anfänger-praktikum ws 2009/10...

Anfänger-Praktikum

für Naturwissenschaftler

Prof. Dr. Hartmut SchmiedenPhysikalisches Institut

Büro W156

Tel.: (73) 27902341 (Sekr.)

email: [email protected]: http://hsag.physik.uni-bonn.de

↪ education/AP-NF

WS 2009/10Ferienkurs

Organisation/ Versuchseinteilung

Dr. T. JungkDr. H. Hartmann

Termine

0-Versuch: heuteVersuche gemäß Plan

http://hsag.physik.uni-bonn.de/

➢ allg. Vorbemerkungen zum Praktikum

➢ Vorbesprechung des „0-Versuchs“Stoffgebietphysikalische ZielsetzungFehlerrechnung

➢ Versuchsdurchführungca. 1100 – 1215 / 1600 - 1715 Uhr

➢ Auswertebesprechungab ca. 1230 / 1730 Uhr

1. Allgemeine Vorbemerkungen

➢ warum Praktikum ??

➢ quantitatives naturwissenschaftliches Experimentieren / Arbeiten

“Messen“Fehlerbehandlung

➢ Physikalisches Verständnis

➢ Selbständige Vorbereitung des Stoffesaufbauend auf Grundkenntnissen Physik I/IIVersuchsanleitungenLiteraturstudium

allgemeine Vorbemerkungen

zum Ablauf des Praktikums

➢ Vorbereitung Versuchsanleitung & Literatur

➢ Durchführung

➢ Abschlußprüfung

✗ Erläuterung der Versuchsanordnung ✗ vor Versuchsbeginn zu lösende Aufgaben ✗ während Durchführung zu lösende Aufgaben ✗ Einführungsgespräch mit Assistent/in

✗ Betreuung durch Assistent/in (Tel.-Nr.) ✗ Protokollheft & Taschenrechner✗ Zweiergruppen ✗ Protokoll der Versuchsdurchführung Unterschrift !✗ Auswertung des Ergebnisses✗ Testat durch betreuende/n Assistenten/in

Protokoll

➢ Datum der Versuchsdurchführung

➢ Thema (Titel / Aufgabenstellung)

➢ Antworten zu Aufgaben vor Versuchsbeginn

➢ Versuchsskizze

➢ Alle Meßwerte mit Maßzahl und Einheit

➢ Auftragung der Meßwerte

➢ Auswertung (sinnvolle Rundung!)

➢ Fehlerrechnung & Abschätzung der syst. Fehler

➢ Ergebnis(se) mit Fehlerangabe: (Wert ± Fehler) · Einheit

➢ Antworten zu Aufgaben während/nach Versuchsdurchführung

Einheiten

Größe Symbol Einheit Abkürzung

Länge ℓ Meter m

Masse m Kilogramm kg

Zeit t Sekunde s

el. Stromstärke ℑ Ampere A

Temperatur T Kelvin K

Stoffmenge n Mol mol

Lichtstärke dΦ/dΩ Candela cd

Einheiten

Bezeichnung 10er-Potenz Bezeichnung 10er-Potenz

atto -18 deka +1femto -15 hekto +2piko -12 kilo +3nano -9 mega +6mikro -6 giga +9milli -3 tera +12zenti -2 peta +15dezi -1 exa +18

Vorsätze

2. Messgenauigkeit & Messfehler

Praktikum ↔ Messung physikalischer Größen mitMaßzahl & Einheit

systematische und statistische Messfehler

Messreihe → normalverteilte Messwerteverteilung

Bsp.: Messung SchwingungsdauerPendel aus Vorlesung

Grund:sehr viele „kleine Störungen“

sinnvolle Rundung

Modell (Laplace)

n

Anz. derStörg'n Abweichung vom wahren Wert

-4η -3η -2η -1η 0 +1η +2η +3η +4η

0

1

2

3

4

∞

„sehr kleiner Fehler“

1

12

12

14

12

14}

14

14

18

38

18

14}

38

14

18}

18

116

416

116

316}

616

316}316

416

116

316}

116

Normalverteilung um 0

Fehlerbetrachtung

Häufigkeitsverteilung

xxx

x

x x

x

x

x

xδx 2δx 3δx 4δxx0-δx-2δx-3δx-4δx

Häufigkeit

Anzahl der Messungen inIntervall

Fehlerbetrachtung

für sehr große N geht Häufigkeitsverteilung in mathematischeWahrscheinlichkeitsverteilung über.

Gauß- oder Normalverteilunghier

f(x) = e σ √2π

12σ2

(x-x)2

Fehlerbetrachtung

für sehr große N geht Häufigkeitsverteilung in mathematischeWahrscheinlichkeitsverteilung über.

Gauß- oder Normalverteilunghier

x +σ-σ

Wendepunkt

Häufigkeit

„Glockenkurve“Einzelmessungen liegen zu

68 % in ±1σ95,5 % ±2σ99,7 % ±3σ

x

D.h. Einzelmessung liegt mit Wskt68% weniger als 1σ vom wahren Wert weg !

x = <x> = xi

1n Σ

i=1

nMittelwert einerMesswerteverteilung

„Erwartungswert“

(1.1)

Wie weit weicht vom (unbekannten!) „wahren“ Wert xW derMessgröße ab ?

x

erhält man nur mit ∞ vielen Messungen:

xW = lim xi

1n Σ

i=1

n

absoluter Fehler der Einzelmessung xi: ei = xW-xi -- “ -- des arithm. Mittels : ε = xW-x x

(1.1) ⇒

n→∞

Fehlerbetrachtung

ε = (xW-xi) = ei

1n Σ

i=1

n 1n Σ

i=1

n

(1.2)

D.h. der Fehler des arithm. Mittels ergibt sich durch arithm. Mittelung der Einzelfehler

quadrieren ⇒

ε2 = = + 1n2 (Σ )

i=1

n

ei

2 1n2 Σ

i=1

n

ei2 1

n2 Σ i=1

ei ej Σ j≠i

(1.3)

1n2 Σ

i=1

n

ei2≃

0

n → ∞

lim = xW-xW =1n Σ

i=1

n

ein→∞

Fehlerbetrachtung

aus (1.3) ⇒

<ε2> = εj2 =

= <ej2>

= <e2>

mit

1n2 Σ

i=1

n

eij2[ ]1

k Σj=1

k 1k Σ

j=1

k

1k Σ

j=1

k 1n

= 1n Σ

i=1

n

eij2

Mittelwert der Fehlerquadrateaus j-ter Messreihe

1n

σ = √<e2> = 1n Σ

i=1

n

√ (xw-xi)2

σm = √<ε2> = σ

√n

mittlerer Fehler (Std.-abw.) der Einzelmessungen(~messreihen)

mittlerer Fehler des arithm. Mittels

(1.4)

(1.5)

Fehlerbetrachtung

2.1 Streumaße

Problem: xw bei endlich vielen Messungen nicht bekannt !⇒ ei und ε aus Messreihen direkt nicht bestimmbar

vi = x – xi als „bekannte“ Größe= xw – xi – (xw – x )

= ei - ε

} }s2 =

= = - 2ε + ε2

=

1n Σ

i=1

n

vi2

1n Σ

i=1

n

(ei-ε)2

mittlere quadratische Abweichungvom Mittelwert

1n Σ

i=1

n

ei2 1

n Σ i=1

n

ei}

ε aus (1.2)1n Σ

i=1

n

ei2 - ε2

Für viele Messreihen zu je n Messungen erhält man dannfür die Mittelwerte:

<s2> = = σ2 - σm21

n Σ i=1

n

< > ei2

- <ε2>

(1.4) & (1.5)

(1.4) & (1.5)

= =

= (n-1) σm2

= σ2

1n

1n2 --( )Σ

i=1

n

(xw- xi)2 Σ

i=1

n

(xw- xi)2n-1

n2

n-1n

„Korrekturfaktor“ wg Abweichung desMittelwertes (und damit des Fehlers!)von xW ⇔ n ≠ ∞

Streumaße

Damit ergibt sich aus der Messung selbst :

n-1nσ2 = <s2>

1n(n-1)√ Σ

i=1

n

(x-xi)2

σ = (1.6)1

n-1√ Σi=1

n

(x-xi)2

σm = (1.7)n-11σm

2 = <s2>

Standardabweichung

Standardabweichung desMittelwertes

= σ√n1

Streumaße

Fehlerfortpflanzung

Häufig kann eine Größe nicht direkt, sondern nur indirektgemessen werden - z.B. Fläche A = a ⋅ b

Wie setzt sich Fehler einer zusammengesetzten/abgeleitetenGröße aus den Einzelfehlern zusammen?

Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz:

Die zusammengesetzte Größe sei z = z(a,b,c,...) mit den Fehlern σa, σb, σc, ... der Mittelwerte , , .

Dann ergibt sich der Fehler in z zu:

a b c

∂z∂a

2 ∂z∂b

2 ∂z∂c

2

σz = ( σa2 + σb

2 + σc2 + ⋅⋅⋅ )

1/2

2.2 Fehlerfortpflanzung

2.3 Ausgleichsrechnung

Problem: nicht dieselbe physikalische Grösse wiederholt,sondern y(x) bei verschiedenen x messen

Bsp.:y

x

y = ax + b

Fehler in xvernachlässigbargegen Fehler in y

Wie lässt sich Gerade durch Messpunkte legen, so daß Fehler in a & bminimal ?Vereinfachung:

Jeder Messwert yi(xi) habe gleiches σi

- bestimmt z.B. mit (1.6) aus Mehrfachmessung bei xi.

Lineare Regression

„richtige“ Konstanten a & byw(xi) = axi+b mit 68% Wahrscheinlichkeit

innerhalb ± 1σ Intervall um xi

allg.: für yi-yW(xi) = yi-axi-b ergibt sich Wahrscheinlichkeit, den Messwert yi zu erhalten, zu

P(yi) ∝ e1σy

-(yi-axi-b)2/2σy2

für n verschiedene xi

P(yi) ∝ e1σy

n

-χ2/2πi=1

n

mit „Chi-Quadrat“ χ2 = i=1

n

Σ(yi-axi-b)2

σy2

Ausgleichsrechnung

optimaler Wert der gesuchten Konstanten

χ2 minimal∂χ2

∂a2σy

2= - xi(yi-axi-b) = 0

i=1

n

Σ∂χ2

∂b2σy

2= (yi-axi-b) = 0

i=1

n

ΣLösung des Gleichungs-systems mit

Δ = n xi2 - ( xi)

2

i=1

n

Σi=1

n

Σa =

Σn xiyi - Σ xi yiΣΔ

b = Σ xi yiΣ

Δ

Σ xi2 yi -ΣBedeutung von

χ2/n ≫ 1 χ2/n ≪ 1?

χ2-Minimierung

Ausgleichsrechnung

3 Ablauf Praktikumsversuch

0 – Versuch:

Brennweitenbestimmung nach Bessel

3.1 Vorbereitung zum 0-Versuch

Brechung von Licht

Medium 1

Medium 2Grenze

α1

α2

c1 Lichtgeschwindigkeitn1 Brechungsindex

c2

n2

Brechungsindex

ni = c0

ci

Vakuum

Medium

Vorbereitung zum 0-Versuch

Brechung von Licht

Medium 1

Medium 2Grenze

α1

α2

man findet:

sin α1

sin α2

c1

c2

=n2

n1

=

Beispiel

Medium 1 sei Luft n = 1,000272 ≃ 1 und damit c1 ≃ c0

n = n2 =c0

c1


Brechungsindex - Beispiele

Substanz n (@ λ=589 nm)

Luft 1,000272

Wasser 1,333

Ethanol 1,36

Zuckerlösung 1,38 / 1,49 (30%/80%)

Glas 1,46 ∼ 1,89

Diamant 2,42


Realisierung eines Brennglases / einer Linse

X

α

fBrennweite

tan α = x ≃ α1

f}

Einheit m-1 = 1dp „Dioptrie“

}

konst. achsennah„dünne Linse“

➢ Abstand Glasflächen vernachlässigbar

➢ Brechung quasi in Linsenmitte

➢ Hauptebene

➢ 2. HEbene in dicker Linse

Brennweitenbestimmung nach Bessel

Fassung

Linse Brennpunkt

Wie Brennweite präzise bestimmen ?

3.2 Der 0-Versuch

Lage der Hauptebene unbekannt !

X

Versuchsvorbereitung

Linsenformel

G

B

f

g b

G Gegenstandsgrößeg Gegenstandsweite

B Bildgrößeb Bildweite

f Brennweite

a = g + b Abstand G-B

γ = AbbildungsmaßstabBG

Abb.1

X


Linsenformel

G

B

f

g b

Strahlensatz ⇒

γ = = = BG

bg

b-ff

bg

= - 1bf

= +1f

1b

1g

Linsen- formel

oder: g b = f b + f g *( )

Abb.1

*( ) umschreiben gemäß Definitionen in Abb.1

g (a -g) = f (a -g) + f g

-g2 + a g = f a

g2 – a g + f a = 0 Normalformquadr. Gleichung}

konst.konst.

Lösung:g = ± - f a

a2

4a2

√ reell fürf ≤ a/4 d.h.a ≥ 4 f

(Aufgabe 0.a)

}

w „Wurzel“



Diskussion der Lösungen

(1) a = 4f ⇨ w = 0

g0 = a/2, d.h. b0 = a/2 ⇒ γ0 = b0/g0 = 1

für a > 4f ⇨ w > 0

(2) g1 = a/2 + w → b1 = a/2 – w γ1 = =b1

g1

b1

g1

a2

- w

a2

+ w

(3) g2 = a/2 - w → b2 = a/2 + w γ2 = =b2

g2

b

g

a2

+ w

a2

- w

„1“-Lösung: a = 4f

f

„2“-Lösung: a > 4f


„1“-Lösung: a = 4f

f


„3“-Lösung: a > 4f



d.h. völlig symmetrische Situation

➢ Gegenstand und Bild vertauscht➢ γ1 = 1/γ2 ➢ a = g1 + b1 = g2 + b2 und g1 = b2

g2 = b1

Daraus folgt mit :

f = = = = =

Mit e = 2w Abstand der Linsenpos'n

= 2 √a2/4 – f a e2= a2 – 4 f a

*( )g bg+b

g ba

g1b1

a

g1 (a-g1)

a

g2 (a-g2)

a

4 f = a - e2

a(Aufgabe 0.B)

Lage der HE nicht erforderlich

Bessel-Verfahren

Brennweite f = - a4

e2

4a

∂f∂a

= + = +14

e2

4a2

14

e2

4a2

∂f∂e

= - = 2e4a

e2a

σf = σa2 + σe

2 14

e2

4a2+

2 e2a( )

2√Δf (Δa)2 (Δe)2

3.3 Fehlerbetrachtung

jetzt: Versuchsdurchführung

Viel Spaß !

Wir sehen uns hier wieder zur

Auswertebesprechung

EXTRA - Folien

Fehlerbetrachtung

statistischer Fehler

Versuchsdurchführung Meßreihen für x1 und x2,aus je 10 Einzelmessungen

„Stichproben“Stichprobenumfang ist N = 10

Bestimme aus Einzelmessungen x1,n & x2,n

xi = <xi> = xi,n

1N Σ

n=1

N (arithmetische) Mittelwerte

Fehlerbetrachtung

In der Regel weichen Einzelmessungen vom Mittelwert ab!Abweichung der Stichprobe vom Mittelwert wird charakterisiertdurch

σ2 = <Δxi2> = (xn - <x>)21

N-1 Σn=1

N

Varianz

σ = + √σ2 Standardabweichung

}

Fehlerbetrachtung

Mittelwert kann genauer als Fehler der Einzelmessung festgelegt werden:

x

Δ = Δxn2 = σx

1N(N-1) Σ

n=1

N√ 1√N

Fehler des Mittelwertes

D.h. der konstante Fehler der Einzelmessung Δx kann imMittelwert durch die Anzahl der Einzelmessungen verringert werden:

Δ ∼ (bei σ=konst.)

D.h. Halbierung des Fehlers des Mittelwertes beiVervierfachung von N.

x1

√N

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