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Análise Matemática I

Nenad Manojlovic

Departmento de MatemáticaFaculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade do Algarve

Ano Lectivo 2010/11Cursos: MIEA e MIEB

Nenad Manojlovic Análise Matemática I

Conteúdos programáticos

1 IntroduçãoElementos da teoria dos números reaisFunçõesIndução matemática

2 SucessõesSucessão, sucessão convergente e limiteSucessão enquadrada e cálculo de limitesSucessão limitada e sucessão de CauchyRecta acabada, indeterminações e cálculo de limites

3 Séries numéricasSéries numéricas, convergência e propriedades geraisSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixoConvergência absoluta



4 Complementos de funções reais de variável realLimite num ponto, limite lateral e cálculo de limitesFunções contínuas e suas propriedadesFunção exponencial e logarítmicaFunções trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas

5 Cálculo DiferencialDerivada num ponto, derivada lateral e regras de derivaçãoFunções diferenciáveis e suas propriedades



6 Primitivas e integral indefinido

7 Séries de funções


IntroduçãoSucessões

Séries numéricas

Elementos da teoria dos números reaisFunçõesIndução matemática

Corpo dos números reais

∀a,b∈R a + b ∈ R e a · b ∈ R, i.e. a adição e a multiplicação sãofechadas em R;

∀a,b,c∈R a + (b + c) = (a + b) + c, i.e. adição é associativa em R;

∀a,b,c∈R a · (b · c) = (a · b) · c, i.e. a multiplicação é associativaem R;

∃0 ∈ R : ∀a∈R a + 0 = 0 + a = a, i.e. o zero é o elemento neutroda adição;

∃1 ∈ R : ∀a∈R a · 1 = 1 · a = a, i.e. o número um é o elementoneutro da multiplicação;



Séries numéricas


Corpo dos números reais

∀a∈R ∃(−a) ∈ R : a + (−a) = (−a) + a = 0, i.e. todo o númeroreal tem simétrico;

∀a 6=0 ∃a−1 ∈ R : a · a−1 = a−1 · a = 1, i.e. todo o real distinto dezero tem inverso;

∀a,b∈R a + b = b + a, i.e. a adição é comutativa em R;

∀a,b∈R a · b = b · a, i.e. a multiplicação é comutativa em R;

∀a,b,c∈R a · (b + c) = a · b + a · c, i.e. a multiplicação é distributivaa respeito da adição;



Séries numéricas


Axiomas de ordem

Definição

O conjunto dos números positivos, R+, é um subconjunto de Rfechado para a adição e a multiplicação.

Definição

Um número real diz-se negativo se o seu simétrico é positivo.

AxiomaQualquer número real distinto de zero é positivo ou negativo, i.e.R \ {0} ⊂ R+ ∪ R−.



Séries numéricas


Axiomas de ordem

Definição

Diz-se a é maior de b, e escreve-se a > b, se a− b ∈ R+.

Teorema (Tricotomia)

Sendo a e b números reais, verifica-se necessariamente uma e umasó das condições a > b, a = b, a < b.

Teorema (Transitividade)

Quaisquer que sejam os reais a,b e c, se for a > b e b > c, serátambém a > c.



Séries numéricas


Axiomas de ordem

TeoremaSejam a e b números reais tais que a > b. Então

Para quaisquer número real c tem-se a + c > b + c.

Para quaisquer número positivo c tem-se a · c > b · c.

Para quaisquer número negativo c tem-se a · c < b · c.



Séries numéricas


Módulo

Definição

Seja a um número real. Então o módulo de a é

|a| =

{a se a > 0,−a se a < 0.



Séries numéricas


Módulo

TeoremaSeja a número real não negativo. Então

|x | = a⇔ x = a ou x = −a. Em particular, |x | = 0⇔ x = 0.

|x | 6 a⇔ −a 6 x 6 a.

|x | > a⇔ x > a ou x 6 −a.



Séries numéricas


Módulo

TeoremaSejam a e b números reais. Então

|a · b| = |a| · |b|. Em particular, se b 6= 0,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

.

|a + b| 6 |a|+ |b|.

|a− b| > |a| − |b|.



Séries numéricas


Sinal

Definição

Seja a um número real. Então o sinal de a é

sgn(a) =

1 se a > 0,0 se a = 0,−1 se a < 0.

Teorema

Para quaisquer número real a tem-se a = |a| sgn(a).



Séries numéricas


Parte inteira

Definição

Diz-se a parte inteira do número real b é o inteiro [b] menor ou igual ab tal que

b = [b] + ρ, 0 6 ρ < 1.



Séries numéricas


Números naturais

Axiomas de Peano

1 1 ∈ N, i.e. um é um natural.

2 Qualquer natural n ∈ N tem um único sucessor n∗ ∈ N, quetambém é um natural.

3 Sendo m,n ∈ N se fôr m∗ = n∗ será também m = n.

4 Qualquer subconjunto K de N tal que 1 ∈ K e ∀k ∈ K⇒ k∗ ∈ Ké igual a N, i.e. K = N.



Séries numéricas


Naturais N

Adição de inteiros

∀n ∈ N tem-se n∗ = n + 1;

Quando n + m ∈ N então n + m∗ = (n + m)∗.

Multiplicação de inteiros

∀n ∈ N tem-se n · 1 = n;

Quando n ·m ∈ N então n ·m∗ = n ·m + n.

A adição e a multiplicação são fechadas, associativas e comutativasem N.



Séries numéricas


Inteiros Z

A equaçãox + n = m, onde m,n ∈ N

pode não ter a solução em N. Por isso consideramos o conjunto dosnúmeros inteiros, formado pelos naturais, os simétricos dos naturaise zero. Formalmente, os inteiros são todos os reais que podemexprimir-se como diferença de dois números naturais, i.e. queadmitem uma representação da forma

x = m − n, onde m,n ∈ N.

O conjunto dos inteiros usualmente é designados por Z.



Séries numéricas


Racionais Q

Dados inteiros q 6= 0,p ∈ Z a equação

q · x = p,

pode não ter a solução em Z. Por isso consideramos o conjunto dosnúmeros racionais. Os racionais são todos os reais que seidentifiquem com o cociente de dois números inteiros, i.e. quepossam representar-se na forma

x =pq, onde q 6= 0,p ∈ Z.

Os racionais são usualmente designados por Q. São obviasinclusões

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.



Séries numéricas


Números irracionais

A inclusãoQ ⊂ R

é mesmo estrita, ou seja, haverá números reais que não sejamracionais? Sim, a solução da equação

x2 = 2,

não é um número racional, i.e. não se pode exprimir na forma x = pq ,

onde q 6= 0,p ∈ Z. Também, o π não é número racional. Essesnúmeros são irracionais.



Séries numéricas


Intervalos

O conjunto dos reais x tais que a 6 x 6 b chama-se intervalofechado e designa-se por [ a , b ].

O conjunto dos reais x tais que a < x < b chama-se intervaloaberto e designa-se por ( a , b ).

Os conjunto dos reais x tais que a < x 6 b e a 6 x < b sãosemi-abertos, ou semi-fechados, e são designados por ( a , b ] e[ a , b ), respectivamente.



Séries numéricas


Conjuntos limitados

Seja K um subconjunto de R e a e b dois reais.

Dizemos que b é um majorante do K se qualquer elemento deK fôr menor ou igual a b, i.e ∀x∈K x 6 b.

O conjunto K ⊂ R diz-se majorado se tiver majorantes.

Dizemos que a é um minorante do K se fôr ∀x∈K a 6 x .

O conjunto K ⊂ R diz-se minorado se tiver minorantes.

Chamaremos ilimitados conjuntos que não são limitados.



Séries numéricas


Máximo, mínimo

Seja K um subconjunto de R.

Pode existir ou não em K um elemento maior do que todos osoutros, i.e o único majorante de K que pertence ao conjunto K.Este elemento é o elemento máximo de K, designado pormax(K ).

O mínimo de K, se existe, é o menor dos elementos de K, i.e oúnico minorante de K que pertence ao conjunto e é designadopor min(K ).



Séries numéricas


Máximo, mínimo

Teorema (ordenção dos naturais)

Qualquer subconjunto não vazio de N tem elemento mínimo.

TeoremaQualquer subconjunto finito e não vazio de R tem máximo e mínimo.



Séries numéricas


Supremo, ínfimo

Seja K um subconjunto de R. Designamos por V o conjunto de todosos seus majorantes e por U o conjunto de todos os seus minorantes.

Chama-se supremo de K o elemento mínimo de V , caso existir.

Chama-se ínfimo de K o elemento máximo de U, caso existir.



Séries numéricas


Supremo, ínfimo

Axioma do supremo

Qualquer subconjunto de R majorado e não vazio tem supremo.

Axioma do ínfimoQualquer subconjunto de R minorado e não vazio tem ínfimo.

TeoremaO conjunto N não é majorado.



Séries numéricas


Vizinhança

Seja a ∈ R e ε > 0, chamaremos vizinhança ε de a, e designaremospor Vε(a), o conjunto de todos os números reais x cuja distância a aé menor do que ε

Vε(a) = {x ∈ R : |x − a| < ε}.

A condição |x − a| < ε equivale a −ε < x − a < ε e pronto aa− ε < x < a + ε, ou x ∈ (a− ε,a + ε). Assim, Vε(a) = (a− ε,a + ε).



Séries numéricas


Interior, exterior, fronteira e fecho

Seja X ⊂ R e a ∈ R.

Caso existir ε > 0 tal que Vε(a) ⊂ X , diz-se que o ponto a éinterior ao conjunto X .

Se existir ε > 0 tal que Vε(a) ∩ X = ∅, diz-se que o ponto a éexterior ao conjunto X .

Chamaremos ponto fronteiro de X qualquer ponto a que nãoseja interior nem exterior a X .

À reunião do interior com a fronteira de um conjunto X ,designado por X , é costume chamar fecho de X , i.e.X = int(X )

⋃front(X).



Séries numéricas


Pontos de acumulação

Definição

Diz-se que um ponto a ∈ R é o ponto de acumulação do conjunto Xse qualquer vizinhança de a tem pelo menos um ponto de X distintode a, i.e.

a é ponto de acumulação de X se ∀ε>0Vε(a) ∩ (X \ a) 6= ∅.

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

Qualquer subconjunto de R, limitado e infinito, tem pelo menos umponto de acumulação.



Séries numéricas


Aplicações

Produto cartesianoO produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto dos paresordenados (x , y) tais que x ∈ A e y ∈ B. Este conjunto serádesignado por A× B, i.e.

A× B = {(x , y) : x ∈ A e y ∈ B}.



Séries numéricas


Aplicações

Aplicação

Um aplicação f de A em B é o subconjunto f ⊂ A× B de pares(x , y = f (x)), onde um elemento x ∈ A apareça uma vez só e y ∈ B,i.e.

f = {(x , y) : x ∈ A e y = f (x) ∈ B} = {(x , f (x)) : x ∈ A}.



Séries numéricas


Aplicações

De acordo com esta definição para cada x ∈ A existe um únicoy ∈ B tal que (x , y) ∈ f . O elemento y é a imagem de x por f(ou valor de f no ponto x) designado também por y = f (x).

Neste caso o conjunto A é o domínio e o conjunto B écontradomínio da aplicação f .

Para exprimir que f é uma aplicação de A em B escrevemos, porvezes, f : A→ B. Também por vezes, em lugar de dizer que A éo domínio de f , diremos que f está definida em A.



Séries numéricas


Aplicações

Uma aplicação f : A→ B diz-se:

sobrejectiva se para cada y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A talque (x , y) ∈ f .

injectiva se para quaisqer x , x ∈ A, a condição x 6= x implicaf (x) 6= f (x).

bijectiva se é injectiva e sobrejectiva.



Séries numéricas


Aplicações

Dizemos que dois conjuntos têm o mesmo número deelementos se existir uma bijecção entre eles.

Dizemos que um conjunto tem n elementos se existir umabijecção entre S = {1,2, . . . ,n} ⊂ N e o dado conjunto.

Um conjunto diz-se numerável (ou contável) se se existir umabijecção entre N e o dado conjnto.



Séries numéricas


Aplicações

Chama-se aplicação identidade a aplicação 1 : A→ A que acada x ∈ A corresponde o mesmo elemento, i.e. 1(x) = x .

Sendo f : A→ B e g : B → C duas aplicações, a composta de fe g é a aplicação g ◦ f : A→ C, (g ◦ f )(x) = g (f (x)), ∀x∈A.

Quando (g ◦ f ) = 1, dizemos que a aplicação g é a inversa da fe escrevemos f−1 = g.



Séries numéricas


Aplicações

TeoremaSe f for uma bijecção de A em B, então f tem a inversa.

TeoremaSejam f e g bijecções de A em B e de B em C, respectivamente.Então,

(g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.



Séries numéricas


Função real de variável real

Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assumesão números reais, i.e. o seu contradomínio é um subconjuntode R.

Diz-se que f é uma função de variável real se o o seu domínio éum subconjunto de R.

Uma função real de variável real é qualquer função cujo domínioe contradomínio sejam subconjuntos de R.



Séries numéricas


Gráfico da função

Seja fixado num plano um referencial cartesiano. O gráfico da funçãof , no referencial considerado, é o conjunto de pontos do plano quecorrespondem a pares (x , f (x)), com x no domínio da função f .



Séries numéricas


Operações algébricas de funções reais

Sejam f e g duas funções reais definidas nos conjuntos D1 ⊂ R eD2 ⊂ R, respectivamente.

Chama-se soma de f e g, e designa-se por f + g, a funçãodefinida em D1 ∩ D2 pela fórmula

(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x∈D1∩D2 .

De forma análoga se define o produto f · g.

O cociente das funções consideradas só é definido nos pontosx ∈ D1 ∩ D2, onde g(x) 6= 0, pela fórmula(

fg

)(x) =

f (x)

g(x).



Séries numéricas


Função limitada

Seja f uma função real com domínio D e seja A ⊂ D. Chama-seimagem do conjunto A pela função f o conjunto de todos os valoresque f assume em pontos x ∈ A, f (A) = {y : ∃x∈A y = f (x)}.

Diz-se que a função f é majorada no conjunto A se f (A) é umconjunto majorado em R.

Defini-se analogamente uma função minorada no conjunto A.

No caso de f ser majorada e minorada em A dize-se que f élimitada em A.

Uma função f que não é limitada é ilimitada em A.



Séries numéricas


Supremo, ínfimo

Sendo f majorada em A 6= ∅, chama-se supremo da função f noconjunto A o supremo do conjunto f (A), supA f = sup f (A).

Quando supA f for um dos valores que f assume no conjunto A,i.e. quando o conjunto f (A) tiver máximo, dir-se-á também que ftem máximo no conjunto A e poderá escrever-se maxA f .

Definem-se de forma análoga as noções de ínfimo e mínimo deuma função f às quais correspondem designações infA f eminA f , respectivamente.



Séries numéricas


Função monótona

Seja f uma função real com domínio D e seja A ⊂ D.

Diz-se que f é crescente no conjunto A se, quaisquer que sejamos pontos x ′, x ′′ ∈ A, tiver f (x ′) 6 f (x ′′) sempre que x ′ 6 x ′′.

f é decrescente no conjunto A se x ′ 6 x ′′ ⇒ f (x ′) > f (x ′′),∀x′,x ′′∈A.

Diz-se que f é monótona em A se for crescente ou decrescentenesse conjunto.



Séries numéricas


Função par, ímpar e periódica

Seja f uma função real definida em R.

Diz-se que f é par se f (−x) = f (x),∀x∈R.

Analogamente, diz-se que f é ímpar se f (−x) = −f (x),∀x∈R.

f diz-se periódica, com o período T ∈ R, se f (x + T ) = f (x),∀x∈R.



Séries numéricas


Método de indução

Para provar que uma determinada condição C(n) se transformanuma proposição verdadeira sempre que se substitua n por umnúmero natural, usando a indução matemática, é suficiente provarque são verificadas as duas condições:

1 C(1) é verdadeira;

2 para qualquer n ∈ N, C(n)⇒ C(n + 1).

Na pratica, para verificar a segunda condição, procura-se deduzir averacidade de C(n + 1) da hipótese C(n) ser verdadeira.



Séries numéricas


Exemplo

ProblemaDemonstre pelo princípio de indução matemática que ∀n∈N,

11 · 2

+1

2 · 3+ · · ·+ 1

n · (n + 1)=

nn + 1

.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

1 Para n = 1, temos 11·2 = 1

1+1 ⇔12 = 1

2 que é uma proposiçãoverdadeira.

2 Hipótese de indução: para certo n ∈ N, temos1

1·2 + 12·3 + · · ·+ 1

n·(n+1) = nn+1 .

Tese (aprovar): 11·2 + 1

2·3 + · · ·+ 1n·(n+1) + 1

(n+1)·(n+2) = n+1n+2



Séries numéricas


Solução

Usando a hipótese de indução, temos:

11 · 2

+1

2 · 3+ · · ·+ 1

n(n + 1)+

1(n + 1)(n + 2)

=n

n + 1+

1(n + 1)(n + 2)

=n(n + 2) + 1

(n + 1)(n + 2)

=n2 + 2n + 1

(n + 1)(n + 2)

=(n + 1)2

(n + 1)(n + 2)

=n + 1n + 2

.

como queríamos mostrar.



Séries numéricas

Sucessão, sucessão convergente e limiteSucessão enquadrada e cálculo de limitesSucessão limitada e sucessão de CauchyRecta acabada, indeterminações e cálculo de limites

Definição de sucessão

Uma sucessão de termos reais é uma função cujo domínio é oconjunto dos números naturais N, com valores reais, i.e.

u : N→ R onde n 7→ un.

Os valoresu1,u2,u3, . . . ,un, . . .

dizem-se termos da sucessão: primeiro termo, segundo termo,terceiro termo, . . . , termo de ordem n, etc.



Séries numéricas


Definição de sucessão

Uma sucessão {un} é dada

por ordenaçãou1,u2,u3, . . . ,un, . . . ,

i.e. são apresentados explicitamente e de forma ordenadaalguns termos da sucessão {un}.

pela fórmula do termo geral

un = f (n).

por recorrência

u1 = a un+1 = f (un,un−1, ...).



Séries numéricas


Exemplo

Progressão aritmética

Assim, a progressão aritmética de primeiro termo a e razão r é dada

por ordenação

a,a + r ,a + 2r , . . . ,a + (n − 1)r , . . . .

pela fórmula do termo geral un = a + (n − 1)r .

por recorrência{

u1 = a,un+1 = un + r .



Séries numéricas


Exemplo

Progressão geométrica

Assim, a progressão geométrica de primeiro termo a e razão r édada

por ordenação

a,a · r ,a · r2, . . . ,a · rn−1, . . . .

pela fórmula do termo geral vn = a · rn−1.

por recorrência{

v1 = a,vn+1 = r · vn.



Séries numéricas


Exemplos

Um exemplo importante é a sucessão 1, 12 ,

13 ,

14 , . . . O termo

geral desta sucessão é un = 1n .

Um outro exemplo é a sucessão de termo geral un = (−1)n

n+1 .



Séries numéricas


Operações algébricas

Sejam {un} e {vn} duas sucessões reais.

Chama-se soma de {un} e {vn}, e designa-se por {un + vn}, asucessão de termo geral un + vn.

De forma análoga se define o produto {un · vn}.

O cociente das sucessões consideradas só é definido quandvn 6= 0, pela fórmula de termo geral

un

vn.



Séries numéricas


Gráfico da sucessão

Seja fixado num plano um referencial cartesiano. O gráfico dasucessão {un}, no referencial considerado, é o conjunto de pontos doplano que correspondem a pares (n,un), onde n ∈ N.



Séries numéricas


Sucessão limitada

Seja {un} uma sucessão real.

Diz-se que a sucessão {un} é majorada se existir um M ∈ R talque un 6 M, ∀n∈N.

A sucessão {un} é minorada se existir um m ∈ R tal quem 6 un, ∀n∈N.

A sucessão {un} é limitada se existirem números reais m e Mtais que m 6 un 6 M para qualquer que seja número natural n.

Equivalentemente, a sucessão {un} é limitada se existir um realP tal que |un| 6 P, para qualquer n ∈ N.



Séries numéricas


Exemplos

A sucessão 1, 12 ,

13 ,

14 , . . . é limitada.

A sucessão 1,1.1,1.11,1.111, . . . é limitada.

A sucessão 1,−1,1,−1, . . . é limitada.

A sucessão 2,1.9,1.8,1.7, . . . é majorada.

A sucessão 1,3,5,7, . . . é minorada.

A sucessão de termo geral un = (−1)n−1

n+1 é limitada.



Séries numéricas


Sucessão monótona


Diz-se que a sucessão {un} é crescente se para qualquer n ∈ Nse verificar a condição un 6 un+1.

A sucessão {un} é decrescente se for un > un+1, ∀n∈N.

A sucessão {un} diz-se monótona se for crescente oudecrescente.



Séries numéricas


Exemplos

A sucessão 1, 12 ,

13 ,

14 , . . . é decrescente.

A sucessão 1,1.1,1.11,1.111, . . . é crescente.

A sucessão 1,−1,1,−1, . . . é não é crescente nemdecrescente.

A sucessão 2,1.9,1.8,1.7, . . . é decrescente.

A sucessão 1,3,5,7, . . . é crescente.

A sucessão de termo geral un = (−1)n−1

n+1 não é crescente nemdecrescente.



Séries numéricas


Sub-sucessão

Sejam {un} e {vn} duas sucessões de termos reais e naturais,respectivamente. A composta das sucessões {un} e {vn} é asucessão que tem por termo de ordem n o termo de ordem vn dasucessão {un}, i.e.

(u ◦ v)n = uvn .

Sejam {un} e {wn} duas sucessões, diremos que a sucessão{wn} é subsucessão da {un} se existir uma sucessãoestritamente crescente {vn} tal que

wn = (u ◦ v)n = uvn .



Séries numéricas


Exemplos


Considerando vn = 2n − 1 obtemos a subsucessãou1,u3,u5, . . . ,u2n−1, . . .

Considerando vn = 2n obtemos a subsucessãou2,u4,u6, . . . ,u2n, . . .

Sendo vn = 3n − 2 obtemos a subsucessãou1,u4,u7, . . . ,u3n−2, . . .

Sendo vn = 3n − 1 obtemos a subsucessãou2,u5,u8, . . . ,u3n−1, . . .

Sendo vn = 3n obtemos a subsucessão u3,u6,u9, . . . ,u3n, . . .



Séries numéricas


Sucessão convergente

Diz-se que a sucessão {un} converge para l se para qualquer queseja ε > 0 existe N ∈ N tal que, para todos os números naturaisn > N, se tenha un ∈ Vε(l) , i.e.

∀ε>0 ∃N∈N : n > N ⇒ |un − l | < ε.

Uma sucessão {un} diz-se convergente se existir um real l tal queun → l .Uma sucessão que não é convergente diz-se divergente.



Séries numéricas


Exemplo

Problema

Pela definição, mostre que a sucessão de termo geral un = 1n

converge para 0.

Solução

Para qualquer ε > 0 consideramos N =[ 1ε

]+ 1 e logo temos∣∣∣∣1n − 0

∣∣∣∣ < ε ∀n>N .



Séries numéricas


Exemplo

Problema

Pela definição, mostre que a sucessão{

3n−14n+4

}converge para 3

4 .

Solução

Para qualquer ε > 0 consideramos N =[ 1

4

( 194ε − 5

)]+ 1 e logo temos∣∣∣∣3n − 1

4n + 4− 3

4

∣∣∣∣ < ε ∀n>N .



Séries numéricas


Sucessão convergente

TeoremaQualquer sucessão convergente é limitada.

Teorema

Seja {un} uma sucessão real convergente e un → l e un → L, onde le L são reais. Então, l = L.



Séries numéricas


Limite de uma sucessão

Definição

O limite da sucessão {un} é o único número real l que verifica acondição un → l e é designado por

limn→∞

un = l .



Séries numéricas


Subsucessão de uma sucessão convergente

TeoremaQualquer subsucessão de uma sucessão convergente é tambémconvergente, para o mesmo limite.



Séries numéricas


Sucessão enquadrada

Teorema

Sejam {un}, {vn} e {wn} sucessões reais tais que

limn→∞

un = limn→∞

wn = l ,

e ainda existe um número natural N tal que

un 6 vn 6 wn, ∀n > N.

Então, {vn} é também convergente e

limn→∞

vn = l .



Séries numéricas


Cálculo de limites

Teorema

Sejam {un} e {vn} duas sucessões convergentes e

limn→∞

un = l e limn→∞

vn = m.

Então, {un ± vn} são também convergentes e

limn→∞

(un ± vn) = l ±m.



Séries numéricas


Cálculo de limites

Definição

Diremos que a sucessão {un} é um infinitésimo se

limn→∞

un = 0.

TeoremaO produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é uminfinitésimo.



Séries numéricas


Cálculo de limites

Teorema

Sejam {un} e {vn} duas sucessões convergentes e

limn→∞

un = l e limn→∞

vn = m.

Então, {un · vn} é também convergente e

limn→∞

(un · vn) = l ·m.



Séries numéricas


Cálculo de limites

Corolário

Se a ∈ R e un → l , então limn→∞ (a · un) = a · l .

LemaSe un 6= 0 para cada n ∈ N e se un → l 6= 0, então

limn→∞

(1un

)=

1l.



Séries numéricas


Cálculo de limites

Teorema

Sejam {un} e {vn} duas sucessões convergentes,

limn→∞

un = l e limn→∞

vn = m 6= 0,

e ainda vn 6= 0 para cada n ∈ N. Então,{

unvn

}é também convergente

e

limn→∞

(un

vn

)=

lm.



Séries numéricas


Exemplo

ProblemaDetermine o limite da sucessão de termo geral

un = 1 + q + q2 + · · ·+ qn−1,

onde q é um real tal que |q| < 1.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

Partindo da identidade

(1− q)(1 + q + q2 + · · ·+ qn−1) = 1− qn.

Quando |q| < 1, ainda temos limn→∞ (qn) = 0. Assim, obtemos

limn→∞

un = limn→∞

(1− qn

1− q

)=

limn→∞ (1− qn)

limn→∞(1− q)=

11− q

.



Séries numéricas


Exemplo


un =3n2 − 5n

5n2 + 2n − 6.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

Neste caso temos

limn→∞

un = limn→∞

(3n2 − 5n

5n2 + 2n − 6

)= lim

n→∞

(3− 5/n

5 + 2/n − 6/n2

)=

35.



Séries numéricas


Exemplo


un =n(n + 2)

n + 1− n3

n2 + 1.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

Neste caso temos

limn→∞

un = limn→∞

(n(n + 2)

n + 1− n3

n2 + 1

)= lim

n→∞

(n3 + n2 + 2n

(n + 1)(n2 + 1)

)= lim

n→∞

(1 + 1/n + 2/n2

(1 + 1/n)(1 + 1/n2)

)= 1.



Séries numéricas


Exemplo


un =√

n + 1−√

n.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

Neste caso temos

limn→∞

un = limn→∞

(√n + 1−

√n)

= limn→∞

((√n + 1−

√n)·√

n + 1 +√

n√n + 1 +

√n

)= lim

n→∞

(1√

n + 1 +√

n

)= 0.



Séries numéricas


Teoremas sobre sucessões limitadas

TeoremaAs sucessões limitadas e monótonas são convergentes.

Exemplo

Mostre que as sucessões de termos gerais

un = 1 +11!

+12!

+13!

+ · · ·+ 1n!,

vn =

(1 +

1n

)n

,

são convergentes, e para o mesmo limite.



Séries numéricas


Exemplo

Solução

A sucessão {un} é crescente, un+1 − un = 1(n+1)! > 0. Para provar

que é majorada observamos que

un = 1 +11!

+12!

+13!

+ · · ·+ 1n!< 1 +

(1 +

12

+122 + · · ·+ 1

2n−1

)< 1 +

11− 1/2

= 3.

À luz do teorema anterior está demonstrada a convergência destasucessão.



Séries numéricas


Solução

Para provar a sucessão {vn} é crescente e majorada observamosque

vn =

(1 +

1n

)n

= 1 + 1 +12!

(1− 1

n

)+

13!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ · · ·

+1n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·(

1− n − 1n

).

Evidentemente, vn+1 − vn > 0 e vn 6 un < 3. Ainda mais, o limitedesta sucessões é o mesmo

limn→∞

un = limn→∞

vn = e.

É possível demonstrar que o número de Neper é e = 2.71828....



Séries numéricas


Sublimite

Definição

Seja {un} uma sucessão real. Diz-se que a ∈ R é sublimite ou valorde aderência da sucessão {un} se existir uma subsucessão de {un}que convirja para a.

TeoremaQualquer sucessão limitada tem subsucessões convergentes.



Séries numéricas


Sublimite

Teorema

O número a ∈ R é sublimite da sucessão {un} se qualquer que sejaε > 0, é infinito o conjunto dos inteiros positivos n que verificam acondição un ∈ Vε(a).

Corolário

O número a ∈ R é sublimite da sucessão {un} se for verificado pelomenos uma das condições seguintes:

1 a é termo infinitamente repetido de {un},2 a é ponto de acumulação do conjunto dos termos de {un}.



Séries numéricas


Sublimite

TeoremaO conjunto dos sublimites de uma sucessão real é um conjuntofechado.

TeoremaO conjunto dos sublimites de uma sucessão limitada tem máximo emínimo.



Séries numéricas


Sublimite

Definição

Seja {un} uma sucessão limitada.

Chama-se limite máximo ou limite superior da sucessão edesigna-se por lim sup un o maior dos sublimites da sucessão.

Chama-se limite mínimo ou limite inferior da sucessão edesigna-se por lim inf un o menor dos seus sublimites.

No caso de {un} ser uma sucessão convergente, tem-se

lim sup un = lim inf un.



Séries numéricas


Exemplos

1 Considere a sucessão {1 + (−1)n nn+1}. Então,

lim sup(

1 + (−1)n nn + 1

)= 2, e lim inf

(1 + (−1)n n

n + 1

)= 0.

2 Considere a sucessão {(−1)n n+1n+2}. Então,

lim sup(

(−1)n n + 1n + 2

)= 1, e lim inf

((−1)n n + 1

n + 2

)= −1.



Séries numéricas


Sublimite

Teorema

Seja {un} uma sucessão limitada. Para que {un} seja convergente énecessário e suficiente que se verifique a igualdade

lim sup un = lim inf un.



Séries numéricas


Sucessão de Cauchy

Definição

Diz-se que a sucessão {un} é uma sucessão de Cauchy se paraqualquer que seja ε > 0 existe um N ∈ N tal que

|um − un| < ε,

para todos os naturais m,n > N.



Séries numéricas


Sucessão de Cauchy

LemaQualquer sucessão de Cauchy é limitada.

TeoremaUma sucessão real é convergente se e só se é sucessão de Cauchy.



Séries numéricas


Recta acabada

Definição

Chamaremos recta acabada, e designaremos por R, o conjuntoR ∪ {−∞,+∞}.

Um elemento x ∈ R diz-se finito se x ∈ R, e infinito no casocontrário.



Séries numéricas


Recta acabada

Definição

Consideraremos em R a seguinte relação de ordem:

Se os elementos x , y ∈ R são ambos finitos, a relação x < ytem o significado usual, i.e. coincide com a relação de ordemque considerámos em R.

para qualquer x ∈ R, tem-se −∞ < x < +∞.



Séries numéricas


Recta acabada

Em R, qualquer conjunto X ⊂ R tem supremo e ínfimo.Relativamente ao supremo:

se X 6= ∅ for um conjunto majorado, como subconjunto de R,então o seu supremo em R será o mesmo que em R;

se X não for majorado ter-se-á em R, sup X = +∞;

se X = ∅ então sup ∅ = −∞.

Relativamente ao ínfimo:

se X 6= ∅ for um conjunto minorado, como subconjunto de R,então o seu ínfimo em R será o mesmo que em R;

se X não for minorado ter-se-á em R, inf X = −∞;

se X = ∅ então inf ∅ = +∞.



Séries numéricas


Recta acabada

Na recta acabada definem-se também vizinhanças, do modoseguinte:

se a for finito, i.e. a ∈ R, e sendo ε > 0, a vizinhança ε de a éVε(a) = {x ∈ R : |x − a| < ε};

se a = −∞ e ε > 0, então Vε(−∞) =[−∞,− 1

ε

);

se a = +∞ e ε > 0, então Vε(+∞) =( 1ε ,+∞

].



Séries numéricas


Recta acabadaDiremos que a sucessão {un} converge para a ∈ R se qualquer queseja ε > 0, a condição un ∈ Vε(a) for verificada por qualquer naturaln, com eventual excepção de um número finito.Assim temos:

quando a for finito, i.e. a ∈ R, a convergência da sucessão {un}para a em R é equivalente à convergência em R;

quando a = +∞ tem-se

limn→∞

un = +∞ ⇔ ∀ε>0∃N : n > N ⇒ un >1ε

;

quando a = −∞ tem-se

limn→∞

un = −∞ ⇔ ∀ε>0∃N : n > N ⇒ un < −1ε.



Séries numéricas


Recta acabada

Por exemplo, sendo k ∈ Z,

limn→∞

(nk) =

0 se k < 0,1 se k = 0,

+∞ se k > 0.

Também

limn→∞

(an) =

0 se |a| < 1,1 se a = 1,

+∞ se a > 1,

para a 6 −1, a sucessão {an} diverge, mesmo em R.



Séries numéricas


Recta acabada

Qualquer sucessão monótona é convergente em R.

Qualquer sucessão tem subsucessões convergentes em R.

O conjunto dos sublimites de uma sucessão tem, em R,elemento máximo e elemento mínimo.

Chamaremos limite superior de uma sucessão ao máximo doconjunto seus sublimites, em R.

Chamaremos limite inferior de uma sucessão ao mínimo doconjunto seus sublimites, em R.

Para que a sucessão {un} seja convergente em R é necessárioe suficiente que se verifique a igualdade lim sup un = lim inf un.



Séries numéricas


Recta acabada

Teorema

Seja {un} uma sucessão convergente em R e, para cada n ∈ N, seja

vn =u1 + u2 + · · ·+ un

n.

Então, a sucessão {vn} é também, convergente em R e

limn→∞

vn = limn→∞

un.



Séries numéricas


Recta acabada

Logo temos o seguinte resultado: Seja {xn} uma secessão real e asecessão {yn}, dada por y1 = x1 e yn = xn − xn−1. Se {yn} convergeem R também

{ xnn

}converge e

limn→∞

xn

n= lim

n→∞yn.



Séries numéricas


Recta acabada

Exemplo

Uma aplicação imediata:

limn→∞

(1n

(12

+23

+ · · ·+ nn + 1

))= lim

n→∞

n + 1n + 2

= limn→∞

1 + 1/n1 + 2/n

= 1.



Séries numéricas


Recta acabada

Teorema

Seja {un} uma sucessão de termos positivos convergente em R e,para cada n ∈ N, seja

vn = n√

u1 · u2 · · · un.

Então, a sucessão {vn} é também, convergente em R e

limn→∞

vn = limn→∞

un.



Séries numéricas


Recta acabada

Agora temos: Seja {xn} uma secessão de termos positivos e {yn},y1 = x1 e yn = xn

xn−1. Se {yn} converge em R também { n

√xn} converge

elim

n→∞n√

xn = limn→∞

yn.



Séries numéricas


Recta acabada

Exemplo

Por exemplo, com p ∈ Z:

limn→∞

n√

np = limn→∞

(n + 1

n

)p

= 1.

Exemplo

Também:

limn→∞

n√

n! = limn→∞

((n + 1)!

n!

)= lim

n→∞(n + 1) = +∞.



Séries numéricas


Recta acabada

Adição em R

a + (+∞) = +∞, (+∞) + (+∞) = +∞,a + (−∞) = −∞, (−∞) + (−∞) = −∞, a ∈ R.

Multiplicação em R

a · (+∞) =

{+∞ se a ∈ (0,+∞],−∞ se a ∈ [−∞,0),

e

a · (−∞) =

{−∞ se a ∈ (0,+∞],+∞ se a ∈ [−∞,0).



Séries numéricas


Recta acabada

Quociente em Ra

+∞=

a−∞

= 0 ∀a∈R.

+∞b

= +∞, −∞b

= −∞ se b > 0.

+∞b

= −∞, −∞b

= +∞ se b < 0.



Séries numéricas


Recta acabada

Potência em R

0b =

{0 se b ∈ (0,+∞],+∞ se b ∈ [−∞,0),

e

(+∞)b =

{+∞ se b ∈ (0,+∞],0 se b ∈ [−∞,0).



Séries numéricas


Recta acabada

Exponencial em R

a+∞ =

{0 se 0 < a < 1,

+∞ se a > 1,

e

a−∞ =

{+∞ se 0 < a < 1,

0 se a > 1.



Séries numéricas


Indeterminações

tipo∞−∞: (+∞) + (−∞) = (+∞)− (+∞) =∞−∞.

tipo 0 · ∞: 0 · (+∞) e 0 · (−∞), mas também∞∞

= 0 · ∞ e00

= 0 · ∞.

tipo∞0: (+∞)0 e também 00 =1

(+∞)0 .

tipo 1∞: 1+∞ e 1−∞ =1

1+∞ .



Séries numéricas


Cálculo de limites na recta acabada

Teorema

Sejam {un} e {vn} duas sucessões tais que:

limn→∞

un = a, limn→∞

vn = b,

onde a,b ∈ R. Entaõ, excluindo os caso de indeterminações, temos:

limn→∞

(un ± vn) = a± b,

limn→∞

(un · vn) = a · b,



Séries numéricas


Cálculo de limites na recta acabada

Teorema

se vn 6= 0 para todo n ∈ N e b 6= 0,

limn→∞

(un

vn

)=

ab,

se {un} é uma secessão de termos positivos,

limn→∞

(uvnn ) = ab.



Séries numéricas


Levantamento de indeterminações

As indeterminações dos tipos∞−∞ e 0 · ∞ podem serlevantadas pondo em evidência os termos de maior grau.

As indeterminações do tipo∞0 podem ser levantadas utilizandoo resultado já obtido: Seja {xn} uma secessão de termospositivos e {yn}, y1 = x1 e yn = xn

xn−1. Se {yn} converge em R

também { n√

xn} converge e

limn→∞

n√

xn = limn→∞

yn.



Séries numéricas


Levantamento de indeterminações

As indeterminações do tipo 1∞ podem ser levantadas utilizandoo teorema seguinte: Sejam {un} e {vn} duas sucessões taisque:

limn→∞

|un| = +∞, limn→∞

vn = a.

Então,

limn→∞

(1 +

vn

un

)un

= ea.



Séries numéricas

Séries numéricas, convergência e propriedades geraisSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixoConvergência absoluta

Somatório

Definição

Sejam {uk} uma sucessão de termos reais e p,q dois naturais taisque p < q. Usamos o somatório

q∑k=p

uk ,

para designar a soma

up + up+1 + · · ·+ uq .



Séries numéricas


Somatório

O somatório se também pode definir por recorrência.

Definição

Sejam n ∈ N e {uk} uma sucessão de termos reais. Então,

para n = 1n∑

k=1

uk = u1,

para n > 1n∑

k=1

uk =n−1∑k=1

uk + un.



Séries numéricas


Exemplos

Determine a soma:

1n∑

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n.

2n∑

k=1

(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1).

3n∑

k=1

12k−1 = 1 +

12

+ · · ·+ 12n .



Séries numéricas


Série numérica

Definição

Seja {uk} uma sucessão de termos reais. Chama-se série a soma

∞∑k=1

uk = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un + · · · .



Séries numéricas


Série numérica

Definição

Chama-se sucessão das somas parciais da série

∞∑k=1

uk = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un + · · ·

a sucessão {Sn}, onde

Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un.



Séries numéricas


Convergência

Definição

Quando a sucessão das somas parciais {Sn} da série∑

ukconverge diz-se que a série

∑uk é convergente. Neste caso, o limite

limn→∞

Sn = S

é a soma da série e escreve-se∞∑

k=1

uk = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un + · · · = S.

Quando a sucessão {Sn} diverge, a série∑

uk diz-se divergente.



Séries numéricas


Exemplo

A série geométrica primeiro termo a e razão q

∞∑k=1

aqk−1 = a + aq + aq2 + · · ·+ aqn−1 + · · ·

é convergente se |q| < 1. Pois, neste caso a sucessão a sucessãodas suas somas parciais {Sn}, onde

Sn = a · 1− qn

1− q,

é convergente.



Séries numéricas


Exemplo

Neste caso o limite da sucessão {Sn} é

S = limn→∞

Sn = limn→∞

(a · 1− qn

1− q

)=

a1− q

.

Assim, quando |q| < 1,

∞∑k=1

aqk−1 = a + aq + aq2 + · · ·+ aqn−1 + · · · =a

1− q.



Séries numéricas


Exemplo

A série∞∑

k=1

(a + (k − 1)d) = a + (a + d) + (a + 2d) + · · ·+ (a + (n − 1)d) + · · ·

é divergente. Pois, neste caso a sucessão a sucessão das suassomas parciais {Sn}, onde

Sn = n · a +n(n − 1)

2· d ,

é divergente.



Séries numéricas


Convergência

Teorema

Se a série∑

uk é convergente, então a sucessão {uk} é uminfinitésimo.

Demonstração: Sendo∑

uk convergente, a sucessão {Sn}, onde

Sn =n∑

k=1

uk ,

é convergente eS = lim

n→∞Sn.

Assim,lim

n→∞un = lim

n→∞(Sn − Sn−1) = S − S = 0.



Séries numéricas


Exemplo

Mostre que a série

∞∑k=1

kk + 1

=12

+23

+34· · ·+ n

n + 1+ · · ·

é divergente. De accordo com o teorema anterior calculamos

limn→∞

un = limn→∞

(n

n + 1

)= lim

n→∞

(1− 1

n + 1

)= 1 6= 0.

Logo a série é divergente.



Séries numéricas


Exemplo

Estude a natureza da série∞∑

k=1

1√k +√

k + 1=

1√1 +√

2+

1√2 +√

3+ · · ·+ 1

√n +√

n + 1+ · · · .

Neste caso temos

limn→∞

un = limn→∞

(1

√n +√

n + 1

)= 0.



Séries numéricas


Exemplo

Mas, da igualdade

1√

n +√

n + 1=√

n + 1−√

n

logo temos que

Sn =(√

2−√

1)

+(√

3−√

2)

+· · ·+(√

n + 1−√

n)

=√

n + 1−√

1.

Assim,lim

n→∞Sn = +∞

e por isso concluímos que a série é divergente.



Séries numéricas


Propriedades gerais

Teorema

Sendo∑

uk e∑

vk duas séries convergentes, de somas Su eSv , respectivamente. Então, a série

∑(uk + vk ) é convergente e

a sua soma é S = Su + Sv .

Sendo∑

uk uma série convergente de soma Su e a um real.Então, a série

∑(a · uk ) é convergente e a sua soma é

S = a · Su.



Séries numéricas


Séries de Mengoli

Teorema

Sempre que o termo de ordem n de uma série∑

uk coincida com adiferença dos temos de ordem n e n + 1 de determinada sucessão{vk}, i.e. un = vn − vn−1, para cada n ∈ N, a série e a sucessãoserão conjuntamente convergentes ou divergentes e, em casoconvergência, verifica-se-á a igualdade

S = u1 + u2 + · · ·+ un + · · · = v1 − limn→∞

vn.

Demonstração: Basta notar que

Sn = u1+u2+· · ·+un = (v1−v2)+(v2−v3)+· · ·+(vn−vn+1) = v1−vn+1.



Séries numéricas


ExemploEstude a natureza da série

∞∑k=1

1k · (k + 1)

=1

1 · 2+

12 · 3

+ · · ·+ 1n · (n + 1)

+ · · · .

Utilizando a identidade

1n · (n + 1)

=1n− 1

(n + 1),

logo temos

Sn =1

1 · 2+

12 · 3

+ · · ·+ 1n · (n + 1)

= 1− 1(n + 1)

.

Portanto,S = lim

n→∞Sn = 1.



Séries numéricas


Séries de Mengoli

TeoremaSe existir um natural p tal que, para cada n ∈ N, se verifique aigualdade un = vn − vn+p a série

∑un converge se for convergente a

sucessão {wn}, onde wn = vn+1 + · · · vn+p, tendo-se, nessa hipótese

∞∑k=1

uk =

p∑k=1

vk − limn→∞

wn.

Em particular, no caso de ser convergente a sucessão {vn} ter-se-á

∞∑k=1

uk =

p∑k=1

vk − p · ( limn→∞

vn).



Séries numéricas


Exemplo

Estude a natureza da série∞∑

k=1

1k · (k + 4)

=1

1 · 5+

12 · 6

+ · · ·+ 1n · (n + 4)

+ · · · .

Tendo em conta a identidade

1n · (n + 4)

=14

(1n− 1

n + 4

),



Séries numéricas


Exemplo

logo temos

Sn =14

(1− 1

5

)+

14

(12− 1

6

)+ · · ·+ 1

4

(1n− 1

n + 4

)=

14

(1 +

12

+13

+14

)− 1

4

(1

n + 1+

1n + 2

+1

n + 3+

1n + 4

).

Assim,

S = limn→∞

Sn

=14

(1 +

12

+13

+14

)− lim

n→∞

14

(1

n + 1+

1n + 2

+1

n + 3+

1n + 4

)=

2548.



Séries numéricas


Propriedades gerais

Teorema (Critério de Cauchy)

A série∑

un é convergente se e só se para qualquer que seja ε > 0existe um N ∈ N tal que

|um + um−1 + · · ·+ un+1| < ε,

para todos os naturais m > n > N.



Séries numéricas


Propriedades gerais

Demonstração: A série∑

un é convergente se e só se a sucessão{Sn}, onde

Sn =n∑

k=1

uk ,

seja uma sucessão de de Cauchy, isto é

∀ε>0 ∃N ∈ N tal que |Sm − Sn| < ε,

para todos os naturais m > n > N.



Séries numéricas


Exemplo

Estude a natureza da série harmónica∞∑

k=1

1k

= 1 +12

+13

+ · · ·+ 1n

+ · · · .

Neste caso, sendo m > 1, tem-se

S2m − Sm =1

m + 1+ · · ·+ 1

2m>

12m

+ · · ·+ 12m︸︷︷︸

m

=12.

Isso significa que a sucessão {Sn} é divergente e consequentementea série harmónica também é divergente.



Séries numéricas


Propriedades gerais

CorolárioA natureza de uma série não é alterada se lhe suprimimos umnúmero finito de termos. Em outras palavras, sendo p ∈ N, as séries∑

uk e∑

vk serão da mesma natureza se

vn = un+p, ∀n∈N.



Séries numéricas


Séries de termos não negativos

Definição

Uma série∑

uk diz-se série de termos não negativos se

un > 0, ∀n∈N.

Lema

Sendo∑

uk uma série de termos não negativos, então a sucessãodas sua somas parciais {Sn} é crescente, isto é

Sn+1 = Sn + un+1 > Sn, ∀n∈N.



Séries numéricas



Teorema

A série∑

uk de termos não negativos é convergente se a sucessãodas sua somas parciais {Sn} é majorada.

TeoremaSuponha-se, para todo o n ∈ N, se tem 0 6 un 6 vn. Então,

se∑

vk é convergente,∑

uk é também convergente;

se∑

uk é divergente,∑

vk é também divergente.



Séries numéricas


Exemplos

1 A convergência da série∑ 1

k !pode deduzir-se da série

geométrica∑ 1

2k−1 , visto que se tem1n!

61

2n−1 , para cadan ∈ N.

2 A convergência da série∑ 1

k2 pode establecer-se, por exemplocomparando termo a termo o seu resto de ordem 1:

122 +

132 + · · ·+ 1

(n + 1)2 + · · ·

com a série∑ 1

k · (k + 1)que já sabemos ser convergente.



Séries numéricas


Exemplos

3 Da divergência da série harmónica∑ 1

k, pode deduzir-se que

são divergentes as séries∑ 1√

ke∑ 1

3√

k. Mais geralmente,

obtém-se a divergência da qualquer série∑ 1

kα, onde α < 1.

4 Para reconhecer a convergência da série∑ 1 + (−1)k

k2 bastanotar que

1 + (−1)n

n2 62n2 .



Séries numéricas



Teorema

Sejam∑

uk e∑

vk duas séries onde uk > 0 e vk > 0.

Se limn→∞

un

vn= l , onde 0 < l < +∞, então as duas séries são da

mesma natureza.

Se limn→∞

un

vn= 0, então a convergência da série

∑vk implica a

convergência da série∑

uk (ou a divergência da∑

uk implica adivergência da

∑vk ).

Se limn→∞

un

vn= +∞, então a convergência da série

∑uk implica

a convergência da série∑

vk (ou a divergência da∑

vk implicaa divergência da

∑uk ).



Séries numéricas


Exemplos

1 A série∑ 2k2 + 1

k4 + 3k2 − 1é convergente, visto que

limn→∞

2n2 + 1n4 + 3n2 − 1

1n2

= 2

e que∑ 1

k2 é convergente.

2 A série∑ 2k2 + 1

k3 + 3k2 − 1é divergente, basta compará-la com a

série harmónica.



Séries numéricas



Teorema (Critério da razão)

Seja∑

uk uma série de termos positivos.

Se existir um número r < 1 tal que, a partir de certa ordem, setenha

un+1

un6 r ,

a série∑

uk é convergente.

Se, a partir de certa ordem, se tem

un+1

un> 1,

a série∑

uk é divergente.



Séries numéricas



Corolário (Critério de D’Alembert)

Seja∑

uk uma série de termos positivos e

limn→∞

un+1

un= l .

Então, se l < 1 a série∑

uk é convergente, se l > 1 a série∑

uk édivergente.



Séries numéricas


Exemplo

Consideramos a série∑ cn · k !

kk , onde c > 0. Então,

un+1

un= c · (n + 1)!

n!· nn

(n + 1)n+1 =c(

1 +1n

)n ,

tem-selim

n→∞

un+1

un=

ce

e portanto a série converge se 0 < c < e e diverge se c > e.



Séries numéricas



Teorema (Critério da raiz)

Seja∑

uk uma série de termos não negativos.

Se existir um número r < 1 tal que, a partir de certa ordem, setenha

n√

un 6 r ,

a série∑

uk é convergente.

Se, a partir de certa ordem, se tem

n√

un > 1,

a série∑

uk é divergente.



Séries numéricas



Corolário

A série∑

uk , de termos não negativos, é convergente selim

n→∞sup n√

un < 1, divergente se limn→∞

sup n√

un > 1.

Corolário (Critério de Cauchy)

Seja∑

uk uma série de termos não negativos e

limn→∞

n√

un = l .

Então, a série∑

uk é convergente se l < 1, é divergente se l > 1.



Séries numéricas


Exemplos

1 A série∑(

k + 1k

)k2

é divergente, visto que

limn→∞

n√

un = limn→∞

(1 +

1n

)n

= e.

2 A série∑ 1

(3 + (−1)k )k é convergente. Basta observar que

limn→∞

sup n√

un =12

.



Séries numéricas



Teorema

A série de Drichlet∑ 1

kαconverge se α > 1.



Séries numéricas



Teorema (Comparação com as séries de Dirichlet)

Seja∑

uk uma série de termos não negativos.

Se existir um número α > 1 tal que

limn→∞

(nαun) < +∞,

a série∑

uk é convergente.

Se existir um número α 6 1 tal que

limn→∞

(nαun) > 0,

a série∑

uk é divergente.



Séries numéricas


Exemplos

1 A série∑ k

4k3 − 1é convergente, visto que

limn→∞

n2 · n4n3 − 1

=14.

2 A série∑ 3k2 − 5k + 4

7k3 + 2é divergente. Basta observar que

limn→∞

n · 3n2 − 5n + 47n3 + 2

=37.



Séries numéricas


Séries de termos sem sinal fixo

Teorema (Critério de Leibnitz)

Seja {uk} uma sucessão decrescente de termos positivos elim

n→∞un = 0. Então, a série

∞∑k=1

(−1)k+1uk = u1 − u2 + u3 − u4 + · · ·

é convergente.



Séries numéricas


Exemplo

A série∑

(−1)k+1 · 1kα

, onde α ∈ R, é divergente se α 6 0, vistoque o seu termo de ordem n não é um infinitésimo, se α > 0, pelocritério de Leibnitz, a série converge. Em particular, é convergente asérie harmónica alternada

1− 12

+13− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1 · 1

n+ · · · .



Séries numéricas


Séries de termos sem sinal fixo

Teorema (Critério de Dirichlet)

Suponha-se limitada a sucessão das somas parciais da série∑

vk eainda que {uk} é uma sucessão decrescente com lim

n→∞un = 0.

Então, a série∑∞

k=1 uk · vk é convergente.



Séries numéricas


Convergência absoluta

Definição

Seja∑

uk uma série.

Chama-se série de módulos de∑

uk a série∑|uk |.

Diz-se que a série∑

uk é absolutamente convergente se forconvergente a série

∑|uk |.

Diz-se que a série∑

uk é simplesmente convergente, oucondicionalmente convergente, se

∑uk é convergente, mas∑

|uk | é divergente.



Séries numéricas


Exemplos

1 A série série harmónica alternada

1− 12

+13− 1

4+ · · ·+ (−1)n+1 · 1

n+ · · · .

é simplesmente convergente.

2 A série∑

(−1)k+1 · 1√k

é simplesmente convergente.

3 A série∑

(−1)k+1 · 1k2 é absolutamente convergente.



Séries numéricas



Teorema

Sendo convergente a série∑|uk |, é também convergente a série∑

uk e tem-se ainda ∣∣∣∣∣∞∑

k=1

uk

∣∣∣∣∣ 6∞∑

k=1

|uk |.



Séries numéricas



Teorema (Critério de D’Alembert)

Seja∑

uk uma série e

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = l .

Então, se l < 1 a série∑

uk é absolutamente convergente, se l > 1 asérie

∑uk é divergente.



Séries numéricas


Exemplos

1 A série∑

(−1)k+1 · k3k−1 é absolutamente convergente, visto

que

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→∞

n + 1n· 1

3=

13.

2 A série∑

(−1)k+1 · 22k−1

(2k − 1)!é absolutamente convergente,

visto que

limn→∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = limn→∞

4(2n + 1) · 2n

= 0.



Séries numéricas



Teorema (Critério de Cauchy)

Seja∑

uk uma série e

limn→∞

n√|un| = l .

Então, a série∑

uk é absolutamente convergente se l < 1, édivergente se l > 1.



Séries numéricas


Exemplos

1 A série∑

(−1)k · 23k

32k é absolutamente convergente, visto que

limn→∞

n√|un| =

23

32 .

2 A série∑

(−1)k · 22k

(k + 2)k é absolutamente convergente, visto

que

limn→∞

n√|un| = lim

n→∞

4(n + 2)

= 0.


Funções reaisCálculo Diferencial

Limite num ponto, limite lateral e cálculo de limitesFunções contínuas e suas propriedadesFunção exponencial e logarítmicaFunções trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas

Limite de uma função num ponto

Definição

Diz-se que f (x) tende para b quando x tende para a, ou que b é olimite de f no ponto a e escreve-se

limx→a

f (x) = b

se, qualquer que seja o número positivo ε existir δ > 0 tal que, paratodo o x ∈ Df verificando a condição |x − a| < δ se tenha|f (x)− b| < ε, ou em símbolos:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Df |x − a| < δ ⇒ |f (x)− b| < ε.




Exemplo

Mostre que limx→2

4x − 5 = 3.

Para qualquer que seja ε > 0 escolhemos δ =ε

4e assim temos

0 < |x − 2| < δ ⇒ |(4x − 5)− 3| = 4|x − 2| < 4δ = ε.




Limite lateral de uma função

Definição de limite lateral à esquerda

Chama-se limite de f no ponto a à esquerda, ou limite de f (x)quando x tende para a por valores inferiores, e escreve-se

limx→a−

f (x) = b

se para qualquer que seja ε > 0 existe um δ > 0 tal que

|f (x)− b| < ε

para todo o a− δ < x < a.




Limite lateral de uma função

Definição de limite lateral à direita

Chama-se limite de f no ponto a à direita, ou limite de f (x) quando xtende para a por valores superires, e escreve-se

limx→a+

f (x) = b

se para qualquer que seja ε > 0 existe um δ > 0 tal que

|f (x)− b| < ε

para todo o a < x < a + δ.




Limite de uma função num ponto

TeoremaEvidentemente,

limx→a

f (x) = b

se e só selim

x→a−f (x) = lim

x→a+f (x) = b.




Exemplo

Seja

f (x) =

{x se x > 0,x + 1 se x 6 0.

Evidentemente,

limx→0+

f (x) = 0,

limx→0−

f (x) = 1.

Sendolim

x→0+f (x) 6= lim

x→0−f (x)

O limite limx→0

f (x) não existe.




Exemplo

Seja

g(x) =

{ √x − 1 se x > 4,

x2 − 4x + 1 se x < 4.

Então,

limx→4+

g(x) = 1,

limx→4−

g(x) = 1.

Assim,lim

x→4+g(x) = lim

x→4−g(x) = lim

x→4g(x) = 1.




Limite de uma função em R

Definição

Diz-se que f (x) tende para +∞ quando x tende para a e escreve-se

limx→a

f (x) = +∞

se, qualquer que seja o número positivo M existir δ > 0 tal que, paratodo o x ∈ Df verificando a condição |x − a| < δ se tenha f (x) > M,ou em símbolos:

∀M>0 ∃δ>0 ∀x∈Df |x − a| < δ ⇒ f (x) > M.





Definição

Diz-se que f (x) tende para −∞ quando x tende para a e escreve-se

limx→a

f (x) = −∞

se, qualquer que seja o número positivo M existir δ > 0 tal que, paratodo o x ∈ Df verificando a condição |x − a| < δ se tenha f (x) < −M,ou em símbolos:

∀M>0 ∃δ>0 ∀x∈Df |x − a| < δ ⇒ f (x) < −M.





Definição

Diz-se que um número real b é o limite de uma função f (x) quando xtende para +∞ e escreve-se

limx→+∞

f (x) = b

se para qualquer que seja o número positivo ε existir M > 0 tal que

|f (x)− b| < ε

para todo o x ∈ Df verificando a condição x > M.





Definição

Diz-se que um número real b é o limite de uma função f (x) quando xtende para −∞ e escreve-se

limx→−∞

f (x) = b

se para qualquer que seja o número positivo ε existir M > 0 tal que

|f (x)− b| < ε

para todo o x ∈ Df verificando a condição x < −M.




Cálculo de limites

TeoremaO limite de uma função, quando existe, é único.




Cálculo de limites

TeoremaSuponhamos que existem os limites

limx→a

f (x) = b e limx→a

g(x) = c, onde b, c ∈ R.

Então,

limx→a

(f (x)± g(x)) = b ± c,

limx→a

(α · f (x)) = α · b, α ∈ R,

limx→a

(f (x) · g(x)) = b · c,

limx→a

f (x)

g(x)=

bc, onde g(x), c 6= 0.

limx→a

f (x)g(x) = bc , onde f (x),b > 0.




Cálculo de limites

Limites especiais

Tem-selimx→0

sin xx

= 1, limx→0

1− cos xx2 =

12,

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e, limx→0+

(1 + x)1x = e,

limx→0

ex − 1x

= 1, limx→0

ln(1 + x)

x= 1,




Cálculo de limites

Definição

1 Diz-se que f (x) é um infinitésimo quando x tende para a se

limx→a

f (x) = 0.

2 Dizemos que f (x) e g(x) são infinitésimos da mesma ordem,quando x tende para a, se

limx→a

f (x)

g(x)= c, onde c 6= 0.

3 Quando c = 1, f (x) e g(x) dizem-se assimptóticamente iguais eescrevemos

f (x) ; g(x), quando x → a.




Exemplos

Assim temos, quando x → 0,

1 sin x ; x ,

2 1− cos x ;x2

2,

3 ln(1 + x) ; x ,

4 ex − 1 ; x .




Continuidade de função num ponto

Definição

Diz-se que uma função f (x) é contínua no ponto a se qualquer queseja o número positivo ε existir δ > 0, tal que, sempre que seja x ∈ Dfe verifique a condição |x − a| < δ, se tenha |f (x)− f (a)| < ε ou emsímbolos:

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Df |x − a| < δ ⇒ |f (x)− f (a)| < ε.





Em outras palavras, uma função f (x) é contínua no ponto a se:

1 limx→a

f (x) = l , isto é existe o limite da função f (x) no poto a;

2 a ∈ Df , isto é a função é definida no ponto a;

3 limx→a

f (x) = f (a), isto é o limite da função f (x) no poto a é igualao valor da função nesse ponto.





Uma função f (x) diz-se descontínua no ponto a se:

1 os limites laterais da função f (x) no ponto a sejam iguais, masdiferentes do valor da função no ponto a, isto élim

x→a−f (x) = lim

x→a+f (x) 6= f (a).

2 os limites laterais da função f (x) no ponto a sejam diferentes,isto é lim

x→a−f (x) 6= lim

x→a+f (x), e por isso não existe o limite da

função f (x) no ponto a.

3 pelo menos um dos limites laterais não existe e por isso tambémnão existe o limite da função f (x) no ponto a.





Para que uma função f (x) seja prolongável por continuidade aoponto a é necessário e suficiente que tenha limite nesse ponto.Existindo o limite, o prolongamento por continuidade é a funçãoF : Df ∪ {a} → R tal que

F (x) =

f (x) se x ∈ Df ,

limx→a

f (x) se x = a.




Continuidade de função num intervalo aberto

Definição

Uma função f (x) contínua em todo os ponto de um intervalo aberto(a,b) diz-se contínua nesse intervalo.




Continuidade lateral de função num ponto

Definição

Uma função f (x) diz-se contínua à esquerda no ponto a se existir olimite lateral lim

x→a−f (x) e lim

x→a−f (x) = f (a).

Definição

Uma função f (x) diz-se contínua à direita no ponto a se existir olimite lateral lim

x→a+f (x) e lim

x→a+f (x) = f (a).




Continuidade de função num intervalo fechado

Definição

Diz-se que uma função f (x) é contínua num intervalo fechado [a,b]

se é contínua em todo os ponto do intervalo aberto (a,b) e se écontínua à direita no ponto a e à esquerda no ponto b.




Propriedades das funções contínuas

TeoremaSejam f e g funções contínuas no ponto a. Então, são tambémcontínuas no ponto a seguintes funções f + g, f − g, f · g e, seg(a) 6= 0, f/g.





Teorema do valor intermédio

Seja f (x)uma função contínua no intervalo fechado [a,b] ef (a) 6= f (b). Então, para qualquer número c entre f (a) e f (b) existepelo menos um x0 ∈ (a,b) tal que f (x0) = c.

Corólario

Seja f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e sejamf (a) e f (b) de sinais opstos. Então, existe pelo menos um x0 ∈ (a,b)

tal que f (x0) = 0.





Teorema de Weierstrass

Qualquer função contínua no intervalo fechado [a,b] tem máximo emínimo nesse intervalo.




Função exponencialSeja a > 0. Chama-se função exponencial de base a a função

f (x) = ax ,

tal que:

o seu domínio é R e a função é contínua no seu domínio;

o seu contra-domínio é (0,+∞);

esta função não tem zeros;

é estritamente crescente quando a > 1; é estritamentedecrescente para 0 < a < 1; é constante quando a = 1;

é injectiva se a 6= 1;

tem-se a0 = 1;

tem-se ax+y = ax · ay .




Função exponencial de base natural

Seja e o número de Neper, isto é

e = limn→0

(1 +

1n

)n

=+∞∑n=0

1n!.

Chama-se função exponencial de base natural a função

f (x) = ex .

É possível mostrar que

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · ,

qualquer que seja x ∈ R.




Função logarítmica

Seja a > 0 e a 6= 1. Chama-se logaritmo de x na base a a função

f (x) = loga x ,

tal que:

o seu domínio é (0,+∞) e a função é contínua no seu domínio;

o seu contra-domínio é R;

tem um zero em x = 1;

quando a > 1 é negativa para x ∈ (0,1) e positiva parax ∈ (1,+∞);

quando 0 < a < 1 é negativa para x ∈ (1,+∞) e positiva parax ∈ (0,1);




Função logarítmica

é estritamente crescente se a > 1; é estritamente decrescentese 0 < a < 1;

é injectiva;

é a inversa da função exponencial.

tem-se: loga a = 1;

tem-se: loga 1 = 0;

tem-se: loga(x · y) = loga(x) + loga(y);

tem-se: loga(xn) = n · loga(x);

tem-se: loga x =logb xlogb a

, onde b > 0 e b 6= 1.

Chama-se logaritmo natural de x a função

f (x) = loge x = ln x .




Função senoChama-se seno de x a função

f (x) = sin x ,

tal que:

o seu domínio é R;

o seu contra-domínio é [−1,1];

é uma função ímpar;

tem zeros em x = kπ, k ∈ Z;

é uma função periódica de período 2π;

é positiva para x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z;

é negativa para x ∈ ((2k − 1)π,2kπ), k ∈ Z;

é estritamente crescente para x ∈(−π

2+ 2kπ,

π

2+ 2kπ

),

k ∈ Z;




Função seno

é estritamente decrescente para x ∈(π

2+ 2kπ,

3π2

+ 2kπ)

,

k ∈ Z;

tem o valor máximo y = 1 nos pontos x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z;

tem o valor mínimo y = −1 nos pontos x = −π2

+ 2kπ, k ∈ Z;

não é injectiva;

é injectiva no intervalo[−π

2+ 2kπ,

π

2+ 2kπ

], k ∈ Z;

o intervalo[−π

2,π

2

]chama-se ramo principal da função seno.




Função cossenoChama-se seno de x a função

f (x) = cos x ,

o seu domínio é R;

o seu contra-domínio é [−1,1];

é uma função par;

tem zeros em x =π

2+ kπ, k ∈ Z;

é uma função periódica de período 2π;

é positiva para x ∈(−π

2+ 2kπ,

π

2+ 2kπ

), k ∈ Z;

é negativa para x ∈(π

2+ 2kπ,

3π2

+ 2kπ)

, k ∈ Z;

é estritamente crescente para x ∈ ((2k − 1)π,2kπ), k ∈ Z;Nenad Manojlovic Análise Matemática I



Função cosseno

é estritamente decrescente para x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z;

tem o valor máximo y = 1 nos pontos x = 2kπ, k ∈ Z;

tem o valor mínimo y = −1 nos pontos x = (2k − 1)π, k ∈ Z;

não é injectiva;

é injectiva no intervalo [2kπ, π + 2kπ], k ∈ Z;

o intervalo [0, π] chama-se ramo principal da função cosseno.




Função arco-senoA função inversa da função seno restringida ao seu ramo principalchama-se arco-seno a e designa-se por

f (x) = arcsin x ,

o seu domínio é o intervalo [−1,1];

o seu contra-domínio é o intervalo[−π

2,π

2

];

é uma função ímpar;

tem zero em x = 0;

é positiva para x ∈ (0,1] e é negativa para x ∈ [−1,0);

é estritamente crescente em todo o seu domínio;

tem o valor máximo y =π

2em x = 1 e o valor mínimo y = −π

2em x = −1.




Função arco-cosseno

A função inversa da função seno restringida ao seu ramo principalchama-se arco-cosseno a e designa-se por

f (x) = arccos x ,

o seu domínio é o intervalo [−1,1];

o seu contra-domínio é o intervalo [0, π];

tem zero em x = 1;

é não-negativa para no seu domínio;

é estritamente decrescente em todo o seu domínio;

tem o valor máximo y = π em x = −1 e o valor mínimo y = 0em x = 1.



Derivada num ponto, derivada lateral e regras de derivaçãoFunções diferenciáveis e suas propriedades

Derivada num ponto

Definição

Seja f uma função definida num conjunto Df ⊂ R e a ∈ Df .Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função∆ : Df \ {a} → R, definida pela fórmula:

∆(x) =f (x)− f (a)

x − a.

Se ∆(x) tem limite, em R, quando x → a esse limite é a derivada dafunção f no ponto a, designada pelo símbolo f ′(a):

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a.




Derivada num ponto

Observação

Pondo x = a + h obtém-se imediatamente a fórmula

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h.




Exemplos

1 Sendo f : D → R uma função constante, f (x) = c, para cadax ∈ D, ter-se-á

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a= lim

x→a

c − cx − a

= 0.

2 Para função f (x) = x ,

f ′(a) = limx→a

x − ax − a

= 1.

3 Para a função f (x) = xn

f ′(a) = limh→0

(a + h)n − an

h= lim

h→0

(nan−1 +

(n2

)an−2h + · · ·+ hn−1

)= nan−1.




Exemplos

4 Para a função f (x) = sin x

f ′(a) = limh→0

sin(a + h)− sin(a)

h= lim

h→0

2 sin(h/2)

h· cos(a + h/2)

= cos(a).

5 Para a função f (x) = cos x

f ′(a) = limh→0

cos(a + h)− cos(a)

h= lim

h→0

2 sin(−h/2)

h· sin(a + h/2)

= − sin(a).




Exemplos

6 Para a função f (x) = ex

f ′(a) = limh→0

e(a+h) − ea

h= lim

h→0

eh − 1h

· ea = ea.

7 Para a função f (x) = ax

f ′(x) = limh→0

a(x+h) − ax

h= lim

h→0

ah − 1h

· ax = (ln a) · ax .




Derivada lateral

Definição de derivada lateral à esquerda

Seja f uma função definida num conjunto Df ⊂ R e a ∈ Df . Quandoexiste o limite lateral à esquerda

f ′(a−) = limx→a−

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0−

f (a + h)− f (a)

h,

chama-se a derivada lateral à esquerda da função f no ponto a.




Derivada lateral

Definição de derivada lateral à direita

Seja f uma função definida num conjunto Df ⊂ R e a ∈ Df . Quandoexiste o limite lateral à direita

f ′(a+) = limx→a+

f (x)− f (a)

x − a= lim

h→0+

f (a + h)− f (a)

h,

chama-se a derivada lateral à direita da função f no ponto a.




Derivada num ponto

TeoremaEvidentemente,

f ′(a) = b

se e só sef ′(a−) = f ′(a+) = b.




Exemplo

Seja

f (x) = |x | =

{x se x > 0,−x se x < 0.

Evidentemente,

f ′(0−) = limh→0−

f (h)− f (0)

h= lim

h→0−

|h| − 0h

= limh→0−

−hh

= −1,

f ′(0+) = limh→0+

f (h)− f (0)

h= lim

h→0+

|h| − 0h

= limh→0+

hh

= 1.

Sendof ′(0−) 6= f ′(0+)

A derivada da função f (x) = |x | no ponto x = 0 não existe.




Regras de derivação

Teorema

Seja f ′(a) finita, então a função f é contínua no ponto a.

Dem.: Seja ∆(x) a razão incremental de f no ponto a, tem-se paratodo o x ∈ Df \ {a}

f (x) = f (a) + (x − a) ·∆(x).

Assim,

limh→0

f (a + h) = limh→0

(f (a) + (x − a) ·∆(x)) = f (a) + 0 · f ′(a) = f (a).





Na sequência usaremos a expressão f é diferenciável no ponto acom o mesmo significado de f tem derivada finita no ponto a.Portanto , nos termos do teorema anterior, podem dizer que adiferenciabilidade de uma função num ponto garante a suacontinuidade no mesmo ponto (sendo falsa a afirmação recíproca).





TeoremaSejam f e g duas funções diferenciáveis no ponto a. Então asfunções f ± g e f · g são também funções diferenciáveis no mesmoponto e tem-se

(f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a),

(f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f (a) · g′(a).

Admitindo ainda g(a) 6= 0, pode ainda afirmar-se que a funçãofg

é

diferenciável no ponto a e que:(fg

)′(a) =

f ′(a) · g(a)− f (a) · g′(a)

g2(a).





Dem.: Para o produto tem-se:

limh→0

(f · g)(a + h)− (f · g)(a)

h=

= limh→0

f (a + h) · g(a + h)− f (a + h) · g(a) + f (a + h) · g(a)− f (a) · g(a)

h

= limh→0

f (a + h) · limh→0

g(a + h)− g(a)

h+ lim

h→0

f (a + h)− f (a)

h· g(a)

= f (a) · g′(a) + f ′(a) · g(a).





Dem.: Para o quociente, obtemos primeiro:(1g

)′(a) = lim

h→0

1h

(1

g(a + h)− 1

g(a)

)= − lim

h→0

1g(a) · g(a + h)

limh→0

(g(a + h)− g(a)

h

)= − g′(a)

g2(a).





Dem.: Assim, obtemos:(fg

)′(a) = f ′(a) · 1

g(a) + f (a) ·

(1g

)′(a)

=f ′(a) · g(a)− f (a) · g′(a)

g2(a).




Exemplos

1 Para a função f (x) = tg(x)

tg′(a) =

(sincos

)′(a) =

cos2(a) + sin2(a)

cos2(a)=

1cos2(a)

.

2 Para a função f (x) = cotg(x)

cotg′(a) =

(1tg

)′(a) = − tg′(a)

tg2(a)= − 1

sin2(a).





Teorema de derivação das funções compostas

Suponha-se que g : Dg → R é diferenciável no ponto a e quef : Df → R é diferenciável no ponto b = g(a). Então f ◦ g édiferenciável no ponto a e tem-se

(f ◦ g)′(a) = f ′(b) · g′(a) = f ′ (g(a)) · g′(a).




Exemplos

1 Para a função f (x) = sinh u(x)

f ′(a) = (sinh)′ (u(a)) · u′(a) = cosh (u(a)) · u′(a)

2 Para a função f (x) = cosh u(x)

f ′(a) = (cosh)′ (u(a)) · u′(a) = sinh (u(a)) · u′(a)





Teorema de derivação da função inversa

Seja f : Df → R uma função estritamente monótona e contínua eg : f (Df )→ R a sua inversa. Se f é diferenciável no ponto a ef ′(a) 6= 0 então g é diferenciável no ponto b = f (a) e

g′(b) =1

f ′(a)=

1f ′ (g(b))

.




Exemplos

1 Para a função f (x) = arcsin x

(arcsin)′(x) =1

sin′(y)=

1cos(y)

=1√

1− sin2(y)=

1√1− x2

,

onde |x | < 1.

2 Para a função f (x) = arccos x

(arccos)′(x) =1

cos′(y)= − 1

sin(y)= − 1√

1− cos2(y)= − 1√

1− x2,

onde |x | < 1.




Exemplos

3 Para a função f (x) = arctgx

(arctg)′(x) =1

tg′(y)= cos2(y) =

cos2(y)

cos2(y) + sin2(y)=

11 + tg2(y)

=1

1 + x2 .

4 Para a função f (x) = arccotgx

(arccotg)′(x) =1

cotg′(y)= − sin2(y) = − sin2(y)

cos2(y) + sin2(y)

= − 11 + cotg2(y)

= − 11 + x2 .




Exemplos

5 Para a função f (x) = ln x , onde x > 0,

(ln)′(x) =1

(ey )′=

1ey =

1x.

6 Para a função f (x) = ln |x |, onde x 6= 0. No exemplo anterior jácalculamos a derivada da função para x > 0, agoraconsideramos x < 0:

(ln(−x))′ = (ln u(x))′ = (ln′u) · u′ =1u· (−1) =

1x.

Assim, concluímos que

(ln |x |)′ =1x,

onde x 6= 0.




Notação

A notação utilizada

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h.

é a notação de Lagrange.Será utilizada ainda a notação de Leibniz

dfdx

(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a.




Funções diferenciáveis

Teorema de FermatSeja a ∈ Df . Se a função f tem um extremo local no ponto a e édiferenciável nesse ponto, então f ′(a) = 0.





Definição

Sendo D ⊂ R um conjunto aberto, diz-se que f : D → R é uma funçãodiferenciável em D se for diferenciável em todos os ponto x ∈ D.

Teorema de Rolle

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável em(a,b). Se f (a) = f (b), existe um ponto c ∈ (a,b) tal que f ′(c) = 0.





CorolárioEntre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há, pelomenos, um zero da sua derivada.

CorolárioEntre dois zeros consecutivos da derivada de uma funçãodiferenciável num intervalo, não pode haver mais de um zero dessafunção.





Teorema de Lagrange

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável em(a,b), existe pelo menos um ponto c ∈ (a,b) tal que

f (b)− f (a)

b − a= f ′(c).

Corolário

Se f ′(x) = 0 em todos os pontos x ∈ (a,b), f é constante em (a,b).





Corolário

Se f e g são duas funções diferenciáveis em (a,b) e se paraqualquer x ∈ (a,b) f ′(x) = g′(x), então a diferenca f − g é constanteem (a,b).

Corolário

Se para todo o x ∈ (a,b) se tem f ′(x) > 0, f é estritamente crescenteem (a,b). Se f ′(x) < 0 para qualquer que seja x ∈ (a,b), então f éestritamente decrescente em (a,b).





Corolário

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável em(a,b). Então, se existir lim

x→a+f ′(a) existirá também f ′(a+) e com o

mesmo valor, isto éf ′(a+) = lim

x→a+f ′(a).





Teorema de Cauchy

Seja f e g são duas funções contínuas no intervalo [a,b] ediferenciáveis em (a,b), e se, para todo o x ∈ (a,b) g′(x) 6= 0, existepelo menos um ponto c ∈ (a,b) tal que

f (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g′(c).





Regra de Cauchy-L’Hôpital

Seja f e g são duas funções diferenciáveis em (a,b), e verificando asduas condições seguintes

1 g′(x) 6= 0, para todo o x ∈ (a,b);

2 limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0, ou então limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = +∞.

Nestas condições, se existir em R, o limite limx→a

f ′(x)

g′(x), existe também

o limite limx→a

f (x)

g(x)e tem-se

limx→a

f (x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).





Corolário

Seja c ∈ (a,b), f e g duas funções diferenciáveis em (a,b) \ {c}. Seg′(x) 6= 0, para todo o x ∈ (a,b) \ {c} e se lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = 0,

ou limx→c

f (x) = limx→c

g(x) = +∞ com x 6= c então

limx→c

f (x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x),

sempre que o segundo limite exista em R.




Cálculo Diferencial

Derivadas de ordem superior.Estudo de uma função.


Primitivas e integral indefinidoSéries de funções

Bibliografia

Primitivas e integral indefinido

Primitivas.Integral definido e indefinido.Métodos de integração (por substituição, por partes,fracções racionais).



Bibliografia

Séries de funções

Séries de funções.Séries de potências.Séries de Taylor



Bibliografia

Bibliografia básica

T. M. ApostolCálculo, Vol. IEditora Reverté, 1994.

J. C. Capmos FerreiraIntrodução à Análise MatemáticaOitava Edição, Fundação Gulbenkian, Lisboa, 2005

Departamento de Matemática, ISTExercícios de Análise Matemática I e II.IST Press, 2005.


análise matemática i - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~nmanoj/classes/am1/teoricas/am1_10.pdf · conteúdos...

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