2 s⋅+ 2+( )2⋅:=
Apskaičiuojame diferencialinės lygties sprendinio vaizdą Z(s):
z'' 2 z'⋅+ z+ f t( )
substitute z'' s2
Z s( )⋅,
substitute z' s Z s( )⋅,
substitute z Z s( ),
substitute f t( ) F s( ),
solve Z s( ),
2
s5
5 s4
⋅+ 12 s3
⋅+ 16 s2
⋅+ 12 s⋅+ 4+
→
Z s( )2
s5
5 s4
⋅+ 12 s3
⋅+ 16 s2
⋅+ 12 s⋅+ 4+
:=
Apskaičiuojame diferencialines lygties sprendinį z(t): z t( ) Z s( ) invlaplaces, 2 exp t−( )⋅ 2 exp t−( )⋅ cos t( )⋅− t exp t−( )⋅ sin t( )⋅−→:= . Nubraižome sprendinio grafiką:
0 2 4 6 8 10
0.5
z t( )
t 6.9 pav. Lygties ( ) tttzzz sinexp2 −=+′+′′ grafikas sprendinys.
.
35
LITERATŪRA
1. Дьяконов В. М. MathCad 2001: Учебный курс. – СПБ.: Питер, Санкт –
Петербург, 2001. – 605 с. 2. Дьяконов В. М. MathCad 2001: Специальный справочник. – СПБ.: Питер,
Санкт – Петербург, 2002. – 831 с. 3. Кудрявцев Е. М. MathCad 2000 Pro. – M.: DMK Пресс - Москва, 2001. –
409 с. 4. Сдвижков О. А. MathCad – 2000: Введение в компютерную математику. –
ИТК "Дашков и Кº". – Москва, 2002. – 203 с. 5. Sakalauskas L. Informacinė technika inžinerijoje (paskaitų konspektas). –
Vilnius: TEV, 2003. – 66 p. 6. Misevičius G. ir kt. Aukštoji matematika. Vadovėlis ir pratybos su
kompiuteriu. – Vilnius: TEV, 1999. – 469 p. 7. Schoenberg. On spline functions inequalities. Acad Press, 1967. – 291 p.