anÁlise de linhas de transmissÃo pela teoria …

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Luciano Assirio Bossi

ANÁLISE DE LINHAS DE TRANSMISSÃO PELA TEORIA AVANÇADA: estudo de caso em linha de 2 condutores

Belo Horizonte 2009



Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica Orientadora: Profa. Dra. Rose Mary de Souza Batalha

Belo Horizonte 2009

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Bossi, Luciano Assirio

B745a Análise de linhas de transmissão pela teoria avançada: estudo de caso em

linha de 2 condutores / Luciano Assirio Bossi. Belo Horizonte, 2009.

130 f. : il.

Orientadora: Rose Mary de Souza Batalha

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

1. Ondas eletromagnéticas - Transmissão. 2. Condutores elétricos. 3. Cabos

elétricos. 4. Códigos telegráficos e cifrados. 5. Sinais e símbolos - Normas. 6.

Telecomunicações. I. Batalha, Rose Mary de Souza. II. Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

III. Título.

CDU: 621.315.2

Ficha catalográfica elaborada por Fernanda Paim Brito - CRB 6/2999



Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica

________________________________________________

Profa. Dra. Rose Mary de Souza Batalha (Orientadora) – PUC Minas

________________________________________________

Prof. Dr. Mário Fabiano Alves – PUC Minas

________________________________________________

Prof. Dr. Cássio Gonçalves do Rego – DELT/UFMG

________________________________________________

Profa. Dra. Zélia Myriam Assis Peixoto – PUC Minas (suplente)

Belo Horizonte, 20 de fevereiro de 2009

Este trabalho é dedicado aos meus filhos Renata, Guilherme, Isabela, Leonardo e Henrique por me darem a motivação para me aprimorar, e à minha mãe pelos ensinamentos e exemplos de dedicação, amor e honestidade.

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus colegas do IPUC e da CEMIG pelo apoio e incentivo; a minha

esposa Elma pela paciência, incentivo e coordenação das tarefas para que eu

tivesse tempo para preparar este trabalho; ao colega Antônio Gustavo pela

cooperação na elaboração de partes do trabalho; a minha orientadora Profa. Dra.

Rose Batalha pela sua insistência.

RESUMO

Este trabalho apresenta a análise de uma interconexão pelo modelo avançado de

linha de transmissão (ETL) que considera a presença de todas as componentes de

campo eletromagnético, denominado de modelo de onda completa. Ele difere do

modelo tradicional (STL) que considera somente as ondas do tipo transverso

eletromagnético – TEM. A análise é feita a partir de uma linha paralela com dois

condutores ideais cilíndricos separados por um dielétrico homogêneo. O modelo de

onda completa consiste de um conjunto de duas equações acopladas, do tipo

integro-diferenciais de primeira espécie com singularidades no núcleo, que é

resolvido aplicando o método da colocação em malha escalonada. A solução coloca

em evidência os efeitos de altas frequências devido à dispersão espacial e às

perdas por irradiação. É feita uma comparação com o método convencional de

análise de linhas de transmissão e demonstrado os limites de validade do modelo

STL e as limitações do modelo ETL.

Palavras-chave: Equações integro-diferenciais acopladas. Método da colocação.

Propagação de onda completa. Modelo avançado de linha de transmissão. Modelo

tradicional de linha de transmissão.

ABSTRACT

This work presents a full wave propagation model applied to interconnections that

consist of ideal thin conductors. It is an enhanced transmission line model (ETL) that

considers all the field components; in contrast with the standard transmission line

model (STL), that considers only transverse electromagnetic mode (TEM). The

analysis is made on a two cylindrical conductors line spaced by a homogeneous

dielectric. The model consists of a set of two coupled integro-differential equations of

the first kind with kernel singularities, which is solved applying the collocation method

in a staggered mesh. The solution shows the effects of high frequencies due to

spatial dispersion and radiation losses. A comparison between the two models, ETL

and STL, is made, demonstrating the validation limits of the STL model and the

limitations of the ETL model.

Keywords: Coupled integro-differential equations. Collocation method. Full wave

propagation. Enhanced Transmission Line Model. Standard Transmission Line

Model.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 - Definição das tensões e das correntes em um trecho incremental de uma linha de transmissão ........................................................................................ 27

FIGURA 2 - Circuito equivalente, por elementos concentrados, de um trecho incremental de uma linha de transmissão ................................................................ 28

FIGURA 3 - Modelo de referência ............................................................................ 65

FIGURA 4 - Comportamento da função erro para alguns valores de h/a e k.h ......... 82

FIGURA 5 - Módulo da função H (em escala logarítmica) em função de ζ / h para diferentes valores de h/a e de k.h , onde ζ = z – z’ ................................................... 87

FIGURA 6 - Fase da função H em função de ζ / h para diferentes valores de h/a e de k.h, onde ζ = z – z’ ................................................................................................... 88

FIGURA 7 - Distribuição de corrente [amplitude (a) e fase (c)] e de tensão [amplitude (b) e fase (d)] ao longo da interconexão, para k.h = 0,1 e k.h = 1 ............................ 92

FIGURA 8 - Comparação dos resultados para as correntes com modelo ETL e STL para k.h=0,1 e para k.h=1 ........................................................................................ 93

FIGURA 9 - Comparação dos resultados para o modulo da corrente com modelo ETL, modelo ETL reduzido e modelo STL ................................................................ 94

FIGURA 10 - Características geométricas da linha em análise ................................ 95

FIGURA 11 - Grade escalonada para modelo numérico ........................................ 100

FIGURA 12 - Resultados para o módulo das correntes com modelo ETL com k.h=0,1 e para k.h=1 ........................................................................................................... 104

FIGURA 13 - Resultados para a fase das correntes com modelo ETL com k.h=0,1 e para k.h=1 .............................................................................................................. 105

FIGURA 14 - Resultados para o modulo das correntes com modelo STL para k.h=0,1 e para k.h=1 ........................................................................................................... 106

FIGURA 15 - Módulo da corrente para diferentes raios dos condutores (fio fino) ... 108

FIGURA 16 - Fase da corrente para diferentes raios dos condutores (fio fino) ...... 108

FIGURA 17 - Módulo da corrente para diferentes raios dos condutores (fio não fino)............................................................................................................................... 109

FIGURA 18 - Fase da corrente para diferentes raios dos condutores (fio não fino) 109

FIGURA 19 - Módulo da corrente com carga casada, variando a frequência ......... 111

FIGURA 20 - Fase da corrente com carga casada, variando a frequência ............. 112

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ETL Modelo Avançado de Linhas de Transmissão (Enhanced Transmission Line Model)

FWTLT Teoria de Linha de Transmissão de Onda Completa (Full Wave Transmission Line Theory)

IEEE Instituto dos Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (The Institute of Electrical and Electronics Engineers)

LT Linha de Transmissão

MoM Método dos Momentos

p.u.l. Por Unidade de Comprimento (per unit length)

PCI Placa de Circuito Impresso

PEEC Circuito Equivalente por Elementos Parciais (Partial Element Equivalent Circuit)

STL Teoria Clássica de Linhas de Transmissão (Standard Transmission Line Theory)

TE Modo Transverso Elétrico

TEM Modo Transverso Eletromagnético

TLST Super Teoria de Linha de Transmissão (Transmission Line Super Theory)

TLT Teoria de Linhas de Transmissão (Transmission Line Theory)

TM Modo Transverso Magnético

VLSI Escala de Integração Muito Grande (Very Large Scale of Integration)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11

1.1 Limitações da Teoria Clássica de Linhas de Transmissão ........................... 12

1.2 Novas Teorias para Análise de Linhas de Transmissão ............................... 13

1.3 Objetivo da Dissertação .................................................................................. 15

1.4 Relevância do Tema da Dissertação ............................................................... 15

1.5 Metodologia Utilizada na Dissertação ............................................................ 17

1.6 Estrutura do Trabalho ...................................................................................... 17

2 REVISÃO HISTÓRICA E BIBLIOGRÁFICA ......................................................... 19

2.1 Perspectivas Históricas ................................................................................... 19

2.2 Revisão Bibliográfica ....................................................................................... 21

3 ESTUDO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO POR PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS

............................................................................................................................. 24

3.1 Ondas Transversais Eletromagnéticas........................................................... 25

3.2 Teoria Clássica de Linhas de Transmissão ................................................... 26

3.2.1 Modelo de circuito por parâmetros distribuídos para a linha de transmissão ................................................................................................... 26

3.3 Linha de Transmissão com Excitação Senoidal ............................................ 30

4 DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDAS GUIADAS A PARTIR DAS

EQUAÇÕES DE MAXWELL ................................................................................ 33

4.1 Relações Constitutivas .................................................................................... 34

4.2 Condições de Contorno para Campos Eletromagnéticos ............................. 35

4.3 Equações de Maxwell em Regiões Livres de Cargas .................................... 37

4.3.1 Ondas em meios simples, sem perdas ........................................................ 37

4.3.2 Ondas em meios simples, com perdas........................................................ 39 4.4 Ondas em Linha de Transmissão com Excitação Senoidal .......................... 40

4.5 Separação das Componentes das Equações de Onda Segundo suas Direções ........................................................................................................... 42

4.5.1 Equações para linha sem perdas ................................................................. 43

4.5.2 Equações para linha com perdas ................................................................. 45

4.5.3 Simplificação das equações para ondas TEM, TE e TM ............................. 47

4.5.4 Equações para ondas TEM ........................................................................... 48

4.5.5 Ondas TEM em linhas sem perdas .............................................................. 49

4.5.6 Ondas TEM em linhas com perdas .............................................................. 52

4.5.7 Ondas TE e TM em linhas com perdas ........................................................ 54

4.5.8 Ondas TE em linhas com perdas ................................................................. 58

4.5.9 Ondas TM em linhas com perdas ................................................................. 60 4.6 Considerações Adicionais............................................................................... 63

5 MODELO AVANÇADO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO (ETL) .......................... 64

5.1 Modelagem do Problema ................................................................................. 64

5.1.1 Formulação do problema.............................................................................. 64

5.1.2 Configuração do campo do tipo transverso magnético ............................. 68

5.1.3 Campos devido às correntes de modo diferencial ..................................... 73 5.2 Modelos de Linhas de Transmissão ............................................................... 74

5.3 Relações Constitutivas para o Modelo STL ................................................... 76

5.4 O Modelo Avançado para Linhas de Transmissão (ETL) .............................. 81

5.4.1 Aproximações no modelo ETL ..................................................................... 89 5.5 Solução Numérica para o Modelo ETL ........................................................... 90

5.5.1 Resultados da Simulação Numérica ............................................................ 91 6 SIMULAÇÕES E ANÁLISES DOS RESULTADOS .............................................. 95

6.1 Validação do Modelo Computacional ............................................................. 98

6.1.1 Solução numérica para o modelo ETL......................................................... 99

6.1.2 Resultados da simulação numérica ........................................................... 102

6.1.3 Comparação e análise dos resultados obtidos ......................................... 103 6.2 Extensão da Utilização do Modelo ETL ........................................................ 106

6.2.1 Análise para a variação do raio do condutor ............................................. 107

6.2.2 Análise de nova situação para condição de contorno .............................. 110 7 CONCLUSÕES ................................................................................................... 113

REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 115

APÊNDICES .......................................................................................................... 119

ANEXOS ................................................................................................................ 126

11

1 INTRODUÇÃO

Na engenharia elétrica, uma ferramenta essencial para analisar o

acoplamento de campos eletromagnéticos em estruturas lineares, tais como as

linhas de transmissão por condutores elétricos, são as equações telegráficas,

baseadas nas relações de tensões e correntes ao longo dos condutores. Tais

equações utilizam o conceito de parâmetros distribuídos os quais consideram que a

linha de transmissão seja uniforme e homogênea.

Outra maneira de se obter a modelagem do comportamento de condutores na

presença de campos eletromagnéticos é a resolução das equações de Maxwell nas

condições de contorno estabelecidas pelo problema. Entretanto, na maioria das

vezes, este caminho é muito complexo e trabalhoso e nem sempre apresenta

solução por métodos analíticos (COLLIN, 1992).

As equações telegráficas consideram a presença de um único modo de

propagação, o modo transverso eletromagnético (TEM), no qual somente existem

componentes de campos elétricos e magnéticos perpendiculares à direção de

propagação do sinal. Esta situação é encontrada em muitas das aplicações onde se

deseja obter o comportamento de uma interconexão específica, através de uma linha

de transmissão por condutores elétricos e, nesses casos, a solução do problema

pelas equações telegráficas apresenta bons resultados (MIANO; MAFFUCCI, 2001).

Entretanto, com o uso das equações telegráficas obtém-se bons resultados

quando os efeitos de radiação não são significativos e também não é significativa a

presença de modos de propagação de ordem superior. A presença desses modos

de ordem superior pode ser analisada, no ponto de vista do circuito receptor, como

um efeito na linha de transmissão que provoca uma distorção ao sinal.

Os efeitos da geometria dos condutores, de sua condutividade e das

características do dielétrico são representados, nas equações telegráficas, por

elementos distribuídos conhecidos por parâmetros por unidade de comprimento

(resistência, indutância, capacitância e condutância). Quando a linha de transmissão

apresenta uma configuração uniforme ao longo de seu comprimento (condutores e

dielétricos), esses parâmetros são constantes e independentes da posição, porém,

num caso genérico com uma configuração não uniforme da linha de transmissão,

eles devem ser apresentados por expressões variáveis com a posição (PAUL, 2008).

12

Alguns sistemas, cujo comportamento já havia sido adequadamente previsto

pelas equações telegráficas, quando passam a operar em frequências mais

elevadas (tipicamente já na casa dos giga-hertz) deixam de ter o comportamento

previsto anteriormente, principalmente porque passam a sofrer os efeitos de

radiação. Em alguns casos, estes efeitos se devem à presença de modos de

propagação de ordens superiores, ou seja, outros modos de propagação além do

transverso eletromagnético (TEM).

Os efeitos dos campos irradiados podem provocar interferências e

funcionamentos inadequados em partes do próprio equipamento como em

equipamentos próximos, assunto esse tratado no âmbito da compatibilidade

eletromagnética.

1.1 Limitações da Teoria Clássica de Linhas de Transmissão

A teoria clássica de linhas de transmissão (Transmission Line Theory - TLT ou

Standard Transmission Line Theory - STL), é uma ferramenta para análise e projeto

de interconexões elétricas entre elementos, componentes e sistemas. Entretanto,

devido à limitação de que somente o modo de propagação TEM (ou quase-TEM) é

coberto pela teoria clássica, esta se restringe aos casos onde as estruturas de

conexão podem ser consideradas em paralelo (mesmo que elas realmente não

sejam) e sua seção transversal ser muito menor que o comprimento de onda

considerado. Isto também inclui linhas de transmissão não uniformes, onde os

parâmetros por unidade de comprimento se tornam dependentes da posição.

Quando não é possível assumir que o modo de propagação é somente TEM

ou quase-TEM, as técnicas de análise numérica, como o “Método dos Momentos”

(MoM) ou “Circuito Equivalente por Elementos Parciais” (PEEC - (Partial Element

Equivalent Circuit), são utilizadas para analisar uma dada estrutura de interconexão,

devido à complexidade das expressões resultantes da modelagem física do

problema (PAUL, 2008).

A formulação clássica das equações de linhas de transmissão é obtida a partir

da análise das tensões e correntes ao longo da linha, e considera que ela é uniforme

e homogênea em todo seu percurso. É feita uma representação da linha por um

conjunto de células compostas por parâmetros que representam os efeitos que a

própria linha provoca nas tensões e nas correntes no trajeto do sinal entre a entrada

13

e a saída. Esses parâmetros recebem o nome de parâmetros distribuídos e as

equações obtidas são chamadas de equações telegráficas. As equações obtidas

apresentam uma boa descrição para o comportamento da linha de transmissão

quando somente o modo TEM está presente.

1.2 Novas Teorias para Análise de Linhas de Transmissão

Para representar os efeitos da radiação e/ou a presença de outros modos de

propagação Haase, Nitsch e Steinmetz propõem uma nova modelagem de linhas de

transmissão pela teoria denominada de Teoria de Linha de Transmissão de Onda

Completa (FWTLY - Full Wave Transmission Line Theory) e pela Super Teoria de

Linha de Transmissão (TLST - Transmission Line Super Theory), respectivamente

(HAASE; NITSCH, 2000; 2001; HAASE; STEINMETZ; NITSCH, 2003; 2004).

No mesmo sentido, Maffucci, Miano e Villone propõem uma teoria avançada

de linhas de transmissão (Enhanced Transmission Line Model – ETL) em artigos

publicados em 2003 e 2004 (MAFFUCCI; MIANO; VILLONE, 2003; 2004).

Nas teorias propostas, tem-se como objetivo manter a estrutura original das

equações telegráficas, porém para apresentar os efeitos da radiação e da presença

de outros modos de propagação, são feitas modificações dos parâmetros por

unidade de comprimento de modo que estas quantidades levem em consideração

esses efeitos.

O novo método apresentado pela Super Teoria de Linhas de Transmissão –

TLST (HAASE; STEINMETZ; NITSCH, 2003) apresenta análises para uma enorme

classe de estruturas de interconexão. As linhas de transmissão são tratadas como

estruturas de fios, e estes são fios finos. Estes fios não necessitam estar em paralelo

e podem fazer curvas. O método representa uma generalização da teoria de linhas

de transmissão e é baseado nas equações de Maxwell. Posteriormente, o mesmo

grupo de pesquisadores aprimorou o método e o denominou de “Teoria de Linha de

Transmissão de Onda Completa” (FWTLT - Full Wave Transmission Line Theory)

(HAASE; STEINMETZ; NITSCH, 2004) que inclui os efeitos de irradiação.

Como a estrutura matemática das equações telegráficas é mantida, técnicas

conhecidas para resolver essas equações podem ser utilizadas. Os resultados

também podem ser utilizados para tratar de interconexões em placas de circuito

impresso e para avaliar as perdas por irradiação em altas frequências para todas

14

estruturas de fio. Entretanto, a solução das equações obtidas é complexa e

trabalhosa.

Já o modelo avançado de linhas de transmissão – ETL trata da propagação

de sinais ao longo de fios condutores perfeitos, na presença de um dielétrico

homogêneo, quando a distância entre os condutores é geometricamente pequena,

mas não é eletricamente pequena, ou seja, essa distância é muito menor que o

comprimento dos condutores e da mesma ordem do menor comprimento de onda

característico do sinal. Essa análise em altas frequências provê uma informação

valiosa do comportamento eletromagnético de interconexões e na performance

elétrica de circuitos eletrônicos de alta velocidade (MAFFUCCI; MIANO; VILLONE,

2004). Esse artigo propõe um modelo melhorado de linhas de transmissão, derivado

a partir de uma análise em onda completa (Full-wave), baseada numa formulação de

base integral, apresentando a mesma simplicidade e estrutura do modelo

convencional de linhas de transmissão (STL - Standard Transmission Line Model).

Os modelos STL e ETL têm as mesmas equações governantes, ou seja, a

relação entre a tensão elétrica e o fluxo magnético por unidade de comprimento e a

relação entre a intensidade de corrente e a carga elétrica por unidade de

comprimento. O modelo ETL difere do modelo STL somente em suas relações

constitutivas, ou seja, a relação entre o fluxo magnético por unidade de comprimento

e a intensidade de corrente e a relação entre a tensão elétrica e a carga elétrica por

unidade de comprimento.

No modelo STL essas relações são do tipo algébrico e, no modelo ETL, elas

são descritas por integrais de convolução, que expressam um simples fato físico: o

valor do fluxo magnético por unidade de comprimento e da tensão num ponto

genérico da abscissa ao longo dos fios depende da distribuição total da corrente e

da carga por unidade de comprimento, respectivamente.

Os autores do modelo ETL descrevem a propagação ao longo de fios

condutores, com terminações arbitrárias, quando a distância entre os condutores é

eletricamente curta, e se mostra mais adequado a partir de uma faixa de frequências

onde o modelo STL apresenta resultados inconsistentes. Segundo os autores, o

modelo ETL permite prever fenômenos que o modelo STL não prevê, tais como a

distorção introduzida pela natureza não local das interações eletromagnéticas ao

longo dos condutores e a atenuação devido às perdas por irradiação na direção

transversal.

15

Para chegar aos modelos propostos, parte-se das equações de Maxwell,

preparando-se novas equações em função dos potenciais escalar e vetorial. Neste

caso, o campo elétrico total é dado pela soma dos campos espalhado e incidente. O

campo espalhado é representado com a ajuda do potencial escalar e do potencial

vetor magnético, no calibre de Lorenz (Lorenz Gauge).1

Os potenciais escalar e vetorial são dados pelas integrais de volume do

produto da função de Green com as fontes de campo densidade de carga e

densidade de corrente, respectivamente.

Neste trabalho de dissertação será utilizada a teoria avançada de linha de

transmissão – ETL, para o estudo de um caso. O caso específico a ser analisado é o

de uma linha de transmissão composta por 2 condutores paralelos cilíndricos

separados por um dielétrico homogêneo, linear e isotrópico.

1.3 Objetivo da Dissertação

O objetivo da dissertação é apresentar uma aplicação do modelo avançado

de linhas de transmissão, assim como a modelagem e análise de linhas de

transmissão utilizando a nova teoria avançada de linhas de transmissão (ETL). É

também feita uma investigação e identificação das faixas de validade dos modelos

ETL e STL.

No desenvolvimento deste trabalho faremos a análise de uma linha de

transmissão composta por condutores paralelos cilíndricos pelo novo modelo,

verificando sua validade através de simulação numérica utilizando o método de

colocação em uma malha escalonada.

A comparação com os métodos tradicionais, que consideram somente as

ondas TEM, também é feita para fins de identificar os possíveis desvios devido às

aproximações feitas naqueles métodos.

1.4 Relevância do Tema da Dissertação

Os modelos tradicionais de linha de transmissão descrevem o comportamento

eletromagnético de interconexões somente aproximadamente, entretanto eles são

especialmente importantes para as aplicações de engenharia em vista de sua

1 Muitos textos confundem o “Calibre de Lorenz” (Lorenz Gauge) com “calibre de Lorentz”. (BLADEL,

1991, p. 69).

16

simplicidade, intuição física e descrição escalar do problema. Esses modelos são

largamente adotados no estudo da propagação de sinais ao longo de interconexões

de vários tipos, tais como: cabos, fios, linhas de alta tensão, trilhas de circuito

impresso, barramentos para transporte de sinais digitais ou sinais de controle em

modernos circuitos eletrônicos, interconexões de dispositivos, escala de integração

muito grande (VLSI), microstrips, striplines e circuitos de microondas.

Em particular, com os modelos de linhas de transmissão é possível prever os

atrasos, diafonias, reflexões, atenuação dos sinais e sobretensões introduzidas

pelas interconexões em circuitos eletrônicos operando em altas velocidades de

transmissão.

Como primeiro aspecto motivador ao presente trabalho, é observado que a

taxa de transmissão utilizada em equipamentos e sistemas eletrônicos se torna cada

vez mais rápida e que, no desenvolvimento de dispositivos e sistemas de

telecomunicações, as frequências cada vez se tornam mais elevadas. Isto torna

necessário que as descrições matemáticas e físicas da interação destes

correspondentes sinais e campos com os complexos sistemas elétricos e eletrônicos

acompanhem este ritmo.

Desta forma é importante conhecer e descrever matematicamente os

caminhos de acoplamento ao longo dos quais a energia eletromagnética, tanto

aquela relativa aos sinais como a considerada como interferência, se propaga. Em

muitos casos, estes caminhos são linhas de transmissão multicondutores e que são

construídas de modo não uniforme.

O segundo aspecto relevante é com relação à atualidade do assunto. Apesar

do estudo de linhas de transmissão não ser assunto novo e a teoria de linhas

multicondutores estar bem descrita já há algum tempo, um modelo que contemple os

efeitos de irradiação e outros modos de propagação voltou a ser assunto de estudo,

devido aos motivos relatados e produziram artigos relevantes, (HAASE;

STEINMETZ; NITSCH, 2004; MAFFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004), em uma das

principais publicações científicas na área (IEEE - Transactions on Electromagnetic

Compatibility).

Vale observar que os modelos de linhas de transmissão clássicos descrevem

adequadamente a propagação “guiada” ao longo de interconexões, se a

configuração do campo eletromagnético é predominantemente do tipo quase-TEM.

Isto ocorre somente se as dimensões transversais da interconexão são pequenas,

17

ambas, geometricamente e eletricamente, por serem muito menores que o

comprimento dos condutores e que o menor comprimento de onda característico do

sinal.

1.5 Metodologia Utilizada na Dissertação

Como a análise das linhas de transmissão uniformes já é bem difundida, bem

como a do modo de propagação TEM através de linhas uniformes e não uniformes,

a metodologia que seguimos é aplicar a teoria avançada de linhas de transmissão –

ETL em uma situação na qual possamos comparar os resultados com a análise

clássica e com modelos matemáticos já bem difundidos.

Como a nova teoria se baseia numa ampliação do uso das equações

telegráficas, damos também ênfase à análise clássica desse modelo.

É feito um estudo detalhado do modelo ETL e dos resultados apresentados

no artigo utilizado como referência (MAFFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004). Com a

base conceitual do modelo ETL, é construído um programa, utilizando rotinas

computacionais em MatlabTM, para possibilitar outras análises, além daquelas

apresentadas no artigo original. Para validar o programa construído, são feitas

análises com as mesmas situações propostas no artigo de referência, ou seja, para

uma linha paralela de dois condutores perfeitos cilíndricos imersos num dielétrico

homogêneo, linear e isotrópico. Nessa situação, as comparações com os resultados

obtidos com aqueles apresentados no artigo de referência são utilizadas para validar

o programa construído.

Tendo a base conceitual, as limitações do modelo e o programa validado, são

feitas outras análises para a linha de transmissão.

1.6 Estrutura do Trabalho

O trabalho foi estruturado de forma a apresentar primeiramente uma revisão

histórica e bibliográfica. A seguir é mostrada a dedução das equações de linhas de

transmissão pelo modelo clássico de parâmetros distribuídos. No capítulo seguinte é

apresentada a análise de ondas guiadas a partir das equações de Maxwell, com o

intuito de mostrar a similaridade e analogia com o modelo clássico de linhas de

transmissão quando o modo de propagação é o modo TEM.

18

Segue-se com a dedução das equações do modelo avançado de linhas de

transmissão – ETL e um modelo numérico para sua simulação.

A partir das equações deduzidas no modelo ETL e do modelo numérico

proposto, é feita uma análise de um caso, apresentados os resultados obtidos e sua

comparação com resultados publicados na literatura.

19

2 REVISÃO HISTÓRICA E BIBLIOGRÁFICA

Nesse capítulo é apresentado um breve relato sobre o desenvolvimento da

teoria de linhas de transmissão, contemplando a evolução histórica. Com relação às

modelagens mais recentes de linhas de transmissão, é também apresentada uma

revisão bibliográfica.

2.1 Perspectivas Históricas

Esta revisão foi baseada no artigo de Maffucci, Miano e Villone (2004) e

complementada pelas informações obtidas no livro History of Wireless (SARKAR et

al., 2006).

A transmissão de sinais elétricos através de fios condutores é uma das

contribuições mais importantes no desenvolvimento da tecnologia na engenharia

elétrica. Samuel Morse inventou o telégrafo elétrico em 1838 e a primeira linha

telegráfica comercial foi implantada em 1844 entre New York, Baltimore e

Washington. Naquele tempo, a teoria de circuitos elétricos ainda estava em seu

início e havia dificuldade de disseminação de algum conhecimento sobre a

transmissão de sinais elétricos ao longo de fios condutores.

O artigo no qual G. Kirchhoff (1845) formulou suas leis, hoje bem conhecidas,

foi publicado somente em 1845, o que ilustra a dificuldade que se tinha, na época,

em tratar essas interligações.

O rápido desenvolvimento na transmissão de sinais telegráficos por meio de

linhas terrestres e também por cabos submarinos (o primeiro cabo submarino foi

lançado entre a França e a Inglaterra em 1851 e, em 1853, o primeiro cabo

transatlântico foi instalado) incentivou o aparecimento de uma longa série de

investigações teóricas sobre transmissão de sinais elétricos através de fios

condutores.

Em 1855, Lord Kelvin (William Thomson) estudou os efeitos de transientes na

transmissão de sinais telegráficos através de cabos longos e formulou o primeiro

modelo de parâmetros distribuídos para um cabo elétrico. Ele assumiu que os efeitos

dos campos magnéticos eram negligíveis e modelou os efeitos da indução elétrica

em função da capacitância por unidade de comprimento (per unit length - p.u.l.) do

20

cabo e os efeitos de perda em função da resistência por unidade de comprimento, e

então derivou a bem conhecida equação de difusão de tensão (THOMSON, 1855).

Logo após, em 1857, Kirchhoff, usando a teoria eletromagnética de Weber

que era baseada na interação à distância (WHITTAKER, 1960), analisou a

transmissão de sinais elétricos através de dois fios, com condutividade finita e

incluindo os efeitos de campo magnético, e obteve o que nós podemos definir como

o primeiro modelo de linhas de transmissão. Ele deduziu que sinais elétricos

propagam através dos condutores com a mesma velocidade com a qual a luz se

propaga no vácuo. Isto foi feito vários anos antes da publicação de Maxwell em seu

artigo fundamental demonstrando a natureza eletromagnética da luz (MAXWELL,

1864).

Infelizmente, por razões que ainda não são claras, o trabalho de Kirchhoff

nunca foi largamente difundido e, mesmo nos dias de hoje, ainda não é muito

conhecido. Foi encontrado um trabalho de Ferraris (1872), no qual o modelo

apresentado por Kirchhoff é revisado e estudado profundamente.

Oliver Heaviside, entre 1881 e 1887, foi o primeiro a estudar a propagação

guiada de sinais elétricos ao longo de pares de fios condutores retilíneos, paralelos,

com condutividade finita, imersos em um dielétrico homogêneo e com perdas,

utilizando a teoria eletromagnética de Maxwell. Ele desenvolveu a teoria de linha de

transmissão na forma com a qual ela é utilizada nos dias de hoje (HEAVISIDE,

2007). Vale salientar que Heaviside havia sido aluno do próprio Maxwell e foi quem

escreveu as chamadas equações de Maxwell na forma na qual elas são conhecidas.

Originalmente Maxwell havia escrito um conjunto de 19 equações e utilizando letras

distintas para cada componente e constante em cada equação.

O modelo de linha de transmissão foi estendido para interconexões, podendo

conter muitos fios e não uniformes e na presença de planos condutores e dielétricos

não-homogêneos. Nesta linha, um trabalho considerado como clássico é

apresentado por Schelkunoff (1955).

Podemos dizer que a teoria clássica de linhas de transmissão oferecida por

Heaviside (2007) se mostrou muito útil por apresentar bons resultados na maioria

das aplicações. A representação proposta por Heaviside recebeu o nome de

“Equações Telegráficas”.

Até nos dias de hoje, para uma determinada linha de transmissão, os

resultados práticos encontrados são coerentes com aqueles estimados pela teoria

21

clássica até um valor de frequência aplicada. Acima desse valor, os valores

estimados fogem significativamente dos valores obtidos na prática.

2.2 Revisão Bibliográfica

O tema da dissertação foi escolhido visto o interesse na análise de linhas de

transmissão e do enfoque dado pelos artigos (HAASE; STEINMETZ; NITSCH, 2004;

MAFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004; NITSCH; TKACHENKO, 2004a; 2004b) ao

assunto.

Após uma ampla pesquisa no acervo de artigos do Institute of Electrical and

Electronics Engineers, (IEEE), principalmente nos periódicos voltados à

compatibilidade eletromagnética, magnetismo, antenas, propagação e micro-ondas,

foram selecionados os principais artigos que serviram de base para as pesquisas

subsequentes.

Foi identificada a Universidade de Magdeburg na Alemanha como uma

importante fonte de artigos no tema de pesquisa. No site do Prof. Heiko Haase

(http://www-e.uni-magdeburg.de/hschrade/jarticles.htm), encontramos vasto material

para consulta e selecionamos os artigos mais importantes.

Com o trabalho de pesquisa feito, resolvemos trabalhar com o foco nos

artigos dos pesquisadores pré-selecionados e com os livros dos autores

reconhecidos na área, listado nas referências bibliográficas.

Chegamos a coletar várias outras bibliografias, principalmente na forma de

artigos, mas estes ainda não mostraram relevância direta com o assunto e também

não foram adequadamente estudados e, portanto, não trouxeram contribuições à

pesquisa.

Para fazer uso das funções de Green com maior segurança, tornou-se

necessária uma revisão bibliográfica cuidadosa sobre este tema e, para isso,

selecionamos os livros (BALLANIS, 1989; COLLIN, 1991; SADIKU, 2001).

Para a introdução ao estudo de linhas de transmissão são utilizadas as

referências (COLLIN, 1992; GRANZOW, 1998; MAGNUSSON et al. 2001; PAUL,

2008; MIANO; MAFFUCCI, 2001; POZAR, 1998) que tratam especificamente de

linhas de transmissão. Apesar de considerarem apenas as situações onde estão

presentes somente as ondas eletromagnéticas do tipo TEM, trazem todo o conceito

22

introdutório ao assunto de linhas de transmissão, começando com as de dois

condutores e ampliando o estudo para as de multicondutores.

Para a análise por métodos numéricos, consideramos as referências de Garg

(2008) e Sadiku (2001), entretanto pesquisamos e selecionamos outras 2 referências

(IANOZ; KARLSSON; TESCHE, 1997; TAFLOVE; HAGNESS, 2005). Para a análise

numérica das equações integro-diferenciais, foi utilizada principalmente a referência

de Garg (2008).

Muitos esforços foram feitos no passado para obter modelos para linhas de

transmissão de forma generalizada, a partir da análise de onda completa (full-wave)

baseadas em formulação integral. Nos artigos de Haase, Steinmetz e Nitsch (2003)

são propostos os modelos generalizados para linhas de transmissão que descrevem

o acoplamento entre um campo externo e os condutores de comprimento finito. Eles

são baseados na aproximação de fios finos, ou seja, os campos são avaliados

assumindo que as correntes e as cargas estão condensadas no eixo dos

condutores, o que é o mesmo que substituir o fio de raio “a” por um fio infinitamente

fino.

Ao assumir a aproximação de fios finos, obtém-se equações integrais cujos

núcleos são avaliados aproximadamente e não têm singularidades.

A teoria generalizada de linhas de transmissão apresentada no artigo de

Haase e Nitsch (2000) é adequada, segundo os autores, para descrever a

propagação de ondas eletromagnéticas tão bem como o acoplamento de campos

em estruturas de fios tridimensionais quase arbitrárias.

Em contraste com a teoria clássica de linhas de transmissão, que trata

somente do caso de ondas TEM, esta nova teoria é uma descrição de todos os tipos

de onda (Full-Wave) baseada na generalização das equações telegráficas. Como a

estrutura matemática dessas equações é preservada, os coeficientes (parâmetros

por unidade de comprimento) são redefinidos de forma a representarem o

comportamento intrínseco da estrutura de fios. Como a descrição se baseia na

propagação de todos os modos de propagação (ou seja, todas as ondas), todos os

fenômenos eletromagnéticos são levados em conta como, por exemplo, a irradiação

de sinais.

Em outro artigo dos mesmos autores (HAASE, STEINMETZ, NITSCH, 2004),

os resultados obtidos pela nova teoria são comparados com resultados obtidos a

partir de medições e simulações por métodos numéricos. Este procedimento é feito

23

para validar os dados obtidos com a teoria proposta. Nesses dois trabalhos, pelo fato

de tratar de linhas de transmissão totalmente arbitrárias, temos um alto grau de

complexidade matemática.

Já no artigo de Mafucci, Miano e Villone (2004), o assunto é tratado numa

forma mais limitada em termos da geometria e configuração da linha de transmissão,

o que torna a abordagem um pouco menos complexa que os anteriores e nos

pareceu mais adequada para a nossa proposta de trabalho. Neste caso, a linha de

transmissão tem os condutores de forma uniforme e o dielétrico homogêneo. O

diferencial neste artigo é que não é feita a restrição de condutores finos, levando-se

em conta a distribuição de corrente pelos condutores.

No modelo ETL (MAFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004) é considerado que os

condutores são perfeitos e espessos e os núcleos das integrais de convolução são

corretamente avaliados levando em conta os efeitos de proximidade. Os núcleos

mostram a singularidade logarítmica que é típica de distribuições superficiais. Estas

singularidades estão presentes em problemas de irradiação e têm que ter um

tratamento especial para se fazer a implementação numérica do modelo ETL.

24

3 ESTUDO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO POR PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS

Neste capítulo é feita a revisão da análise clássica de linhas de transmissão

utilizando o modelo de circuitos por parâmetros distribuídos. As equações obtidas

serão comparadas com aquelas desenvolvidas nos capítulos posteriores, que

utilizam outras modelagens. As duas principais referências utilizadas aqui são Collin

(1992) e Paul (2008). Também podemos citar outras três que também foram

consultadas (MIANO; MAFFUCCI, 2001; POZAR, 1998; RAMO; WHINNERY;

DUZER, 1994).

Admite-se que o modo de propagação dominante em uma linha de

transmissão (LT), é o modo transverso eletromagnético ou modo TEM, onde os

campos elétrico e magnético ao redor dos condutores estão somente no plano

transverso, ortogonal ao do eixo da LT. Essa estrutura é capaz de guiar ondas cujas

frequências variam desde corrente contínua até aquelas onde as dimensões da

seção transversal da linha de transmissão são frações significativas do comprimento

de onda do sinal.

Em frequências mais altas, os modos de propagação de ordem mais alta

coexistem com o modo TEM de tal forma que outras estruturas, como os guias de

onda e antenas, são mais práticas para a transmissão do sinal entre a fonte e a

carga. Existem muitas aplicações para estas estruturas de guiamento de ondas.

Uma placa de circuito impresso (PCI) consiste de uma placa dielétrica planar

na qual são depositadas trilhas de condutores de seção transversal retangular.

Principalmente quando são aplicadas em circuitos operando em frequências mais

altas, é necessário fazer a análise do circuito proporcionado pela PCI como de um

trecho de linha de transmissão. Nas análises mais comuns, admite-se que os

campos ao redor dos condutores da PCI são da forma TEM.

A formulação do problema considerando que a estrutura do campo ao redor

dos condutores é a de uma onda TEM simplifica significativamente a sua análise.

Entretanto, a validade da formulação é dependente da frequência do sinal e das

dimensões transversais e longitudinais da linha de transmissão. É necessário que as

dimensões transversais da linha sejam eletricamente pequenas e que a linha seja

eletricamente longa para que a formulação seja válida. Para garantir que a estrutura

da onda é TEM, é também necessário que os condutores sejam perfeitos.

25

3.1 Ondas Transversais Eletromagnéticas

Os campos eletromagnéticos são, na realidade, distribuídos continuamente

através do espaço. Se a dimensão maior (mais larga) da estrutura é eletricamente

curta, isto é, muito menor que o comprimento de onda, nós podemos concentrar os

efeitos eletromagnéticos em elementos de circuito como na teoria de circuitos

concentrados e definir as variáveis alternativas de interesse tais como as tensões e

as correntes ao longo do circuito. Uma linha longa pode ser entendida como vários

segmentos de parâmetros concentrados, denominados de parâmetros distribuídos.

Para uma linha longa, a formulação de linha de transmissão vê a linha como

uma estrutura de parâmetros distribuídos ao longo do eixo da estrutura e, portanto,

estende a técnica de análise por circuito concentrado para estruturas que são

eletricamente grandes nessa dimensão.

É necessário observar que as dimensões da seção transversal, ou seja, a

separação entre os condutores bem como suas próprias dimensões sejam

eletricamente pequenas para que a análise possa trazer resultados válidos.

Em sua forma mais comum, a suposição fundamental para toda a formulação

de linhas de transmissão e sua análise, tanto para linhas de dois condutores como

para linhas multicondutores, é que a estrutura do campo ao redor dos condutores

obedece à estrutura transversa eletromagnética (TEM), que é aquela na qual o

campo elétrico e o campo magnético no espaço circundante aos condutores da linha

são perpendiculares entre si, transversos ou perpendiculares ao eixo da linha, o qual

é escolhido como o eixo “z” do sistema de coordenadas retangulares. As ondas, em

tal tipo de linha, são ditas propagarem no modo TEM.

As estruturas de linhas de transmissão tendo as dimensões transversais

grandes eletricamente têm, em adição ao modo de propagação TEM, outros modos

de propagação denominados de modos de ordem superior.

Uma análise dessas estruturas usando as formulações clássicas de linhas de

transmissão poderia predizer somente as componentes do modo de propagação

TEM e não representa uma análise completa da linha de transmissão.

Outros aspectos, tais como uma linha de transmissão com condutores não

perfeitos, também podem invalidar a descrição do modo TEM para as equações de

linhas de transmissão, pois caracterizam a existência de componentes de campo no

sentido do eixo da linha (devido à queda de tensão longitudinal).

26

3.2 Teoria Clássica de Linhas de Transmissão

A teoria de linhas de transmissão compõe um elo entre a análise de campos

eletromagnéticos e a teoria básica de circuitos elétricos e, portanto, é de importância

significativa na análise de redes de altas frequências.

O fenômeno da propagação de ondas em linhas de transmissão pode ser

aproximado desde uma extensão da teoria de circuitos ou desde uma especialização

das equações de Maxwell. Serão apresentados ambos os pontos de vista e

mostrado que a propagação de uma onda numa linha de transmissão é descrita por

equações muito semelhantes àquelas utilizadas para demonstrar a propagação de

ondas planas no espaço.

Vale aqui alertar que as expressões obtidas dessa forma apenas são válidas

se os campos no entorno dos condutores da linha de transmissão obedecem à

estrutura de uma onda transversa eletromagnética, ou seja, somente existem

componentes de campos nas direções perpendiculares ao eixo da linha de

transmissão (direção de propagação da onda).

3.2.1 Modelo de circuito por parâmetros distribuídos para a linha de transmissão

A diferença principal entre a teoria de circuitos e a teoria de linhas de

transmissão é o seu comprimento elétrico. A análise de circuitos assume que as

dimensões físicas da rede são muito menores que o comprimento de onda do sinal

elétrico, enquanto uma linha de transmissão pode ser uma fração considerável do

comprimento de onda ou até muitos comprimentos de onda em seu tamanho.

Desta forma, uma linha de transmissão pode ser representada por uma rede

de parâmetros distribuídos onde as tensões e correntes podem variar em amplitude

e fase ao longo de seu comprimento. Cada trecho da linha de transmissão (rede) é

representado pelos seus parâmetros concentrados.

Independentemente de sua forma física, uma linha de transmissão é

frequentemente representada esquematicamente como uma linha de dois fios

paralelos como mostrado na Figura 1, uma vez que as linhas de transmissão sempre

têm, pelo menos, dois condutores.

27

Figura 1 - Definição das tensões e das correntes em um trecho incremental de uma linha de transmissão

Fonte: Elaborado pelo autor

Um pequeno trecho da linha de transmissão, de comprimento Δz, pode ser

modelado por um circuito de elementos concentrados como mostrado na Figura 2,

onde R, L, C e G são quantidades por unidade de comprimento (p.u.l. – per unit

length) definidas como segue:

R = Resistência série, por unidade de comprimento, nos 2 condutores, em Ω/m

L = Indutância série, por unidade de comprimento, para ambos condutores, em H/m

C = Capacitância paralela, por unidade de comprimento, entre os 2 condutores, em F/m

G = Condutância paralela, por unidade de comprimento, entre os 2 condutores, em S/m

Esses parâmetros representam os efeitos que a linha de transmissão oferece

devido à passagem de corrente e à presença de uma diferença de potencial entre os

condutores:

a) A indutância série L representa a indutância própria dos dois condutores;

b) A capacitância paralela C representa o efeito capacitivo devido à

proximidade entre os dois condutores e a presença de um dielétrico entre

eles;

c) A resistência série R representa o efeito de perdas ôhmicas devido à

condutividade finita dos condutores e varia significativamente com a

freqüência devido ao efeito pelicular;

28

d) A condutância paralela G representa as perdas no material dielétrico entre

os dois condutores.

Dessa forma, fica claro que R e G representam as perdas na linha de

transmissão.

Em uma linha longa, comparada com o comprimento de onda do sinal, um

comprimento finito da linha de transmissão pode ser visto como uma cascata de

seções da forma mostrada nas Figuras 1 e 2.

Figura 2 - Circuito equivalente, por elementos concentrados, de um trecho incremental de uma linha de transmissão


Na discretização espacial de qualquer linha de transmissão, o número de

células deve ser tal que o tempo de trânsito do sinal considerado sobre uma célula

genérica seja muito menor que o menor tempo de subida ou de descida

característico do sinal, de forma a reduzir as oscilações parasitas e os efeitos não

casuais (MIANO, MAFFUCCI, 2001).

Aplicando a lei de Kirchhoff de tensões no circuito equivalente da Figura 2,

teremos:

0,,

,,

tzzv

t

tzizLtzizRtzv (1)

Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no circuito equivalente da Figura 2

teremos:

0,,

,,

tzzi

t

tzzvzCtzzvzGtzi (2)

29

Dividindo as expressões (1) e (2) por z e tomando no limite, com z 0,

teremos as seguintes equações diferenciais:

0,

,,,

t

tziLtziR

z

tzzvtzv (3)

com z 0 nos leva a

t

tziLtziR

z

tzv

,,

, (4)

e

0,

,,,

t

tzzvCtzzvG

z

tzzitzi (5)

com z 0 nos leva a

t

tzvCtzvG

z

tzi

,,

, (6)

As equações (4) e (6) nos permitem determinar os valores das tensões e

correntes ao longo da linha de transmissão, caso sejam conhecidos seus parâmetros

distribuídos R, L, C e G. Estas equações são denominadas de “equações

telegráficas” ou equações da linha de transmissão no domínio do tempo.

Tomando as derivadas de ambas equações com relação ao tempo e com

relação a posição z, e fazendo as substituições necessárias, teremos:

tz

tziL

z

tziR

z

tzv

,,,2

2

2 e

2

22 ,,,

t

tziL

t

tziR

zt

tzv

tz

tzvC

z

tzvG

z

tzi

,,,2

2

2 e

2

22 ,,,

t

tzvC

t

tzvG

zt

tzi

2

2

2

2 ,,,

,

t

tzvCL

t

tzvGLCRtzvGR

z

tzv

(7)

2

2

2

2 ,,,

,

t

tziCL

t

tziGLCRtziGR

z

tzi

(8)

30

As expressões (7) e (8) se referem às equações das ondas de tensão e

corrente ao longo da linha de transmissão, assim denominadas pois demonstram

que uma variação da tensão ou da corrente ao longo do eixo z demanda uma

variação da mesma quantidade no domínio do tempo. Em geral, isto é melhor

observado se considerarmos a linha de transmissão sem perdas, ou seja, com R=0

e com G=0, o que nos leva às seguintes expressões:

2

2

2

2 ,,

t

tzvCL

z

tzv

(9)

2

2

2

2 ,,

t

tziCL

z

tzi

(10)

3.3 Linha de Transmissão com Excitação Senoidal

Na condição de excitação por fonte de sinal harmônico com o tempo, como

um sinal senoidal, em regime continuo de operação, com os fasores baseados em

funções cossenos, as expressões (4) e (6) podem ser escritas como:

t

tziLtziR

z

tzv

,,

, zILjzIR

z

zV

zILjRz

zV)(

(11)

t

tzvCtzvG

z

tzi

,,

, zVCjzVG

z

zI

zVCjGz

zI)(

(12)

As equações de onda (7) e (8) podem ser reescritas como:

zVCLGLjCRjGR

z

zV)( 2

2

2

zV

z

zV 2

2

2

(13)

31

zICLGLjCRjGR

z

zI)( 2

2

2

zI

z

zI 2

2

2

(14)

Onde a constante é denominada de constante de propagação complexa da

onda, que é função da frequência do sinal, e é dada por:

CLGLjCRjGR 2 (15)

A constante de propagação também pode ser representada como:

jCjGLjR )()( (16)

onde as constantes e representam a constante de atenuação (taxa de variação

da amplitude com a distância) e a constante de fase (taxa de variação da fase com a

distância), respectivamente. As constantes e devem ser números reais e

positivos, para manterem essas definições.

As soluções para as ondas propagantes V(z) e I(z), a partir das equações (13)

e (14), são dadas por:

zo

zo eVeVzV (17)

zo

zo eIeIzI (18)

onde ( zo eV ) representa a onda de tensão viajando na direção positiva do eixo z e

( zo eV ) representa a onda de tensão viajando na direção contrária. O mesmo

ocorre na expressão da corrente.

Utilizando o resultado encontrado para a tensão ao longo da linha de

transmissão da expressão (17) e aplicando na expressão (11), teremos:

zILjReVeV

z

zV zo

zo

(19)

de onde obtemos que:

zo

zo eVeV

LjRzI

(20)

32

Define-se a impedância característica da linha de transmissão, Zc, que é dada

por:

CjG

LjRLjRZc

(21)

Comparando as expressões (18) e (20), e utilizando a definição da equação

(21), veremos que a corrente e a tensão propagando no sentido +z bem como a

corrente e a tensão propagando no sentido –z são relacionadas pela impedância

característica da linha Zc:

c

oo

Z

VI

(22)

c

oo

Z

VI

(23)

Nos capítulos seguintes, as expressões aqui mostradas serão comparadas

com aquelas obtidas a partir de outras modelagens, mostrando que o modelo aqui

utilizado é uma simplificação.

Vale ressaltar que mesmo sendo um modelo simplificado, o modelo de

circuitos por parâmetros distribuídos para linhas de transmissão apresenta

resultados consistentes em muitas situações e ainda é muito utilizado. Entretanto, é

preciso delimitar as condições nas quais o modelo apresenta bons resultados, o que

o desenvolvimento utilizado até aqui não permite visualizar.

Obs.: Em um trecho curto de linha de transmissão, a representação pode ser

feita por uma única célula com os efeitos elétricos concentrados em elementos de

circuitos R, L, C e G (parâmetros concentrados ou lumped elements). Para linhas de

transmissão longas, a representação pode ser feita pela associação em série de

várias células com os mesmos parâmetros concentrados, denominando o modelo de

representação por parâmetros distribuídos.

33

4 DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE ONDAS GUIADAS A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL

Neste capítulo mostraremos a dedução das equações de ondas guiadas a

partir das equações de Maxwell enfatizando a semelhança com as equações de

linha de transmissão deduzidas no capitulo anterior. As equações obtidas contêm

mais informações que no caso anterior, permitindo separar a solução para tipos

distintos de ondas, além do caso de ondas transversas eletromagnéticas (TEM).

As equações de Maxwell nos dão uma descrição completa das relações entre

os campos eletromagnéticos e as distribuições de carga e de corrente. São

baseadas nos experimentos de Faraday, Ampere e Gauss, no início do século 19.

As equações de Maxwell foram primeiramente apresentadas em seu trabalho “A

Treatise on Electricity and Magnetism” publicado em 1864, num conjunto de 19

equações, por falta de uma notação vetorial mais adequada na época.

Posteriormente, Oliver Heaviside reescreveu as equações de Maxwell na forma que

conhecemos hoje. Estas equações mostram os fundamentos da teoria

eletromagnética.

As soluções das chamadas equações de Maxwell nos dão as respostas para

todos os problemas eletromagnéticos, mesmo que, em alguns casos, estas soluções

sejam difíceis de serem obtidas.

Algumas técnicas analíticas e numéricas especiais podem ser utilizadas para

auxiliar nos procedimentos de solução, porém nada é acrescentado ou redefinido na

estrutura fundamental descrita pelas equações de Maxwell, dadas por:

t

BEx

(24)

t

DJHx

(25)

vD

. (26)

0.

B (27)

34

Onde:

B Densidade de fluxo magnético (Wb/m2)

H Intensidade de campo magnético (A/m)

D Densidade de fluxo elétrico (C/m2)

E Intensidade de campo elétrico (V/m)

J Densidade de corrente (A/ m2)

v Densidade volumétrica de cargas (C/m3)

4.1 Relações Constitutivas

Para fins do eletromagnetismo, os meios são caracterizados por suas

propriedades constitutivas, dadas pelos parâmetros μ (permeabilidade magnética –

H/m), ε (permissividade elétrica – F/m) e σ (condutividade – S/m).

Em um meio linear estes parâmetros são constantes para qualquer valor de

intensidade dos campos. Em um meio isotrópico, estes parâmetros não dependem

da orientação vetorial dos campos. Em um meio homogêneo, estes parâmetros não

variam com a posição. Um quarto fator importante a ser observado é que estes

parâmetros também não variam com o tempo.

Denominaremos de meio “simples” aquele que é homogêneo, linear,

isotrópico e invariante no tempo.

Num meio qualquer, os parâmetros podem ser tensores dependentes da

posição em que o campo é avaliado ou da orientação dos campos numa

determinada posição e, nesses casos, as relações constitutivas entre as quantidades

eletromagnéticas podem ser complexas e as relações determinadas por diádicas

(COLLIN, 1992).

Num meio dito simples, as relações constitutivas entre as quantidades

eletromagnéticas são dadas por:

ED (28)

HB (29)

35

EJ (30)

onde: ro e ro

)/(104 7 mHxo permeabilidade magnética do vácuo

)/(10854,8 12 mFxo permissividade elétrica do vácuo

r = permeabilidade magnética relativa do meio

r = permissividade elétrica relativa do meio

= permeabilidade magnética absoluta do meio (H/m)

= permissividade elétrica absoluta do meio (F/m)

= condutividade do meio (S/m)

4.2 Condições de Contorno para Campos Eletromagnéticos

Para resolver problemas eletromagnéticos envolvendo regiões contíguas de

diferentes parâmetros constitutivos, é necessário conhecer as condições de contorno

que os campos vetoriais

HeBED ,, devem satisfazer nas interfaces.

As condições de contorno são derivadas a partir da aplicação das equações

de Maxwell na sua forma integral em pequenas regiões na interface dos dois meios.

A aplicação da equação do rotacional na sua forma integral em um caminho

plano fechado no contorno com os lados de cima e de baixo onde os dois meios se

tocam, fornece as condições de contorno para as componentes tangenciais.

scSd

t

BldE

.. (31)

scSd

t

BJldH

.. (32)

A aplicação da equação do divergente na sua forma integral em um cilindro

raso fechado no contorno com as faces de cima e de baixo onde os dois meios se

tocam, fornece as condições de contorno para as componentes normais.

36

v vs

VdSdD

(33)

0s SdB

(34)

Assim, as condições de contorno para as componentes tangenciais dos

campos

HeE são:

21 tt EE (V/m) (35)

sn JHHa

212ˆ (A/m) (36)

As condições de contorno para as componentes normais dos campos

BeD

são:

21 nn BB (T) (37)

sn DDa 212ˆ

(C/m2) (38)

De forma geral, as condições de contorno para campos eletromagnéticos

podem ser descritas como:

a) A componente tangencial do campo elétrico

E é contínua através da

interface;

b) A componente tangencial de um campo magnético

H é descontínua

através da interface quando existe uma corrente superficial;

c) A componente normal da densidade de campo elétrico

D é descontínua

através da interface quando existe uma carga superficial;

d) A componente normal da densidade de campo magnético

B é continua

através da interface.

De maneira geral, a solução de problemas eletromagnéticos em meios

lineares e isotrópicos envolve o conjunto de equações (24-27), (28-30) e (35-38). A

37

solução desse conjunto de equações para situações específicas, em problemas

típicos de linha de transmissão, será desenvolvida a seguir.

4.3 Equações de Maxwell em Regiões Livres de Cargas

Em problemas de propagação de ondas simples, nos concentramos no

estudo do comportamento das ondas eletromagnéticas numa região livre de cargas,

onde a densidade volumétrica de cargas v é nula e não há circulação de correntes

produzida por fontes externas. Em outras palavras, estamos interessados em

descobrir sobre como as ondas estão se propagando e não como elas foram

geradas.

Primeiramente trataremos das situações onde o meio não apresenta perdas

e, em segundo lugar, trataremos dos meios com perdas.

Posteriormente serão mostradas as situações simplificadas onde alguns

componentes do campo eletromagnético não estão presentes, denominadas de

ondas tipo transversais eletromagnéticas (TEM), transversais elétricas (TE) e

transversais magnéticas (TM). Estas situações simplificadas auxiliam na análise de

linhas de transmissão em situações especificas, porém corriqueiras.

Será utilizado o conceito de meio “simples”, definido anteriormente.

4.3.1 Ondas em meios simples, sem perdas

Se a onda está em um meio simples, não condutor, caracterizado por μ e ε

(sendo σ = 0), as equações de Maxwell se resumem a:

t

HEx

(39)

t

EHx

(40)

0.

E (41)

0.

B (42)

38

Tomando o rotacional da expressão (39), teremos:

Hxtt

HxExx (43)

Mas, como temos que:

EEExx 2. (identidade vetorial)

e t

EHx

e 0.

E

Substituindo em (43), teremos:

2

22

t

EE

ou 02

22

t

EE (44)

De modo similar, partindo da equação (40) obtemos que:

02

22

t

HH (45)

Considerando que

1v , podemos escrever:

01

2

2

2

2

t

E

vE (46)

01

2

2

2

2

t

H

vH (47)

Estas equações são denominadas de equações de ondas vetoriais

homogêneas. Em coordenadas cartesianas, podemos escrever as relações entre as

componentes individuais de campo da seguinte forma:

01

2

2

2

2

t

E

vE x

x 0

1

2

2

2

2

t

H

vH x

x

39

01

2

2

2

2

t

E

vE

yy

01

2

2

2

2

t

H

vH

yy

01

2

2

2

2

t

E

vE z

z 0

1

2

2

2

2

t

H

vH z

z

Pode ser observado que as últimas equações são semelhantes às

expressões (9) e (10) obtidas para linhas de transmissão sem perdas, no capítulo 3.

4.3.2 Ondas em meios simples, com perdas

Como as ondas eletromagnéticas de altas frequências não caminham

distâncias significativas em meios bons condutores, somente faz sentido o estudo de

propagação destas ondas em meios dielétricos. A fim de caracterizar as perdas no

meio onde a onda está se propagando, consideramos que este meio, apesar de ser

dielétrico, possui uma condutividade não nula. Esta propriedade do meio

caracterizará a existência de perdas ôhmicas, quando da passagem da onda

eletromagnética através dele.

Continuamos assumindo que o meio é livre de fontes, ou seja, a densidade

volumétrica de cargas v é nula e não há circulação de correntes produzida por

fontes externas.

As equações de Maxwell a serem utilizadas, ainda considerando o meio

linear, homogêneo e isotrópico, são:

t

HEx

(48)

t

EEHx

(49)

0.

E (50)

0.

B (51)

40

Tomando o rotacional da expressão (48), e fazendo as substituições

pertinentes, como aquelas realizadas para um meio sem perdas, podemos obter

que:

02

22

t

E

t

EE (52)

E, de modo similar, a partir da expressão (49)

02

22

t

H

t

HH (53)

Observa-se uma similaridade destas expressões com aquelas obtidas para

linhas de transmissão com perdas, nas equações (7) e (8).

4.4 Ondas em Linha de Transmissão com Excitação Senoidal

Na condição de excitação por fonte de sinal harmônico com o tempo, como

um sinal senoidal, em regime contínuo de operação, com os fasores dos

campos

HeE baseados em funções exponenciais do tipo:

tjsts eEE )(),(

tj

sts eHH )(),(

e substituindo nas expressões (46) e (47) obtemos as equações de onda em um

meio sem perdas:

EEj

t

E 22

2

2

02

22

Ev

E (54)

HHj

t

H 22

2

2

02

22

Hv

H (55)

41

Para um meio simples, a quantidade kv

é uma constante para

cada frequência e é denominada de constante de fase ou número de onda.

Reescrevendo as equações anteriores, temos:

022

EkE (56)

022

HkH (57)

As equações de onda para um meio com perdas (52) e (53) podem ser

reescritas como:

022

EEjE 022

EE (58)

022

HHjH 022

HH (59)

onde a constante é denominada de constante de propagação complexa da onda,

que é função da frequência do sinal, e é dada por:

jjjj 112 (60)

A constante de propagação também pode ser representada como:

jjj 1 (61)

As constantes e , da mesma forma que foram definidas nas equações de

linhas de transmissão, representam a constante de atenuação (taxa de variação da

amplitude com a distância) e a constante de fase (taxa de variação da fase com a

distância), respectivamente. As constantes e devem ser números reais e

positivos, para manterem essas definições.

Podemos verificar a similaridade de definições, comparando com a expressão

(16) obtida para linhas de transmissão, reescrita a seguir:

jCjGLjR )()( (62)

42

É possível obter os parâmetros concentrados R, G, L e C, por unidade de

comprimento, a partir das constantes eletromagnéticas que definem o meio onde a

onda está se propagando, utilizando das definições de resistência, condutância,

indutância e capacitância e das equações do eletromagnetismo. Assim feito, têm-se

total similaridade entre as equações de linhas de transmissão e as equações de

onda obtidas a partir das equações de Maxwell.

É necessário observar que a obtenção dos parâmetros concentrados por

unidade de comprimento em meios não homogêneos, não lineares ou não

isotrópicos não é simples e nem sempre é possível por soluções analíticas.

Além disso, observa-se que as equações obtidas para linhas de transmissão

são equações escalares e as equações de onda obtidas pelas equações de Maxwell

são quantidades vetoriais, que podem ter soluções distintas em cada direção de

propagação. Isso pode dificultar de modo muito significativo a obtenção dos

parâmetros concentrados por unidade de comprimento.

A similaridade entre as equações, com a consequente obtenção dos

parâmetros por unidade de comprimento, irá depender da existência ou não de

algumas componentes dos campos eletromagnéticos. Para prosseguir nessa análise

faremos a separação das equações pelas suas componentes vetoriais.

4.5 Separação das Componentes das Equações de Onda Segundo suas Direções

A fim de distinguir as ondas eletromagnéticas segundo a existência ou não

das componentes longitudinais dos campos elétrico e magnético, vamos desdobrar

as equações de Maxwell, separando-as conforme a direção das componentes de

campo.

A distinção é feita pela presença ou não das componentes longitudinais de

campo elétrico e magnético. As ondas ditas transversais eletromagnéticas (TEM)

são aquelas que não possuem as componentes longitudinais de ambos os campos.

As ondas transversais elétricas (TE) são aquelas que não possuem a componente

longitudinal do campo elétrico e as ondas transversais magnéticas (TM) são aquelas

que não possuem a componente longitudinal de campo magnético.

Utilizaremos a notação retangular para denotar as componentes dos campos,

ou seja:

43

zzyyxx aEaEaEE ˆˆˆ (63)

zzyyxx aHaHaHH ˆˆˆ (64)

Como as operações das equações de Maxwell envolvem o operador vetorial

nabla, ele também é separado segundo suas componentes:

zyx az

ay

ax

ˆˆˆ

(65)

4.5.1 Equações para linha sem perdas

Num primeiro instante, consideraremos o meio simples, livre de cargas e livre

de perdas, ou seja, a condutividade infinita dos condutores e nula do dielétrico. As

equações de referência são (39), (40), (41), (42), (46) e (47).

Primeiramente, para a equação (39): t

HEx

t

aHaHaHaEaEaEa

za

ya

x

zzyyxxzzyyxxzyx

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ (66)

Separando as componentes segundo suas direções, temos:

x

xx

yz at

Ha

z

E

y

Eˆˆ

(67)

yy

yzx a

t

Ha

x

E

z

Eˆˆ

(68)

z

zz

xya

t

Ha

y

E

x

Eˆˆ

(69)

Em seguida, para a equação (40): t

EHx

t

aEaEaEaHaHaHa

za

ya

x

zzyyxxzzyyxxzyx



44

x

xx

yz at

Ea

z

H

y

Hˆˆ

(71)

yy

yzx a

t

Ea

x

H

z

Hˆˆ

(72)

z

zz

xya

t

Ea

y

H

x

Hˆˆ

(73)

Agora para a equação (41): 0. E

0

z

E

y

E

x

E zyx (74)

E agora para a equação (42): 0. H

0

z

H

y

H

x

H zyx (75)

O operador escalar 2 , também chamado de Laplaciano, é separado

segundo suas componentes transversal 2T e longitudinal

2

2

z

:

2

22

2

2

2

2

2

22

zzyxT

(76)

Para a equação de onda (46), teremos:

02

ˆˆˆ2

2

1ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

t

za

zE

ya

yE

xa

xE

vz

az

Ey

ay

Ex

ax

Ezyx

(77)


0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aE

vaE

zyx

xxxx

(78)

0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aE

vaE

zyx

yyyy

(79)

45

0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aE

vaE

zyx

zzzz

(80)


02

ˆˆˆ2

2

1ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

t

za

zH

ya

yH

xa

xH

vz

az

Hy

ay

Hx

ax

Hzyx

(81)


0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aH

vaH

zyx

xxxx

(82)

0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aH

vaH

zyx

yyyy

(83)

0ˆ1

ˆ2

2

22

2

2

2

2

2

t

aH

vaH

zyx

zzzz

(84)

4.5.2 Equações para linha com perdas

Agora consideraremos o meio simples e livre de cargas, porém com perdas,

ou seja, a condutividade do dielétrico não é nula. Ainda consideramos a

condutividade infinita dos condutores. As equações de referência são (48), (49), (50),

(51), (52) e (53).

Primeiramente, para a equação (48): t

HEx

t

aHaHaHaEaEaEa

za

ya

x

zzyyxx

zzyyxxzyx



x

xx

yz at

Ha

z

E

y

Eˆˆ

(86)

46

y

yy

zx at

Ha

x

E

z

Eˆˆ

(87)

z

zz

xya

t

Ha

y

E

x

Eˆˆ

(88)

Em seguida, para a equação (49): t

EEHx

zzyyxxzyx aHaHaHa

za

ya

xˆˆˆˆˆˆ

t

aEaEaEaEaEaE

zzyyxxzzyyxx

ˆˆˆˆˆˆ

(89)


x

xxxx

yz at

EaEa

z

H

y

Hˆˆˆ

(90)

yy

yyyzx a

t

EaEa

x

H

z

Hˆˆˆ

(91)

z

zzzz

xya

t

EaEa

y

H

x

Hˆˆˆ

(92)

Agora para a equação (50):

0

z

E

y

E

x

E zyx (93)

E agora para a equação (51):

0

z

H

y

H

x

H zyx (94)


zzyyxx aEaEaE

zyxˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2 ˆˆˆˆˆˆ

t

aEaEaE

t

aEaEaE zzyyxxzzyyxx

(95)

47


0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

xxxxxx (96)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

yyyyyy (97)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

zzzzzz (98)


zzyyxx aHaHaH

zyxˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2 ˆˆˆˆˆˆ

t

aHaHaH

t

aHaHaH zzyyxxzzyyxx

(99)


0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

xxxxxx (100)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

yyyyyy (101)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

zzzzzz (102)

4.5.3 Simplificação das equações para ondas TEM, TE e TM

Tanto para a linha sem perdas como para a linha com perdas, com a

separação das componentes segundo suas direções, obtivemos um conjunto de 14

equações a partir das 4 equações de Maxwell originais. Utilizando destes conjuntos

de equações, agora podemos procurar as equações que melhor representam ondas

48

que não possuem componentes de campo elétrico ou magnético na direção de

propagação.

Como estamos tratando de ondas guiadas, em linhas de transmissão,

adotamos como direção de propagação a do eixo “z” do sistema de coordenadas.

Desta forma, o eixo da linha de transmissão coincide com o eixo “z” do sistema de

coordenadas.

Uma onda denominada TEM – transverso eletromagnética, é aquela que não

possui componentes de campo elétrico e de campo magnético na direção de

propagação, ou seja, Ez = 0 e Hz = 0.

A onda TE – transversal elétrica, é aquela que não possui componente de

campo elétrico na direção de propagação, ou seja, Ez = 0 e Hz ≠ 0.

A onda TM – transversal magnética, é aquela que não possui componente de

campo magnético na direção de propagação, ou seja, Ez ≠ 0 e Hz = 0.

Para simplificar o tratamento das equações, vamos tratar de campos

harmônicos com o tempo. Considerando que a excitação seja por campos

harmônicos, da forma cossenoidal, podemos representar a variação dos campos

com relação à variável tempo segundo a função ejwt .

Com esta proposição podemos representar a derivada dos campos com o

tempo da seguinte forma:

zyxEjtzyxEt

,,,,,

(103)

zyxHjtzyxHt

,,,,,

(104)

4.5.4 Equações para ondas TEM

No caso das ondas TEM não existirão as componentes de campo elétrico e

magnético na direção de propagação, ou seja, Ez = 0 e Hz = 0.

Considerando que a onda se propaga num meio guiado, com uma constante

de propagação , as soluções para as equações de onda nos trarão resultados da

variação dos campos segundo a direção de propagação da seguinte forma:

ztj eeyxEtzyxE ..,,,,

(105)

49

ztj eeyxHtzyxH ..,,,,

(106)

Assim, as derivadas dos campos HeE

segundo a variável “z”, devem ser

dadas por:

tzyxEtzyxEz

,,,,,,

(107)

tzyxHtzyxHz

,,,,,,

(108)

Dessa forma, nas equações obtidas podemos substituir a derivada primeira

com relação à variável “z” pelo fator “-“ e a derivada segunda com relação à variável

“z” por ““.

Da mesma maneira, a derivada primeira das componentes dos campos com

relação ao tempo pode ser representada pela multiplicação da equação pela

constante “j“ e a derivada segunda pela multiplicação pela constante “-2”.

4.5.5 Ondas TEM em linhas sem perdas

Aplicando as substituições das derivadas com relação a “z” e a “t” e com Ez=0

e Hz=0 nas 14 equações obtidas na seção 4.5.1, teremos:

x

xx

yz at

Ha

z

E

y

Eˆˆ

xy HjE (109)

yy

yzx a

t

Ha

x

E

z

Eˆˆ

yx HjE (110)

z

zz

xya

t

Ha

y

E

x

Eˆˆ

0

y

x

x

y EE (111)

x

xx

yz at

Ea

z

H

y

Hˆˆ

xy EjH (112)

yy

yzx a

t

Ea

x

H

z

Hˆˆ

yx EjH (113)

50

z

zz

xya

t

Ea

y

H

x

Hˆˆ

0

y

x

x

y HH (114)

0

z

E

y

E

x

E zyx 0

y

E

x

E yx (115)

0

z

H

y

H

x

H zyx 0

y

H

x

H yx (116)

02

22

2

2

2

2

xx E

vE

yx

0

2

222 xxT E

vE

(117)

02

22

2

2

2

2

yy E

vE

yx

0

2

222 yyT E

vE

(118)

01

2

2

2

2

2

2

2

2

t

E

vE

yx

zz 0 = 0 (119)

02

22

2

2

2

2

xx H

vH

yx

0

2

222 xxT H

vH

(120)

02

22

2

2

2

2

yy H

vH

yx

0

2

222 yyT H

vH

(121)

01

2

2

2

2

2

2

2

2

t

H

vH

yx

zz 0 = 0 (122)

Pode ser observado que no conjunto de equações resultante existem

redundâncias. Assim, para resolver um problema já considerando que a solução seja

por ondas tipo TEM, podemos nos restringir às equações:

Eaj

H z

ˆ

(123)

0. ET

(124)

0 ET

(125)

Haj

E z

ˆ

(126)

51

0. HT

(127)

0 HT

(128)

0222 HkHT

(129)

0222 EkET

(130)

O campo H é encontrado pela simples multiplicação do vetor E por

constantes, alterando as direções das componentes pelo produto vetorial com o

vetor unitário na direção z. Da mesma forma, o campo E é encontrado pela simples

multiplicação do vetor H por constantes, alterando as direções das componentes da

mesma maneira.

Como o rotacional e o divergente transversal do campo E são nulos para a

onda TEM, podemos procurar uma solução a partir de um campo potencial escalar

transversal ФT, que produza aquele campo elétrico e que tenha o laplaciano nulo nas

condições de contorno do problema, ou seja:

TTE

(131)

0)( TTTT E

(rotacional de gradiente é sempre nulo)

e TTTTTT E 2)(..

como 0. ET

então 02 TT

Para encontrar a constante ““ partimos de 0222 EkET

substituindo TTE

temos:

0222222 TTTTTTTTTT kk (132)

como 02 TT 022 TTk (133)

como 0 TT então 022 k (134)

Para um meio sem perdas temos k = ω / v, que é um número real puro.

Então, para a onda tipo TEM neste meio é preciso que “ = j k “, ou seja, que “ “

seja imaginário puro, o que implica numa linha sem perdas ( α = 0 e β = k ).

52

4.5.6 Ondas TEM em linhas com perdas

Aplicando as substituições das derivadas com relação a “z” e a “t” e com Ez=0

e Hz=0 nas 14 equações obtidas na seção 4.5.2, teremos:

x

xx

yz at

Ha

z

E

y

Eˆˆ

xy HjE (135)

yy

yzx a

t

Ha

x

E

z

Eˆˆ

yx HjE (136)

z

zz

xya

t

Ha

y

E

x

Eˆˆ

0

y

x

x

y EE (137)

x

xxxx

yz at

EaEa

z

H

y

Hˆˆˆ

xy EjH (138)

yy

yyyx

z

z

x at

EaEa

HHˆˆˆ

yx EjH (139)

z

zzzz

xya

t

EaEa

y

H

x

Hˆˆˆ

0

y

H

x

Hxy (140)

0

z

E

y

E

x

E zyx 0

y

E

x

E yx (141)

0

z

H

y

H

x

H zyx 0

y

H

x

H yx (142)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

xxxxxx

0222 xxT EjE

(143)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

yyyyyy

0222 yyT EjE

(144)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aE

t

aEaE

zyx

zzzzzz

0 = 0

(145)

53

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

xxxxxx

0222 xxT HjH

(146)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

yyyyyy

0222 yyT HjH

(147)

0ˆˆ

ˆ2

2

2

2

2

2

2

2

t

aH

t

aHaH

zyx

zzzzzz

0=0

(148)

Pode ser observado que no conjunto de equações resultante existem

redundâncias. Assim, para resolver um problema já considerando que a solução seja

por ondas tipo TEM, podemos nos restringir às equações:

Eaj

H z

ˆ

(149)

0. ET

(150)

0 ET

(151)

Haj

E z

ˆ

(152)

0. HT

(153)

0 HT

(154)

0222 HkHT

(155)

0222 EkET

(156)

22 kj (157)

O campo H é encontrado pela simples multiplicação do vetor E por

constantes, alterando as direções das componentes pelo produto vetorial com o

vetor unitário na direção z. Da mesma forma, o campo E é encontrado pela simples

54

multiplicação do vetor H por constantes, alterando as direções das componentes da

mesma maneira.

Como o rotacional e o divergente transversal do campo E são nulos, para a

onda TEM podemos procurar uma solução a partir de um campo potencial escalar

transversal ФT, que produza aquele campo elétrico e que tenha o laplaciano nulo nas

condições de contorno do problema, ou seja:

0222 EkET

(158)

TTE

0)( TTTT E

(159)

e

TTTTTT E 2)(..

como 0. ET

então 02 TT

Para encontrar a constante ““ partimos de 0222 EkET

substituindo TTE

temos:

0222222 TTTTTTTTTTkk (160)

como 02 TT temos que 022 TTk

como 0 TT então 022 k

Para um meio com perdas temos jk 2 , que é um número

complexo. Como para onda tipo TEM neste meio é preciso que seja satisfeita a

equação (160), ou seja, “ = j k = α + j β “, teremos como determinar o valor para a

constante de atenuação “α” e para a constante de fase “β” a partir das

características do meio (σ, ε e μ) e da frequência da onda (ω), que é determinada

pela fonte de sinal.

4.5.7 Ondas TE e TM em linhas com perdas

As ondas denominadas de transversais elétricas – TE, são aquelas nas quais

não existe a componente longitudinal do campo elétrico, ou seja, Ez = 0. Para que

55

seja diferenciada da onda TEM, é também necessário que a componente

longitudinal do campo magnético não seja nula, ou seja, Hz ≠ 0.

As ondas denominadas de transversais magnéticas – TM, são aquelas nas

quais não existe a componente longitudinal do campo magnético, ou seja, Hz = 0.

Para que seja diferenciada da onda TEM, é também necessário que a componente

longitudinal do campo elétrico não seja nula, ou seja, Ez ≠ 0.

A fim de simplificar as deduções das equações, adotamos a seguinte notação:

zzT aEEE ˆ

(161)

zzT aHHH ˆ

(162)

zTzT aaz

ˆˆ

(163)

222 T (164)

Aplicando estas notações nas equações de Maxwell para um meio dielétrico

com perdas, sem a presença de fontes, teremos:

Da equação t

HE

t

aHHaEaEaaEE zzT

zzzTzzzTTT

ˆˆˆˆˆ

(165)

Podemos separar as componentes segundo as direções transversal e

longitudinal:

t

aHE zz

TT

ˆ

(166)

t

HEaaE T

TzzzT

ˆˆ (167)

Da equação t

EEH

,

t

aEEaEEaHaHaaHH zzT

zzTzzzTzzzTTT

ˆˆˆˆˆˆ

(168)

56


longitudinal:

t

aEaEH zz

zzTT

ˆˆ

(169)

t

EEHaaH T

TTzzzT

ˆˆ (170)

Da equação 0 H

, teremos

0ˆ.ˆ.ˆˆ.. zzzTzzzTTT aHaHaaHH

(171)

Ou, simplesmente zTT HH

. (172)

Da equação 0 E

, teremos

0ˆ.ˆ.ˆˆ.. zzzTzzzTTT aEaEaaEE

(173)

Ou, simplesmente zTT EE

. (174)

Da equação de onda 0

2

22

t

E

t

EE

, teremos

2

22222 ˆˆ

ˆˆt

aEE

t

aEEaEEaEE zzTzzT

zzTzzTTT

(175)


longitudinal:

2

222

t

E

t

EEE TT

TTT

(176)

2

222

t

E

t

EEE zz

zzT

(177)

Da equação de onda 0

2

22

t

H

t

HH

, teremos

2

22222 ˆˆ

ˆˆt

aHH

t

aHHaHHaHH zzTzzT

zzTzzTTT

(178)

57


longitudinal:

2

222

t

H

t

HHH TT

TTT

(179)

2

222

t

H

t

HHH zz

zzT

(180)

Para campos harmônicos com o tempo, e considerando que a onda se

propaga num meio guiado com uma constante de propagação , as soluções para

as equações de onda nos trarão resultados da variação dos campos segundo a

direção de propagação da seguinte forma:

ztj eeyxEtzyxE ..,,,,

(181)

ztj eeyxHtzyxH ..,,,,

(182)

As derivadas dos campos HeE

segundo a variável “t”, serão dadas por:

zyxEjtzyxEt

,,,,,

(183)

zyxHjtzyxHt

,,,,,

(184)

Assim, a derivada primeira das componentes dos campos com relação ao

tempo pode ser representada pela multiplicação da equação pela constante “j“ e a

derivada segunda pela multiplicação pela constante “-2”.

As equações anteriormente mostradas podem ser reescritas no domínio da

frequência da seguinte forma:

t

aHE zz

TT

ˆ

zzTT aHjE ˆ

(185)

t

HEaaE T

TzzzT

ˆˆ TTzzzT HjEaaE

ˆˆ (186)

t

aEaEH zz

zzTT

ˆˆ

zzTT aEjH ˆ

(187)

58

t

EEHaaH T

TTzzzT

ˆˆ TTzzzT EjHaaH

ˆˆ (188)

zTT HH

. (189)

zTT EE

. (190)

2

222

t

E

t

EEE TT

TTT

0222 TTT EjE

(191)

2

222

t

E

t

EEE zz

zzT

0222 zzT EjE (192)

2

222

t

H

t

HHH TT

TTT

0222 TTT HjH

(193)

2

222

t

H

t

HHH zz

zzT

0222 zzT HjH (194)

O conjunto destas 10 equações, desmembradas a partir das equações de

Maxwell, pode ser utilizado para encontrar a distribuição dos campos elétrico e

magnético em uma linha de transmissão, na qual o dielétrico tem perdas. Ainda não

estão computadas as perdas no meio condutor.

As equações mostram algumas redundâncias e, portanto, podemos separar

um conjunto menor de equações para representar o comportamento da onda

eletromagnética em linhas de transmissão, caso estejamos procurando soluções

específicas, como de ondas TEM, TE ou TM.

4.5.8 Ondas TE em linhas com perdas

Para procurar solução de uma onda tipo TE numa linha de transmissão não

precisamos de todas as 10 equações mostradas anteriormente. Como neste tipo de

onda temos Ez = 0, vamos aplicar esta simplificação nas equações obtidas de (185)

a (194).

(185) zzTT aHjE ˆ

(195)

(186) TTz HjEa

ˆ (196)

(187) 0 TT H

(197)

59

(188) TTzzzT EjHaaH

ˆˆ (198)

(189) zTT HH

. (199)

190) 0. TT E

(200)

(191) 022 TcTTEkE

(201)

(192) 00

(193) 022 TcTTHkH

(202)

(194) 022 zczTHkH (203)

onde: 2

22 jkc

Assim, para resolver um problema já considerando que a solução seja por

ondas tipo TE, podemos trabalhar com um conjunto mais reduzido de equações,

com algumas manipulações matemáticas.

Para alcançar as equações desejadas, utilizaremos a regra do triplo produto

vetorial:

BACCABCBA

.. (204)

Aplicando o produto vetorial na equação (197) e utilizando da regra do triplo

produto vetorial (204), teremos:

0.. TTTTTTTTT HHH

(205)

Utilizando da equação (199), substituindo na equação obtida (205), teremos:

02 TTzT HH

zTTT HH

2 (206)


zTTc HHk

2 zT

c

T Hk

H 2

(207)

A equação (207) permite obter a expressão para a componente transversal do

campo magnético a partir da expressão da componente longitudinal.

60

Utilizando da equação (196), aplicando o produto vetorial pelo vetor unitário

na direção z em ambos os lados da equação e aplicando a regra do triplo produto

vetorial (204), teremos:

TzTzz HjaEaa

ˆˆˆ TzzzTTzz HajaaEEaa

ˆˆ.ˆ.ˆˆ (208)

Como 0.ˆ Tz Ea

e 1ˆ.ˆ zz aa , teremos:

TzT HajE

ˆ TzT Haj

E

ˆ

(209)


campo elétrico a partir da expressão da componente transversal do campo

magnético.

Desta forma, é possível encontrar toda a distribuição do campo

eletromagnético pelo uso das equações (207), (209) e (203):

zT

c

T Hk

H 2

TzT Haj

E

ˆ

022 zczTHkH

(210)

A vantagem do procedimento é de poder buscar a solução do problema pela

resolução de uma equação escalar (203), onde pode ser encontrada a expressão

para a componente Hz e encontrar as demais componentes de campo por simples

manuseio matemático da expressão obtida.

Durante a resolução da equação (203), aplicadas as condições de contorno

do problema, encontra-se a relação entre as constantes = α + j β e kc. É

importante salientar que, dependendo da geometria do problema, a resolução para a

equação (203) pode não ser possível por métodos analíticos, demandando solução

numérica aproximada.

4.5.9 Ondas TM em linhas com perdas

Da mesma forma que ocorre com as ondas tipo TE, para procurar solução de

uma onda tipo TM numa linha de transmissão não precisamos de todas as 10

equações mostradas anteriormente. Como neste tipo de onda temos Hz = 0, vamos

aplicar esta simplificação nas equações obtidas, de (185) a (194).

61

(185) 0 TT E

(211)

(186) TTzzzT HjEaaE

ˆˆ (212)

(187) zzTT aEjH ˆ

(213)

(188) TTz EjHa

ˆ (214)

(189) 0. TT H

(215)

(190) zTT EE

. (216)

(191) 022 TcTTEkE

(217)

(192) 022 zczTEkE (218)

(193) 022 TcTTHkH

(219)

(194) 0 = 0

Assim, para resolver um problema já considerando que a solução seja por

ondas tipo TM, podemos trabalhar com um conjunto mais reduzido de equações,

com algumas manipulações matemáticas.

Aplicando o produto vetorial na equação (211) e utilizando da regra do triplo

produto vetorial (204), teremos:

0.. TTTTTTTTT EEE

(220)


02 TTzT EE

zTTT EE

2 (221)


zTTc EEk

2 zT

c

T Ek

E 2

(222)


campo elétrico a partir da expressão da componente longitudinal.

62

Utilizando da equação (214), aplicando o produto vetorial pelo vetor unitário

na direção z em ambos os lados da equação e aplicando a regra do triplo produto

vetorial (204), teremos:

TzTzz EjaHaa

ˆˆˆ

TzzzTTzz EajaaHHaa

ˆˆ.ˆ.ˆˆ (223)

Como 0.ˆ Tz Ha

e 1ˆ.ˆ zz aa , teremos:

TzT EajH

ˆ TzT Eaj

H

ˆ

(224)


campo magnético a partir da expressão da componente transversal do campo

elétrico.

Desta forma, é possível encontrar toda a distribuição do campo

eletromagnético pelo uso das equações (222), (224) e (218):

zT

c

T Ek

E 2

TzT Eaj

H

ˆ

022 zczTEkE

(225)

Da mesma forma que o obtido para as ondas tipo TE, a vantagem do

procedimento é de poder buscar a solução do problema pela resolução de uma

equação escalar (218), onde pode ser encontrada a expressão para a componente

Ez e encontrar as demais componentes de campo por simples manuseio matemático

da expressão obtida.

Durante a resolução da equação (218), aplicadas as condições de contorno

do problema, encontra-se a relação entre as constantes = α + j β e kc, necessária

para concluir a solução procurada. Também aqui, é importante salientar que,

dependendo da geometria do problema, a resolução para a equação (218) pode não

ser possível por métodos analíticos, demandando solução numérica aproximada.

63

4.6 Considerações Adicionais

Apesar de ter sido encontrada uma solução para a onda TEM numa linha com

perdas na seção 4.5.6, devido às perdas, a tensão em um ponto da linha terá

amplitude diferente da tensão do ponto anterior e do ponto posterior e, com isso,

aparecerá uma diferença de potencial no sentido longitudinal, que fará aparecer uma

componente de campo elétrico longitudinal, descaracterizando a onda como do tipo

TEM.

Quando a linha tem perdas desprezíveis, ou simplesmente, pequenas perdas,

pode-se considerar que a onda ainda é do tipo TEM ou quase-TEM. A linha com

pequenas perdas é caracterizada pela tangente de perdas muito menor que 1.

jk 2 jk 22 (226)

como 022 k j 22 (227)

Apresentado de outra forma:

jjj 1 (228)

se

<< 1, teremos a mesma solução para onda TEM numa linha sem perdas.

64

5 MODELO AVANÇADO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO (ETL)

A teoria clássica de linhas de transmissão não proporciona bons resultados

em situações onde as dimensões físicas da linha são da mesma ordem de grandeza

do comprimento de onda, principalmente devido às irradiações, o que não está

contemplado nos modelos mostrados nos capítulos anteriores.

Para analisar uma linha de transmissão por um modelo mais completo, será

utilizado o modelo avançado de linha de transmissão (ETL - Enhanced Transmission

Line Model), apresentado no artigo de Mafucci, Miano e Villone (2004). É mostrada a

análise para uma linha de transmissão uniforme de dois condutores.

Este capítulo visa apresentar detalhadamente o modelo ETL e fazer um

paralelo com o modelo clássico de análise de linhas de transmissão, aqui

denominado de Standard Transmission Line Model (STL).

5.1 Modelagem do Problema

Vamos considerar um sistema eletromagnético feito de dois condutores,

geometricamente longo e conectando dois dispositivos. Um modelo para esse

sistema, que é ao mesmo tempo simples e preciso, é obtido assumindo que a

interação eletromagnética entre os dispositivos e os condutores que os conectam, ou

seja, a interconexão, ocorre predominantemente através dos terminais.

A separação do sistema em partes é a base para o modelo, onde os

dispositivos terminais são considerados elementos de parâmetros concentrados de

uma porta e a interconexão é descrita como um dispositivo de duas portas. Sob essa

condição, o comportamento da interconexão somente depende das intensidades de

tensão e de corrente em seus terminais.

5.1.1 Formulação do problema

Vamos considerar dois fios condutores perfeitos iguais, com seção transversal

circular, de eixos paralelos, imersos em um material dielétrico linear, homogêneo e

isotrópico com permissividade elétrica ε e permeabilidade magnética μ. O

comprimento dos condutores é “2L”, “h” é a distância entre seus eixos e “a” é o raio

dos fios, conforme mostrado na Figura 3.

65

Adotamos dois sistemas de eixos cartesianos em coordenadas cilíndricas, um

para cada condutor. O eixo “z” de cada sistema de referência coincide com o eixo do

condutor correspondente. As origens dos respectivos sistemas de referência são

representadas por “O1” e “O2”. Para mostrar o que ocorre na seção transversal de

cada condutor, utilizamos as coordenadas polares no plano z=constante.

Figura 3 - Modelo de referência


Uma vez que os fios são supostos condutores ideais, tanto a carga quanto a

corrente são distribuídas sobre suas superfícies laterais S1 (no condutor 1) e S2 (no

condutor 2). Utilizamos os símbolos Q1 e Q2 para indicar, respectivamente, um ponto

genérico em S1 e em S2. Denominamos de σ a distribuição superficial de cargas e

de Js a densidade superficial de corrente.

Para descrever a propagação ao longo da interconexão é necessário

relacionar as distribuições dessas cargas e densidades de corrente com as

intensidades de corrente e/ou tensão nos terminais dos fios condutores.

No domínio da frequência, o campo eletromagnético pode ser representado

através dos potenciais vetor magnético A

e escalar elétrico φ por meio das

relações:

AjE

(229)

AB

(230)

Os potenciais A

e φ são dados pelas relações integrais:

66

'2

2

'2'

2'1

1

'1'

1 QS

sPQQS

sPQdSQJrGdSQJrGPA

(231)

'2

2

'2'

2'1

1

'1'

1

11

QS

PQQS

PQdSQrGdSQrGP

(232)

Onde:

P = um ponto genérico sobre um dos condutores (ponto “campo”);

Q’1 e Q’2 = pontos “fonte” sobre os condutores 1 e 2, respectivamente;

rPQ’ = distância entre o ponto “campo” e o ponto “fonte”;

G(r) = função de Green;

A abordagem dos campos eletromagnéticos a partir do potencial vetor

magnético e do potencial elétrico escalar é apresentada no Apêndice A.

A função de Green para um espaço homogêneo com constante de

propagação k é dada por:

r

rkjrG

4

exp (233)

onde: v

k

1v

As expressões dos potenciais eletromagnéticos (231) e (232) são aquelas

obtidas a partir das equações de Maxwell e de acordo com a condição do calibre de

Lorenz (ver Apêndice A).

Caso fosse escolhida outra condição de calibre diferente, por exemplo, o

calibre de Coulomb, as expressões relacionando os potenciais vetor e escalar com

as fontes elementares devem ser acopladas e a análise se tornaria mais complexa.

A fim de separar a análise de acordo com as contribuições estáticas e

dinâmicas, será útil expressar a função de Green na forma:

rGrGrG wo (234)

onde:

ro rG

4

1 (235)

67

2exp

2sin4

rkj

rkcjrG k

w (236)

A função Go é a contribuição da função de Green no estado estacionário e a

função Gw é a contribuição da função de Green dinâmica.

A função Gw tende a zero quando a frequência tende a zero (ω 0). É

evidente que em distâncias eletricamente pequenas (k.r pequeno) o termo estático

prevalece sobre o termo dinâmico e, assim, as interações eletromagnéticas nessas

distâncias são predominantemente do tipo estacionário. Em distâncias comparáveis

com o comprimento de onda λ, ambos os termos são importantes. Por outro lado,

nos casos onde as distâncias são eletricamente longas, a interação eletromagnética

é predominantemente do tipo radiativa (parte dinâmica da função de Green).

As distribuições superficiais de carga (fonte para o potencial escalar) e de

densidade de corrente (fonte para o potencial vetor) são determinadas pela

imposição das condições de contorno do problema, sob as restrições impostas pela

lei da conservação de cargas e pelas condições de fronteira:

011

nAjS

e 02

2 nAj

S

(237)

Os vetores n1 e n2 são, respectivamente, os vetores unitários normais às

superfícies S1 e S2.

A lei de conservação da carga impõe que:

jJ ss

. em S1 e em S2. (238)

onde .s é o operador divergente superficial.

Além disso, é também necessário impor as condições de fronteira adequadas

em ambos os terminais dos dois condutores.

As expressões (231) e (232) desprezam as contribuições das correntes e das

cargas que são encontradas dentro dos dispositivos terminais que os dois

condutores interligam. Na realidade, os efeitos dessas duas contribuições podem ser

considerados desprezíveis se os tamanhos dos dispositivos são pequenos em

relação ao comprimento dos fios condutores (ou seja, a distância entre os fios é

eletricamente curta). Nos modelos que estamos avaliando (modelo convencional -

STL e modelo avançado - ETL), para as suposições dadas, a contribuição das fontes

68

elementares situadas dentro dos dispositivos terminais dizem respeito somente às

condições de fronteira que devem ser impostas nos terminais dos dois condutores.

Desse modo, de fato estamos desprezando os efeitos das correntes

transversais nas terminações, que poderiam ser importantes no detalhamento das

distribuições de campos nas proximidades dos terminais. Isso pode ser corrigido

introduzindo as distribuições lineares de cargas na entrada e na saída de cada um

dos dois condutores.

5.1.2 Configuração do campo do tipo transverso magnético

A hipótese fundamental, que é a base de ambos os modelos (STL e ETL), é

que a densidade de corrente tem somente a componente ao longo da direção “z”:

zQss aJJ

(239)

A validade dessa suposição depende do modo que a estrutura é excitada. Por

exemplo, se a fonte é uma onda eletromagnética externa, a expressão (239) não é

válida.

Um ponto genérico Q sobre as superfícies S1 ou S2 é determinado pelo par (θ,

z), onde θ varia entre 0 e 2π e “z” varia entre -L e +L. Dessa forma, podemos

representar as funções de distribuição de cargas σ(Q) e de distribuição de densidade

de correntes Js(Q) como segue:

11)( , SQsezJJ sQs

(240)

22)( , SQsezJJ sQs

(241)

11)( , SQsezQ (242)

22)( , SQsezQ (243)

A partir da expressão (238), temos:

11 j

z

J S

e 2

2 jz

J S

(244)

69

Uma vez que a densidade de corrente tem somente a componente ao longo

da direção z, o potencial vetor também terá somente a componente ao longo da

direção “z”:

zâAA

(245)

Como conseqüência de (245), o campo magnético não terá a componente ao

longo da direção “z”, uma vez que ele é perpendicular ao vetor A. Assim, temos uma

configuração de campo do tipo transverso magnético – TM. Por outro lado, o campo

elétrico terá componente de campo também na direção “z”, o que caracteriza uma

onda que não é do tipo TEM (transversa eletromagnética).

Nessas condições, a integral de linha do campo elétrico E ao longo de

qualquer caminho fechado pertencendo ao plano z = constante, é igual a zero.

Portanto, em cada um desses planos é possível definir, unicamente, a tensão entre

os dois condutores ideais. Essa é a propriedade fundamental da estrutura que

estamos analisando e os modelos de linha de transmissão apresentados são

baseados nela.

Isso mostra que a estrutura do campo eletromagnético não precisa ser

necessariamente do tipo TEM ou quase-TEM para que a tensão entre os condutores

num plano z = constante seja unicamente definida, como considerado nos modelos

clássicos de análise de linhas de transmissão.

A equação (237) envolve somente a distribuição do potencial vetor A(P) e do

potencial escalar φ(P) num ponto P localizado na superfície dos condutores. Assim,

podemos impor que:

11 ,)( SPsezAPA (246)

22 ,)( SPsezAPA (247)

11 ,)( SPsezP (248)

22 ,)( SPsezP (249)

Com isso, a equação (237) pode ser reformulada:

011

Aj

z

(250)

70

01

(251)

022

Aj

z

(252)

02

(253)

As equações (251) e (253) são as condições de fronteira na superfície lateral

dos condutores, devido ao fato do potencial vetor ter somente componente ao longo

da direção “z”; o potencial elétrico deve ser constante ao longo da respectiva direção

azimutal. Assim, os potenciais escalares φ1 e φ2 dependem somente da variável

espacial “z”:

z11 e z22 (254)

Como corolário, a partir das expressões (250) e (252) os potenciais vetor A1 e

A2 devem depender também somente da variável espacial “z”:

zAA 11 e zAA 22 (255)

É necessário, então, assegurar que os potenciais expressos por (231) e (232)

satisfaçam (254) e (255), além de (250) e (252).

A expressão da função de Green mostra que seu resultado muda de acordo

com o local onde os pontos “fonte” e “campo” estão situados. Considerando o ponto

“fonte” Q’ e o ponto “campo” Q definidos como (ver Figura 3):

pontos no condutor 1: ',''1 zQ , zQ ,1

pontos no condutor 2: ',''2 zQ , zQ ,2

A distância entre o ponto “fonte” e o ponto “campo”, ambos no condutor 1,

pode ser expressa como:

22

111'1 '''' zzâzzRRR szQQ

(256)

onde:

71

2

'2'' 11

senaRRs

(257)

1R

é o vetor perpendicular ao eixo z, no condutor 1, na posição do ponto

“campo”, apontando para a periferia do condutor (depende de θ);

1'R


“fonte”, apontando para a periferia do condutor (depende de θ’);

No condutor 2, a distância entre o ponto “fonte” e o ponto “campo” pode ser

expressa como:

22

222'2 '''' zzâzzzRRR sQQ

(258)

onde:

2R


“campo”, apontando para a periferia do condutor (depende de θ);

2'R


“fonte”, apontando para a periferia do condutor (depende de θ’);

Mesmo que as seções transversais dos dois condutores não sejam circulares,

mas sejam iguais, as expressões (256) e (258) devem se manter.

A distância entre o ponto “fonte” no condutor 2 e o ponto “campo” no condutor

1, pode ser expressa como:

22

212'1 '',''ˆ zzâzzzRyhRR mQQ

(259)

onde:

'22

'4'ˆ', 222

21

sensenahsenahRyhRm

(260)

Finalmente, a distância entre o ponto “fonte” no condutor 1 e o ponto “campo”

no condutor 2, pode ser expressa como:

22

2121' '','ˆ' zzâzzzRyhRR mQQ

(261)

72

As expressões (259) e (261) são iguais mesmo quando as seções

transversais dos condutores não forem circulares, desde que sejam simétricas. Além

disso, podemos permitir que o raio dos condutores “a” e a distância entre eles “h”

não sejam constantes e variem ligeiramente com a posição “z”, descrevendo

situações onde existam pequenas não uniformidades geométricas ao longo da

direção “z”.

Vamos expressar as funções de Green conforme as distâncias entre o ponto

“fonte” e o ponto “campo”, conforme definidas em (256), (258), (259) e (261),

utilizando a nomenclatura de Gs para os pontos no mesmo condutor e Gm para os

pontos entre os dois condutores.

';'1'1

zzGG sQQR (262)

';'2'2

zzGG sQQR (263)

';',2'1

zzGG mQQR (264)

';',21'

zzGG mQQR (265)

Utilizando essa definição, podemos escrever as relações (254) e (255),

considerando as relações (231) e (232), nas formas:

','',' 211 zzz ms (266)

','',' 212 zzz sm (267)

','','1

211 zJzJzA SmSs

(268)

','','1

212 zJzJzA SsSm

(269)

onde os operadores integrais são definidos como:

L

L ss zuzzGddzazu

2

0','';'''',' (270)

L

L mm zuzzGddzazu

2

0','';',''',' (271)

73

5.1.3 Campos devido às correntes de modo diferencial

A tensão entre os dois condutores é dada pela variável V(z) e o fluxo por

unidade de comprimento devido ao campo magnético enlaçado pelos 2 condutores

na abscissa “z” é dado pela variável Φ(z).

zzzV 21 (272)

zAzAz 21 (273)

Uma vez que temos somente 2 condutores, vamos considerar somente as

correntes de modo diferencial.

Utilizando as definições para a distribuição de cargas no modo diferencial

σd(θ,z) e para a distribuição de densidade de corrente superficial no modo diferencial

por Jd(θ,z), temos:

2

,,, 21 zzzd

(274)

2

,,, 21 zJzJzJ SS

d

(275)

Utilizando as equações (250) até (253), e as definições acima, teremos:

zjzd

zVd (276)

zj

z

zJd

d ,,

(277)

Para a função de Green no modo diferencial, utilizando as definições para Gs

e Gm dadas por (261) a (264), obtemos que:

';',';'';', zzGzzGzzK msd (278)

As soluções para V(z) e Φ(z) são então obtidas através das equações:

L

L dd zzzKddzazV

2

0','';'''2 (279)

L

L dd zJzzKddzaz

2

0','';'''2 (280)

74

Definimos, ainda, as distribuições de intensidade de corrente e de carga por

unidade de comprimento do modo diferencial pelas expressões:

dzJazI dd 2

0, (281)

dzazQ dd 2

0, (282)

5.2 Modelos de Linhas de Transmissão

Na interconexão que estamos examinando, as intensidades de corrente de

modo comum devem ser iguais a zero nas extremidades dos dois condutores uma

vez que eles conectam dois dispositivos de uma porta. Assim teremos:

zJzJzJ ,,, 21 zIzIzI 21 (283)

zzz ,,, 21 zQzQzQ 21 (284)

O sistema de equações dado por (276) a (280) governa a propagação ao

longo dos dois condutores conectando dois dispositivos de uma porta. Essas

equações devem ser resolvidas com condições de contorno apropriadas.

Para obter a caracterização da corrente controlada na interconexão, o sistema

de equações deve ser resolvido com as seguintes condições de fronteira:

aILzI e bILzI (285)

Por outro lado, para obter a caracterização da tensão controlada, temos que

impor os valores de tensão nos terminais da linha.

A caracterização híbrida também é possível quando são impostos o valor de

tensão em uma extremidade e o valor da intensidade de corrente na outra

extremidade.

O sistema de equações (276) a (280) em uma dada condição de fronteira

somente pode ser resolvido por métodos numéricos. A solução desse problema

pode apresentar muitas dificuldades devido à presença de muitas características

dimensionais: o raio do condutor “a”, a distância entre os condutores “h”; o

comprimento da linha “2L“; o comprimento de onda do campo eletromagnético “λ”; e

eles podem ser muito diferentes entre si de um problema para outro.

75

Ambas, a densidade de corrente superficial Js(θ,z) e a densidade superficial

de cargas σ(θ,z) variam transversamente com os comprimentos característicos da

ordem do raio dos condutores. Por outro lado, ao longo dos condutores, as

distribuições de densidade de corrente, densidade de carga, a tensão e o fluxo por

unidade de comprimento variam com os comprimentos característicos “h” e “λ”.

Vamos considerar as configurações para as quais h / L << 1, ou seja, a

distância entre os fios é geometricamente curta. Essas configurações podem ser

separadas em 2 grupos:

a) Interconexões para as quais a distância entre os condutores é eletricamente

curta, ou seja, onde k h << 1;

b) Interconexões para as quais a distância entre os condutores “h” não é

eletricamente curta, ou seja, onde k h ≥ 1;

O modelo convencional de linhas de transmissão, denominado aqui de STL,

descreve adequadamente a propagação ao longo de interconexões com k h << 1.

Com a nova modelagem sendo aplicada, neste trabalho desejamos estender o

modelo de linha de transmissão de forma que ele possa também descrever

adequadamente a propagação quando k h ≈ 1.

As variáveis do modelo de linha de transmissão são todas variáveis integrais:

tensão “V”, intensidade de corrente “I”, carga por unidade de comprimento “Q” e

fluxo por unidade de comprimento “Φ”.

As equações fundamentais que governam a relação entre essas grandezas

são da forma diferencial:

jzd

Vd (286)

Qjzd

Id (287)

A equação (286) coincide com a equação (276), entretanto a equação (287) é

obtida a partir da equação (277), integrando-a com respeito à variável θ.

As equações (286) e (287) são as equações governantes para ambos os

modelos STL e ETL. Esses modelos irão diferir nas suas relações constitutivas que

76

são as relações que ligam, respectivamente, o fluxo por unidade de comprimento e a

tensão com a intensidade de corrente e a carga por unidade de comprimento.

Para o modelo STL, as relações constitutivas são:

zILz e C

zQzV (288)

Os parâmetros constantes C e L são, respectivamente, a capacitância por

unidade de comprimento e a indutância por unidade de comprimento dos fios

condutores. Na seção que segue veremos como as relações dadas por (288) podem

ser determinadas a partir de (279) e (280) no limite quando k h << 1. Posteriormente,

partindo do modelo STL e removendo a hipótese de que k h << 1, devemos deduzir

o modelo ETL e estudar suas principais propriedades.

5.3 Relações Constitutivas para o Modelo STL

As relações constitutivas dadas por (288) podem ser obtidas a partir de (279)

e (280) assumindo que o núcleo de Kd, dentro da integral, comporta-se quase que

impulsivamente com respeito a variável “z” dentro dos limites ( -L < z < +L ).

Assim, o fluxo por unidade de comprimento em uma abscissa genérica “z”, ao

longo dos condutores desde -L até +L é aproximadamente igual ao fluxo por unidade

de comprimento produzido pelo mesmo par de condutores, mas com comprimento

infinito, na presença de uma densidade de corrente superficial uniforme ao longo de

“z”. O mesmo pode ser dito da relação entre a tensão e a carga (ver Anexo).

','','','';' zdzzzzKL

L d

(289)

','','','';' zJdzzJzzKL

L d

(290)

onde:

zKd ;',', (291)

Ou seja:

2111 'ˆ'', RyhRgoRRgo

(292)

onde:

c

go

ln

2

1 (293)

77

A função go(ρ) é a função de Green para planos paralelos (z = constante) sob

condições estacionárias. A constante ρc é uma constante arbitrária, fisicamente

homogênea com a distância e os vetores 1R

e 2R

são os vetores posição na

superfície dos condutores em um plano z = constante com origens em O1 e O2, no

centro dos condutores 1 e 2, respectivamente (Figura 3).

A aproximação prevalece se as seguintes condições são garantidas:

h.L << 1 e k.h << 1 (294)

Como k.h << 1, ambos J e σ variam ao longo de duas coordenadas espaciais

com dois diferentes comprimentos característicos (a e h). Isto sugere procurar a

solução assumindo que J e σ dependem das coordenadas θ e z de forma separada.

Assim, podemos reformular o problema que estamos analisando em dois problemas

mais simples separados: um para determinar a dependência de J e σ com a

coordenada “θ“ e outro para determinar a dependência com a coordenada “z”, desde

que as condições de contorno estejam estabelecidas.

Substituindo a expressão (291) nas expressões (279) e (280) teremos:

','',22

0

dzazV (295)

','',22

0

dzJaz (296)

A solução para essas duas equações pode ser encontrada assumindo que a

dependência de J e σ com as variáveis espaciais (θ e z) podem ser separadas:

JfzIzJ , e fzQz , (297)

As funções fJ e fσ são as funções de “forma”, dimensionalmente homogêneas

com m-1, e descrevem, respectivamente, como as correntes e as cargas são

distribuídas no plano z = constante. Elas verificam as condições de normalização:

12

0

2

0

dfadfa J

(298)

Para que as expressões dadas por (297) sejam compatíveis com (277), temos

que:

fffJ (299)

78

Finalmente, substituindo as expressões dadas por (297) nas integrais (295) e

(296) e aplicando (299), teremos, respectivamente:

zQdfazV

1

]''',2[2

0 (300)

zIdfaz

]''',2[2

0 (301)

Para que essas equações sejam verificadas para todo “z”, a função de forma

f(θ) deve ser a solução da equação integral:

''',22

0

dfa (302)

onde é uma constante real, sem dimensão e desconhecida. Podemos interpretar a

expressão (302) de dois modos diferentes e perfeitamente duais.

A expressão (302) pode ser a formulação integral de um problema de campo

magnético estacionário em duas dimensões. Vamos considerar a situação limite

onde o comprimento dos dois condutores é infinita. Vamos assumir que nas

superfícies laterais de ambos condutores exista uma distribuição de corrente

superficial direcionada ao longo da coordenada “z’’, uniforme ao longo dessa

direção, de intensidade +1A através do condutor 1 e de intensidade de -1A no

condutor 2. Além disso, vamos impor que as superfícies de ambos condutores sejam

superfícies de fluxo para campo magnético.

Nesse caso, a função de forma f(θ) representa a distribuição superficial de

corrente na seção transversal do condutor 1, e podemos escrever que:

1

I (303)

onde

1

I é o fluxo por unidade de comprimento que enlaça os dois condutores.

Como consequência tem-se que:

L (304)

que é o coeficiente de indução mútua por unidade de comprimento do par de

condutores.

79

Por outro lado, a equação (302) pode ser também a formulação integral de

um problema de campo eletrostático em duas dimensões. Vamos assumir que nas

superfícies laterais de ambos condutores exista uma carga com uma densidade

linear igual a +1C/m através do condutor 1 e de -1C/m no condutor 2, distribuída

uniformemente ao longo da direção “z”. Além disso, vamos assumir que o potencial

elétrico seja constante na superfície de ambos condutores.

Nesse caso, a função de forma f(θ) descreve a distribuição de carga

superficial na seção transversal do condutor 1, e podemos escrever que:

1

QV (305)

onde

1QV é a tensão entre os dois condutores. Como consequência tem-se que:

C (306)

que é a capacitância por unidade de comprimento do par de condutores.

A dualidade dos dois problemas descritos vem do fato de que a função de

forma que descreve a distribuição transversal da densidade de corrente no primeiro

condutor coincide com a função de forma que descreve a densidade superficial de

carga no segundo problema. A consequência dessa dualidade é a propriedade bem

conhecida:

CL (307)

A solução dos dois problemas apresentados pode ser obtida na forma

analítica. Nesse caso, a expressão da função de forma f(θ) pode ser dada por:

FFa

f2

1 (308)

onde:

senah

ba

senah

bsenaa

F

2cos

2cos

22

22

(309)

80

22

2a

hb

(310)

A expressão para o parâmetro é dada por:

1

22ln

12

a

h

a

h

(311)

Assim, utilizando (300), (301) e (302) teremos que:

zIz (312)

zQzV

(313)

A distribuição de corrente não é uniforme ao redor da superfície do fio devido

aos efeitos de proximidade. Ela é densa na parte próxima ao outro fio e esparsa na

parte mais afastada do outro fio.

No limite, quando a/h << 1, os efeitos de proximidade são desprezíveis e

teremos, conforme (309), (310) e (311):

a

f

2

1 ,

a

hln

1

(314)

E, de acordo com (294) e (306), encontramos que:

a

hC

ln

,

a

hL ln

(315)

que coincidem com as expressões conhecidas para a capacitância por unidade de

comprimento e a indutância por unidade de comprimento para uma linha de dois

condutores paralelos, no caso estático.

Se a geometria da seção transversal é diferente da forma circular, a integral

da função de forma (302) pode ser resolvida através do método de mapeamento

conforme ou numericamente e, dessa maneira, obter as relações para as constantes

C e L nesse caso.

81

5.4 O Modelo Avançado para Linhas de Transmissão (ETL)

As relações constitutivas do modelo STL são do tipo local, ou seja, o valor do

fluxo por unidade de comprimento na abscissa genérica “z” depende somente do

valor da intensidade da corrente passando através do condutor 1 naquela abscissa e

o valor da tensão entre os dois condutores na abscissa genérica “z” depende

somente do valor da carga por unidade de comprimento no condutor 1, também

naquela abscissa. Essa aproximação depende fortemente da condição k.h << 1.

Em geral, o valor do fluxo por unidade de comprimento depende da

distribuição total da intensidade de corrente e o valor de tensão entre os dois

condutores depende da distribuição total de carga por unidade de comprimento.

Um modelo mais adequado que o STL, que seja mais simples que aquele

apresentado pelas equações (276) a (280), pode ser obtido pela avaliação do fluxo

por unidade de comprimento e da tensão entre os dois condutores pelas equações

(279) e (280), expressando as distribuições de corrente e de carga através das

relações (297) e assumindo que as distribuições de cargas e de correntes no plano

transverso são aquelas descritas pela função de forma f(θ) na equação (308).

As expressões obtidas são as seguintes:

L

L d zzKfdzQdza

z

2

0';',''''

2, (316)

L

L d zzKfdzIdzaz

2

0';',''''2, (317)

Observa-se que as expressões não são independentes da coordenada “θ”

porque aqui não estamos descrevendo as distribuições de carga e de corrente por

expressões aproximadas.

Assume-se que, como “θ” varia no intervalo de 0 a 2π, os valores de

,z e ,z desviam ligeiramente de seus respectivos valores médios para

cada ponto “z” entre -L e +L.

Os valores médios de ,z e ,z são dados por:

dzzz ,

2

1,

2

0 (318)

82

dzzz ,

2

1,

2

0 (319)

Com essa hipótese, os valores médios de ,z e ,z nos fornecerão

uma estimativa adequada dos valores de z e zV .

A função de erro relativa é dada por:

L

Ldzzz

L

dzzz

ze

,2

1

,,2

1 2

0 (320)

Na Figura 4, extraída de Mafucci, Miano e Villone (2004), é mostrado o

comportamento da função de erro relativa quando a corrente I(z) é da forma I(z) = Io

cos(kz) para as seguintes situações:

h/a = 2,5 h/a = 5 h/a = 10

k.h = 0,1 k.h = 1 k.h = 5

Figura 4 - Comportamento da função erro para alguns valores de h/a e k.h

(a)

k.h=0,1

83

(b)

k.h=1

(c)

k.h=5

Fonte: (MAFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004)

A partir desses gráficos, vê-se que pela redução de k.h e o aumento de h/a, o

valor máximo da função erro reduz. Podemos assumir que, para h/a >2,5 e k.h < 5,

os valores médios das funções ,z e ,z são, respectivamente, uma boa

aproximação para z e zV .

A partir dessa conclusão, as relações constitutivas para o modelo ETL são:

L

LdzzIzzHz ''' (321)

L

LdzzQzzHzV '''

1

(322)

onde:

84

2

0

2

0';',''2

2

1' zzKfdadzzH d

(323)

Utilizando a definição de Kd dada pela equação (278), a expressão do núcleo

(323) pode ser reescrita como:

''' zzHzzHzzH ms (324)

2

0

2

0';',''2

2

1' zzGfdadzzH ss

(325)

2

0

2

0';',''2

2

1' zzGfdadzzH mm

(326)

onde Hs e Hm representam, respectivamente, as contribuições próprias (no mesmo

condutor) e mútuas (entre os condutores).

Uma vez que Gs depende de (θ – θ’) e, também, f(θ’) verifica a condição dada

pela equação (298), a contribuição própria Hs é independente da distribuição real de

f(θ’) e é reduzida a:

2

0';

1' dzzGzzH ss

(327)

onde a variável ζ depende de (θ – θ’).

Ambas as equações de Hs(z - z’) e Hm(z – z’) somente podem ser avaliadas

numericamente. Elas tendem a zero quando |z - z’| ∞. O termo mútuo Hm(z - z’) é

regular para cada valor de (z - z’). Por outro lado, o termo próprio Hs(z - z’) tem uma

singularidade quando z = z’ devido ao fato de que a função de Green é singular na

origem. Assim, para uma avaliação precisa de Hs(z - z’) é necessário determinar

analiticamente a contribuição da singularidade.

Separando a contribuição do termo próprio Hs(z - z’) em parte dinâmica Hsw e

parte estática Hso , verificamos que a parte dinâmica é regular para cada valor

de (z - z’) e pode ser avaliada somente numericamente. Por outro lado, a

contribuição dada pela parte estática é singular e pode ser avaliada analiticamente.

Separando também a contribuição do termo mútuo Hm(z - z’) em parte

dinâmica Hmw e parte estática Hmo , verificamos que ambas as partes são regulares

para cada valor de (z - z’) e podem ser avaliadas somente numericamente.

85

A separação da função H(z – z’) em termos próprio e mútuo e cada um deles

em partes dinâmicas e estáticas tem a finalidade de facilitar a análise dos efeitos de

cada uma dessas partes com as restrições colocadas.

Utilizando as definições das distâncias entre os pontos “fonte” e os pontos

“campo”, dadas pelas equações (256) a (260) e nas condições denominadas de

“próprias” e “mútuas”, cada um dos termos e partes da função H(z – z’) pode ser

escrito como:

22

11 '''' zzâzzzRRR ss

(328)

onde:

2

'2'' 11

senaRRs

(329)

22

21 '','' zzâzzzRâyhRR mm

(330)

onde:

'22

'4'', 222

21

sensenahsenahRâyhRm

(331)

Utilizando das condições a/h << 1 e k.a << 1, podemos considerar que m ≈ h

e os valores de Rs e Rm podem ser simplificados para:

22 'zzhRm , 222 '2

'4 zzsenaRs

(332)

Assim, podemos escrever que:

'

'11'

2

2

0 2 zzR

zzmzzH

ssR

dso

(333)

onde:

22

2

'4

4

zza

am

, 22 '4 zzaRs (334)

86

e κ[m] é função integral elíptica completa de 1ª. espécie, dada pela seguinte

definição:

2

0221

senm

dm (335)

limitada para 0 < m < 1.

A função integral elíptica completa de 1ª. espécie apresenta formulações mais

simples, quando o parâmetro “m” está próximo de seus limites permitidos: quando m

tende a 0, a função tende ao valor de /2 e quando m tende a 1, a função pode ser

aproximada pela expressão logarítmica:

mm 1ln5,0 (336)

quando m 1.

O parâmetro “m” tende a zero quando (z - z’) >> a, ou seja, quando o ponto

“campo” estiver distante do ponto “fonte” por uma distância muitas vezes maior que

o raio do condutor. O parâmetro “m” tende a 1 quando (z - z’) << a, ou seja, quando

o ponto “campo” estiver próximo do ponto “fonte” por uma distância muito menor que

o raio do condutor. Neste último caso, haverá uma singularidade no limite quando z

= z’.

Dessa forma, o valor da parte estática do termo próprio Hso pode ser avaliado

por:

a

zz

azzH so

2

'ln

2

1'

2

(337)

quando

02

'

a

zz (338)

A expressão anterior terá uma singularidade quando z = z’. Essa é uma

singularidade característica associada com distribuições de superfície e é integrável.

Além disso, podemos também aproximar os valores da função integral elíptica para

os casos onde m 0, da seguinte forma:

87

2

0

m (339)

então,

'

1

2

1'

zzRzzH

sso

(340)

o que ocorre quando ( z – z’ ) >> a.

As Figuras 5 e. 6 mostram, respectivamente, o comportamento do módulo e

da fase de H(z - z’) para vários valores de h/a e de k.h. Os gráficos da fase para h/a

=10 e para h/a = 2,5 são praticamente coincidentes.

Figura 5 - Módulo da função H (em escala logarítmica) em função de ζ / h para diferentes valores de h/a e de k.h , onde ζ = z – z’


88

Figura 6 - Fase da função H em função de ζ / h para diferentes valores de h/a e de k.h, onde ζ = z – z’


A Figura 5 salienta os efeitos devido a não uniformidade das distribuições de

corrente e de carga, relacionadas com a proximidade dos fios.

Quando k.h << 1 o modelo ETL se reduz ao modelo STL. De fato, neste caso

os efeitos da contribuição para H dados pela parte dinâmica da função de Green são

desprezíveis e o comportamento de H(z - z’) é do tipo impulsivo. Dessa forma,

H(z - z’) pode ser aproximado adequadamente pelo núcleo ideal:

''' zzzdzzHzzH oideal

(341)

onde Ho é a contribuição para todo o núcleo de H dado pela parte estática da função

de Green. Então temos que:

zdzzHo ' (342)

onde é a solução da equação (302). Nesse caso, as integrais de convolução (321)

e (322) se reduzem às relações constitutivas do modelo STL dadas pelas equações

(288).

89

Assim, o modelo ETL para dois condutores perfeitos consiste de um par de

equações diferenciais (286) e (287) em conjunto com um par de equações integrais

(321) e (322), cujo núcleo é dado pela equação (323). As condições de validade são

dadas pelas relações: h/a > 2,5 e k.h < 5.

5.4.1 Aproximações no modelo ETL

Para a aproximação na qual os condutores são eletricamente finos, ou seja,

k.a << 1, a expressão para o termo próprio de H, separada em suas partes estática e

dinâmica, é dada por:

'

'1'

2 zzR

zzmzzH

sso

(343)

2

'sin

2

'exp

2'

zzRkc

zzRkj

kjzzH

sssw

(344)

onde:

22

2

'4

4

zza

am

e 22 '4 zzaRs (345)

Além disso, quando a/h << 1, os efeitos de proximidade são desprezíveis e a

função de forma f(θ) é praticamente uniforme, de modo que o termo mútuo Hm pode

ser representado pelas suas partes estática e dinâmica da seguinte forma:

'2

1'

zzRzzH

mmo

(346)

2

'sin

2

'exp

2'

zzRkc

zzRkj

kjzzH

mmmw

(347)

onde:

22 'zzhRm (348)

90

Nessas condições, o termo estático de todo o núcleo de H diminui na razão

de '2

1

zz para (z - z’) ≈ h e tende para zero quando |z - z’| ∞, pelo menos na

proporção de 3

2

'4 zz

h

.

O termo dinâmico de todo o núcleo de H tende a zero quando |z - z’| ∞,

pelo menos na proporção de '

1

zz .

Com a aproximação de fio fino (a 0), o núcleo H difere do valor aqui obtido

somente pela contribuição do termo estático da parte própria Hs, que fica da forma

sR2

1 . Assim, o núcleo obtido com a aproximação de fio fino é bem definido e não

apresenta a singularidade em (z - z’) = 0.

A partir da aproximação |z - z’| >> a, os dois núcleos têm a mesma

dependência com (z - z’) e suas diferenças parecem desaparecer quando, no limite,

a 0. Mesmo assim, a similaridade entre os dois núcleos não garante que as

soluções das equações correspondentes serão próximas, conforme (FIKIORIS; WU,

2004). De fato, na solução das equações integrais de Fredholm de primeira espécie

(que é o caso em questão), quanto mais o núcleo é suave, mais mal-

condicionamentos ocorrem.

5.5 Solução Numérica para o Modelo ETL

Em Mafucci, Miano e Villone (2004), o modelo ETL é analisado a partir de

simulação numérica e os resultados são comparados com aqueles obtidos usando

um simulador eletromagnético conhecido (NEC). Nesta seção mostramos os

resultados da modelagem feita naquele trabalho para fins de comparação com o que

será mostrado no capítulo seguinte.

As quatro equações acopladas (do tipo integral-diferencial) que governam as

distribuições de corrente e de tensão no modelo ETL, são:

jzd

Vd (349)

Qjzd

Id (350)

91

L

LzdzIzzHz ''' (351)

L

LzdzQzzHzV '''

1

(352)

Elas são resolvidas numericamente com as condições de contorno (285)

aplicando o método da colocação.

aILzI e bILzI (352)

A modelagem apresentada no artigo de referência utiliza de duas grades

escalonadas, uma representando o fluxo e a corrente ao longo do eixo z, e a outra

representando a tensão e a carga ao longo do eixo z. Ambas as malhas têm o

mesmo tamanho do passo espacial Δz.

5.5.1 Resultados da Simulação Numérica

Para fins de comparação, são apresentados os resultados da simulação

descritos em Mafucci, Miano e Villone (2004), onde o sistema é resolvido com as

condições de contorno:

Ia = I(-L) = 1A e Ib = I(+L) = 0A (354)

A interconexão é considerada sem perdas com as seguintes dimensões:

L = 5 x 10-2 m a = 10-3 m h = 10-2 m

de tal forma que são respeitadas as premissas de a/h << 1 e h/2L << 1.

A solução numérica foi obtida usando-se 1001 passos espaciais na grade

escalonada. Um filtro digital Butterworth apropriado foi utilizado para reduzir o ripple

numérico.

É apresentada a distribuição da intensidade de corrente e da tensão ao longo

da interconexão para as frequências de 500 MHz e 5 GHz. Na frequência de 500

MHz tem-se a situação na qual k.h ≈ 0,1 e na frequência de 5 GHz a situação na

qual k.h ≈ 1. A predição, em ambos os casos, é feita utilizando o modelo ETL.

Nas Figuras 7a e 7c são mostradas a amplitude e a fase da distribuição de

intensidade de corrente e, nas Figuras 7b e 7d, são mostradas a amplitude e a fase

da distribuição de tensão.

92

Figura 7 - Distribuição de corrente [amplitude (a) e fase (c)] e de tensão

[amplitude (b) e fase (d)] ao longo da interconexão, para k.h = 0,1 e k.h = 1


A fim de apontar as diferenças entre os modelos STL e ETL, é mostrada a

quantidade aSTL IzIzI / onde ISTL(z) é a distribuição de corrente prevista

pelo modelo STL. Para baixas freqüências, ou seja, quando k.h ≤ 0,1, existe uma

boa concordância entre os modelos STL e ETL, enquanto para freqüências mais

altas, quando k.h ≈ 1, existe uma diferença significativa, como mostrado na Figura 8.

93

Figura 8 - Comparação dos resultados para as correntes com modelo ETL e STL para k.h=0,1 e para k.h=1


É salientado que, para o caso k.h = 0,1, o valor máximo de zIzI STL

quando “z” varia de -L< z <+L é menor que 10% de | Ia | , enquanto que para k.h = 1,

o valor máximo de zIzI STL é maior que 80% de | Ia |.

Para k.h ≤ 1, a parte estática do núcleo, dita Ho(z - z’), provê a principal

contribuição para a solução, enquanto para k.h > 1 a parte dinâmica do núcleo, dita

Hw(z - z’), é mais significativa.

Na Figura 9 é mostrada a comparação entre as soluções obtidas com o

modelo ETL completo, com o modelo ETL reduzido (onde o termo dinâmico

Hw(z - z’) é desconsiderado) e o modelo STL, para k.h =1. Neste caso, nota-se uma

diferença significativa entre os resultados. Isso pode ser explicado verificando que,

mesmo desprezando a parte dinâmica e apesar da área do núcleo ideal (dado pela

equação 341) ser igual à dada por Ho (na equação 342), existe um efeito de

dispersão espacial devido ao comprimento não desprezível do suporte de Ho. Esse

efeito somente é desprezível quando k.h << 1.

94

Figura 9 - Comparação dos resultados para o módulo da corrente com modelo ETL, modelo ETL reduzido e modelo STL


Verifica-se que zIzI STL tende à zero na proporção de 2

2

1L

z nas

extremidades da interconexão. Segundo os autores do artigo, esse comportamento

é qualitativamente semelhante àquele obtido com antenas de fio (SHEN; WU, 1989).

Isso é devido à singularidade logarítmica de Ho(z-z’). O mesmo comportamento é

obtido se o modelo ETL for resolvido desconsiderando o termo dinâmico.

As Figuras 7 e 8 serão utilizadas no capítulo seguinte como referência para

validação do programa elaborado para simulação do modelo ETL.

95

6 SIMULAÇÕES E ANÁLISES DOS RESULTADOS

A linha de transmissão em análise é uma linha bifilar, composta de 2

condutores cilíndricos perfeitos, imersos num dielétrico homogêneo, ilustrada na

Figura 10. As dimensões que caracterizam a linha são: raio do condutor “a”,

distância entre os condutores “h” e comprimento total “2L”.

Figura 10 - Características geométricas da linha em análise


Para a simulação, são utilizadas as expressões (355), (356), (357) e (358),

que são as relações constitutivas para o modelo ETL:

jzd

Vd (355)

Qjzd

Id (356)

L

LzdzIzzHZ ''' (357)

L

LzdzQzzHZV '''

1

(358)

onde:

2

0

2

0';',''2

2

1' zzKfdadzzH d

(359)

As condições de contorno utilizadas são:

96

aILzI e bILzI (360)

Utilizando a definição de Kd pela equação (361) e a definição de H pela

equação (359), separa-se a função H em partes que representam as contribuições

próprias (pontos no mesmo condutor) Hs e mútuas (entre os condutores) Hm , dadas

pelas expressões (362), (363) e (364):

';',';'';', zzGzzGzzK msd (361)

''' zzHzzHzzH ms (362)

onde:

2

0

2

0';',''2

2

1' zzGfdadzzH ss

(363)

2

0

2

0';',''2

2

1' zzGfdadzzH mm

(364)

A função de Green Gs é obtida para a distância entre o ponto “fonte” e o ponto

“campo” no mesmo condutor dada pelas expressões (365) e (366) e a função de

Green Gm é obtida para a distância entre o ponto “fonte” e o ponto “campo” em

condutores distintos e dada pelas expressões (367) e (368).

22


(365)

2

'2'' 11

senaRRs

(366)

22

212'1 '','' zzâzzzRâyhRR mQQ

(367)

'22

'4'', 222

21


(368)

A função de Green é também separada em parte estática (Go) e parte

dinâmica (Gw), conforme expressões (369), (370) e (371):

rGrGrG wo (369)

onde:

97

ro rG

4

1 (370)

2exp

2sin

4

rkj

rkcjrG

k

w (371)

As características geométricas do problema também introduzirão a função de

forma f(θ) que é dada pela expressão (372):

FFa

f2

1 (372)

onde:

senah

ba

senah

bsenaa

F

2cos

2cos

22

22

(373)

22

2a

hb

(374)

Pode ser visto que a solução para as equações (357) e (358) é muito

dependente das características dimensionais da linha: raio do condutor “a”, distância

entre os condutores “h”, comprimento da linha “2L”, assim como da constante de

fase “k”.

A situação onde a/h << 1, k.a << 1 e k.h <<1 é bem descrita pelo modelo

clássico de linha de transmissão, aqui denominado de STL e a situação onde k.h ≈1

é descrita pelo modelo avançado, denominado ETL, que também é restrito às

condições a/h << 1 e k.a << 1. A simulação é feita a partir destas considerações.

A situação a/h << 1 simplifica consideravelmente a solução, onde a função de

forma f(θ) se torna independente de “θ”, e tem seu valor dado por 1/(2a). A função

Gm também fica simplificada devido à aproximação da expressão (368) onde ρm ≈ h.

Deve ser observado que nas situações onde a aproximação a/h << 1 (fio fino)

não seja válida, as soluções das equações (357) e (358) é muito mais complexa,

pois tanto a função de forma f(θ) quanto a função de Green Gm se tornam fortemente

dependentes de “θ”.

98

6.1 Validação do Modelo Computacional

Com base na teoria apresentada, foi desenvolvido um programa em ambiente

MatlabTM. Para fins de validação do programa, é feita uma comparação entre os

resultados apresentados no artigo utilizado como referência (MAFUCCI; MIANO;

VILLONE, 2004) e reproduzidos no capítulo anterior, com aqueles obtidos com o

programa desenvolvido.

É utilizada a mesma construção numérica pelo modelo de grades

escalonadas. São também utilizadas as mesmas simplificações, ou seja, a/h << 1 e

k.a << 1. A análise é feita para duas situações: para k.h << 1 e para k.h ≈ 1.

É utilizada a separação das contribuições Hs e Hm segundo as suas partes

dinâmicas Hsw e Hmw e estáticas Hso e Hmo.

Também é utilizado que na condição em que a/h << 1, a função f(θ) dada pela

equação (372) tem o valor aproximado de 1/(2a). Essa aproximação despreza os

efeitos de proximidade que alterariam a distribuição de corrente e de carga na

periferia de cada condutor.

Utilizando das condições a/h << 1 e k.a << 1, podemos considerar que m ≈ h

e os valores de Rs e Rm podem ser simplificados para:

22 'zzhRm , 222 '2

'4 zzsenaRs

375)

Assim, podemos escrever que:

'

'11'

2

2

0 2 zzR

zzmzzH

ssR

dso

(376)

onde:

22

2

'4

4

zza

am

, 22 '4 zzaRs (377)

O valor da parte estática do termo próprio Hso pode ser avaliado em duas

situações bem distintas: quando (z – z’) 0 que faz m 1 e quando (z – z’) >> a

que faz m 0.

Quando ( z – z’ ) >> a , temos que mm 1ln5,01 , então:

99

a

zz

azzH so

2

'ln

2

1'

2

quando 02

'

a

zz (378)

E quando ( z – z’ ) >> a , temos que 2

0

m , então:

'1

2

1'

zzRzzH

sso

(379)

A parte dinâmica da função Hs, é dada por:

2

'sin

2

'exp

2'

zzRkc

zzRkj

kjzzH

sssw

(380)

onde:

22 '4 zzaRs (381)

Além disso, quando a/h << 1, os efeitos de proximidade são desprezíveis e a

função de forma f(θ) é praticamente uniforme, de maneira que o termo mútuo Hm

pode ser representado pelas suas partes estática e dinâmica do seguinte modo:

'2

1'

zzRzzH

mmo

(382)

2

'sin

2

'exp

2'

zzRkc

zzRkj

kjzzH

mmmw

(383)

onde:

22 'zzhRm (384)

6.1.1 Solução numérica para o modelo ETL

As equações (357) e (358) são resolvidas numericamente com as condições

de contorno I(-L) = Ia e I(+L) = Ib, aplicando o método da colocação em duas grades

escalonadas, conforme desenho mostrado na Figura 11.

100

Figura 11 - Grade escalonada para modelo numérico


Utilizando o método da diferença finita central, a partir das equações (355) e

(356), obtemos, respectivamente:

jVD V (385)

bQjID I (386)

onde:

T

NIIII ..21 (387)

T

N ..21 (388)

T

NVVVV 121 .. (389)

T

NQQQQ 121 .. (390)

As matrizes D(V) e D(I) são, respectivamente, as matrizes Nx(N+1) e (N+1)xN

dadas por:

11..000

.......

....100

0...110

0...011

1

zD V

(391)

TVI DD (392)

101

O vetor b é conhecido pelos valores da condição de fronteira, tem dimensão

(N+1) e é dado por:

Tba II

zb 0..0

1

(393)

A partir das equações integrais (357) e (358) obtemos:

oI IM (394)

QMV V

1 (395)

onde IM e VM são, respectivamente, as matrizes complexas de dimensões

NxN e (N+1)x(N+1), cujos elementos são definidos a partir da equação (359) nas

integrais:

''' zdzzuzzHM I

mI

nL

LI

(396)

onde: n,m = 1,N

''' zdzzuzzHM V

mV

nL

LV

(397)

onde: n,m = 1,N+1

A função u(z - z’) é uma função linear por partes, igual a 1 quando z = z’ e

igual a zero quando |z – z’| ≥ Δz.

O vetor Φo é um vetor conhecido, de dimensão N, que leva em conta a

contribuição das condições de fronteira e é dado por:

T

b

I

NNa

I

Nb

I

Na

I

b

I

Na

I

o IMIMIMIMIMIM 1,0,1,20,21,10,1 ,...,, (398)

onde In

M0,

, INn

M1,

com n = 1, 2, 3 ...., N são definidos conforme (396).

Para garantir um erro máximo de segunda ordem em Δz, as integrais (396)

são avaliadas pela aplicação da regra trapezoidal no modelo numérico e as integrais

(397) são avaliadas pela aplicação da regra do “ponto central”.

102

A singularidade logarítmica do núcleo de H(z – z’) em z = z’ é integrável e sua

contribuição foi avaliada analiticamente. Ambas as matrizes M(I) e M(V) são

diagonalmente dominantes para Δz 0 por causa dessa singularidade.

Finalmente, pela combinação de (385) a (395), obtemos a expressão para a

corrente ao longo da malha:

dIMkDMD ITVVV

2 (399)

onde:

o

VV kbMDd

2 (400)

é o termo conhecido, que leva em consideração as contribuições das condições de

fronteira.

Como introduzimos os valores de fronteira para as correntes, as equações no

modelo numérico nos permitirão avaliar as correntes na linha. Os fluxos por unidade

de comprimento, as tensões e os valores da carga por unidade de comprimento nas

extremidades da linha podem ser avaliados após todas as outras quantidades terem

sido determinadas.

Durante o desenvolvimento do programa, a maior dificuldade foi a de

encontrar a solução para as matrizes M(V) e M(I). O método numérico para solução

das integrais de convolução (357) e (358) foi trabalhoso de ser executado, uma vez

que as matrizes possuem valores complexos.

Para desenvolver a solução foram separadas as partes reais e imaginárias de

Hs e Hm e calculadas separadamente as suas contribuições para as matrizes M(V) e

M(I) .

6.1.2 Resultados da simulação numérica

São apresentados os resultados da simulação numérica segundo as

expressões apresentadas nas seções anteriores.

Para fins de comparação, a equação (399) é resolvida com as condições de

contorno:

103

Ia = I(-L) = 1A e Ib = I(+L) = 0A (401)

Foi considerada uma interconexão sem perdas com as seguintes dimensões:

L = 5 x 10-2 m a = 10-3 m h = 10-2 m


O programa foi desenvolvido de forma a aceitar a entrada de dados diferentes

desses para possibilitar outras análises.

Durante a depuração do programa foi utilizado um número pequeno de

pontos na grade espacial (no caso, utilizou-se 30 pontos, com N=29) para que o

tempo de processamento não ficasse longo. Ao final foi observado que com 50

pontos (N=49) o resultado já se mostrava consistente e com um tempo de

processamento inferior a 1 minuto. Para fins de comparação dos resultados, também

foi utilizado um número maior de pontos na grade, entretanto o tempo de

processamento ficou extenso e a qualidade dos gráficos não se alterou de forma

significativa.

Foi feita uma tentativa de executar o programa com o mesmo número de

pontos utilizado no texto de referência (N=1001), mas encontramos limitações com a

versão do software utilizado (Matlab V.6.5) e na capacidade do microcomputador

(processador Intel dual core com 2 Gb de memória).

Para fins de comparação, também é mostrada a distribuição da intensidade

de corrente ao longo da interconexão para as frequências de 500 MHz e para 5

GHz. Na frequência de 500 MHz temos a situação na qual k.h ≈ 0,1 e na frequência

de 5 GHz a situação na qual k.h ≈ 1. A predição, em ambos os casos, é feita

utilizando o modelo ETL.

Também para fins de comparação, traçamos os gráficos para o modelo STL

para uma linha sem perdas.

Os resultados obtidos com a solução numérica foram obtidos pelo uso de

N=49 (50 pontos na grade). Os resultados são consistentes com aqueles

apresentados no artigo de referência, como mostrado a seguir.

6.1.3 Comparação e análise dos resultados obtidos

Nas Figuras 12 e 13 são mostradas a amplitude e a fase da distribuição de

intensidade de corrente com os resultados obtidos na simulação. Pode ser

104

observado que os resultados obtidos com o programa desenvolvido são consistentes

com aqueles apresentados em Mafucci, Miano e Villone (2004), mostrados na Figura

7 no capítulo anterior.

Também são apresentados os gráficos do módulo da corrente obtido com o

modelo STL, Figura 14, para comparação.

Pode ser observado que quando k.h ≈ 0,1 o gráfico para modelo STL, Figura

14, e para o modelo ETL, Figura 12, são praticamente coincidentes. Entretanto,

quando k.h ≈ 1, existe uma diferença significativa entre as duas simulações.

Figura 12 - Resultados para o módulo das correntes com modelo ETL com k.h=0,1 e para k.h=1

__ _ __ _ __ k.h = 0,1 ____________ k.h = 1


105

Figura 13 - Resultados para a fase das correntes com modelo ETL com k.h=0,1 e para k.h=1

__ _ __ _ __ k.h = 0,1 ____________ k.h = 1


Pode ser verificado que os módulos das correntes obtidos com o modelo ETL

nas frequências de 500 MHz e de 5000 MHz e mostrados na Figura 12 são

consistentes com aqueles mostrados na Figura 7a. As fases das correntes nas

mesmas situações, mostradas na Figura 13 também são coerentes com aquelas

mostradas na Figura 7c, mostrando a validade do modelo construído perante aquele

apresentado em Mafucci, Miano e Villone (2004).

O gráfico apresentado na Figura 14 mostra o módulo da corrente ao longo da

linha, obtido pelo modelo STL. No caso, foram calculadas a indutância por unidade

de comprimento - L e a capacitância por unidade de comprimento – C da linha, com

as dimensões apresentadas. A partir destas constantes, foi determinada a

impedância característica da linha e a velocidade de propagação. Com a freqüência

e a velocidade de propagação, determinamos a constante de fase – β. A constante

de atenuação – α é nula por se tratar de linha sem perdas (modelo STL).

Como a corrente na extremidade da linha é nula, conforme a condição de

contorno estabelecida, caracteriza uma linha terminada em circuito aberto. Com isso,

o coeficiente de reflexão medido sob a carga é igual a 1.

106

Como a corrente de entrada na linha é de 1 A, a expressão da corrente ao

longo da linha no modelo STL fica:

Lsen

zsenzI

)( (402)

cujo gráfico em função de z é mostrado na Figura 14, para as frequências de 500

MHz e de 5000 MHz.

Figura 14 - Resultados para o modulo das correntes com modelo STL para k.h=0,1 e para k.h=1

__ _ __ _ __ k.h = 0,1 ____________ k.h = 1


6.2 Extensão da Utilização do Modelo ETL

Uma vez construído o programa para simular o modelo ETL, e no intuito de

estender a análise apresentada no modelo artigo de referência (MAFUCCI; MIANO;

VILLONE, 2004), apresentamos as comparações dos resultados para outras

dimensões para o raio do condutor “a”, mantendo as demais dimensões da linha, na

situação onde o modelo STL não apresenta boas soluções (k.h ≈ 1). Também é feita

uma simulação com outra condição de contorno sendo aplicada, onde consideramos

107

a linha terminada numa carga casada. Os resultados das análises são mostrados a

seguir.

6.2.1 Análise para a variação do raio do condutor

Foi efetuada a análise para outros valores do raio do condutor “a”, mantendo-

se as demais dimensões e considerações originais. Como o raio “a” na modelagem

original era de 0,001 m, optamos por fazer a análise variando o raio do condutor em

torno desse valor, para valores maiores e menores.

Pode ser verificado que quando o raio do condutor diminui desde 0,001 m,

consolidando a situação de fio “fino”, os resultados praticamente não se alteram.

Entretanto, quando o raio dos condutores é maior que 0,001 m, os resultados são

afetados significativamente, mesmo não sendo considerado os efeitos da função de

forma f(θ), não contemplada no modelo numérico.

Vale observar que na situação extrema, com a=0,005m e h=0,01m, os dois

condutores praticamente se tocam.

As Figuras 15 e 16 mostram as comparações dos módulos e das fases,

respectivamente, nas situações com o raio dos condutores igual a 0,001 m, 0,0005

m e 0,0001 m.

As Figuras 17 e 18 mostram as comparações dos módulos e das fases,

respectivamente, nas situações com o raio dos condutores igual a 0,001 m, 0,002 m,

0,003 m, 0,004 m e 0,005 m.

108

Figura 15 - Módulo da corrente para diferentes raios dos condutores (fio fino)


Figura 16 - Fase da corrente para diferentes raios dos condutores (fio fino)


109

Figura 17 - Módulo da corrente para diferentes raios dos condutores (fio não fino)


Figura 18 - Fase da corrente para diferentes raios dos condutores (fio não fino)


110

Como pode ser visto a análise por fio “fino” é consistente (valores de a << h),

enquanto para valores de “a” maiores há uma variação significativa nos resultados,

caracterizando que maiores cuidados na caracterização do modelo e tratamento das

equações devem ser tomados. Deve-se ressaltar que o modelo computacional

construído considera a/h <<1, o que traz simplificações nas equações e no modelo

numérico utilizado.

Essa é então uma análise preliminar uma vez que para maior detalhamento

dessa condição seria necessário modificar o modelo computacional construído

introduzindo a condição de a/h ≈ 1. O programa atual traz simplificações

significativas pela utilização da condição a/h << 1.

6.2.2 Análise de nova situação para condição de contorno

A situação analisada anteriormente considera a linha terminada em circuito

aberto, onde I(+L) = 0. A nova situação agora propõe que a linha esteja terminada

em uma carga “casada”, ou seja, a impedância de carga é igual à impedância

característica da linha. Como estamos analisando uma linha sem perdas, no modelo

STL teremos que a corrente que chega à carga tem o mesmo módulo da corrente na

entrada, porém com sua fase alterada por –k.2L.

Dessa forma serão utilizadas as seguintes condições de contorno:

Ia = I(-L) = 1A e Ib = I(+L) = 1.e(-j2kL)A

Os demais dados do problema são os mesmos:

L = 5 x 10-2 m a = 10-3 m h = 10-2 m


Também neste caso, é mostrada nas Figuras 19 e 20 a distribuição da

intensidade de corrente ao longo da interconexão para as frequências de 500 MHz e

5 GHz. Na frequência de 500 MHz temos a situação na qual k.h ≈ 0,1 e na

frequência de 5 GHz a situação na qual k.h ≈ 1. A predição, em ambos os casos, é

feita utilizando o modelo ETL.

111

Como a constante “k” é linearmente dependente da frequência, teremos as

seguintes diferenças na fase da corrente na carga (Ib): para a frequência de 500

MHz, 2kL ≈ 1 (rad); e para a frequência de 5 GHz, 2kL ≈ 10 (rad).

Com os novos dados de entrada para as condições de contorno, são

apresentados os resultados da simulação numérica utilizando o programa

desenvolvido. Na Figura 19 é mostrado o módulo da corrente ao longo da linha para

as duas situações de frequência e na Figura 20 a fase da corrente ao longo da linha.

Pode ser observado que os resultados obtidos em 500 MHz coincidem com

aqueles esperados para uma linha sem perdas, com terminação casada, conforme

previsto no modelo clássico (STL), o que não ocorre em 5000 MHz.

Figura 19 - Módulo da corrente com carga casada, variando a frequência


112

Figura 20 - Fase da corrente com carga casada, variando a frequência


Nos resultados obtidos observa-se uma alteração significativa no módulo da

corrente esperada ao longo da linha na condição k.h ≈ 1, lembrando que trata-se de

análise de uma linha constituída de condutores e dielétricos perfeitos, portanto, sem

perdas. Como a linha está terminada numa carga casada, era de se esperar que o

módulo da corrente não variasse ao longo dela, como previsto pela análise clássica

de linhas de transmissão. Já o comportamento da fase da corrente ao longo da linha

ficou dentro do esperado.

113

7 CONCLUSÕES

A análise de linhas de transmissão tem se tornado cada vez mais crítica

devido ao crescimento das utilizações de dispositivos operando em altas

freqüências. A utilização das expressões clássicas de linha de transmissão tem seus

resultados adequados quando as dimensões da linha são significativamente grandes

com relação ao comprimento de onda.

Os limites de validade da modelagem clássica de linhas de transmissão não

são difundidos, o que pode trazer aplicações em situações indevidas, o que produz

resultados com desvios significativos das situações reais.

O artigo utilizado como referência principal do trabalho aqui desenvolvido

mostra uma modelagem completa de linhas de transmissão, baseada nas equações

de Maxwell, e apresenta a análise e os resultados para uma linha simples de 2

condutores cilíndricos imersos em um dielétrico homogêneo. Mesmo nessa situação

simplificada, é mostrado que existem desvios significativos nos resultados obtidos

com a modelagem clássica de linhas de transmissão quando a linha é eletricamente

curta.

Também é mostrado que o modelo clássico de linhas de transmissão

somente é consistente com modo de propagação transverso eletromagnético – TEM.

Para uma linha com perdas, a situação de modo TEM não é consistente e a

modelagem clássica pode trazer desvios significativos. Para linhas com pequenas

perdas, caracteriza-se a situação de modo “quase-TEM” onde a modelagem

apresenta resultados satisfatórios.

Para análise do modelo avançado de linha de transmissão (ETL), foi

desenvolvido um programa em ambiente MatlabTM, embasado no desenvolvimento

apresentado no artigo (MAFUCCI; MIANO; VILLONE, 2004).

Utilizando o programa desenvolvido foi possível caracterizar a corrente ao

longo de uma linha de transmissão pelo modelo avançado (ETL). Foi mostrado que

existe uma diferença significativa nos resultados quando as dimensões geométricas

da linha se aproximam das dimensões elétricas.

Concluiu-se que o limite de validade para o modelo convencional de linha de

transmissão, chamado aqui de STL, é dado pela comparação k.h << 1 (distância

elétrica entre os condutores pequena), desde que as condições h/a >> 1 (fio fino) e

k.a << 1 (dimensões elétricas dos condutores pequenas) também sejam respeitadas.

114

Os resultados obtidos com o programa desenvolvido foram consistentes com

aqueles mostrados no artigo utilizado como referência.

O programa elaborado permite alterações nos dados de entrada de forma a

possibilitar a análise de outras situações: condições de contorno (corrente de

entrada e de saída) e dimensionais. Nesse aspecto, foram então feitas as análises

de duas situações diversas daquelas utilizadas para validação do programa

construído, variando as condições de contorno e o raio dos condutores.

Para estudos posteriores, é também possível introduzir alterações no

programa considerando a situação de h/a ≈ 1 que caracterizaria a situação de

condutores próximos geometricamente, alterando a distribuição da corrente na

periferia de suas seções transversais. Também sugere-se a análise de outras

configurações de linha, principalmente aquelas em placas de circuitos impressos.

Por fim, fica evidente que não é possível estabelecer limites absolutos para a

faixa de frequências de aplicação dos modelos STL e ETL sem especificar as

dimensões físicas da linha, uma vez que esses limites dependem dos valores

relativos das dimensões geométricas e elétricas da linha.

115

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119

APÊNDICES

APÊNDICE A – Potencial Escalar e Potencial Vetor

Este apêndice tem a finalidade de mostrar a dedução das expressões para o

potencial escalar elétrico e o potencial vetor magnético a partir das equações de

Maxwell. Várias referências foram consultadas, entretanto foram escolhidas para

mostrar essa dedução aquelas que entendemos serem as mais objetivas, que são:

SADIKU, Matthew N. O. Numerical techniques in electromagnetics. 2nd. ed. Boca

Raton: CRC Press, 2001; e BLADEL, Jean Van. Electromagnetic fields. 2nd ed. New

York: John Wiley & Sons, 2007.

Também encontramos uma análise da coerência do chamado “calibre de

Lorenz” com a equação da continuidade na referência RAO, Nannapaneni

Narayana. Elements of engineering electromagnetics. 5th. ed. Upper Saddle River:

Prentice Hall, 2000, que reproduzimos neste apêndice por entendermos que é

relevante ao presente trabalho.

A1 Vetor Potencial Magnético e Potencial Elétrico Escalar

A partir das equações de Maxwell são deduzidas as expressões para o vetor

potencial magnético e para o potencial elétrico escalar. Encontradas as soluções

para esses potenciais em um problema específico, são facilmente determinadas as

expressões para campo elétrico e para campo magnético naquele caso.

Van Bladel (2007) nos diz que na ausência de fontes e a grandes distâncias,

a indução B desaparece no infinito e é solenoidal. Ela pode ser derivada a partir de

um potencial vetor, como no caso dos campos estáticos.

São utilizadas as seguintes identidades matemáticas:

“O rotacional do gradiente de uma função escalar é sempre nulo”:

0 (A1)

“O divergente do rotacional de uma função vetorial é sempre nulo”:

0. A

(A2)

Além disso, utilizamos da regra do triplo produto vetorial:

120

BACCABCBA

.. (A3)

Partindo das equações de Maxwell, temos:

t

BE

(A4)

t

DJH c

(A5)

0. B

(A6)

vD

. (A7)

Considerando o meio linear, isotrópico e homogêneo, as seguintes relações

constitutivas são utilizadas:

HB

(A8)

ED

A9

EJc

A10

onde as constantes escalares “μ”, “ε” e “σ” caracterizam o meio eletromagnético.

Partindo da equação (A6) podemos supor a existência de um potencial vetor

A que seja dado por:

AB

(A11)

ou seja, 0.. AB

conforme a expressão (A2).

Utilizando a equação (A5) e as relações (A11), (A8) e (A9), temos que:

t

EJA c

(A12)

Utilizando a relação (A3), teremos que:

t

EJAA c

2. (A13)

121

Tomando a equação (A1.4) e substituindo nela a relação (A11), teremos:

t

A

t

AE

(A14)

Isso nos permite escrever que:

0

t

AE

(A15)

O termo entre parênteses pode ser derivado a partir de um potencial escalar

V , que respeite a relação matemática (A2):

0 V (A16)

Partindo da equação (A15) e utilizando (A16) teremos:

Vt

AE

(A17)

A partir de (A17) escrevemos que:

t

AVE

(A18)

Substituindo a expressão (A18) na expressão (A13), teremos que:

t

t

AV

JAA c

2. (A19)

ou que:

t

V

t

AJAA c

2

22 .

(A20)

Agora, utilizando a equação (A7), que vem da Lei de Gauss, e aplicando (A9)

e (A18), teremos:

v

t

AV

. (A21)

122

ou seja,

v

t

AV

.2 (A22)

A.1.1 Calibre de Lorenz

De acordo com o teorema de Helmholtz da análise vetorial, um campo vetorial

está unicamente definido se e somente se ambos, seu rotacional e seu divergente,

são especificados. Como o rotacional do campo vetorial A já está especificado,

podemos escolher uma relação para o divergente de A de modo que as equações

(A20) e (A22) tenham a forma mais simples. Lorenz (físico dinamarquês) propôs que

o divergente de A tivesse a seguinte definição:

t

VA

. (A23)

denominada de “Calibre de Lorenz”.

Utilizando a expressão (A23) nas expressões (A20 e (A22), teremos:

cJt

AA

2

22 (A24)

v

t

VV

2

22 (A25)

Nessas condições, os potenciais A e V podem ser definidos como:

v

R

dvJA

4

(A26)

v

v

R

dvV

4

(A27)

onde:

R = distância do ponto “fonte” ao ponto “campo” e

J

e v são tomados no instante de tempo anterior.

123

Considera-se um retardo no tempo dependente da distância entre a posição

da fonte (ponto “fonte”) e ponto onde estamos tomando o valor do campo (ponto

“campo”) e da velocidade de propagação do campo no meio, dado por Rt .

A.1.1 Calibre de Coulomb

Coulomb propôs um outro calibre, e que o divergente de A tivesse a seguinte

definição:

0. A

(A28)

denominado de “Calibre de Coulomb”.

Nesse calibre, utilizando a expressão (A28) nas expressões (A20) e (A22),

teremos:

t

VJ

t

AA c

2

22 (A29)

vV 2 (A30)

Nessas condições, o potencial vetor A depende do potencial escalar V que é

obtido na solução da equação (A30):

v

v

R

dvV

4

(A31)

O termo em J pode ser dividido em duas partes: uma parte longitudinal - Jl

(irrotacional) e uma parte transversal - Jt (solenoidal). No Calibre de Coulomb, a

corrente transversal é a fonte para o campo irradiado e a corrente longitudinal é

relacionada com a densidade de cargas pela equação de conservação de cargas

(A32), gerando um campo quase estático.

lJt

.

(A32)

124

A2 Coerência entre a condição de Lorenz e a equação da continuidade

Encontramos um estudo da coerência entre o calibre de Lorenz e a equação

da continuidade no livro “Elements of Engineering Electromagnetics” de

Nannapaneni Narayana Rao, que aqui reproduzimos (RAO, 2000).

O calibre de Lorenz é dado pela relação:

t

VA

. (A33)

Que leva às seguintes expressões para o potencial vetor A e o potencial

escalar V:

2

22

t

AJA c

(A34)

2

22

t

VV v

(A35)

Tomando o laplaciano da expressão (A33), teremos:

t

VA 22 .

(A36)

ou seja,

Vt

A 22.

(A37)

Substituindo (A34) e (A35) em (A37), teremos:

2

2

2

2

.t

V

tt

AJ v

c

(A38)

ou seja,

t

Jt

V

tt

A vc

..

2

222

2

2 (A39)

125

ou seja,

tJ

t

VA

t

vc

..

2

2 (A40)

Aplicando a condição de Lorenz, expressão (A33), na expressão (A40),

temos:

tJ v

c

.0 (A41)

ou seja, temos a equação da continuidade:

tJ v

c

. (A42)

Conclui-se que a utilização do calibre de Lorenz é coerente com a equação da

continuidade, um dos pilares do estudo do eletromagnetismo.

126

ANEXO

ANEXO – Justificativa da assertiva das equações 289 e 290.

Extraído do artigo:

MAFUCCI, Antonio; MIANO, Giovanni; VILLONE, Fabio. An enhanced transmission line model for conducting wires. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, New York, v. 46, n. 4, p. 512-528, Nov. 2004.

A fim de justificar a assertiva (289) na base para o modelo STL, é mostrado

seu desenvolvimento e sua interpretação física, além de definir seus limites de

validade.

','','','';' zuzdzuzzKL

L d

(B1)

Utilizando a expressão do núcleo Kd dada por (278) e expandindo a partir da

definição da função de Green no espaço homogêneo, com a constante de

propagação “k” e a velocidade “v” dadas por:

r

rkjrG

4

exp (B2)

vk

e

1v

onde a distância “r” é definida como a distância entre o ponto “campo” e o ponto

“fonte”.

A separação da expressão da função de Green de acordo com as

contribuições estática e dinâmica permite reescrever a função de Green na forma:

rGrGrG wo (B3)

onde:

ro rG

4

1 ,

2exp

2sin

4

rkj

rkcjrG

k

w (B4)

A função Go é a contribuição da função de Green no estado estacionário e a

função Gw é a contribuição de função de Green dinâmica.

127

A distância entre o ponto “fonte” e o ponto “campo”, ambos no condutor 1,

pode ser expressa como:

22


(B5)

onde:

2

'2'' 11

senaRRs

(B6)

No condutor 2, a distância entre o ponto “fonte” e o ponto “campo” pode ser

expressa como:

22


(B7)

A distância entre um ponto “fonte” no condutor 2 e o ponto “campo” no

condutor 1, pode ser expressa como:

22

212'1 '','' zzâzzzRâyhRR mQQ

(B8)

onde:

'22

'4'', 222

21


(B9)

Finalmente, a distância entre um ponto “fonte” no condutor 1 e o ponto

“campo” no condutor 2, pode ser expressa como:

22

2121' '','' zzâzzzRâyhRR mQQ

(B10)

Vamos expressar as funções de Green conforme as distâncias entre o ponto

“fonte” e ponto “campo” conforme definidas em (B5), (B7), (B8) e (B10), utilizando a

nomenclatura de Gs para os pontos no mesmo condutor e Gm para os pontos entre

os dois condutores.

';'1'1

zzGG sQQR (B11)

';'2'2

zzGG sQQR (B12)

';',2'1

zzGG mQQR (B13)

(B14)

128

';',21'

zzGG mQQR

Para a função de Green no modo diferencial, utilizando as definições para Gs

e Gm dadas por (B11) a (B14), obtemos que:

';',';'';', zzGzzGzzK msd (B15)

Escrevendo a expressão para Kd na forma original da função de Green,

temos:

22

22

22

22

41

'',

'',exp

''

''exp';',

zz

zzkj

zz

zzkjzzK

m

m

s

s

d

(B16)

Vamos considerar o comportamento do modulo da expressão (B.16) quando

(z - z’) varia, para valores fixos de ρm/ρs e k.ρm. A aproximação utilizada é que ρm ≈

h e que ρs ≈ a.

Para k.ρm ≤ 5, a função módulo de Kd tem seu máximo para z = z’ e tende

rapidamente a zero quando | z – z’ | aumenta (ver Figura B1).

Figura B1 - Comportamento do módulo da função Kd em função de ζ / ρm para

os valores de ρm / ρs = 10 e de k.ρm = 0,1; Sobreposto, o gráfico do cos(k.ζ - π/4). Onde ζ = z - z’


Observa-se que o módulo de Kd é consideravelmente diferente de zero

somente na vizinhança de | z – z’| = 0, com uma amplitude de variação da ordem de

ρm.

129

Seja ζ20dB o valor para | z – z’| que corresponde a uma redução de 20 dB no

módulo de Kd com respeito ao seu valor em | z – z’ | = 0. Dessa forma, 2x ζ20dB é a

medida da amplitude de intervalo no eixo z, centrado no ponto onde | z – z’ | = 0, na

qual o módulo de Kd é significativamente diferente de zero. Nas situações que nos

interessam, ζ20dB = ρm e ρm ≈ h, então ζ20dB ≈ h.

O significado físico desse resultado é evidente: o valor do fluxo por unidade

de comprimento e da tensão ao longo dos condutores na abscissa “z” com “z”

variando de –L+ζ20dB < z < +L–ζ20dB, depende, principalmente, das distribuições das

fontes (densidade de carga e densidade de corrente) situadas dentro do intervalo.

As fontes que estiverem mais afastadas que ζ20dB desde o ponto campo “z”

contribuem de modo insignificante para o valor do fluxo por unidade de comprimento

e da tensão naquele ponto (com exceção dos pontos próximos aos terminais dos

condutores).

Para k.ρm > 5, a função módulo de Kd é muito diferente daquele que foi

descrito anteriormente. Por exemplo, para k.ρm = 10, o comportamento do módulo de

Kd é oscilante e ζ20dB pode ser de 4 a 5 vezes o valor de ρm.

Considerando a função u( θ , z ) variando ao longo de “z”, para cada valor de

θ, com um comportamento característico muito maior que ζ20dB. Na Figura B1 é

registrado, como exemplo, o gráfico da função cos(k.ζ - π/4) para k.ρm=0,1 (linha

pontilhada na Figura).

Como o valor da função Kd é consideravelmente diferente de zero somente

em um intervalo 2x ζ20dB e, por hipótese, a função u( θ , z ) é praticamente constante

no mesmo intervalo, é possível escrever que, no intervalo de –L+ζ20dB < z < +L–ζ20dB

teremos:


L d

(B17)

onde:

zKd ;',', (B18)

ou seja:

2111 'ˆ'', RyhRgoRRgo

(B19)

e

130

kHj

gz

04

1 (B20)

A função Ho(z) é a função de Hankel e os vetores posições são definidos

conforme Figura 3 (cap. 5).

A função g( ρ ) é, de fato, a função de Green para um plano homogêneo com

constante de propagação k.

Se o comprimento da linha é muito maior que o espaçamento entre os

condutores, ou seja, se L>>h, a expressão B17 é praticamente verificada quase que

em qualquer ponto ao longo dos condutores, com a exceção de dois trechos muito

curtos em suas extremidades.

Para valores fixos de θ, ambas as distribuições de densidade de corrente (J) e

de densidade de carga (σ) variam de modo apreciável ao longo de “z” em

comprimentos característicos da ordem de k-1. Assim, a partir da expressão (B17) é

obtida a assertiva (B1) para k. ζ20dB<<1. Como ζ20dB≈h , então temos que L >> ζ20dB

ou que h/L << 1 e que k.ζ20dB << 1 ou que k.h << 1.

Estas são justamente as condições para a validade da assertiva (289).


L d

(B23)

nas condições

h.L << 1 e h.k << 1 (B24)

Para k.h << 1, uma expressão aproximada e simplificada de g( ρ ) é dada pela

função go( ρ ) definida por (B25):

c

go

ln

2

1 (B25)

A validade da assertiva pode ser estendida para situações onde os

parâmetros geométricos e/ou a forma da seção transversal não são mais uniformes

ao longo de “z”, desde que eles variem lentamente com a posição z.

anÁlise de linhas de transmissÃo pela teoria …

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