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UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MEÂNICA
ANNELISE YUIKO IDEHARA
Cálculo de Esforços Longitudinais em Virabrequins
Campinas, 2009
Annelise Yuiko Idehara
Cálculo de Esforços Longitudinais em Virabrequins
Área de concentração: Projeto Mecânico
Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Júnior
Campinas, 2009
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica.
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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP
Id2c
Idehara, Annelise Yuiko Cálculo de esforços longitudinais em virabrequins / Annelise Yuiko Idehara. --Campinas, SP: [s.n.], 2010. Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Junior. Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica. 1. Automóveis - Motores - Combustão. 2. Automóveis - Dinâmica - Métodos de simulação. 3. Mancais hidrostáticos. I. Santos Junior, Auteliano Antunes dos. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Título em Inglês: Longitudinal loads in the crankshaft Palavras-chave em Inglês: Automobiles - Motors - Combustion, Automobiles -
Dynamics - Simulation methods, Bearings, Fluid-film Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica Banca examinadora: Douglas Eduardo Zampieri, Oswaldo Horikawa Data da defesa: 14/07/2010 Programa de Pós Graduação: Engenharia Mecânica
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UNIVERSIDADE ESTAUDAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MEÂNICA DEPARTAMENTO DE PROJETO MECÂNICO
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Cálculo de Esforços Longitudinais em Virabrequins
Autor: Annelise Yuiko Idehara Orientador: Auteliano Antunes dos Santos Júnior A banca examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Campinas, 14 de julho de 2010.
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Agradecimentos
Presto meus agradecimentos aos engenheiros Alex de Souza Rodrigues, Robson Ferreira da Cruz,
Sergio Gradella Villalva, Pedro Henrique Ferreira, Rafael Augusto de Lima e Silva, Luis Antonio
Fonseca Galli (Thyssenkrupp Metalúrgica Campo Limpo) que contribuíram com este trabalho com
comentários e sugestões que enriqueceram bastante esta dissertação.
Gostaria também de prestar meus agradecimentos a minha família que me apoiou pela vida toda e
em especial ao meu irmão Sergio Junichi Idehara.
Aos meus amigos de graduação que dividiram muitos momentos, agradeço-os imensamente pela
amizade e pelo apoio nas dificuldades.
Por fim, agradeço meu orientador Prof. Dr. Auteliano Antunes dos Santos Júnior que sempre
incentivou meu progresso neste projeto de pesquisa.
v
Resumo Idehara, Annelise Yuiko, Cálculo de esforços longitudinais em virabrequins, Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2009, Tese de Mestrado. Este trabalho tem como objetivo a análise do fenômeno de vibração na direção
longitudinal de árvore de manivelas em motores de combustão interna, o cálculo de esforços
sobre o mancal e o cálculo dos deslocamentos causados pela dinâmica do virabrequim. Essa
vibração é apontada como uma das causas de desgaste precoce dos componentes acoplados ao
virabrequim e do próprio componente. Reduzir essa vibração contribui para o aumento da vida
útil e eficiência. A formulação proposta para estudo da dinâmica da estrutura é o modelo de
múltiplos graus de liberdade com massas e inércias concentradas. Para o cálculo dos esforços de
reação dos mancais, a equação de Reynolds é resolvida por diferenças finitas. Além disso, o
programa comercial Excite (AVL) é utilizado para aferir resultados e fazer comparações. Os
resultados são apresentados para diferentes condições de operação em um virabrequim comercial.
Analisa-se de forma simples o efeito da redução de massa de 5% e de 10%. Por fim, conclui-se
que a árvore de manivelas simulada não apresenta desgaste por contato metal-metal.
Palavras chave: Vibração longitudinal em virabrequim, mancal, diferenças finitas, equação de Reynolds.
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Abstract
Idehara, Annelise Yuiko, Longitudinal Loads in the Crankshaft, Campinas, Faculdade de
Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2009, Master Degree Thesis.
This paper aims to analyze the phenomenon of vibration in the longitudinal direction of
the crankshaft in internal combustion engines, the calculation of loads on the bearing and the
calculation of displacements caused by the dynamics of the crankshaft. This vibration is
identified as a cause of premature wear of the components coupled to the crankshaft and the
component itself. Reduction in this vibration contributes to increased efficiency and life service
time. The proposed formulation to study the dynamics of the structure is the model of multiple
degrees of freedom with concentrated masses and inertias. The Reynolds equation is solved by
Finite Differences Method to calculate the supported load of the bearing. In addition, the
commercial program Excite (AVL) is used to evaluete results and make comparison. The results
are presented for different operating conditions in a commercial crankshaft. A simple analysis of
a crankshaft mass reduction of 5% and 10% is done. Finally, a conclusion that the crankshaft
does not present a metal-metal contact is done.
Keyword: Longitudinal vibration on crankshaft, bearing, Reynolds equation, Finite differences
Method.
vii
Lista de ilustrações
Figura 3- 1: Esquema do sistema Biela-Manivela empregado na criação do modelo adotado, à
esquerda ................................................................................................................................. 11
Figura 3- 2: Esquema de forças envolvendo forças de combustão, tangencial, radial e momento
de torção ................................................................................................................................ 13
Figura 3- 3: Pressão de Combustão em função do ângulo de manivela ........................................ 15
Figura 3- 4: Força Tangencial em função do ângulo de manivela ................................................ 16
Figura 3- 5: Força Radial em função do ângulo de manivela........................................................ 17
Figura 3- 6: Torque em função do ângulo de manivela................................................................. 18
Figura 3- 7: Força axial aplicada à embreagem fornecida pela empresa Sachs (modelo 1540)... 19
Figura 3- 8: Interação com embreagem ao engatar [G. Offner, M. Lechner, 2003] ..................... 20
Figura 3- 9: modelo da árvore de manivelas com múltiplos graus de liberdade ........................... 20
Figura 3- 10: Acoplamento dos graus de liberdade...................................................................... 21
Figura 3- 11 : Sistema de coordenadas ortogonais x, y, z ............................................................. 28
Figura 3- 12: Esquematização do domínio de integração............................................................. 30
Figura 3- 13: Pontos da malha sobre o mancal axial para discretização. ...................................... 31
Figura 4- 1: Árvore de manivelas forjada utilizada nas simulações............................................. 35
Figura 4- 2: Suporte do bloco do motor e mancal principal .......................................................... 36
Figura 4- 3: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 90°
............................................................................................................................................... 39
Figura 4- 4: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 75°
............................................................................................................................................... 40
Figura 4- 5: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 60°
............................................................................................................................................... 40
Figura 4- 6: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 45°
............................................................................................................................................... 40
Figura 4- 7: Viscosidade Requerida em função da velocidade de rotação.................................... 41
Figura 4- 8: Pontos estudados........................................................................................................ 42
viii
Figura 4- 9: Deslocamento total causado pela vibração torcional a 1100rpm em função do ângulo
de manivela............................................................................................................................ 42
Figura 4- 10: Deslocamento axial 1100rpm em função do ângulo de manivela ........................... 43
Figura 4- 11: Força Axial sobre mancal a 1100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda
e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 43
Figura 4- 12: Vibração torcional 1500rpm em função do ângulo de manivela............................. 44
Figura 4- 13: Vibração axial 1500rpm em função do ângulo de manivela ................................... 44
Figura 4- 14: Força Axial sobre mancal a 1500rpm em função do ângulo de manivela a esquerda
e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 45
Figura 4- 15: Vibração torcional 2100rpm em função do ângulo de manivela............................. 45
Figura 4- 16: Vibração axial 2100rpm em função do ângulo de manivela ................................... 46
Figura 4- 17: Força Axial sobre mancal a 2100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda
e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 46
Figura 4- 18: Vibração torcional 2500rpm em função do ângulo de manivela............................. 47
Figura 4- 19: Vibração axial 2500rpm em função do ângulo de manivela ................................... 47
Figura 4- 20: Força Axial sobre mancal a 2500rpm em função do ângulo de manivela a esquerda
e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 48
Figura 4- 21: Vibração torcional 3050rpm em função do ângulo de manivela............................. 48
Figura 4- 22: Vibração axial 3050rpm em função do ângulo de manivela ................................... 49
Figura 4- 23: Força Axial sobre mancal a 3050rpm em função do ângulo de manivela a esquerda
e a resposta em freqüência a direita....................................................................................... 49
Figura 4- 24: Discretização do virabrequim no programa EXCITE ............................................. 51
Figura 4- 25: Conjunto árvore de manivelas-mancais-carcaça ..................................................... 51
Figura 4- 26:Força axial considerando mancal como mola e amortecedor................................... 52
Figura 4- 27: Comparação dos resultados no domínio do tempo.................................................. 53
Figura 4- 28: Comparação dos resultados no domínio da freqüência ........................................... 53
Figura 4- 29: Deslocamento axial a 2500 rpm .............................................................................. 55
Figura 4- 30: Força axial, considerando embreagem em quatro velocidades ............................... 55
Figura 4- 31: Máximo deslocamento axial .................................................................................... 56
Figura 4- 32: Máxima força axial em função da velocidade ......................................................... 57
Figura 4- 33: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas........... 60
ix
Figura 4- 34: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas........... 60
Figura 4- 35: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas........... 61
Figura 4- 36: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas........... 61
x
Lista de Tabelas
Tabela 4- 1: Segmentos com massas ............................................................................................. 37
Tabela 4- 2: Rigidez axial e torcional............................................................................................ 38
Tabela 4- 3: Freqüências naturais.................................................................................................. 59
xi
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
A – área da superfície [m2] Ai – coeficientes da equação de distribuição de pressões em diferenças finitas a – aceleração instantânea do pistão [m/s2] C – coeficiente de amortecimento [N.m.s/rad] d – fator de perda dp – diâmetro do pistão [m] F – carga aplicada no mancal [N] F0 – capacidade de carga do mancal para uma sapata Fir – força de inércia rotativa [N] Fia – força de inércia alternativa [N] Fr – força radial resultante [N] Fra – força radial das inércias rotativas [N] Frp – força radial dos gases [N] Ft – força tangencial resultante [N] Fta – força tangencial das inércias alternativas [N] Ftp – força tangencial dos gases [N] G – módulo de cisalhamento dinâmico [MPa] h – espessura do filme de óleo numa posição qualquer entre duas placas [µm] H – perda de potência [W] I – momento de inércia [kg.m2] i – contador na direção θ, variável discreta Ialt – momento de inércia das massas alternativas [kg.m2] j – contador na direção r, variável discreta ka – rigidez axial do virabrequim [N/m] K – fator que relaciona hp/hrs Kt – rigidez torcional [N.m/rad] L – comprimento da biela [m] Lp – largura da sapata [mm] m – número de nós da malha na direção do raio ma – massas alternativas [kg] mab – massa alternativa da biela [kg] mb – massa total da biela [kg] mrb – massa rotativa da biela [kg] Mt – momento torçor [N.m] p – pressão na iteração i-1, adimensional pm – pressão na iteração i [N/m2] r – raio da manivela ou meio curso do pistão [m] Re – raio externo da sapata do mancal [mm] Ri – raio interno da sapata do mancal [mm] ro – massa especifica do lubrificante [kg/m3] v – velocidade instantânea do pistão [m/s]
xii
x – posição instantânea do pistão [m] Z – número de sapatas
Letras Gregas
α − ângulo de inclinação da superfície superior da sapata em relação aos eixos da coordenadas cilíndricas r e θ [°]
β − ângulo da biela [°] ∆ − passo ou incremento em uma determinada direção η − viscosidade absoluta [Pa.s] θ − ângulo unitário e eixo das coordenadas cilíndricas [°] λ − fator lambda ω − velocidade angular do virabrequim [rad/s] ωn – freqüência natural do sistema
xiii
Sumário Capítulo 1: Introdução ..................................................................................................................... 1
1. 1 Objetivo ........................................................................................................................... 3 Capítulo 2: Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 5 Capítulo 3: Modelagem Teórica .................................................................................................... 10
3. 1 Comportamento dinâmico da árvore de manivelas ............................................................ 10 3. 2 Cinemática do sistema Biela-Manivela .............................................................................. 11 3. 3 Esforços Dinâmicos............................................................................................................ 13
3. 3. 1 Forças de inércia......................................................................................................... 13 3. 3 . 2 Forças de Combustão ................................................................................................ 14 3. 3. 3 Força Tangencial ........................................................................................................ 15 3. 3. 4 Força Radial................................................................................................................ 17 3. 3. 5 Torque aplicado .......................................................................................................... 18
3. 4 Interação com a embreagem............................................................................................... 19 3. 5 Modelo Estrutural da árvore de manivelas ........................................................................ 20 3. 6 Condição de contorno......................................................................................................... 24 3. 7 Resolução do sistema de equações pelo Método de Newmark .......................................... 24 3. 8 Modos de vibração e freqüências naturais......................................................................... 26 3. 9 Interação com filme de óleo do mancal radial.................................................................... 27 3. 10 Dinâmica do fluido e distribuição de pressão em mancais axiais .................................... 29 3. 11 Diferenças Finitas para resolução da Equação de Reynolds ............................................ 30 3. 12 Força resultante no mancal ............................................................................................... 33 3. 13 Viscosidade Requerida ..................................................................................................... 33 3. 14 Rigidez do mancal hidrodinâmico................................................................................... 33 3. 15 Resumo do Capítulo ......................................................................................................... 34
Capítulo 4: Resultados................................................................................................................... 35 4. 1 Modelo Simulado ............................................................................................................... 35 4. 2 Resultados de distribuição de pressão e espessura do filme de óleo .................................. 39 4. 2 Resultados de deslocamentos e força axial......................................................................... 41 4.3 Freqüências naturais ............................................................................................................ 50 4. 4 Simulação no pacote comercial Excite (AVL) ................................................................... 50 4. 5 Interação com embreagem.................................................................................................. 54 4. 6 Discussão dos resultados ............................................................................................... 56 4.7 Redução de massa.......................................................................................................... 58
Capítulo 5: Conclusões e Trabalhos Futuros................................................................................. 63 5. 1 Sugestão de Trabalhos Futuros...................................................................................... 64
Referências Bibliográficas............................................................................................................. 66 Apendice A .................................................................................................................................... 69 Apêndice B .................................................................................................................................... 74 Apêndice C .................................................................................................................................... 83
1
Capítulo 1
Introdução
Desde sua invenção, os motores a combustão interna têm sido amplamente
utilizados em veículos devido seu relativo baixo custo de produção em massa, sua
facilidade de armazenamento e utilização do combustível. Apesar disso, os motores emitem
gases de efeito estufa, têm baixa eficiência (comparado aos motores elétricos) e produzem
ruídos, ou seja, o motor de combustão interna ainda tem muitos aspectos a serem
melhorados.
O motor é uma das partes mais importantes de veículos e é responsável por
transformar energia em forma de combustível (energia química) em movimento (energia
mecânica). É no motor onde ocorre a queima do combustível, que faz a árvore de
manivelas girar e movimentar o eixo dos veículos motorizados.
Existem diversos modelos de motores de combustão interna que variam em número
de cilindros, posição dos cilindros e há ainda os modelos sem cilindros. Pode também
variar no tipo de combustível – diesel, álcool ou gasolina. Cada modelo tem vantagens e
desvantagens e sua utilização é determinada pelos requisitos. Por exemplo, os veículos que
demandam maior potência possuem seis cilindros, enquanto os motores de quatro cilindros
são mais adequados para veículos de passeio ou de pequeno porte. Nos últimos anos, os
requisitos tem se tornado mais severos, pois o consumidor final querer um motor mais leve,
que consuma menos combustível e com potência maiores.
Para responder a essa demanda, empresas de autopeças e montadoras têm investido
nas áreas de pesquisa e desenvolvimento. A forma mais confiável de desenvolver novos
2
modelos é através dos testes em protótipos, porém essa prática é bastante cara. Por isso as
simulações computacionais são muito importantes como uma das etapas iniciais de projeto.
Com modelos computacionais, é possível reduzir ao mínimo os casos de testes em
protótipos reais, eliminando soluções que não atingem os requisitos mínimos nas
simulações virtuais.
Nas últimas décadas, muitas empresas e centros de pesquisa como a AVL, PTC
(Pro-engineer), Nastran (Nasa e MSC Software) e Ansys (Ansys) têm investido recursos e
tempo para desenvolvimento de softwares para simular o comportamento estático e
dinâmico de estruturas, reações químicas, sistemas eletrônicos e etc.
A simulação virtual nunca substitui completamente os testes em protótipos, mas
agiliza o processo inicial de desenvolvimento de novos modelos.
Para o desenvolvimento dos softwares especializados, é muito importante entender
os efeitos relevantes e as considerações que podem ser feitas na modelagem dos problemas.
Isto é, modelos são idealizações do sistema real e alguns efeitos muito pequenos podem ser
desprezados para simplificar a resolução do problema proposto. O conhecimento das causas
dos efeitos menores e sua inclusão nos softwares de simulações é um passo para melhorar a
performance dos motores de combustão interna.
Os componentes do motor devem ser robustos e resistentes para suportar os
esforços de combustão, desgaste, fadiga e altas tensões geradas. Ao mesmo tempo, os
componentes devem ser os mais leves possíveis para redução do peso do veículo. Esses
requisitos (resistência e peso) são os mais importantes para o dimensionamento e o projeto
dos componentes dos motores atualmente segundo Offner e Lechner [1].
Dessa forma, os estudos dos esforços e da dinâmica do motor devem ser bem
entendidos para o correto dimensionamento do motor. Esforços de menor intensidade que
antes eram encobertos por coeficientes de segurança conservadores, hoje são estudados
para um dimensionamento de componentes mais leves.
Os esforços axiais para motores de combustão interna na árvore de manivelas são de
intensidade muito menor que os esforços de torção ou flexão e, portanto, foram menos
estudados que esses esforços nas décadas passadas segundo Shu e Liang [2]. Entretanto,
sabe-se que o movimento longitudinal excessivo da árvore de manivelas pode provocar
ruídos, gerar um campo de tensões adicional, aumentar o desgaste dos pistões (e outros
3
componentes) ou destruí-los em casos extremos. O movimento longitudinal excessivo pode
ser causado por desbalanço, acoplamento dos outros graus de liberdade, desalinhamento, ou
instabilidade do filme de óleo segundo Shu e Liang [2].
O acoplamento torcional-axial da árvore de manivelas, a componente radial da força
de combustão e os esforços externos excitam os graus de liberdade longitudinais da árvore
de manivelas segundo Shu e Liang [2]. Estes são as causas apontadas para o fenômeno da
vibração que reduz a eficiência do motor e sua vida útil.
1. 1 Objetivo
Esta dissertação tem como objetivo a análise do fenômeno de vibração na direção
longitudinal de árvore de manivelas em motores de combustão interna, o cálculo de
esforços sobre o mancal e o cálculo dos deslocamentos causados pela dinâmica do
virabrequim.
1. 2 Descrição dos Capítulos
No capítulo 2, é apresentada a revisão bibliográfica estudada no trabalho. Os
trabalhos estudados foram desenvolvidos no Brasil ou no exterior e abrangem o tema deste
trabalho desde a década de 40 até os dias atuais. Recomenda-se a leitura de livros, como
por exemplo Martins [3], sobre motores de combustão interna para o entendimento do
funcionamento básico do motor.
No capítulo 3, são apresentados os conceitos teóricos e a descrição da metodologia
adotada para os cálculos realizados. A cinemática do sistema biela-manivela é apresentada.
Deslocamentos, velocidade e acelerações são descritos em função dos graus de liberdade.
Os esforços dinâmicos sobre a árvore de manivelas são apresentados em função da pressão
de combustão (dados empíricos fornecidos pela empresa Thyssenkrupp). A modelagem do
sistema e sua discretização são discutidas e o método de solução das equações diferenciais
é apresentado. Além disso, é apresentada a teoria de lubrificação dos mancais.
4
No capítulo 4, são apresentados resultados das simulações realizadas e discussão
dos resultados.
Finalmente, são apresentados conclusões e temas de trabalhos futuros no último
capítulo.
5
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
Em 1941, Poole [4] iniciou estudos de vibração longitudinal em árvore de
manivelas em motores de combustão interna, mas pouca atenção foi dada ao assunto nesse
período, pois os pesquisadores da época focaram-se nos esforços torcionais, nas forças
verticais e nas forças horizontais (esforços de flexão) em mancais radiais, que são mais
críticos do que forças na direção axial. Poole enfatizou que o movimento axial pode ser um
fator importante no desgaste de componentes ligados ao virabrequim, como as bielas e os
pistões. Seu estudo se focou no ruído produzido por motores a diesel em embarcações de
grande porte.
Em 1952, Orcvirk [5] propôs uma solução completa e detalhada para o problema
dos chamados mancais radiais curtos, que em seus estudos apresentavam uma relação de
L/D (comprimento por diâmetro) menor que ½ . Esta solução é aceita também para valores
mais elevados atualmente. Orcvirk discutiu os resultados em termos da distribuição de
pressão do filme de óleo no mancal, que é uma das causas dos esforços que atuam sobre o
virabrequim.
Nesse período, muitos estudos [6-10] foram feitos para formular os problemas
matematicamente e relacioná-los às observações experimentais. A teoria da lubrificação
hidrodinâmica amadureceu bastante e a equação de Reynolds já havia sido resolvida para
6
quase todas as configurações geométricas simples, tanto para lubrificantes líquidos, quanto
para gasosos. Um marco desta época foi a percepção de que os mancais não poderiam ser
estudados isoladamente das características dinâmicas dos rotores, surgindo um novo
enfoque além da lubrificação.
Nas últimas décadas, os estudos de mancais e eixos em rotação avançaram bastante
com o desenvolvimento dos computadores e a possibilidade de realizar simulações virtuais.
Em 1994, Ying et all e Li et all [11] contribuíram com estudo de vibração acoplada
(torsional-axial e flexial-axial) apresentando um modelo simples de rigidez, massa e
amortecimento equivalentes para as equações de movimento. Em 1995, Xue et al [12]
apresentou continuidade ao trabalho desses autores e descreveu melhor os coeficientes de
vibração acoplada que caracterizam a intensidade do acoplamento entre os graus de
liberdade citados. Eles concluíram que a análise da vibração longitudinal é significativa e
seu entendimento pode contribuir para um design mais leve do virabrequim sem reduzir seu
desempenho.
No mesmo ano, Okamura e Morita [13] pesquisaram o comportamento
tridimensional em eixos em geral. Esses autores contribuíram nessa linha de pesquisa
utilizando elementos de contorno em vez de elementos finitos. Os resultados encontrados
foram bastante próximos aos obtidos anteriormente. Os autores ainda comentaram a falta de
condicionamento das matrizes para os cálculos realizados. Estes autores trabalharam em um
modelo de múltiplos graus de liberdade.
Em 1997, Knoll, Schonen e Wilhelm [14] desenvolveram trabalhos sobre análise do
virabrequim e do bloco do motor em regime elastohidrodinâmico. Compararam com
resultados experimentais e com a solução utilizando o método da impedância (técnica de
monitoramento da integridade) e concluíram que ambos têm boa concordância com os
experimentos. Entretanto, verificaram que o tempo computacional utilizado no algoritmo
para considerar o regime elastohidrodinâmico é muito maior comparado ao método da
impedância.
Em 2000, Mourelatos [15] fez uma análise estrutural em virabrequins considerando
a rigidez do bloco e a lubrificação hidrodinamica. O autor ainda relacionou a dinâmica com
a geração de ruído e trabalhou em problemas de NVH (noise and vibration harshness). No
ano seguinte, Rozeanu e Kennedy publicaram seu trabalho sobre desgaste em mancais com
7
uma abordagem experimental em locais críticos. Eles ainda relataram a influência de
lubrificantes no desgaste dos componentes diretamente acoplados ao virabrequim, como as
bielas e os mancais.
Em 2003, Offner, Priebsch e Laback [16] apresentaram solução da equação de
Reynolds para mancais curtos e longos. Eles apresentaram algoritmos utilizando a
interpolação de Fritch-Butland que se apresentaram mais eficientes e mais precisos do que
os algoritmos apresentados na década de 70 para problemas de contato com não-
linearidades. O trabalho desses autores é bastante importante na área, pois eles incluíram a
dinâmica estrutural acoplada à dinâmica do filme de óleo.
Em 2005, Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz, Loibnegger [17] fizeram uma comparação
dos diferentes modelos (Hidrodinâmico, Elastohidrodinâmico e Termoelastohidrodinâmico)
para mancais de motores de combustão interna. Entre os modelos, os autores compararam
os resultados em termos de excentricidade, distribuição de temperatura, picos de pressão do
filme de óleo. Os autores concluíram que os modelos Elastohidrodinâmico e
Termoelastohidrodinâmico consomem muito esforço computacional e requerem muitos
dados de entrada para resolução do problema. Por isso, em algumas situações, o modelo
hidrodinâmico é suficiente para estudar a dinâmica.
Em 2006, Offner, Leibnergger, Priebsch e Mcluckie [18] apresentaram continuidade
do trabalho de 2003, desenvolvendo um trabalho de vibração na direção longitudinal
considerando esforços da embreagem, dos mancais e acelerações. Também concluíram que
as simulações utilizando a interpolação de Fritch-Butland consomem menos tempo do que
utilizando interpolação cúbica.
Priebsch e Offner [19] ainda publicam um outro trabalho sobre dinâmica de
múltiplos corpos flexíveis (lineares). Foram considerados pistões, árvore de manivelas e
bielas com interação com óleo de cada estrutura. O tempo computacional para a simulação
realizada foi bastante elevado segundo os autores. Os resultados dessas simulações foram
comparados com experimentos e os autores concluíram que a modelagem é válida.
Em 2007, Shu e Liang [2] publicaram uma forma simplificada (modelo discreto de
múltiplos graus de liberdade acoplados por força) de calcular a vibração axial de
virabrequins e a compararam com resultados experimentais. Os autores propuseram duas
formas acopladas de excitação: torcional-axial e flexural-axial. Eles realizaram testes e
8
mediram a vibração axial de árvore de manivelas e compararam resultados simulados
virtualmente com os testes. A modelagem proposta pelos autores mostrou-se eficiente do
ponto de vista computacional, pois as matrizes de massa, rigidez e amortecimento
apresentam ordem reduzida em relação ao método dos elementos finitos, que necessitaria
de uma discretização mais refinada e, portanto, um tempo computacional de simulação
muito superior.
Em 2008, Choi e Pan [20] publicam artigos sobre cálculos das tensões na região do
filete e testes de fadiga considerando anisotropia do material. Este procedimento de cálculo
foi implementado no software ABAQUS. Eles ainda propuseram como estudos posteriores
o comportamento de crescimento ou fechamento de trinca em condições carregadas e não
carregadas.
Pode-se notar que os trabalhos anteriores a 2000 são mais teóricos e de aplicação
mais abrangente, isto é, com enfoque em métodos matemáticos e modelagem. Já os
trabalhos mais recentes enfocam a aplicação. Muitos trabalhos apresentam resultados
experimentais em motores reais e realizam validações de modelos teóricos, como o trabalho
de Shu e Liang [2].
No Brasil, os motores de combustão interna são também bastante estudados.
Encontram-se na literatura muitos detalhes sobre a cinemática e a dinâmica dos principais
componentes dos motores.
Em 2005, Gerardin e Bittencourt [21] trabalham em um modelo dinâmico do
sistema pistão-biela-manivela com mancais hidrodinâmicos. Os autores apresentaram um
modelo dinâmico utilizando a formulação de Newton-Euler que permite calcular as forças
dinâmicas e folgas no mancal principal resolvendo a equação de Reynolds com o método
de Newton-Raphson. Os resultados obtidos foram comparados com um software comercial
para validar o modelo.
No mesmo ano, Mendes, Meirelles e Zampieri [22] trabalham com desenvolvimento
e validação de metodologia para análise de vibrações torcionais em motores de combustão
interna. A modelagem teórica desse trabalho engloba: cinemática do sistema biela-manivela,
forças resultantes das manivelas, influência do absorvedor na resposta do sistema, inércias
do trem de engrenagens e forças devido combustão. A equação de movimento é resolvida
com integral de convolução. Além disso, foram realizadas medições experimentais em um
9
motor da MWM Motors para comparar os resultados obtidos e para validação do método de
cálculo. O autor conclui que a árvore de manivelas simulada sofre uma deformação maior
que a limite recomendada por normas (0,25°) e o uso de amortecedor de borracha não é
recomendado.
Em 2006, Galvão e Schwarz [23] apresentaram resultados de desempenho de
mancais axiais em máquinas rotativas. Eles discutiram a distribuição de pressão e
apresentam resultados em termos capacidade de carga, viscosidade requerida, pressão
média, centro de pressão, vazão de óleo, perda de potência e torque de atrito. Por fim,
compararam resultados simulados com resultados experimentais, validando seu modelo.
No mesmo ano, Gandara [24] publicou um trabalho sobre mancais com movimento
oscilatório (oscilação pela base). O autor apresentou como resultado a espessura do filme
de óleo em função do tempo e da freqüência de oscilação, o que permite avaliar as
condições de lubrificação do sistema.
Na literatura foi possível encontrar modelos matemáticos para modelar o
mecanismo de motores de combustão interna, detalhes da cinemática e dinâmica,
modelagem de mancais hidrodinâmicos, resolução das equações diferenciais que governam
o movimento das estruturas e a distribuição de pressão dos fluidos nos mancais. Esses
trabalhos contribuíram de forma fundamental para que o objetivo de calcular os esforços
longitudinais em virabrequins fossem alcançados, explicitando como modelar o motor e
como resolver as equações envolvidas.
Este trabalho de mestrado contribui com resultados de simulações de um modelo de
virabrequim modelado pela empresa Thyssenkrupp como será apresentado no capítulo
cinco.
10
Capítulo 3
Modelagem Teórica
Neste capítulo, mostra-se a teoria envolvida no desenvolvimento deste trabalho. A
cinemática do sistema, a dedução das forças e torques aplicados, modelagem em múltiplos
graus de liberdade, o método de resolução da equação de movimento e o comportamento da
lubrificação no mancal axial são apresentados.
3. 1 Comportamento dinâmico da árvore de manivelas
O comportamento dinâmico da árvore de manivelas pode ser estudado resolvendo a equação de movimento (1) da peça.
}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&& (1)
em que, [M], [C] e [K] são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez estrutural da
árvore de manivelas; {F} é o vetor de esforços e {x} é o vetor de deslocamento nodal dos
graus de liberdade definidos pelo problema. Neste caso, o vetor contêm os graus de
liberdade torcionais e axiais.
11
As matrizes de massa, amortecimento e rigidez são escritas conforme a
discretização da árvore de manivelas. O vetor de forças é a soma de todos os esforços que
atuam sobre o componente nos respectivos nós. Nesse vetor são considerados forças ou
torques gerados no funcionamento do motor. A solução da equação {x} corresponde ao
deslocamento dos nós.
3. 2 Cinemática do sistema Biela-Manivela
O conjunto pistão, biela e árvore de manivelas pode ser simplificado como um
modelo Biela-Manivela. A figura 3-1 ilustra o conjunto real a ser estudado e sua
simplificação no estudo da cinemática. Este modelo será utilizado no cálculo dos esforços
atuantes na árvore de manivelas.
Figura 3- 1: Esquema do sistema Biela-Manivela empregado na criação do modelo adotado, à esquerda
A posição instantânea do pistão pode ser escrita em função das dimensões da biela,
o raio de manivela da árvore e os ângulos do triangulo formado pela biela, árvore de
manivelas e direção de deslocamento do pistão. Pela regra de soma de vetores do triangulo
obtêm-se a equação (2):
)cos.cos.()( βα LrLrx +−+= (2)
12
Pela geometria, pode-se escrever a equação (3):
αβ senL
rsen = (3)
Definindo Lr /=λ , pode-se reescrever a equação (3) utilizando as relações
trigonométrica e a série de expansão de cos(β):
....16
1.
8
1.
2
11.11cos 664422222 +−−−=−=−= αλαλαλαλββ sensensensensen (4)
Substituindo as seguintes relações trigonométricas: ,2cos2
1
2
12 αα −=sen
ααα 4cos8
12cos
2
1
8
34 +−=sen e αααα 6cos32
14cos
16
32cos
32
15
16
56 −+−=sen na
equação (4), tem-se:
...6cos512
4cos64
2cos4
1cos642
++−−= αλ
αλ
αλ
β (5)
Desconsiderando os termos superiores à segunda ordem, pode-se reescrever a
equação (2) da seguinte maneira:
)2cos1.(4
)cos1.(2
αλ
α −+−= Lrx (6)
Com a posição do pistão, podemos calcular a velocidade do mesmo, derivando sua
expressão. Assim:
)6256
34
162
2.(..
53
αλ
αλ
αλ
αϖα
ϖα
αsensensensenr
d
dx
dt
d
d
dx
dt
dxv +−+==== (7)
Analogamente, pode-se calcular a aceleração:
)6cos128
94cos
42cos.(cos..
532 α
λα
λαλαϖ
αϖ
α
α+−+==== r
d
dv
dt
d
d
dv
dt
dva (8)
13
Nas equações (7) e (8) foram utilizados quatro termos da série, mas podem-se
utilizar mais ou menos termos da equação (4). A aceleração do pistão é utilizada no cálculo
dos esforços atuantes na árvore de manivelas, como será mostrado a seguir. Quatro termos
se mostraram suficientes para convergência dos resultados segundo Mendes, Zampieri e
Meirelles [22]. Mais detalhes são apresentadas nessa obra [22].
3. 3 Esforços Dinâmicos
As forças envolvidas no sistema são: a força de combustão na câmara (Fg), a força
de inércia rotativa (Fir) e a força de inércia alternativa (Fia). Essas forças podem ser
agrupadas em forças tangenciais (Ft) e radiais (Fr). A componente radial da força é a
responsável pelo torque que irá movimentar o motor e a componente radial provocará
flexão na árvore de manivelas. A figura 3-2 abaixo ilustra como as forças atuam no sistema:
Figura 3- 2: Esquema de forças envolvendo forças de combustão, tangencial, radial e momento de
torção
3. 3. 1 Forças de inércia
A força de inércia alternativa é uma força de translação e, portanto pode ser escrita
simplesmente como descrita na equação (9):
14
)6cos128
94cos
42cos.(cos...
532 α
λα
λαλαϖ +−+== rmamF iaiaia (9)
em que iam é a massa do pistão (incluindo anéis, pinos e travas).
A força de inércia rotativa pode ser obtida através da equação (10):
2.. ϖrmF rir = (10)
em que rm é a massa rotativa da biela incluindo parafusos.
3. 3 . 2 Forças de Combustão
As forças de combustão são as responsáveis pelo movimento do sistema. Fazem com
que os pistões tenham movimento de translação. Como conseqüência, a árvore de
manivelas gira e sua energia é transmitida aos eixos pelo sistema de transmissão.
A pressão gerada devido combustão é função do ângulo de manivela da árvore. A força
de combustão no pistão pode ser calculada com a equação (11) abaixo:
4
.)(
2dp
pFg
πα= (11)
em que p(α) é a pressão de combustão em função do ângulo de árvore de manivela e
dp é o diâmetro do pistão.
A figura 3-3 abaixo ilustra o gráfico de pressão de combustão na câmara de um motor
em função do ângulo da árvore de manivela para cinco velocidades de rotação diferentes
fornecida pela empresa Thyssenkrupp.
15
0 100 200 300 400 500 600 700 8000
20
40
60
80
100
120
140
160
180Pressao de Combustao
Angulo de arvore de manivela
Pre
ssao
na
cam
ara
de c
ombu
stao
[ba
r]
1100rpm
1500rpm
1900rpm2300rpm
2500rpm
Figura 3- 3: Pressão de Combustão em função do ângulo de manivela
3. 3. 3 Força Tangencial
Pela geometria do sistema Biela-Manivela, pode-se deduzir que a relação da
componente tangencial e da força de combustão é dada por:
β
βα
cos
)(.
+=
senFF gtp (12)
em que Ftp é o módulo da força tangencial devido à força de combustão.
Pode-se deduzir ainda, pela geometria do sistema, a componente tangencial devido
forças de inércia:
β
βα
cos
)(.
+=
senFF iata (13)
Pre
ssão
de
Com
bust
ão [
MP
a]
Ângulo de árvore de manivela
16
A força tangencial total é a soma vetorial das componentes devido combustão e inércia
como mostra a equação (14).
tatpt FFFrrr
+= (14)
A figura 3-4 abaixo ilustra a força tangencial em função do ângulo de árvore de
manivela utilizando as curvas de pressão apresentadas na figura 3-3 e as equações (12) a
(14), considerando diâmetro do pistão de 105 mm, raio da manivela 64,5 mm e
comprimento da biela de 207 mm, conforme o sistema árvore de manivelas, biela e pistão
apresentados na seção anterior.
0 100 200 300 400 500 600 700 800-4
-2
0
2
4
6
8x 10
4
Ângulo de árvore de manivela
For
ça t
ange
ncia
l [N
]
Força Tangencial
1100rpm
1500rpm
1900rpm2300rpm
2500rpm
Figura 3- 4: Força Tangencial em função do ângulo de manivela
For
ça T
ange
ncia
l [N
]
17
3. 3. 4 Força Radial A componente radial pode ser calculada pela geometria do sistema Biela-Manivela, de
forma análoga a da força tangencial:
rarpr
iara
grp
FFF
FF
FF
rrr+=
+=
+=
β
βα
β
βα
cos
)cos(.
cos
)cos(.
(15)
A figura 3-5 ilustra a força radial para cinco velocidades diferentes, considerando os
mesmos parâmetros da figura 3-4.
0 100 200 300 400 500 600 700 800-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18x 10
4
Ângulo de árvore de manivela
For
ça R
adia
l [N
]
Força Radial
1100rpm
1500rpm
1900rpm2300rpm
2500rpm
Figura 3- 5: Força Radial em função do ângulo de manivela
For
ça R
adia
l [N
]
18
3. 3. 5 Torque aplicado
O torque aplicado à árvore de manivelas pode ser calculado pela simples definição:
rFM t .rr
= (16)
em que r é o raio de manivela.
A figura 3-6 ilustra o momento (no grau de liberdade torsional) gerado pelas forças
tangenciais da figura 3-4. Assim como na figura 3-4, as funções são exibidas nas
velocidades de 1100rpm, 1500rpm, 1900rpm, 2300rpm e 2500rpm.
O torque aplicado é introduzido na equação de movimento como excitação dos
graus de liberdade torcionais.
Figura 3- 6: Torque em função do ângulo de manivela
19
3. 4 Interação com a embreagem
Além das forças desenvolvidas internamente ao motor, a árvore de manivelas sofre
interação com o sistema de embreagem. Durante a mudança de marcha, a árvore de
manivelas sofre um esforço, mas após a troca a força volta a ser nula.
A figura 3-7 ilustra a força aplicada à árvore de manivelas em função do curso de
acionamento da embreagem para um veículo de pequeno porte medida experimentalmente
pela empresa Sachs. Para veículos de grande porte a força pode ser até três vezes maior do
que a apresentada na figura 3-7. Podemos observar que o deslocamento na “ida” é diferente
da deslocamento na “volta”, a área entre a curva representa o trabalho realizado pela
embreagem.
Força axial
0
200
400
600
800
1000
1200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Curso de acionamento [mm]
Fo
rça
[N]
Figura 3- 7: Força axial aplicada à embreagem fornecida pela empresa Sachs (modelo 1540)
O acionamento manual do pedal de embreagem depende do motorista. Dessa forma
o tempo de duração da aplicação da força axial varia conforme o acionamento. Para os
primeiros ciclos de rotação, a força axial possui um comportamento típico contínuo como é
ilustrado na figura 3-8. Ou seja, a força ilustrada na figura 3-7 pode durar por muitas
rotações dependendo da habilidade do motorista. Se considerarmos por exemplo, um
20
motorista que demora 1 segundo para mudar de marcha a uma rotação de 2500 rpm, a força
da embreagem durará 42 rotações ou 15120°.
Figura 3- 8: Interação com embreagem ao engatar [G. Offner, M. Lechner, 2003]
Após a mudança de marcha, as forças se equilibram e a resultante sobre a árvore de
manivelas volta ser nula.
3. 5 Modelo Estrutural da árvore de manivelas
A árvore de manivelas pode ser simplificada como um modelo de múltiplos graus de
liberdade. A figura 3-9 abaixo ilustra a discretização do modelo:
Figura 3- 9: modelo da árvore de manivelas com múltiplos graus de liberdade
21
O modelo é composto por n massas m concentradas [kg] e n inércias J [kgm2]. Cada
massa possui amortecimento, que inclui o amortecimento torcional dt [Nm/rad/s], o
amortecimento axial da [N/m/s], a rigidez k - que inclui a rigidez torcional kt [Nm/rad] e a
rigidez axial ka [N/m], e o amortecimento estrutural c - que inclui o amortecimento
torcional ct [Nm/rad/s] e o amortecimento axial ca [N/m/s], ligando à massa concentrada
adjacente. Este modelo combina dois graus de liberdade, torcional e axial, acoplados por
força (Chen, 1987; Xu 1985).
O amortecimento d referente a perda de energia pelo mancal pode ser calculado em
função da freqüência natural e rigidez torcional.
Segundo Shu e Liang, os esforços que causam a vibração axial são gerados devido
acoplamento torcional-axial (Pt) e flexural-axial (Pa). Isto é, a força axial é a soma de duas
componentes que podem ser escritas conforme a equação (17) para cada elemento de massa
i:
tiaii PPf += (17)
em que;
riiriiai PPP ββ −= −− 11 ; (18)
)()( 1111 iiaiiiiaiiti kkP θθγθθγ −−−= −−−+
na qual Pr é a força radial ilustrada na figura 3-5, ββββi é o coeficiente da força axial
proporcional a força radial (ilustrada na figura 3-5) e γi é o coeficiente de deslocamento
axial, que pode ser calculado teoricamente ou estimado por medidas experimentais (Song et
al. 1995).
A figura 3-10 abaixo ilustra como os esforços axiais, torcionais e radiais estão
acoplados:
Figura 3- 10: Acoplamento dos graus de liberdade
22
Para cada grau de liberdade (axial ou torcional) pode-se escrever a equação de
movimento:
iiitiiitiiitiiitiitiii
iiiaiiiaiiiaiiiaiiaiii
TkkccdJ
fxxkxxkxxcxxcxdxm
=−+−+−+−++
=−+−+−+−++
+−−+−−
+−−+−−
)()()()(
)()()()(
111111
111111
θθθθθθθθθθ &&&&&&&
&&&&&&& (19)
Para os graus de liberdade torcionais o vetor de excitação é o torque Ti, que foi
definido na seção 3.3.5. Já a força fi é definida pela equação 17 e pela interação com a
embreagem.
Considerando todas as n massas e inércias, podemos escrever o conjunto de
equações na forma matricial, conforme a equação (1). As matrizes de massa, rigidez e
amortecimento podem ser escritas da seguinte maneira:
=
n
n
i
i
m
J
m
J
m
J
M
0
0
...
0
0
...
0
0
][
1
1
23
−−
−
−−++−−
−+−
−−++−−
−+−
−−
−
=
−−−−−−
−−
−−−−−−
−−
111111
11
111111
11
222212211111
2212
111111
11
00.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
000....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00
0
][
anannanann
tntn
aiaiiaiaiaiiaiiaiaii
titititi
aaaaaaaa
tttt
aaaa
tt
kkkk
kk
kkkkkkkk
kkkk
kkkkkkkk
kkkk
kkkk
kk
K
γγ
γγγγ
γγγγ
γγ
+
+
++−
−++−
++−
−++−
−+
−+
=
−
−
−−
−−
1
1
11
11
2121
22121
111
111
0
0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.000...
00....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.000
00
00
00
][
anan
tnm
aiaiaiai
tititititi
aaaa
ttttt
aaa
ttt
cd
cd
ccdc
cccdc
ccdc
cccdc
ccd
ccd
C
Os vetores de deslocamento, velocidade, aceleração e força podem ser expressos
por:
[ ]
[ ][ ]Tnnii
T
nnii
T
nnii
xxxx
xxxx
xxxx
&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&
θθθ
θθθ
θθθ
......
......
......
11
11
11
=
=
=
(20)
[ ]T
annaiia PTPTPTF ......11=
24
3. 6 Condição de contorno
A condição de contorno é uma restrição ao movimento que pode ser em termos de
deslocamento, velocidade ou aceleração.
Neste trabalho, os graus de liberdade torcionais não possuem nenhuma restrição de
movimento. Assim, a árvore de manivelas gira livremente com os esforços aplicados. Já
nos graus de liberdade axiais, o mancal hidrodinâmico limita o movimento do grau de
liberdade acoplado a ele.
Idealmente, o mancal pode ser modelado como uma condição de contorno de
engaste, pois o mancal deve impedir o movimento axial na árvore de manivelas.
Entretanto, na realidade, o mancal principal não é completamente rígido e apresenta
movimentos diferentes de zero. O mancal pode ser modelado mais próximo a realidade
como mola linear e amortecedor viscoso. Ou seja, o movimento é proporcional a rigidez e a
velocidade proporcional ao amortecimento.
A rigidez da mola pode ser calculada como a relação entre força aplicada e
deslocamento sofrido da árvore de manivelas. O amortecimento pode ser calculado como a
relação entre força dissipada e velocidade que a árvore de manivelas desenvolve.
3. 7 Resolução do sistema de equações pelo Método de Newmark
A partir da discretização do modelo e da descrição das forças atuantes no sistema,
pode-se escrever a equação de movimento (1). O método de Newmark é usado para
resolver equações de segunda ordem e foi utilizada para resolver o sistema de equações
diferencias desta dissertação.
Newmark é um integrador explícito, ou seja, xi+1 é calculado em função de xi e ti
(resultado no passo de tempo i). Abaixo, seguem os procedimentos do método, descritos na
forma utilizada como algoritmo.
25
Procedimento NewmarkBeta
1. Cálculo da aceleração inicial: a = M-1.P 2. Calculam-se as seguintes matrizes
auxiliares:
][12
][2
1][
][][1
][
][1
][][][2
CtMB
CMt
A
Mt
Ct
KKbar
−∆+=
+∆
=
∆+
∆+=
β
γ
β
β
γ
β
ββ
γ
3. Calculam-se os seguintes vetores:
dPbarKbardu
aBvAdPPbar
PPdP
ii
ii
1
11
1
][
].[].[−
−−
−
=
++=
−=
112
11
2
111
..2
1.
−−
−−
−∆
−
∆=
−∆+−
∆=
ii
ii
avt
dut
da
atvdut
dv
βββ
β
γ
β
γ
β
γ
4. Finalmente os deslocamentos,
velocidades e aceleração são:
daaa
dvvv
duuu
ii
ii
ii
+=
+=
+=
−
−
−
1
1
1
fim NewmarkBeta
O coeficiente β varia de 0 a 1. Tipicamente, o melhor valor de β é ¼. Esse valor
foi encontrado por testes de simulações de Gredney (1995).
Uma outra maneira de resolver o sistema de equações de movimento
numericamente é o método de Runge-Kutta. Mas para utilizar esse método é necessário que
as equações de segunda ordem sejam reescritas como equações de primeira ordem.
26
3. 8 Modos de vibração e freqüências naturais
As freqüências de vibração livre são chamadas de freqüências naturais e podem ser
calculadas pela equação de movimento com excitação nula. Considerando o sistema
massa-mola, a resposta do sistema pode ser escrita como:
tj
iiiex
ϖφ .= (21)
tj
iiiex
ϖφϖ ..2−=&& (22)
Dessa forma, para o caso de vibração livre, a equação de movimento para um
sistema massa-mola fica:
0}]).{[]([ 2 =− φϖ MK (23)
Uma solução não trivial implica em:
0])[]([ 2 =− MK ϖ (24)
que é um problema de autovalor e autovetor onde as freqüências naturais do sistema
são os autovalores e os modos de vibrar são os autovetores.
O problema de autovalor e autovetor é definido da forma:
}.{}]{[ xxA λ= (25)
e o problema é reescrito como
0}]){.[]([ =− xIA λ (26)
27
Aplicando ao problema do cálculo das freqüências naturais e modos de vibração,
podemos escrever:
}{}]{[][ 21 φϖφ =− KM (27)
3. 9 Interação com filme de óleo do mancal radial
A interação entre a árvore de manivelas e o filme de óleo é um problema de
interação fluido-estrutura. Para resolvê-lo deve-se resolver o problema do comportamento
do fluido juntamente com o problema estrutural. O problema pode ser classificado em:
• Hidrodinâmico: não há contato metal-metal. A viscosidade dinâmica é a
propriedade mais importante para descrever a dinâmica neste regime.
• Elastohidrodinâmico: geralmente possui lubrificação em toda volta do eixo.
Entretanto, há deformação elástica da superfície. A distribuição de pressão e
viscosidade devem ser consideradas para este regime.
• Misto: há interação áspera em algum ponto do eixo. Esse regime é uma
mistura do regime elastohidrodinâmico e de contorno.
• Contorno: as superfícies estão em contato normal.
O comportamento do fluido no mancal sob regime hidrodinâmico pode ser descrito
pela equação de Reynolds:
t
hhph
Rz
ph
z
∂+
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂µ
θµϖ
θθ126
1 32
3
(21)
onde, µ é a viscosidade dinâmica, h (x, y) é a espessura do filme de óleo, ω é a velocidade
angular da árvore de manivelas, R é o raio do eixo, p(x, y) é a pressão em cada ponto da
superfície do mancal e e é a excentricidade no sistema de coordenadas (x, y, z), como
indicado na figura 3-11 abaixo.
28
Figura 3- 11 : Sistema de coordenadas ortogonais x, y, z
A equação de Reynolds não possui solução analítica para o problema proposto, mas
existem métodos numéricos que a resolvem de forma aproximada. Para mancais longos,
pode-se considerar que o fluxo de óleo na direção z é desprezível e então simplificar a
equação de Reynolds como ilustrada na equação 22:
θµϖ
θθ ∂
∂=
∂
∂
∂
∂ hph
R6
1 32
(22)
Neste caso, há solução analítica (Sommerfeld) [5] que é válida para mancais longos
onde l/d > 4. Porém não se usam mancais tão longos em projetos, pois qualquer
desalinhamento rompe o filme de óleo e causa o contato entre o eixo e o mancal.
Outra simplificação é considerar que o fluxo na direção circunferencial pode ser
desprezado e então a equação de Reynolds é simplificada como:
θµϖ
∂
∂=
∂
∂
∂
∂ h
z
ph
z63 (23)
Neste caso, há a solução analítica de Ocvirk [5] que é válida para mancais curtos
onde ¼ < l/d < 1. Esta faixa de comprimento corresponde à maioria dos mancais usados nos
projetos. A equação 24 abaixo, ilustra a solução nessas condições.
29
( )32
2
cos.1
..3
4. θε
θεµϖ
+
−=
senz
l
CRp
r
(24)
onde Cr é a folga radial (rcubo-reixo) e ε é a razão de excentricidade (e/Cr).
Para regime elastohidrodinâmico, há apenas soluções numéricas. Neste regime,
devemos considerar as deformações elásticas do material devido à pressão do fluido.
3. 10 Dinâmica do fluido e distribuição de pressão em mancais axiais
A equação de Reynolds engloba as seguintes hipóteses simplificadoras:
• O meio é contínuo;
• O fluido é newtoniano;
• Escoamento laminar;
• Não há deslizamento entre o fluido e a superfície de contato;
• As forças de campo e de inércia no fluido são desprezadas;
• A viscosidade do fluido é constante ao longo do filme.
• A massa específica do fluido é constante;
• A espessura do filme é muito pequena em relação às dimensões das demais
superfícies.
A equação de Reynolds na forma adimensional (25) descreve a dinâmica do fluido de
óleo no mancal e fornece a distribuição de pressão sobre as estruturas.
θπ
θθ ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ h
L
Rr
ph
rr
prh
r
e
2
33 121
(25)
30
Para resolver a equação de Reynolds numericamente, definem-se a região e as
condições de discretização sobre a superfície axial do mancal. A figura 3-12 abaixo
esquematiza o domínio de integração e os pontos considerados:
Figura 3- 12: Esquematização do domínio de integração
3. 11 Diferenças Finitas para resolução da Equação de Reynolds O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais
que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de
aproximação obtém-se da série de Taylor da função derivada. Pode-se utilizá-lo para
resolver a equação de Reynolds.
Inicialmente, discretiza-se a região de integração nas direções θ e r em n e m
divisões uniformes e tem-se os setores elementares. Além da malha de setores, para
calcular a distribuição de pressão, é necessária a condição de contorno que pode ser
definida como pressão nula para os pontos nodais das linhas 1 e m e das colunas 1 e n.
A figura 3-13 esquematiza pontos de discretização da malha em vermelho e os
pontos em azul são pontos auxiliares para os cálculos de pressão em cada ponto (i,j). Os
termos da equação parcial de Reynolds podem ser reescritos em termos discretos da
seguinte forma (26):
∆
−−
∆
−=
∆
∂
∂−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ −
−−
+
+−
−
2
1,,32/1,2/1,2
,1,32/1,2/1,
2/1,
3
,
3
,
3
r
pphr
r
pphr
r
r
prh
r
prh
r
prh
r
jiji
jiji
jiji
jiji
jiji
ji
31
∆
−−
∆
−=
∆
∂
∂−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂ −
−
+
+
−+
2
,1,3,2/12
,,2/13,2/1
,
,2/1
3
,2/1
3
,,
3 111
θθθ
θ
θθ
jiji
ji
jiji
ji
ji
jiji
jiji
pph
pph
r
ph
r
ph
r
ph
r
θθ ∆
−=
∂
∂ −+ jiji
ji
hhh ,2/1,2/1
,
(26)
Figura 3- 13: Pontos da malha sobre o mancal axial para discretização.
Substituindo os termos de (26) na equação de Reynold (25), tem-se:
θπ
θπ
θθθ
θ
∆
−
∆
=
∆+
∆−
∆−
∆+
∆+
∆−
∆−
∆
−+
−
−−+
+
+
−
−−−−++
+
++
jie
ji
jie
jiji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
j
ji
jiji
ji
jiji
ji
jiji
ji
jiji
h
L
Rr
h
L
Rrp
r
hp
r
hp
r
h
pr
hp
r
hrp
r
hrp
r
hrp
r
hr
,2/12
,,2/1
2
,,12,
3,2/1
,2,
3,2/1
,2,
3,2/1
,12,
3,2/11
1,2
32/1,2/1,
,2
32/1,2/1,
,2
32/1,2/1,
1,2
32/1,2/1,
.12.12
(27)
Os valores de h nos pontos médios auxiliares são os valores médios de h nos pontos dos
nós. E os valores de r nos pontos médios auxiliares são os valores médios de r nos pontos
dos nós. Isolando pi,j temos:
32
∆
+
+
∆
+
∆
+−
∆
+
−
∆
+
+∆
+
+
∆
+
+
+
∆
+
+
+∆
+
+
+∆
+
+
=
−+
−+
−
−
+
+
−−++
−
−−
+
++
2
,1,
2
1,,
,1,1,,2
,12
3
,1,
,12
3
1,,
2
3
1,,1
2
3
1,,1
1,2
3
1,,1
1,2
3
1,,1
,
22
.6.
2
.
2
2222
2222
θθ
θθπ
θθ
j
jiji
j
jiji
jijijiji
jji
j
jiji
ji
j
jiji
jijijjjijijj
ji
jijijj
ji
jijijj
ji
r
hh
r
hh
hhhh
L
Rrp
r
hh
pr
hh
r
hhrr
r
hhrr
pr
hhrr
pr
hhrr
p
Ou seja, pi,j pode ser escrito em função de coeficientes e pi-1,j, pi+1,j, pi,j+1, pi,j-1. Então reescrevemos:
pi,j = A1. pi,j+1+A2. pi,j-1+A3. pi-1,j+A4. pi+1,j+A5 (28)
Como há m x n pontos de pressão, temos m x n equações. No entanto, há
necessidade de se resolver m.n–[2.(m+n)-4] equações, pois no contorno a pressão é
assumida nula. Há vários métodos para resolução de sistemas e neste trabalho, empregar-
se-á o método de sobre-relaxação (Bejan, 1984) descrito no trabalho de Galvão (2006).
Esse método é iterativo e calcula-se o valor da pressão da iteração n+1 em função do valor
da pressão na iteração n. Ou seja, pode-se escrever:
( )ji,j1,ij1,-i1-ji,1ji,0)(
,)1(
, p-A5p A4.p A3.p A2.p A1. +++++= +++ λn
ji
n
ji pp (29)
onde 0λ é o parâmetro de sobre-relaxação ótimo, que pode ser calculado pela seguinte
expressão: ( )
λ
λ
λ
−−
=
2
1
0
112; onde
2
2
2
1
coscos
∆
∆+
∆
∆+
=
r
mrn
θ
πθπ
λ .
Mais detalhes do desenvolvimento matemático podem ser encontrados na obra [23].
33
3. 12 Força resultante no mancal
A força resultante que o fluido aplica sobre a estrutura pode ser calculada pela
integração da pressão, como elucida a equação (30).
∫ ∫=Re
0 0000
0
RidrdrpF
θ
θ (30)
A força resultante é a força aplicada sobre o mancal e sobre o virabrequim.
Em outros termos, a força resultante pode ser escrita como mostra a equação (31):
v
p
e Fh
LRNF ....
2
20
= η
(31)
em que Fv corresponde a ∑∑= =
∆∆m
j
n
i
jji rpr1 1
,. θ .
3. 13 Viscosidade Requerida
A viscosidade requerida do óleo lubrificante no mancal pode ser obtida a partir da
equação (32):
2
20
Re.
=
L
h
FN
F mimp
v
η (32)
3. 14 Rigidez do mancal hidrodinâmico
Pode-se determinar a rigidez do mancal principal como a relação entre força e
espessura resultante de filme de óleo.
A rigidez do mancal é um parâmetro importante para calcular os deslocamentos
axiais da árvore de manivelas, ela faz parte da equação de movimento como condição de
contorno.
34
3. 15 Resumo do Capítulo
Neste capítulo, foram descritos e explicados os métodos matemáticos, a cinemática
do sistema e a modelagem das equações diferenciais. Esses métodos foram aplicados em
um sistema biela-manivela-pistão com dimensões reais, e os resultados das simulações são
apresentados no próximo capítulo.
35
Capítulo 4
Resultados
Neste capítulo, serão apresentados os dados de entrada para o programa
computacional desenvolvido e os resultados relevantes. Além disso, resultados simulados
no pacote computacional Excite (AVL) serão apresentados e comparados com os resultados
obtidos.
4. 1 Modelo Simulado
Para as simulações realizadas, utilizou-se um modelo de um motor MWM diesel e
árvore de manivelas fornecido pela empresa Thyssenkrupp Metalúrgica Campo Limpo.
Figura 4- 1: Árvore de manivelas forjada utilizada nas simulações
36
A árvore de manivelas ilustrada na figura 4-1 é suportada pelo bloco ilustrado na
figura 4-2. O mancal principal está ilustrado na figura 4-2 também e fica situado entre o
eixo e o suporte no bloco.
Figura 4- 2: Suporte do bloco do motor e mancal principal
Para simular o comportamento dinâmico da árvore de manivelas e calcular a força
aplica ao mancal, a peça foi discretizada em nove segmentos. A tabela 4-1 ilustra as partes
com suas respectivas massas e as inércias que compõem a matriz de massa da equação de
movimento calculada no software Pro-Engineer (PTC). A tabela 4-2 mostra a rigidez
torcional e axial de cada parte da árvore de manivelas, calculadas no mesmo software.
A massa alternativa, ou seja, massa do pistão é de 2,3 kg e seu diâmetro é 105mm.
O comprimento da biela (distância entre os centros dos dois furos) é 207mm. A distancia
entre o munhão e o moente é de 64mm.
Os diâmetros interno e externo do mancal axial são respectivamente 63mm e 75mm.
O setor das ranhuras pode variar conforme o modelo do mancal. As ranhuras são zonas de
baixa pressão hidrodinâmica e ajudam a diminuir o pico de pressão, distribuindo esta de
forma mais uniforme sobre o mancal.
37
Tabela 4- 1:Segmentos com massas
Segmento Massa [kg] Inércia [kg.mm2]
3,098 3,5158×103
7,757 2,9027×104
1,066 6,6805×102
8,867 3,2483×104
1,066 6,6805×102
7,385 2,8105×104
1,066 6,6805×102
7,757 2,9027×104
3,167 1,9868×103
38
Tabela 4-2: Rigidez axial e torcional
Segmento Rigidez torcional [N/m] Rigidez Axial [Nm/rad]
1,350.106 4,762×108
1,350.106 4,762×108
1,350.106 4,762×108
1,033.106 5,515×108
1,350.106 4,762×108
1,350.106 4,762×108
1,350.106 4,762×108
1,350.106 4,762×108
39
4. 2 Resultados de distribuição de pressão e espessura do filme de óleo O mancal axial pode possuir ranhuras em sua superfície, que são locais de baixa
pressão. Com estas, a pressão é mais bem distribuída e o pico de pressão menor. As
ranhuras dividem o mancal em setores que suportam a pressão gerada pelo movimento
rotativo do eixo.
Conforme o fabricante, o setor pode variar seu ângulo. Neste trabalho, apresentar-
se-á simulações de mancais com setores de 30°, 60° e 90° com resultados em distribuição
de pressão e espessura de filme de óleo. Os resultados são em função principalmente da
geometria do mancal (ranhuras e ângulos de inclinação).
A figura 4-3 ilustra a distribuição de pressão [em Pa] e a espessura de filme de óleo
[em µm] sobre um mancal axial com setores de 90°, relação K = 0,5, ângulo de
pivotamento igual a 36,6° e raio de pivotamento 88mm. Este é um mancal convencional
para o virabrequim estudado.
Figura 4- 3: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 90°
As figuras 4-4, 4-5 e 4-6 ilustram casos de mancais com 75°, 60° e 45°
respectivamente com os mesmos dados de raio e ângulo de pivotamento.
40
Figura 4- 4: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 75°
Figura 4- 5: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 60°
Figura 4- 6: Distribuição de pressão e espessura de filme de óleo sobre mancal de setores de 45°
41
Os picos de pressão para os mancais de 90°, 75°, 60° e 45° foram respectivamente:
20MPa, 35 MPa, 45 MPa e 40 MPa.
Um fator importante nos mancais é a viscosidade requerida do óleo lubrificante para
que a pressão desenvolvida seja suficiente para suportar a carga axial. A viscosidade
requerida foi calculada utilizando a equação 32 do capítulo anterior. A figura 4-7 ilustra a
viscosidade requerida teórica para as diferentes velocidades de rotação de um mancal de
setores de 90° e carga de 1000N, 1500N e 2000N.
Viscosidade Requerida
0
1
2
3
4
5
6
7
8
950 1450 1950 2450 2950
Velocidade [rpm]
Vis
cosi
dad
e [m
Pa.
s]
2000N
1500N
1000N
Figura 4- 7: Viscosidade Requerida em função da velocidade de rotação
4. 2 Resultados de deslocamentos e força axial
Para cada segmento são considerados dois graus de liberdade: axial e torsional. A
figura 4-8 ilustra abaixo as posições consideradas (munhões e moentes) no cálculo da
dinâmica do virabrequim. As cores da figura correspondem às funções apresentadas nos
gráficos de deslocamento.
42
Figura 4- 8: Pontos estudados
Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 1100rpm e considerando
mancal ideal (como engaste), temos os seguintes resultados de deslocamento torcional
como ilustra a figura 4-9:
0 500 1000 1500 2000 2500-2
-1
0
1
2
3
4x 10
-3 Deslocamento torcional
Angulo de arvore de manivela
desl
ocam
ento
tor
cion
al[r
ad]
Figura 4- 9: Deslocamento total causado pela vibração torcional a 1100rpm em função do ângulo de
manivela
Para visualizar a vibração na árvore de manivelas, o deslocamento de corpo rígido
foi subtraído dos resultados obtidos. Pode-se observar que o primeiro grau de liberdade é
zerado na subtração, pois corresponde ao movimento de corpo rígido. O resultado de
deslocamento axial é mostrado na Figura 4-9. A figura 4-11 ilustra a força axial suportada
pelo mancal, a direita temos a força em função do ângulo de árvore de manivelas e a
esquerda temos a força em função da freqüência.
Ângulo de árvore de manivela [°]
43
0 500 1000 1500 2000 2500-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 10: Deslocamento axial 1100rpm em função do ângulo de manivela
0 500 1000 1500 2000 2500-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600Força Axial [N]
Angulo de arvore de manivela
For
ça a
xial
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
20
40
60
80
100
120
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Figura 4- 11: Força Axial sobre mancal a 1100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a
resposta em freqüência a direita
A seqüência de figuras apartir da 4-12 até a 4-23 ilustram os resultados de
deslocamentos e força para diferentes velocidades do eixo.
Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 1500rpm, temos os
seguintes resultados:
Ângulo de árvore de manivela [°]
Am
plitu
de [
Forç
a N
]
Am
plitu
de [
Forç
a N
]
44
0 500 1000 1500 2000 2500-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3 Deslocamento torcional
Angulo de arvore de manivela
desl
ocam
ento
tor
cion
al[r
ad]
Figura 4- 12: Vibração torcional 1500rpm em função do ângulo de manivela
0 500 1000 1500 2000 2500-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 13: Vibração axial 1500rpm em função do ângulo de manivela
Ângulo de árvore de manivela [°]
Ângulo de árvore de manivela [°]
45
0 500 1000 1500 2000 2500-500
0
500
1000Força Axial [N]
Angulo de arvore de manivela
For
ça a
xial
0 100 200 300 400 500 600 7000
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Figura 4- 14: Força Axial sobre mancal a 1500rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a
resposta em freqüência a direita
Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 2100rpm, temos os
seguintes resultados:
0 500 1000 1500 2000 2500-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3 Deslocamento torcional
Angulo de arvore de manivela
desl
ocam
ento
tor
cion
al[r
ad]
Figura 4- 15: Vibração torcional 2100rpm em função do ângulo de manivela
Ângulo de árvore de manivela [°]
For
ça [
N]
46
0 500 1000 1500 2000 2500-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 16: Vibração axial 2100rpm em função do ângulo de manivela
0 500 1000 1500 2000 2500-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000Força Axial [N]
Angulo de arvore de manivela
For
ça a
xial
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
50
100
150
200
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Figura 4- 17: Força Axial sobre mancal a 2100rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a
resposta em freqüência a direita
Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 2500rpm, temos os
seguintes resultados:
Ângulo de árvore de manivela [°]
For
ça [
N]
47
0 500 1000 1500 2000 2500-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-3 Deslocamento torcional
Angulo de arvore de manivela
desl
ocam
ento
tor
cion
al[r
ad]
Figura 4- 18: Vibração torcional 2500rpm em função do ângulo de manivela
0 500 1000 1500 2000 2500-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 19: Vibração axial 2500rpm em função do ângulo de manivela
Ângulo de árvore de manivela [°]
Ângulo de árvore de manivela [°]
48
0 500 1000 1500 2000 2500-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000Força Axial [N]
Angulo de arvore de manivela
For
ça a
xial
0 200 400 600 800 1000 1200
0
50
100
150
200
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Figura 4- 20: Força Axial sobre mancal a 2500rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a
resposta em freqüência a direita
Aplicando o torque correspondente da curva de pressão de 3050rpm, temos os
seguintes resultados:
0 500 1000 1500 2000 2500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3 Deslocamento torcional
Angulo de arvore de manivela
desl
ocam
ento
tor
cion
al[r
ad]
Figura 4- 21: Vibração torcional 3050rpm em função do ângulo de manivela
Ângulo de árvore de manivela [°]
For
ça [
N]
49
0 500 1000 1500 2000 2500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 22: Vibração axial 3050rpm em função do ângulo de manivela
0 500 1000 1500 2000 2500-300
-200
-100
0
100
200
300
400Força Axial [N]
Angulo de arvore de manivela
For
ça a
xial
0 500 1000 1500
0
50
100
150
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Figura 4- 23: Força Axial sobre mancal a 3050rpm em função do ângulo de manivela a esquerda e a
resposta em freqüência a direita
Com o aumento na velocidade do eixo, podemos observar suavização das curvas de
deslocamento e força. Isso ocorre pois as curvas de pressão de combustão também
apresentam um comportamento mais suave. Podemos ver também que a máxima amplitude
ocorre na mesma freqüência de excitação correspondente à velocidade de rotação do eixo.
Ângulo de árvore de manivela [°]
For
ça [
N]
50
4.3 Freqüências naturais
Com as matrizes de massa, rigidez e amortecimento, podem-se calcular as freqüências naturais associadas ao sistema como foi explicado no Capítulo 3.
As freqüências naturais [Hz] em ordem crescente correspondentes ao sistema são:
4. 4 Simulação no pacote comercial Excite (AVL)
Além da simulação em Matlab, foram feitas simulações no programa computacional
EXCITE (AVL), que é um software especializado para cálculos aplicados a motores de
combustão interna. O programa possui vários módulos que calculam diferentes variáveis
de um motor. O módulo Power Unit é capaz de calcular a dinâmica estrutural dos
componentes do motor (árvore de manivelas, bielas e pistões) de forma similar à
apresentada.
Na simulação, a árvore de manivelas foi discretizada conforme mostra a figura 4-24
abaixo:
3441,63 3980,40 6210,62 7862,59 8592,70 9254,28
10096,28 27162,77 30704,54 32076,28 32727,05 60046,97 63925,20 63952,32
51
Figura 4- 24: Discretização do virabrequim no programa EXCITE
Podem-se observar os mancais nos respectivos munhões, que são modelados como
molas ou restrições. O tipo AXBE é um mancal axial e é modelado como mola e
amortecedor lineares na direção axial apenas. Já o tipo REVO é um mancal radial e é
modelado como mola e amortecedor nos graus de liberdade de translação radial, tendo
valores de rigidez e amortecimento constantes dentro da folga e valores maiores quando há
contato metal-metal.
A figura 4-25 abaixo ilustra o desenho 2D do conjunto árvore de manivelas-
mancais-carcaça.
Figura 4- 25: Conjunto árvore de manivelas-mancais-carcaça
52
O valor de coeficiente de rigidez utilizado para o mancal axial foi de 625000N/m e
o amortecimento foi de 325 N.s/m, conforme a indicação do manual de uso do AVL excite.
A figura 4-26 indica os valores de força obtidos pelo programa para diferentes velocidades.
Força Axial
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Ângulo de árvore de manivelas [°]
Fo
rça
Axi
al [N
]
1100 1500 1900 2500
Figura 4- 26:Força axial considerando mancal como mola e amortecedor
A figura 4-27 e 4-28 ilustram a comparação dos resultados encontrados entre as
simulações me ambiente Matlab e AVL em velocidade de 2500rpm, amortecedor e mola de
mesmo amortecimento e rigidez.
53
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Tempo [s]
For
ca A
xial
Matlab
Excite (AVL)
Figura 4- 27: Comparação dos resultados no domínio do tempo
0 200 400 600 800 1000 12000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Am
plitu
de
Hz
Espectro da respostaEspectro da respostaEspectro da respostaEspectro da resposta
Matlab
Excite (AVL)
Figura 4- 28: Comparação dos resultados no domínio da freqüência
Em outras velocidades, os resultados são similares. A freqüência de excitação
principal é bastante próxima em todos os casos de velocidades. A simulação do AVL
For
ça A
xial
[N
]
For
ça A
xial
[N
]
54
resultou em uma curva em função da freqüência mais suave com dois picos bem definidos.
Já a curva obtida pela programação em Matlab apresenta picos mais distribuídos.
Provavelmente, o pacote computacional utiliza um algoritmo de suavização dos momentos
aplicados para obter resultados com picos bem definidos. Também pode-se perceber que o
pico obtido pelo software Excite ocorre pouco antes do pico calculado pelo Matlab, isso
deve ocorrer porque a matriz de rigidez encontrada pelo programa é um pouco diferente da
matriz de rigidez calculada.
Pode-se perceber que ao considerar o mancal como mola e amortecedor, a força
axial resultante é menor. Isso ocorre devido dissipação de energia e movimento do grau de
liberdade.
A modelagem de mancal como restrição de movimento igual a zero fornece
portanto a força máxima sobre o mancal. E a modelagem como mola e amortecedor
fornecem deslocamentos no grau de liberdade junto ao mancal, mas esforços menores.
4. 5 Interação com embreagem
As simulações realizadas até o momento não incluíam interação com a força
transiente desenvolvida pela embreagem. A figura 4-29 ilustra o deslocamento axial dos
nós considerando a força transiente da embreagem com mancal ideal a velocidade de
2500rpm. A figura 4-30 mostra a força axial sobre o mancal com um acoplamento de
embreagem (citado no capítulo 4) em diferentes velocidades.
55
0 500 1000 1500 2000 2500-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x 10
-6 Deslocamento Axial
Angulo de arvore de manivela [°]
desl
ocam
ento
[m]
Figura 4- 29: Deslocamento axial a 2500 rpm
0 500 1000 1500 2000 2500-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600Forca Axial
Angulo da arvore de manivelas
1100rpm
1500rpm1900rpm
2500rpm
Figura 4- 30: Força axial, considerando embreagem em quatro velocidades
Ângulo de árvore de manivela [°]
Ângulo de árvore de manivela [°]
56
Pode-se observar que os deslocamentos na direção axial não permanecem em torno
de zero como nas simulações
4. 6 Discussão dos resultados
Foram apresentados os resultados das simulações em termos de deslocamentos,
força, distribuição de pressão e espessura de filme de óleo. Na figura 4-31 abaixo, ilustra-se
o gráfico de máximo deslocamento em todos os graus de liberdade axiais. Pode-se verificar
que entre 1700rpm e 2200rpm encontra-se o pico de vibração.
Deslocamento Máximo
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
5
700 1200 1700 2200 2700 3200
RPM
Des
loca
men
to M
áxim
o [m
m]
Figura 4- 31: Máximo deslocamento axial
Analogamente, a figura 4-32 ilustra a maior força axial em função da velocidade.
Pode-se verificar que quanto maiores as amplitudes de vibração, maior é a força axial sobre
o mancal axial.
57
Máxima Força Axial
0
200
400
600
800
1,000
1000 1500 2000 2500 3000 3500
Velocidade [rpm]
Fo
rça
Axi
al [N
]
Figura 4- 32: Máxima força axial em função da velocidade
Uma vantagem da resolução do sistema de equações em função do tempo é a
possibilidade de se separar o movimento de corpo rígido e deformação elástica com uma
simples subtração. Na resolução do sistema em função da freqüência, a separação do
movimento de corpo rígido e de deformações (que causam tensões efetivamente) é mais
trabalhosa como Mendes (2005) apresenta.
Conhecer as amplitudes globais de vibração torcional de duas inércias consecutivas
e a rigidez torcional entre as mesmas é possível se determinar o torque atuante nesta seção.
Essa torção é importante para o dimensionamento da árvore de manivelas e também dos
parafusos utilizados na fixação do volante, polias e etc, segundo Mendes (2005).
Com os valores de deslocamentos dos nós na direção axial é possível calcular a
deformação elástica que a peça sofre e também componentes do tensor de tensões. Para
calcular a tensão atuante, basta utilizar a equação constitutiva do material. As deformações
na direção axial poderão fornecer uma componente normal do tensor de tensões. As
deformações torcionais poderão fornecer a componente de tensão cisalhante do tensor de
tensões.
Uma vantagem da utilização da modelagem de múltiplos graus de liberdade é a
rapidez com que os cálculos podem ser realizados, pois as matrizes que compõe o sistema
são de ordem pequena (neste caso 18x18). Isso permite simulações de muitos casos em
58
tempo reduzido para verificação de tendências na dinâmica do sistema. Enquanto que o
modelo completo de elementos finitos consumiria muito tempo de simulação devido matriz
de ordem elevada (em torno de 25000 x 25000).
Segundo Mendes (2005), um critério para projeto de árvore de manivelas consiste
que o deslocamento torcional seja inferior a 0,25°. Nas simulações, o virabrequim não
apresentou deslocamento torcional superior que o recomendado pelo critério.
Verificou-se que a vibração axial é da ordem de 10-6m, portanto o modelo
apresentado não sofre grande risco de apresentar falha de quebra na biela. Segundo Fung
(1997), a vibração axial da árvore de manivela pode ser uma condição de contorno variável
no tempo para a simulação da dinâmica da biela. Em condições críticas, isto é, vibração
com amplitude na ordem de 10-4m pode acelerar a falha da biela.
As malhas geradas para cálculo de distribuição de pressão possuem 700 elementos
em todos os exemplos de simulação, e sua convergência foi verificada em cada caso. A
tolerância de convergência foi de 1Pa. Para motores adequadamente lubrificados, não se
verifica contato metal, pois a força hidrodinâmica é suficiente para suportar a força axial.
4.7 Redução de massa
A redução na massa da árvore de manivelas pode tornar os motores mais leves, mas
a massa é um parâmetro que influencia a inércia e a rigidez indiretamente. Dessa forma, a
redução de massa implica em freqüências naturais e respostas dinâmicas diferentes.
Os throws são as partes mais robustas da árvore de manivelas e concentram a maior
parte da massa da peça. Nessa seção, serão apresentadas resultados de simulações com
reduções de massa e inércia de 5% sem alteração na rigidez e redução de 10% de massa de
com redução de 5% na rigidez de cada throw. A redução de massa implica também na
redução de inércia e rigidez do sistema. Entretanto, a redução de inércia e rigidez dependem
também da geometria da peça e não são variáveis linearmente dependente da massa. A
tabela abaixo ilustra as freqüências naturais para o modelo original, com redução de 5% de
massa apenas nos throws e redução de 10% em massa com redução de 5% de rigidez.
59
Tabela 4- 3: Freqüências naturais
Freqüência natural Original
[HZ]
Freqüência natural -5% massa [HZ]
Freqüência natural -10% massa [HZ]
3441.63 3529.32 3522.64 6210.62 6370.1 6343.82 6357.18 6499.81 6471.66 8592.70 8815.06 8804.6 9254.28 9494.61 9550.5
17865.25 18088.24 17847.54 27188.88 27523.61 26622.4 30643.74 30679 30017.17 32561.70 33023.76 32437.29 42547.81 43185.24 42665.32 60046.97 60063.14 58771.59 63925.20 63943.92 62344.1 63952.32 63973 62377.25
Pela tabela, pode-se observar que a redução de massa aumenta a freqüência natural,
como esperado, pois segue a relação simples mkn /=ω . A freqüência natural é um
parâmetro importante para que se evite ressonância do sistema e grandes amplitudes de
vibração. Para evitar a ressonância, deve-se evitar que os esforços tenham a mesma
freqüência de excitação que a freqüência natural da peça. No caso, a árvore de manivelas
possui primeira freqüência natural de 3441.63Hz e sua rotação não ultrapassa 3050rpm
(50.83Hz), portanto a árvore de manivelas não sofrerá problemas de grandes amplitudes de
vibração devido à ressonância.
Além disso, podemos analisar o efeito da redução da massa sobre o cálculo de
esforços axiais. Nas figuras 4-33, 4-34, 4-35 e 4-36 ilustram-se as forças axiais para o caso
original, para o caso com redução de 5% de massa e para o caso de redução de massa de
10%, em diversas velocidades, como explicado anteriormente.
60
Força Axial a 1100rpm
-400
-200
0
200
400
600
800
0 500 1000 1500 2000 2500
Ângulo de árvore de manivelas
Fo
rça
[N]
original 5%massa 10%massa
Figura 4- 33: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas
Força Axial a 1900rpm
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 500 1000 1500 2000 2500
Ângulo de árvore de manivelas
Fo
rça
[N]
original 5%massa 10%massa
Figura 4- 34: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas
61
Força Axial a 2500rpm
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
0 500 1000 1500 2000 2500
Ângulo de árvore de manivelas
Fo
rça
[N]
original 5%massa 10%massa
Figura 4- 35: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas
Força Axial a 3050rpm
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 500 1000 1500 2000 2500
Ângulo de árvore de manivelas
Fo
rça
[N]
original 5%massa 10%massa
Figura 4- 36: Comparação da força axial em árvore de manivelas com massas reduzidas
Pelas simulações realizadas, pode-se ver que a redução de massa não aumentou
proporcionalmente a redução de força. A força axial na redução (5% ou 10%) não
ultrapassou 3% da força original. Ou seja, a redução da massa não contribui para
62
diminuição significativa para a redução de força axial. Isso ocorre pois o principal fator que
contribui a intensidade da força axial é a pressão de combustão.
Entretanto, não se pode projetar a árvore de manivelas somente com essa
informação, pois o dimensionamento deve ser feito levando também em conta o tensor de
tensões. A força axial não apresenta aumento significativo com a redução de massa, mas a
redução da inércia contribui para o aumento da tensão, por isso sua redução é limitada.
63
Capítulo 5
Conclusões e Trabalhos Futuros
Esta tese é uma contribuição ao estudo de esforços em motores de combustão
interna. Foram apresentados os conceitos básicos de funcionamento de motores de
combustão interna, a modelagem teórica aplicada, resultados em termos de
deslocamentos e forças sobre mancal hidrodinâmico, análise da distribuição de pressão
sobre o mancal axial e análise da vibração longitudinal em diferentes velocidades.
A análise de vibração axial pode ser realizada com a ferramenta desenvolvida
neste trabalho para diferentes modelos de árvore de manivelas desde que a rigidez,
massa (e inércia) e amortecimento sejam calculados e colocados como entrada do
programa computacional desenvolvido. Esforços além dos citados (tangencial e radial)
podem ser considerados no vetor de força. A influência da redução de massa e rigidez
na força axial do virabrequim pode ser simulada rapidamente com o programa
computacional desenvolvido.
A resolução do sistema de equações em função do tempo pode demandar mais
tempo (dependendo da quantidade de ciclos a serem simulados) do que a resolução em
função da freqüência, mas possibilita o cálculo da deformação do virabrequim com uma
simples subtração.
Conclui-se que para a árvore de manivelas apresentada, a vibração longitudinal
não é o principal fator de desgaste dos componentes nas condições estudadas
(lubrificação hidrodinâmica completa). Além disso, não se verifica que a força axial
supera a carga do mancal axial, ou seja, existe lubrificação hidrodinâmica completa.
64
A metodologia pode ser aplicada ainda a outros tipos de rotores com manivelas
como turbinas de navios ou locomotivas onde a força axial pode ser maior.
Concluiu-se também que a árvore de manivelas apresentada está conforme
critérios de projeto que recomendam vibração torcional na ordem de até 0,25°.
Com os cálculos de deslocamento nodal desta tese, é possível calcular tensões
normal e cisalhante. Ou seja, pode-se calcular dois componentes do tensor de tensão. O
tensor de tensões trata da distribuição dos esforços no material. Ele pode ser ulitizado
de diferentes formas de cálculos de tensões equivalente como von Mises, ou critérios
como Rankine ou Tresca.
Verificou-se que a força axial sobre o mancal sofre influência direta dos valores
de mola e amortecimento do mancal. Isto é, a condição de contorno é uma variável
bastante importante para obtenção dos resultados. Entretanto, é possível considerar uma
junta de deslocamento zero, e força máxima para casos críticos em força.
Esta tese contribuiu na pesquisa de vibração axial em árvore manivelas que
recebeu pouca atenção nas últimas décadas devido sua menor intensidade e menores
conseqüências na vida útil dos componentes dos motores de combustão interna. Alguns
aspetos ainda podem ser melhor explorados como a influência da vibração axial da
árvore de manivelas na vida útil de bielas e pistões ou anéis de segmento ou vedação.
5. 1 Sugestão de Trabalhos Futuros
A continuidade e o aprimoramento do assunto desenvolvido neste trabalho
podem se dar pelo estudo do:
• Acoplamento dos graus de liberdade de flexão neste modelo
simplificado utilizando formulação de viga na árvore de manivelas,
• Estudo experimental da dinâmica da árvore de manivelas para estudar a
influência da flexão nos outros graus de liberdade e validação de um
possível modelo,
65
• Estudo experimental de mancais hidrodinâmicos em motores de
combustão interna variando fluido de lubrificação, velocidade de
rotação e outros parâmetros com a finalidade de verificar a influência da
lubrificação na dinâmica do sistema e no parâmetro de rigidez e
amortecimento do mancal na utilização do modelo simplificado de
múltiplos graus de liberdade.
66
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68
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Dissertação de Mestrado, 2005.
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Metodologia para Análise de Vibrações Torcionais em Motores de Combustão Interna,
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Instituto de Engenharia Mecânica, Dissertação de Mestrado, 2006.
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Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Dissertação de
Mestrado, 2006.
69
Apendice A Descrição do programa computacional (escrito em ambiente Matlab) desenvolvido
para as simulações realizadas neste trabalho.
70
Limpeza das variáveis e fechamento das janelas:
clear all
close all
clc
Definição dos dados de entrada:
dt=2; %diferenca de angulo n=9; %segmentos
%Rigidez Axial
ka(1)=2.649*10^8; ka(2)=4.7619*10^8; ka(3)=4.7619*10^8; ka(4)=5.515*10^8; ka(5)=4.7619*10^8; ka(6)=4.7619*10^8; ka(7)=4.7619*10^8; ka(8)=6.510*10^9;
%Rigidez Torcional
kt(1)=1.350*10^6; kt(2)=1.350*10^6; kt(3)=1.350*10^6; kt(4)=1.033*10^6; kt(5)=1.350*10^6; kt(6)=1.350*10^6; kt(7)=1.350*10^6; kt(8)=1.033*10^6;
%entrada de força: p=load('1900rpm.dat'); %carrega dados de pressao de combustao do arquivo vel=1900; a=p(:,1); pe=p(:,2);
%entradas: diametro do pistao, raios e massas %a = angulo; p = pressao dp=0.105;r=0.0645;L=0.207;ma=1.5;
M=zeros(2*n,2*n); K=zeros(2*n,2*n); C=zeros(2*n,2*n);
%Definição das massas e inércias M(1,1)=3.5158*10^(-3); M(2,2)=3.09;
71
M(3,3)=2.902*10^(-2); M(4,4)=7.75; M(5,5)=6.6805*10^(-4); M(6,6)=1.066; M(7,7)=3.2483*10^(-2); M(8,8)=8.86; M(9,9)=6.6805*10^(-4); M(10,10)=1.066; M(11,11)=2.902*10^(-2); M(12,12)=7.3852; M(13,13)=6.6805*10^(-4); M(14,14)=1.1066; M(15,15)=2.9027*10^(-2); M(16,16)=7.75; M(17,17)=1.9868*10^(-3); M(18,18)=3.167;
Montagem das matrizes de rigidez e amortecimento
for i=3:2:2*n-2 K(i,i-2)=-kt((i-1)/2); K(i,i-1)=0; K(i,i)=kt((i-1)/2)+kt((i+1)/2); K(i,i+1)=0; K(i,i+2)=-kt((i+1)/2); K(i,i+3)=0; end
for i=4:2:2*n-2 K(i,i-3)=-gama(i/2-1)*ka(i/2-1); K(i,i-2)=-ka(i/2-1); K(i,i-1)=gama(i/2-1)*ka(i/2-1)+gama(i/2)*ka(i/2); K(i,i)=ka(i/2-1)+ka(i/2); K(i,i+1)=-gama(i/2)*ka(i/2); K(i,i+2)=-ka(i/2); end
for i=3:2:2*n-2 C(i,i-2)=-ct((i-1)/2); C(i,i-1)=0; C(i,i)=dtt((i-1)/2)+ct((i-
1)/2)+ct((i+1)/2); C(i,i+1)=0; C(i,i+2)=-ct((i+1)/2); end
for i=4:2:2*n-2 C(i,i-3)=0; C(i,i-2)=-ca(i/2-1); C(i,i-1)=0; C(i,i)=da(i/2)+ca(i/2-1)+ca(i/2); C(i,i+1)=0; End
Função de cálculo de força radial e tangencial
function [F,M,Fr]=forcasdepressao(dp,r,L,ma,a,p,vel)
omega=vel*(2*pi)/60;
Fg=p(:,1)*10^5*pi*(dp^2)/4; a=deg2rad(a); b=asin((r/L)*sin(a)); Ftp=Fg.*sin(a+b)/cos(b); lambda=r/L; Fia = ma*r*omega^2*(cos(a)+lambda*cos(2*a)-
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(lambda^3)/4*cos(4*a)+9*(lambda^5)/128*cos(6*a)); Fta=Fia.*sin(a+b)./cos(b);
F=Ftp(:,1)+Fta(:,1); M=F*r;
Frp=Fg.*cos(a+b)./cos(b); Fra=Fia.*cos(a+b)./cos(b); Fr=Frp+Fra;
end
Função para integrar a equação de movimento
function [u,v,a,P] = NewmarkIntegrator(gamma,beta,M,K,C,P,dt,uo,vo)
N = length(K); %numero de graus de liberdade = 5 TimeSteps = length(P); %entrada Time = dt*[1:TimeSteps]; %vetor de tempo
u = zeros(N,TimeSteps); %matriz de deslocamento (linhas) por tempo
(colunas) v = zeros(N,TimeSteps); %matriz de velocidade a = zeros(N,TimeSteps); %matriz de aceleração
% Enforce initial conditions if (nargin>=8) u(1:N,1) = uo(1:N); end %se não entrar com valores
iniciais ele zera. if (nargin==9) v(1:N,1) = vo(1:N); end %
% Determine initial acceleration and various time-invariant parameters a(:,1) = inv(M) * (P(:,1) - C * v(:,1) - K * u(:,1)); %aceleração no
primeiro passo de tempo %velocidade e deslocamento são entrada Kbar = K + (gamma/(beta*dt)) * C + (1/(beta*dt^2)) * M; %matriz
auxiliar A = (1/(beta*dt)) * M + (gamma/beta) * C; %matriz auxiliar B = (1/(2*beta)) * M + dt * (gamma/(2*beta)-1) * C; %matriz
auxiliar KbarInv = inv(Kbar); %matriz auxiliar
h=waitbar(0,'I - Integration of the system.'); % Loop over load steps for i=2:TimeSteps %laço de todos os passos de tempo waitbar(i/TimeSteps,h); %mostrar uma barra de progressão (para o
matlab) cont=0;tol=2; while (tol>0.1 && cont<1000000) dP = P(:,i) - P(:,i-1); %definindo dP (vetar), em que P é a
excitação dPbar = dP + A*v(:,i-1) + B*a(:,i-1); %vetor auxiliar du = KbarInv * dPbar; %delta-u dv = (gamma/(beta*dt))*du - (gamma/beta)*v(:,i-1) + ... dt*(1-gamma/(2*beta))*a(:,i-1); %delta-v da = (1/(beta*dt^2))*du - (1/(beta*dt))*v(:,i-1) - ...
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(1/(2*beta))*a(:,i-1); %delta-a
u(:,i) = u(:,i-1) + du; %matriz deslocamento para passo de tempo
i v(:,i) = v(:,i-1) + dv; %matriz velocidade para passo de tempo i a(:,i) = a(:,i-1) + da; %matriz de aceleração para passo de tempo
i
end end close(h)
Gráficos utilizados
TimeSteps = length(T); tempo=dt*[1:TimeSteps]; figure (1) plot(tempo,u(1,1:N),tempo,u(3,1:N),tempo,u(5,1:N),tempo,u(7,1:N),
tempo,u(9,1:N),tempo,u(11,1:N),tempo,u(13,1:N),tempo,u(15,1:N));
title('Deslocamento torcional');
xlabel('Angulo de arvore de manivela'); ylabel('deslocamento
torcional[rad]');
for i=1:length(v) forca_axial(i)=0; for j=1:length(K) forca_axial(i)=forca_axial(i)+K(4,j)*u(j,i)+C(4,j)*v(j,i); end end
figure (7) plot(tempo, forca_axial); title('Força Axial [N]');
xlabel('Angulo de arvore de manivela');ylabel('Força axial');
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Apêndice B Dados de pressão de combustão (em bar) utilizadas no trabalho.
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Ângulo 1100rpm 1300rpm 1500rpm 1700rpm 1900rpm 2100rpm 2300rpm 2500rpm 2650rpm 3050rpm
0 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 2 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 4 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 6 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 8 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 10 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 12 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 14 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 16 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 18 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 20 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 22 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 24 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 26 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 28 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 30 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 32 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 34 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 36 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 38 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 40 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 42 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 44 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 46 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 48 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 50 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 52 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 54 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 56 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 58 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 60 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 62 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 64 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 66 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 68 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 70 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 72 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 74 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 76 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 78 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 80 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 82 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 84 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 86 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 88 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 90 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 92 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 94 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79
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504 4.73 5.41 5.63 5.63 5.63 5.86 5.86 5.63 0.95 0.73 506 4.7 5.38 5.38 5.38 5.38 5.6 5.6 5.6 0.94 0.73 508 4.67 5.12 5.34 5.34 5.34 5.56 5.56 5.34 0.94 0.72 510 4.42 5.09 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 0.93 0.72 512 4.39 5.05 5.05 5.05 5.05 5.27 5.27 5.27 0.92 0.71 514 4.14 4.79 5.01 5.01 5.01 5.23 5.23 5.01 0.92 0.71 516 4.11 4.54 4.98 4.98 4.98 4.98 4.98 4.98 0.91 0.7 518 4.08 4.51 4.72 4.72 4.72 4.94 4.94 4.94 0.9 0.7 520 4.05 4.47 4.47 4.47 4.47 4.9 4.9 4.68 0.9 0.69 522 3.8 4.44 4.44 4.44 4.44 4.65 4.65 4.44 0.89 0.69 524 3.57 4.2 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 0.88 0.68 526 3.54 4.16 4.37 4.37 4.37 4.37 4.37 4.37 0.88 0.68 528 3.3 3.93 4.13 4.13 4.13 4.33 4.33 4.33 0.87 0.67 530 3.07 3.89 4.09 4.09 4.09 4.3 4.3 4.09 0.86 0.66 532 3.05 3.86 3.86 3.86 3.86 4.06 4.06 4.06 0.85 0.66 534 2.81 3.83 3.83 3.83 3.83 4.02 4.02 3.83 0.85 0.65 536 2.79 3.59 3.79 3.79 3.79 3.79 3.79 3.79 0.84 0.65 538 2.57 3.36 3.76 3.76 3.76 3.76 3.76 3.76 0.83 0.64 540 2.54 3.33 3.52 3.52 3.52 3.72 3.72 3.72 0.82 0.64 542 2.52 3.1 3.3 3.3 3.3 3.69 3.69 3.49 0.82 0.63 544 2.11 2.88 3.26 3.26 3.26 3.45 3.45 3.26 0.81 0.62 546 2.09 2.85 3.04 3.04 3.04 3.23 3.23 3.23 0.8 0.62 548 1.88 2.63 2.83 2.83 2.83 3.2 3.2 3.01 0.79 0.61 550 1.68 2.6 2.8 2.8 2.8 2.98 2.98 2.8 0.78 0.6 552 1.66 2.39 2.58 2.58 2.58 2.77 2.77 2.77 0.78 0.6 554 1.64 2.37 2.55 2.55 2.55 2.74 2.74 2.55 0.77 0.59 556 1.44 2.34 2.34 2.34 2.34 2.52 2.52 2.52 0.76 0.59 558 1.43 1.96 2.32 2.32 2.32 2.49 2.49 2.32 0.75 0.58 560 1.24 1.94 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 2.29 0.74 0.57 562 1.22 1.74 1.92 1.92 1.92 2.26 2.26 2.26 0.73 0.57 564 1.09 1.55 1.9 1.9 1.9 2.24 2.24 1.9 0.72 0.56 566 1.07 1.53 1.7 1.7 1.7 1.87 1.87 1.87 0.72 0.55 568 1.06 1.51 1.51 1.51 1.51 1.85 1.85 1.68 0.71 0.54 570 1.05 1.33 1.49 1.49 1.49 1.65 1.65 1.49 0.7 0.54 572 1.03 1.31 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 0.69 0.53 574 1.02 1.13 1.29 1.29 1.29 1.45 1.45 1.45 0.68 0.52 576 1 1.12 1.27 1.27 1.27 1.43 1.43 1.27 0.67 0.52 578 0.99 0.99 1.1 1.1 1.1 1.26 1.26 1.26 0.66 0.51 580 0.98 0.98 1.08 1.08 1.08 1.24 1.24 1.08 0.65 0.5 582 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.7 1.7 1.7 1.02 0.79 584 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.7 1.7 1.53 1.02 0.79 586 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 588 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 590 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 592 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 594 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 596 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 598 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 600 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 602 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 604 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79
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606 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 608 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 610 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 612 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 614 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 616 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 618 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 620 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 622 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 624 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 626 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 628 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 630 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 632 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 634 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 636 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 638 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 640 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 642 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 644 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 646 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 648 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 650 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 652 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 654 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 656 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 658 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 660 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 662 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 664 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 666 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 668 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 670 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 672 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 674 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 676 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 678 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 680 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 682 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 684 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 686 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 688 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 690 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 692 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 694 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 696 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 698 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 700 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 702 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 704 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 706 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79
82
708 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 710 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 712 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 714 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 716 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 718 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79 720 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.53 1.02 0.79
83
Apêndice C Durante este trabalho de mestrado foram publicados dois artigos em congressos nacionais:
Longitudinal Effort in Crankshaft (Congrsso SAE – 2009-36-0155, São Paulo- S.P., Brasil)
e Longitudinal Loads in Crankshafts (IX Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e
Industrial CONEMI - CON 03 – 006, Campo Grande - MS).
84
2009-36-0155
Longitudinal Effort In Crankshaft
Annelise Yuiko Idehara Auteliano Antunes dos Santos Junior
Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Mecânica
Alex de Souza Rodrigues ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo – Development Engineering
Copyright © 2009 SAE International
ABSTRACT
In the last two decades, torsional and axial vibrations of the engine crankshaft have become more severe than before, because of the increase of the engine speed and mean effective gas pressure, and reduction of engine size. Under these new conditions, more severe forces and torques are applied to the crankshaft. That forces and torques can increase the noise radiation, wear and damage of the components connected to crankshaft. This paper presents a multi-degree-of-freedom model of crankshaft under axial and torsional excitations. The motion equation of the system is solved numerically with Newmark beta Method in Matlab environment. The interaction with axial bearing is also considered, the Reynods Equation that govern the generation of hydrodynamic pressure in axial bearing is solved with Finite Difference Method and the boundary condition of Sommerfeld (pressure equal to zero at the boundary). A simulation of 4-cylinder crankshaft is presented. Results are shown in terms of crankshaft’s displacement and pressure in axial bearing.
INTRODUCTION
The dynamic behaviour of a engine cranckshaft is an important aspect for three-dimensional vibrations of the engine. Intense axial vibration of crankshaft may lead to some problems as vibration on coupled components of the shaft, severe wear between the sidewall and piston slapping and contribution to open a crack in the crankshaft. The requirements of the mordem internal combustion engine are harsher and optimum design solutions are need. In this context, virtual simulation is a good manner to analize the vibration of engine’s components and wearing of engine.
Van Dort and Visser (1963) conducted research on axial vibration and control measures in a propeller shaft of ships to ensure the safety and comfortableness. They concluded that the varying thrusting force of the screw propeller, coupled bending-axial forces and coupled torsional-axial forces might cause the vibration.
Ying et al. (1995) studied coupled torsional-axial vibration of the engine crankshaft and Li et al. (1994) studied coupled bending-axial vibration. They concluded that both coupled
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vector of torsional-axial and bending-axial contribute to axial vibrations and the axial vibration has great influence on noise radiation.
Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz and Loibnegger (2005) compared different models of simulation for the journal bearings used in combustion engines in non-stationary flow. They simuleted peak oil film pressure (POFP), minimum oil film thickness (MOFT) and time simulation in Hydrodynamic (HD), Elasto-hydrodynamic (EHD) and Thermo-elasto-hydrodynamic (TEHD) lubrication models. They concluded that three model has similar results, TEHD and EHD consume more time and TEHD require more data.
Galvão and Schwarz (2006) studied the axial bearing pressure of pivot Pad Journal bearings. They simulated the pressure distribution solving the Reynolds equation and compared with experiments the peak of pressure, film oil thickness.
Offner, Lechner, Mahmoud and Priebsch (2006) proposed a numerical interpolation model to solve the three dimensional dynamics of engine. They solved the motion equation to engine components and elastohydrodynamic behaviour of axial thrust bearings.
Shu, Liang and Lu (2007) published results of simulation of crankshaft in line six-cylinder diesel engine and comparison with experiments. They applied a multi-degree of freedom model and reach a feasible model and method of calculation for analysis of axial vibration.
Choi and Pan (2007) conduced simulations of the residual stresses and the bending stresses near the fillet of a crankshaft section under fillet rolling and subsequent bending fatigue tests were investigated by a two-dimensional plane strain finite element analysis.
In this paper, the torsional and axial dynamics of crankshat is simulated and the pressure distribution on axial bearing is calculeted. The equation of motion was solved with Newmark beta method and Reynolds equation was solved with difference finite method.
SIMULATION
The computational simulation is an important tool of analisys of the dynamics of any moving bodies. In this paper, a dynamic of a crankshaft (shown in figure 1) is studied.
Figure 1: Crankshaft model
MOTION EQUATION
The crankshaft was simplified as a discrete model of multi-degree-of-freedom as shown in figure 2. It is composed of n concentrated masses m (kg) with absolute damping d (composed of torsional damping dt and axial damping da), polar moment of inertias J (kg.m2) and n-1 stiffness k (torsional kt (N.m/rad) and axial Ka (N/m)) and damping c (torsional ct (N.m/rad/s) and axial ca (N/m/s)).
Figure 2: Generalised multi-mass model of crankshaft
86
For each element (of two degree of freedom – torsional and axial), an equation of motion can be written as follow in system of equation 1.
iiiai
iiaiiaiii
iiitiiiti
iitiiitiitiii
fxxc
xxcxdxm
Tkk
ccdJ
=−+
−++
=−+−
+−+−++
+
−−
+−−
+−−
)(
)(
)()(
)()(
1
11
111
111
&&
&&&&&
&&&&&&&
θθθθ
θθθθθθ
(1)
where Ti is the torque applied to crankshaft and fi is coupled axial force defined as follow in equation 2.
riirii
iiaiiiiaiii
PP
kkf
ββ
θθγθθγ
−+
−−−=
−−
−−−+
11
1111 )(.)(.
(2)
In matrix form, the system of equations can be written as follow in equation 3:
}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&&
(3) where, ][M is
n
n
i
i
m
J
m
J
m
J
0
0
...
0
0
...
0
0
1
1
,
K is
and C is
The torque Ti is calculated (equation 4) from pressure combustion and crank rod kinematics. The figure 3 illustrates the forces on the rod, crankshaft and piston.
Figure 3: forces no crank rod system
The torque T is calculated from the equations below:
rFT t=
(4)
4..
)cos(
)(sin
2dppF
FF
FFF
g
gtp
tatpt
π
β
βα
=
+=
+=rrr
87
L
r
rmF
FF
aia
iata
=
+−+=
+=
λ
αλ
αλ
αλαϖ
β
βα
)6cos128
94cos
42cos(cos.
)cos(
)sin(
532
where, p is the pressure in the combustion chamber, ma is alternative mass and dp is the piston diameter.
The figure 4 shows the pressure in the combustion chamber for five different speeds.
Figure 4: Pressure in the combustion chamber
The figure 5 shows the torque applied to the crankshaft in one troll for five different velocitie.
Figure 5: Applied Torque
Motion Equation can calculate the displacements of concentrated masses (torsional and axial) and force on the axial bearing.
AXIAL BEARING
The crankshaft is supported by the oil film between of the bearings. In the presented model, there are five bearings where one is the main bearing and support the crankshaft in longitudinal direction, the others support the crankshaft in vertical and transverse directions. The figure 6 illustrate a block of the engine.
Figure 6: block of engine
The pressure distribution can be calculated by the Reynolds equation 5.
θπ
θθ ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ h
L
Rr
ph
rr
prh
r
e
2
33 .121
(5)
where, eR
rr 0= ,
ph
hh 0= ,
2
0
=
L
h
N
pp
p
η,
Re is external radius, L is the pad thickness, h is the oil film thickness, η is the viscosity, N is the rotation velocity and p0 is the pressure on the bearing.
88
The Reynolds equation was solved using the finite differences method and Sommerfeld boundary condition (pressure equal to zero in the boundary).
The load capacity can be calculated by the equation 6 as below:
∫ ∫=Re
0 0000
0
RidrdrpF
θ
θ
(6)
The load capacity is the maximum force that the axial bearing can support hydrodynamically. The axial force on the bearing should be smaller than the load capacity.
METHODS
Newmark Beta Method
The Newmark Beta Method was applied to solve the motion equation. The procedure is described below:
1. Calculation of initial acceleration: a = M-
1.P 2. Calculation of the auxiliary matrices
below:
][12
][2
1][
][][1
][
][1
][][][2
CtMB
CMt
A
Mt
Ct
KKbar
−∆+=
+∆
=
∆+
∆+=
β
γ
β
β
γ
β
ββ
γ
3. Calculation of the follow auxiliary vectors:
dPbarKbardu
aBvAdPPbar
PPdP
ii
ii
1
11
1
][
].[].[−
−−
−
=
++=
−=
112
11
2
111
..2
1.
−−
−−
−∆
−
∆=
−∆+−
∆=
ii
ii
avt
dut
da
atvdut
dv
βββ
β
γ
β
γ
β
γ
4. Calculation of the displacement, velocity and acceleration:
daaa
dvvv
duuu
ii
ii
ii
+=
+=
+=
−
−
−
1
1
1
Finite Differences Method
The Reynolds equation was solved with the Finite Differences Method. In this paper the explicit form was applied to solve de differential equation of fluid behavior.
The method consist in divide the domain in small cells and calculate the pressure of each cell as shown in the system of equations 7 as follow:
(7)
RESULTS
The crankshaft that is shown in figure 1 can be simplified as a discrete model of multi-degree-of freedom of masses, stiffness and damping. The stiffness can be calculated with a CAM software. The figure 7 shows a part of crankshaft with axial stiffness is around 4.76 108 N/m and torsional stiffness is around 1.35 106 N.m/rad. Each part have the stiffness calculated. Similarly, the mass is calculated using the CAD software (steel material). The damping is the proportional Rayleigh damping model that is proportional to mass and stiffness.
89
Figure 7: Part of crankshaft
The figures 8, 9 and 10 show the results of axial displacement of three different velocities of four points of crankshaft (center of each piece as shown in figure 7).
Figure 8: Axial Displacement
Figure 9: Axial Displacement
Figure 10: Axial Displacement
The rotating crankshaft supported by the oil film generates a pressure in the fluid. The table 1 shows the values of main features of the bearing.
Feature
Value
Unit
Internal Radius 63 mm
External Radius 75 mm
Sector angle 60 Degree
90
Density of lubricant 870 Kg/m3
The green line of figures 8, 9 and 10 is a straight line in zero because it’s the point The figure 11 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 12 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 1100rpm. In this simulation, the pivot angle is 1°, the pivot radius is 20 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.02 mm.
Figure 11: Pressure Distribution
Figure 12: Oil Film Thickness [µm]
The figure 13 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 14 shows the oil film thickness where the
velocity of crankshaft rotation is 1700rpm. The pivot angle is 1°, the pivot radius is 30 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.03 mm.
Figure 13: Pressure Distribution
Figure 14: Oil Film Thickness [µm]
The figure 15 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 16 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 2100rpm. I this case, the pivot angle is 2°, the pivot radius is 60 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.032 mm.
91
Figure 15: Pressure Distribution
Figure 16: Oil Film Thickness [µm]
CONCLUSION
In this paper, the axial dynamics of crankshaft was discussed; the mathematical formulation, a case studied and analyses were presented. The interaction with the axial bearing is also studied. Three results of different velocities were presented. The interaction of bearing, oil film and the crankshaft is interesting subject to study; this analysis can prevent errors of engine project and damage in other components.
ACKNOWLEDGMENTS
The authors would like to thanks ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo that fund this work.
REFERENCES
1. Van Dort, D., and Visser, N. J., “Crankshaft coupled free torsional-axial vibration of ship’s propulsion system”, I.S.P., Vol 10,p.107, 1963.
2. Ying, Q.G., Zhou, M.R., Li, B.Z., Xu, J.F., and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the morden long-stroke marine engine crankshaft”, Marine Engineering, Vol 1, p.40-47, 1995.
3. Li, B.Z., Ying, Q.G., Zhou M.R., Xu, J.F. and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the morden long-stroke marine engine crankshaft: Accident analysis of coupled vibration”, Marine Engineering, Vol 6, p37-41.
4. Bukovnik, S., Dorr, N., Caika, V., Bartz, W.J., Loibnegger, B., “Analysis of diverse simulation models for combustion engine journal bearings and the influence of oil condition”, Tribology International, Vol 39, p.820-826,2005
5. Galvão, M.M., Schwart, V.A., “Análise do Comportamento Operacional de Mancais Axiais Hidrodinâmicos de Sapatas Setoriais Pivotadas”, Máster degree thesis, Itajubá, 2006.
6. Offner,G., Lechner, M., Mahmoud, K. and Prlebsch, H.H., “Surface contact analysis in axial thrust bearings based on different numerical interpolation approaches”, Proc. IMechE, Journal of Multi-body Dynamics, Vol 221.
7. Shu, G.Q., Liang, X.Y., Lu, X.C., “Axial vibration of high-speed automotive engine crankshaft”, International Journal of Vehicle Design, Vol 45, No. 4, p. 542, 2007.
8. Choi, K.S., Pan, J., “Simulations of stress distributions in crankshaft sections under fillet rolling and bending fatigue tests”, International Jounal of Fatigue, Vol 31, p. 544-557, 2009.
92
LONGITUDINAL LOADS IN CRANKSHAFTS
Annelise Yuiko Idehara – [email protected] Auteliano Antunes dos Santos Júnior – [email protected] Universidade Estadual de Campinas – Unicamp. Faculdade de Engenharia Mecânica – FEM Rua Mendeleyev, 200, Cidade Universitária "Zeferino Vaz", Campinas, Brazil. Alex de Souza Rodrigues – [email protected] ThyssenKrupp Metalúrgica Campo Limpo Ltda Av. Alfried Krupp, 1050, Campo Limpo Paulista, Brazil
Abstract. Torsional and axial vibrations of the engine crankshaft have become more severe in the last two
decades, due to the increase of the engine speed and mean effective gas pressure, downsize of engine.
Under these new conditions, more severe forces and torques are applied to the crankshaft. That forces
and torques can increase the noise radiation, wear and damage of the components connected to
crankshaft. This paper presents a multi-degree-of-freedom model of crankshaft under axial and torsional
excitations. The motion equation of the system is solved numerically with Newmark beta Method in
Matlab environment. The interaction with axial bearing is also considered, the Reynods Equation that
govern the generation of hydrodynamic pressure in axial bearing is solved by Finite Difference Method
and the boundary condition of Sommerfeld (pressure equal to zero at the boundary). A simulation of 4-
cylinder crankshaft is presented. The results are shown in terms of crankshaft’s displacement, axial force
in main bearing and pressure distribution on axial bearing.
Key words: Crankshaft, Dynamic Behavior, axial and torsional vibration.
1. INTRODUCTION
The dynamic behavior of an engine crankshaft is an important aspect for three-dimensional vibrations of the engine. Intense axial vibration of crankshaft may lead to some problems as vibration on coupled components of the shaft, severe wear between the sidewall and piston slapping and contribution to open a crack in the crankshaft. The requirements of the modern internal combustion engine are harsher and optimum design solutions are needed. In this context, virtual simulation is a good way to analyze the vibration of engine’s components and wearing of engine.
Van Dort and Visser (1963) conducted research on axial vibration and control measures in a propeller shaft of ships to ensure the safety and comfortableness. They concluded that the varying thrusting force of the screw propeller, coupled bending-axial forces and coupled torsional-axial forces might cause the vibration.
Ying et al. (1995) studied coupled torsional-axial vibration of the engine crankshaft and Li et al. (1994) studied coupled bending-axial vibration. They concluded that both coupled vector of torsional-axial and bending-axial contribute to axial vibrations and the axial vibration has great influence on noise radiation.
Bukovnik, Dorr, Caika, Bartz and Loibnegger (2005) compared different models of simulation for the journal bearings used in combustion engines in non-stationary flow. They simulated peak oil film pressure (POFP), minimum oil film thickness (MOFT) and time simulation in Hydrodynamic (HD), Elasto-
93
hydrodynamic (EHD) and Thermo-elasto-hydrodynamic (TEHD) lubrication models. They concluded that three models have similar results, TEHD and EHD consume more time and TEHD require more data.
Galvão and Schwarz (2006) calculated the axial bearing pressure of pivot Pad Journal bearings. They simulated the pressure distribution solving the Reynolds equation and compared with experiments the peak of pressure, film oil thickness.
Offner, Lechner, Mahmoud and Priebsch (2006) proposed a numerical interpolation model to solve the three dimensional dynamics of engine. They solved the motion equation to engine components and elastohydrodynamic behavior of axial thrust bearings.
Shu, Liang and Lu (2007) published results of simulation of crankshaft in line six-cylinder diesel engine and comparison with experiments. They applied a multi-degree of freedom model and reach a feasible model and method of calculation for analysis of axial vibration.
Choi and Pan (2007) conduced simulations of the residual stresses and the bending stresses near the fillet of a crankshaft section under fillet rolling and subsequent bending fatigue tests were investigated by a two-dimensional plane strain finite element analysis.
In this paper, the torsional and axial dynamics of crankshaft is simulated and the pressure
distribution on axial bearing is calculeted. The equation of motion was solved by Newmark beta method
and Reynolds equation was solved with difference finite method.
2. MOTION EQUATION The computational simulation is an important tool in the dynamics analyses of any moving bodies. In this paper, the dynamic of a crankshaft is studied. The crankshaft was simplified as a discrete model of multi-degree-of-freedom. It is composed of n concentrated masses m (kg) with absolute damping d (composed of torsional damping dt and axial damping da), polar moment of inertias J (kg.m2) and n-1 stiffness k (torsional kt (N.m/rad) and axial Ka (N/m)) and damping c (torsional ct (N.m/rad/s) and axial ca (N/m/s)). The fig. 1 shows the crankshaft model and its simplification.
Figure 1: Crankshaft and model simplification
An equation of motion for each element of two degree of freedom (torsional and axial) can be written as follow in system of Eq. 1.
94
( ) iiiaiiiaiiiaiiaiii
iiitiiitiiitiiitiitiii
fxxkxxcxxcxdxm
TkkccdJ
=−+−+−++
=−+−+−+−++
++−−
+−−+−−
1111
111111
)()(
)()()()(
&&&&&&&
&&&&&&& θθθθθθθθθθ
(1)
Where, Ti is the torque applied to crankshaft and fi is coupled axial force defined as follow in Eq. 2.
riiriiiiaiiiiaiii PPkkf ββθθγθθγ −+−−−= −−−−−+ 111111 )(.)(.
(2)
Where, γ and β are axial displacement caused by unit crank throw twist angle and pseudo axial transform coefficient and Pr is radial force on throw.
In matrix form, the system of equations can be written as follow in Eq. 3:
}{}]{[}]{[}]{[ FxKxCxM =++ &&& (3)
where,
,
95
and
=
n
n
i
i
m
J
m
J
m
J
M
0
0
...
0
0
...
0
0
][
1
1
.
The torque Ti is calculated in Eq. 4 from crank rod kinematics. The fig. 2 illustrates the forces on the rod, crankshaft and piston.
Figure 2: Forces on crank rod system
The torque Ti is calculated from the equations below:
96
rFT t=
(4)
where, tatpt FFFrrr
+= , )cos(
)(sin
β
βα += gtp FF ,
4..
2dp
pFg π= , )cos(
)sin(
β
βα += iata FF ,
L
r=λ and
)6cos128
94cos
42cos(cos.
532 α
λα
λαλαϖ +−+= rmF aia . The variable p is the pressure in the
combustion chamber, ma is alternative mass and dp is the piston diameter. The fig. 3 shows the pressure in the combustion chamber for five different speeds.
Figure 3: Pressure in the combustion chamber
The fig. 4 shows the torque applied to one crankshaft throw for five different velocities.
97
Figure 4: Applied Torque
The crankshaft interacts also with the clutch. When the clutch disengages, it applies a force on crankshaft. The fig. 5 shows a typical force that clutch disengages exert on crankshaft.
Clutch force on Crankshaft
0
200
400
600
800
1000
1200
0 2 4 6 8 10
Travel [mm]
Fo
rce
[N
]
Figure 5: Clutch interaction
98
The motion equation can be solved by numerical methods, in this paper; the Newmark Beta method is applied to motion equation. The procedure bellow describes the method’s steps:
9. Calculation of mass, stiffness and damping matrices and excitation vector 10. Calculation of initial acceleration: a = M-1.P 11. Calculation of the auxiliary matrices below:
][12
][2
1][
][][1
][
][1
][][][2
CtMB
CMt
A
Mt
Ct
KKbar
−∆+=
+∆
=
∆+
∆+=
β
γ
β
β
γ
β
ββ
γ
12. Calculation of the follow auxiliary vectors:
dPbarKbardu
aBvAdPPbar
PPdP
ii
ii
1
11
1
][
].[].[−
−−
−
=
++=
−=
112
11
2
111
..2
1.
−−
−−
−∆
−
∆=
−∆+−
∆=
ii
ii
avt
dut
da
atvdut
dv
βββ
β
γ
β
γ
β
γ
13. Calculation of the displacement, velocity and acceleration:
daaa
dvvv
duuu
ii
ii
ii
+=
+=
+=
−
−
−
1
1
1
3. AXIAL BEARING In the presented model, there are one thrust and five radial bearings. The radial bearing supports the crankshaft in transverse and vertical direction. The thrust bearing supports the crankshaft axial direction. The fig. 6 illustrates a block of the engine and main bearing (vertical, transverse and axial support).
99
Figure 6: Engine block and thrust bearing
The pressure distribution can be calculated by the Reynolds equation 5.
θ
πθθ ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂ h
L
Rr
ph
rr
prh
r
e
2
33 .121
(5)
where, eR
rr 0= ,
ph
hh 0= ,
2
0
=
L
h
N
pp
p
η, Re is external radius, L is the pad thickness, h is the oil film
thickness, η is the viscosity, N is the rotation velocity and p0 is the pressure on the bearing.
The Reynolds equation was solved using the finite differences method and Sommerfeld boundary condition (pressure equal to zero in the boundary). The pressure zero is a reference pressure. The fig.7 shows the physical model:
100
Figure 7: Axial bearing model
4. RESULTS A simulation case of crankshaft of 4-cylinder engine was done. The fig. 8 shows the torque applied on four crank pins of crankshaft in 3050rpm velocity. Each color represents the torque on each crank pin.
0 500 1000 1500 2000 2500-1000
-500
0
500
1000
1500
crankangle [degree]
Tor
que
[N.m
]
Applied Torque
Figure 8: Applied Torque on Crankshaft
The figure 9 shows the axial displacement of each element of the crankshaft. The colors of crankshaft (in the right side) correspond to the response in the left side of the figure.
101
0 500 1000 1500 2000 2500-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-6 Axail Displacemet in 3050rpm
Crankangle [degree]
disp
lace
men
t[m
]
Figure 9: Element response
The figure 10 shows the axial force on the axial bearing:
0 500 1000 1500 2000 2500-300
-200
-100
0
100
200
300
400Axial Force [N]
crankangle
axia
l for
ce
102
Figure 10: Axial force on bearing
The rotating crankshaft supported by the oil film generates a pressure in the fluid. The table 1 shows the values of main features of the bearing.
Table 1: Main parameters of axial bearing
Feature Value Unit
Internal Radius 63 mm
External Radius 75 mm
Sector angle 60 Degree
Density of lubricant 870 Kg/m3
The fig. 11 shows the pressure distribution (in Pascal) on the axial bearing and the figure 12 shows the oil film thickness where the velocity of crankshaft rotation is 1700rpm. The pivot angle is 1°, the pivot radius is 30 mm and the output minimum thickness of film of oil is 0.03 mm.
Figure 171: Pressure Distribution
103
Figure 118: Oil Film Thickness [µm]
The maximum magnitude of axial displacement is shown in fig. 13 along 1100rpm and 3050 rpm. The velocity where the vibration is more significant is 1900 rpm in this case. The analyses not consider contact metal-metal between the bearing and crankshaft, in other words, hydrodynamic model was considered.
Maximum displacement
0
1
2
3
4
5
700 1200 1700 2200 2700 3200
RPM
Max
imu
m d
isp
lace
men
t [ µµ µµ
m]
Figure 13: Maximum magnitude of axial displacement
104
5. CONCLUSION In this paper, the axial dynamics of crankshaft was discussed. The mathematical formulation was presented. A case study in 3050rpm was shown; axial displacement of each element was exhibited. The interaction with the axial bearing is also studied. Results of dynamics were presented.
The results indicate that the axial force in current crankshaft model is not critical. The crankshaft downsize can be considered in the future, but the supply of oil must be appropriate to ensure hydrodynamic lubrication. The misalignment of rod and crankshaft wasn’t a critical question because the axial vibration has microns of amplitude in the case analyses.
6. REFERENCES
Van Dort, D., and Visser, N. J., “Crankshaft coupled free torsional-axial vibration of ship’s propulsion
system”, I.S.P., Vol 10,p.107, 1963.
Ying, Q.G., Zhou, M.R., Li, B.Z., Xu, J.F., and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the
morden long-stroke marine engine crankshaft”, Marine Engineering, Vol 1, p.40-47, 1995.
Li, B.Z., Ying, Q.G., Zhou M.R., Xu, J.F. and Chen, M.X., “The coupled torsional vibrations of the
morden long-stroke marine engine crankshaft: Accident analysis of coupled vibration”, Marine
Engineering, Vol 6, p37-41.
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combustion engine journal bearings and the influence of oil condition”, Tribology International, Vol
39, p.820-826,2005
Galvão, M.M., Schwart, V.A., “Análise do Comportamento Operacional de Mancais Axiais
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Offner,G., Lechner, M., Mahmoud, K. and Prlebsch, H.H., “Surface contact analysis in axial thrust
bearings based on different numerical interpolation approaches”, Proc. IMechE, Journal of Multi-
body Dynamics, Vol 221.
Shu, G.Q., Liang, X.Y., Lu, X.C., “Axial vibration of high-speed automotive engine crankshaft”,
International Journal of Vehicle Design, Vol 45, No. 4, p. 542, 2007.
Choi, K.S., Pan, J., “Simulations of stress distributions in crankshaft sections under fillet rolling and
bending fatigue tests”, International Jounal of Fatigue, Vol 31, p. 544-557, 2009.