análisis comparativo de algunas teorías en el dominio de
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ANÁLISIS COMPARATIVO DE ALGUNAS TEORÍAS EN EL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA PARA LA DETECCIÓN DE
DISTORSIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
ANDRÉS MAURICIO LÓPEZ MURILLO
HARRYNSON RAMÍREZ MURILLO
UNIVERSIDAD TÉCNOLOGICA DE PEREIRA FALCUTAD DE INGENIERIAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, DE
FISÍCA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
PEREIRA 2007
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ANÁLISIS COMPARATIVO DE ALGUNAS TEORÍAS EN EL
DOMINIO DE LA FRECUENCIA PARA LA DETECCIÓN DE
DISTORSIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
ANDRÉS MAURICIO LÓPEZ MURILLO
HARRYNSON RAMÍREZ MURILLO
Trabajo de grado para optar el título de Ingeniero Electricista
Director
ALFONSO ALZATE GÓMEZ
UNIVERSIDAD TÉCNOLOGICA DE PEREIRA FALCUTAD DE INGENIERIAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, DE
FISÍCA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
PEREIRA 2007
3
NOTA DE ACEPTACIÓN
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_____________________________
Firma del presidente del jurado
_____________________________
Firma del jurado
_____________________________
Firma del jurado
Pereira, noviembre de 2007
4
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5
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………. 9
OBJETIVOS……………………………………………………………………………... 11
OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………………………………….. 11
OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………………………………………………. 11
CONTENIDO…………………………………………………………………………….. 12
1. CALIDAD DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA………………………………………... 14
1.1. ARMÓNICOS………………………………………………………………………………………. 18
1.2. FUENTES DE ARMÓNICOS…………………………………………………………………….. 191.2.1. CARGAS LINEALES…………………………………………………………………... 1912.2. CARGAS NO LINEALES………………………………………………………………19
1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS ARMÓNICOS……………………………………………………… 20
1.4. ÍNDICES DE EVALUACIÓN DE LA DISTORSIÓN ARMÓNICA………………………….. 211.4.1. ÍNDICE DE DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)…………………………….. 211.4.2. FACTOR DE DIVERSIDAD (FD)……………………………………………………....221.4.3. FACTOR DE ATENUACIÓN (FA)…………………………………………………….. 23
1.5. MARCO REGULATORIO……………………………………………………………………….. 231.5.1. ESTÁNDAR IEC 61000-4-30…………………………………………………………... 251.5.2. ESTÁNDAR IEEE 1159-1995…………………………………………………………...261.5.3. RESOLUCIÓN CREG 070 DEL 28 DE MAYO DE 1998……………………………... 271.5.4. RESOLUCIÓN CREG 024 DEL 26 DE ABRIL DE 2005…………………………….. 281.5.5. RESOLUCIÓN CREG 107 DEL 14 DE DICIEMBRE DE 2006………………………. 29
2. ANÁLISIS ESPECTRAL………………………………………………………. 31
2.1. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)………………………………………… 34
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO (STFT)…………………………… 35
2.3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON VENTANA DESLIZANTE (SDFT)… 39
3. ANÁLI SIS WAVELET………………………………………………………………. 44
3.1. TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA (CWT)……………………………………........ 45
3.2. TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA (DWT)…………………………………………. 47
6
3.3. ANÁLISIS MULTIRESOLUCIÓN (MRA), ALGORITMO PIRAMIDAL O CODIFICACIÓN SUB-BANDA DE UNA SEÑAL……………………………………………… 48
3.4. BANCO DE FILTROS…………………………………………………………………………….. 54
3.5. TRANSFORMADA WAVELET DAUBECHIES D4…………………………………………….57
4. FILTRO DE KALMAN (KF)…………………………………………………………. 62
4.1. MODELO 1………………………………………………………………………………………… 67
4.2. MODELO 2………………………………………………………………………………………… 69
5. MATERIALES…………………………………………………………………… 72
6. SIMULACIONES………………………………………………………………… 75
6.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES………………………………….. 75
6.2. FALLO LÍNEA-TIERRA………………………………………………………………………….. 76
6.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA TRFÁSICA BALANCEADA……………………………………………………………………………………. 77
6.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS………… 78
6.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS…………… 79
7. ANÁLISIS DE RESULTADOS………………………………………………… 80
7.1. DESARROLLO METODOLÓGICO…………………………………………… 80
7.2. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON VENTANA DESLIZANTE (SDFT)… 817.2.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES…………………………. 817.2.2. FALLO LÍNEA-TIERRA……………………………………………………………….. 867.2.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA…………………………………………………………… 937.1.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS…... 977.1.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS…… 99
7.2. TRANSFORMADA WAVELET DAUBECHIES D4………………………………………….. 1027.2.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES………………………... 1027.2.2. FALLO LÍNEA-TIERRA……………………………………………………………… 1067.2.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA………………………………………………………….. 1127.2.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS…. 1167.2.5. CARGA TRIFÁSICA BALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS………..118
7.3. FILTRO DE KALMAN MODELO 1…………………………………………………………….. 1217.3.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES………………………... 1217.3.2. FALLO LÍNEA-TIERRA……………………………………………………………… 123
7
7.3.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA TRFÁSICA BALANCEADA………………………………………………………….. 128
7.3.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS…. 1327.3.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS….. 135
CONCLUSIONES……………………………………………………………………… 140
A. TRANSFORMADA DE FOURIER…………………………………………… 143
B. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER………………. 145
B.1. LINEALIDAD………………………………………………………………………………………145
B.2. DERIVADA……………………………………………………………………………………….. 145
B.3. INTEGRAL………………………………………………………………………………………... 145
B.4. ESCALADO………………………………………………………………………………………. 145
B.5. DESPLAZAMIENTO…………………………………………………………………………….. 145
B.6. CONVOLUCIÓN…………………………………………………………………………………..146
B.7. SIMETRÍA………………………………………………………………………………………….146
B.8. MODULACIÓN…………………………………………………………………………………… 146
C. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LAS TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE SEÑALES………………………………………………………………………. 147
C.1. VECTORES BASE………………………………………………………………………………. 147
C.2. PRODUCTO INTERIOR………………………………………………………………………….147
C.3. ORTOGONALIDAD……………………………………………………………………………… 148
C.4. VECTORES ORTOGONALES EN EL PLANO………………………………………………. 148
C.5. ORTONORMALIDAD……………………………………………………………………………. 149
D. SUBESPACIOS VECTORIALES ANIDADOS……………………………... 150
E. TRANSFORMADA Z………………………………………………………….. 153
E.1. LINEALIDAD………………………………………………………………………………………153
E.2. DESPLAZAMIENTO TEMPORAL……………………………………………………………... 153
E.3. CONVOLUCIÓN…………………………………………………………………………………..153
8
E.4. DIFERENCIACIÓN……………………………………………………………………………… 153
E.5. ESCALAMIENTO………………………………………………………………………………… 154
E.6. INVERSIÓN EN EL TIEMPO…………………………………………………………………… 154
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………... 155
9
INTRODUCCIÓN
Históricamente el desarrollo tecnológico ha ido de la mano con el empleo de la
energía eléctrica, siendo cada vez mayor el porcentaje de su utilización en el
consumo energético total. El aumento de la sensibilidad hacia la calidad de la
energía eléctrica en los países industrializados, cuya productividad se encuentra
continuamente en crecimiento, se debe principalmente a la aparición de cargas no
lineales en los sistemas eléctricos (electrónica de potencia) que conllevan a una
situación problemática, donde las corrientes armónicas generadas por estos
mismos dispositivos distorsionan inevitablemente la onda de corriente y voltaje
sinusoidal original y se han convertido en un motivo de preocupación.
Con el crecimiento de las aplicaciones en electrónica y en particular, la tendencia
hacia procesos electrónicos y sistemas de comunicación, la incompatibilidad con
el entorno eléctrico ha aumentado, ya que los armónicos afectan la calidad de la
energía porque distorsiona la forma de onda sinusoidal de las señales de voltaje y
corriente, ocasionando efectos tales como pérdidas y calentamiento (conductores,
motores, transformadores, generadores, condensadores, etc.), operaciones
anormales y fallas de equipos (controladores de velocidad, PLC’s, PC’s, relés,
etc.), errores en los equipos de medida, efectos de resonancia, incrementos de
costos, entre otros.
Una característica importante de la electricidad, y que no se presenta en otros
productos, es que su utilización por parte de los consumidores modifica sus
características. La conexión de los aparatos de los clientes al sistema de
distribución de energía eléctrica da origen a que circulen corrientes eléctricas
proporcionales a la demanda de esos clientes. Estas corrientes al circular por los
conductores de la red van a dar origen a caídas de tensión. La amplitud de la
tensión suministrada a un cliente va a ser función en todo momento de las caídas
de tensión acumuladas en todos los elementos de la red por el que se alimenta el
10
cliente, y que va a estar afectada por su propia demanda y por la demanda
simultánea de otros clientes. Como la demanda de cada cliente está variando
continuamente, la tensión suministrada también lo hace en la misma forma.
Este estudio busca analizar algunas teorías en el domino de la frecuencia para la
detección de distorsiones en sistemas eléctricos de potencia a partir de
simulaciones realizadas de varios circuitos implementados en PSCAD 4.1.0,
donde se presentan los eventos más ocurrentes y que afectan la calidad de
energía.
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OBJETIVOS
Los objetivos a desarrollar en el presente proyecto de investigación son los
siguientes:
OBJETIVO GENERAL
Realizar un estudio comparativo de algunas teorías importantes para la detección
de distorsiones (en el dominio de la frecuencia) en sistemas eléctricos de potencia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Aprovechar algunas de las características más importantes de la transformada
discreta de Fourier con ventana deslizante (SDFT), la transformada Wavelet
Discreta (DWT) y el filtro de Kalman (KF) en la detección de distorsiones en
Sistemas Eléctricos de Potencia.
• Simular estas teorías para diferentes tipos de distorsiones de voltajes y
corrientes mediante el empleo del software PSCAD 4.1.0.
• Implementar las teorías estudiadas en el software Matlab 7.0 a los resultados
obtenidos de las simulaciones desarrolladas en PSCAD 4.1.0.
• Realizar un análisis comparativo entre los resultados obtenidos de las técnicas
de detección estudiadas.
12
CONTENIDO
Los capítulos de este estudio se encuentran estructurados de la siguiente forma:
Capitulo 1: Se definen las distintas perturbaciones asociadas a la calidad de la
energía eléctrica y se analiza el marco regulatorio tanto nacional como
internacional en los aspectos de la calidad de la energía eléctrica relacionados con
el análisis y medida de los eventos en la tensión de distribución. Se exponen
brevemente los principales grupos de fuentes armónicas y sus efectos en
conductores, transformadores, motores, condensadores, entre otros elementos
pertenecientes a un sistema eléctrico.
Capitulo 2: Se muestra un conjunto de métodos que determinan un análisis
espectral de una señal tales como la Transformada de Fourier contínua (FT),
discreta (DFT), rápida o de tiempo corto (STFT) y discreta con ventana deslizante
(SDFT), las cuales han sido desarrolladas en el presente estudio.
Capitulo 3: Se estudia la transformada Wavelet discreta (DWT) por medio del
análisis multiresolución o algoritmo piramidal que descompone señales de tiempo
discreto mediante el empleo de filtros con distintas frecuencias de corte, cuyos
coeficientes, dependen de la función Wavelet madre empleada. Se presenta un
desarrollo de la transformada Wavelet Daubechies D4.
Capitulo 4: Se desarrolla e implementa una metodología para el modelado de un
sistema mediante el empleo de variables de estado conocida como filtro de
Kalman (KF). Se analizan los modelos lineales I y II.
Capitulo 5: En este capítulo se establecen las características más importantes
acerca del software empleado tanto en la elaboración de las simulaciones PSCAD
4.1.0, junto a una descripción de la forma cómo fueron exportados los datos para
13
ser cargados y aplicarles posteriormente los algoritmos desarrollados en Matlab
7.0.
Capitulo 6: En este capítulo se ilustran las simulaciones realizadas mediante el
empleo del software PSCAD 4.1.0, el cual es un paquete especializado en el
análisis de sistemas eléctricos de potencia.
Capitulo 7: Se muestran los resultados obtenidos mediante la aplicación de los
algoritmos desarrollados en Matlab 7.0 a los datos importados de los circuitos
implementados en PSCAD 4.1.0.
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1. CALIDAD DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA
La distorsión armónica no es un fenómeno nuevo en los sistemas eléctricos de
potencia, pero desde hace cuatro décadas se ha convertido en un problema de
creciente actualidad debido al incremento considerable de las cargas
contaminantes en las redes eléctricas, en especial de los dispositivos
semiconductores y la electrónica de potencia. A causa del incremento de la
presencia de dichas cargas no lineales, la distorsión armónica de las tensiones y
corrientes ha ido aumentando, produciendo un mal funcionamiento de los distintos
elementos de los sistemas eléctricos.
El aumento en el número de receptores sensibles a la calidad del voltaje y
corriente en sistemas de potencia, va a la par con un aumento del volumen de la
carga distorsionante, especialmente los convertidores de energía. Estos procesos
inducen la necesidad de la estimación cuidadosa de diversos parámetros
prácticamente en todo instante [1].
Uno de los desafíos de la estimación de la calidad de energía consiste en el
estudio de la forma de onda de la señal, siendo esta tarea la que emplea mayor
cantidad de tiempo de cómputo. Una evaluación en la forma de onda consiste en
un análisis en estado permanente y transitorio. Existen algunos algoritmos del
voltaje y corriente para el análisis de la forma de onda, pero la evaluación de la
eficacia de cada algoritmo implica la valoración de su exactitud combinada con la
potencia de cómputo requerida. Desafortunadamente, lo último tiene un significado
importante en caso de que la medición se amerite en tiempo real (on-line).
La instrumentación y la medida de la calidad de la energía eléctrica dan lugar
generalmente a un gran volumen de datos. Estos pueden ser preprocesados para
eliminar los que no son necesarios y varios métodos podrían ser empleados para
aumentar la exactitud de los datos. Métodos tales como el análisis estadístico, se
15
pueden utilizar después del procesado de los datos. En algunos casos puede que
el volumen de datos almacenados sea reducido, pero incluso con el uso agresivo
de métodos de selección de datos, los volúmenes anuales que se podrían
necesitar para almacenar para un sistema de solamente diez puntos de
instrumentación, se encuentran en el rango de los GB. Este nivel del volumen de
datos causa problemas en almacenamientos de larga duración, pero lo más
importante es que hay dificultades en la utilización de los datos debido al gran
volumen [2].
Desde el punto de vista socio-económico actual las empresas de generación y
distribución de energía eléctrica deben afrontar dos retos importantes:
• Aumentar la capacidad de generación y distribución de energía eléctrica
para responder a la demanda creciente:
Existen limitaciones en las compañías eléctricas en cuanto a su capacidad de
expansión de la generación y transmisión de la energía eléctrica. Esta situación
se aprecia notablemente en los países industrializados, donde los sistemas de
distribución están funcionando muy cerca del límite de su capacidad máxima,
debido entre otros factores a la falta de las inversiones necesarias.
• Asegurar la calidad de la energía eléctrica suministrada:
La electricidad no puede ser solamente entendida como un producto que tiene
que cumplir unos parámetros de calidad que aseguren el correcto
funcionamiento de los equipos conectados a las redes de distribución, sino que
la demanda general de una mayor calidad de la energía eléctrica es
fundamental debido al desarrollo tecnológico.
Pese al tiempo transcurrido, no existe una definición completamente aceptada del
término calidad del suministro eléctrico o calidad de la energía eléctrica en la
16
comunidad internacional [3]. El estándar IEC 61000-4-30 [4] define la calidad de
energía como las “características de la electricidad en un punto dado de una red
de energía eléctrica, evaluadas con relación a un conjunto de parámetros técnicos
de referencia”, mientras que el estándar IEEE 1159-1995 [5] define la calidad de la
energía eléctrica como “una gran variedad de fenómenos electromagnéticos que
caracterizan la tensión y la corriente en un instante dado y en un punto
determinado de la red eléctrica”.
La calidad del suministro de energía eléctrica, puede ser considerada entonces
como la combinación de la disponibilidad del suministro eléctrico junto con la
calidad de la tensión y la calidad de la corriente suministradas, entendiendo la falta
de calidad como la desviación de esas magnitudes de su forma ideal.
La posibilidad de daños o averías en los elementos que componen el sistema de
generación, transporte o distribución de la energía eléctrica, debidos a múltiples
causas, como condiciones climáticas, desgaste, envejecimiento, la propia
actividad humana, el efecto de los animales u otros, también pueden afectar o
interrumpir el suministro de energía eléctrica a los clientes. Por tanto, los factores
que definen la calidad de la energía eléctrica se conocen como perturbaciones, las
cuales pueden ser transitorias o estacionarias (interrupciones del servicio,
variaciones de tensión, presencia de armónicos, etc.) y dependen tanto del
generador y del distribuidor como del propio cliente, por lo cual para asegurar unos
niveles mínimos de calidad en el suministro eléctrico es necesaria la cooperación
de todos los agentes que intervienen en el proceso.
El efecto más importante que produce la pérdida de la calidad de la energía
eléctrica es el mal funcionamiento o la avería de los equipos conectados a la red
de distribución. Los equipos eléctricos y electrónicos, como los computadores
personales, autómatas programables, equipos de iluminación, equipos de
electrónica de consumo, etc., pueden funcionar de forma incorrecta si la energía
eléctrica suministrada se interrumpe solamente durante unas décimas de segundo
17
o incluso centésimas de segundo. Este mal funcionamiento de los equipos puede
originar problemas importantes en un entorno residencial o comercial, pero los
efectos económicos que pueden producir en los procesos industriales la parada o
la avería de los equipos, pueden ser considerables.
En la actualidad, y desgraciadamente, los equipos electrónicos proporcionan
efectos muchos mayores que requieren atención en sus aplicaciones en los
sistemas eléctricos. Fenómenos que antes eran secundarios como
sobretensiones, distorsión armónica, variaciones de frecuencia, etc., son ahora de
gran notoriedad.
Un sistema eléctrico ideal debe proporcionar un voltaje con las siguientes
características:
• Amplitud constante
• Forma de onda sinusoidal
• Frecuencia constante
• Simetría para redes trifásicas
Sin embargo, un sistema eléctrico real no cumple con las características ideales
mencionadas anteriormente. En la práctica, las redes eléctricas presentan una
serie de alteraciones o perturbaciones que afectan la calidad del servicio, dentro
de las cuales destacan las siguientes:
• Variaciones de frecuencia
• Variaciones de la amplitud del voltaje
• Sobretensiones
• Asimetrías entre las fases
• Deformaciones en voltajes y corrientes
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La existencia de señales con contenido armónico juega un papel primordial en un
sistema eléctrico, tanto por las distorsiones como los daños que causan las
mismas. A continuación se explicará en qué consiste un armónico, los tipos de
armónicos, los efectos causados por los mismos, junto al marco regulatorio tanto
nacional como internacional que los involucra.
1.1. ARMÓNICOS
Los armónicos son tensiones o corrientes cuyas frecuencias son múltiplos enteros
de la frecuencia fundamental (60Hz). Estos son resultado de la electrónica
moderna y se encuentran en dispositivos que absorben corrientes en cortos
impulsos, a diferencia de una carga resistiva, la cual lo hace en forma sinusoidal.
Este comportamiento presenta efectos sobre los dispositivos eléctricos [6] tales
como se aprecian en la siguiente tabla:
EFECTO DE LOS
ARMÓNICOS SOBRE CAUSAS CONSECUENCIAS
CONDUCTORES
• Las intensidades armónicas provocan el aumento de la IRMS.
• El efecto piel reduce la sección efectiva de los conductores a medida que aumenta la frecuencia.
• Disparos intempestivos de las protecciones.
• Sobrecalentamiento de los conductores
CONDUCTOR DE
NEUTRO
• Cuando existe una carga trifásica con neutro equilibrada que genera armónicos de secuencia cero.
• Calentamientos y sobreintensidades.
TRANSFORMADORES
• Aumento de la IRMS. • Las pérdidas por Foucault son
proporcionales al cuadrado del la frecuencia, las pérdidas por histéresis son proporcionales a la frecuencia.
• Aumento del calentamiento por efecto Joule en los devanados.
• Aumento de las pérdidas en el hierro.
MOTORES • Análogas a las de los
transformadores y generación de un campo adicional al principal.
• Análogas a las de los transformadores más las pérdidas de rendimiento.
CONDENSADORES • Disminución de la impedancia del
condensador con el aumento de la frecuencia.
• Envejecimiento prematuro, amplificación de los armónicos existentes.
Tabla 1: Causas y consecuencias de los armónicos sobre elementos eléctricos.
19
1.2. FUENTES DE ARMÓNICOS
Aunque tradicionalmente los condensadores y los transformadores en condiciones
de saturación generan distorsiones armónicas, en la actualidad existe una gran
contribución de estas por parte de los modernos dispositivos electrónicos
conectados al sistema de potencia. Generalmente estos ocurren cuando existe
cargas conectadas tales como computadores personales, dispositivos variadores
de frecuencia o convertidores (AC y DC) etc.
Existen dos tipos de cargas: monofásicas y trifásicas y, según su comportamiento
pueden ser clasificadas en lineales y no lineales.
1.2.1. CARGAS LINEALES
Son aquellas que al ser excitadas por una tensión sinusoidal, la corriente que
circula por ella también es sinusoidal y de la misma frecuencia, aunque puede
variar su amplitud o fase, es decir, la corriente es proporcional al voltaje aplicado.
Las cargas tales como resistencias, capacitancias e inductancias se comportan de
forma lineal.
12.2. CARGAS NO LINEALES
Son aquellas que al ser conectadas a la red absorben corrientes en impulsos
bruscos, los cuales crean ondas de corriente distorsionadas que originan a su vez
corrientes armónicas de retorno hacia otras partes del sistema de alimentación. Su
principal característica es la presencia de dispositivos semiconductores de estado
sólido. Elementos tales como convertidores estáticos de potencia, dispositivos
magnéticos saturados, entre otros, se comportan de manera no lineal.
En general, los armónicos son producidos por cargas no lineales, lo cual significa
que su impedancia no es constante (está en función de la tensión). Estas cargas
no lineales a pesar de ser alimentadas con una tensión sinusoidal, absorben una
20
intensidad no sinusoidal pudiendo estar la corriente desfasada un ángulo
determinado, respecto a la tensión.
Entre algunas fuentes de frecuencia armónicas [6] se pueden encontrar las
siguientes:
•••• Convertidores AC/DC.
•••• Dispositivos de arco.
•••• Balastros de lámparas fluorescentes.
•••• Motores de inducción sobrecargados.
•••• Convertidores multifase.
•••• Elementos magnéticos saturables.
•••• Capacitores en serie y en paralelo.
•••• Variadores de velocidad de motores.
•••• Oscilaciones de baja frecuencia.
•••• Problemas de neutro.
•••• Corrientes de Inrush.
•••• Transformadores Y-Y.
1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS ARMÓNICOS
Los armónicos pueden ser clasificados de la siguiente forma:
NOMBRE 1º
(Fundamental) 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
FRECUENCIA (HZ) 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600
SECUENCIA + - 0 + - 0 + - 0 +
Tabla 2: Clasificación de los armónicos
21
Como los armónicos circulantes por la red normalmente son impares entonces se
tiene que:
NOMBRE 1º
(Fundamental) 3º 5º 7º 9º 11º 13º 15º 17º
FRECUENCIA (HZ) 60 180 300 420 540 660 780 900 1020
SECUENCIA + 0 - + 0 - + 0 -
Tabla 3: Clasificación de los armónicos circulantes por la red.
Dependiendo de su secuencia, los armónicos presentan diferentes efectos [7], los
cuales se presentan en la siguiente tabla:
SECUENCIA SENTIDO DE
GIRO EFECTOS
POSITIVA (+) Horario • Calentamiento de conductores.
• Rotura de circuitos.
NEGATIVA (-) Antihorario
• Frenado de motores.
• Calentamiento de conductores.
• Pueden quemar los motores de inducción trifásicos.
CERO (0) No giran • Se suman al neutro de la red (si tiene cuatro hilos)
y causan sobrecalentamientos.
Tabla 4: Efectos debidos a la secuencia de los armónicos.
1.4. ÍNDICES DE EVALUACIÓN DE LA DISTORSIÓN ARMÓNICA
1.4.1. ÍNDICE DE DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)
El método más usado para medir la distorsión armónica en un sistema de potencia
es la distorsión armónica total (THD), este puede ser calculado para la corriente o
para la tensión, dependiendo de donde se quiera medir la distorsión. Este índice
se define como la relación existente entre el valor eficaz del total de las
componentes armónicas, y el valor eficaz correspondiente a la componente
22
fundamental. Este valor es usualmente expresado como un porcentaje de la onda
fundamental.
2 2
2 2
1 1
100% 100%K V
K K
I V
I I
THD THDI V
∞ ∞
= == =� �
(1.1)
Donde:
k� Número de la componente armónica
1 1,I V � Valores eficaces de las ondas fundamentales de corriente y voltaje.
,k kI V �Valores eficaces del armónico k.
El THDI puede variar desde pocas unidades porcentuales hasta superar el 100%,
como ocurre en las fuentes de potencia conmutadas.
Aunque los armónicos de corriente de frecuencia más elevada pueden tener
valores pequeños, al ser las reactancias de la línea y de los transformadores
proporcionales a la frecuencia, los armónicos de tensión pueden tomar valores
significativos.
1.4.2. FACTOR DE DIVERSIDAD (FD)
Las dispersiones en el ángulo de fase de los armónicos de cargas individuales
provocan una disminución de las corrientes armónicas en la red. Este efecto
conocido como diversidad, se debe principalmente a diferencias en los parámetros
del sistema de distribución y a los de la propia carga.
El factor de diversidad de corriente (FDk) se define para cualquier armónico k y un
conjunto de n cargas conectadas en paralelo, como la magnitud del fasor de la
corriente de red, dividido por la suma de magnitudes de las corrientes individuales
para el mismo orden de armónico.
23
( )1
( )1
n
k i
ik n
k i
i
I
FD
I
→
=
=
=�
�(1.2)
Este factor varía entre 0 y 1. Un bajo valor de este índice implicará una
cancelación importante para el armónico bajo análisis.
1.4.3. FACTOR DE ATENUACIÓN (FA)
La atenuación es provocada por la propia impedancia del sistema de potencia y
por la correspondiente distorsión de tensión, que tiende a reducir las corrientes
armónicas en la red producida por cargas no lineales.
El factor de atenuación FAK para el armónico k, está definido como la magnitud de
la corriente total del armónico k cuando n cargas idénticas están conectadas en
paralelo, dividida por n veces la magnitud de la corriente de una única carga.
( )
(1)
k n
k
k
IFA
nI= (1.3)
Donde:
( )k nI � Corriente para el armónico k con n cargas conectadas en paralelo.
(1)kI � Corriente para el armónico k con una sola carga conectada.
1.5. MARCO REGULATORIO
La Comisión Electrotécnica Internacional (IEC) en su normativa sobre
compatibilidad electromagnética clasifica las perturbaciones electromagnéticas de
la siguiente forma [8]:
24
Fenómenos conducidos de baja frecuencia
•••• Armónicos, interarmónicos. •••• Señales transmitidas en la red. •••• Fluctuaciones de tensión. •••• Huecos de tensión e interrupciones. •••• Desequilibrio de tensiones. •••• Variaciones de frecuencia. •••• Voltajes inducidos de baja frecuencia. •••• Componente de continua en redes de
alterna.
Fenómenos radiados de baja frecuencia • Campos magnéticos. • Campos eléctricos.
Fenómenos conducidos de alta frecuencia
• Tensiones o corrientes inducidas de onda continua.
• Transitorios unidireccionales. • Transitorios oscilatorios.
Fenómenos radiados de alta frecuencia
• Campos eléctricos. • Campos magnéticos. • Campos electromagnéticos (radio). • Ondas continuas. • Transitorios.
Tabla 5: Clasificación de las perturbaciones armónicas según IEC.
Dependiendo del entorno es posible encontrar diferentes tipos de perturbaciones
electromagnéticas. Las perturbaciones radiadas de baja o alta frecuencia suelen
ser de naturaleza electromagnética, causadas por equipos tales como líneas de
alta tensión, antenas, aparatos magnéticos, transmisores de radio, radares, etc.
Las perturbaciones conducidas tanto de baja como de alta frecuencia, suelen estar
producidas por el acoplamiento de grandes cargas como convertidores de
potencia, motores eléctricos, bancos de condensadores o circulación de corrientes
de fallo por las redes de distribución. Los fenómenos de descarga electrostática,
por su parte, se producen por la acumulación de carga estática en personas u
objetos con la consiguiente posibilidad de descarga cuando se entra en contacto
con ellos.
Un aspecto importante a tener en cuenta es que la eliminación completa de las
perturbaciones electromagnéticas es imposible. Por ello, los equipos se deben
adecuar para disminuir al máximo las emisiones que generan, y que pueden
afectar al funcionamiento de otros equipos y al mismo tiempo deben reducir las
repercusiones que puedan tener esas alteraciones en su propio funcionamiento.
25
1.5.1. ESTÁNDAR IEC 61000-4-30
En este estándar se determinan los métodos de medida de los parámetros de la
calidad en el suministro de energía eléctrica, y el modo de interpretar los
resultados. En esta norma se expresan los métodos de medida sin fijar los
umbrales. Entre otros parámetros el estándar define los métodos de detección y
evaluación de los huecos de tensión, sobretensiones temporales y las
interrupciones de la tensión de suministro.
Se define el valor URMS(1/2) como la magnitud básica para caracterizar un hueco,
interrupción o sobretensión en la tensión de alimentación. El valor URMS(1/2) se
define como la tensión RMS medida sobre un ciclo, comenzando en el cruce por
cero de la señal fundamental, y actualizada cada medio ciclo.
Un hueco de tensión comienza cuando la magnitud URMS(1/2) cae por debajo del
umbral de detección, y termina cuando el valor URMS(1/2) es igual o superior al
umbral de detección más una tensión de histéresis (esta histéresis es en general
igual al 2% de la tensión declarada). En lugar de utilizar un umbral de detección
sobre la tensión declarada, el estándar también establece la posibilidad de
emplear una tensión de referencia deslizante, definida como un valor de tensión
promediado en un intervalo de tiempo especificado, que representa la tensión que
precede al hueco.
Los huecos de tensión se caracterizan por un par de datos:
• Tensión residual o la profundidad.
• Duración.
La tensión residual es el menor valor de URMS(1/2) medido durante el hueco y la
profundidad de un hueco de tensión se define como la diferencia entre la tensión
de referencia y la tensión residual, y en general se expresa en porcentaje de la
26
tensión de referencia. Por su parte, la duración de un hueco de tensión se define
como la diferencia del tiempo entre el inicio y el final del hueco de tensión.
Una sobretensión temporal en la tensión de suministro, comienza cuando la
magnitud URMS(1/2) sobrepasa el umbral y termina cuando el valor URMS(1/2) es igual
o inferior al umbral de detección menos una tensión de histéresis. También en
este caso se puede emplear una tensión de referencia deslizante, en lugar de la
tensión declarada como umbral de detección.
Las sobretensiones temporales también se caracterizan por un par de datos:
• Amplitud máxima de la sobretensión.
• Duración.
La amplitud máxima es el mayor valor de URMS(1/2) medido durante la sobretensión,
y su duración es la diferencia de tiempo entre el comienzo y el final de la
sobretensión temporal.
Para la evaluación de las interrupciones de la tensión de suministro, se considera
que una interrupción comienza cuando el valor URMS(1/2) cae por debajo del umbral
de interrupción de tensión y termina cuando el valor URMS(1/2) es igual o superior al
umbral de interrupción de tensión mas la histéresis. La duración de una
interrupción de tensión es la diferencia entre el comienzo y el final de la
interrupción [4].
1.5.2. ESTÁNDAR IEEE 1159-1995
Se definen siete categorías distintas de fenómenos electromagnéticos en redes
eléctricas: transitorios, variaciones de corta duración, variaciones de larga
duración, desequilibrio de la tensión, distorsión de la forma de onda, fluctuaciones
de tensión y variaciones de la frecuencia.
27
La categoría de variaciones de corta duración comprende los huecos de tensión,
las interrupciones y lo que denomina la antítesis al hueco de tensión o “swell”.
Cada tipo se clasifica en instantáneo, momentáneo o temporal dependiendo de su
duración, como se indica en la siguiente tabla [5]:
CATEGORÍA DURACIÓN TÍPICA MAGNITUD TÍPICA DE LA
TENSIÓN VARIACIONES DE CORTA DURACIÓN
INSTANTÁNEA • Hueco 0.5 – 30 ciclos 0.1 - 0.9 p.u. • Swell 0.5 – 30 ciclos 1.1 - 1.8 p.u.
MOMENTÁNEA • Interrupción 0.5 ciclos - 3 s < 0.1 p.u. • Hueco 30 ciclos - 3 s 0.1 - 0.9 p.u. • Swell 30 ciclos - 3 s 1.1 - 1.4 p.u.
TEMPORAL • Interrupción 3 s – 1 min. < 0.1 p.u. • Hueco 3 s – 1 min. 0.1 – 0.9 p.u. • Swell 3 s – 1 min. 1.1 – 1.2 p.u.
VARIACIONES DE LARGA DURACIÓN• Interrupción sostenida > 1min 0.0 p.u. • Bajada de tensión > 1min 0.8 - 0.9 p.u • Sobretensión > 1min 1.1 – 1.2 p.u.
Tabla 6: Clasificación de las variaciones de corta y larga duración.
1.5.3. RESOLUCIÓN CREG 070 DEL 28 DE MAYO DE 1998
Se definen y se hacen operativos los criterios técnicos de calidad, confiabilidad y
seguridad del servicio de energía eléctrica; además se establecen procedimientos
para la planeación, operación y expansión de los sistemas de transmisión regional
(STR’s) y los sistemas de distribución local (SDL’s), y se definen normas para el
diseño y ejecución del plan de inversiones y conexiones al sistema, entre otros.
Los sistemas de transmisión regional y/o local se clasifican por niveles, en función
de la tensión nominal de operación tal como se ilustra en la siguiente tabla:
28
NIVEL TENSIÓN NOMINAL (kV)
I Menores a 1
II Mayor o igual a 1 y menor que 30
III Mayor o igual a 30 y menor a 62
IV Mayor o igual a 62
Tabla 7: Niveles de clasificación de los sistemas de transmisión regional y/o local.
Se establece que la calidad de potencia entregada por un operador de red (OR),
se relaciona con las desviaciones de los valores especificados para las variables
de tensión y la forma de las ondas de tensión y corriente.
Se conocen como armónicos el contenido de ondas con frecuencias que son
múltiplos de la frecuencia normal de suministro (60 Hz) y son el resultado de
cargas no lineales en el STR y/o SDL. La distorsión que el usuario produce a la
empresa de energía depende de las corrientes armónicas que le inyecte y de la
respuesta de impedancia del sistema a estas frecuencias. En ese sentido se ha
establecido que los límites de distorsión armónica permitidos a los usuarios se
midan en corrientes. Además la distorsión que la empresa de energía le produce
al usuario se mide en la forma de onda de la tensión en el punto de frontera
existente entre ellos [9].
1.5.4. RESOLUCIÓN CREG 024 DEL 26 DE ABRIL DE 2005
Se establecen estándares de calidad de la potencia suministrada y se definen
fenómenos calificadores que miden la calidad de potencia (CPE) suministrada por
un operador de red (OR) tales como desviaciones en la frecuencia y magnitud de
la tensión estacionaria y distorsión armónica de la onda de tensión.
Los límites máximos de distorsión total de voltaje (THDV) son los siguientes:
29
TENSIÓN DEL SISTEMA THDV MÁXIMO (%)
Niveles de tensión I, II y III 5.0
Nivel de tensión 4 2.5
STN 1.5%
Tabla 8: Límites máximos de THDV.
El operador de red (OR) tendrá un plazo de treinta días hábiles para corregir las
deficiencias en la calidad de potencia suministrada. Cuando estas deficiencias
provienen del usuario conectado al sistema de transmisión regional (STR) y/o
sistema de distribución local (SDL), el OR, como responsable de la calidad de la
potencia, le dará un plazo de treinta días hábiles al Usuario para la solución del
problema. En este caso, si transcurrido el plazo fijado no se ha efectuado la
corrección pertinente, el OR debe desconectar al Usuario respectivo, informando a
la Superintendencia de Servicios Públicos Domiciliarios (SSPD) con dos días
hábiles de anticipación al corte [10].
1.5.5. RESOLUCIÓN CREG 107 DEL 14 DE DICIEMBRE DE 2006
En esta resolución se ordena hacer público un proyecto de resolución de carácter
general, que pretende adoptar la Comisión de Regulación de Energía y Gas
(CREG) con el fin de modificar la Resolución CREG 024 de 2005 que establece
las normas de calidad de la potencia eléctrica aplicables a los servicios de
Distribución de Energía Eléctrica.
Se establece que el operador de red (OR) debe garantizar que las deficiencias en
la calidad de potencia que se presenten, durante el plazo previsto para su
corrección, no ocasionen peligro para la seguridad de las personas, la vida
ambiental y vegetal o la preservación del medio ambiente, en cuyo caso será
inmediata la desconexión del equipo causante de la deficiencia o en su defecto de
la carga del usuario respectivo.
30
Los OR’s deberán instalar los respectivos sistemas de medición de calidad de la
potencia suministrada de tal forma que a partir del 3 de septiembre de 2007, sea
posible realizar mediciones en el 100% de las barras de las subestaciones y
circuitos de los niveles de tensión 2, 3 y 4 [11].
31
2. ANÁLISIS ESPECTRAL
Muchos fenómenos físicos pueden ser descritos mediante dos variables: el tiempo
(variable independiente) y la amplitud (variable dependiente), obteniéndose de
este modo una representación tiempo-amplitud de la señal; si embargo esta
representación no siempre es la mas apropiada, ya que la información que
caracteriza a la señal puede ser observada más claramente en el dominio de la
frecuencia (espectro), hecho por el cual es necesario disponer de dicha
representación.
Figura 2.1: Representación en el domino del tiempo de una señal estacionaria de 60 Hz1.
Figura 2.2: Representación en el dominio de la frecuencia de una señal estacionaria de 60 Hz2.
1 Anexo I, Ejemplo1.m, el cual se encuentra en el CD adjunto al presente estudio realizado 2 Anexo I, Ejemplo1.m
32
Como puede observarse, la Transformada de Fourier (FT) entrega la información
de frecuencia de la señal (60 Hz), pero no se indica el instante de tiempo en el que
aparece lo cual es de gran importancia para señales no estacionarias, es decir,
para señales cuyas componentes de frecuencia no se encuentran presentes en
todo instante de tiempo.
Si x(t) es una señal estacionaria con cuatro componentes de frecuencias distintas
de 60, 180, 300 y 420 Hz, se obtiene lo siguiente:
Figura 2.3: Representación en el dominio del tiempo de una señal estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz3.
Figura 2.4: Representación en el dominio de la frecuencia de una señal estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz Anexo I (Ejemplo1.m)4
.
3 Anexo I, Ejemplo1.m 4 Anexo I, Ejemplo1.m
33
Si x(t) es una señal no estacionaria con cuatro componentes de frecuencias
distintas (60, 180, 300 y 420 Hz ), al realizarle la respectiva FT, se puede
observar que presenta una gran similitud con la representación en el dominio de la
frecuencia anterior, a pesar de que las señales en el tiempo son completamente
diferentes. Esto se debe a que la FT sólo proporciona el contenido frecuencial de
la señal y no la localización en el tiempo de dichas componentes espectrales. Por
tal motivo la FT no es una técnica adecuada para señales en las cuales existe una
relación tiempo-frecuencia (señales nos estacionarias).
Figura 2.5: Representación en el dominio del tiempo de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz5.
Figura 2.6: Representación en el dominio de la frecuencia de una señal no estacionaria con
componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz6.
5 Anexo I, Ejemplo1.m 6 Anexo I, Ejemplo1.m
34
En el anexo A y B se encuentran la definición, junto a las condiciones de
existencia y las propiedades de la transformada de Fourier respectivamente.
Como los procesos numéricos son realizados por computadores, es evidente que
no es posible de manera práctica evaluar las transformadas empleando
ecuaciones analíticas, integrales, etc. Por lo tanto, es necesaria la discretización
de la transformada, lo cual se logra muestreando el plano tiempo-frecuencia.
2.1. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
Sea x(n) una señal definida en el dominio del tiempo discreto de N muestras,
entonces se define la Transformada Discreta de Fourier (DFT) como:
10 ;)(1
0
2
−≤≤= �−=
=
−NkenxX
Nn
n
N
knj
K
π
(2.1)
Donde Xk es la componente k-ésima del espectro.
Para recuperar la señal original, la Transformada Inversa de Fourier (IDFT) se
define como:
�−=
=
=1
0
21 Nk
k
N
knj
kn eXN
x
π
(2.2)
La DFT se define como una operación lineal que actúa sobre un vector de entrada
Nx en el dominio del tiempo discreto de N muestras, que genera coeficientes NX
de longitud N, tal como se ilustra:
NNN xFX = (2.3)
35
Donde NF se conoce como una matriz de transformación, cuya dimensión es NxN
[13]:
������
�
�
������
�
�
=
−−−−−−
−−−−
−−−−
2)1()1*(2)1(0
)1*(2420
)1(210
0000
N
N
N
N
N
NN
N
NNNN
N
NNNN
NNNN
N
WWWW
WWWW
WWWW
WWWW
F
�
�����
�
�
�
(2.4)
N
kj
K
N eW
π2
= (2.5)
La DFT proporciona el contenido frecuencial (espectro) de una señal, hecho por el
cual es un método adecuado para el análisis de señales estacionarias. Si la señal
no es estacionaria, es necesario el conocimiento simultáneo de la información
temporal y frecuencial.
2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO CORTO (STFT)
La Short Time Fourier Transform (STFT), que es una versión modificada de la
DFT, divide la señal no estacionaria en pequeños trozos en los cuales se supone
estacionaria, lo cual se logra empleando una función ventana de determinada
anchura que se va desplazando y multiplicando con la señal. Al aplicársele La DFT
a cada trozo, se obtiene una distribución tiempo-frecuencia de la señal.
Lo anterior puede ser resumido mediante la siguiente ecuación [14]:
*( , ) ( ) ( )window jwt
X
t
STFT ti w x t window t ti e dt−� �= ⋅ − ⋅� � (2.6)
36
Donde x(t) es la señal original y window(t) es la función ventana empleada.
Figura 2.7: Representación gráfica de la STFT.
En la figura anterior se muestra una función ventana tipo triangular, localizada en
1tt = , 2tt = y 3tt = , lo cual corresponde a tres FT’s en tres tiempos distintos. Por lo
tanto, se obtendrá una buena representación Tiempo-Frecuencia de la señal.
Si se considera x(t) como la señal no estacionaria analizada en hojas anteriores, al
realizarle la STFT, se obtienen los siguientes resultados:
Figura 2.8: Representación en el dominio del tiempo de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz7.
7 Anexo I, Ejemplo2.m
37
Figura 2.9: Espectrograma de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz8.
Figura 2.10: Plano Tiempo-Frecuencia de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz9.
Figura 2.11: Función Ventana empleada en el dominio del tiempo10.
8 Anexo I, Ejemplo2.m 9 Anexo I, Ejemplo2.m 10 Anexo I, Ejemplo2.m
38
Como puede observarse en los resultados anteriormente obtenidos, la STFT se
puede representar en tres dimensiones: tiempo, frecuencia y amplitud,
presentándose picos que corresponden a las componentes de frecuencia de la
señal original, los cuales se encuentran presentes en diferentes intervalos de
tiempo. De esta forma se obtiene una representación tiempo-frecuencia de la
señal, puesto que se conocen las componentes de frecuencia de la señal junto su
respectiva ubicación en el tiempo.
Según el principio de incertidumbre de Heisemberg, no es posible determinar una
representación exacta Tiempo-Frecuencia de la señal, sino tan sólo los intervalos
de tiempo en los cuales existen determinadas bandas de frecuencia, hecho por el
cual surge un problema de resolución [15].
La razón por la cual en la TF existe una perfecta resolución es el hecho de que la
función ventana empleada es una exponencial jwte , la cual existe para todo
instante de tiempo )( +∞<<−∞ t . En la STFT la ventana es de longitud finita, es
decir, sólo se aplica a una parte de la señal lo que conlleva a una disminución de
la resolución en la frecuencia, que sólo permite conocer una banda de frecuencias
y no un valor exacto de frecuencias.
La selección de una ventana para el análisis depende de la aplicación,
dependiendo de la resolución deseada en tiempo y frecuencia: si se emplea una
ventana estrecha, se obtiene una buena resolución en el tiempo y una pobre
resolución en el dominio de la frecuencia, mientras si se utiliza una ventana ancha,
se consigue una buena resolución en el dominio de la frecuencia, pero una pobre
resolución en el dominio del tiempo.
39
2.3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON VENTANA
DESLIZANTE (SDFT)
Este método consiste en realizar la DFT dentro de una ventana de N puntos que
se va desplazando muestra a muestra. Cada nueva DFT se calcula eficientemente
a partir de los resultados de la anterior DFT, con el consiguiente ahorro en la
cantidad de operaciones [16-17].
Sea una señal en el tiempo discreta, la cual puede ser considerada como una
secuencia:
... ( 2), ( 1), (0), (1),..., ( ), ( 1)x x x x n x n− − + (2.7)
En algunas aplicaciones es posible analizar la señal empleando una ventana
deslizante de una longitud definida. Por ejemplo considérese en el instante n, una
ventana de una secuencia de N muestras formada tal como se ilustra a
continuación:
( ) { ( ), ( 1),..., ( 1), ( )}x n x n N x n N x n x n= − − + + (2.8)
Aplicando DFT se Obtiene
0 1 2 1( ) { , ,... ,... , }k N nX n X X X X X− −= (2.9)
La DFT y la FFT son útiles cuando todos los N valores de la x(n) son requeridos,
pero si se requiere solo el k-ésimo es un proceso computacionalmente ineficiente.
Básicamente la SDFT proviene de la observación que para dos instantes de
tiempo consecutivos n y n+1, las secuencias de la ventana x(n) y x(n+1)
contienen esencialmente los mismos elementos.
40
Sea una ventana de N muestras, entonces al evaluar la expresión (2.8) en los
instantes n y n+1 se obtiene:
(2.10)
( 1) { ( 1), ( 2),..., ( ), ( 1)}x n x n N x n N x n x n+ = − + − + + (2.11)
De (2.20) se calcula la componente k-ésima del espectro de (2.10) y (2.11):
( 1)( ) ( ) ( 1) ,.. ( )k N k
k N NX n x n N x n N W x n W −= − + − + + + (2.12)
( 1)( 1) ( 1) ( 2) ,.. ( 1)k N k
k N NX n x n N x n N W x n W −+ = − + + − + + + + (2.13)
Recordando de (2.5) que N
kj
K
N eW
π2
= se procede a aplicar el algoritmo SDFT de la
siguiente forma:
• Se reemplaza el primer elemento de XK(n) por el último elemento de XK(n+1):
( ) ( ) ( ) ( 1)k kX n X n x n N x n∧
= − − + + (2.14)
• Se lleva a cabo un corrimiento circular por una muestra en la secuencia
reemplazada anteriormente (a la izquierda), lo cual permite relacionar las DFT’s de
dos secuencias sucesivas tal como se ilustra:
2
( 1) x ( )j k
NkkX n n e
π∧
+ = (2.15)
Reemplazando (2.14) en (2.15) se obtiene la siguiente expresión:
2
( 1) [ ( ) ( ) ( 1)]j k
NkkX n X n x n N x n e
π
+ = − − + + (2.16)
( ) { ( ), ( 1),..., ( 1), ( )}x n x n N x n N x n x n= − − + −
41
Si se considera x(t) como la señal no estacionaria analizada en hojas anteriores, al
realizarle la STFT, se obtienen los siguientes resultados:
Figura 2.12: Espectro entre 0 y 0.125 s11.
Figura 2.13: Espectro entre 0.125 y 0.25 s12.
Figura 2.14: Espectro entre 0.25 y 0.375 s13.
11 Anexo I, Ejemplo3.m 12 Anexo I, Ejemplo3.m
42
Figura 2.15: Espectro entre 0.375 y 0.5 s14.
Figura 2.16: Espectro entre 0.5 y 0.625 s15.
Figura 2.17: Espectro entre 0.625 y 0.75 s16.
13 Anexo I, Ejemplo3.m 14 Anexo I, Ejemplo3.m 15 Anexo I, Ejemplo3.m 16 Anexo I, Ejemplo3.m
43
Figura 2.18: Espectro entre 0.75 y 0.875 s17.
Figura 2.19: Espectro entre 0.875 y 1 s18.
17 Anexo I, Ejemplo3.m 18 Anexo I, Ejemplo3.m
44
3. ANÁLI SIS WAVELET
El inconveniente de la resolución en el plano tiempo-frecuencia es una
consecuencia del principio de incertidumbre de Heisemberg, el cual surge sin
importar la transformada empleada, sin embargo mediante el análisis
multiresolución (MRA) es posible analizar una señal en diferentes frecuencias con
diferentes resoluciones, caso contrario de la STFT que emplea una resolución fija
para todos los tiempos, es decir la WT emplea ventanas estrechas en frecuencias
altas y ventanas anchas en bajas frecuencias. De esta forma se obtiene una
resolución fina en frecuencia y gruesa en tiempo para señales de baja frecuencia y
una resolución fina en tiempo y gruesa resolución en frecuencia para señales de
alta frecuencia.
El análisis Wavelet permite determinar aspectos de una señal que otras técnicas
no revelan. Así este es un análisis apropiado para conocer tendencias, puntos de
ruptura, discontinuidades, etc., de una señal. Debido a estas ventajas, sus
aplicaciones se han incrementado considerablemente en los últimos años en
campos tales como el procesado de voz, imagen, compresión de datos,
comunicaciones, procesado de señales sísmicas o geológicas, procesado de
señales médicas, etc.
En sistemas de potencia, las señales pueden presentar variaciones temporales de
frecuencia, huecos de tensión, sobretensiones, interrupciones, etc. Por ello la
transformada Wavelet (WT) es una herramienta muy apropiada para detectar
eventos que puedan producirse en dichas señales.
45
TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA (CWT)
Fue desarrollada como una técnica alternativa a la STFT con la finalidad de
superar el problema de resolución presente en esta trasformada. Esta
transformada se define de la siguiente forma:
*,( , ) ( ) ( ) WaveletsC s x t t dt Coeficientesττ ψ
+∞
−∞
= → (3.1)
, ( ) s
tt s Wavelet madre
sτ
τψ ψ
− �= →� � �
(3.2)
Donde � y s son los parámetros de traslación y de escala respectivamente y son
explicados a continuación:
• Traslación: Este término es el mismo que en la STFT, es decir representa la
localización de la ventana a medida que se desplaza a través del dominio
transformado. Por lo tanto este término corresponde a la información temporal
de la señal.
• Escala: En la WT no se tiene un parámetro que sea la frecuencia como tal, sin
embargo existe un parámetro llamado escala que se define de la siguiente
manera:
frecuenciaEscala
1= (3.3)
Debido a que la WT incluye información relacionada con el tiempo y la
frecuencia, la representación gráfica de esta transformada se realiza en un
plano denominado tiempo-escala.
46
La Wavelet madre es un prototipo para generar las funciones ventanas de longitud
finita y de naturaleza oscilatoria, lo que significa que su promedio es cero y decae
rápidamente en ambos extremos.
La transformada inversa está determinada mediante la siguiente expresión:
dsds
sCK
tx τττψ
τψ
2
),(),(
1)( = (3.4)
La transformada de Wavelet (CWT) continua es reversible si satisface la siguiente
condición:
2( )w
K dww
ψ
ψ+∞
−∞
= < ∞ (3.5)
Donde �(w) es la FT de �(t), la cual satisface la condición de media nula, es decir:
= 0)( dttψ (3.6)
Esta ecuación indica que la función Wavelet madre empleada debe ser una
función oscilatoria de tal forma que la integral sobre su dominio sea nula.
La CWT puede ser descrita de la siguiente manera:
• Se elige la función Wavelet madre.
• Se determinan los ),( sC τ , el cual cuanto mayor sea, mayor es la similitud,
por lo cual los resultados dependerán de la forma de la función Wavelet
madre elegida.
47
• Se desplaza la Wavelet en el sentido positivo del eje del tiempo,
repitiéndose los dos pasos anteriores hasta lograr el cubrimiento total de la
señal.
• Se efectúa la escalada de la Wavelet en el tiempo y se repiten los tres
pasos anteriores.
Figura 3.1: CWT de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz19
3.1. TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA (DWT)
Como los procesos numéricos son realizados por computadores, es evidente que
no es posible de manera práctica evaluar las transformadas empleando
ecuaciones analíticas, integrales, etc., por lo tanto es necesaria la discretización
de la transformada, lo cual se logra muestreando el plano tiempo-escala [19].
19 Anexo I, Ejemplo4.m
48
Sea x[n] una señal definida en el dominio del tiempo discreto, entonces se define
la Transformada Wavelet discreta (DWT) como:
(3.7)
Para garantizar una reconstrucción de la señal es necesario discretizar los
parámetros de tiempo y escala mediante una escala diádica tal como se ilustra:
22 , 2 , ( , ) Zj js k j kτ= = ∀ ∈ (3.8)
MadreWaveletknn j
j
kj ]2[2][ 2, →−= −
−ψψ
(3.9)
La transformada inversa se define como:
��∈ ∈
=Zj Zk
kj nkjCnx ][],[][ ,ψ (3.10)
3.2. ANÁLISIS MULTIRESOLUCIÓN (MRA), ALGORITMO PIRAMIDAL O
CODIFICACIÓN SUB-BANDA DE UNA SEÑAL
Sea 2, 2 (2 ), , ,
j
j
j kw w t k j k= − ∀ de una base ortogonal, de las expresiones (C.8) y
de (C.2) del apéndice C, se obtienen respectivamente el análisis y síntesis de
todas las señales x(t) de la siguiente forma:
, ,( ) ( )j k j kc x t w t dt Análisis∞
−∞
= → (3.11)
, ,( ) ( )j k j k
j k
x t c w t Síntesis= →�� (3.12)
�∈
=Zn
kj nnxkjC )(][],[ ,ψ
49
El Análisis Multiresolución (MRA) requiere de dos funciones básicas relacionadas,
es decir, además de la Wavelet )(tw se requiere otra función denominada función
escala )(tφ . En el apéndice D se encuentra la relación existente de cada una de
estas funciones en un espacio vectorial j, con un espacio vectorial j+1.
De esta forma una señal x(t) puede ser expresada mediante series de la siguiente
forma:
, , , ,( ) ( ) ( )k Jo k j k j k k j k
k k j Jo
x t c t d w t d cφ∞
=
= + = +� �� (3.13)
Donde dk y cj,k son los coeficientes de detalle en la escala j0 y de aproximación a
diferentes escalas de la señal respectivamente.
Figura 3.2: DWT de una señal no estacionaria con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz, cuyos coeficientes de aproximación y de detalle se encuentran sin submuestrear20.
20 Anexo I, Ejemplo5.m
50
Existe una importante expresión que conecta por si misma dos diferentes escalas
en el tiempo, la cual se conoce como la ecuación de dos escalas y toma uno de
los filtros de tiempo discreto pasa bajo (h[n]) y pasa alto (g[n]) de media banda:
( ) [ ] 2 (2 )n
t h n t nφ φ= −� (3.14)
( ) [ ] 2 (2 )n
w t g n t nφ= −� (3.15)
El MRA o algoritmo piramidal se desarrolló con la finalidad de descomponer
señales de tiempo discreto mediante el empleo de filtros con distintas frecuencias
de corte. La señal pasa a través de filtros pasa alto y pasa bajo de media banda
para determinar las componentes de alta y baja frecuencia respectivamente [20].
Estas operaciones cambian la resolución de la señal y la escala se cambia
mediante operaciones de submuestreo, que consiste en eliminar algunas muestras
de la señal.
El paso de la secuencia x[n] a través del filtro digital pasa bajo de media banda
h[n] se expresa matemáticamente de la siguiente forma:
[ ]* [ ] [ ] [ ]k
x n h n x k h n k∞
=−∞
= −� (3.16)
La resolución que está asociada con la cantidad de información de la señal se
encuentra alterada por las operaciones de filtrado porque la eliminación de la
mitad de las frecuencias significa pérdida de la mitad de la información. Por lo
tanto, la resolución en el tiempo se reduce a la mitad después de la operación de
filtrado. Sin embargo, el proceso de submuestreo que es posterior al filtrado,
puesto que la mitad de las muestras son redundantes (Nyquist), duplica la escala.
Este proceso puede ser ilustrado mediante la siguiente expresión:
51
�∞
∞−
−= ]2[][][ knhkxny (3.17)
La descomposición de la señal en el primer nivel de descomposición puede ser
expresada de la siguiente forma:
[ ] [ ] [2 ]highy n x n g n k∞
−∞
= −� (3.18)
[ ] [ ] [2 ]lowy n x n h n k∞
−∞
= −� (3.19)
Donde yhigh e ylow son las salidas del filtro pasa alto y pasa bajo después del
submuestreo por dos respectivamente.
El procedimiento anterior se denomina codificación de subbandas y puede
repetirse para conseguir una mayor descomposición, en este caso en cada etapa,
el filtrado y el submuestreo darán como resultado una disminución en la mitad de
la cantidad de muestras (resolución en el tiempo dividida) y de la banda de
frecuencias abarcada (resolución en frecuencia duplicada) [21-22].
Figura 3.3: Esquema de descomposición o análisis de la señal.
52
Figura 3.4: Esquema de reconstrucción o síntesis de la señal.
Figura 3.5: Descomposición de la señal en dos niveles.
Figura 3.6: Reconstrucción de la señal en dos niveles.
53
Para la etapa de análisis se tiene en general:
]2[][][ 1 nkgnckdn
mm −=� − (3.20)
]2[][][ 1 nkhnckcn
mm −=� − (3.21)
Para la etapa de síntesis se tiene en general:
{ }1[ ] [ ] [ 2 ] [ ] [ 2 ]m m m
k
c n d n g n k c n h n k∧ ∧
− = − + −� (3.22)
Las frecuencias que son más dominantes en la señal original aparecerán como
altas amplitudes en la región de la DWT que incluye estas frecuencias. La
localización en el tiempo tendrá una resolución que dependerá del nivel en que
aparezca, de este modo si la información principal contenida en la señal está en
altas frecuencias, entonces la localización en el tiempo será mas precisa, puesto
que estarán caracterizadas por un mayor número de muestras. Por otro lado, si la
información principal está a muy bajas frecuencias entonces su localización en el
tiempo no podrá ser muy precisa, dado que existirán muy pocas muestras para
caracterizar la señal a estas frecuencias. Las bandas de frecuencia que no son
muy dominantes en la señal x[n] darán origen a coeficientes DWT muy pequeños,
los cuales pueden ser despreciados sin mayor pérdida de información, pero si con
una importante reducción de datos.
Existe una relación entre las respuestas al impulso de los filtros pasa alto y pasa
bajo tal como se ilustra:
][)1(]1[ nhnLg n−=−− (3.23)
Donde L es la longitud del filtro expresada en número de puntos.
54
Los filtros que satisfacen la condición anterior se conocen como filtros espejo en
cuadratura (QMF) [23].
Cabe destacar si los filtros no son de banda media ideal, la reconstrucción
perfecta de la señal no puede conseguirse. Aún cuando no es posible realizar
filtros ideales, bajo ciertas condiciones es posible encontrar filtros que permitan
una reconstrucción perfecta de la señal, destacándose entre ellos las Wavelets de
Daubechies.
3.3. BANCO DE FILTROS
Cabe destacar que la definición de la transformada z, junto a algunas propiedades
de ésta, se encuentran en el apéndice E.
Sea h(z) y g(z) filtros pasa-bajo y pasa-alto respectivamente [24-25]:
Figura 3.7: Banco de filtros de análisis y síntesis.
El paso por los filtros h(z) y g(z) de la señal x(n) definida en el dominio del tiempo
discreto es el siguiente:
0 ( ) x( )·h( )y z z z= (3.24)
1( ) x( )· ( )y z z g z= (3.25)
55
La transformada Z de una señal submuestreada viene dada por la siguiente
expresión:
��
���
� ���
�−+
���
�=
↓2
12
1
2zxzx
2
1)(x z (3.26)
Sobremuestreando la expresión anterior se obtiene:
(3.27)
Por lo tanto:
[ ]0 00
1( ) ( ) ( )
2y z y z y z∧
= + − (3.28)
[ ]1 11
1( ) ( ) ( )
2y z y z y z∧
= + − (3.29)
La transformada Z de la señal de salida del banco de síntesis es la siguiente:
)()(y)()(y)(x 10 zgzzhzz∧∧∧∧∧
+= (3.30)
Reemplazando (3.24) en (3.28) y (3.25) en (3.29), para otro posterior reemplazo
en (3.30) se obtiene:
1 1x( ) h( ) h( ) ( ) ( ) x( ) h( ) h( ) ( ) ( ) x( )
2 2z z z g z g z z z z g z g z z
∧ ∧ ∧ ∧ ∧� � � �= + + − + − −� � � �� � � �(3.31)
Expresando el anterior resultado en forma matricial:
��
���
�
−��
���
�
−
−��
���
�=∧∧∧
)x(
)x(
)()(
)h()h()()(
2
1)(x
z
z
zgzg
zzzgzhz (3.32)
[ ]2 2
1[ ] x( ) x( )
2x n z z
↑ ↓ → + −
56
Como se desea una reconstrucción perfecta de la señal, es decir, x( ) x( )z z∧
= ,
entonces es necesaria la siguiente condición:
[ ]02)()(
)h()h( )()( =�
�
���
�
−
−��
���
� ∧∧
zgzg
zzzgzh (3.33)
Donde:
1z)()·h()()·h()()(
)h()h(det −=−−−=
�
����
��
���
�
−
−zgzzgz
zgzg
zz(3.34)
Entonces:
[ ]1
)()(
)h()h(02)()(
−∧∧
��
���
�
−
−=��
���
�zgzg
zzzgzh
[ ] 1
( ) h( )1( ) ( ) 2 0
( ) h( )z
g z zh z g z
g z z
∧ ∧
−
− − −� �� �� = � �� � −� � � �
[ ]1( ) ( ) 2 z ( ) h( )h z g z g z z∧ ∧� �� = − − −� �� �
∴
1
1
( ) z ( )
( ) z ( )
h z g z
g z h z
∧
∧
= −
= − −
(3.35)
En el dominio del tiempo discreto se tiene:
]1[)1(][
]1[)1(][
1 −−=
−−=
+∧
∧
nhng
ngnh
n
n
(3.36)
Una condición más a cumplir, con el fin de garantizar una reconstrucción perfecta,
la cual se desprende de (3.36) y del primer término de la derecha de de (3.31) :
h( ) ( ) ( ) ( ) 2z g z h z g z+ − − = (3.37)
Esta condición se cumple siempre y cuando los filtros empleados sean
biortogonales.
57
Las condiciones a cumplir de los filtros pasa alto y pasa bajo empleados en el
proceso de análisis y síntesis son las siguientes:
• � =−−∧
n
klnlhknh δ]2[]2[ (3.38)
• � =−−∧
n
klnlgkng δ]2[]2[(3.39)
• [ ] ( 1) [ ]nh n g n L∧
= − −(3.40)
• 1[ ] ( 1) [ ]ng n h n L∧
+= − −(3.41)
3.4. TRANSFORMADA WAVELET DAUBECHIES D4
Cuando la longitud del filtro es de 4, entonces los coeficientes de h pueden ser
expresados en términos de un simple parámetro ,α , tal como se ilustra:
0 1
2 3
1 cos( ) ( ) 1 cos( ) ( ),
2 2 2 21 cos( ) ( ) 1 cos( ) ( )
, 2 2 2 2
sen senh h
sen senh h
α α α α
α α α α
− + + += =
+ − − −= =
(3.42)
La mayoría de los valores para α no conduce a Wavelets utilizadas. La
Transformada Wavelet Daubechies con un filtro de longitud 4 surge con �=�/3
[26]:
0 1 2 3
1 3 3 3 3 3 1 3, , ,
4 2 4 2 4 2 4 2h h h h
+ + − −= = = = (3.43)
De (3.42) se obtienen los coeficientes para g[n]:
0 3 1 2 2 1 3 0, , , g h g h g h g h= = − = = − (3.44)
Los coeficientes de aproximación vienen dados por:
32322212120 +++ +++= iiiii xhxhxhxhc (3.45)
58
Los coeficientes de detalle vienen dados por:
32322212120 +++ +++= iiiii xgxgxgxgd (3.46)
El proceso de análisis (DWT) puede ser expresado matricialmente de la siguiente
forma:
��������������
�
�
��������������
�
�
��������������
�
�
��������������
�
�
=
��������������
�
�
��������������
�
�
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
�
�
������������
��
��
��
��
��
��
��
��
����������
�
�
7
6
5
4
3
2
1
3210
3210
3210
3210
3210
3210
3210
3210
3
3
2
2
1
1
000000
000000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
gggg
hhhh
gggg
hhhh
gggg
hhhh
gggg
hhhh
d
c
d
c
d
c
d
c
(3.47)
Como puede observarse, si se tiene una secuencia finita de N muestras, i
incrementa hasta llegar a N-2. En el último producto se requiere de x[N-2], x[N-1],
x[N], x[N+1], donde x[N], x[N+1] no existen, ya que se encuentran mas allá del
final de la secuencia, lo cual representa un problema.
A partir de (3.40) y (3.41) es posible determinar los coeficientes involucrados en el
proceso de síntesis [27]:
0 1 2 32 2 0 0, , , h h h g h h h g∧ ∧ ∧ ∧
= = = = (3.48)
3 3 1 10 1 2 3, , , g h g g g h g g∧ ∧ ∧ ∧
= = = =(3.49)
59
El proceso de síntesis (IDWT) puede ser expresado matricialmente como:
��������������
�
�
��������������
�
�
��������������
�
�
��������������
�
�
=
��������������
�
�
��������������
�
�
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
�
�
����������
��
��
��
��
��
��
��
��
����������
�
�
3
3
2
2
1
1
1133
0022
1133
0022
1133
0022
1133
0022
7
6
5
4
3
2
1
0000
0000
0000
0000
0000
0000
000000
000000
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
d
c
d
c
d
c
d
c
ghgh
ghgh
ghgh
ghgh
ghgh
ghgh
ghgh
ghgh
x
x
x
x
x
x
x
x
(3.50)
Según lo anterior existe un problema similar en la transformada inversa, ya que las
muestras se extienden más allá del principio de las muestras, donde el primer
producto requiere de x[-2], x[-1], x[0] y x[1], donde x[-2] y x[-1] no existen.
Existen tres métodos para manejar el problema de los extremos:
• Manejar los datos como si fueran periódicos:
síntesisde proceso elEn 22
11
análisisde proceso elEn 11
0
���
−=−
−=−
���
=+
=
][][
][][
][][
][][
Nxx
Nxx
xNx
xNx
• Reflejar los datos en los extremos:
síntesisde proceso elEn ]1[]2[
]0[]1[
análisisde proceso elEn ]2[]1[
]1[][
���
=−
=−
���
−=+
−=
xx
xx
NxNx
NxNx
60
• Se realiza un proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, el cual es un
método para encontrar una base ortonormal, que este caso equivale a
determinar una escala especial y una función Wavelet que pueda ser aplicada
al principio y al final de la secuencia de datos.
Figura 3.8: Señal original y coeficientes de aproximación de los niveles 1 al 3 de una señal no estacionaria, con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz21.
Figura 3.9: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 3 de una señal no estacionaria, con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz 22.
21 Anexo I, Ejemplo7.m
61
Figura 3.10: Funciones Wavelet y de escala (Daubechies D4) empleadas en el proceso de análisis y síntesis de una señal no estacionaria, con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420
Hz23.
22 Anexo I, Ejemplo7.m 23 Anexo I, Ejemplo7.m
62
4. FILTRO DE KALMAN (KF)
La forma más común de expresar un modelo o sistema de una planta es por su
relación entrada-salida o función de transferencia (TF), forma que en muchos
casos es suficiente y ofrece buenos resultados. Sin embargo, este modelo
presenta algunas limitaciones en el sentido de que no es posible inferir de él otros
parámetros diferentes a la entrada y la salida. Para subsanar este inconveniente,
se ha pensado en expresar los sistemas de otra manera llegándose así a la
llamada representación en variables de estado, en donde quedan explícitas las
variables internas del sistema.
Este método consiste en un conjunto de ecuaciones matemáticas que permiten
minimizar el error medio y cuadrático, ya que proporciona el filtrado máximo
posible al ruido, respondiendo de forma óptima a los cambios en el estado del
sistema. Ha sido diseñado para estimar el estado en un sistema lineal, dinámico y
discreto en el tiempo, basándose en observaciones ruidosas y en un modelado del
sistema, sin la necesidad de conocerse la naturaleza precisa de dicho sistema
modelado.
Es importante en el caso de tener diferentes mediciones aplicar el concepto de
estimación, mecanismo mediante el cual se obtiene un valor a partir de una
información incompleta. Un método sencillo consiste en minimizar la suma de los
cuadrados de las diferencias, entre la estimación y las mediciones.
El sistema físico se modela mediante un vector de estados n Rx∈ que describe la
evolución del estado del sistema con el tiempo. El tiempo de observación es de la
forma 0 , 0,1,2...kt t k T k= + ∆ = siendo T∆ el intervalo de muestreo y ( )k kx x t= el
estado en el instante kt .
63
Suponiéndose que T∆ es pequeño, entonces es posible el empleo de un sistema
lineal, es decir:
111 −−− += kkkk wxx φ (4.1)
Donde:
• 1−kφ : Matriz de transición de estados nxn, la cual da una relación ideal (sin
ruido) entre el vector de estados actual y anterior.
• 1−kw : Vector columna de n componentes que modela el ruido asociado al
sistema, se supone del tipo N (0,Q).
• Q: Matriz de covarianza del ruido del proceso.
En cada instante se obtiene una medida m Rkz ∈ tal que:
k k k kz H x v= + (4.2)
Donde:
• kH : Matriz mxn de medidas, la cual da una relación ideal (sin ruido) entre
la medida y el vector de estados.
•kv : Vector columna de m componentes que modela el error en la medida,
se supone del tipo N (0,R).
• R: Matriz de covarianza del ruido de la medida.
Las variables aleatorias k vkw y , que representan el error en el proceso y la
medida respectivamente, se asumen independientes entre si y obedecen a una
distribución normal y media cero. Las matrices de covarianza del ruido del proceso
(Q) y de la perturbación en la medida (R) podrían cambiar en el tiempo, por
simplicidad en general se asumen que son constantes y se eligen con la finalidad
de asegurar la estabilidad y la velocidad de convergencia del filtro.
64
El rendimiento del filtro puede ser mejorado ajustando la covarianza del ruido del
proceso Q y la covarianza del ruido de la medida R. Los valores de las
covarianzas Q y R determinan el peso relativo de la información del modelo y de
las medidas y actúan como parámetros que permiten hacer un balance entre la
respuesta dinámica del filtro frente a la sensibilidad al ruido. El cálculo de estas
magnitudes puede no ser una tarea trivial, y los valores teóricos no siempre
producen los resultados más exactos [28]. Las inexactitudes a la hora de modelar
el sistema, los errores en las medidas, la correlación entre unos y otros o el
modelado del ruido se deben tener en cuenta y no son fáciles de estimar. Como
normalmente Q y R son constantes, entonces las matrices P y K (estimación de la
covarianza del error y ganancia) se estabilizan rápidamente, independientemente
de las medidas. Bajo estas condiciones estos parámetros pueden ser calculados
off line.
El sistema para las matrices de covarianza k vkw y es:
,
0,
kT
k i
Q i kE w w
i k
� =�� � = �� �
� ≠�
(4.3)
,
0,
kT
k i
R i kE v v
i k
� =�� � = �� �
� ≠�
(4.4)
Desde este punto de vista las ecuaciones que se utilizan para derivar el KF se
pueden dividir en dos grupos [29]:
• Ecuaciones de predicción o las que actualizan el tiempo: Estas se
encargan de la proyección del estado al momento kt tomando como
referencia el momento 1kt − y de la actualización intermedia de la matriz de
covarianza del estado.
65
• Ecuaciones de corrección o las que actualizan los datos observados:
Estas son las responsables de la retroalimentación, es decir, incorporan
nueva información dentro de la estimación anterior con lo cual se llega a
una estimación mejorada del estado.
Figura 4.1: Ciclo de predicción-corrección.
El primer paso consiste en generar un pronóstico del estado hacia delante en el
tiempo, tomando en cuenta toda la información disponible en ese momento y en
un segundo paso, se genera un pronóstico mejorado del estado, de tal manera
que el error es minimizado estadísticamente.
Las ecuaciones específicas para el pronóstico y la corrección del estado son las
siguientes:
• Actualización temporal (predicción):
1k x kx xφ−−= → Ecuación de predicción. (4.5)
1 1 1 1t
k k k k kp pφ φ φ−− − − −= + → Estimación de la covarianza del error. (4.6)
• Actualización de la medida (corrección):
1( )t t
k k k k k k kK P H H P H R− − −= + → Cálculo de la ganancia. (4.7)
66
1 1 1 1( )k x k k k k k kx x K z H Xφ φ− − − −= + − → Corrección de la estimación (4.8)
( )k k k kp I K H P −= − → Corrección de la covarianza del error. (4.9)
Como puede observarse, este es un proceso del tipo predicción-corrección como
se observa en la figura 4.2. El diseño del filtro se fundamenta en las propiedades
estadísticas de las muestras a procesar. La ganancia del filtro K, se determina en
forma que sea mínimo el error cuadrático medio esperado entre los valores
actuales de las variables de estado y los valores estimados. Cada muestra que se
obtiene se utiliza para mejorar la estimación previa del filtro, hasta alcanzar una
condición estacionaria a partir de la cual no se observa ninguna mejora.
Figura 4.2: Esquema predicción-corrección empleado en el KF.
El filtro requiere como valores de inicialización una estimación de las variables de
estado, la covarianza del error P y la covarianza del ruido Q y R, siendo estos dos
últimos aquellos que determinan el peso relativo de la información del modelo y de
las medidas, que actúan como parámetros que permiten hacer un balance entre la
respuesta dinámica del filtro frente a la sensibilidad del ruido.
67
El KF es ampliamente empleado en sistemas de potencia para determinar las
amplitudes y las fases de los armónicos, a partir de las muestras de tensión o
corriente [30-33]. Es especialmente eficiente donde los datos de entrada se
encuentran a menudo contaminados con ruido.
Para el modelo de la señal a analizar en variables de estado existen dos modelos
del KF, dependiendo esencialmente de las variables de estado elegidas.
4.1. MODELO 1
Sea una señal de tensión o corriente de n-1 armónicos, la cual es expresada de la
siguiente forma:
[ ]�=
+=n
i
ii iwkTsAkZ1
cos )()( θ(4.10)
[ ]�=
−=n
i
iiii iwkTsenenAiwkTsAkZ1
sscoscos )()·()()·()( θθ (4.11)
Donde:
• iA : Amplitud del armónico i-ésimo.
• w: 2 f [rad/seg]π
• iθ : Fase del armónico i-ésimo.
• Ts: Período de muestreo de la señal (periodo entre muestras o ∆T)
Si se consideran las siguientes variables del armónico i-ésimo:
1 cos( )i i ix A θ= (4.12)
2 sen( )i i ix A θ= (4.13)
Donde (4.11) y (4.12) son las componentes en fase y en cuadratura del armónico
i-ésimo respectivamente.
68
Como puede observarse, cada componente frecuencial se compone de dos
variables de estado, siendo un total de 2n variables de estado, entonces la señal
puede ser expresada en función de las variables de estado de la siguiente forma:
[ ]1 21
( ) cos( ) s ( )n
i i
i
Z k x iwkTs x en iwkTs=
= −� (4.14)
Suponiéndose que la amplitud y fase no varían apreciablemente entre muestras:
)()( kxkx ii 11 1 ≈+
)()( kxkx ii 22 1 ≈+ (4.15)
(4.1) y (4.2) son las ecuaciones de estado y salida son respectivamente, donde:
11
21
12
22
1
2
. 2
.
.
k
n
n
x
x
x
x
x Vector columna de n componentes
x
x
� �� �� �� �� �� �� �= �� �� �� �� �� �� �� �� �
(4.16)
[ ]cos( ) -sen( ) cos(2 ) -sen(2 ) cos( ) -sen( )
2
kH wkTs wkTs wkTs wkTs nwkTs nwkTs
Vector fila de
=
�
�
n componentes
(4.17)
1 0 0 0
0 1 0 0 2 2
0 0 1
Matriz n nφ
� �� �� �= � � �� �� �
� � � �
�
(4.18)
La amplitud y la fase pueden ser determinadas de la siguiente forma:
22
21 iii xxA += (4.19)
�
����
=
i1
i2
x
xarctaniθ (4.20)
69
4.2. MODELO 2
Se considera (4.2) y se escogen las siguientes variables de estado para el
armónico i-ésimo:
1 cos( )i i ix A iwkTsθ= + (4.21)
2 sen( )i i ix A iwkTsθ= + (4.22)
La señal expresada en términos de las variables de estado queda de la siguiente
forma:
�=
=n
i
ixkZ1
1)( (4.23)
Suponiéndose que la amplitud y la fase no varía notablemente entre muestras
(4.15) se tiene que:
1 1 2( 1) ( ) cos( ) ( ) ( )i i ix k x k iwTs x k sen iwTs+ = − (4.24)
2 1 2( 1) ( ) ( ) ( ) cos( )i i ix k x k sen iwTs x k iwTs+ = + (4.25)
Para las ecuaciones (4.1) y (4.2) se tiene que:
[ ]1 0 1 0 1 0 2 .kH Vector fila de n componentes= �� (4.26)
cos( ) - ( ) 0 0 . . . 0 0
( ) cos( ) 0 0 . . . 0 0
0 0 cos(2 ) - (2 ) . . . 0 0
0 0 (2 ) cos(2 ) . . . 0 0
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
0 0 0 0 . . . cos( ) - ( )
0 0 0 0 . . . ( ) cos( )
wTs sen wTs
sen wTs wTs
wTs sen wTs
sen wTs wTs
nwTs sen nwTs
sen nwTs nwTs
φ
� �� �� �� �� �� �� �=� �� �� �� �� ���� �
2 2 .Matriz n n
��
�
×
(4.27)
70
Figura 4.3: Señal no estacionaria, con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz, señal filtrada, junto a su respectivo error absoluto en la predicción y en la corrección24.
Figura 4.4: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz) de una señal no estacionaria, con componentes de frecuencia de 60, 180, 300 y 420 Hz25.
24 Anexo I, Ejemplo8.m 25 Anexo I, Ejemplo8.m
71
Figura 4.5: Ganancias de Kalman obtenidas para los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
72
5. MATERIALES
En este capítulo se establecen las características más importantes acerca del
software empleado tanto en la elaboración de las simulaciones, como en la
elaboración de los algoritmos, lo cual complementa el desarrollo teórico de los
capítulos anteriores.
El software utilizado para la simulación es PSCAD 4.1.0, ya que es un paquete
especializado en el análisis de sistemas eléctricos de potencia, y por ende es de
gran aplicación el Ingeniería Eléctrica. Esta herramienta permite introducir un
esquema eléctrico y analizar los resultados a partir de un entorno gráfico,
mediante el empleo de sus componentes más habituales tales como:
• Fuentes eléctricas (de corriente, de voltaje) monofásicas y trifásicas.
• Elementos eléctricos tales como resistencias, condensadores, inductancias,
transformadores, líneas.
• Breakers.
• Máquinas (síncronas, de inducción con sus respectivos sistemas de
excitación).
• Medidores de corriente y voltaje.
• Analizador espectral.
• Canales de salida (PGB).
• Ventana de gráficos.
• Fallos monofásicos y trifásicos.
• Elementos de electrónica de potencia (tiristores, diodos, GTO’s, IGBT’s,
interruptores, transistores, etc.)
El software empleado en la elaboración de los métodos desarrollados en capítulos
anteriores es Matlab 7.0, el cual mediante la importación de datos de las
simulaciones realizadas en PSCAD 4.1.0, permite la aplicación de estos
73
algoritmos a señales particulares de voltaje y corriente obtenidas en un entorno
gráfico.
Para exportar datos como un archivo de texto plano, es decir en formato .out, por
medio del software PSCAD 4.1.0, es necesario tener en cuenta lo siguiente en
Project settings:
• Duration of run: Es el tiempo total de la simulación (s).
• Solution time step: Equivale al 5% del tiempo entre muestras (µs).
• Chanel plot step: Es el tiempo existente entre muestras (µs).
Figura 5.1: Creación de un archivo en formato .out en PSCAD 4.1.0
74
De esta forma, al finalizar la simulación se crean dos tipos de archivos:
‘archivo_01.out’, cuyas columnas equivalen a los canales de salida definidos por el
usuario exceptuando la primera, ya que esta siempre equivale al tiempo, y
‘archivo.inf’, que decir muestra el orden de las columnas según los canales de
salida.
Cabe destacar que si el número de salidas es superior a 10, entonces se crea
‘archivo_02.out’, lo cual muestra claramente que el número máximo de columnas
en los archivos .out es de 11, teniendo en cuenta el tiempo de simulación.
Figura 5.2: Estructura de ‘archivo_01.out’.
Figura 5.3: Estructura de ‘archivo.inf’.
Una vez exportado los datos, es necesario la aplicación de los respectivos
algoritmos desarrollados en Matlab 7.0, pero antes de ello deben ser invocados
con la finalidad de que carguen al workspace como una matriz por medio de la
instrucción load(‘archivo_01.out’). Los códigos fuente respectivos de los algoritmos
y ejemplos desarrollados durante este estudio, se encuentran consignados en el
anexo II, el cual se encuentra en el CD adjunto al presente estudio realizado.
75
6. SIMULACIONES
Los circuitos implementados en PSCAD 4.1.0 durante el desarrollo de este estudio
fueron los siguientes:
6.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES
Figura 6.1: Circuito implementado para la simulación de sags y swells de voltaje, con una frecuencia de operación de 60 Hz.
76
6.2. FALLO LÍNEA-TIERRA
Figura 6.2: Circuito diseñado para la simulación de la presencia de un hueco de tensión del 100% en la fase A y un swell de tensión en las fases restantes
77
6.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA
Figura 6.3: Carga trifásica balanceada resistiva con neutro en presencia de armónicos de secuencia cero.
78
6.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS
Figura 6.4: Circuito implementado para la simulación de armónicos impares hasta el 33.
79
6.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS
Figura 6.5: Circuito diseñado para la simulación de armónicos impares hasta el 33, siendo de mayor amplitud los de secuencia cero o múltiplos de 3.
80
7. ANÁLISIS DE RESULTADOS
7.1. DESARROLLO METODOLÓGICO
En este capítulo se muestra los resultados obtenidos al aplicar los algoritmos
desarrollados en Matlab 7.0 a los datos importados de las simulaciones
desarrolladas en PSCAD 4.1.0, las cuales se encuentran en el capítulo anterior.
Los circuitos fueron implementados con la finalidad de caracterizar algunas
distorsiones establecidas en el numeral 2.1 tales como armónicos, fluctuaciones
de tensión, Huecos de tensión e interrupciones y desequilibrio de tensiones.
Al final de este capítulo se muestra la tabla 9, en la cual se encuentra el error
absoluto máximo, los picos de amplitud apreciable (para el caso de la
transformada de Fourier con ventana deslizante), los coeficientes de detalle
predominantes, junto a la banda de frecuencias que corresponden (para el caso
de a transformada Wavelet Daubechies D4), la ganancia de Kalman y los
armónicos de magnitud apreciable (para el caso del filtro de Kalman).
81
7.2. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER CON VENTANA DESLIZANTE
(SDFT)
7.2.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES
• Se le aplica el algoritmo a Vab (Ver figura 6.1):
Figura 7.1: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.2: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
82
Figura 7.3: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.4: Espectro entre 0.75 y 1 s.
Figura 7.5: Señal original.
83
Figura 7.6: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.7: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 7.573500393506991e-014 KV.
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.1):
Figura 7.8: Espectro entre 0 y 0.25 s.
84
Figura 7.9: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
Figura 7.10: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.11: Espectro entre 0.75 y 1 s.
85
Figura 7.12: Señal original.
Figura 7.13: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.14: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 4.814937892626581e-014 kA.
86
7.2.2. FALLO LÍNEA-TIERRA
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.2):
Figura 7.15: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.16: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
Figura 7.17: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
87
Figura 7.18: Espectro entre 0.75 y 1 s.
Figura 7.19: Señal original.
Figura 7.20: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.21: Error absoluto.
88
Los picos predominantes en el espectro, se encuentran ubicados en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y en 0 Hz (componente DC) y la magnitud
del máximo error absoluto es de 2.632452649823827e-013 kA. Entre 0.5 y 0.75
segundos se encuentran dos picos pequeños correspondientes al tercer y sexto
armónico (180 y 360 Hz), los cuales son de secuencia cero. Esto se debe
principalmente a que en la fase A es donde ocurre este fallo.
• Se le aplica el algoritmo a Va (Ver figura 6.2):
Figura 7.22: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.23: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
89
Figura 7.24: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.25: Espectro entre 0.75 y 0.1 s.
Figura 7.26: Señal original.
Figura 7.27: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
90
Figura 7.28: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 6.010564466963889e-011 kV. Entre 0.5 y 0.75 segundos se encuentran dos
picos muy pequeños correspondientes al tercer y sexto armónico (180 y 360 Hz),
los cuales son de secuencia cero, junto a la respectiva componente DC (0 Hz)
existente.
• Se le aplica el algoritmo a Vb (Ver figura 6.2):
Figura 7.29: Espectro entre 0 y 0.25 s.
91
Figura 7.30: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
Figura 7.31: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.32: Espectro entre 0.75 y 1 s.
92
Figura 7.33: Señal original.
Figura 7.34: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.35: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 6.043813480609689e-011 kV. Entre 0.5 y 0.75 segundos se encuentran dos
picos muy pequeños correspondientes al tercer sexto armónico (180 y 360 Hz), los
cuales son de secuencia cero.
93
7.2.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA
• Se le aplica el algoritmo a IfaseA (Ver figura 6.3):
Figura 7.36: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.37: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
Figura 7.38: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
94
Figura 7.39: Espectro entre 0 .75 y 1 s.
Figura 7.40: Señal original.
Figura 7.41: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.42: Error absoluto.
95
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 1.587667383852417e-012 A. Como la señal analizada es estacionaria, en todo
su espectro se encuentran pequeños picos ubicados en los armónicos 3 (180 Hz),
9 (540 Hz) y 15 (900 Hz), los cuales son de secuencia cero.
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.3):
Figura 7.43: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.44: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
96
Figura 7.45: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.46: Espectro entre 0.75 y 1 s.
Figura 7.47: Señal original.
Figura 7.48: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
97
Figura 7.49: Error absoluto.
Como la señal analizada es estacionaria, en todo su espectro se encuentran picos
ubicados en los armónicos 3 (180 Hz), 9 (540 Hz) y 15 (900 Hz), los cuales son de
secuencia cero y su máximo error absoluto es de 4.847011207366711e-013 A.
7.1.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS
• Se le aplica el algoritmo a I1 (Ver figura 6.4):
Figura 7.50: Espectro entre 0 y 0.25 s.
Figura 7.51: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
98
Figura 7.52: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.53: Espectro entre 0.75 y 1 s.
Figura 7.54: Señal original.
99
Figura 7.55: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.56: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz) y la magnitud del máximo error absoluto es
de 1.164792059314233e-013 kA. Como la señal analizada es estacionaria, en
todo su espectro se encuentran pequeños picos ubicados en los impares hasta el
armónico 33 (1980 Hz).
7.1.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.5):
Figura 7.57: Espectro entre 0 y 0.25 s.
100
Figura 7.58: Espectro entre 0.25 y 0.5 s.
Figura 7.59: Espectro entre 0.5 y 0.75 s.
Figura 7.60: Espectro entre 0.75 y 1 s.
101
Figura 7.61: Señal original.
Figura 7.62: Señal obtenida al aplicar la transformada inversa de Fourier discreta (IDFT) a los resultados obtenidos mediante la SDFT.
Figura 7.63: Error absoluto.
El pico predominante en el espectro ya no se encuentra ubicado en la frecuencia
fundamental o primer armónico (60 Hz), sino en el tercero (180 Hz) y la magnitud
del máximo error absoluto es de 1.458173342683662e-013 kA. Como la señal
analizada es estacionaria, en todo su espectro se encuentran pequeños picos
ubicados en los impares hasta el armónico 33 (1980 Hz), siendo de mayor
magnitud los de secuencia cero o múltiplos de 3.
102
7.2. TRANSFORMADA WAVELET DAUBECHIES D4
7.2.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES
• Se le aplica el algoritmo a Vab (Ver figura 6.1):
Figura 7.64: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 2.220446049250313e-016
kV. Aplicando el algoritmo de multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
103
Figura 7.65: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
Figura 7.66: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. En los coeficientes
de detalle del primer nivel (d1) es posible apreciar unos pequeños picos, los
cuales corresponden a los cambios de amplitud de la señal.
104
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.1):
Figura 7.67: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 1.387778780781446e-016
kA. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.68: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
105
Figura 7.69: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz.
106
7.2.2. FALLO LÍNEA-TIERRA
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.2):
Figura 7.70: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 1.332267629550188e-015
kA. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.71: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
107
Figura 7.72: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. La amplitud
considerable de los d4 y d3 muestra la existencia de un tercer y sexto armónico
respectivamente (180 y 360 Hz). Los picos existentes en los coeficientes de
detalle del primer nivel (d1) corresponden a los cambios de amplitud de la señal.
108
• Se le aplica el algoritmo a Va (Figura 6.2):
Figura 7.73: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 1.136868377216160e-013
kV. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.74: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
109
Figura 7.75: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. La amplitud
considerable de los d4 y d3 muestra la existencia de un tercer y sexto armónico
respectivamente (180 y 360 Hz). Los picos existentes en los coeficientes de
detalle del primer nivel (d1) corresponden a los cambios de amplitud de la señal.
110
• Se le aplica el algoritmo a Vb (Ver figura 6.2):
Figura 7.76: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 1.136868377216160e-013
kV. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.77: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
111
Figura 7.78: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. La amplitud
considerable de los d4 y d3 muestra la existencia de un tercer y sexto armónico
respectivamente (180 y 360 Hz). Los picos existentes en los coeficientes de
detalle del primer nivel (d1) corresponden a los cambios de amplitud de la señal.
112
7.2.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA
• Se le aplica el algoritmo a IfaseA (6.3):
Figura 7.79: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 3.552713678800501e-015
A. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición (etapa
de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.80: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
113
Figura 7.81: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 también presentan una amplitud considerable debido a la cercanía
de dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. La amplitud
considerable de los d4, d3 y d2 muestra la existencia de un tercer noveno y
quinceavo armónico respectivamente (180, 540 y 900 Hz).
114
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.3):
Figura 7.82: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 4.440892098500626e-016
A. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición (etapa
de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.83: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
115
Figura 7.84: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a d4, d3 y d2, lo cual
muestra la existencia de un tercer noveno y quinceavo armónico respectivamente
(180, 540 y 900 Hz).
116
7.2.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS
• Se le aplica el algoritmo a I1 (Ver figura 6.4):
Figura 7.85: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 1.665334536937735e-016
kA. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.86: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
117
Figura 7.87: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6, cuya banda
de frecuencias es de [32-64] Hz, en la que se encuentra la frecuencia fundamental
(60 Hz). Los d5 presentan una amplitud considerable debido a la cercanía de
dicha frecuencia fundamental a su banda de [64-128] Hz. Los demás coeficientes
de detalle también presentan una amplitud considerable, debido a la existencia de
armónicos impares hasta el 33 (1980 Hz).
118
7.2.5. CARGA TRIFÁSICA BALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.5):
Figura 7.88: Señal original, señal sintetizada a través del empleo de banco de filtros, junto a su respectivo error absoluto.
La magnitud del error absoluto máximo corresponde a 2.220446049250313e-016
kA. Aplicando el algoritmo multiresolución en seis niveles de descomposición
(etapa de análisis) se obtuvo lo siguiente:
Figura 7.89: Coeficientes de aproximación de los niveles 1 y 6.
119
Figura 7.90: Coeficientes de detalle de los niveles 1 al 6.
Los coeficientes de detalle de mayor amplitud corresponden a los d6 y d4, cuya
bandas de frecuencias son de [32-64] Hz y [128-256] Hz, en las cuales se
encuentran el primer y tercer armónico (60 y 180 Hz respectivamente). Los d5
presentan una amplitud considerable debido a la cercanía de dicha frecuencia
fundamental a su banda de [64-128] Hz. Los demás coeficientes de detalle
también presentan una amplitud considerable, debido a la existencia de armónicos
impares hasta el 33 (1980 Hz).
120
Las funciones Wavelet y de escala empleadas en el proceso de análisis
(descomposición en 6 niveles) y síntesis fueron las siguientes:
Figura 7.91: Funciones Wavelet y de escala empleadas en el proceso de análisis y síntesis.
121
7.3. FILTRO DE KALMAN MODELO 1
7.3.1. ARRANQUE Y SALIDA DE OPERACIÓN DE MOTORES
• Se le aplica el algoritmo a Vab (Ver figura 6.1):
Se consideraron únicamente el primer armónico (60 Hz) debido a que para las
demás frecuencias su magnitud resultó ser despreciable. Los resultados obtenidos
fueron los siguientes:
Figura 7.92: Amplitud del primer armónico (60 Hz).
Figura 7.93: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
122
Figura 7.94: Magnitud de la ganancia de Kalman para el primer armónico (60 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 0.00395608925414 kV y la
magnitud de la ganancia de Kalman KK es 0.31085422359579.
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.1):
Se consideró únicamente el primer armónico (60 Hz) debido a que para las demás
frecuencias su magnitud resultó ser despreciable. Los resultados obtenidos fueron
los siguientes:
Figura 7.95: Amplitud del primer armónico (60 Hz).
Figura 7.96: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
123
Figura 7.97: Magnitud de la ganancia de Kalman para el primer armónico (60 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 0.00199664230663 kA y la
magnitud de la ganancia de Kalman KK es 0.31085422359579.
7.3.2. FALLO LÍNEA-TIERRA
• Se le aplica el algoritmo a Ia (Ver figura 6.2):
Se consideraron los armónicos impares hasta el noveno (540 Hz). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.98: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
124
Figura 7.99: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
Figura 7.100: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 0.04650319183886 kA, la cual
influye en la aparición de componentes de amplitud apreciable hasta el noveno
armónico en el intervalo de tiempo de ocurrencia del fallo. La magnitud de la
ganancia de Kalman KK es 0.31085449047461.
125
• Se le aplica el algoritmo a Va (Ver figura 6.2):
Se consideraron los armónicos impares hasta el noveno (540 Hz). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.101: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
Figura 7.102: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
126
Figura 7.103: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 6.81134698170672 kV y debido a
su pequeña amplitud, únicamente se presenta una componente de amplitud
apreciable en el primer armónico (60Hz). La magnitud de la ganancia de Kalman
KK es 0.31085449047461.
• Se le aplica el algoritmo a Vb (Ver figura 6.2):
Se consideraron los armónicos impares hasta el noveno (540 Hz). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.104: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
127
Figura 7.105: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
Figura 7.106: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 4.23273691953149 kV y debido a
su pequeña amplitud, únicamente se presenta una componente de amplitud
apreciable en el primer armónico (60Hz). La magnitud de la ganancia de Kalman
KK es 0.31085449047461.
128
7.3.3. PRESENCIA DE ARMÓNICOS DE SECUENCIA CERO EN UNA CARGA
TRFÁSICA BALANCEADA
• Se le aplica el algoritmo a IfaseA (Ver figura 6.3):
Se consideraron los armónicos impares hasta el décimo noveno (1140 Hz). Los
resultados obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.107: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
129
Figura 7.108: Amplitud de los armónicos impares desde el 11º (660 Hz) hasta el 19º (1140 Hz).
Figura 7.109: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
130
Figura 7.110: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 9º (1140 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 0.00769234563485 A y debido a su
pequeña amplitud, se presentan componentes de amplitud apreciable en el primer
armónico (60Hz) y en componentes de frecuencia de secuencia cero tales como el
tercer, noveno y quinceavo armónico (180, 540 y 900 Hz respectivamente). La
magnitud de la ganancia de Kalman KK es 0.14037398315304.
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.3):
Se consideraron los armónicos impares hasta el décimo noveno (1140 Hz). Los
resultados obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.111: Amplitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
131
Figura 7.112: Amplitud de los armónicos impares desde el 11º (660 Hz) hasta el 19º (1140 Hz).
Figura 7.113: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
132
Figura 7.114: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 19º (1140 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 9.515662265470737e-004 A y
debido a su pequeña amplitud, presentan componentes de amplitud apreciable en
componentes de frecuencia de secuencia cero tales como el tercer, noveno y
quinceavo armónico (180, 540 y 900 Hz respectivamente). La magnitud de la
ganancia de Kalman KK es 0.14037398315304.
7.3.4. CONTROLADOR DE CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICO DE SEIS PULSOS
• Se le aplica el algoritmo a I1 (Ver figura 6.4):
Se consideraron los armónicos impares hasta el 33 (1980 Hz). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.115: Magnitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
133
Figura 7.116: Magnitud de los armónicos impares desde el 11º (660 Hz) hasta el 19º (1140 Hz).
Figura 7.117: Magnitud de los armónicos impares desde el 21º (1260 Hz) hasta el 29º (1740 Hz).
134
Figura 7.118: Magnitud de los armónicos impares 31º (1860 Hz) y 33º (1980 Hz).
Figura 7.119: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
Figura 7.120: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 33º (1980 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 6.814680211913625e-004 kA. Se
presentan componentes de amplitud apreciable en componentes de frecuencia
135
impares, comenzando desde la fundamental (60 Hz ) hasta el armónico 33 (1980
Hz). La magnitud de la ganancia de Kalman KK es 0.05505860740890.
7.3.5. CARGA TRIFÁSICA DESBALANCEADA GENERADORA DE ARMÓNICOS
• Se le aplica el algoritmo a Ineutro (Ver figura 6.5):
Se consideraron los armónicos impares hasta el 33 (1980 Hz). Los resultados
obtenidos fueron los siguientes:
Figura 7.121: Magnitud de los armónicos impares hasta el 9º (540 Hz).
136
Figura 7.122: Magnitud de los armónicos impares desde el 11º (660 Hz) hasta el 19º (1140 Hz).
Figura 7.123: Magnitud de los armónicos impares desde el 21º (1260 Hz) hasta el 29º (1740 Hz).
137
Figura 7.124: Magnitud de los armónicos impares 31º (1860 Hz) y 33º (1980 Hz).
Figura 7.125: Señal original y filtrada, junto a su respectivo error absoluto.
Figura 7.126: Magnitud de la ganancia de Kalman para los armónicos impares hasta el 33º (1980 Hz).
La magnitud del error absoluto máximo es de 0.00101485684379 kA. Se
observan componentes de amplitud apreciable en componentes de frecuencia
138
impares, empezando de la fundamental (60 Hz) hasta el armónico 33 (1980 Hz),
siendo de mayor amplitud las componentes de secuencia cero. La magnitud de la
ganancia de Kalman KK es 0.05505860740890.
139
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140
CONCLUSIONES
La calidad de energía eléctrica es en la actualidad un factor fundamental para
asegurar el desarrollo tecnológico. El costo de una mala calidad de la energía
eléctrica en el comercio y en la industria se estima en pérdidas anuales, y por ello
es indispensable la implementación de nuevos métodos de medida que permitan
analizar en forma muy precisa las características de la energía eléctrica
suministrada.
Dentro de las distintas perturbaciones que afectan a la calidad de energía, las
interrupciones en el suministro, los huecos de tensión y corriente (sags) y las
sobretensiones (swells) son las más importantes, tanto por su frecuencia de
repetición como por los efectos económicos que producen.
Las principales conclusiones obtenidas en este desarrollo son las siguientes:
• La transformada discreta de Fourier con ventana deslizante (SDFT) posee la
ventaja de que actualiza sus valores con cada muestra obtenida, pero presenta
una importante limitación en el caso de detección y análisis de eventos de
corta duración que afectan la magnitud de señales de tensión o corriente.
• El empleo de Wavelets presenta importantes ventajas en cuanto a la detección
y determinación de los parámetros temporales de los eventos en la tensión y
corriente de suministro eléctrico, tales como los cambios de amplitud de una
determinada señal de tensión o corriente, empleando para ello los coeficientes
de detalle del primer nivel de descomposición.
• Mediante el análisis multiresolución (MRA) es posible analizar una señal en
diferentes frecuencias con diferentes resoluciones, caso contrario de la
transformada discreta de Fourier con ventana deslizante (SDFT) , que emplea
141
una resolución fija para todo los tiempos, es decir la transformada Wavelet
(WT) permite obtener una resolución fina en frecuencia y gruesa en tiempo
para señales de baja frecuencia, y una resolución fina en el tiempo y gruesa en
frecuencia para señales de alta frecuencia.
• La presencia de ruidos de alta frecuencia y la existencia de escalones en el
inicio o en final del evento puede dar origen a importantes errores en el análisis
Wavelet, los cuales invalidan su utilización directa en sistemas automáticos de
detección y medida.
• Se ha comprobado mediante el empleo de un modelo de 2n variables de
estado en el filtrado de Kalman (KF), las cuales corresponden a las
componentes en fase y cuadratura de los n-1 armónicos impares, junto a la
respectiva componente de la frecuencia fundamental (60 Hz), tiene como
consecuencia una representación adecuada de las señales de tensión y
corriente consideradas en este estudio.
• El modelo 1 del filtrado del Kalman (KF) presenta una desventaja en cuanto a
la existencia de un retraso en la detección del comienzo y del final de un
evento, lo cual influye en la magnitud del error absoluto calculado.
• Los resultados que presenta el filtro de Kalman (KF) son muy buenos en
estado estacionario, ya que se establece un modelo lineal del sistema, pero en
caso de producirse un evento en el que exista una variación en la frecuencia
de la señal, este filtro se inestabiliza y proporciona resultados imprevisibles, lo
cual se manifiesta en la divergencia de la ganancia de Kalman calculada.
• La magnitud del error máximo absoluto obtenido de las simulaciones
implementadas en PSCAD 4.1.0 fue menor en el empleo de la transformada
Wavelet Daubechies D4, mientras que por medio del filtrado de Kalman (KF)
142
modelo 1 se obtuvo las mayores magnitudes en dicho error. Para disminuir
este error, es necesario recurrir a un modelo no lineal, en el cual la frecuencia
de la señal de tensión o corriente analizada es una variable de estado
adicional, junto a las 2n variables de estado que corresponden a las
componentes en fase y en cuadratura de los n armónicos existentes
(incluyendo el primer armónico o frecuencia fundamental).
• El filtrado de Kalman (KF) modelo 1 fue diseñado para n componentes de
frecuencia impares, hecho por el cual se presenta un mayor error absoluto en
el fallo línea-tierra que en las demás simulaciones, ya que no son considerados
los armónicos de secuencia cero pares.
• La transformada discreta de Fourier con ventana deslizante (SDFT) permite
apreciar, de una forma mucho mas clara, las frecuencias predominantes en el
espectro, en las simulaciones desarrolladas del controlador de corriente alterna
trifásico de seis pulsos, y de la carga trifásica desbalanceada generadora de
armónicos, que por medio del análisis Wavelet. Esto se debe principalmente a
que en este último método sólo es posible apreciar bandas de frecuencia, más
no frecuencias en particular.
143
A. TRANSFORMADA DE FOURIER
La serie de Fourier se emplea para representar una función en un intervalo. Si
dicha función se encuentra definida para todo t, puede ser representada si es
periódica, de lo contrario no es posible, a menos que se convierta en la integral de
Fourier al hacer tender su período T al infinito [12].
jwt
k
n ekCtx �∞
−∞=
= )()( Serie de Fourier en forma compleja. (A.1)
Coeficientes de Fourier complejos. (A.2)
Donde oo kfkww π2==
)(lim)( kCTwX nT
⋅=∞→
Transformada de Fourier. (A.3)
La Transformada de Fourier (FT) de una señal x(t) continua, que es una
particularización de la transformada de Laplace con s=jw, la expresa como una
suma de exponenciales complejas periódicas tal como se ilustra:
+∞
∞−
−== dtetxwXtxF jwt)()()}({ (A.4)
Siendo su transformada inversa (IFT):
+∞
∞−
= ωωπ
ω deXtx tj)(2
1)( (A.5)
−=
T
jkwot dtetXT
kCn )(1
)(
144
Según la expresión de )(ωX , es de notar que los límites de integración van desde
∞− a ∞+ , lo cual indica que no interesa el instante de tiempo en el cual aparece
la componente de frecuencia ω , ya que no afectará el resultado de integración.
Por lo tanto la FT solamente es capaz de entregar información de la existencia o
no de ciertas componentes de frecuencia, más no en qué instantes se presentan,
hecho por el cual no es adecuada para señales no estacionarias, siendo necesario
el empleo de otra técnica.
Las condiciones para que x(t) pueda obtener la transformada de Fourier [12] son
las siguientes:
• x(t) debe ser absolutamente integrable, es decir:
∞<∞
∞−
dttx2
)( (A.6)
• x(t) debe tener un número finito de discontinuidades.
• x(t) debe tener un grado de oscilación finito.
145
B. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
B.1. LINEALIDAD
)()()}()({ wbYwaXtbytaxF +=+ (B.1)
B.2. DERIVADA
)()()(
wXjwt
txF n
n
n
=���
���
∂
∂ En el tiempo. (B.2)
{ }n
nnn
t
wXjtxtF
∂
∂=
)()()( En la frecuencia.
(B.3)
B.3. INTEGRAL
)()0()(1
)( wXwXjw
dttxF
t
δπ+=���
���∞−
(B.4)
B.4. ESCALADO
{ } �
���
=a
wX
aatxF
1)( (B.5)
B.5. DESPLAZAMIENTO
{ } )()( wXeatxF jwa−=− En el tiempo. (B.6)
{ } )()(2 afXtxeF atj −=π En la frecuencia. (B.7)
146
B.6. CONVOLUCIÓN
∞
∞−
−= dxxtgxfgf )()(* (B.8)
)()()}(*)({ wYwXtytxF = En el tiempo. (B.9)
[ ])(*)(2
1)}()({ wYwXtytxF
π= En la frecuencia.
(B.10)
B.7. SIMETRÍA
{ } { } )(2)()()( wxtXFwXtxFSi −=→= π (B.11)
B.8. MODULACIÓN
{ } :entoncesR, y w )()( 0 ∈= wXtxFSi
{ } [ ])()(2
1)cos()( 000 wwXwwXtwtxF −++= (B.12)
{ } [ ])()(2
1)sin()( 000 wwXwwXtwtxF −−+= (B.13)
147
C. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LAS TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE
SEÑALES
C.1. VECTORES BASE
Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente
independientes (L.I.), de tal forma que cualquier vector Vv∈ puede ser escrito
como una combinación lineal de dichos vectores base. Es posible la existencia de
más de una base para V; sin embargo todas estas bases poseen la misma
cantidad de vectores L.I., lo cual se conoce como dimensión del espacio vectorial
(dim(V)). Esto puede ser expresado de la siguiente forma:
�=n
nnvcv (C.1)
La anterior muestra cómo Vv∈ puede ser escrita como una combinación lineal de
los vectores base kv y los respectivos coeficientes nc .
Generalizando (3.1) a funciones reemplazando los vectores base nv por )(tnφ se
tiene:
( ) ( ) Sintesisn n
n
f t c tφ= →� (C.2)
C.2. PRODUCTO INTERIOR
Sean f(t) y g(t) dos funciones en ],[2 baL (conjunto de funciones cuadrado
integrables en [a,b]). Su producto interior se define de la siguiente manera:
>=<b
a
dttgtftgtf )()()(),( * (C.3)
148
C.3. ORTOGONALIDAD
Sean v y w dos vectores en V, entonces se dice que son ortogonales si y solo si su
producto interior es nulo, es decir:
� =>=<k
kkwvwv 0, *
(C.4)
Generalizando la anterior expresión a funciones se tiene que:
0)()()(),( * =>=< b
a
dttgtftgtf (C.5)
C.4. VECTORES ORTOGONALES EN EL PLANO
Existe una expresión para determinar un vector Vv∈ en el plano en términos de
una pareja ortogonal de vectores v1 y v2 V∈ [18]:
2211 vcvcv += (C.6)
Figura 3.1: Vectores ortogonales en el plano.
149
Esta construcción geométrica puede ser obtenida mediante productos punto o
internos obteniéndose la siguiente expresión:
,
,n
n
n n
v vc
v v
< >=
< >(C.7)
Generalizando la anterior expresión a funciones se tiene que:
( ), ( ), 1, 2 Analisis
( ), ( )n
n
n n
f t tc n
t t
φφ φ
< >= = →
< >(C.8)
C.5. ORTONORMALIDAD
Un conjunto de vectores kv son ortonormales si y solo si son ortogonales entre si y
su magnitud es igual a uno, es decir:
1, , ker
0, i j ij
si i jv v Función de Kronec
si i jδ
=�< >= = →�
≠�(C.9)
Si se tiene un conjunto de funciones )(tkφ entonces:
2*
a
, 0 y , ( ) 1b b
i j i j i i i
a
dt t dtφ φ φ φ φ φ φ< >= = < >= = (C.10)
Es posible que exista más de un conjunto de funciones bases; sin embargo, entre
ellas, las que son ortonormales son de gran importancia debido a que gracias a
sus propiedades, hacen posible la evaluación computacional de sus coeficientes
en una forma rápida y simple.
En bases ortonormales se tiene que:
( ) ( ) ( ), ( ) ( )n n n n
n n
f t c t f t t tφ φ φ= = < >� � (C.11)
150
D. SUBESPACIOS VECTORIALES ANIDADOS
Sean jW espacios vectoriales que define todas las señales x(t) que pueden ser
sintetizadas a través de las Wavelets ∞<<−∞ kw kj ,, . Estos espacios son
ortogonales entre si y es posible sintetizar cualquier señal x(t):
, ,( ) ( ), Donde ( ) ( )j j j k j k
j k
x t x t x t c w t= =� � (D.1)
Sean jV espacios vectoriales que define las funciones x(t) que pueden ser
sintetizadas a través de las wavelets ∞<<∞−< kjiw ki y ,, y como
anteriormente se mencionó, dichos espacios son ortogonales entre si y x(t) puede
ser expresado de la siguiente forma:
1
, ,( ) ( )i j
i k i k
i k
x t c w t= −
=−∞
= �� (D.2)
Como puede observarse, los espacios jV son anidados, es decir jV es un espacio
vectorial con respecto a las operaciones en 1+jV , lo cual significa que jV es un
subespacio de 1+jV ).( 21 LVV jj ⊂⊂ + [19]
• Si ∞→j entonces se extiende a todas las señales (L2).
• Si −∞→j entonces disminuye hasta 0, =kiw .
Es decir:
{ } 23210120 LVVVVVV ⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −− �� (D.3)
151
A partir de las definiciones anteriores que toda señal en 1+jV es la suma de una
señal en jV y jW :
1
, , , , , ,( ) ( ) ( ) ( )i j i j
i k i k i k i k j k j k
i k i k k
x t c w t c w t c w t= = −
=−∞ =−∞
= = +�� �� � (D.4)
Lo anterior también puede ser escrito como:
jjj VWV +=+1 (D.5)
Esto muestra claramente que los jW son las diferencias entre los espacios
adyacentes jV y 1+jV :
1j j jW V V+= − (D.6)
Figura D.1: Subespacios vectoriales anidados.
152
Los espacios jV tienen una muy importante propiedad relacionada a la
compresión en el tiempo por factores de 2, la cual establece que x(t) está en el
espacio jV si y solo si x(2t) está en el siguiente espacio 1+jV , es decir:
)(2
1)2( ,1,1 twtw kiki ++ = (D.7)
Existen también un conjunto de funciones de escala (detalle) que pueden producir
el espacio jV tales como:
)2(2)( 2, ktt j
j
kj −= φφ (D.8)
153
E. TRANSFORMADA Z
Sea x[n] una señal definida en el dominio del tiempo discreto, y z{x[n]}=X(z) su
respectiva transformada z, entonces [23]:
X( ) [ ]Z ; Z n
n
z x n n Z Transformada bilateral∞
−
=−∞
= ∈ →� (E.1)
0
X( ) [ ]Z ; Z n
n
z x n n Z Transformada unilateral∞
− +
=
= ∈ →� (E.2)
Donde z=Aejw.
Algunas propiedades de la transformada z son las siguientes:
E.1. LINEALIDAD
)(x)(x]}[][{ 22112211 zazanxanxaZ +=+ (E.3)
E.2. DESPLAZAMIENTO TEMPORAL
)x(z])[( zknxZ k−=− (E.4)
E.3. CONVOLUCIÓN
))·y(x(][*][( zznynxZ = (E.5)
E.4. DIFERENCIACIÓN
dz
zXdznnxZ
))((])[( −= (E.6)
154
E.5. ESCALAMIENTO
�
���
↔a
zXnxa n ][ (E.7)
E.6. INVERSIÓN EN EL TIEMPO
)(][ 1−↔− zXnx (E.8)
155
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