ÁNGULOS PLANOS

Ángulos Planos

CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN.

• Definiciones.

• Ángulos alternos- internos, exteriores y de lados perpendiculares

• Medidas de ángulos

• Operaciones con ángulos

• Ángulos en la circunferencia

– Ángulos centrales

– Ángulos inscritos

– Ángulos semi-inscritos

– Ángulos interiores

– Ángulos exteriores

DEFINICIONESUn ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el

mismo origen.

Observa en la siguiente figura que dos semirrectas con un origen común determinan

siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B. Al ángulo A se le llama

ángulo convexo, mientras que el ángulo B es cóncavo.

Algunos ángulos especiales:

Ángulo recto, que es el ángulo convexo definido por dos semirrectas

perpendiculares.

Ángulo llano,  cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección,

aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.

Ángulo completo, que es el ángulo que abarca todo el plano.

Los ángulos convexos siempre son menores que el ángulo llano. Los ángulos

cóncavos por el contrario, son siempre mayores que el ángulo llano.

Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.

Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo

llano) que son mayores que un ángulo recto.

Dos ángulos se llaman complementarios si suman 90º, un ángulo recto.

Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180º, un ángulo llano.

Igualdad de ángulosIgualdad de ángulos: Dos ángulos son iguales cuando al efectuar un movimiento, que

hace coincidir los vértices, los lados coinciden.

Una definición métrica: La igualdad de segmentos permite saber si dos ángulos son

iguales sin necesidad de medirlo (transportador), ni de efectuar un movimiento.

Con igual radio, trazamos dos arcos con centros en los vértices O y O’. Trazamos las

cuerdas AB y A’B’.

Si los ángulos y son iguales también los serán las cuerdas AB y A’B’.

Recíprocamente, si las cuerdas AB y A’B’ son iguales también lo serán los ángulos y

Ángulos de lados paralelosÁngulos de lados paralelos: Los ángulos de lados paralelos son:IGUALESIGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos

SUPLEMENTARIOS: si uno es agudo y el otro obtuso

Particularmente importante es la igualdad de ángulos alternos internos y opuestos por un vértice.

APLICACIÓN: La suma de ángulos de un triángulos es 180ºAPLICACIÓN: La suma de ángulos de un triángulos es 180º

Ángulos de lados perpendicularesÁngulos de lados perpendiculares: Los ángulos de lados perpendiculares son:

IGUALESIGUALES: si ambos son agudos o ambos obtusos

SUPLEMENTARIOS: si uno es agudo y el otro obtuso

MEDIDA DE ÁNGULOS: GradoMedida de ángulos: el sistema sexagesimal.

Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que

resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto

mide 90º.

El transportador de ángulos.

El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo

que nos permite medir y también construir ángulos.

Consiste en un semicírculo graduado con el que podemos

medir ángulos convexos (hasta 180º)

Divisores del grado.

Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el

sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es

el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que

consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60

segundos (60'').

MEDIDA DE ÁNGULOS: RadiánMedida de ángulos: el radián.

Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de circunferencia de

longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el ángulo completo mide 2

radianes.

OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA SUMA

Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.

La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el sistema

sexagesimal. 2º  48'  35"

+  2º  45'  30"   4º  93'  65"

Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la suma se

puede escribir así:

4º  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la suma es:

5º  34'  5"5º  34'  5"

OPERACIONES CON ÁNGULOS: LA RESTA

Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Debemos hacer la siguiente operación: 3º   0'   0"

-  2º  48'  35"  

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados, los minutos

y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48

(minutos). Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos y un

minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en

2h 59' 60".

2º  59'  60" -  2º  48'  35"   0º 11‘ 25"

OPERACIONES CON ÁNGULOS:EL PRODUCTO POR UN NÚMERO NATURAL

Multiplicación de un ángulo por un número natural.

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese

número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si

alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo

transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º  26'  35"              x  3   

54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º  79'  45"

Pero 79' = 1º 19', luego 55º 19' 45"

OPERACIONES CON ÁNGULOS:LA DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL

División de un ángulo por un número natural.

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese

número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo

por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos.

Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y

lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Ángulos en la Circunferencia

ÁNGULOS CENTRALESLlamaremos ángulo central a cualquier ángulo cuyo vértice esté en el centro de una

circunferencia.

Existe una relación muy estrecha entre un

ángulo central y el arco de circunferencia que

abarca. De hecho, en lo sucesivo, nos

referiremos a la amplitud de un arco en lugar

de a su longitud y definiremos la amplitud del

arco como la medida del ángulo central que lo

comprende.

ÁNGULOS INSCRITOS

Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice

esté en la misma circunferencia y sus lados sean cuerdas de esa circunferencia.

El valor de un ángulo inscrito en una

circunferencia es la mitad del valor del

ángulo central que abarca el mismo arco de

circunferencia.

ÁNGULOS SEMI-INSCRITOSLlamaremos ángulo semi-inscrito en una circunferencia a cualquier ángulo cuyo

vértice esté en la misma circunferencia y uno de sus lados sea la tangente a la

circunferencia en el vértice y otro una cuerda con origen en el vértice.

El valor de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia es la mitad del

valor del ángulo central que abarca el mismo arco de circunferencia.

ÁNGULOS INTERIORESLlamaremos ángulo interior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice esté en

el interior de la circunferencia. Los ángulos centrales son un caso particular de ángulos

interiores.

El valor de un ángulo interior a una circunferencia es la mitad de la

suma de los valores de los ángulos centrales que abarcan los

mismos arcos de circunferencia que el ángulo interior y el obtenido

prolongando sus lados.

ÁNGULOS EXTERIORESLlamaremos ángulo exterior a una circunferencia a cualquier ángulo cuyo vértice

esté en el exterior de la circunferencia y sus lados sean rectas secantes o tangentes a

la misma.

El valor de un ángulo exterior a una circunferencia es la mitad de la

resta de los valores de los ángulos centrales que abarcan los mismos

arcos de circunferencia que el ángulo exterior.

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Matemática de GAUSS del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

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Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/)

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