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ANÁLISIS DE ARMONICOS EN SISTEMAS DE POTENCIA.LEÓNIDAS SAYAS POMA, Phd © ,Msc, MBA, Prof. IngGerencia de Fiscalización Eléctrica

Magdalena del Mar, Junio 2014

• Definiciones conceptuales, fundamento teórico de

armónicos

• Origen de los armónicos de potencia

• Efecto de los armónicos en el sistema eléctrico.

• Modelamiento de la red para análisis de armónicos

• Mitigación y confinamiento de armónicos en SEP

CONTENIDO

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2

¿Cuales son las Principales perturbaciones en un SEP?

4

Inter Armónicos

SWELLS, SAG

Armónicos aperiódicos

Surge (Impulso)

voltage dips

Ruido (Wave Notching)

Sub Armónicos

Armónicos periódicos

Flicker

Perturbaciones en el SEP

Perturbaciones en un SEP

tt

U

t

U

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Tipos de disturbios en la tensión

Depresiones de tensiónElevaciones de tensión

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Curva de tolerancias en baja tensión según CBEMA(Asociación industrial de negocio de equipos de computación);

Nota:Estos limites fueron definidos tomando en cuenta la sensibilidad de equipos eléctricos de oficina.

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4

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Daños Por Variaciones De TensiónT

ensi

ón e

n %

de

la n

omin

al, V

alor

efic

az

Límites estáticos

Perturbaciones Tipo IIIPerturbaciones Tipo IIPerturbaciones Tipo I

+200%

+100%

Area desusceptibilidad

Tipo I

Area de susceptibilidad Tipo II

Límite desobretensióndel computador

Límites de subtensión

Tiempo.01

100u0.11m

0.58.33m

1.0

0.1

10

0.5

100

2

100

Segundos

Ciclos

-13%

+6%

+30%

Tensión nominal

-70% -42% -30%

Análisis teórico de armónicos

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ARMÓNICOS: TEORÍA 

ARMÓNICOS: “Distorsiones periódicas de formas de ondas de corriente o tensión en sistemas eléctricos”

FUNCIÓN PERIÓDICA: 

T es el período de la función periódica x(t)

Ejemplo: 

)()( txTtx

x/(t)

t

-T/2 T/2

ARMÓNICOS: TEORÍA

donde k es un entero

Si dos funciones x1(t) y x2(t) tienen el mismo periodo T, luego la función:

donde a y b son constantes, también tiene el periodo T.

También es cierto que la función:

también es periódica

)()( txkTtx

)()()( 213 tbxtaxtx

x(t)=constante

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COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:La serie de Fourier de una función periódica x(t) tiene la siguiente expresión:

En esta expresión a0 constituye el valor medio de la función x(t), mientras que an y bn,los coeficientes de la serie, son las componentes rectangulares del nth armónico.

El correspondiente nth vector armónico es:

Con una magnitud:

y un ángulo de fase:

10

22cos)(

nnn T

ntsenb

Tnt

aatx

nnnn jbaA

22nnn baA

n

nn a

b1tan

COEFICIENTES Y SERIES DE FOURIER:

Puede demostrarse que para una función dada x(t) el coeficienteconstante a0 es:

También puede verificarse que:

para los n=1

2

20 )(

1 T

Tdttx

Ta

2

2

2cos)(

2 T

Tn dtTnt

txT

a

2

2

2)(

2 T

Tn dtTnt

sentxT

b

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FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:

Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitudconstante A/2 y un ángulo de fase el cual esta variando en eltiempo de acuerdo a:

donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundovector (A/2)e‐j rotará en la dirección opuesta al anterior. Esteaumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede serconsiderado como una frecuencia negativa.

La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del ejereal, con la magnitud oscilando entre A y –A a:

ft2

cos22

AeA

eA jj

FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:Reescribiendo la serie de Fourier como:

Donde x(t) es periódica con período T y

=2/T=2f, la componente nth de esta

serie, correspondiente a la armónica a una

frecuencia de fn=nf, es dado por:

Donde es el vector unitario y X(fn) da la

amplitud y fase para el vector armónico.

Amplitud instantánea

Máxima amplitud (A)

Im

Re

A/2

--

2/

2/

2)(1

)(T

T

tfjn dtetx

TfX n

tfj ne 2

.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx

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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:

En el caso donde la función en el dominio del tiempo es unafunción muestreada la expresión toma la forma:

Se asume que la función es periódica con un total de N muestraspor período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourieres la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital.

La ecuación anterior puede también escribirse como:

Donde:W=e‐j2/N

1

0

/2)(1

)(N

n

Nknjnk etx

NfX

1

0

)(1

)(N

n

knnk Wtx

NfX

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguienteforma matricial:

En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la funciónen el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector representando las Nmuestras de la función en el dominio del tiempo.

El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere untotal de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.

)(

.

)(

.

)(

)(

.

..1

......

..1

......

..1

1.1.11

1

)(

.

)(

.

)(

)(

1

1

0

)1()1(1

)1(

1

1

1

0

2

2

N

n

NkNN

Nkkk

Nk

N

k

tx

tx

tx

tx

WWW

WWW

WWW

N

fX

fX

fX

fX

)(.1

)( nkn

k txWN

fX

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FRECUENCIA MULTIPLOS ENTEROS Y NO ENTEROS Y SUB MULTIPLOS:

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

Intervalo de muestreo

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016-1

-0.5

0

0.5

1

Intervalo de muestreo

nk

k

‐nk

k/n

INTERARMÓNICOS: Frecuencias armónicas que no son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental

SUBARMÓNICOS: valores de frecuencia que están por debajo de la frecuencia fundamental.

APERIODICOS???? 

X(f)

-f f

fc

1

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CONCEPTOS BÁSICOS NECESARIOS

• Valor RMS• THD• Potencia Armónica• Factor de cresta• Resonancia• Componentes simétricas

armónicas

Potencia media

Tto

to

Tto

to

titvT

dttpT

WP )()(

1)(

dttiT

IefI

dttVT

VefV

R

Vefdttv

TRdt

R

tv

Tdttitv

Tdttp

TP

R

VefPy

R

VccP

T

rms

T

rms

TT

o

T

o

T

o

0

22

0

22

2

0

22

22

)(1

)(1

)(11)(1

)()(1

)(1

También conocido como cuadrático medio. Se basa en la potencia media entregada a una resistencia. Para una tensión periódica aplicada sobre una resistencia, la tensión eficaz se define como una tensión que proporciona la misma potencia media que la tensión continua.

Valor eficaz, RMS

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VALOR RMS DE CANTIDADES ARMONICAS

Señal continua:

Señal discreta:

O, en término de los valores rms de los armónicos:

T

rms dttvT

V0

22 )(1

N

kkrms tV

NV

1

21

2hrmsrms VV

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)

A partir de lo cual:

k

hhrms

rmsVV V

VTHDTDT

2

2

1

1

k

hhrms

rmsII I

ITHDTDT

2

2

1

1

21 100/1 Vrmsrms THDVV

21 100/1 Irmsrms THDII

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POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTEPOTENCIA ACTIVA:

En el caso senoidal:

T

dttitvT

P0

).().(1

h

hhh CosIVP ..

CosIVP ..

22.. PSSenIVQ

22. PQIVS

POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE:

En el caso NO‐senoidal:

Budeanu:

En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia:

IVS .

h

hh

h IVS 22 .

h

hhh senIVQ ..

)( 2222 QPSD

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FACTORES DE CRESTA

1

2

1

2

V

VVCF

I

ICCF

hh

hh

)1(

)1(

11

11

VCFVVV

CCFIII

hhpico

hhpico

VCFV

V

V

VV

V

VV

CCFI

I

I

II

I

II

picopicopicopupico

picopicopicopupico

1

1

11

1

1)(

11

1

1)(

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RESONANCIA:En un circuito RLC se producirá resonancia cuando:

La frecuencia de resonancia será:

Y el orden armónico al cual se produce la resonancia:

CXLX

rCrrLr

1

LCr

1

L

cr X

Xf

LC

f

LCf 0

0

0

2

1

L

Crr X

X

LCf

fh

00

1

RESONANCIA SERIE:

La impedancia equivalente será:

Para cualquier armónico h:

El módulo de la impedancia:

Para la frecuencia resonante:

El Factor de Calidad Q:

CL XXjRZ

h

XhXjRhZ C

L)(

2

2

h

XhXRhZ C

L

rr

CLr X

h

XXh

L

Cr X

Xh

C

LXXX CLr 2

C

LXXX CLr

R

XQ r

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15

RESONANCIA SERIE:

0 500 1000 1500 2000 25000.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frecuencia [Hz]

IZI [

Oh

m]

RESONANCIA PARALELO:

La impedancia equivalente será:

La impedancia para cualquier armónico será:

CLCL

CL

CL

CL

CL

CL

XjXXXR

XjRX

XX

XXjR

XX

XRXj

Z

2

2

CLC

L

CL

CLC

L

CL

XXh

XhXR

XRXhZ

XjXh

XhXR

XjRXhZ

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RESONANCIA PARALELO:

En resonancia:

Y el Factor de Calidad:

rr

CLr X

h

XXh

L

Cr X

Xh

C

LXXX

C

LXXX

CLr

CLr

2

rX

RQ

RESONANCIA PARALELO:

0 500 1000 1500 2000 25000

5

10

15

20

Frecuencia [Hz]

IZI [

Oh

m]

Q=0,5Q=1Q=3

0 500 1000 1500 2000 2500-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

Frecuencia [Hz]

Fa

se [º

]

Q=0,5Q=1Q=3

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COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:

“Las tensiones o corrientes de un sistema trifásico puedendescomponerse como la suma de dos sistemas trifásicos, una desecuencia positiva y otro de secuencia negativa, mas unacomponente homopolar”

Lógicamente esto es aplicable a los armónicos:

Donde:a =‐0,5+j0,866=1120, y a2=‐0,5‐j0,866=1240

2

1

0

2

2

1

1

111

I

I

I

aa

aa

I

I

I

c

b

a

012* IAIabc abcIAinvI *)(012

COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Tercer armónico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

0

1

R

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

0

1

S

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

0

1

T

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Vr=V1+V3

COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Quito armónico

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

R

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

S

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -1

0

1

T

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 -0.5

0

0.5

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Vr=V1+V3+V5

Vr=V1+V3+V5+V7

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20

Vr=V1+V3+V5+V7+V9

COMPONENTES SIMÉTRICAS Y ARMÓNICOS:Secuencias de los componentes armónicos:

h 1 2 3 4 5 6 7

Sec + - 0 + - 0 +

h 8 9 10 11 12 13 14

Sec - 0 + - 0 + -

h 15 16 17 18 19 20 21

Sec 0 + - 0 + - 0

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21

Inyección de corriente armónica desbalanceada en un sistema de potencia AC desbalanceada

Solución de la Inyección de corriente armónica de las ecuaciones lineales simultaneas

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22

ORIGEN, EFECTOS, MEDICIÓN, CONFINAMIENTO