anexos anexo 1. características del socioconstructivismo
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Anexos
Anexo 1. Características del socioconstructivismo.
Para Lev Vigostky, las características que describen el socioconstructivismo son:
- Toma en cuenta el nivel de desarrollo de los alumnos.
El alumno cuenta con una zona de desarrollo real que se define como las acciones que el alumno
está en capacidad de desarrollar de manera independiente. (Vigostky.Lev, 1978).
- Fomenta un rol activo del alumno en su aprendizaje.
El alumno no es pasivo respecto al proceso de su desarrollo, sino que es él quien, estimulado por
el medio, compone y construye su propio tejido, conceptual y simbólico, y desarrolla así las propias
condiciones de su aprendizaje. Actúa sobre la realidad, la transforma y es transformado por ella.
(Tunnerann Bemheim, 2014).
- Enfatiza la importancia de la interacción (con padres, profesores y otros alumnos).
Todo el complejo simbólico de las relaciones sociales, humanas, es la condición de posibilidad,
aquello que propicia, estimula, y determina el desarrollo y aprendizaje de la persona. (Vigostky.Lev,
1978).
- Hacer énfasis en la reestructuración y reorganización del conocimiento.
Según la ley de doble formación de Vygotsky. El conocimiento se adquiere, primero a nivel
interpsicológico y posteriormente a nivel intrapsicológico, de esta manera el factor social juega un papel
determinante en la construcción del conocimiento. (Vigostky.Lev, 1978).
Las tareas del proceso educativo desde el Socio-constructivismo, Según Coll (1993).
- Mostrar al estudiante cómo construir el conocimiento. (ayuda ajustada)
- Promover la colaboración en el trabajo académico.
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- Expresar los múltiples enfoques que se pueden tener frente a un determinado
problema
- Estimular la toma de posiciones y compromisos intelectuales.
Mediación.
De acuerdo con Coll y Moreno (2008). "Los mediadores son los diversos recursos, con los cuales
el tutor o facilitador construye un andamio (andamiaje), en el que se apoya, en este caso pueden ser
digitales o de otra naturaleza los cuales son un escalón diseñado para conducir a los alumnos hacia la
independencia" (Acosta Luévano, 2015)
El concepto de mediador y de aprendizaje mediado tiene su origen en la Teoría Sociocultural de
Lev Vygotsky (1934), la cual operacionaliza a través de la llamada Zona de Desarrollo Potencial (ZDP)
una forma de lograr aprendizajes duraderos y el desarrollo óptimo de un estudiante con la ayuda de los
adultos o de otros estudiantes más avanzados. (Vigostky.Lev, 1978).
Andamiaje.
Según Amador y otros (2014) los conceptos de “andamiaje”, se refieren a la función del maestro
relacionada con el brindar soporte adecuado a los estudiantes durante el proceso didáctico y cuando en el
mismo, el maestro debe ajustar la dirección y planeación para garantizar resultados satisfactorios y el
cumplimiento de las metas de aprendizaje para todos los estudiantes. (Amador Montaño, Rojas Garcia,
& Sanchèz Bedoya, 2015)
En este aspecto, el maestro debe considerar con detenimiento las necesidades particulares de sus
estudiantes, observando sus diferencias conceptuales, ritmos de aprendizaje su inclusión y capacidades
excepcionales. Del mismo modo conforme el estudiante se vuelve más diestro, el profesor va retirando
el andamiaje para que se desenvuelva independientemente.
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Ayuda ajustada.
Según Onrubia (1999). La ayuda ajustada son las actividades desde sus propias posibilidades y
de los apoyos o soportes que le brinde el maestro. El autor sostiene que cuando se habla de ayudas se
hace referencia a un amplio abanico que tiene el docente para su actuación, desde la intervención directa
con un alumno o un grupo de alumnos hasta la organización global de la situación: Determinar la
duración de una sesión-clase, elegir el espacio en el que tendrá lugar, seleccionar la disposición del
mobiliario en un aula ordinaria, decidir el tipo de materiales de consulta con que trabajarán los alumnos,
establecer que las actividades habituales serán en pequeño grupo o con todo el grupo clase, presentar a
los alumnos un contenido en un momento u otro del curso escolar o del ciclo, estructurar de una u otra
forma los momentos de exposición o explicación, posibilitar o no determinadas formas de participación
de los alumnos en el aula, permitir que incorporen cuestiones o elementos de su interés, ofrecerles
determinados modelos de actuación, formularles indicaciones y sugerencias para abordar nuevas tareas,
corregir errores, dar pistas, ofrecer posibilidades de refuerzo o ampliación, elogiar su actuación, valorar
los esfuerzos o el proceso que han realizado... pueden ser todos ellos ejemplos de ayuda educativa y
forman parte, todos ellos, de la tarea de enseñar. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala.,
1999).
Siguiendo el mismo autor afirma, que ofrecer una ayuda ajustada al aprendizaje escolar supone
crear ZDP (Zona de Desarrollo Próximo) y ofrecer asistencia y apoyos en ellas, para que, a través de esa
participación y gracias a esos apoyos, los alumnos puedan ir modificando en la propia actividad conjunta
sus esquemas de conocimiento y sus significados y sentidos, y puedan ir adquiriendo más posibilidades
de actuación autónoma y uso independiente de tales esquemas ante situaciones y tareas nuevas, cada vez
más complejas. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala., 1999).
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Niveles de desarrollo
Zona de Desarrollo Próximo (ZDP).
Vygotski (1980), citado por Vallejo, A. (1999.) (1999), definió la Zona de Desarrollo Próximo
(ZDP) como la distancia entre “el nivel de desarrollo real del niño tal y como puede ser determinado a
partir de la resolución independiente de problemas” y el nivel más elevado de “desarrollo potencial y tal
como es determinado por la resolución de problemas bajo la guía del adulto o en colaboración con
iguales más capaces”. (VALLEJO, 1999.)
Nivel de Desarrollo Real (NDR):
El NDR. Es el conjunto de actividades que el sujeto puede hacer por sí mismo, de un modo
autónomo, sin la ayuda de los demás. Aclara que en el aprendizaje escolar el niño trae conocimientos y
saberes previos; en consecuencia, tanto aprendizaje como conocimiento están presentes desde el
nacimiento. (Vigostky.Lev, 1978).
Nivel de Desarrollo Potencial (NDP).
Es el nivel de actividades que podría alcanzar el sujeto con la colaboración y guía de otras
personas, es decir, en interacción con los otros. En ella se determina el desarrollo de las funciones
psicológicas individuales en la actividad colectiva y la interacción social del niño. (Vigostky.Lev, 1978).
Dicho en términos más generales, la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) es el espacio en que,
gracias a la interacción y la ayuda de otros, una persona puede trabajar y resolver un problema o realizar
una tarea de una manera y con un nivel que no sería capaz de tener individualmente.
De acuerdo con la caracterización de Vygotsky y sus continuadores, es en la ZDP donde el
aprendiz puede ir adquiriendo más posibilidades de actuación autónoma y uso independiente de tales
esquemas ante situaciones y tareas nuevas, cada vez más complejas. (Onrubia, Coll, Martín, Mauri,
Miras, & Zabala., 1999)
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El mismo autor describe “… es en esta zona donde el profesor puede actuar para ofrecer una
ayuda ajustada, y construir andamiajes mediados por las Tic, para guiar a los alumnos a que comprendan
los contenidos y apoyarlos en el desarrollo de sus competencias, sin perder la visión pedagógica
socioconstructivista en el logro de los aprendizajes integrales”. (Coll, Martín, Mauri, Mariana Miras, &
Zabala., 1993)
Para concretar hay tres cuestiones que deben estar ya claras que pueden ocurrir según
(Onrubia, Coll, Martín, Mauri, Miras, & Zabala., 1999).
“La primera cuestión es que una misma forma de intervención o actuación del profesor puede, en
un momento dado y con unos alumnos dados, servir como ayuda ajustada y favorecer el proceso de
creación y asistencia en la ZDP, y en otro momento o con otros alumnos, no servir en absoluto como tal
y no favorecer ese proceso, en función de los significados y sentidos que aporten los alumnos a la
situación en cada caso concreto.
La segunda cuestión es que la enseñanza no puede, desde esta perspectiva, limitarse a
proporcionar siempre el mismo tipo de ayudas ni a intervenir de manera homogénea e idéntica en cada
uno de los casos. 3. La tercera cuestión es que, desde estas nociones, la dimensión temporal de las
situaciones de enseñanza y aprendizaje adquiere una relevancia fundamental en el momento de decidir
qué ayuda concreta puede ser más ajustada en cada caso o de analizar si una intervención específica
realizada ha sido ajustada o no” (Coll, Martín, Mauri, Mariana Miras, & Zabala., 1993)
Construcción de Significados Compartidos.
La construcción compartida de significados a través del lenguaje, es un mecanismo
interpsicológico del aprendizaje colaborativo, junto con la interdependencia positiva y las relaciones
psicosociales. Implica: la producción conjunta de objetivos, planes y significados; interpretar y
contribuir con explicaciones y argumentaciones; mediar y coordinar mutuamente las contribuciones,
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puntos de vista, críticas y roles en la interacción o exponer reflexiones individuales y colectivas.
(Fernández & Trigueros, 2016)
Según Mercer (2001), cada vez que dialogamos con una o más personas participamos en un
proceso de colaboración en el que se negocian significados y se movilizan conocimientos comunes.
Citado por (Fernández & Trigueros, 2016)
Procesos de Internalización.
Según la teoría de Vygotsky (19789). Toda función psicológica superior es externa porque fue
social antes que llegar a ser una función psicológica individual, “… En el desarrollo cultural del niño
toda función aparece dos veces: primero entre personas (de manera interpsicológica) y después, en el
interior del propio niño (de manera intrapsicológica)”. (Vigostky.Lev, 1978)
- Los procesos intrapsicológicos: son los procesos psicológicos que se dan al interior del niño.
De manera individual.
- Los procesos interpsicológicos: Son aquellos que ocurren en la interacción, el intercambio de
realidades y mundos en el contexto social.
En este sentido los procesos de internalización, llevan a la autorregulación teniendo como punto
de partida lo social y como punto de llegada lo individual. El proceso cognitivo y comunicativo se da a
través del lenguaje, cuando el individuo interioriza esta serie de signos los convierte en instrumentos
propios del pensamiento, es decir en medios de autorregulación.
Actividad conjunta.
Se entiende como actividad conjunta, la interactividad de naturaleza esencialmente constructiva
en torno a los saberes y tareas de aprendizaje, que potencien la comprensión y elaboración significativa
de conocimientos que se construyen con las aportaciones de los participantes, promoviendo las
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capacidades de aprendizaje autónomo y autorregulado. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz
Bedoya, 2015)
Constructivismo y sus implicaciones en matemática educativa.
El constructivismo como postura epistemológica también se encuentra en la Matemática
Educativa. A continuación, se expone un análisis sobre las implicaciones que el constructivismo ha
traído consigo en esta área del conocimiento, refiriendo primero las características que han dado
Kilpatrick, Gómez y Rico (1995):
– El conocimiento matemático es construido, al menos en parte, a través de un proceso de
abstracción reflexiva.
– Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construcción.
– Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La actividad con propósito induce
la transformación de las estructuras existentes.
Piaget considera que existen dos poderosos motores que hacen que el ser humano mantenga ese
desarrollo continuo de sus estructuras cognitivas: la adaptación y el acomodamiento. Al conjugar estos
elementos, se puede conocer la importancia de vincular un marco teórico con la práctica pedagógica que
ha de ejercer un docente, al enseñar los contenidos matemáticos en el aula.
Adicionalmente, existe una característica muy particular en el ámbito de la matemática: la
abstracción. Al respecto, Vergnaud (1991) considera tres puntos interesantes:
– La invarianza de esquemas, que se refiere al uso de un mismo esquema mental
para diversas situaciones semejantes.
– La dialéctica del objeto–herramienta, que se refiere a que el uso proporcionado a
aquello que abstrae inicialmente lo utiliza como herramienta para resolver algo en particular,
pero posteriormente le da un papel de objeto al abstraer sus propiedades. Pero el proceso
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continúa, pues al obtener el sujeto un objeto a partir de una operación descubre nuevas cosas que,
inicialmente, utilizará como herramientas para después abstraer sus propiedades y convertirlas en
objetos, y así sucesivamente. De esta manera el individuo conceptualiza al mundo, y sus objetos,
en diferentes niveles.
– El papel de los símbolos, que simplifican y conceptualizan los objetos al obtener sus
invariantes sin importar el contexto en el que se encuentren.
Una postura constructivista no sólo permite advertir las dificultades que suelen tener los alumnos
para aprender, sino también aporta una guía para desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje más
eficientes, empleando un proceso de enseñanza donde el protagonista central es el alumno, considerando
sus intereses, habilidades para aprender y necesidades en el sentido más amplio.
El individuo que aprende matemáticas desde un punto de vista constructivista debe construir los
conceptos a través de la interacción que tiene con los objetos y con otros sujetos. Tal parece que para
que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo la interacción activa con los objetos
matemáticos es preciso que dichos objetos se presenten inmersos en un problema, no en un ejercicio.
Las situaciones problemáticas introducen un desequilibrio en las estructuras mentales del
alumno, de tal manera que en la búsqueda de ese acomodamiento se genera la construcción del
conocimiento. No obstante, este camino también implica errores, y por medio de ellos el sujeto
cognoscente trata de encontrar el equilibrio que, con toda intención, le hizo perder el problema
propuesto por el docente. Para lograrlo, y construir su conocimiento, el alumno debe retroceder para
luego avanzar y re–construir un significado más profundo del conocimiento. Es entonces, en palabras de
Vygotski, cuando la interacción social del alumno que aprende juega un papel primordial porque
propicia que avance más en grupo que de manera individual. De allí la importancia del lenguaje, pues
sirve como medio para estructurar el pensamiento y el conocimiento generado por el sujeto.
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El constructivismo como postura epistemológica que adoptan los investigadores de matemática
educativa es coherente con lo observable en el desarrollo mental de los individuos; sin embargo, afirma
Larios (1998), en el momento en que se quiere aplicar esta teoría a la enseñanza de la matemática se
tiene un salto mortal; por tanto, si se quiere aplicar el constructivismo en la enseñanza el docente debe
ser cauteloso.
Por otro lado, hay propuestas didácticas que se basan en posturas constructivistas para abordar,
por ejemplo, el álgebra básica casi exclusivamente a través de problemas. Empero, el desconocimiento y
manejo de la base teórica puede llevar a una aplicación de dichas propuestas en la que se resuelvan
problemas y/o ejercicios problematizados sin una sistematización en el trabajo del alumno, al ocupar
procesos de tanteo y al azar con los cuales no se logre un verdadero desarrollo de los conceptos
matemáticos.
El hecho de que los docentes no conozcan la teoría constructivista impide que la apliquen en
forma adecuada, con lo cual se pierde la posibilidad de que hagan un estudio sistemático de su uso o,
peor aún, se genera una adaptación ineficiente por las características cambiantes de los grupos de
educandos. Por tanto, no sólo el conocimiento de la teoría constructivista permite que su uso, aplicación,
implementación, estudio, análisis y evaluación sea lo más eficiente y real posible, sino también la
ejecución efectiva de la práctica pedagógica que todo docente de matemática debe efectuar para
combinar dos elementos esenciales en su acción: teoría y praxis.
Aplicar este tipo de propuestas conlleva a que el docente realice un esfuerzo mayor al que
normalmente está acostumbrado, pues necesita romper su esquema de transmisor de conocimientos y
convertirse en un organizador, coordinador, asesor y director del proceso de adquisición del
conocimiento, el cual le pertenece primordialmente al alumno.
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Anexo 2: La Enseñanza Estratégica para la autonomía.
Según Monereo (2004). La enseñanza para la autonomía o método didáctico de enseñanza
estratégica, consiste en ceder o transferir progresivamente el control de la estrategia, que en un primer
momento ejerce de manera absoluta el profesor, al estudiante, a fin de que se apropie de ella y pueda
empezar a utilizarla de manera autónoma (Huertas, 2009.)
Uso estratégico de Procedimientos
El uso estratégico de procedimientos, es responsabilidad fundamental de una enseñanza
estratégica; en ella se transita desde un control externo y centrado en el profesor, cuando en un primer
momento se presenta la estrategia, una segunda etapa en la que el alumno puede practicar la estrategia
aprendida con la guía y orientación del docente, para finalmente pasar a una autorregulación interna,
centrada en el alumno, cuando este, demuestre poco a poco un dominio cada vez más autónomo de la
estrategia aprendida.. (Huertas, 2009.).
Elementos del aprendizaje estratégico.
A partir de las ideas de Díaz, Hernández (2002) quienes sostienen que “el aprendizaje estratégico
se refiere a aquellos procesos internos” constituidos por los procesos cognitivos, procesos
metacognitivos y los afectivo emocionales los cuales definimos:
Procesos cognitivos:
Son procesos internos que permiten la activación sináptica a través de la cual se procesa la
información y el conocimiento. El desarrollo de estrategias cognitivas, favorecer el conocimiento y el
análisis de las condiciones en que se produce la resolución de un determinado tipo de tareas o el
aprendizaje. (Huertas, 2009.).
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Procesos metacognitivos.
Vienen a ser los procesos mediante los cuales el sujeto es capaz de analizar y comprender cómo
ocurren sus propios procesos y productos cognitivos. La adquisición de estrategias metacognitivas
permite desarrollar la toma de conciencia y control de los procesos y productos cognitivos. (Huertas,
2009.)
Procesos afectivos emocionales.
Están referidos a todos aquellos procesos motivacionales, el querer aprender; los sentimientos
afectivos, placer por aprender; orientados a favorecer una predisposición emocional para optimizar la
calidad del aprendizaje. El control de respuestas afectivo emocionales favorables hacia el aprendizaje,
permite aumentar la conciencia del estudiante sobre su estado afectivo motivacional. (Huertas, 2009.)
Características del Aprendizaje Autónomo.
• Se aprende a trabajar colaborativamente.
• Adquirimos conocimientos relevantes y profundos
• Dirigimos nuestro propio aprendizaje
• Voluntad y disposición
• Responsabilidad
• La forma de aprendizaje es más activa y dinámica
• Automotivador
• Colaborativo
• Creativo
• Autodependiente
• Desarrolla capacidades
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Figura 1. Mapa conceptual aprendizaje autónomo
Anexo A. Características del ABP
En palabras de Exley y Dennick (2007), el ABP implica un aprendizaje activo, cooperativo,
centrado en el estudiante, asociado con un aprendizaje independiente muy motivado. Veamos un poco
más detenidamente alguna de sus características principales:
• Responde a una metodología centrada en el alumno y en su aprendizaje. A través
del trabajo autónomo y en equipo los estudiantes deben lograr los objetivos planteados en el
tiempo previsto.
• Los alumnos trabajan en pequeños grupos (autores como Morales y Landa (2004),
Exley y Dennick (2007), de Miguel (2005) recomiendan que el número de miembros de cada
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grupo oscile entre cinco y ocho), lo que favorece que los alumnos gestionen eficazmente los
posibles conflictos que surjan entre ellos y que todos se responsabilicen de la consecución de los
objetivos previstos. Esta responsabilidad asumida por todos los miembros del grupo ayuda a que
la motivación por llevar a cabo la tarea sea elevada y que adquieran un compromiso real y fuerte
con sus aprendizajes y con los de sus compañeros.
• Esta metodología favorece la posibilidad de interrelacionar distintas materias o
disciplinas académicas. Para intentar solucionar un problema los alumnos pueden (y es
aconsejable) necesitar recurrir a conocimientos de distintas asignaturas ya adquiridos. Esto ayuda
a que los estudiantes integren en un “todo” coherente sus aprendizajes.
• El ABP puede utilizarse como una estrategia más dentro del proceso de enseñanza
y aprendizaje, aunque también es posible aplicarlo en una asignatura durante todo el curso
académico o, incluso, puede planificarse el curriculum de una titulación en torno a esta
metodología.
Proceso de planificación del ABP: Orientaciones didácticas, Como paso previo a la planificación
y utilización del ABP se deben tener en cuenta dos aspectos fundamentales:
• Que los conocimientos de los que ya disponen los alumnos son suficientes y les
ayudarán a construir los nuevos aprendizajes que se propondrán en el problema.
• Que el contexto y el entorno favorezca el trabajo autónomo y en equipo que los
alumnos llevarán a cabo (comunicación con docentes, acceso a fuentes de información, espacios
suficientes, etc.)
En la planificación de la sesión de ABP es necesario:
• Seleccionar los objetivos que, enmarcados dentro de las competencias establecidas
en la materia, pretendemos que los alumnos logren con la actividad.
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• Escoger la situación problema sobre la que los alumnos tendrán que trabajar. Para
ello el contenido debe:
-Ser relevante para la práctica profesional de los alumnos.
- Ser lo suficientemente complejo (pero no imposible) para que suponga un reto para los
estudiantes. De esta manera su motivación aumentará y también la necesidad de probarse a sí mismos
para orientar adecuadamente la tarea.
-Ser lo suficientemente amplio para que los alumnos puedan formularse preguntas y abordar la
problemática con una visión de conjunto, pero sin que esta amplitud llegue a desmotivarles o crearles
ansiedad.
• Orientar las reglas de la actividad y el trabajo en equipo. Sabemos que, en
ocasiones, trabajar en grupo puede crear tensiones, malestar entre los miembros,
descoordinación, etc. Estos conflictos dentro de los grupos suelen ser beneficiosos para el
crecimiento del grupo, si se solucionan adecuadamente. Para que estos problemas, cuando surjan,
no entorpezcan demasiado el trabajo de los equipos, el docente puede proponer el reparto de
roles dentro de los grupos. El coordinador, gestor de tiempos, moderador, etc. pueden ser
algunos ejemplos. Todos los estudiantes, aparte de desempeñar estos roles, deben participar
activamente en el trabajo común.
• Establecer un tiempo y especificarlo para que los alumnos resuelvan el problema y
puedan organizarse. El tiempo puede abarcar determinadas horas, días e incluso semanas,
dependiendo del alcance del problema. No se recomienda que el tiempo dedicado al problema
sea excesivamente extenso ya que los alumnos pueden desmotivarse. También se pueden
seleccionar los momentos en los que los alumnos estarán en el aula trabajando y aquellos en los
que no necesitarán (si no lo desean) estar en la clase.
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• Organizar sesiones de tutoría donde los alumnos (a nivel individual y grupal)
puedan consultar con el tutor sus dudas, sus incertidumbres, sus logros, sus cuestiones, etc. Este
espacio ofrece al tutor la posibilidad de conocer de primera mano cómo avanza la actividad y
podrá orientarles, animarles a que continúen investigando, etc. Las tutorías constituyen una
magnífica oportunidad para intercambiar ideas, exponer las dificultades y los avances en la
resolución del problema.
Desarrollo del proceso de ABP (alumnos), el desarrollo de la metodología del ABP puede seguir
unas fases determinadas. A modo de ejemplo aquí se comentan dos aportaciones cuyas fases son algo
distintas:
Morales y Landa (2004) establecen que el desarrollo del proceso de ABP ocurre en ocho fases:
Las autoras dividen exhaustivamente el proceso de aprendizaje en diversas fases. Veamos con un
poco más de profundidad cada una de ellas.
Con la lectura y análisis del escenario o problema se busca que los alumnos entiendan el
enunciado y lo que se les demanda. Es necesario que todos los miembros del equipo comprendan el
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problema; para ello el profesor puede estar atento a las discusiones de los grupos y, si algún tema
concreto requiere atención especial, discutirlo con todos los grupos en común.
Los siguientes pasos hasta la definición del problema (pasos 2, 3, 4 y 5), suponen que los
alumnos tomen conciencia de la situación a la que se enfrentan. Que formulen hipótesis de por qué
puede ocurrir el problema, las posibles causas, ideas de resolverlo, etc. El paso 3 implica que el equipo
recurra a aquellos conocimientos de los que ya disponen, a los detalles del problema que conocen y que
podrán utilizar para su posterior resolución.
La siguiente fase (paso 4) ayuda a los estudiantes a ser conscientes de aquello que no saben y que
necesitarán para resolver el problema. Pueden formular preguntas que orienten la solución de la
situación.
Una vez puesto en común todo esto, es momento de que los alumnos ordenen todas las acciones
que como equipo tienen que llevar a cabo para resolver el problema planteado. Deben planear cómo van
a realizar la investigación (paso 5), para posteriormente poder definir adecuada y concretamente el
problema que van a resolver y en el que se va a centrar su investigación (paso 6).
El paso 7 se centra en un período de trabajo y estudio individual de forma que cada miembro del
equipo lleve a cabo la tarea asignada. Obtener la información necesaria, estudiarla y comprenderla, pedir
ayuda si es necesario, etc. Por último (paso 8) los alumnos vuelven a su equipo y ponen en común todos
los hallazgos realizados para poder llegar a elaborar conjuntamente la solución al problema y presentar
los resultados. Y, finalmente, el proceso vuelve a comenzar con la formulación de otro problema.
Rol del profesor, papel de los alumnos al utilizar metodologías centradas en el aprendizaje de los
alumnos, los roles tradicional, tanto del profesor como del alumnado, cambian. Se presentan a
continuación los papeles que juegan ambos en el APB.
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Evaluación del ABP, si cambian las maneras de aprender y enseñar, también será necesario
modificar la forma de evaluar los aprendizajes. El alumno “ideal” ya no es aquel que en examen final
obtiene un sobresaliente porque se ha estudiado de memoria la lección. El alumno “ideal” ahora es aquel
que ha adquirido, por medio de un aprendizaje autónomo y cooperativo, los conocimientos necesarios y
que, además, ha desarrollado y entrenado las competencias previstas en el programa de la materia
gracias a una reflexión profunda y a una construcción activa de los aprendizajes.
Desde esta perspectiva, para evaluar estos aprendizajes podemos utilizar diversas técnicas:
• Caso práctico: en el que los alumnos tengan que poner en práctica todo lo que han
aprendido. Un examen que no esté basado en la reproducción automática de los contenidos
estudiados, sino que implique que el alumno organice coherentemente sus conocimientos.
• Autoevaluación: El alumno ha llevado a cabo un proceso de aprendizaje
autónomo. Por tanto, nadie mejor que él mismo conoce todo lo que ha aprendido y todo lo que se
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ha esforzado. Se pueden establecer algunos aspectos para que el alumno se autoevalúe:
aprendizaje logrado, tiempo invertido, proceso seguido, etc.
• Evaluación realizada entre pares (co-evaluación): El alumno, durante su proceso
de aprendizaje, ha trabajado con sus compañeros cooperativamente. Por tanto conocer la opinión
de los compañeros también resulta interesante. Los aspectos sobre los que se pueden preguntar
pueden ser: ambiente cooperativo dentro del grupo, reparto de tareas eficaz, cumplimiento de las
expectativas como grupo, etc.
Diseño de actividades mediante la metodología ABP para la Enseñanza de la Matemática
A continuación, se presentará un ejemplo de Diseño de actividades mediante la metodología
ABP para la Enseñanza de la Matemática, sacado de la revista Scientia et Technica Año XVIII, Vol. 18,
No. 3, Octubre de 2013. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701 542 Fecha de Recepción:
25 de Enero de 2013 Fecha de Aceptación: 2 de Julio de 2012 Design methodology activities by PBL for
Teaching Mathematic Edwin Jhovany Alzate Rodríguez1 , José William Montes Ocampo2 , Robin
Mario Escobar Escobar3* Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Risaralda, Colombia.
Aprendizaje Basado en Problemas
La metodología permite formar personas capaces de enfrentar el continuo cambio de la ciencia y
las disciplinas, permitiéndoles desarrollar las habilidades de aprendizaje necesarias para adaptarse y ser
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competentes con las exigencias de la sociedad actual; con el desarrollo de esta metodología los
estudiantes podrán obtener las aptitudes idóneas para desempeñar cualquier tipo de trabajo lógico.
El método de Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), es un aprendizaje centrado en el
estudiante, su esencia es la integración interdisciplinaria y la libertad para explorar lo que todavía no
conoce, centrándolo en el proceso de aprendizaje.
1. Ventajas
• Promueve un conocimiento en profundidad.
• Estimula el desarrollo de habilidades personales.
• El ambiente del aprendizaje es más estimulante.
• Promueve la interacción entre el estudiante y el docente.
• Promueve colaboración entre distintas disciplinas.
• Promueve una mejor retención del conocimiento.
• Mejora la motivación.
2. Papel del Educador El cambio pedagógico desde la aproximación tradicional,
centrada en el profesor que enseña, a una centrada en el estudiante, requiere de un cambio
fundamental en el papel del educador desde un docente trasmisionista a uno facilitador del
aprendizaje. Su labor será orientar, guiar, moderar y facilitar una adecuada dinámica de grupo.
No buscan la información o dictan cátedra. Custodian el proceso de aprendizaje del grupo y
guían el descubrimiento, pero no son ``dispensadores'' de conocimiento.
3. Papel del Estudiante El estudiante dejará su papel pasivo, en el cual recibía
información y luego memorizaba, pero de manera simultánea olvidaba rápidamente, esta
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metodología busca que el estudiante asuma un papel activo. Con el método de ABP, se motivará
por aprender más, integrando los conocimientos de las áreas biomédica, psicosocial, de gestión e
investigación.
4. Trabajo ABP Permiten a los estudiantes identificar sus necesidades para
comprender un problema, luego de lo cual alcanzan sus objetivos, la mayoría de las veces en
forma independiente, para luego unir fuerzas al sintetizar los hallazgos principales.
Pasos para desarrollar el trabajo ABP:
• Clarificación de Términos.
• Definición del Problema.
• Lluvia de ideas.
• Discusión y categorización de ideas.
• Definición de los objetivos de aprendizaje.
• Búsqueda de la información.
• Reporte de resultados
5. Diseño de actividad ABP Se muestra la construcción de un problema para resolver
mediante la metodología ABP, aplicado a estudiantes de primer semestre en el curso de
Matemáticas I de la Universidad Tecnológica de Pereira.
Regresión lineal:
Objetivos:
• El estudiante reconoce y trabaja la regresión lineal.
• El estudiante se introduce en la ecuación de la recta.
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• El estudiante reconoce una aplicación de la ecuación de la recta utilizando algo de
estadística.
• El estudiante utiliza recursos de consulta para conocer más sobre la recta y el plano cartesiano.
Andrea es vendedora de casas usadas. Ella quiere saber si el precio al que se venden se relaciona
con la antigüedad de la casa. Para ello, selecciona al azar 10 casas vendidas en barrios de nivel social y
área construida similar; obtiene los datos de la siguiente tabla. Los pesos equivalentes se han hecho
equivalentes al año 2009.
1. Cuál es la población en estudio?
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2. Construye el gráfico de dispersión.
3. Obtén la recta de regresión.
4. Cuál es el promedio de venta en pesos de una casa con 8 años de antigüedad? Usa la recta de
regresión para calcularlo.
5. ¿Cuál es el valor del coeficiente de regresión r?
6. ¿Qué significa el coeficiente de regresión r?
7. Actividad para mañana. Traer la medida de la longitud de la cintura y el peso.
Actividad de consulta.
• ¿Qué es una función?
• ¿Qué es una variable?
• ¿Qué es un sistema coordenado rectangular?
• ¿Qué nombre reciben los ejes coordenados del plano?
• ¿Cómo se representan en el plano?
• ¿Cuál es la denotación de un punto en el plano?
• ¿Cuál es la definición de pendiente de una recta?
• ¿Es equivalente el valor de la tangente del ángulo de inclinación y la pendiente de una recta?
Explique sus razones.
• ¿Cuál es la definición analítica de la línea recta?
• ¿Qué es ecuación de un lugar geométrico?
• ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente intercepto en el origen?
• ¿Qué significado tiene la pendiente m de la recta en la ecuación? • ¿Cuál es el significado de la
ordenada al origen b de la ecuación de la recta?
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• Hallar la ecuación de la recta con un ángulo de inclinación de 60° y que pasa por el punto P =
(0, 1 • Trace el gráfico de la ecuación que se obtuvo mediante la regresión lineal.
En la actividad se notaron dificultades como el no tener algunos grupos de trabajo el
conocimiento de que es una regresión lineal en la calculadora. Pero en colaboración con otros, se logró
que en cada grupo hicieran la regresión lineal. Quedando pendiente consultar el concepto de función.
Funciones:
Nivel de escolaridad: Pregrado
Grado sugerido: Matemática Básica
Enfoque temático: solución de problemas aplicando funciones.
Competencia: análisis de las funciones polinomiales buscando su aplicación en diferentes áreas
como la física, la economía, entre otras.
Objetivos:
• El estudiante induce funciones cuadráticas a partir de diferentes planteamientos de problemas.
• El estudiante induce funciones cúbicas a partir de diferentes planteamientos de problemas.
• El estudiante practica la construcción de cajas para relacionar a facilitar la solución de
problemas. • El estudiante pone en práctica su conocimiento en semejanza de triángulos.
• El estudiante maneja apropiadamente los conceptos de áreas y volúmenes.
24
Tiempo: aproximadamente cuatro horas clase.
Evaluación:
1. Para analizar la comprensión de los temas se debe observar la participación de los estudiantes
durante el desarrollo de la actividad.
2. Es bueno indagar a los estudiantes acerca de cuál fue la pregunta de mayor dificultad y ¿por
qué?, esto permitirá visualizar el manejo de los conceptos.
3. Es muy importante observar y analizar los diferentes procesos aplicados por los estudiantes.
4. Se debe analizar la aceptación de la actividad (los aspectos positivos y los aspectos negativos).
5. Para complementar la actividad es importante tener en cuenta las recomendaciones y
sugerencias por parte de los estudiantes para una próxima oportunidad
Conclusiones
1. La aplicación de la metodología ABP al inicio de la implementación es un poco compleja
debido a que los estudiantes asocian ABP con Modelos Matemáticos. Y al ver un ritmo diferente de
trabajo se observa la preocupación de los educandos ya que no presenta la forma tradicional de
enseñanza para las matemáticas.
25
2. La metodología no influye de manera directa en el conocimiento de los estudiantes sobre las
matemáticas, sino en la motivación para el aprendizaje de las matemáticas.
3. Es de notar que la metodología ABP, transforma el interés de los estudiantes hacia la
comprensión de la matemática y se evidencia el cambio por el saber y aplicar los conceptos matemáticos
en sus diferentes realidades cotidianas.
4. La metodología trabajada es una herramienta práctica para ayudar a los docentes a
potencializar las capacidades de los estudiantes buscando centrar sus intereses de aprendizaje de una
forma didáctica
Anexo B. Características aprendizaje colaborativo:
Podemos mencionar varios aspectos importantes del aprendizaje colaborativo:
1. Cooperación entre los miembros del grupo
Los alumnos trabajan en conjunto dentro y fuera del aula, y el método puede variar en cuanto a
su organización desde poco estructurado por el docente, hasta muy estructurado, en lo que se conoce
como aprendizaje cooperativo.
Ya sea que el método esté poco o muy estructurado, el conocimiento es descubierto por los
alumnos y transformado en conceptos con los que pueden relacionarse. Luego es reconstruido y
expandido a través de nuevas experiencias de aprendizaje.
2. Aprendizaje activo
Se basa en la experiencia directa y la interacción. Se establece una interdependencia que no debe
ser competitiva.
26
3. Interdependencia positiva
Los miembros del grupo se necesitan los unos a los otros y deben considerar aspectos como el
establecimiento de metas, tareas, recursos, roles, etcétera.
4. Responsabilidad
Todos los integrantes del grupo son responsables de hacer su parte del trabajo, pero además,
deben dominar el todo.
Metas y componentes
Metas en el aprendizaje colaborativo
El aprendizaje colaborativo...
• Promueve la interacción: mientras más medios de interacción se posean, más rica
será la experiencia.
• Valora la contribución individual de cada alumno que asume tareas y
responsabilidades.
• Desarrolla habilidades personales y de grupo tales como escuchar, participar,
coordinar actividades, liderar, dar seguimiento, evaluar.
• Invita a la autoevaluación, ya que el alumno necesita cuestionarse continuamente
sobre su desempeño personal y el del grupo.
Componentes
En el aprendizaje colaborativo, los componentes que interactúan son:
• Alumnos.
• Docente.
• Recursos tecnológicos.
27
• Ambiente y condiciones administrativas.
2.1 Roles y componente ambiental
Rol del docente
El docente es un tutor o facilitador que…
• Está convencido de la bondad de este enfoque y decidido a adoptar los cambios
que se requieran para implementar esta metodología.
• Ordena y guía el trabajo, orientando y retroalimentando en todo momento a los
grupos y a los alumnos.
• Provee de recursos a sus alumnos y promueve el desarrollo de habilidades.
• Selecciona adecuadamente el recurso tecnológico que permita un mejor desarrollo
de la tarea propuesta en un ambiente interactivo, creativo y colaborativo.
• Introduce los temas que se abordarán y los problemas que se deben resolver con
claridad y precisión, cuidando que emanen de los intereses de los alumnos.
• Se asegura de que los alumnos cumplan con los prerrequisitos académicos y de
destrezas tecnológicas.
• Ayuda a los alumnos a realizar una reflexión metacognitiva (¿Qué aprendí?
¿Cómo lo aprendí? ¿Cómo puedo aplicarlo?) acerca del trabajo realizado, con el fin de discutir
cada una de las etapas del proceso y optimizar trabajos futuros.
Rol del alumno
Los alumnos deben mostrar una actitud de comunicación y de participación, por lo que…
• Deben trabajar en equipo para cumplir el objetivo común.
28
• Son responsables de hacer su parte del trabajo y compartir lo que hayan
investigado con los demás, de manera que todos dominen el conjunto del proyecto.
• Deben intercambiar información, razonamientos y puntos de vista para fomentar
la retroalimentación entre los miembros del grupo.
• Deben colaborar en los procesos de dirección, toma de decisiones, comunicación y
manejo de las dificultades que se presenten.
• Los miembros del grupo deben fijar objetivos para el corto y largo plazo. Deberán
revisar periódicamente su cumplimiento, identificando los cambios necesarios, con el fin de
optimizar sus acciones en el futuro.
Rol de la tecnología
Se requiere de recursos técnicos accesibles que potencien el trabajo de los alumnos en tres
aspectos: los vínculos interpersonales, las fuentes de información y un lenguaje común para los
participantes.
Puede haber distintas modalidades para el trabajo con la tecnología:
• Varios alumnos trabajan juntos en una sola computadora desarrollando ideas para
el diseño de una solución o explorando una simulación.
• Varios alumnos trabajan en diferentes computadoras, pero conectados a una red
local de trabajo.
• Varios alumnos trabajan en diferentes computadoras, conectados a internet.
Es importante señalar que no todas las tentativas en el aprendizaje colaborativo tienen éxito, ya
que bajo ciertas circunstancias no se obtienen los beneficios esperados y los resultados pueden incluir
conformidad, procesos inútiles, falta de iniciativa, malentendidos y conflictos. El docente debe estar
29
preparado para aprender a identificar los aciertos y los errores para planear mejor el siguiente proyecto
sin desalentarse.
30
Anexo C. Las TIC en la educación
¿Cuál es el sentido de usar la tecnología en el aula?
Un programa multimedial interactivo puede convertirse en una poderosa herramienta pedagógica
y didáctica que aproveche nuestra capacidad multisensorial. La combinación de textos, gráficos, sonido,
fotografías, animaciones y videos permite transmitir el conocimiento de manera mucho más natural,
vívida y dinámica, lo cual resulta crucial para el aprendizaje. Este tipo de recursos puede incitar a la
transformación de los estudiantes, de recipientes pasivos de información a participantes más activos de
su proceso de aprendizaje.
Estas tecnologías permiten al maestro revelar al alumno nuevas dimensiones de sus objetos de
enseñanza (fenómenos del mundo real, conceptos científicos o aspectos de la cultura) que su palabra, el
tablero y el texto le han impedido mostrar en su verdadera magnitud (ver Ventajas pedagógicas y
didácticas de la TIC).
A través de estos nuevos medios el estudiante puede experimentar el conocimiento de una
manera que resultaría imposible utilizando fuentes de referencia tradicionales. El acceso a estos recursos
incide positivamente en la disposición que muestran los alumnos para profundizar y enriquecer su
conocimiento indagando más fuentes de información. Con el soporte de este engranaje interactivo, la
curiosidad e imaginación del alumno se transforman en un poderoso dispositivo capaz de irrumpir en
vastos dominios del conocimiento.
Diversos estudios han mostrado que, en comparación con la clase tradicional, los programas
multimediales pueden ayudar al estudiante a aprender más información de manera más rápida. Algunos
estiman que se puede ahorrar hasta un 80 por ciento de tiempo en el aprendizaje (ver Aprendizaje,
eficiencia y multimedios).
31
Ciertas investigaciones han mostrado que la presencia de varios medios ayuda a incrementar el
aprendizaje. Por ejemplo, se ha encontrado que los niños aprenden mejor el contenido de un texto
cuando tiene ilustraciones. Así mismo se ha establecido que cuando los estudiantes pueden escuchar una
descripción verbal simultáneamente con una animación, aprenden más que cuando sólo oyen la
descripción o ven la animación. Es bien conocido el supuesto, según el cual, la gente aprende un 10 por
ciento de lo que lee, un 20 por ciento de lo que escucha, un 30 por ciento de lo que ve y un 50 por ciento
de lo que escucha y ve.
El maestro puede cualificar su trabajo en el aula aprovechando las posibilidades que ofrecen las
TIC. Por ejemplo, diversificar y enriquecer los contenidos académicos a los que hace referencia,
aprovechando las múltiples fuentes de información de internet; puede mejorar las propuestas de escritura
que propone a sus estudiantes utilizando el procesador de texto, lo cual les permite que se concentren
más en elaborar, ampliar o precisar aspectos de contenido que, en corregir aspectos formales del texto,
en algunos casos, irrelevantes. También aumentar la motivación hacia la lectura ofreciendo a los
estudiantes escritos en formato hipermedial, y fomentar la capacidad de trabajo en grupo mediante
herramientas como el correo electrónico o el chat.
Agregar valor a los procesos educativos que se desarrollan es lo que da sentido al uso de
tecnología en el aula, lo que implica conocer qué se está haciendo bien y mal, y cuáles son los estados
deseados y por qué. Puede tener sentido, dentro de este contexto, intentar agregar valor con una o más
iniciativas (ver Tecnologías y valor agregado).
Es importante que el docente tenga una idea muy clara del potencial de cada uno de los recursos
tecnológicos a su alcance, así como de las limitaciones de un proceso educativo, saber diagnosticar en
vivo y en directo y a partir de información articulada. Sobre esta base, el docente debe ser capaz de
diseñar y poner en funcionamiento ambientes de aprendizaje.
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Las tecnologías, en especial las TIC, deben ser parte integral de la educación moderna,
permitiendo con su uso efectivo llevar a cabo la misión de divulgación e investigación en las
instituciones educativas. El computador debe sobrepasar sus funciones tradicionales, como simple
herramienta de procesamiento de texto y computación individual, para convertirse en herramienta de uso
comunitario que facilite el desarrollo y la coordinación de tareas cooperativas con base en la
información. Las actividades escolares colaborativas, desde cualquiera de las áreas temáticas del
currículo, son el eje de innovación en aspectos socioculturales propios del entorno pedagógico. Este tipo
de actividad tecnológica involucra el desarrollo y crecimiento del talento humano como un proceso
cooperativo espontáneo y efectivo, contrastando con la actual cultura basada en la competitividad y la
propiedad intelectual.
Estas actividades cooperativas permiten la comunicación, tanto interna como externa, de tal
forma que el grupo que trabaja en un proyecto dado pueda intercambiar información con otros. En este
proceso los grupos pueden consultar diferentes aspectos del diseño, recibir datos pertinentes, consultar
directamente a expertos nacionales e internacionales y, en general, desarrollar las habilidades de
comunicación y sistematización de información que son centrales en el proceso científico y tecnológico.
Aprendizaje, eficiencia y multimedios
Entre las razones que exhibe la literatura especializada para explicar la eficiencia de los
multimedios como herramienta de aprendizaje, se destacan:
• La similitud o isomorfismo entre la estructura de un programa hipermedial y la
forma natural como la gente aprende, según lo explican las teorías sobre procesamiento de
información
• La interactividad que permite el computador
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• La flexibilidad en el acceso y manejo de información
• La variedad y riqueza de los contenidos
• Los efectos motivacionales
• La posibilidad de una enseñanza más estructurada
• La opción de retroalimentación inmediata.
Tecnologías y valor agregado
A continuación, se mencionan algunas iniciativas para agregar valor a los procesos educativos en
el aula:
• Cuando los procesos educativos son muy individualistas o carentes de
construcción de conocimiento, cabe promover mayor colaboración entre aprendices mediante el
uso de tecnologías de comunicación para interactuar, la exploración conjetural de ambientes
experienciales o el uso creativo de herramientas de productividad.
• Simplificar y repotenciar procesos de aprendizaje por indagación dejando a la
tecnología la captura o el procesamiento de la información y a los usuarios la definición de qué
hacer, cómo hacer y cómo saber que lo hecho está bien.
• Apoyar la toma de decisiones basada en información por parte de estudiantes,
docentes y padres de familia, mediante el acceso a bases de datos y a sistemas de información
relevantes, oportunos y precisos.
Ventajas pedagógicas y didácticas de las TIC
En contraste con la educación tradicional, las opciones pedagógicas y didácticas apoyadas en las
nuevas Tecnologías de la información y la comunicación (TIC) ofrecen las siguientes ventajas:
• Más centradas en los intereses y posibilidades del alumno
• Pueden estimular más el pensamiento crítico
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• Utilizan múltiples medios para presentar información
• Ofrecen condiciones adecuadas para el aprendizaje cooperativo
• Permiten que el maestro privilegie su rol como facilitador de aprendizaje
• Hacen del alumno un aprendiz más activo
• Estimulan y ofrecen condiciones para el aprendizaje exploratorio
• Fomentan un estilo de aprendizaje más libre y autónomo
¿Cómo pueden desarrollarse las competencias con el uso de las TIC?
Los multimedios permiten crear entornos de aprendizaje y estrategias didácticas en las cuales el
acto de aprender se convierte en una experiencia vivencial que trasciende el ámbito de lo puramente
cognoscitivo. Por ejemplo, una ecuación algebraica expuesta en un tablero o en un libro puede parecer a
un alumno algo muy abstracto, sin conexión con su experiencia previa. No obstante, si presentamos esta
misma ecuación en un contexto que incluya gráficos, animaciones y sonido podemos transformarla en
una entidad audiovisual animada, cuyos parámetros son modificables. El hecho de que el alumno pueda
relacionar un concepto matemático con algo tangible y real, lo hace más comprensible.
Asimismo, estos medios permiten simular, con gran realismo, diversidad de experimentos que,
realizados en un laboratorio, resultarían muy costosos o peligrosos. Fenómenos como un huracán, un
terremoto, una explosión nuclear o una erupción volcánica pueden confinarse al espacio de una pantalla
para ser analizados y estudiados. También se pueden desarrollar sistemas que representen visualmente
una mitosis celular, la explosión de una estrella supernova o el comportamiento de los átomos en una
reacción química. Tales representaciones son interactivas porque permiten al usuario elegir un
determinado nivel de detalle o una escala temporal, controlar varios parámetros y observar un mismo
proceso o fenómeno desde múltiples perspectivas.
35
En las ciencias sociales y humanas también es viable aprovechar la capacidad de los multimedios
para capturar aspectos complejos de la realidad y traerlos al salón de clase. Muchos fenómenos sociales
que ocurren durante largos períodos de tiempo y en los cuales el contexto suele jugar un papel
determinante, resultan muy complejos para enseñar. La tecnología multimedial es un recurso
especialmente valioso para ilustrar estos aspectos intrincados del currículo, pues permite pasar de la
exposición verbal de los acontecimientos a una presentación más dinámica e interactiva. Así mismo, se
pueden alterar algunos parámetros de estos fenómenos, observando inmediatamente los efectos
resultantes. Por ejemplo, acelerar o reducir la dimensión temporal en que ocurre un hecho histórico o
social.
Una obra literaria también puede transformarse en algo más vivo e inquietante cuando se aprecia
en un documento multimedial. La ficción interactiva, en la cual el lector tiene la opción de cambiar la
trama o el desenlace, es hoy una realidad. Estas nuevas tecnologías expanden el universo de recursos
simbólicos que se pueden utilizar en la composición: audio, video, fotografías, materiales gráficos etc.
Con el apoyo de estas tecnologías, los estudiantes pueden simular algunas condiciones ideales
del trabajo científico y cotejarlas con observaciones y fenómenos del mundo real. Por ejemplo, en la
experiencia cotidiana no es fácil encontrar una realidad sin fricción como la descrita en la física de
Newton. Tampoco tenemos la oportunidad de observar qué sucede realmente cuando chocamos con algo
que ya está en movimiento. Ciertos programas proporcionan un mundo virtual en el que se puede jugar
con parámetros; por ejemplo, activando o desactivando la fricción, o ajustando la gravedad. El aprendiz
tiene la oportunidad de contrastar su propia concepción o modelo del universo con el presentado por
Newton e intentar establecer una mediación entre ambos. De esta manera los estudiantes desarrollan un
sentido intuitivo del significado de conceptos muy complejos y difíciles de aislar, como los de fuerza,
velocidad y aceleración.
36
Cada una de las competencias tiene muchas posibilidades de apoyo. Por ejemplo, matemáticas y
ciencias se podrían apoyar con tecnología, como complemento a lo que se hace con libros y ejercicios de
papel y lápiz, poniendo a disposición de profesor y estudiantes, manipulativos donde pudieran vivir
experiencias que ayuden a entender los conceptos. El reto principal para el aprendiz es hacer explícito el
conocimiento tácito que tienen los manipulativos, explicando cómo y por qué funcionan de cierta
manera o de otra. Muchos alumnos saben hacer las operaciones, sacar las respuestas, pero no plantear
los problemas, pues no entienden los conceptos matemáticos o científicos que están detrás de ellos.
Romper el bloqueo mental con actividades lúdicas y creativas apoyadas en uso de manipulativos puede
hacer la diferencia.
Las destrezas comunicativas y ciudadanas tienen un gran potencial de apoyo en las herramientas
multimediales e interactivas con que se cuenta hoy en día. Cabe usar videos para reflexionar sobre
procesos de grupo, sobre habilidades de expresión verbal y no verbal, para refinar muchas habilidades
que son necesarias a nivel individual y personal. Cabe usar internet, preferiblemente asincrónico, para
tomar parte en procesos reflexivos y de indagación, donde el diálogo textual es la base de la
comunicación. Y, por supuesto, cabe usar las herramientas de productividad (procesador de texto,
graficador, manejador de base de datos, entre otras), para simplificar los procesos de expresión verbal,
gráfica, artística.
Lo único que no se puede hacer es pensar que las nuevas tecnologías van a hacer diferencia por
el hecho de estar disponibles para maestros y/o estudiantes; contribuirán a que haya diferencia en el
desarrollo de estas competencias en la medida en que existan maestros que sepan lo que se puede hacer
con ellas, exploren y reflexionen sobre cómo hacerlo y participen en comunidades de práctica que
compartan los hallazgos y los nuevos retos que se van presentando.
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Desde la óptica de los procesos de aprendizaje, ¿qué ofrecen las TIC a docentes, directivos,
alumnos, padres de familia y comunidad en general?
A los docentes les permite acercarse de manera inmediata al conocimiento de frontera de
sus áreas específicas, lo que significa actualización en los contenidos. Ellos actúan entonces como
divulgadores de las fuentes de información, mas no como transmisores de conocimientos, lo cual los
libera de una inversión de tiempo considerable que pueden emplear en una planeación más estratégica
de sus actividades académicas. Es una alternativa para participar institucionalmente en redes de
aprendizaje y conocimiento.
Para los directivos, las TIC permiten el acceso a herramientas que mejoran su gestión
administrativa y académica, su comunicación con la comunidad escolar; igualmente, compartir
experiencias de administración educativa que han sido exitosas y ampliar el radio de acción de la
institución a comunidades educativas rurales.
Para los estudiantes pueden significar la entrada a nuevos entornos de aprendizaje, a más y
mejores fuentes de información; es una posibilidad de aprender sin las restricciones espaciotemporales
que implica la educación presencial; disminuir la dependencia del profesor como fuente exclusiva de
conocimiento e información; experimentar la condición de sentirse ciudadanos del mundo a través de
herramientas como el chat o el correo electrónico, acercándose a otras creencias, costumbres, ideas y
expresiones artísticas.
Los padres de familia encontrarán en estas tecnologías una garantía de que sus hijos reciben una
educación que les permite responder más exitosamente a las demandas laborales y sociales de un mundo
cada vez más globalizado.
La comunidad puede obtener los mismos beneficios que tienen los demás actores educativos:
acceso a múltiples fuentes actualizadas de información; comunicación ágil y de bajo costo con personas
38
e instituciones de todo el mundo; posibilidad de vivir experiencias de aprendizaje que se ofrecen a través
de medios y espacios virtuales; aprovechar el poder que tienen muchas herramientas informáticas -como
un procesador de texto, una hoja de cálculo o una base de datos-, para optimizar el trabajo.
Aunque los multimedios son muy efectivos para presentar módulos de instrucción previamente
diseñados, su verdadero poder educativo se desencadena cuando son utilizados por el maestro y los
alumnos para crear sus propios materiales y experiencias de aprendizaje. Esta posibilidad de que ambos
agentes participen como autores en la búsqueda y organización de sus objetos de conocimiento abre
horizontes ilimitados de renovación pedagógica. Ahora el maestro puede ilustrar su magisterio con
exposiciones que vinculan a la realidad y a la vida los temas más abstractos y complejos. Los estudiantes
pueden redescubrir el valor y el gusto por la educación, involucrándose en el desarrollo de proyectos que
comprometen su dinamismo, retan su imaginación y estimulan sus búsquedas intelectuales.
Interacción es la mayor oportunidad: con otros, con objetos de conocimiento y con herramientas
de trabajo relevantes a los intereses y necesidades de cada quien. Quienes no tienen acceso a nuevas
tecnologías, al menos en forma continuada, no por esto se ven carentes de interacción; sólo que ésta es
predominantemente local y limitada.
Si se aprovechan para ayudar a desarrollar la capacidad de aprender, puede tener grandes
ventajas. Pero si se limitan a transmitir mejor lo mismo, quizás se logre generar más pereza mental y
mayor capacidad de asimilación, sin tener necesidad de procesamiento profundo. Todo depende de
cómo se use la tecnología, más que de la mera disposición de esta. Entre las asignaturas del currículo,
las matemáticas han sido tradicionalmente un dolor de cabeza para educadores, padres y estudiantes. Un
alto porcentaje de estudiantes sienten temor y falta de gusto cuando se enfrentan a esta materia. Las
39
pruebas saber, aplicadas por el icfes recientemente, muestran que hay mucho por hacer para lograr
mejores resultados en la enseñanza de las matemáticas.
Estas pruebas evidenciaron que los estudiantes realizan fácilmente operaciones simples en las
que se involucran una o dos variables, pero presentan problemas cuando deben relacionar variables
complejas y deben leer, incorporar o elaborar gráficos en la resolución de problemas. por ejemplo, en el
caso de grado 9º, solo el 13% de los estudiantes llegaron al nivel e (comprensión de problemas que no
tienen información completa) cuando se esperaba que fuera superado por el 55% y solo el 4% llegaron
al nivel f (comprensión de problemas en los que deben descubrir las relaciones no explícitas) y el icfes
esperaba que el 35% de los estudiantes superara este nivel .
La educación básica y media debe tener como propósito que los estudiantes alcancen las
'competencias matemáticas' necesarias para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y
procedimientos matemáticos. que puedan a través de la exploración, abstracción, clasificación, medición
y estimación, llegar a resultados que les permitan comunicarse y hacer interpretaciones y
representaciones; es decir, descubrir que las matemáticas si están relacionadas con la vida y con las
situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la escuela. En la información sobre las pruebas
saber, el icfes plantea que estas 'competencias matemáticas' se evidencian cuando los estudiantes:
• reconocen, nombran y dan ejemplos referidos a conceptos.
• usan modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos y situaciones
matematizables
• identifican y aplican algoritmos, conceptos, propiedades y relaciones
• realizan traducciones entre diferentes formas de representación
• comparan, contrastan e integran conceptos
• reconocen, interpretan y usan diferentes lenguajes (verbal, gráfico, tabular)
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• enuncian e interpretan conjeturas acerca de regularidades y patrones
• reconocen, relacionan y aplican procedimientos adecuados
• usan, interpretan y relacionan datos
• crean y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas
• generan procedimientos diferentes a los enseñados en el aula
• enriquecen condiciones, relaciones o preguntas planteadas en un problema
• utilizan el razonamiento espacial y proporcional para resolver problemas, para justificar y
dar argumentos sobre procedimientos y soluciones.
Como podemos ver, para lograr este propósito es necesario propiciar un cambio en la forma de
enseñar las matemáticas ya que la enseñanza tradicional en esta asignatura ha probado ser poco efectiva.
Según los reportes del consejo nacional de profesores de matemáticas de estados unidos (NCTM, por sus
siglas en inglés), los maestros deberían tener en cuenta las mejores prácticas para enseñar matemáticas
sugeridas por ellos en el libro "mejores prácticas, nuevos estándares para la enseñanza y el aprendizaje" .
• ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática
• ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan
confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación
• realizar actividades que promuevan la participación activa de los estudiantes en hacer
matemáticas en situaciones reales
• entender y utilizar patrones y relaciones, estos constituyen una gran parte de la habilidad
o competencia matemática
• propiciar oportunidades para usar el lenguaje con el fin de comunicar ideas matemáticas
• ofrecer experiencias en las que los estudiantes puedan explicar, justificar y refinar su
propio pensamiento, sin limitarse a repetir lo que dice un libro de texto
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• desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y
soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación
(gráficas, tablas) y análisis
En cuanto a la integración de las tic en los procesos de aprendizaje de las matemáticas, nos
hemos basado en el planteamiento de andee rubín, quien agrupa en cinco categorías los diferentes tipos
de herramientas para crear ambientes enriquecidos por la tecnología: conexiones dinámicas;
herramientas avanzadas; comunidades ricas en recursos matemáticos; herramientas de diseño y
construcción; y herramientas para explorar complejidad.
Conexiones dinámicas manipulables: las matemáticas están cargadas de conceptos abstractos
(invisibles) y de símbolos. En este sentido, la imagen cobra un valor muy importante en esta asignatura
ya que permite que el estudiante se acerque a los conceptos, sacándolos de lo abstracto mediante su
visualización y transformándolos realizando cambios en las variables implícitas. en los grados de
primaria se usan objetos físicos manipulables como apoyo visual y experimental; en secundaria, se
utilizan manipulables virtuales cuando no es posible tener objetos físicos. el software para geometría
dinámica posibilita ver qué sucede al cambiar una variable mediante el movimiento de un control
deslizador (al tiempo que se mueve el deslizador, se pueden apreciar las distintas fases o etapas de los
cambios en la ecuación y en su representación gráfica). las simulaciones son otra herramienta valiosa
para integrar las tic en el currículo, especialmente en matemáticas y física. Estas proveen
representaciones interactivas de la realidad que permiten descubrir mediante la manipulación cómo
funciona un fenómeno, qué lo afecta y cómo este influye en otros fenómenos.
Herramientas avanzadas: las hojas de cálculo, presentes en todos los paquetes de programas de
computador para oficina, pueden ser utilizadas por los estudiantes en la clase de matemáticas como
42
herramienta numérica (cálculos, formatos de números); algebraica (formulas, variables); visual
(formatos, patrones); gráfica (representación de datos); y de organización (tabular datos, plantear
problemas).
Por otro lado, a pesar de la controversia que genera el uso de calculadoras por parte de los
estudiantes, hay mucha evidencia que soporta su uso apropiado para mejorar logros en matemáticas. Las
calculadoras gráficas enfatizan la manipulación de símbolos algebraicos, permitiendo graficar funciones,
ampliarlas, reducirlas y comparar las gráficas de varios tipos de funciones. Adicionalmente, las
herramientas para graficar y analizar datos posibilitan que el estudiante descubra patrones en datos
complejos, ampliando de esta forma su razonamiento estadístico. el nivel de tecnología utilizada en las
empresas es cada día mayor. muchos puestos de trabajo incluyen herramientas informáticas (hoja de
cálculo, calculadora, calculadora gráfica, software para analizar y graficar datos) y se espera del sistema
educativo que prepare a los estudiantes para desenvolverse con propiedad con estas tecnologías.
Comunidades ricas en recursos matemáticos:
Los maestros pueden encontrar en internet miles de recursos para enriquecer la clase de
matemáticas, como: simulaciones, proyectos de clase, calculadoras; software para resolver ecuaciones,
graficar funciones, encontrar derivadas, elaborar exámenes y ejercicios, convertir unidades de medida,
ejercitar operaciones básicas, construir y visualizar figuras geométricas, etc. el desarrollo profesional es
otro aspecto en el cual internet hace una contribución importante: cientos de cursos en varios campos de
la matemática; foros y listas de discusión que se convierten en espacios de conversación e intercambio
de información, en los que participan maestros de todo el mundo; descarga de artículos y trabajos
académicos escritos por autoridades en esta área; suscripción a boletines y revistas electrónicas, etc.
internet, el más poderoso sistema de comunicación que haya conocido la humanidad, posibilita la
creación de ambientes colaborativos y cooperativos en el ámbito local, nacional o internacional, y en los
43
cuales docentes y estudiantes comparten proyectos y opiniones sobre un tema en particular. los
estudiantes también pueden encontrar en este medio una variedad de bases de datos con información de
todo tipo: sismográfica, demográfica, climática, ambiental, etc, o participar en la creación de grandes
bases de datos. Además, cuando la información colectada por ellos se correlaciona con algunas variables
geográficas, los estudiantes pueden comparar sus datos con los de otras escuelas de lugares distantes.
Herramientas de diseño y construcción:
Otra aplicación de la tecnología, en el área de matemáticas, consiste en el diseño y construcción
de artefactos robóticos. Mediante un lenguaje de programación los estudiantes pueden controlar un
"ladrillo" programable (rcx) .La construcción de artefactos robóticos desarrolla en el estudiante su
"razonamiento mecánico" (física aplicada), este debe tomar decisiones sobre tipos de ruedas, poleas,
piñones; aplicar los conceptos de fuerza, rozamiento, relación, estabilidad, resistencia y funcionalidad.
por otra parte, la programación de dichos artefactos, para que realicen acciones específicas, desarrolla en
el estudiante la "inteligencia lógica", tan importante para las matemáticas.
La programación en lenguaje logo incorpora conceptos matemáticos (ej: dibujar figuras
geométricas) al tiempo que introduce a los estudiantes en temas como iteración y recursión. Los
micromundos son ambientes de aprendizaje activo, en el que los niños pueden ejercer control sobre el
ambiente exploratorio de aprendizaje en el que pueden navegar, crear objetos y manipularlos,
observando los efectos que producen entre si. en matemáticas, se utilizan micromundos para probar
conjeturas en álgebra y geometría, mediante la construcción y manipulación de objetos, con el fin de
explorar las relaciones existentes en el interior de estos objetos y entre ellos.
El uso de software para diseñar esculturas de "origami" en tres dimensiones (3d) también ayuda a
desarrollar las habilidades geométricas.
Herramientas para explorar complejidad:
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Un desarrollo importante de la tecnología en el campo de las matemáticas consiste en el
creciente número de herramientas para el manejo de fenómenos complejos. se destaca en esta categoría
el software para modelado de sistemas específicos que permite, a quienes no sean programadores, crear
"agentes" con comportamientos y misiones, enseñar a estos a reaccionar a cierta información y
procesarla en forma personalizada. además, mediante la combinación de varios agentes, se pueden crear
sofisticados modelos y simulaciones interactivas. la teoría del caos y los fractales también son campos
en los cuales la tecnología impacta las matemáticas. por otro lado, un conjunto de herramientas del
proyecto simcalc permiten enseñar conceptos de cálculo por medio de micromundos animados y
gráficas dinámicas. los estudiantes pueden explorar el movimiento de actores en estos micromundos
simulados, y ver las gráficas de actividad, posibilitando la comprensión de importantes ideas del cálculo.
explorar estos conceptos realizando cálculos manuales es prácticamente imposible dado el numero
astronómico de operaciones necesarias para poder apreciar algún tipo de patrón. el uso de computadores
permite al estudiante concentrarse en el análisis de los patrones y no en las operaciones matemáticas
necesarias para que estos aparezcan.
Las herramientas tecnológicas, agrupadas en estas cinco categorías, ofrecen al maestro de
matemáticas la oportunidad de crear ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes
perciban las matemáticas como una ciencia experimental y un proceso exploratorio significativo dentro
de su formación.
Las herramientas tecnológicas ofrecen al maestro de matemáticas la oportunidad de crear
ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes la perciban como ciencia experimental y
proceso exploratorio significativo dentro de su formación.
Autor: Juan Carlos López García | Publicado: 2003-12-01
45
Anexo D. Las TIC en la matemática
Incorporación de las tecnologías de información y comunicación. La tecnología realza el
aprendizaje y apoya la enseñanza de la matemática
Martínez (2003) dice que las nuevas tecnologías precisan de unas necesidades previas, sin las
cuales no puede hablarse de su incorporación a ningún ámbito de la enseñanza. Estas son:
El acceso técnico: Tiene que ver con la posibilidad material de disponer de acceso a estas
tecnologías a los medios y servicios que proporcionan.
El acceso práctico: Se relaciona con la disponibilidad del tiempo necesario para el empleo de las
tecnologías, al igual que con preparar el proceso de su uso como soporte para la enseñanza y como
medio para el aprendizaje.
El acceso operativo: Referido a los conocimientos que van a permitir el manejo de la
herramienta tecnológica.
El acceso criterial: La utilización de las tecnologías precisa de una actitud previa crítica con la
propia tecnología y que facilita la toma de decisiones sobre su utilización. La posibilidad de responder a
la pregunta de por qué esta tecnología aquí y ahora es una cuestión fundamental.
El acceso relacional científico tecnológico: Vinculado con los requisitos previos que necesitan
tener del proceso de enseñanza en que se pretende incidir con las tecnologías.
Unidos a tales necesidades, se encuentran los principios que instituye el Consejo Estadounidense
de Profesores de Matemática (NCTM), los cuales atañen a:
Equidad: La excelencia en matemática educativa requiere de equidad, expectativas altas y un
fuerte apoyo para todos los estudiantes.
Currículo: Es mucho más que una colección de actividades. Debe ser coherente y centrado en
temas matemáticos importantes que estén bien articulados en los diferentes grados escolares.
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Enseñanza: La enseñanza efectiva de las matemáticas requiere de entender qué saben los
estudiantes y qué necesitan aprender. A partir de ello, hay que retarlos y apoyarlos para que logren una
buena formación.
Aprendizaje: Los estudiantes necesitan aprender matemáticas entendiéndolas e interpretándolas
cognitivamente, deben construir conocimientos de manera activa, a partir de sus experiencias y el saber
anterior.
Evaluación: La evaluación tiene que apoyar el aprendizaje de conceptos matemáticos
importantes, además de suministrar información útil tanto a los docentes como a los estudiantes.
Tecnología: En su sentido más amplio, resulta esencial en la enseñanza y el aprendizaje, ya que
influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Las
tecnologías específicas como, por ejemplo, las electrónicas (calculadoras y computadoras) son
herramientas muy útiles para enseñar, aprender y hacer matemáticas. De igual manera, ofrecen
representaciones de instrucciones basadas en axiomas, teoremas y leyes matemáticas, facilitan la
organización y análisis de los datos y permiten que se hagan cálculos de manera eficiente y exacta.
Las TIC pueden apoyar a las investigaciones de los alumnos en varias áreas de las matemáticas,
como números, medida, geometría, estadística, álgebra, pues se espera que cuando dispongan de ellas
logren concentrarse en tomar decisiones, razonar y resolver problemas. La existencia, versatilidad y
poder de las TIC hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los alumnos, así
como examinar la mejor forma en que puedan aprenderlas.
Este es el momento de establecer el vínculo entre el constructivismo y la matemática educativa
asistida por las tecnologías de información y comunicación. Cabe preguntarse, entonces: ¿cómo usar las
TIC con un enfoque constructivista en matemática educativa? Al respecto, Sánchez (2000) da los
siguientes enunciados:
47
– Como herramientas de apoyo al aprender, con las cuales se pueden realizar actividades que
fomenten el desarrollo de destrezas cognitivas superiores en los alumnos.
– Como medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.
– Como extensoras y amplificadoras de la mente, a fin de que expandan las potencialidades del
procesamiento cognitivo y la memoria, lo cual facilita la construcción de aprendizajes significativos.
– Como medios transparentes o invisibles al usuario, que hagan visible el aprender e invisible la
tecnología.
– Como herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que potencia su
uso con metodologías activas como proyectos, trabajo colaborativo, mapas conceptuales e inteligencias
múltiples, donde aprendices y facilitadores coactúen y negocien significados y conocimientos, teniendo
a la tecnología como socios en la cognición.
El conocer y el aprender lo hacen y construyen los aprendices Sánchez precisa que la tecnología
sólo es una herramienta con una gran capacidad que, cuando es manejada con una metodología y diseño
adecuado, puede ser un buen medio para construir y crear.
Al conocer los beneficios del uso de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, y tras revisar cómo usarla con un enfoque constructivista; surge otra interrogante: ¿Se
puede construir conocimiento matemático usando las TIC? Si bien es cierto que los individuos adquieren
información desde los ámbitos de la familia, la escuela y los medios de comunicación (Cebrián de la
Serna, 1999), la función del educador será ayudar al individuo a que encarne estas tres corrientes de
influencias en un mismo caudal, lo cual hará que potencie y desarrolle su personalidad (afectiva, social y
cognitiva) en forma más equilibrada e integral con el mundo que lo rodea.
Por ello, se pretende que el conocimiento que los alumnos construyan en las aulas esté formado
bajo la reflexión y fórmulas de trabajo colaborativo, así como que tenga miras hacia el surgimiento de
48
un pensamiento racional y científico (Cebrián de la Serna, 1999). Esto parte del conocimiento previo,
que abarca al que trae el alumno al aula producto de sus experiencias previas, donde residen muchos
conocimientos que obtuvieron a través de medios de comunicación y otros recursos tecnológicos. El
conocimiento previo es uno de los principios del aprendizaje constructivista; entre sus características
podemos señalar:
– Implicación directa del alumnado en el aprendizaje y en la enseñanza al estar en contacto con
situaciones del mundo real y cercano donde utilizan recursos tecnológicos.
– Surgimiento de nuevas temáticas en la investigación que despiertan el interés y la motivación
del alumnado.
– Desarrollo de procesos y capacidades mentales de niveles superiores en proyectos
informáticos.
Dichos rasgos implican la concepción de las TIC no sólo como medios, sino como elementos
motivadores, creadores, que facilitan los procesos cognitivos de manera integrada con los demás
elementos del currículo.
Por otro lado, es relevante el contenido matemático que desarrollará el docente al ocupar las TIC.
Esto concierne a qué se debe abordar desde el punto de vista de los contenidos para que haya una
comprensión del conocimiento matemático, mientras el docente usa las tecnologías de información y
comunicación en sus prácticas pedagógicas.
Al respecto, Gallardo y González (2006) expresan que la comprensión del conocimiento
matemático es un objeto de investigación que tiene un interés creciente en matemática educativa. No
obstante, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes, lo cual
implica la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y que se preocupen menos por el estudio
directo de sus aspectos internos.
49
Esto conduce a los docentes que incorporan las TIC a determinar y clasificar el tipo de
situaciones que propicien el aprendizaje y la comprensión del conocimiento matemático. Por tanto, la
valoración precisa de un análisis situacional que inicia con una búsqueda de aquellas situaciones donde
tiene sentido el uso del conocimiento matemático considerado, para lo cual se aconseja que se lleve a
cabo una labor de categorización y selección de situaciones que organice, simplifique y haga más
manejable el conjunto asociado.
Con base en argumentos de esta índole, algunos autores como Rojano (2006), opinan que para la
enseñanza de la matemática se necesita de modelos específicos con tecnología, bajo los siguientes
principios:
– Didáctico, mediante el cual se diseñan actividades para el aula siguiendo un tratamiento
fenomenológico de los conceptos que se enseñan.
– De especialización, por el que se seleccionan herramientas y piezas de software de contenido.
Los criterios de selección se derivan de la didáctica de la matemática.
– Cognitivo, por cuyo conducto se seleccionan herramientas que permiten la manipulación
directa de objetos matemáticos y de modelos de fenómenos mediante representaciones ejecutables.
Empírico, bajo el cual se seleccionan herramientas que han sido probadas en algún sistema educativo.
– Pedagógico, por cuyo intermedio se diseñan las actividades de uso de las TIC para que
promuevan el aprendizaje colaborativo y la interacción entre los alumnos, así como entre profesores y
alumnos.
– De equidad, con el que se seleccionan herramientas que permiten a los alumnos de secundaria
el acceso temprano a ideas importantes en ciencias y matemáticas.
50
Entre el conjunto de la toma de decisiones para el diseño de los modelos, una de las más
complejas reside en la selección de herramientas, ya que sus principios permiten formular criterios para
elegir qué instrumentos deberían:
– Estar relacionados con un área específica de la matemática escolar.
– Contar con representaciones ejecutables de objetos, conceptos y fenómenos de la matemática.
– Permitir un tratamiento fenomenológico de los conceptos matemáticos y científicos.
– Ser útiles para abordar situaciones que no pueden abordarse con los medios tradicionales de
enseñanza.
– Poder utilizarse con base en el diseño de actividades que promuevan un acercamiento social del
aprendizaje.
– Permitir que se promuevan prácticas en el aula donde el profesor guía el intercambio de ideas y
las discusiones grupales, a la vez que actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta.
El hecho de conocer e identificar el conjunto de entornos tecnológicos de aprendizaje que
cumplan con tales criterios hace posible el diseño de los modelos pedagógicos, de los tratamientos
didácticos pertinentes en los temas de enseñanza, al igual que del aula, con la tecnología apropiada. Los
diseños necesariamente se encuentran ligados al conocimiento didáctico, que el profesor pone en juego
cuando realiza el análisis didáctico (Gómez y Rico, 2006). Asimismo, dicho saber tiene unos
conocimientos disciplinares de referencia que se estructuran en tres ejes: noción de currículo,
fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores del currículo.
Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la
planificación y estructuración del uso de las TIC y la forma como se espera que entren en juego al hacer
el análisis didáctico, se podrá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la asignatura. Por
otra parte, la reflexión de cómo el profesor construye el conocimiento didáctico en la práctica y la
51
postura sociocultural con respecto al aprendizaje de los futuros profesores permiten sentar las bases en
las que se diseñan los esquemas metodológicos y de evaluación (Gómez y Rico, 2006).
Cabe señalar el papel preponderante que asume la interacción social a través del lenguaje y la
comunicación entre docentes y alumnos, donde se puede evidenciar el aprendizaje colaborativo y
cooperativo como una de las características que distingue al constructivismo.
Un ejemplo que ilustra el empleo de las TIC con un enfoque constructivista en la enseñanza de la
matemática es el Aprendizaje por Proyectos (ApP), al que se conocía hace algunos años
como aprendizaje por problemas. El cambio se debió a que el aprendizaje por problemas tenía un
enfoque específico (abordaba un solo problema a la vez), mientras que el Aprendizaje por Proyectos
soluciona diversos y numerosos problemas.
El ApP tiene como rasgo fundamental que cada proyecto no se enfoca a aprender acerca de algo,
sino en hacer algo; es decir, involucra una acción.
Según Moursund (1999), el Aprendizaje por Proyectos tiene como objetivos:
Desarrollar competencia. Para los estudiantes, el objetivo del proyecto es aumentar su
conocimiento y habilidad en una disciplina o en un área de contenido interdisciplinario. Con frecuencia,
cuando el alumno realiza un proyecto alcanza un nivel de habilidad elevado en el área específica que
está estudiando y hasta puede convertirse en la persona que más sabe sobre un tema específico. Algunas
veces, su nivel de conocimiento puede exceder al del profesor.
Mejorar las habilidades de investigación. El proyecto requiere de aptitudes para investigar y
ayuda a que se desarrollen.
Incrementar las capacidades mentales de orden superior. Capacidad de análisis y
síntesis. Esto se logra cuando el proyecto es retador y va enfocado a que los estudiantes
desarrollen tales habilidades.
52
Aprender a usar las TIC. Los alumnos incrementan el conocimiento y habilidad que tienen en
las TIC a medida que trabajan en el proyecto. Un proyecto puede diseñarse con el objetivo específico de
alentar en los estudiantes la adquisición de nuevas habilidades y conocimientos en las tecnologías.
Aprender a autoevaluarse y evaluar a los demás. Los estudiantes aumentan su habilidad de
autoevaluación, con lo que se responsabilizan de su trabajo y desempeño. También aprenden a evaluar el
trabajo y desempeño de sus compañeros y a darles retroalimentación.
Desarrollar un portafolio. Requiere que los estudiantes hagan un proyecto, una presentación o
una función de alta calidad que forme parte del grado escolar que cursen.
Comprometerse en un proyecto. Los alumnos se comprometen activa y adecuadamente a
realizar el trabajo del proyecto, de ahí que se encuentren motivados de manera interna: tal es una meta
del proceso. El profesor puede efectuar observaciones diarias que permitan establecer si el estudiante
tiene un compromiso con la tarea o si muestra una colaboración ejemplar.
Ser parte de una comunidad académica. Todos los estudiantes, profesores o grupo social se
convierten en una comunidad académica donde se trabaja de manera cooperativa y se aprende uno de
otro. Esta comunidad se expande para incluir a padres, alumnos de otras aulas y otras personas.
Trabajar en ideas que son importantes. El proyecto debe enfocarse a temas que tengan
continuidad y sean relevantes para el profesor, el colegio y demás miembros de la comunidad. Por
ejemplo, el trabajo interdisciplinario tiene que perfilarse como una de las metas que conformen los
proyectos.
Dado que el constructivismo se afinca en la creciente comprensión del cerebro humano, pues
atiende a cómo aprende o cómo el aprendizaje amplía el conocimiento previo, los profesores tienden a
convertirse en mediadores. Sin embargo, como señala Moursund (1999), no todos los docentes enseñan
de manera estrictamente didáctica ni constructivista, ya que recurren a los dos enfoques.
53
El Cuadro III, presenta las áreas del currículo, la instrucción y la evaluación desde los enfoques
didáctico y constructivista. En las tres se introducen las Tecnologías de Información y Comunicación
como único componente educativo y su implicación en la instrucción didáctica y constructivista.
Desde el punto de vista del estudiante, el ApP promueve su motivación intrínseca; estimula el
aprendizaje colaborativo y cooperativo; permite que le haga mejoras continuas; está diseñado para que el
alumno se comprometa activamente en hacer cosas, en lugar de sólo aprender sobre algo, pues implica
que realice una presentación o actuación; es retador, y va enfocado a las habilidades mentales de orden
superior.
En cuanto a la perspectiva del docente, el ApP posee contenido y objetivos auténticos (del
mundo real); utiliza una evaluación centrada en la valoración del desempeño; es proporcionado por el
54
profesor; sus metas educativas son explícitas; afianza sus raíces en el constructivismo, y está diseñado
para que el profesor también aprenda.
La inclusión de las herramientas TIC han modificado la enseñanza en general, y en particular, la
enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, puesto que los variados recursos que hay en la actualidad,
ofrecen posibilidades de enseñar, usando conceptos de forma práctica, resolviendo problemas en
diversos contextos, simulando situaciones y fenómenos de aprendizaje, comunicando ideas matemáticas;
es decir que el aprovechamiento de las TIC permiten tener un laboratorio en clase, favoreciendo la
experimentación, el descubrimiento, el pensamiento crítico , la creatividad y la innovación en el proceso
de “hacer matemáticas”. (Mendoza, 2011)
Por lo anterior es importante generar propuestas que mejoren las condiciones para potencializar
el uso de ellas y crear mejores ambientes de aprendizaje de trabajo colaborativo, apoyando un proceso
activo de construcción del aprendizaje para las clases de matemáticas (Mendoza, 2011)
Teniendo en cuenta lo anterior y las investigaciones realizadas por (Coll 2008), se crea esta
propuesta pedagógica para favorecer el proceso didáctico de la enseñanza y el aprendizaje de la
función trigonométrica seno, a través de la AHD como instrumento mediada con Tic, mediante el
análisis respecto a la creación de recursos multimedia, los usos efectivos que profesores y alumnos
hacen de esta, las estrategias comunicativas entre alumnos, profesor, y contenidos, en el transcurso de
las actividades de enseñanza y aprendizaje en el aula.
55
La AHD como Sistema Hipermedia Adaptativo (SHA)
El término Sistema Hipermedia Adaptativo (SHA), se refiere a los sistemas basados en hipertexto
que tienen la capacidad de ajustar su funcionamiento a las metas, tareas, intereses y otras características
de los usuarios o grupos de usuarios (Brusilovsky, 1996).
Siguiendo el mismo autor, los SHA, poseen dos ventajas heredadas de los sistemas hipermedia
tradicionales:
• Los aspectos visuales son muy atractivos para el lector.
• Poder leer la información en un orden no secuencial proporciona al usuario mayor
libertad de navegación.
Nuestra AHD como instrumento didáctico para el aprendizaje, se ajusta a las características de
los SHA, dado que es un sistema hipermedia provisto de hipertextualidad, posee una estructura que
puede adaptarse a las características concretas de cada usuario, ( normalmente se tratarán de atributos
tales como necesidades de información, condiciones de acceso, experiencia y conocimientos), de esta
manera puede ofrecerle un material acorde a sus particularidades de acuerdo al modelo del usuario y al
dominio en el que se está trabajando. (Brusilovsky, 1996)
Para Amador Montaño y otros, la AHD como instrumento didáctico, una es un producto
multimedia, provisto de hipertextualidad que promueve procesos metacognitivos; se fundamenta en el
socioconstructivismo, configurándose como un instrumento psicológico (Coll, 2007) mediador de
procesos intra e intermentales implicados en la enseñanza y el aprendizaje, donde se establece como un
medio de representación del conocimiento y un sistema estratégico de comunicación para la
implementación de las TIC en procesos educativos, mediante el desarrollo de un diseño
tecnopedagógico (DTP) correspondiente a los fines de formación, modificando e innovando las
56
relaciones entre el maestro, el estudiante y el saber. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz
Bedoya, 2015).
Según Amador y otros (2015), La AHD es una estrategia didáctica que logra un
acercamiento a la enseñanza y al aprendizaje escolar desde las capacidades diferenciadas pues
basándose en la autorregulación implementa una secuencia didáctica en donde cada estudiante va
desarrollando los contenidos y actividades planeadas y propuestas por el maestro, que conducirán
progresivamente a la adquisición de los aprendizajes. (Amador Montaño, Rojas Garcia, & Sanchèz
Bedoya, 2015).
Material educativo en la enseñanza de matemáticas.
Los materiales educativos están constituidos por todos los instrumentos de apoyo, herramientas y
ayudas didácticas. Según Blázquez y Lucero (2002, p. 186) , Los medios didácticos pueden definirse
como «cualquier recurso que el profesor prevea emplear en el diseño o desarrollo del currículo (por su
parte o la de los alumnos) para aproximar o facilitar los contenidos, media las experiencias de
aprendizaje, provocar encuentros o situaciones, desarrollar habilidades cognitivas, apoyar sus estrategias
metodológicas, o facilitar o enriquecer la evaluación». Citado por (González, 2011).
En la actualidad, la tecnología, y especialmente la Internet se ha convertido en un medio que
ofrece un sin número de recursos digitalizados en línea que han sido creados para ponerlos en práctica
en el campo educativo, con la intención de favorecer el desarrollo curricular de diferentes áreas de
aprendizaje.
El aprendizaje de las Matemáticas puede beneficiarse de estas tecnologías dado que ofrecen
ventajas en cuanto a que presentan los conceptos de una forma más visual e interactiva, relacionan las
57
Matemáticas con otros aspectos de la vida para que resulten más accesibles a cualquier edad y añaden
un componente lúdico que las hace mucho más atractivas, incluyen propuestas transversales, interactivas
y multimedia para aritmética, geometría, álgebra o funciones y gráficas, así como otras para uso de
docentes. Algunos recursos que los maestros tienen para enseñar matemáticas se relacionan en el anexo:
N.º 0.2.
Usos de Material Educativo.
El empleo de medios y recursos requiere explicitar el modelo de construcción e integración de
los mismos, y el proceso de diseño y adecuación de la presentación del contenido instructivo mediante
la programación de unidades didácticas (Medina Rivilla, Domínguez Garrido, & Sánchez Romero,
2008.)
Por su parte, Marqués (2000), señala que los medios didácticos cumplen, entre otras, las
siguientes funciones:
1. Motivar, despertar y mantener el interés.
2. Proporcionar información
3. Guiar los aprendizajes de los estudiantes.
4. Organizar la información, relacionar conocimientos, crear nuevos conocimientos y
aplicarlos, etc.;
5. Evaluar conocimientos y habilidades;
6. Proporcionar simulaciones que ofrecen entornos para la observación, exploración y la
experimentación.
7. Proporcionar entornos para la expresión y creación. referenciado por (González, 2011)
58
Adaptación de Material educativo.
Para (Brusilovsky,2001) la adaptación del contenido consiste en la modificación de los
materiales a entregar a cada alumno, atendiendo a los diferentes parámetros del estado del curso (De Bra
et al., 1999). considera material educativo adaptativo a aquel capaz de sufrir modificaciones en función
de unas condiciones preestablecidas. (Arreaga, Fuente, Pardo, & Delgado, 2005)
La necesidad de adaptación de material educativo es muy natural, debido a que los
alumnos que participan en un curso poseen metas diferentes y un nivel de conocimiento previo
heterogéneo, por lo que básicamente cada alumno requiere de un tratamiento especial basado en sus
propias características. Brusilovsky presentó un listado con los rasgos de adaptación más populares
modelados dentro de diferentes tipos de sistemas adaptativos como son el conocimiento del usuario, sus
intereses, objetivos, la experiencia previa, los rasgos personales que identifican a cada individuo y el
contexto de trabajo. (Brusilovsky, 1996).
Tipos de adaptación.
Varios trabajos proponen una clasificación para los distintos tipos de adaptación. De entre todos
ellos, suele haber consenso en resaltar tres categorías principales, Así, se habla de:
• adaptación del contenido,
• de la interfaz o
• del flujo de aprendizaje. (Arreaga, Fuente, Pardo, & Delgado, 2005)
59
Adaptación del contenido:
Consiste en la modificación de los materiales a entregar a cada alumno, atendiendo a los
diferentes parámetros del estado del curso (De Bra et al., 1999). Así, un concepto puede ser estudiado a
través de vídeos, actividades, lecturas, etc. Cada alumno puede recibir un tipo de material según su
estilo de aprendizaje, trabajando todos ellos sobre el mismo concepto.
Adaptación de flujo de aprendizaje.
La adaptación del flujo de aprendizaje consiste en modificar el orden de realización de
actividades en función del estado del curso. Por ejemplo, existen alumnos que prefieren estudiar la teoría
antes de pasar a la fase de experimentación, mientras que otros prefieren adquirir la experiencia práctica
y luego encontrar los fundamentos teóricos
Adaptación de la interfaz.
Un tercer tipo de adaptación se basa en la posibilidad de modificar el formato en el que los
materiales son presentados. Esta modificación puede ser debida al tipo de dispositivo con el que los
participantes del curso acceden al material. Por ejemplo, el acceso a través de un dispositivo móvil
requerirá de una interfaz de usuario simplificada.
La adaptación de material modelada en la AHD se basa en información obtenida a priori, se
asigna a principio de curso mediante la evaluación diagnóstico, El material ofrecido a los alumnos no
difiere en el contenido asignado, se mostró una estrategia didáctica u otra, tratándose por lo tanto de
60
adaptación del flujo de aprendizaje. Es el alumno el que elige la ruta de aprendizaje que mejor se
acomode a sus necesidades y estilos de aprendizaje.
Estrategias comunicativas
Se refiere a las diferentes formas de interacción comunicativa -formal y espontánea que pueden
llegar a darse en el aula entre profesorado y alumnado, tanto de forma interpersonal como grupal, así
como sus implicaciones didácticas. (Herrero, 2012)
Según (Rizo, 2007). En la interacción comunicativa entre las personas es donde se
manifiesta la cultura como principio organización social, cuyos resultados siempre derivan en la
modificación de los estados iniciales de los participantes del proceso comunicativo.
Por otro lado, es importante destacar que los eventos de comunicación no están
constituidos únicamente por palabras, también el discurso en la comunicación puede presentarse en
forma escrita o verbal, al mismo tiempo que puede contener aspectos auditivos, visuales, gestuales
(Villasmil, 2004). Por lo tanto, la comunicación en entornos educativos, así como la comunicación en
general, operativiza tres grandes lenguajes: el verbal, el no verbal y el paraverbal. Todos ellos inherentes
a la interacción comunicativa. (Herrero, 2012)
El lenguaje verbal es aquel que utiliza la expresión oral o escrita y que presenta un
emisor, un receptor, un mensaje, un contexto, un canal y un código. El lenguaje no verbal es aquel que
conforma los movimientos de la cabeza, la expresión corporal la orientación de la mirada, el parpadeo,
las expresiones faciales, los gestos corporales. Y el lenguaje paraverbal es aquel que comprende la
entonación e inflexiones de la voz, las distancias, la velocidad a la que hablamos, las pausas, la sincronía
de los gestos. (Torres, 2002).
61
Anexo E. Incorporación de las tecnologías de información y comunicación. la
tecnología realza el aprendizaje y apoya la enseñanza de la matemática
Martínez (2003) dice que las nuevas tecnologías precisan de unas necesidades previas, sin las
cuales no puede hablarse de su incorporación a ningún ámbito de la enseñanza. Estas son:
El acceso técnico: Tiene que ver con la posibilidad material de disponer de acceso a estas
tecnologías a los medios y servicios que proporcionan.
El acceso práctico: Se relaciona con la disponibilidad del tiempo necesario para el empleo de las
tecnologías, al igual que con preparar el proceso de su uso como soporte para la enseñanza y como
medio para el aprendizaje.
El acceso operativo: Referido a los conocimientos que van a permitir el manejo de la
herramienta tecnológica.
El acceso criterial: La utilización de las tecnologías precisa de una actitud previa crítica con la
propia tecnología y que facilita la toma de decisiones sobre su utilización. La posibilidad de responder a
la pregunta de por qué esta tecnología aquí y ahora es una cuestión fundamental.
El acceso relacional científico tecnológico: Vinculado con los requisitos previos que necesitan
tener del proceso de enseñanza en que se pretende incidir con las tecnologías.
Unidos a tales necesidades, se encuentran los principios que instituye el Consejo Estadounidense
de Profesores de Matemática (NCTM), los cuales atañen a:
Equidad: La excelencia en matemática educativa requiere de equidad, expectativas altas y un
fuerte apoyo para todos los estudiantes.
Currículo: Es mucho más que una colección de actividades. Debe ser coherente y centrado en
temas matemáticos importantes que estén bien articulados en los diferentes grados escolares.
62
Enseñanza: La enseñanza efectiva de las matemáticas requiere de entender qué saben los
estudiantes y qué necesitan aprender. A partir de ello, hay que retarlos y apoyarlos para que logren una
buena formación.
Aprendizaje: Los estudiantes necesitan aprender matemáticas entendiéndolas e interpretándolas
cognitivamente, deben construir conocimientos de manera activa, a partir de sus experiencias y el saber
anterior.
Evaluación: La evaluación tiene que apoyar el aprendizaje de conceptos matemáticos
importantes, además de suministrar información útil tanto a los docentes como a los estudiantes.
Tecnología: En su sentido más amplio, resulta esencial en la enseñanza y el aprendizaje, ya que
influye en las matemáticas que se enseñan y mejora el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Las
tecnologías específicas como, por ejemplo, las electrónicas (calculadoras y computadoras) son
herramientas muy útiles para enseñar, aprender y hacer matemáticas. De igual manera, ofrecen
representaciones de instrucciones basadas en axiomas, teoremas y leyes matemáticas, facilitan la
organización y análisis de los datos y permiten que se hagan cálculos de manera eficiente y exacta.
Las TIC pueden apoyar a las investigaciones de los alumnos en varias áreas de las matemáticas,
como números, medida, geometría, estadística, álgebra, pues se espera que cuando dispongan de ellas
logren concentrarse en tomar decisiones, razonar y resolver problemas. La existencia, versatilidad y
poder de las TIC hacen posible y necesario reexaminar qué matemáticas deben aprender los alumnos, así
como examinar la mejor forma en que puedan aprenderlas.
Este es el momento de establecer el vínculo entre el constructivismo y la matemática educativa
asistida por las tecnologías de información y comunicación. Cabe preguntarse, entonces: ¿cómo usar las
TIC con un enfoque constructivista en matemática educativa? Al respecto, Sánchez (2000) da los
siguientes enunciados:
63
– Como herramientas de apoyo al aprender, con las cuales se pueden realizar actividades que
fomenten el desarrollo de destrezas cognitivas superiores en los alumnos.
– Como medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.
– Como extensoras y amplificadoras de la mente, a fin de que expandan las potencialidades del
procesamiento cognitivo y la memoria, lo cual facilita la construcción de aprendizajes significativos.
– Como medios transparentes o invisibles al usuario, que hagan visible el aprender e invisible la
tecnología.
– Como herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que potencia su
uso con metodologías activas como proyectos, trabajo colaborativo, mapas conceptuales e inteligencias
múltiples, donde aprendices y facilitadores coactúen y negocien significados y conocimientos, teniendo
a la tecnología como socios en la cognición.
El conocer y el aprender lo hacen y construyen los aprendices Sánchez precisa que la tecnología
sólo es una herramienta con una gran capacidad que, cuando es manejada con una metodología y diseño
adecuado, puede ser un buen medio para construir y crear.
Al conocer los beneficios del uso de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, y tras revisar cómo usarla con un enfoque constructivista; surge otra interrogante: ¿Se
puede construir conocimiento matemático usando las TIC? Si bien es cierto que los individuos adquieren
información desde los ámbitos de la familia, la escuela y los medios de comunicación (Cebrián de la
Serna, 1999), la función del educador será ayudar al individuo a que encarne estas tres corrientes de
influencias en un mismo caudal, lo cual hará que potencie y desarrolle su personalidad (afectiva, social y
cognitiva) en forma más equilibrada e integral con el mundo que lo rodea.
Por ello, se pretende que el conocimiento que los alumnos construyan en las aulas esté formado
bajo la reflexión y fórmulas de trabajo colaborativo, así como que tenga miras hacia el surgimiento de
64
un pensamiento racional y científico (Cebrián de la Serna, 1999). Esto parte del conocimiento previo,
que abarca al que trae el alumno al aula producto de sus experiencias previas, donde residen muchos
conocimientos que obtuvieron a través de medios de comunicación y otros recursos tecnológicos. El
conocimiento previo es uno de los principios del aprendizaje constructivista; entre sus características
podemos señalar:
– Implicación directa del alumnado en el aprendizaje y en la enseñanza al estar en contacto con
situaciones del mundo real y cercano donde utilizan recursos tecnológicos.
– Surgimiento de nuevas temáticas en la investigación que despiertan el interés y la motivación
del alumnado.
– Desarrollo de procesos y capacidades mentales de niveles superiores en proyectos
informáticos.
Dichos rasgos implican la concepción de las TIC no sólo como medios, sino como elementos
motivadores, creadores, que facilitan los procesos cognitivos de manera integrada con los demás
elementos del currículo.
Por otro lado, es relevante el contenido matemático que desarrollará el docente al ocupar las TIC.
Esto concierne a qué se debe abordar desde el punto de vista de los contenidos para que haya una
comprensión del conocimiento matemático, mientras el docente usa las tecnologías de información y
comunicación en sus prácticas pedagógicas.
Al respecto, Gallardo y González (2006) expresan que la comprensión del conocimiento
matemático es un objeto de investigación que tiene un interés creciente en matemática educativa. No
obstante, su elevada complejidad hace que los avances más recientes aún resulten insuficientes, lo cual
implica la necesidad de ir adoptando enfoques más operativos y que se preocupen menos por el estudio
directo de sus aspectos internos.
65
Esto conduce a los docentes que incorporan las TIC a determinar y clasificar el tipo de
situaciones que propicien el aprendizaje y la comprensión del conocimiento matemático. Por tanto, la
valoración precisa de un análisis situacional que inicia con una búsqueda de aquellas situaciones donde
tiene sentido el uso del conocimiento matemático considerado, para lo cual se aconseja que se lleve a
cabo una labor de categorización y selección de situaciones que organice, simplifique y haga más
manejable el conjunto asociado.
Con base en argumentos de esta índole, algunos autores como Rojano (2006), opinan que para la
enseñanza de la matemática se necesita de modelos específicos con tecnología, bajo los siguientes
principios:
– Didáctico, mediante el cual se diseñan actividades para el aula siguiendo un tratamiento
fenomenológico de los conceptos que se enseñan.
– De especialización, por el que se seleccionan herramientas y piezas de software de contenido.
Los criterios de selección se derivan de la didáctica de la matemática.
– Cognitivo, por cuyo conducto se seleccionan herramientas que permiten la manipulación
directa de objetos matemáticos y de modelos de fenómenos mediante representaciones ejecutables.
Empírico, bajo el cual se seleccionan herramientas que han sido probadas en algún sistema educativo.
– Pedagógico, por cuyo intermedio se diseñan las actividades de uso de las TIC para que
promuevan el aprendizaje colaborativo y la interacción entre los alumnos, así como entre profesores y
alumnos.
– De equidad, con el que se seleccionan herramientas que permiten a los alumnos de secundaria
el acceso temprano a ideas importantes en ciencias y matemáticas.
66
Entre el conjunto de la toma de decisiones para el diseño de los modelos, una de las más
complejas reside en la selección de herramientas, ya que sus principios permiten formular criterios para
elegir qué instrumentos deberían:
– Estar relacionados con un área específica de la matemática escolar.
– Contar con representaciones ejecutables de objetos, conceptos y fenómenos de la matemática.
– Permitir un tratamiento fenomenológico de los conceptos matemáticos y científicos.
– Ser útiles para abordar situaciones que no pueden abordarse con los medios tradicionales de
enseñanza.
– Poder utilizarse con base en el diseño de actividades que promuevan un acercamiento social del
aprendizaje.
– Permitir que se promuevan prácticas en el aula donde el profesor guía el intercambio de ideas y
las discusiones grupales, a la vez que actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta.
El hecho de conocer e identificar el conjunto de entornos tecnológicos de aprendizaje que
cumplan con tales criterios hace posible el diseño de los modelos pedagógicos, de los tratamientos
didácticos pertinentes en los temas de enseñanza, al igual que del aula, con la tecnología apropiada. Los
diseños necesariamente se encuentran ligados al conocimiento didáctico, que el profesor pone en juego
cuando realiza el análisis didáctico (Gómez y Rico, 2006). Asimismo, dicho saber tiene unos
conocimientos disciplinares de referencia que se estructuran en tres ejes: noción de currículo,
fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores del currículo.
Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la
planificación y estructuración del uso de las TIC y la forma como se espera que entren en juego al hacer
el análisis didáctico, se podrá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la asignatura. Por
otra parte, la reflexión de cómo el profesor construye el conocimiento didáctico en la práctica y la
67
postura sociocultural con respecto al aprendizaje de los futuros profesores permiten sentar las bases en
las que se diseñan los esquemas metodológicos y de evaluación (Gómez y Rico, 2006).
Cabe señalar el papel preponderante que asume la interacción social a través del lenguaje y la
comunicación entre docentes y alumnos, donde se puede evidenciar el aprendizaje colaborativo y
cooperativo como una de las características que distingue al constructivismo.
Un ejemplo que ilustra el empleo de las TIC con un enfoque constructivista en la enseñanza de la
matemática es el Aprendizaje por Proyectos (ApP), al que se conocía hace algunos años
como aprendizaje por problemas. El cambio se debió a que el aprendizaje por problemas tenía un
enfoque específico (abordaba un solo problema a la vez), mientras que el Aprendizaje por Proyectos
soluciona diversos y numerosos problemas.
El ApP tiene como rasgo fundamental que cada proyecto no se enfoca a aprender acerca de algo,
sino en hacer algo; es decir, involucra una acción.
Según Moursund (1999), el Aprendizaje por Proyectos tiene como objetivos:
Desarrollar competencia. Para los estudiantes, el objetivo del proyecto es aumentar su
conocimiento y habilidad en una disciplina o en un área de contenido interdisciplinario. Con frecuencia,
cuando el alumno realiza un proyecto alcanza un nivel de habilidad elevado en el área específica que
está estudiando y hasta puede convertirse en la persona que más sabe sobre un tema específico. Algunas
veces, su nivel de conocimiento puede exceder al del profesor.
Mejorar las habilidades de investigación. El proyecto requiere de aptitudes para investigar y
ayuda a que se desarrollen.
Incrementar las capacidades mentales de orden superior. Capacidad de análisis y síntesis.
Esto se logra cuando el proyecto es retador y va enfocado a que los estudiantes desarrollen tales
habilidades.
68
Aprender a usar las TIC. Los alumnos incrementan el conocimiento y habilidad que tienen en
las TIC a medida que trabajan en el proyecto. Un proyecto puede diseñarse con el objetivo específico de
alentar en los estudiantes la adquisición de nuevas habilidades y conocimientos en las tecnologías.
Aprender a autoevaluarse y evaluar a los demás. Los estudiantes aumentan su habilidad de
autoevaluación, con lo que se responsabilizan de su trabajo y desempeño. También aprenden a evaluar el
trabajo y desempeño de sus compañeros y a darles retroalimentación.
Desarrollar un portafolio. Requiere que los estudiantes hagan un proyecto, una presentación o
una función de alta calidad que forme parte del grado escolar que cursen.
Comprometerse en un proyecto. Los alumnos se comprometen activa y adecuadamente a realizar
el trabajo del proyecto, de ahí que se encuentren motivados de manera interna: tal es una meta del
proceso. El profesor puede efectuar observaciones diarias que permitan establecer si el estudiante tiene
un compromiso con la tarea o si muestra una colaboración ejemplar.
Ser parte de una comunidad académica. Todos los estudiantes, profesores o grupo social se
convierten en una comunidad académica donde se trabaja de manera cooperativa y se aprende uno de
otro. Esta comunidad se expande para incluir a padres, alumnos de otras aulas y otras personas.
Trabajar en ideas que son importantes. El proyecto debe enfocarse a temas que tengan
continuidad y sean relevantes para el profesor, el colegio y demás miembros de la comunidad. Por
ejemplo, el trabajo interdisciplinario tiene que perfilarse como una de las metas que conformen los
proyectos.
Dado que el constructivismo se afinca en la creciente comprensión del cerebro humano, pues
atiende a cómo aprende o cómo el aprendizaje amplía el conocimiento previo, los profesores tienden a
convertirse en mediadores. Sin embargo, como señala Moursund (1999), no todos los docentes enseñan
de manera estrictamente didáctica ni constructivista, ya que recurren a los dos enfoques.
69
El Cuadro III presenta las áreas del currículo, la instrucción y la evaluación desde los enfoques
didáctico y constructivista. En las tres se introducen las Tecnologías de Información y Comunicación
como único componente educativo y su implicación en la instrucción didáctica y constructivista.
Desde el punto de vista del estudiante, el ApP promueve su motivación intrínseca; estimula el
aprendizaje colaborativo y cooperativo; permite que le haga mejoras continuas; está diseñado para que el
alumno se comprometa activamente en hacer cosas, en lugar de sólo aprender sobre algo, pues implica
que realice una presentación o actuación; es retador, y va enfocado a las habilidades mentales de orden
superior.
En cuanto a la perspectiva del docente, el ApP posee contenido y objetivos auténticos (del
mundo real); utiliza una evaluación centrada en la valoración del desempeño; es proporcionado por el
profesor; sus metas educativas son explícitas; afianza sus raíces en el constructivismo, y está diseñado
para que el profesor también aprenda.
70
A manera de conclusión
Con base en las ideas de Shulman (1987), Brousseau (1998) e Hinostroza (2000), y tomando en
cuenta la relación que puede existir entre el constructivismo, la práctica pedagógica y la enseñanza de
las matemáticas promovida por los docentes que ocupan las TIC, se establece que:
– Las teorías relacionadas con la innovación en la educación sugieren que las tecnologías actúan
como catalizadoras del proceso de cambio. Tal efecto ayuda a producir una modificación en los métodos
y procedimientos que utiliza un profesor, facilitando la adopción de estrategias pedagógicas diferentes
que, eventualmente, son más efectivas.
– Desde una perspectiva distinta, que alude a las acciones del profesor, es posible argumentar
sobre el potencial de estas tecnologías para actuar como mediadoras en la actividad profesional. Hay
evidencia de su influencia en la forma como las personas estructuran su relación con el mundo que los
rodea y de su consecuencia en la realidad que construyen (Suchman, 1987).
– En cuanto al aprendizaje, las tendencias actuales coinciden en argumentar a favor de enfoques
constructivistas del aprendizaje, donde el alumno realiza actividades y proyectos que le permiten
comprender los procesos y principios subyacentes. Estas tendencias implican que no basta con presentar
un conjunto de contenidos, sino se deben entregar los medios necesarios para desarrollar actividades que
tengan sentido para los alumnos en sus propios contextos y faciliten el desarrollo de habilidades
superiores.
– Es posible afirmar que las Tecnologías de Información y Comunicación han cambiado el
paradigma de los diseños para paquetes informáticos. Actualmente, como resultado de la integración de
las comunicaciones con los multimedios, la computadora puede ser conceptualizada como vía de acceso
a un espacio social distinto, lo cual permite concebir a un producto de software no como un interlocutor,
sino como un instrumento de acción en un espacio en el que ocurren conversaciones con objetos reales o
71
virtuales. Esto abre la posibilidad, como plantea Hinostroza (2000), de redefinir el rol de la tecnología,
pues se transforma en un soporte al proceso de enseñanza que sirve para mejorar el aprendizaje.
– Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática, como bien señala Brousseau (1998), los
conocimientos pueden aparecer en situaciones originales, pero los saberes culturales están asociados
necesariamente a prácticas sociales que les sirven de referencia. De esta manera, conociendo las
bondades de las TIC en el área del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, aunado a la
concepción del constructivismo como postura epistemológica en la que el alumno es responsable de su
propio aprendizaje, se establece que la práctica pedagógica de los docentes debe ir en consonancia con
los cambios curriculares, donde los roles y funciones de los profesores se ven modificados siguiendo los
cambios sociales.
– El conocimiento didáctico tiene unos conocimientos disciplinares de referencia que se
estructuran en tres ejes: noción de currículo, fundamentos de las matemáticas escolares y organizadores
del currículo. Si se toman en cuenta la descripción técnica de estos conocimientos de referencia, la
planificación y estructuración del uso de las TIC, al igual que la manera como se espera que dinamicen
al realizar el análisis didáctico, esto permitirá identificar y fundamentar los contenidos y objetivos de la
asignatura en este caso particular de la matemática.
Ayudas hipermediales dinámicas:
Las Ayudas Hipermediales Dinámicas (AHD) en los Proyectos de Aula, es una investigación que
tuvo como objetivo caracterizar las prácticas de enseñanza y aprendizaje de los maestros y maestras de
las instituciones educativas beneficiadas por Computadores para Educar 2012-2014 al implementar
proyectos de aula en TIC; una vez que se ha podido identificar que a pesar de que las instituciones
72
educativas reciben dotación de equipos computacionales, las prácticas de los maestros no reflejan
mejoras en los procesos de aula.
Es una investigación cualitativa, de corte interpretativo, donde se trabaja con un diseño de
estudio de caso múltiple, en sedes seleccionadas de los departamentos de Caldas, Quindío, Norte del
Valle y Risaralda.
En la búsqueda de la calidad de formación de los maestros, el Ministerio de Educación Nacional
Colombiano (MEN) y el Ministerio de TIC (MINTIC), han realizado alianzas con diferentes
instituciones tendientes a generar procesos de apropiación de las Tecnologías de la Información y la
Comunicación (TIC) en el sector educativo. Entre estas alianzas se firmó un convenio entre CPE y la
UTP que tiene por objeto formar maestros del país, en los departamentos de Risaralda, Caldas, Quindío
y Norte del Valle de Colombia, tanto de la zona urbana como de la rural, en la incorporación de las TIC
en entornos educativos y para darle un enfoque pedagógico a este proceso, la UTP se fundamenta en el
socioconstructivismo.
El proceso de incorporación de TIC lo ha asumido el grupo de investigación CRIE
(Creando en Redes de Información y Educación) de la Universidad Tecnológica de Pereira (UTP), en el
marco del programa Computadores para Educar (CPE), como una propuesta apoyada en el uso
pedagógico de las Ayudas Hipermediales Dinámicas (AHD), estrategia que integra una variedad de
recursos digitales, con una planeación previa en un instrumento denominado diseño tecnopedagógico
(Coll, Mauri, &Onrubia, 2008b).
Un diseño tecnopedagógico tiene como base fundamental organizar la actividad conjunta que
llevan a cabo los maestros y estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje en entornos
educativos con TIC (Onrubia). Los dos componentes que lo conforman son: Diseño Tecnológico: Hace
referencia a aquellos recursos tecnológicos que constituyen el entorno de aprendizaje con TIC,
73
especificando aspectos como: ¿Qué herramienta o actividad se va a utilizar? ¿Cuánto tiempo se va a
utilizar? ¿Qué propósito persigue? ¿Qué se espera que hagan los estudiantes? Diseño instruccional:
Incluye una propuesta pedagógica y didáctica que explícita las competencias, saberes, secuencia de
actividades de enseñanza y aprendizaje, evaluación, recursos, tiempo y roles de los actores implicados
en la actividad conjunta. Pregunta de investigación: ¿Qué caracteriza las prácticas de enseñanza y
aprendizaje de los maestros y maestras de las instituciones educativas beneficiadas por Computadores
para Educar 2012-2014 al implementar proyectos de aula en TIC? Una AHD es concebida como “un
producto multimedia provisto de: un sistema de hipertextualidad, un conjunto de estrategias
comunicativas, un contenido específico, un sistema de evaluación y de un soporte específico para su
manejo y uso en procesos de enseñanza y aprendizaje, desde un enfoque socioconstructivista” (Rojas,
Sánchez, Amador & Duque, 2013, p.44).
Fundamento pedagógico de una Ayuda Hipermedial Dinámica (AHD): El grupo CRIE se
referencia en el GRINTIE (Grupo de Investigación en Interacción e Influencia Educativa) de la
universidad de Barcelona España, liderado por el Doctor César Coll (http://www. psyed.edu.es/grintie/).
Sus aportes a la incorporación de TIC son compartidos por el CRIE, por tanto tienen propósitos
investigativos similares en relación al uso de las TIC con fines educativos. Uno de los retos para el
grupo de investigación CRIE fue elaborar una propuesta que permitiera aprovechar los recursos
computacionales existentes tanto en las Instituciones Educativas Colombianas, como los recursos
digitales disponibles en la web; para ello la AHD se convierte en una herramienta que contribuye a la
resignificación de las relaciones entre los elementos del triángulo didáctico (maestro, estudiante y saber)
a partir de un enfoque socioconstructivista (Coll., Onrubia., & Mauri. 2008c), con el cual se espera que
el desfase entre lo que se dice frente al uso educativo de las TIC en el aula de clase y, lo que realmente
se hace, sea cada vez menor (Coll, Mauri, & Onrubia, 2008a).
74
En un enfoque socioconstructivista el maestro propicia el diálogo y la participación del
estudiante con sus compañeros (Díaz., Hernández., & Rigo., 2009), principios que rigen las acciones del
maestro con las AHD, quien velará por identificar los momentos en que la Ayuda Hipermedial Dinámica
se constituya en andamiaje, o ayuda necesaria para que la construcción del conocimiento se genere
mediante actos conscientes y activos, promoviendo una cultura participativa, donde los estudiantes
identifiquen que las condiciones de la actividad conjunta, contribuyen a su formación y lo proveen de
elementos para resolver problemas de su entorno (Araujo & Sastre, 2008).
Desde un enfoque socioconstructivista, una AHD contempla “lo que hacen y dicen” maestros y
estudiantes en el proceso educativo, razón por la cual, si el maestro “hace o dice algo”, es necesario
tener presente “qué hace” el estudiante con eso que “dijo o hizo” el maestro, y a la inversa; porque
hablar de ayuda ajustada, es reconocer que ésta, efectivamente, generará un conocimiento nuevo en la
medida que el estudiante demande y el maestro comparta.
En la interactividad está el cambio en los procesos de aula: La noción de interactividad permite
considerar los tres vértices del triángulo interactivo desde la concepción constructivista del aprendizaje
escolar y de la enseñanza en el aula: El maestro, el estudiante y el saber que es objeto de enseñanza y
aprendizaje. Estos planteamientos están soportados teóricamente por los integrantes del GRINTIE,
quienes han propuesto seis dimensiones que caracterizan la interactividad (Onrubia, 1992):
1. La articulación e interrelación de las actuaciones del maestro y de los estudiantes en una
situación concreta de enseñanza y aprendizaje.
2. La actividad conjunta, demanda que desde un principio se dejen claras las reglas de
participación de cada uno en función de los contenidos y las tareas, las cuales deberán ser explicitadas
en el diseño tecnopedagógico (DTP).
75
3. La concepción de interactividad implica entenderla como un proceso que evoluciona y cambia
con el tiempo.
4. El estudiante construye sus propios significados a partir de las estrategias facilitadas por el
maestro, las cuales deberán ser de tal manera que permitan el paso de funciones interpsicológicas a
funciones intrapsicológicas.
5. El estudiante tiene un bagaje cultural; por esta razón en el momento de planear la actividad
conjunta, se deben contemplar estrategias que posibiliten que tanto estudiante como maestro construyan
conocimiento en la medida en que interactúan y avanzan a lo largo del proceso de enseñanza y
aprendizaje.
6. La interactividad se regula de acuerdo con un conjunto de normas y reglas que determinan en
cada momento, quién puede decir algo, cuándo, cómo, sobre qué y respecto a quién (pp. 149-159). Así
conceptualizada, la interactividad se plasma en las formas de organización de la actividad conjunta entre
maestro y estudiantes, es decir, en formas concretas donde los participantes articulan y organizan, de
forma regular y reconocible, sus actuaciones en torno a una tarea o a un contenido de aprendizaje.
Cada forma de organización de la actividad conjunta responde a una determinada estructura de
participación y el conjunto de formas de organización de la actividad conjunta construidas en el
transcurso de la secuencia didáctica, configura la estructura de la interactividad (Coll & otros, 2008b).
Aprendizaje basado en proyectos: cuando el estudiante se enfrenta a un problema o tarea que
constituye un desafío, utiliza el propio conocimiento, las habilidades y la experiencia adquirida en
situaciones anteriores. Ya que este modelo plantea el trabajo en equipos, entre todos suman estas
variables, logrando un enfoque sistémico del problema.
¿Qué mejor manera de trabajar por competencias que plantearle al estudiante retos nuevos, pero
solucionables con los conocimientos adquiridos o por construir? (Gutiérrez & Zapata, 2009) Un
76
elemento importante en los proyectos de aula, es que son actividades que forman parte de la vida de la
escuela y se implementan con la voluntad de garantizar aprendizajes, (Coll, 2009. Martín, 2006). En este
proceso el maestro actúa como facilitador, ofreciendo a los estudiantes recursos y asesoría a medida que
realizan sus investigaciones. El maestro no constituye la fuente principal de acceso a la información
(Stone, 1999).
La enseñanza y la facilitación están orientadas por un amplio rango de objetivos explícitos de
aprendizaje, algunos de los cuales pueden enfocarse de manera muy precisa en el contenido específico
del tema. Otros probablemente tendrán una base más amplia, ya sea interdisciplinaria o independiente,
de las otras disciplinas (Martin, 2006). Los alumnos pueden alcanzar metas adicionales (no previstas) a
medida que exploran temas complejos desde diversas perspectivas incluyendo el desarrollo de
competencias conceptuales, procedimentales y actitudinales.
Diseño pedagógico.
El diseño tecnopedagógico (DTP) surge de la necesidad de optimizar los procesos de enseñanza-
aprendizaje para garantizar su éxito. Es por eso que, necesariamente, tiene que integrar en su
intervención los diferentes aspectos que convergen en la programación de intenciones pedagógicas y en
la generación de los recursos materiales. Por lo tanto, el DTP acontece un concepto en el que confluyen
aspectos como la psicología, las teorías del aprendizaje, el diseño o las tecnologías de la información y
la comunicación.
Para nuestro trabajo de investigación se hizo pertinente, diseñar un modelo tecnopedagogico, a la
luz del modelo pedagógico socioconstructivista, mediado por teorías de aprendizaje como: la teoría del
aprendizaje autónomo, la teoría del aprendizaje basado en problemas y el aprendizaje colaborativo
Tabla 1. Modelo pedagógico socioconstructivista- Modelo pedagógico
Elaboración propia.
77
MODELO PEDAGOGICO SOCIOCONSTRUCTIVISTA
TEORIAS DEL
APRENDIZAJE
Toma en
cuenta el
nivel de
desarrollo
de los
alumnos.
Fomenta un
rol activo
del alumno
en su
aprendizaje.
Enfatiza la
importancia de
la interacción
(con padres,
profesores y
otros
alumnos).
Hacer énfasis en la
reestructuración y
reorganización del
conocimiento.
APRENDIZAJE
AUTONOMO
Se aprende a
trabajar
colaborativam
ente,
adquiriendo
conocimiento
s más
relevantes y
profundos
5
Dirigi
mos nuestro
propio
aprendizaje
5
La
forma de
aprendizaje es
más activa y
dinámica.
5
Autod
ependiente y
creativo
5
78
APRENDIZAJE
ABP
Respo
nde a una
metodología
centrada en el
alumno y en
su aprendizaje
5
Los alumnos
trabajan en
pequeños
grupos
5
Esta
metodología
favorece la
posibilidad de
interrelaciona
r distintas
materias o
disciplinas
académicas.
5
El ABP puede
utilizarse
como una
estrategia más
dentro del
proceso de
enseñanza y
aprendizaje,
aunque
también es
posible
5
79
aplicarlo en
una
asignatura
durante todo
el curso
académico
APRENDIZAJE
COLABORATIVO
Se basa en la
experiencia
directa y la
interacción.
Se establece
una
interdependen
cia que no
debe ser
competitiva.
5
Los alumnos
trabajan en
conjunto
dentro y fuera
del aula, y el
método puede
variar en
cuanto a su
organización
desde poco
estructurado
por el
docente, hasta
muy
5
80
estructurado,
en lo que se
conoce como
aprendizaje
cooperativo.
Los
miembros del
grupo se
necesitan los
unos a los
otros y deben
considerar
aspectos
como el
establecimien
to de metas,
tareas,
recursos,
roles,
etcétera.
5
Todos los
integrantes
del grupo son
responsables
de hacer su
parte del
trabajo, pero,
además,
deben
5
81
dominar el
todo.
Anexo F. Aplicación de las matemáticas en el análisis de los fenómenos físicos.
En este caso se reconoce una estructura formal y se construye la posibilidad de
formalizar el fenómeno en términos de la estructura en cuestión. Cuando la estructura
utilizada es categorizada como una estructura matemática, tal actividad se suele denotar con el
nombre de matematización del fenómeno, y consiste en una primera instancia en utilizar y
adaptar la estructura preestablecida, para la comprensión y organización de nuevos eventos,
generando con ello con nuevos sentidos.
Este segundo tipo de formalización corresponde a procesos cognitivos en los que se
reconoce que formalizar no se limita a sobreponer una estructura formal o una estructura
matemática a un fenómeno para analizarlo y comprenderlo, sino que se requiere ante todo
construir la posibilidad misma de formalizarlo y matematizarlo, es decir, de construir las
magnitudes, relaciones, etc. con la que damos cuenta del fenómeno. Así por ejemplo, la
geometrización del movimiento de caída llevada a cabo por Galileo involucra los siguientes
aspectos (Véase Malagón, F., 1988):
Reconocer la importancia del movimiento de caída: Para Galileo todo movimiento
natural es debido a la gravedad y el movimiento natural de caída es la fuente de las acciones;
la acción, a su vez, es el ímpetus o tendencia que se manifiesta cuando se impide total o
parcialmente que el cuerpo o parte del sistema caiga. La gravedad, al igual que el
movimiento, es para este pensador una cualidad primaria de todos los cuerpos existentes;
considera que ésta es la tendencia o propensión de todo cuerpo a acercarse a un centro, que se
revela, primero, en un incremento de la velocidad del cuerpo cuando esto ocurre; segundo, en
82
un rechazo u oposición a alejarse del centro, implicando en este caso una disminución de su
velocidad; y tercero, en una indiferencia al movimiento o persistencia del mismo cuando no se
acerca o se aleja del centro en cuestión .
Demostrar y convencer a quienes le escuchan, que los principios que formula son
verdaderos y se cumplen en el mundo físico real. Es decir, ha tenido que demostrar que ese
movimiento es el movimiento de caída de cualquier cuerpo, sin importar cuál sea su peso,
material, forma, etc. Como es obvio, en la naturaleza sucede casi todo lo contrario; se ve
entonces que no hay en la experiencia algo que nos garantice que todos los cuerpos caigan de
la misma forma. Por esta razón, Galileo se ve obligado a demostrar que no hay ninguna
relación directa entre la diversidad de velocidades de caída y el peso de los cuerpos. Debe
precisar cuál es la verdadera relación entre el cuerpo y el medio y la velocidad del cuerpo que
cae en ese medio; cosa que realiza a través de consideraciones sobre la influencia del peso en
la caída, sobre la relación entre la densidad del cuerpo que cae y la densidad del medio y
sobre la fricción entre el cuerpo y el medio.
Una vez generada la posibilidad de hacer de la cinemática una manera válida de
abordar el movimiento de caída, es decir hacer una ciencia geométrica del movimiento, se
requiere determinar la forma única en la cual caen los cuerpos en el vacío (vacío hipotético,
ya que en tal época no era posible producirlo experimentalmente). Al respecto es importante
tener en cuenta que Galileo sabía que los cuerpos caen de la misma forma, que su movimiento
es acelerado y que los espacios que atraviesan son proporcionales al cuadrado del tiempo (lo
que llamaba los accidentes del movimiento de caída); pero estima que es necesario conocer la
esencia del movimiento de caída, es decir, es necesario encontrar un principio fundamental a
partir del cual todos estos accidentes se puedan deducir. Llamo - dice Galileo en los
83
Discursos- movimiento igualmente acelerado, o lo que es lo mismo uniformemente acelerado,
a aquel que partiendo del reposo adquiere en tiempos iguales incrementos iguales de
velocidad. Es precisamente esta proporcionalidad entre la velocidad adquirida y el tiempo
transcurrido, lo que Galileo considera como el principio que regula el movimiento natural de
caída.
Derivar las principales características del movimiento natural de caída a partir de este
principio. Para ello, Galileo representa mediante segmentos magnitudes no geométricas como
lo son la velocidad instantánea y el tiempo, y opera sobre ellos haciendo uso de la teoría de las
proporciones.
Vemos, pues como Galileo transforma el estudio del movimiento en la certeza y
claridad de la geometría a partir de axiomas y definiciones, enunciando teoremas y
demostrándolos, y haciendo uso de todas las herramientas que le daba la geometría y su
operatoria; de esta manera sus leyes se enuncian de modo geométrico, o en otras palabras, la
racionalización del movimiento se hace formalmente análoga a un sistema geométrico. A este
respecto resulta pertinente retomar las siguientes consideraciones de A. Mockus:
En el "visualizar" cartesiano, aquello de lo que hablamos es necesariamente
extensionalizado, transformado en magnitudes (hoy preferimos decir "variables ") cuyas
relaciones pueden ser representadas gráficamente y expresadas sintéticamente mediante
signos algebraicos. Al acudir a este tipo de "visualización" podemos pretender que seguimos
hablando de lo que veníamos hablando y al mismo tiempo aspirar a hablar con la certeza
propia de lo cuantitativo y de lo sometible al cálculo. Representar es pues matematizar, lo que
significa –según la afortunada expresión de Heidegger– traer al terreno de lo siempre ya
conocido; es llevar de un juego de lenguaje en algún sentido incierto a otro que –al costo de
84
delimitaciones y regulaciones explícitas– ha ganado certeza y universalidad (Mockus,A.,
1988: 120) .
Matematizacion del movimiento
Kartz, (1987), señala que las funciones trigonométricas pudieron ser evitadas porque
no se veía un uso razonable de ellas. En tal perspectiva, la aparición y uso de nuevas
cantidades trigonométricas, fue lo que les quito su carácter y condiciones geométricas,
pasaron de ser líneas en un círculo, a considerarse cantidades que describían fenómenos,
especialmente oscilatorios.
Es así como la función trigonométrica, adquiere un valor adicional, desde la
perspectiva y el enfoque del movimiento como fenómeno oscilatorio, proyectando este saber
matematico a contextos de enseñanza real para el estudiante, permitiendo el nuevo enfoque de
matematización del movimiento ondulatorio, situación que desde las prácticas de enseñanza
de este saber matematico, difícilmente es abordado por el docente en el aula, lo que lleva a
que el estudiante le encuentre poca significación al momento de aprehender este saber
matematico.
Marco teórico específico.
Sistemas de medidas de ángulos.
Para medir ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición ellos son:
• Sistema Sexagesimal.
• Sistema Centesimal.
85
• Sistema Circular.
Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado
sexagesimal (1º), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.
1º = 1R => 1R = 90º
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (1') y el segundo
sexagesimal (1'').
1º = 60' ^ 1' = 60'' => 1º = 3600''
Sistema centesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1G),
que se obtiene de dividir el ángulo recto en 100 partes iguales.
1G = 1R => 1R = 100G
100
Los submúltiplos del grado centesimal son el minuto centesimal (1M) y el segundo
Centesimal (1S).
1G = 100M ^ 1M = 100S ⇒ 1G = 10000S
Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián.
86
Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual
al radio de la misma.
El valor de un ángulo de un giro es de 2π radianes.
(Recuerden que el número π es la relación que existe entre el perímetro de una
circunferencia y su diámetro. Esta relación se mantiene constante para cualquier
circunferencia).
Equivalencia entre los distintos sistemas.
Para convertir del sistema sexagesimal al centesimal y radial, se utilizan siempre
reglas de tres simple utilizando alguna de las equivalencias del cuadro.
87
Definición de función:
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que
a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen
al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el
costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una
encomienda que depende de su peso.
Una función ( f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es
una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f , definida de un conjunto A en un conjunto B,
se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la
función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f , mientras que x es la preimagen de f(x) .
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1
es la preimagen del número 5.
88
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores
posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la
función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable
independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x 2 – 5x está definida para todo número real ( x puede
ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números
reales.
En cambio, la función tiene como dominio todos los
valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real
diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que
exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo
siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
89
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+
a n x n (donde a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n son constantes y n un entero no negativo), el dominio está
conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de
cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir,
es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente;
estos valores están determinados, además, por el dominio de la función.
Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra,
digamos o o cualquier otra.
Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo
90
Diferencias entre función y relación
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia
entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y)
para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio.
Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano
AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A
exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de
clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A
(a, a) está en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b,
a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y
transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) está en la relación.
Tipos de funciones y su clasificación
Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos
infinitos de funciones, que son:
• Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente
de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones
exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores
mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.
91
• Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir,
cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos
combinando funciones elementales es una función no elemental.
Funciones elementales:
Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de
alguna de los siguientes conjuntos:
1. Conjunto de funciones polinómicas
2. Función exponencial
3. Funciones trigonométricas
Mediante alguna de las siguientes operaciones
1. Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división)
entre funciones de los anteriores conjuntos
2. Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos
3. Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su
recíproca también es elemental por definición).
92
Funciones elementales básicas trascendentes
Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones
que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:
1. Las Funciones
trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno
inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno
hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y
cosecante hiperbólica.
4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno
hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso,
secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
5. La Función logarítmica
6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.
De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales
porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las
funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente,
coeficientes y potencias.
La función trigonométrica
Las funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el
valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes
es x.
93
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
94
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
95
Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son las funciones
derivadas de las razones trigonométricas de un ángulo. En general, el ángulo sobre el cual se
calculan las razones trigonométricas se expresa en radianes. Esta tabla recoge las principales
características de las distintas funciones trigonométricas:
Esta tabla recoge las principales características de las distintas funciones
trigonométricas:
96
Las funciones inversas de las funciones seno, coseno y tangente son las funciones arco
seno, arco coseno y arco tangente.
Las gráficas de dichas funciones son simétricas respecto a la recta y = x, tal como
sucede con todas las funciones inversas.
• La función inversa de la función seno: solamente se utilizan los valores de los
ángulos entre [–π/2,π/2]. Se designa con el símbolo arc sen.
• La función inversa de la función coseno: solamente se utilizan los valores de los
ángulos entre [0, π]. Dicha función se designa con el símbolo arc cos.
97
• La función inversa de la función tangente se denomina arco tangente: solamente se
utilizan los valores de los ángulos entre (–π/2,π/2). Dicha función se designa con el símbolo
arc tan.
Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en
cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y
aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o
negativas. En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones
trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
S
ENO
C
OSENO
TAN
GENTE
COTA
NGENTE
S
ECANT
E
C
OSECA
NTE
I + + + + + +
I
I
+ - - - - +
I
II
- - + + - -
I
V
- + - - + -
98
Valores de las funciones trigonométricas para arcos notables
Las funciones trigonométricas inversas
Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son
operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace
lo opuesto de su inversa.
La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo
opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo:
En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la
correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa
matemáticamente en los siguientes enunciados:
99
Graficas de las funciones trigonométricas inversas:
Funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas son todas funciones periódicas . Así las gráficas de
ninguna de ellas pasa la prueba de la línea horizontal y tampoco son 1-a-1 . Esto significa
que ninguna de ellas tiene una inversa a menos que el dominio de cada una esté restringido a
hacer de ella una 1-a-1.
Ya que las gráficas son periódicas, si escogemos un dominio adecuado podemos usar
todos los valores del rango .
100
Si restringimos el dominio de f ( x ) = sin x a hemos hecho la función 1-a-
1. El rango es [–1, 1].
(Aunque hay muchas formas de restringir el dominio para obtener una función 1-a-1
esto es de acuerdo con el intervalo usado.)
Denotamos la función inversa como y = sin –1 x . Se lee y es la inversa del seno de x y
significa que y es el ángulo de número real cuyo valor de seno es x . Pero tenga cuidado con
la notación usada. El superíndice “ –1 ” NO es un exponente. Para evitar esta notación, algunos
libros usan y = arcsin x como notación.
Para graficar la inversa de la función seno, recuerde que la gráfica es una
reflexión sobre la recta y = x de la función seno.
101
Dese cuenta que el dominio es ahora el rango y el rango es ahora el dominio. Ya que
el dominio está restringido a todos los valores positivos nos arrojará un ángulo de
1 er cuadrante y todos los valores negativos nos arrojará un ángulo de 4 to cuadrante.
Similarmente, podemos restringir los dominios de las funciones coseno y
tangente para hacerlas 1-a-1.
102
El dominio de la función coseno inversa es [–1, 1] y el rango es [0, π ]. Esto significa
que un valor positivo nos arrojará un ángulo de 1er cuadrante y un valor negativo nos arrojará
un ángulo de 2 do cuadrante.
103
El dominio de la función tangente inversa es (–∞, ∞) y el rango es . La
inversa de la función tangente arrojará valores en los cuadrantes 1 er y 4 to .
El mismo proceso es usado para encontrar las funciones inversas de las funciones
trigonométricas restantes-cotangente, secante y cosecante.
La función seno
Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:
104
1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 +
2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 +
2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1)
con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.
105
Transformaciones de la función seno
A partir de la gráfica de la función f(x) = sen x pueden dibujarse las de:
1) f(x) = - sen x
La función resultante es simétrica respecto al eje X.
2) f(x) = |sen x|
La función valor absoluto transforma los resultados negativos en positivos.
3) f(x) = k + sen x
La función resultante es una traslación vertical hacía arriba de dos unidades.
106
4) f(x) = sen (x + k)
La función resultante es una traslación horizontal hacía la izquierda de dos unidades.
5) f(x) = k·sen x
La función resultante multiplica los resultados de la función seno dos unidades.
6) f(x) = sen (k·x)
La función resultante contrae a la función original.
107
Amplitud, periodo y traslación
Amplitud = |2/3| = 2/3
Se distinguen cuatro características que modifican la función seno.
1. Amplitud (A). Es el promedio de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la
función. El número A modifica los valores máximo y mínimo de la función.
La amplitud de y = Sen(x) es 1
108
La amplitud de y = 2Sen(x) es 2
La amplitud de y = 3Sen(x) es 3
La amplitud de y = 4Sen(x) es 4
2. Periodo (T). El coeficiente de x, indica la cantidad de veces que la gráfica de seno
se repite en su periodo normal que es de 360º. Por ejemplo, la función y=sen(2x), al
graficarla, debemos trazar dos ciclos completos de la función seno en 360º o 2pi, por tanto, el
periodo se reduce a la mitad: 180º. En general, el periodo de la función, en grados, se calcula
mediante la expresión:
T = 360º / B
3. Fase (F). El ángulo de fase determina el desplazamiento horizontal de la función
respecto de la función y = Sen(x). El ángulo de fase se calcula mediante la expresión:
F = - C / B
109
El ángulo de fase corresponde al "punto inicial" de la función, el "punto final" se
obtiene sumando el periodo al ángulo de fase. Por ejemplo:
Nota: cuando se habla de "punto inicial" y "punto final" de la función, se refiere a un
ciclo de la función seno, pero no se debe olvidar que la función tiene como dominio los
números reales, así que técnicamente, no habría punto inicial y final, solo se utilizan estas
expresiones para facilitar la ubicación de la gráfica.
4. Desplazamiento vertical (D). Como su nombre lo indica, D determina el
corrimiento de la gráfica de manera vertical, es decir que, traslada el eje de la gráfica hacia
arriba o hacia abajo, por tanto, modifica el rango de la función. Por ejemplo:
110
Aplicaciones de la función seno
A continuación, mencionare algunas de las aplicaciones de la función seno en las
diferentes áreas del saber científico:
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de
navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una
distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna, o una distancia que no podía
ser medida de forma directa.
Otras aplicaciones de las funciones trigonométricas, se pueden encontrar en casi todas
las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o
el flujo de corriente alterna.
Nos centraremos en dos aplicaciones que pueden captar con más facilidad la atención
del alumnado, ya que están inmersas en la cotidiana de la sociedad actual, como son la
corriente electrica y la modulación AM y (que son la base de la radio AM y FM).
La corriente eléctrica
111
El término corriente electrica, se emplea para describir la tasa de flujo de carga que
pasa por alguna región de espacio. La mayor parte de las aplicaciones prácticas de
electricidad, tienen que ver con corrientes electricas. Por ejemplo, la batería de una luz de
destellos, suministra corriente al filamento de la bombilla cuando el interruptor se conecta.
Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica, en la que la magnitud y
dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente
utilizada es la de una onda sinusoidal, puesto que se consigue una transmisión mas eficiente
de la energía.
Se utiliza la función seno para modelar la corriente alterna senoidal, ya que presenta
las siguientes ventajas:
• Se opera con facilidad y define con precisión analítica y gráfica la
evolución de la intensidad a lo largo del tiempo.
• Se puede generar con facilidad en magnitudes de valor muy elevado.
• Se modifican con facilidad los valores de tensión e intensidad mediante
transformadores.
• Todas las ondas no senoidales se pueden descomponer en ondas
senoidales de diferentes frecuencias (armónicos).
Modulaciones
Se puede definir la palabra modular como: “variar el valor de la amplitud, frecuencia o
fase de una onda portadora en función de una señal”. En efecto, en nuestro caso, vamos a ver
como se varía el valor de la amplitud de la onda portadora en función de la moduladora, para
la modulación AM, y en el caso de la modulación FM, se variará la frecuencia. Nuestras
ondas portadoras serán ondas sinusoidales.
112
Modulación am
La amplitud modulada (AM), o modulación de amplitud, es un tipo de modulación
lineal que consiste en modificar la amplitud de una señal de alta frecuencia, denominada
portadora, en función de una señal de baja frecuencia, denominada moduladora, la cual es la
señal que contiene la información que se desea transmitir.
La AM, es usada en la radiofonía, en las ondas medias, ondas cortas, e incluso en la
VHF: es utilizada en las comunicaciones radiales entre los aviones y las torres de control de
los aeropuertos.
Definición matemática
La ecuación de la señal modulada en AM, es la siguiente:
y (t) = Ap . [ 1 + m . xn (t)] . cos(wp . t)
Siendo:
y(t) = Señal modulada.
Xn (t) = Señal modulada normalizada.
M = Índice de modulación normalizado
Simplemente, se trata de multiplicar el mensaje a transmitir x(t), por la portadora
cosenoidal y , a su vez, sumarle esa portadora cosenoidal. Como se muestra en la siguiente
ilustración:
La señal moduladora, un coseno de baja frecuencia en el que va la información que
queremos transmitir.
La señal portadora, otro coseno de alta frecuencia que no lleva ninguna información.
La señal modulada, la señal que nos queda tras aplicar la modulación en AM.
113
Modulación en am.
Modulación fm
La frecuencia modulada (FM) o modulación de frecuencia, es una modulación angular
que transmite información a traves de una onda portadora variando su frecuencia.
Es usada comunmente en las radiofrecuencias de muy alta frecuencia por la alta
fidelidad de la radiodifusión de la música y el habla. El sonido de la televisión analógica,
también es difundido por medio de FM. También se utiliza para comunicaciones de voz en la
radio comercial y en las configuraciones de aficionados, además, se utiliza como ayuda en
navegación aérea.
La ilustración, muetra una modulación en FM: la señal a) es la portadora, de mayor
frecuencia ; la señal b), es la señal moduladora, en la que va la información que se desea
transmitir y la señal c), es la señal modulada, podemos observar, como en el caso de la
modulación FM, la amplitud permanece constante cuando hay variaciones de la señal
moduladora, ahora, es la frecuencia la que va a variar.
114
Modulación en fm
La trigonometría en la medicina:
Las aplicaciones en esta rea son herramientas de gran importancia no solo en la
medicina también es de importancia para la astronomía, cartografía, náutica,
telecomunicaciones y también para la representación de fenómenos periódicos como la ondas
mecánicas o electromagnéticas.
Un electrocardiograma (ECG) es un diagnostico en el que se obtiene un registro
gráfico de la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo.
en un electrocardiograma se estudian las ondas mecánicas periódicas aparecen funciones
trigonométricas como sen y cos, en este caso el periodo es la longitud de la onda y la amplitud
es la intensidad de la onda
115
• La onda P indica que las aurículas (las dos cavidades superiores del corazón)
son estimuladas en forma electrica para bombear la sangre hacia los ventrículos
• Las ondas Q R S indica que los ventrículos (Las dos cavidades inferiores del
corazón) se están estimulando electricamente para bombear la sangre hacia fuera
• El segmento S T indica la cantidad de tiempo que transcurre desde el final de
una contracción de los ventrículos hasta el comienzo del periodo de reposo
para manipularlas y estudiarlas una buena manera es con series trigonométricas como
la serie de Fourier, estas serias usan como base las funciones seno y coseno
Series de Fourier
Es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a
trozos o por partes. la serie de Fourier constituyen la herramienta matemática básica de
análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición
de dicha función de una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples
116
Estas funciones se pueden graficar ya que la actividad electrica del corazón se capta
por unos discos de metal colocados sobre la piel y de esta forma se hace un grafico
Otro derivado del electrocardiograma es el monitoreo fetal que se efectúa a las
embarazadas para monitoria el ritmo cardíaco del feto, consiste en colocar los electrodos en la
panza de la mujer sujeto con una faja para denunciar los cambios.
La madre tiene un aparato en la mano que debe presionar cuando detecte que él bebe
se esté moviendo dentro de ella, pues el movimiento de del bebe en la panza de la mujer
puede confundir a los médicos.
Las aplicaciones de la función seno: Osciloscopio: la podemos ver en nuestra vida
cotidiana, como por ejemplo, el osciloscopio es un instrumento que permite visualizar
117
fenómenos transitorios, así como formas de ondas en circuitos eléctricos y electrónicos. Con
el osciloscopio se pueden visualizar formas de ondas de señales alternantes, midiendo su
voltaje pico a pico. Los osciloscopios son de los instrumentos más versátiles que existen y los
utilizan desde técnicos de reparación de televisores hasta médicos. Puede medir un gran
número de fenómenos, provisto del transductor adecuado (un elemento que convierte una
magnitud física en señal eléctrica) será capaz de darnos el valor de una presión, ritmo
cardiaco, potencia de sonido, etc.
La corriente alterna:
Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido
varían cíclicamente. La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada
es la de una oscilación senoidal puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la
energía. Esla forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Las señales
de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente
alterna
La máquina de ultrasonido
La máquina de ultrasonido crea imágenes que permiten examinar varios órganos en el
cuerpo. Esta máquina envía ondas sonoras de alta frecuencia que hacen eco en las estructuras
corporales y un computador recibe dichas ondas reflejadas y las utiliza para crear una imagen.
El ultrasonido en los animales:
Algunos animales como los delfines y los murciélagos lo utilizan de forma
parecida al radar en su orientación. A este fenómeno se lo conoce como ecolocalización. Se
trata de que las ondas emitidas por estos animales son tan altas que “rebotan” fácilmente en
118
todos los objetos alrededor de ellos, esto hace que creen una “imagen” y se orienten en donde
se encuentran.
119
Anexo G. Secuencia didáctica
La siguiente secuencia didáctica, estará dividida en cuatro sesiones, cada sesión estará
estructurada de la siguiente forma:
Tabla 2. Secuencia didáctica.
Elaboración propia.
SESION N°
CLASE
NUCLEO
TEMATICO
DURACION PERIODOS
DE CLASE
Sesión I Clase 1 Repaso funciones Hora y treinta
minutos
2
Sesión II Clase 2 La función seno Hora y treinta
minutos
2
Sesión III Clase 3 Transformaciones de
la función seno
Hora y treinta
minutos
2
Sesión IV Clase 4 Evaluación final Una hora (60
minutos)
1 más 15
minutos
TOTAL 5 horas más 30
minutos
OBSERVACIONES: Es de anotar que los periodos de
clase son de 45 minutos
120
Sesión I
Clase 1
Docente JHONIER DE JESUS MOLINA CASTAÑEDA
Nombre de la
secuencia
ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN SENO
Tiempo Hora y treinta minutos
Problema de
enseñanza
LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
Maestría Enseñanza de la matemática
IE NUESTRA SEÑORA DE LA PRESENTACION
(LA VIRGINIA)
IES Universidad Tecnológica de Pereira
Fecha de elaboración 28/03/18 9:33 A.M.
Sesión 1, clase 1
121
ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40am
Tiempo destinado a la preparación de
materiales y recursos con los que se van a
trabajar en clase, seguidamente procedo
verificar subida de tacos desde la caja eléctrica
y a instalar el video been.
Pcs,
video been,
Televisor,
Tablero.
INICIO DE LA CLASE: 10min
No Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40am
OBJETIVO: COMPRENDER LA FUNCIÓN
SENO DESDE LOS EVENTOS
PERIODICOS DE NUESTRO ENTORNO
FORMA DE EVALUACION: Se tendrá en
cuenta los procesos realizados por el
estudiante en clase, a través, de una lista de
chequeo.
GENERACION DE EXPECTATIVAS: Al
finalizar la clase, el estudiante estará en
condiciones de comprender el concepto de
función, las clases y modelar situaciones de la
vida cotidiana.
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
6:40-
7:30
SECCION 1 REPASO FUNCIONES
122
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE LOS
ESTUDIANTES:
• Se orienta a los estudiantes, para
que formen equipos de cuatro integrantes, para
que dialoguen y expresen sus conocimientos
previos sobre lo que es una función y su
utilización en la vida cotidiana. Cada equipo
nombra un escritor y un relator, el relator
expresara la sumatoria de ideas condensadas en el
encuentro propiciado a la luz del tema funciones.
Cada estudiante, tendrá la posibilidad de
intervenir en el conversatorio.
• Posteriormente, haciendo uso de la
AHD, seguiremos la ruta propuesta y
observaremos un archivo el cual nos cuenta que
es una función y sus características más
importantes.
• Luego para reforzar las ideas
principales, observaremos un video, (sugerido en
la AHD), sobre los conceptos básicos más
relevantes en una función.
• Se abre de nuevo espacio para
confrontar los conocimientos previos con el
concepto matematico de lo que es una función
• Siguiendo la AHD, nos dirigimos a
observar video sobre DOMINIO Y RANGO DE
UNA FUNCIÓN
• Se realiza intervención del docente,
aclarando algunas situaciones.
Pcs,
video been,
123
• Posteriormente con la ruta de la
AHD, se procede a observar video sobre
utilización de las funciones en la vida cotidiana.
• Seguido a esta actividad, los
estudiantes con la misma dinámica de trabajo en
equipo, pensara y describirá algunas situaciones
de la vida cotidiana donde se pueda utilizar el
concepto de función y la modelara en un lenguaje
algebraico.
• Se proponen ejercicios para
resolver, haciendo uso de la AHD.
• Se realizará un conversatorio y se
sacaran conclusiones.
FINAL
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
8:10-
8:30
TAREAS:
-Modele tres situaciones de la vida cotidiana, que se puedan
realizar con funciones
-¿Qué situaciones pueden representarse a través de una
función?
• ¿Qué aprendimos hoy?
124
SESION II
CLASE 2
Sesión 2, clase II
ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40am
Tiempo destinado a la preparación de materiales y
recursos con los que se van a trabajar en clase,
seguidamente procedo verificar subida de tacos
desde la caja eléctrica y a instalar el video been
Pcs,
video
been,
Televisor,
Tablero.
INICIO DE LA CLASE: 10min
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40a
m
OBJETIVO: COMPRENDER LA FUNCIÓN SENO
DESDE LOS EVENTOS PERIODICOS DE NUESTRO
ENTORNO
FORMA DE EVALUACION: Se tendrá en cuenta los
procesos realizados por el estudiante en clase, a través, de
una lista de chequeo.
GENERACION DE EXPECTATIVAS: Al finalizar la
clase, el estudiante estará en condiciones de comprender las
características generales de la función seno y su utilidad en
la vida cotidiana.
125
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
6:40-
7:30
SECCION 2 FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE
LOS ESTUDIANTES:
• Se propone al
estudiantado, reunirse con los mismos
equipos de trabajo y la misma dinámica,
antes de empezar, haciendo uso de la
AHD, se realiza un repaso sobre
ANGULOS Y SISTEMAS DE
MEDIDAS DE ANGULOS, por tanto,
se propone observar el documento y el
video adjunto.
• Con los equipos
conformados, el estudiante observa el
video sobre FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS, y resuelven las
siguientes preguntas, pero antes se
indaga sobre conocimientos previos,
alrededor de las siguientes preguntas:
• ¿Qué es una función
senosoidal?
¿Cuáles son sus características?
¿Cuál es su representacion grafica?
¿Se puede representar gráficamente
una función?
Pcs,
video
been,
126
¿Qué situaciones de la vida
cotidiana se podrían representar a través de
una función seno?
• Seguidamente, observan el
video que propone la AHD.
• Se realiza un
conversatorio y se confrontan
conocimientos previos con el disciplinar
matematico.
• Se invita al estudiante,
para que observe siguiendo la ruta de la
AHD, para que observe las
características, dominio y rango de la
función, las aplicaciones, la gráfica de la
función seno y la de su inversa.
• Se abre espacio para
socialización del trabajo realizado.
Seguidamente, se le propone a los
equipos de trabajo, piensen en
situaciones de la vida cotidiana que se
puedan representar con la función seno.
FINAL
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
8:10-
8:30
TAREAS:
• El estudiante, de forma
individual debe resolver las siguientes
preguntas:
127
¿Qué elementos o categorías
significativos encontramos hasta ahora?
¿trigonométricamente, que es la función
seno?
¿Qué situaciones de la vida cotidiana se
pueden representar con la función?
¿Como podrías modelar una situación
para que se represente a través de la función
seno?
¿Según el video observado que
condiciones deben existir para representar la
función seno?
Modele tres situaciones de la vida
cotidiana, que se puedan realizar con la función
seno
¿Qué aprendimos hoy?
Clase 3
ORGANIZACIÓN Y PREPARACION DE LOS RECURSOS
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40am
Tiempo destinado a la preparación de
materiales y recursos con los que se van a
trabajar en clase, seguidamente procedo verificar
subida de tacos desde la caja eléctrica y a instalar
el video been
Pcs,
video been,
Televisor,
Tablero.
128
INICIO DE LA CLASE: 10min
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
1
6:30
am-
6:40am
• OBJETIVO:
COMPRENDER LA FUNCIÓN SENO
DESDE LOS EVENTOS PERIODICOS
DE NUESTRO ENTORNO
• FORMA DE
EVALUACION: Se tendrá en cuenta los
procesos realizados por el estudiante en
clase, a través, de una lista de chequeo.
• GENERACION DE
EXPECTATIVAS: Al finalizar la clase, el
estudiante estará en condiciones de
comprender el concepto de función, las
clases y modelar situaciones de la vida
cotidiana.
N Hora Actividad de aprendizaje Recurso
6:40-
7:30
SECCION 3
TRANSFORMACIONES Y
TRASLACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO
• En los mismos equipos
de trabajo, y con la misma
dinámica, se indagará sobre sobre
las transformaciones de la función
seno, con las siguientes preguntas:
Pcs,
video
been,
129
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE
LOS ESTUDIANTES:
¿A que llamamos
transformación de una función, en
este caso la función seno?
cuáles pueden ser las
aplicaciones de las transformaciones
de la función seno en la vida
cotidiana.
• Siguiendo la ruta de la
AHD, observaremos el siguiente
video sobre TRANSFORMACIONES
DE LA FUNCIÓN SENO.
• Seguidamente se abre
un espacio de discusión para
contrastar los conocimientos previos
con el matematico.
• Posteriormente,
siguiendo la AHD, se hará un
recorrido conceptual sobre los
siguientes núcleos:
AMPLITUD, PERIODO,
FRECUENCIA , TRASLACIONES
EN X y Y DE LA FUNCIÓN SENO,
y APLICACIONES
• Luego se invita a los
estudiantes, para que realicen
algunos ejercicios propuestos.
130
• Seguidamente, se le
propone a los estudiantes que piensen
en una situación problema de su vida
cotidiana o fenómeno fisiológico
dentro de su cuerpo, que se pueda
representar con la función seno y sus
características ¿Según el video
observado cuales pueden ser las
aplicaciones de las transformaciones
de la función seno?
• Se abre espacio de
debate, donde el estudiante relator
de cada grupo socializa las ideas
generadas por el grupo.
Conclusiones
Clase 4
FINAL
Hora Actividad de aprendizaje Recurso
6:40-
8:30
SECCION 4 EVALUACION
Evaluación final
lápiz,
fotocopias
Fuente: producción propia
131
Anexo H. ANALISIS E INTERPRETACION
Creación y planeación de la AHD
Planeación de la AHD
Tabla 3. Análisis e interpretación
N Análisis Interpretación
I1 Se realizó una inducción
sobre el manejo de la aplicación
Cmaptools, como herramienta
digital, que permite crear mapas
conceptuales con enlaces e
hipervínculos, orientando una ruta
de aprendizaje, basada
fundamentalmente, en el uso de
una Ayuda Hipermedial Dinámica
(AHD)., para la enseñanza de la
función seno.
Lo que significa, que el docente
eligió el recurso digital Cmaptools, como
estrategia para alcanzar la meta planeada,
(Enseñanza de la función seno), como lo
afirma Martínez (2003), quien plantea
que: “El acceso práctico: Se relaciona con
la disponibilidad del tiempo necesario
para el empleo de las tecnologías, al igual
que con preparar el proceso de su uso
como soporte para la enseñanza y como
medio para el aprendizaje.
I2 La AHD, se planifica y
estructura, teniendo en cuenta que
haya la debida conexión y
coherencia entre cada uno de los
contenidos a desarrollar en torno al
desarrollo del núcleo temático la
función seno, es por ello que el
nivel I de la misma, inicia con un
repaso sobre funciones, dominio,
codominio y rango de una función,
variables dependientes e
Esto significa que el docente, tiene
en cuenta en la planificación de la AHD,
los criterios de conexión de contenidos y
de saberes necesarios que debe tener el
estudiante. Esta dimensión del
conocimiento se refiere a la coherencia de
la planificación o de la enseñanza a lo
largo de un curso, lección o serie de
lecciones. La concepción de esta
coherencia incluye también la
secuenciación de material para la
132
independientes dentro de una
función, su forma algebraica, en la
perspectiva de suplir las demandad
cognitivas del estudiante, partiendo
del resultado de la prueba
diagnóstica.
enseñanza y conciencia de las demandas
cognitivas pertinentes de los diferentes
temas y tareas. Como lo asegura Rowland
2008
I3 Se realizó un esquema
previo de la posible AHD, con los
posibles hipervínculos y enlaces en
torno al núcleo temático en
cuestión la función seno, de
acuerdo a las condiciones del
diagnóstico de saberes previos
realizado a los estudiantes.
Lo que significa que el docente
estructuró un esquema previo para
planificar el contenido de lo que se
pretende enseñar, (la función seno), en la
perspectiva de conseguir el objetivo,
como lo dice El acceso
operativo: Referido a los conocimientos
que van a permitir el manejo de la
herramienta tecnológica.
Significa también, que el docente,
haciendo uso del acceso criterial, cuando
asegura que la utilización de las
tecnologías precisa de una actitud previa
crítica con la propia tecnología y que
facilita la toma de decisiones sobre su
utilización. La posibilidad de responder a
la pregunta de por qué esta tecnología
aquí y ahora es una cuestión fundamental.
Además, significa que el docente
hace uso del acceso relacional científico
tecnológico: Vinculado con los requisitos
previos que necesitan tener del proceso de
enseñanza de la función trigonométrica
133
seno, en que se pretende incidir con el uso
de las tecnologías.
I4 Se aplicó el diagnóstico de
saberes previos sobre funciones, en
el cual, se indago por el concepto
de función, dominio y rango de
una función, su representación
algebraica, representaciones a
través de diagramas de VENN,
representación en el plano
cartesiano, tipos de funciones y su
aplicación , modelación y solución
de situaciones problema del
entorno, donde se encontró que los
estudiantes en un 100 % no
resuelven problemas haciendo uso
del análisis funcional.
Para a partir de estos,
diseñar la guía de aprendizaje y las
actividades que permitan alcanzar
los objetivos de aprendizaje
propuestos. Se logró aplicar al
100% de los estudiantes los cuales
presentaron una actitud positiva
frente al mismo.
Lo que significa que esta actividad
se desarrolló basada en uno de los
principios básicos del diseño de
ambientes de aprendizaje, el cual hace
referencia a las habilidades, actitudes y
conocimientos que aportan los
estudiantes, así como en la perspectiva de
ambiente centrada desde quien aprende,
como lo afirman (Boettcher, 2007);
(Bransford et al., 2007).
Esto significa que los estudiantes
requieren de apoyo o complemetación en
la solución de situaciones problema, con
funciones de forma individual, además, el
docente, “puede utilizar valores que
permiten al alumno comprender y
resolver la situación con sus
conocimientos previos, y luego hacerle
afrontar la construcción de un
conocimiento nuevo, como lo asegura
(Brousseau, 1995; (Grennon y Brooks,
1999).
I5 En la prueba diagnóstica
(pregunta 1 y 2), se indaga sobre
sistemas de medidas de ángulos
(conversión del sistema
sexagesimal al de pi radianes y
Esto significa, el docente,
planifica y visualiza cuales deben ser los
conocimientos previos que el estudiante
debe tener para abordar el núcleo
temático “funciones trigonométricas,
134
viceversa, como también sobre
ubicación en el plano cartesiano),
como conocimientos que el
estudiante debe tener para abordar
todo lo referido a funciones, en
específico la parte geométrica de la
graficación de funciones, donde se
encontró que el 55% de los
estudiantes, saben expresar valores
en los dos sistemas y realizar su
respectiva conversión.
además, el docente creó el test con el fin
de hacer el proceso diagnóstico,
esperando identificar la ZDR (Zona de
Desarrollo Real), es decir, teniendo en
cuenta lo que los alumnos saben
previamente y necesitan para aprender los
nuevos conocimiento acerca de la función
trigonométrica seno, lo cual ayudará a
encaminar de mejor manera el curso
académico, como lo recomienda Coll y
Moreno (2008) , (Amador Montaño,
Rojas Garcia, & Sanchèz Bedoya, 2015).
I6 En la prueba diagnóstica,
(pregunta 3), se indaga sobre el
reconocimiento sobre la
interpretación geométrica de
diferentes gráficas y su relación
con la representación de una
función, donde se encuentra que
el 90% de los estudiantes no
reconocen una función, dada su
representación gráfica.
Esto significa, que el docente,
estructura dentro de su planeación, en la
AHD, la secuencia necesaria para la
aprehensión de este núcleo temático,
como lo es funciones, evidenciando, qué
enseñar y cómo, como lo sugiere Shulman
en el TPACK (1986).
Además, planifica las categorías
propuestas por Sierpinska, (1992) al
momento de abordar este núcleo temático
“enseñanza de la función seno”.
I7 En la prueba diagnóstica,
(preguntas 4,5,6,7,8,9), se indaga
sobre transformaciones y
traslaciones de la función seno,
(amplitud, frecuencia, periodo,
traslación en el eje y),
encontrándose, que el 100% de los
Esto significa, que los estudiantes,
requieren de apoyo y complementación en
lo relacionado con la comprensión de las
transformaciones y traslaciones de la
función seno. La función del maestro está
relacionada con el brindar soporte
adecuado a los estudiantes durante el
135
estudiantes no reconocen las
diferentes transformaciones y
traslaciones de la función seno.
proceso didáctico y cuando en el mismo,
el maestro debe ajustar la dirección y
planeación para garantizar resultados
satisfactorios y el cumplimiento de las
metas de aprendizaje para todos los
estudiantes. (Amador Montaño, Rojas
Garcia, & Sanchèz Bedoya, 2015).
I8 En la prueba diagnóstica,
(pregunta 10), se indaga, sobre
representación de situaciones
cotidianas o fenómenos físicos que
se puedan representar con la
función seno, Los resultados
arrojan que el 100% de los
estudiantes no reconocen la
función seno, como herramienta
del análisis funcional, para
representar situaciones cotidianas
cíclicas, ni tampoco fenómenos
físicos periódicos.
Esto significa, que los estudiantes,
requieren de apoyo y complementación en
lo referido a entender su entorno, su
contexto desde la matematizacion del
movimiento, (específicamente, como
representar situaciones cotidianas o
fenómenos físicos a través de la función
trigonométrica seno), esto, de forma
individual, en tal sentido, el TPACK,
refiere que la planificación docente
siempre debe ser: situada, adaptada al
contexto, basada en actividades.
I9 La planeación de la AHD,
está orientada y tiene como
directriz principal en cada una de
sus niveles, que los estudiantes
comprendan y apliquen los
conocimientos adquiridos en la
representación y aplicación de la
función seno en situaciones
periódicas cotidianas, como en
fenómenos físicos, buscando una
Esto significa que el docente,
involucra dentro de la planificación de su
clase, (evidenciado en la creación de la
AHD, como en la secuencia didáctica),
las categorías de la base del conocimiento
como lo son
-Conocimiento del contenido;
-Conocimiento didáctico general,
teniendo en cuenta especialmente
136
coherencia vertical y horizontal en
cada uno de sus componentes, en
la perspectiva de suplir las
necesidades cognitivas del
estudiante.
aquellos principios y estrategias
generales de manejo y organización de
la clase que trascienden el ámbito
de la asignatura;
-Conocimiento del currículo, con
un especial dominio de los materiales y
los programas que sirven como
“herramientas para el oficio” del docente;
-Conocimiento didáctico del
contenido: esa especial amalgama entre
materia y pedagogía que constituye una
esfera exclusiva de los maestros, su
propia forma especial de comprensión
profesional;
-Conocimiento de los alumnos y
de sus características;
-Conocimiento de los contextos
educativos, que abarcan desde el
funcionamiento del grupo o de la clase, la
gestión y financiación de los
distritos escolares, hasta el
carácter de las comunidades y culturas; y
-Conocimiento de los objetivos,
las finalidades y los valores educativos, y
de sus fundamentos filosóficos e
históricos.
Como lo asegura Shulman 2005
137
Creación DE LA AHD
No Análisis Interpretación
I10 Aprendizaje del manejo de
la herramienta CmapTools para crear
la AHD, como aplicación que
permite crear mapas conceptuales,
que permiten insertar hipervínculos,
exportar, importar documentos
digitales en audio, video y escritos.
Esto significa que el docente
debió enfrentar su conocimiento
tecnológico a nuevas experiencias, para
operar tecnologías (aplicaciones),
como en este caso la herramienta
cmaptools, la cual es una herramienta
de distribución gratuita, que permite
crear mapas conceptuales e involucrar
el ella, hipervínculos y documentos de
audio y video, como escritos, los
cuales se pueden cargar en la web,
exportar, importar, de forma digital al
momento de diseñar y crear la AHD,
con el objeto de dinamizar
didácticamente, la enseñanza de la
función seno, como lo asegura (Misrha,
2009)...TPACK.
I11 Se diseña un concepto
llamado PRESENTACION, (AHD),
la cual permite al estudiante,
orientarse en la ruta de aprendizaje
del núcleo temático LA FUNCIÓN
SENO, ésta, además, describe como
está estructurada dicha ruta,
describiendo paso a paso cada una
de las estaciones de trabajo y sus
respectivas actividades.
Esto significa, que el docente
tuvo en cuenta su conocimiento
tecnológico, pedagógico y didáctico
del contenido, para elaborar la AHD,
en la perspectiva de lograr el objetivo.
(enseñanza de la función seno), Como
lo dice el modelo TPACK.
Además, establece unos
acuerdos didácticos con los
estudiantes, como lo asegura
138
También, un concepto,
llamado CONTENIDO, que le
permite al estudiante, visualizar a
manera de índice, todos los temas
que conforman esta ayuda como la
estructura conceptual de la AHD.
Además, un concepto
llamado ROLES Y TRABAJO EN
EQUIPO, que especifica los roles de
trabajo por equipo e individualmente
Adicionalmente, un concepto
llamado INSTRUCCIONES Y
CRITERIOS DE TRABAJO, donde
se acuerdan las normas de trabajo y
criterios, establecidos al momento de
empezar a desarrollar la clase.
Brousseau, en su teoría de las
situaciones didácticas.
I12 En el nivel I de la AHD,
(REPASO DE FUNCIONES), se
Incorporaron de 3 videos, uno
dirigido a que el estudiante apropie
el concepto de lo que es dominio y
rango de una función, su
representacion algebráica y dos
documentos en línea, que reafirman
el concepto de función, como
elementos que dinamizaron el repaso
sobre funciones, en la perspectiva de
conseguir el objetivo y reafirmar o
retomar conceptos fundamentales
Esto significa que el docente
tuvo en cuenta las representaciones del
conocimiento en la enseñanza de y
apropiación del análisis funcional, (el
concepto de función, desde la
representación de diagramas de Ven, su
representación algebraica, la
representación en el plano cartesiano y
la aplicación del concepto en
situaciones del entorno, para su
posterior modelación matemática,
como los asegura Shulman P101 P1
;(Brouseau), cuando habla de las
variables didácticas.
139
para la apropiación del núcleo
temático objeto de la AHD.
I13 En el mismo nivel I, de la
AHD, se propone un concepto,
llamado MODELACION DE
SITUACION, donde se haga uso de
funciones, en el cual, al hacer clic, se
abre un link en word, que permite
que el estudiante registre allí una
situación con las características
mencionadas. Tal situación, servirá
como elemento de evaluación al
docente.
Lo que significa que, el profesor
construyó y seleccionó diversos
mediadores digitales, con la AHD, para
propiciar la enseñanza de la función
seno, guiar a los alumnos en su proceso
de comprensión de los contenidos, así
como también apoyarlos en el
desarrollo de sus competencias; tal
como lo describe Coll y Moreno (2008)
I14 En este nivel I, de la AHD, se
propone un concepto llamado
EVALUACION, en el cual, al hacer
clic, se despliega un formato de
evaluación sobre conceptos básicos
de funciones, esta evaluación la
desarrollan en equipo, en esta, se
propone al estudiante, dadas
situaciones sobre funciones en forma
de enunciado, que las lleve a su
representacion general o algebraica,
como también, se le da su
representacion algebráica, para que
realice tabla de valores (tabular) y
llegue con esta, a su representacion
grafica en el plano cartesiano.
Esto significa que el docente,
planificó la actividad, atendiendo las
directrices del aprendizaje colaborativo,
para la enseñanza de la función seno, Y
llevando como ruta orientadora
principal la AHD, como lo asegura
Mercer (2001), cada vez que
dialogamos con una o más personas
participamos en un proceso de
colaboración en el que se negocian
significados y se movilizan
conocimientos comunes. citado por
(Fernández & Trigueros, 2016).
140
I15 En el nivel 2 de la AHD, en
el cual se propicia un ambiente de
aprendizaje para los estudiantes,
cuyo tema principal es las funciones
trigonométricas.
Este nivel inicia, mostrando
un concepto que posee un enlace de
video y un documento, que lleva al
estudiante a realizar un repaso sobre
sistemas de medidas de ángulos,
seguidamente ubica al estudiante en
un concepto llamado funciones
trigonométricas, en donde al hacer
clik, recrea al estudiante en la parte
de la construcción de las funciones
trigonométricas, desde el circulo
trigonométrico.
Posteriormente, siguiendo la
ruta de la AHD, se propone un
concepto llamado función
trigonométrica seno, la cual le
muestra al estudiante, todas las
características y particularidades de
la función seno específicamente la
función seno, siguiendo la AHD,
encontramos otros conceptos que
nos refieren a la inversa de la
función seno y su gráfica, para luego
ya terminar realizando algunos
ejercicios relacionados con la
Esto significa, que el docente
reconoce en el estudiante sus fortalezas
cognitivas y de aprendizaje,
relacionadas con es te núcleo temático
como lo es la función seno,
desarrolladas en este nivel de la AHD,
como lo asegura Shulman .
141
función y su correspondiente
evaluación. Estos, corresponden a
tareas que interactúan directamente
con el estudiante en archivos de
Word, como talleres de ejercicios
propuestos.
I16 La planificación de este nivel
2 de la AHD, que tiene por título
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS, (FUNCIÓN
SENO), en el cual se asocian
diferentes conceptos como
representacion de la función seno,
grafica, características de la función,
busca brindarle al estudiante, los
elementos necesarios para que supla
sus dificultades en torno a este
núcleo temático.
Esto significa que el docente
planifica la AHD, en la perspectiva de
suplirle las dificultades cognitivas al
estudiante, haciendo uso de estos
recursos digitales, y teniendo presente
el criterio de conexión y coherencia del
que habla Rowland 2008.
I17 En el nivel 3 de la AHD,
(TRANSFORMACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO),
específicamente, introducen al
estudiante, en aspectos como
amplitud, fase, periodo, frecuencia,
traslación positiva y negativa en X y
Y, se crean 7 conceptos, y se
involucran 8 videos y un documento
escrito, además, un documento con
enlace en Word, llamado
EVALUACION FINAL, la decisión
Esto significa, que el docente
identifica las formas de aprender y de
interiorizar el conocimiento, como
también las fortalezas cognitivas de los
estudiantes, en torno a este núcleo
temático como lo es transformaciones y
traslaciones de la función seno, como lo
asegura
Shulman 1993, Glatthom
(1990), saber cómo adaptar el material
representado a las características de los
alumnos.
142
de involucrar más videos que
documentos escritos, se toma ya que
el docente identifica mayor
comprension e interaccion, con las
actividades donde se involucran
videos.
143
Diseño de la secuencia didáctica
N Análisis Interpretación
I18 La secuencia
didáctica, en torno a la
función seno, está diseñada y
estructurada, de tal forma que
haya una conexión en partes
concretas del contenido
matematico, de tal forma que
haya también una coherencia
entre cada una de sus
componentes, desde la
planificación de contenidos
de acuerdo a las demandas
cognitivas y necesidades de
los estudiantes.
Esto significa que el docente,
planifica la secuencia didáctica,
teniendo en cuenta las diferentes
conexiones de sus componentes
(funciones, función trigonométrica,
función seno, traslaciones y
transformaciones de la función
seno), en la perspectiva de suplir las
necesidades cognitivas del
estudiante, teniendo en cuenta que
haya la debida coherencia en la
estructuración de cada uno de los
contenidos, como lo asegura Tim
Rowland, (2008), cuando nos habla
de la conexión como una de las
dimensiones de las categorías del
cuarteto del conocimiento.
I19 La secuencia
didáctica, está diseñada para
que se ejecute bajo ambientes
de aprendizaje como el
autónomo, colaborativo y
basado en problemas, todo
esto inmerso dentro del
modelo pedagógico
socioconstructivista, lo
anterior por la gran gama de
Esto significa que el docente,
en su perspectiva de consolidar el
conocimiento desde el núcleo
temático la función seno, en los
estudiantes a través de la AHD Y LA
secuencia didáctica, planifica y
estructura diferentes teorías del
aprendizaje y un modelo pedagógico
socioconstructivista, que le permitan
interactuar con los estudiantes,
144
posibilidades pedagógicas y
didácticas que ofrecen las
teorías anteriores.
conocer sus dificultades cognitivas y
propiciar momentos pedagógicos y
didácticos, que permitan apropiar
desde la enseñanza, el el objeto
matematico en cuestión.
I20 La secuencia
didáctica, en torno a la
enseñanza de la función seno,
se diseña pensada en cuatro
secciones de clase:
LA SECCIÓN 1, que
tiene por nombre REPASO
FUNCIONES, dura
aproximadamente 1 hora 30
min.
LA SECCIÓN 2,
tiene por nombre
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
(FUNCIÓN SENO), un
tiempo de 1 hora y 31
minutos.
LA TERCERA
SECCIÓN, Tiene por
nombre
TRANSFORMACIONES Y
TRASLACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO, dura
aproximadamente 1 hora más
26 minutos. La sección 4
Esto significa que el docente
estructura y planifica, la secuencia
didáctica, de acuerdo a sus saberes, a
su fundamento teórico y de
formación académica, a su
experiencia, el conocimiento y la
comprensión de las Matemáticas, el
conocimiento de lo más significativo
de la literatura sobre la enseñanza y
el aprendizaje de las Matemáticas,
junto con las creencias concernientes
a la naturaleza del conocimiento de
las Matemáticas, los objetivos de la
educación matemática y las
condiciones en las que los alumnos
pueden aprender mejor Matemáticas,
específicamente la función
trigonométrica seno (periodo,
frecuencia, amplitud, traslaciones y
transformaciones). Lo anterior de
acuerdo a Tim Rowland, cuando
habla del FUNDAMENTO, como
una de las categorías de las cuatro
dimensiones de la teoría del
145
(evaluación), una duración de
1 hora y 30 minutos. Estos
tiempos, están enmarcados
dentro del horario y clases
establecidas por la
institución.
CUARTETO DEL
CONOCIMIENTO.
I21 El diseño de la
secuencia didáctica, que lleva
por nombre LA FUNCIÓN
SENO, está enmarcado
cronológicamente para
desarrollarse dentro de los
tiempos establecidos por la
institución académica, dentro
de los tiempos
preestablecidos para clase.
Esto significa, que el docente
tiene presente en su planificación de
la AHD y la secuencia didáctica en
torno al núcleo temático la función
seno, la institucionalidad al momento
de desarrollar sus clases como lo
señala Brousseau.
I22 Cada componente o
actividad de la sección 1, 2,
3, y 4, dinamizada por la
AHD está diseñada, de tal
forma que se le da prioridad
al conocimiento previo de los
estudiantes, en torno a l
objeto matemático en
cuestión, como lo es la
función seno, para
posteriormente, realizar una
confrontación de sus saberes
previos con los
Esto significa que el docente
tiene presente y es fundamental para
él, partir de los conocimientos
previos del estudiante, en torno al
núcleo temático funciones,
específicamente la función seno,
como lo asegura Vigotsky , 1978
146
conocimientos disciplinares
adquiridos.
I23 La secuencia
didáctica, en sus cuatro
secciones, es pensada
también para desarrollarse
bajo criterios de trabajo en
equipo, autónomo y bajo un
ambiente de aprendizaje
basado en problemas, estos
permiten interactuar, con sus
pares, de una forma
dinámica, y orientada por una
AHD que permiten
evidenciar situaciones de
forma particular, en la
perspectiva de apuntarle al
objetivo planteado, como lo
es que el estudiante modele y
comprenda situaciones
cotidianas, fenómenos físicos
cíclicos, a través de la
función seno.
Esto significa que el docente
prioriza dentro de su planificación de
clase, como un elemento importante
la construcción de significados y de
sentidos de manera colaborativa.
Ello implica el trabajo en equipo.
Como lo asegura Vigotsky 1978
Amador y García 2015.
En un enfoque
socioconstructivista el maestro
propicia el diálogo y la participación
del estudiante con sus compañeros
(Díaz., Hernández., &Rigo., 2009),
principios que rigen las acciones del
maestro con las AHD., en torno a un
objeto matematico especifico como
lo es la función seno.
I24 La secuencia
didáctica, está diseñada, para
que sea dinamizada por la
utilización de la AHD, vista
esta como elemento
fundamental en el proceso de
aprehensión de los saberes
Esto significa que el docente
confronta sus saberes tecnológicos,
al diseñar, crear, estructurar, y
ejecutar nuevos conocimientos desde
una secuencia didáctica, alrededor de
un núcleo temático como lo es la
enseñanza de la función seno,
147
objeto de la misma
secuencia. ( la función seno)
colocando a prueba el conocimiento
pedagógico y conocimiento didáctico
del contenido alrededor del uso de la
AHD, como lo asegura Shulman
1987.
I25
La secuencia
didáctica, para la enseñanza
de la función seno, también
es diseñada y pensada desde
la posibilidad del uso de
recursos como disponibilidad
de Pcs, (6), conectividad,
(para poder ejecutar la
AHD), extensiones
eléctricas, en lo cual no se
tuvo dificultades, ya que la
institución, cuenta con muy
buenos recursos tecnológicos
para este propósito.
Lo que significa que el
docente aprovecho con su
planificación todos los recursos de la
institución para intersectar el
conocimiento didáctico del
contenido, como el pedagógico y el
tecnológico, en la perspectiva de
dinamizar la enseñanza de la función
seno, a través de una AHD, y una
secuencia didáctica, como lo asegura
el TPACK.
Inicio sección 1: ajustes.
No Análisis Interpretación
I26 La sesión uno se inició
con la conformación de grupos
de cinco estudiantes cada uno,
a cada grupo se le asignó un
Lo que significa que el
docente, desarrollo esta etapa,
teniendo en cuenta las características
del AC, el concepto de
148
portátil, en el cual se
encuentran los materiales de
apoyo para la clase. Además,
se asignaron los roles que cada
integrante desempeñará dentro
del grupo colaborativo, dichos
roles fueron: moderador,
secretario y relator, cada uno
de ellos explicado
debidamente al grupo.
Antes de iniciar la
sección 1, (funciones), Nivel 1
de la AHD, se observó un
video llamado “LAS
FUNCIONES EN LA VIDA
COTIDIANA”), como
estrategia de aprendizaje
autónomo con el objetivo de
motivar el inicio de la clase, la
intencionalidad de este recurso
multimedia es despertar en los
alumnos inquietudes por las
funciones y plantear las
necesidades de entender el
lenguaje algebraico del
análisis funcional, y el uso
para explicar situaciones
cotidianas y fenómenos físicos
tal y como se planeó en la
constructivismo social y dos de los
componentes del AC, como son:
compartir y construir, según
(Calzadilla, 2002); (Serrano & Pons,
2011); (Gómez, & Pérez, 2011).
Además, diseñó la clase,
atendiendo el contexto propio en que
se desenvuelven los estudiantes, tal
como lo expone Marqués (2000)
quien precisa que: “para incorporar
estos recursos didácticos a la práctica
educativa se deben considerar dos
aspectos fundamentales: sus
características y la adecuación al
contexto, donde va a ser utilizado”.
(Vílchez, 2007, )
Lo que significa, también, que
la docente eligió el recurso digital,
orientado en la AHD, y en la
secuencia didáctica, como estrategia
para alcanzar la meta planeada,
ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN
SENO, como lo afirma Jiménez
(2000), quien plantea que: “toda
planificación debe estar en función de
los objetivos a conseguir, y en todos
los casos los objetivos deben ser los
rectores de la acción didáctica”.
(Vilchez, 2007)
149
secuencia didáctica (ver SD,
sección introductoria).
El video relaciona
aspectos de la cotidianidad de
los estudiantes tales como
Internet, Facebook y el uso
masivo de las computadoras
con la necesidad de aprender
sobre funciones. (ver video. 0
AHD. VIDEO
INTRODUCTORIO).
I27 La aplicación de la
sesión uno, se llevó a cabo en
el aula que le corresponde al
grupo 11B, por ser el lugar
idóneo dentro de la institución
para tal fin; allí los grupos se
organizaron formando grupos
de 5 estudiantes. Además, se
permitió que los estudiantes
escogieran los integrantes en
sus grupos.
Lo que significa que se tuvo en
cuenta, en el diseño de la unidad
didáctica, nociones del ambiente de
aprendizaje, tales como: a. El entorno,
que comprende todo lo que abarca el
proceso educativo, además de
elementos de infraestructura y
materiales para la clase, como
aspectos físicos, afectivos y sociales,
de los estudiantes. b. El ambiente, que
es el espacio donde se lleva a cabo la
actividad educativa, con apoyo del
TIC (Computador). Lo anterior
teniendo en cuenta lo afirmado por
(Vité, 2012).
I28 Se hizo el diseño de la
sesión de modo que se
permitiera durante las clases la
Lo que significa que la
actividad de diseñar la sesión, se
desarrolló teniendo en cuenta
150
interacción de los estudiantes,
con el contenido, el
conocimiento y el maestro. El
ambiente creado fue simple, de
acuerdo a las características
del grupo y los recursos con
que cuenta la institución
educativa Nuestra Señora de la
Presentación, procurando
favorecer y equilibrar los
niveles de habilidad entre los
estudiantes y los recursos
puestos a su disposición.
principios básicos del diseño de
ambientes de aprendizaje: ofrecer
diferentes opciones de interacción
para los estudiantes, actividades
grupales, favoreciendo canales de
comunicación, colaboración y
compromiso, como lo describe
(Boettcher, 2007).
I29 Los objetivos
planteados en el nivel I de la
AHD, fueron de tipo
conceptual, procedimental y
actitudinal, se propusieron con
el fin de establecer las metas
de comprensión a lograr y
favorecer la comprensión del
concepto DE FUNCIONES
Lo que significa que los
objetivos, fueron elaborados para que
los estudiantes reconozcan el
propósito de las actividades
propuestas y se apropien de su
significado como lo afirma (Gallardo,
2004). Además, su elaboración tuvo
en cuenta la perspectiva de ambientes
de aprendizaje centrada en el
conocimiento sobre FUNCIONES, y
las metas de comprensión como
componente de la comprensión, según
(Stone, 1999).
I30 La planeación y
construcción de los temas,
objetivos y actividades del
nivel I de la AHD,
Lo que significa que se tuvo en
cuenta cómo se desarrollan el
conocimiento conceptual y
procedimental, en sus niveles
151
principalmente están
relacionados con concepciones
del constructivismo y de
ambientes de aprendizaje o
clima de aula. Teniendo en
cuenta las características de la
institución, y los estudiantes
que participaron del estudio,
con el fin de crear un espacio
que favoreciera la
comprensión del tema de
FUNCIONES
intermental e intrapsicológico, cuando
el sujeto actúa en un entorno
estructurado e interactuando con
otros, y su zona potencial, como lo
afirman (Vigotsky Serrano & Pons,
2011); (Cubero, 2005); (Díaz &
Hernández, 2002).
I31 El papel que jugó el
docente, atendió a aspectos
relacionados con el clima de
aula positivo, que favoreciera
la organización, motivación y
aprendizaje de los estudiantes,
apoyándose en la metodología,
el uso de materiales y la forma
de comunicación con los
estudiantes, permitiendo
interacciones positivas con
ellos, que permitieran la
construcción de sus propios
significados y creencias.
Lo que significa que el docente
planeó y desarrolló su papel dentro
del grupo: siendo responsable de
proporcionar un clima de aula
positivo, organizando el espacio de la
clase, la metodología y el uso de
materiales, estableciendo una
comunicación relacional con los
estudiantes, teniendo en cuenta sus
conocimientos previos para construir
puentes con el nuevo conocimiento.
Basada en las concepciones de
(López, 2015); (Boettcher, 2007);
(Bransford et al., 2007)
152
Desarrollo Sección 1: Ajustes
N Análisis Interpretación
I32 Los estudiantes enuncian
sus saberes previos sobre
funciones, utilizan la AHD para
realizar un repaso sobre
funciones, para así confrontar
mediante un conversatorio , a
través de un trabajo realizado en
equipos los conocimientos
previos y el concepto
matematico. Como se observa
en el video 1 de la sección 1,
entre los minutos 10 y 30. ,
además, siguiendo la AHD,
observan video sugerido por la
AHD, en donde reafirman el
nuevo concepto adquirido, ya
que el objetivo del video es
establecer semejanzas y
diferencias sobre una relación y
una función, como se observa en
la filmación de sección 1 video
1 entre el minuto 29 y el 33.
Esto significa que los
estudiantes accedieron al material
digital que el docente preparó en la
AHD, y la secuencia didáctica,
para que consultaran sobre
funciones, comparando sus saberes
previos y el nuevo conocimiento
adquirido. Como lo asegura
(Rowland,2018).
I33 Los estudiantes elaboran
una idea central sobre el
concepto de función, agregando
otros elementos en su discurso
como dominio, codominio y
rango, dependencia entre
Esto significa que el acceso
al material digital propuesto por la
AHD, les ha permitido crecer
conceptualmente sobre el particular
objeto de estudio (funciones),
dinamizado por el trabajo en
153
variables y dando ejemplos
cotidianos sobre funciones
equipo, (APRENDIZAJE
COLABORATIVO) que realizan,
ya que cada uno elabora su
constructo sobre lo que es una
función (APRENDIZAJE
AUTONOMO), para luego
socializar una sola idea que recoge
el sentir del equipo de trabajo.
Como lo asegura (Fernández &
Trigueros, 2016).
I34 La planeación y
construcción de los temas,
objetivos y actividades de la
sesión, principalmente están
relacionados con concepciones
del constructivismo y de
ambientes de aprendizaje o
clima de aula. Teniendo en
cuenta las características de la
institución, y los estudiantes que
participaron del estudio, con el
fin de crear un espacio que
favoreciera la comprensión del
tema funciones
Lo que significa que se tuvo
en cuenta cómo se desarrollan el
conocimiento conceptual y
procedimental, en sus niveles
intermental e intrapsicológico,
cuando el sujeto actúa en un
entorno estructurado e
interactuando con otros, y su zona
potencial, como lo afirman
(Vigotsky Serrano & Pons, 2011);
I35 El docente realiza
intervención para aclarar las
semejanzas y diferencias que
existen entre una relación y una
función, ya que algunos
Esto significa que el
docente utiliza formas de
representación, en este caso para
una mejor comprension sobre lo
que es una relación y una función,
154
estudiantes presentan
incertidumbre al respecto, como
se observa en el video 2 de la
seccion1, entre el minuto 4 y el
14
como lo expresa Shulman :"formas
de expresar, exponer, escenificar o
representar ideas de otra manera,
de suerte que los que no saben
puedan llegar a saber, los que no
entienden puedan comprender y
discernir, y los inexpertos puedan
convertirse en expertos" (Shulman,
1987), en otras palabras, se trata de
las estrategias de enseñanza a la luz
del tópico específico,
FUNCIONES o bien, la didáctica
del contenido específico. Así pues,
el profesor debe tener un amplio
repertorio de formas o alternativas
de representación, algunas de las
cuales derivan de la investigación,
mientras que otras se originan de la
práctica docente.
I36 Se observa video
propuesto por la AHD, sobre
tipos de funciones, en donde el
docente, realiza intervención y
encuentra fundamental las
diferentes representaciones de
una función: su forma general,
su representación, a través, de
diagramas de Venn y su
representacion geométrica, a
través, del plano cartesiano,
Esto significa que el
docente, hace uso de una de las
dimensiones del cuarteto del
conocimiento, demostrado tanto en
la planificación de lo que se va a
enseñar como en el mismo acto de
enseñar. Las descripciones y los
significados propios del profesor se
transforman y se presentan en
método y manera que los alumnos
sean capaces de aprenderlos. Como
155
como también su aplicación en
situaciones cotidianas del
entorno, esta combinación, la
encuentra fundamental el
docente para la comprension del
tema, ya que estas
representaciones permiten saltar
las barreras presentadas en
cuanto al tema. Como se
observa en el video 3 de la
sección 1, entre el minuto 8 al
15
Shulman indica (1986), la
presentación de ideas a los
alumnos conlleva la representación
de las mismas en forma de
analogías, ilustraciones, ejemplos,
explicaciones y demostraciones. Es
particularmente importante la
elección que hacen los futuros
profesores de los ejemplos
presentados a sus alumnos con el
fin de ayudarlos a la formación de
un concepto, a la adquisición del
lenguaje y para demostrar
procedimientos (Rowland,
Huckstep y Thwaites, 2008).
I37 La forma de representar
el concepto de función, desde
cuatro componentes como son:
a. el concepto teórico, b. su
representacion a través de un
diagrama de Venn, c. su
representacion en el plano
cartesiano, d. su representacion
algebraica, e. su aplicación y
modelación de una situación
cotidiana o fenómeno físico,
permite minimizar las
dificultades de aprendizaje por
parte de los estudiantes.
Esto significa que el
docente apropia dentro de su
discurso las diferentes formas de
representacion, evidenciando el
CDC, en torno a la enseñanza de
funciones, como lo asegura
Shulman 1987.
156
I38 Los estudiantes
resuelven taller de ejercicios,
haciendo uso de la AHD,
PREGUNTA 1, en el cual se le
da la forma algebráica de la
función, para que elabore tabla
de datos y grafique, buscando
reafirmación de los conceptos
vistos y una mejor apropiación
de la parte algebráica y su
representación gráfica.
En la pregunta 2 del
taller de ejercicios sobre
funciones, se le propone al
estudiante, que represente de
forma algebraica una función,
expresada ésta en forma de
enunciado.
En la pregunta 3, se le
propone al estudiante, una
situación problema cotidiana,
para que la exprese a través, de
una función, señalando la
variable dependiente de la
independiente.
La cuarta pregunta, se le
propone al estudiante cuatro
Esto significa que el
docente tiene en cuenta las
categorías planteadas al momento
de la enseñanza de las funciones
planteadas por Sierpinska 1992. ,
como también las diferentes
representaciones del conocimiento,
que debe tener el docente dentro
del CDC, planteado por Shulman y
Sykes, 1986.
157
gráficas, para que determine
cuál de ellas corresponde a una
función.
La pregunta 5, hace
referencia a la solución de una
situación problema, haciendo
uso del concepto de función,
dando su gráfica en el plano
cartesiano para su respectivo
análisis.
I39 La sección se termina,
realizando un conversatorio
sobre las respuestas
desarrolladas por los estudiantes
en el taller propuesto. Según
AHD,
Evidenciándose, algunas
dificultades entre la
representacion algebraica de una
función, es decir su forma
general, su representacion
gráfica en el plano cartesiano, y
la aplicación de esta en su
entorno para resolver o
representar una situación. El
docente, realiza intervención
para aclarar preguntas y dudas
al respecto, como se evidencia
Esto significa que el
docente dinamiza su rol en clase y
el del estudiante, cuando propone
trabajo colaborativo y autónomo,
como también el aprendizaje
basado en problemas, como lo
asegura (Cardozo Cardone, 2010) .
Barrows (1986).
Lo que significa que se
reconoció que los procesos
educativos, desde el
constructivismo, requieren apoyo
mutuo para construir conocimiento
y los procesos de interacción
debían mejorar los resultados que
se iban obteniendo a nivel
formativo y de esa construcción en
los estudiantes, como lo indican
158
en la filmación de la sección 1
video 4 entre el minuto 2 y el 7.
La sección termina,
preguntándosele a cada equipo
de trabajo que fue lo que se
aprendió durante la sección,
como se observa en la sección 1
video 4 de la filmación.
(Serrano & Pons, 2011). Además,
el integrar, como componente del
AC, permitió que los grupos
reflexionaran e hicieran evaluación
diagnóstica continua de las metas
de comprensión, mediante
comentarios de la docente, trabajos
escritos, comentarios de los
estudiantes, análisis y reflexión de
las actividades realizadas, revisión
de la integración de lo aprendido
con lo conocido, como lo afirman
(Bransford et. al., 2007); (Stone,
1999); (Collazos & Mendoza,
2006); (Gómez & Pérez, 2011)
I40 Si bien los estudiantes
debieron trabajar en equipo y
tuvieron el apoyo del docente
durante la sesión para atender
inquietudes y cuestiones, cada
estudiante de forma individual
fue responsable de su propio
desempeño de comprensión,
para así poder contribuir a su
equipo, mediante su interés por
el tema, su curiosidad por
investigarlo y descubrir cosas
nuevas, poner al servicio del
grupo su capacidad para
Lo que significa que
además del trabajo colaborativo se
requirió para alcanzar los objetivos
propuestos, del compromiso
individual, como aspecto que
favorecía que cada grupo
desarrollara las competencias y
habilidades esperadas, de modo
que cada integrante del grupo fue
responsable de su propio
desempeño de comprensión y a
partir de éste, contribuyó a la
construcción del conocimiento
grupal, como lo afirman (Gros,
159
interpretar la información, el
uso de sus propias
2008); (Bransford et al., 2007);
(Stone, 1999)
I41 se utilizaron las tic a
través de videos explicativos, la
guía digital de aprendizaje,
páginas web, archivos de word,
como medio para obtener la
comprensión del concepto de
funciones, como alternativa al
método tradicional de la
explicación por parte del
docente en el tablero y
posteriormente la práctica por
parte de los estudiantes; se
esperó que con el uso del
ordenador, los estudiantes
pudieran acceder a información,
aplicaciones, ejemplos y
actividades de refuerzo, de
modo que pudieran seleccionar
y apropiar los conocimientos
que requerían de una forma
principalmente autónoma y
consciente
Esto significa que el
docente hizo una propuesta de
enseñanza, buscando superar
dificultades de aprendizaje de los
estudiantes, aprovechando al apoyo
que brindan actualmente las TIC
con recursos de videos explicativos
sobre funciones, la guía digital de
aprendizaje, páginas web, archivos
de Word, como lo afirma (Litwin,
1994). Además, se consideró el
ordenador, para aprender de él y
con él, como lo indica (Quintana,
citado en Capllonch, 2005) y la
integración que tuvo de los
recursos semióticos
convencionales (letras, texto,
ecuaciones, gráficos, etc.) sumado
a la ampliación de los límites de
presentar, compartir, transmitir
grandes cantidades de información
con menor tiempo y espacio, lo que
favorecía la autonomía y
experimentación del estudiante, al
permitirle explorar, profundizar,
juzgar los contenidos, como lo
indican (Coll & Monereo, 2008);
160
(Coll, Mauri, & Onrubia, 2008);
(Gros, 2008).
INICIO ANALISIS
SECCION 2
FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA SENO
I42 En la segunda sesión se
formaron los mismos grupos,
conservando los roles dentro de
cada uno, como se hizo en la
sesión anterior. Se indicaron los
contenidos de la sesión:
funciones trigonométricas,
función seno, características de
la función seno, dominio y
rango inversa de la función
seno, sus objetivos y se
recordaron las reglas de clase.
Lo que significa que las
nociones del ambiente de
aprendizaje, tales como: El
entorno, elementos de
infraestructura y materiales para la
clase, se siguieron teniendo en
cuenta el ambiente, como espacio
donde se llevó a cabo la actividad
educativa, con apoyo de TIC, con
recursos como: videos sobre
propiedades de las funciones
trigonométricas, dominio y rango
de la función seno, vínculos de
páginas web). Como lo sugieren
(Vité, 2012); (López, 2015).
I43 Los objetivos planteados
en la sesión dos, respecto al
tema de la función seno, fueron
de tipo conceptual,
procedimental y actitudinal, se
propusieron con el fin de
establecer las metas que se
esperaban alcanzar y favorecer
Lo que significa que los
objetivos permitieron a los
estudiantes conocer el propósito de
la sesión y actividades propuestas,
para que se apropien de su
significado como lo afirma
(Gallardo, 2004). Además, su
elaboración tuvo en cuenta la
perspectiva de ambientes de
161
la comprensión de los conceptos
en los estudiantes.
aprendizaje centrada en el
conocimiento, según (Bransford et
al, 2007) y el componente de la
comprensión denominado, metas
de comprensión, según (Stone,
1999).
I44 El contenido en la sesión
dos, correspondió a las
funciones trigonométricas, en
especial la función seno, y
algunas de sus aplicaciones,
como conocimientos conceptual
y procedimental,
respectivamente. Los anteriores
tópicos generativos, se
consideró que constituyen
conceptos básicos en la
enseñanza de la trigonometría
de grado 10.
Lo que significa que se tuvo
en cuenta uno de los elementos del
constructivismo: el contenido,
como lo es características de la
función seno y su gráfica, como
también su inversa,). Para lo
anterior, se consideró uno de los
principios básicos del diseño de
ambientes de aprendizaje, centrado
el contenido, como foco de la
experiencia de aprendizaje, según
(Boettcher, 2007). Además, uno de
los componentes de la
comprensión, los tópicos
generativos según (Stone, 1999).
DESARROLLO
SECCION 2 FUNCIONES
TRIGONOMETRCAS
(FUNCIÓN SENO)
I45 El trabajo en equipo en
esta segunda sesión, guiada por
la AHD, continuó buscando
alcanzar a través de una
comunicación efectiva entre los
Lo que significa que, en el
desarrollo de la clase, se esperó
observar procesos
Interpsicológicos de los
estudiantes, los cuales representan
162
estudiantes, la apropiación de
habilidades como, escribir,
generar estrategias para resolver
problemas, establecer una
sincronía como actividad
coordinada que permitiera
mantener una meta en común.
Con apoyo, además, de
negociaciones para tomar
decisiones grupales que
intervinieran con la producción
final.
puentes desde el constructivismo,
que favorecían obtener el
conocimiento esperado, con apoyo
de las interacciones sociales,
negociaciones, el lenguaje y la
comunicación, la sincronía entre
los integrantes de cada grupo,
producto de la colaboración, como
lo indican (Cubero, 2005)
I46 Aunque los estudiantes
trabajaron en equipo, guiados
por la AHD, tuvieron el apoyo
del docente durante la clase para
atender inquietudes, cada
estudiante debía ser responsable
de su propio desempeño, para
así poder contribuir a su grupo,
por medio de: su interés por el
tema, su curiosidad por
investigarlo y descubrir cosas
nuevas, poner al servicio del
grupo su capacidad para
interpretar la información, el
uso de sus propias palabras,
descripciones de las situaciones
matemáticas, etc.
Lo que significa que
además del trabajo colaborativo,
con la AHD, para alcanzar los
objetivos propuestos, se requirió
del compromiso individual,
evidenciado en el autoaprendizaje,
como aspecto que favorecía el
desarrollo las competencias y
habilidades esperadas, de modo
que cada integrante del grupo fue
responsable de su propio
desempeño y a partir de este,
contribuyó a la construcción del
conocimiento grupal, como lo
afirman (Gros, 2008); (Bransford
et al., 2007).
163
I47 LA SECCION 2, trató
sobre la función trigonométrica
seno, sus características,
dominio y rango, graficas de la
función seno, aplicaciones y su
inversa dando continuidad a la
guía de la sesión uno, para
completar el estudio de los
objetos matemáticos que son
interés en la presente
investigación.
Lo que significa que el
contenido conceptual en la segunda
sesión se fundamentó en la función
trigonométrica seno, su gráfica, su
dominio y rango, sus aplicaciones,
se tuvo en cuenta las categorías
que propone Sierpinska 1992.
ambas sesiones, se relacionaron y
organizaron las partes que
conformaron los tópicos
generativos de la secuencia
didáctica propuesta: la función
trigonométrica seno, procurando
mantener una secuencia temporal
en el aprendizaje, conceptos
previos, como grado, el concepto
de función, dominio, codominio y
rango de una función, su
representación algebraica y en el
plano cartesiano, como lo propone
Sierpinska 1992.
Esto significa también, que
el docente tuvo en cuenta los
criterios de conexión y coherencia
al planificar los contenidos
digitales de la AHD, buscando
suplir las necesidades cognitivas de
los estudiantes, como lo afirma
Tim Rowland 2008
164
I48 El compromiso
individual fue importante en la
construcción del conocimiento
grupal para alcanzar las metas
de comprensión propuestas en la
AHD, con apoyo del lenguaje
como mediador entre ambos
aspectos; así como el uso de
recursos, para consultar
información necesaria. Se
observó cierta dificultad al
momento de realizar actividades
conjuntas con el aporte de cada
integrante, las negociaciones, de
manera reflexiva y crítica por
todos los integrantes del grupo.
Lo que significa que la
intervención activa de quien
aprende es un elemento esencial
para que se dé el aprendizaje y para
alcanzar las metas de comprensión
grupales mediante el aprendizaje
colaborativo, según (Gros, 2008);
(Gómez & Pérez, 2011); (Stone,
1999). Sin embargo, se observaron
algunas dificultades por parte de
algunos estudiantes, para integrarse
con su grupo y poder aportar sus
saberes, interactuar y compartir
con los demás, a través de
negociaciones dialógicas, contrario
a lo que afirman (Gros, 2008);
(Gómez & Pérez, 2011).
I49 Los estudiantes, reunidos
en los mismos equipos de
trabajo y haciendo uso de la
AHD, realizan trabajo de repaso
sobre ángulos y triángulos, ya
que el docente considera
importante realizar este repaso.
Después de que los estudiantes,
interactuaran en esta parte con
la AHD, haciendo el repaso
sobre sistemas de medidas de
ángulos, leyendo y discutiendo
el documento que propone la
Esto significa que, el
docente estructura su clase
incluyendo planes de contingencia,
previamente pensados, de tal forma
que el desarrollo de su clase no se
altere, ni se interrumpa, en la
eventualidad que se presente
alguna dificultad tecnológica, (el
conocimiento tecnológico del
profesor), como lo plantea
TPACK.
165
AHD, se invita a los estudiantes
a que observen el video adjunto,
después se realiza una
intervención por parte del
docente, tratando de reafirmar
los conceptos vistos.
Al iniciar el trabajo bajo
la guía de la AHD, se presentan
algunas dificultades técnicas
con dos de los seis Pcs, ya que,
iniciando, tenían conectividad, y
después de algunos minutos, se
desconectaron, el docente opta
por trabajar con el televisor
instalado en cada aula y
previamente, llevo un cable
HDMI por si sucedía alguna
eventualidad y conecto la señal
de internet desde su Pc,
superando esta dificultad
técnica. Como se observa en el
video 1 de la sección 2, entre el
minuto 1 4
Lo que significa que, el
profesor construyó y seleccionó
diversos mediadores digitales, para
guiar a los alumnos en su proceso
de comprensión de los contenidos
(sistemas de medidas de ángulos),
así como también apoyarlos en el
desarrollo de sus competencias
(Modelar situaciones periódicas,
cíclicas del mundo que los rodea,
con la función seno), como lo
asegura (Araujo & Sastre, 2008).
Además, el docente prepara
su clase de tal forma, que el
estudiante adquiera una secuencia
de conceptos fundamentales y
básicos para poder estructurar en el
nuevo conocimiento, como se
observa con el repaso realizado
sobre sistemas de medidas de
ángulos, como lo asegura Shulman
1987, El conocimiento didáctico
del contenido es especialmente
interesante porque identifica los
diferentes bagajes de
conocimientos para la enseñanza.
Como señala Shulman (1987):
Representa la mezcla entre
materia y pedagogía por la que se
llega a una comprensión de cómo
166
determinados temas y problemas se
organizan, se representan y se
adaptan a los diversos intereses y
capacidades de los alumnos, y se
exponen para su enseñanza. Como
lo asegura Shulman.
I50 Con los equipos
conformados, los estudiantes
exteriorizan sus conocimientos
y saberes previos, alrededor de
las siguientes preguntas:
¿Qué es una función
senosoidal?
¿Cuáles son sus
características?
¿Cuál es su
representación gráfica?
¿Se puede representar
gráficamente una función?
¿Qué situaciones de la
vida cotidiana se podrían
representar a través de una
función seno?
Seguidamente, observan
el video sobre FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS, que
propone la AHD y se realiza un
conversatorio entre ellos
mismos, que luego a través del
líder socializan para todo el
Esto significa que el
docente planifica la clase, desde
una secuencia didáctica, dando
prioridad a los saberes previos, de
los estudiantes, bajo una
metodología de aprendizaje
colaborativo, autónomo y basado
en problemas, en torno al núcleo
temático la función seno, teniendo
en cuenta su Zona de desarrollo
real, (ZDR), para luego acercarlos
a su zona de desarrollo potencial
(ZDP), bajo la guía de un adulto o
con la colaboración de pares más
capaces. Como lo asegura
Vygotski (1980), citado por
Vallejo, García y Pérez (1999).
167
grupo. Como se observa en el
video 1 de la sección 2, entre el
minuto 20 a 25
I51 Al terminar el
conversatorio, se les indica a los
estudiantes, que continúen
llevando la ruta de la AHD y
que observen el video propuesto
por la misma, el cual tiene por
nombre LA FUNCIÓN SENO,
en el cual se realiza un análisis a
dicha función, realizando un
recorrido por sus características,
desde la gráfica, su dominio,
codominio y rango, su periodo.
(VER VIDEO 3 y documento
propuesto 1 de la AHD. Nivel II
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS), como
se observa en video 1 de la
sección 2, entre el minuto 40 al
45
Esto significa que el
docente, recurre al uso de
mediadores digitales en la
planificación y desarrollo de su
clase, con el objeto de volver
aprehensible un conocimiento LA
FUNCIÓN SENO, por parte del
estudiante, seleccionando los
contenidos digitales para guiar a
los estudiantes como lo describe
Coll y Monereo (2008), citado por
(Acosta Luévano, 2015)
I52 Siguiendo la ruta de la
AHD, el estudiante observa el
video 4 propuesto, llamado
APLICACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO, el cual lleva
al estudiante, a recrearse con
situaciones cotidianas de uso de
la función seno desde su
Esto significa que el
docente, diseñó la clase,
atendiendo el contexto propio en
que se desenvuelven los
estudiantes, tal como lo expone
Marqués (2000) quien precisa que:
“para incorporar estos recursos
didácticos a la práctica educativa
168
entorno, como se observa en el
video 1 de la sección 2, entre el
minuto 55 al 62.
se deben considerar dos aspectos
fundamentales: sus características
y la adecuación al contexto donde
va a ser utilizado”. (Vílchez,
2007).
Lo que significa, también,
que el docente eligió el recurso
digital, desde una secuencia
didáctica, como estrategia para
alcanzar la meta planeada,
(ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN
SENO), como lo afirma Jiménez
(2000), quien plantea que: “toda
planificación debe estar en función
de los objetivos a conseguir, y en
todos los casos los objetivos deben
ser los rectores de la acción
didáctica”. (Vilchez, 2007)
I53 Los estudiantes,
siguiendo la ruta de la AHD,
observan video 5 sobre
INVERSA DE LA FUNCIÓN
SENO, en el cual, se parte de
expresiones generales como
senx=1/2, para llegar a
encontrar el valor del ángulo por
medio del arcsen, en esta parte,
se trata de manejar algunos
conceptos algebraicos con el
manejo de ecuaciones.
Esto significa que el
docente busca estructurar en el
estudiante, la secuencialidad de las
categorías que propone Sierpinska,
al momento de enseñar funciones.
la discriminación entre dos
modos de pensamiento
matemático: uno en términos de
cantidades conocidas y
desconocidas y otro en términos de
variables y constantes.
169
I54 Siguiendo la ruta de la
AHD, esta le propone al
estudiante de manera autónoma
y haciendo uso de ABP, que
resuelva las siguientes
preguntas, en el archivo de
Word adjunto que se despliega
en el concepto EVALUACION:
¿Qué elementos o
categorías significativos
encontramos hasta ahora?
¿trigonométricamente,
que es la función seno?
¿Qué situaciones de la
vida cotidiana se pueden
representar con la función seno?
¿Como podrías modelar
una situación para que se
represente a través de la función
seno?
¿Según el video
observado que condiciones
deben existir para representar la
función seno?
Modele tres situaciones
de la vida cotidiana, que se
puedan realizar con la función
seno
¿Que aprendimos hoy?
Lo que significa que la
sesión 2 de la AHD, se diseñó con
la metodología del ABP
(Aprendizaje Basado en
Problemas) (para enseñar la
representacion se situaciones
cotidianas con la función seno y su
respectiva modelación), teniendo
en cuenta que para Lester. 1983
“Un problema es una situación que
un individuo o un grupo quiere o
necesita resolver, para la cual no
dispone de un camino rápido y
directo que le lleve a la solución”.
Referenciado por (Amador y otros,
2014).
Lo que significa también
que, por medio de la problemática
planteada, se pretende enfrentar a
los alumnos a una serie de dilemas
sobre los que los estudiantes no
disponen, de manera previa, de una
abundante información, con lo que
se le incita a la indagación. De esta
manera, se posibilitan
oportunidades para el desarrollo de
habilidades específicas tales como
el análisis, la comprensión y, en su
caso, la resolución del problema.
(Carmen & Elvira, sf).
170
Como se observa en el
video 1 de la sección 3, entre el
minuto 69 al 91
I55 A partir de la resolución
de problemas propuestos en las
actividades, orientadas por la
AHD, se pretendió acortar la
distancia que existe entre la
zona potencial de los estudiantes
y su zona real, es decir, que
lograran pasar de necesitar la
ayuda de otra persona más
capaz para resolver situaciones
problema que involucren
funciones a realizarlos
independientemente, producto
de haber madurado las
competencias que les permitía
hacerlo.
Lo que significa que los
problemas propuestos en las
actividades, que se relacionaron
con problemas que involucran
funciones, buscaron intervenir para
que los estudiantes alcanzaran el
aprendizaje esperado, teniendo en
cuenta las zonas de desarrollo
próximo, potencial y real, descritas
por (Vigotsky, 2009), además
correspondieron al conocimiento
procedimental que era necesario
para favorecer el aprendizaje,
según lo señalado por (Díaz &
Hernández, 2002)
CIERRE SECCION 2
I56 Al cierre de la sección
2, El estudiante, de forma
individual debe resolver las
siguientes preguntas:
¿Qué elementos o
categorías significativos
encontramos hasta ahora?
¿trigonométricamente,
que es la función seno?
Lo que significa que, desde
una perspectiva constructivista, se
intentó revisar y observar la
comprensión generada en los
estudiantes sobre el tópico
generativo de la función seno, sus
características, dominio y rango,
como también aplicaciones en la
vida diaria y cómo ésta cambió
171
¿Qué situaciones de la
vida cotidiana se pueden
representar con la función?
¿Como podrías modelar
una situación para que se
represente a través de la función
seno?
¿Según el video
observado que condiciones
deben existir para representar la
función seno?
Modele tres situaciones
de la vida cotidiana, que se
puedan realizar con la función
seno
¿Qué aprendimos hoy?.
Se recogió esta actividad
para su respectiva revisión y
evaluación de la interiorización
que habían realizado los
estudiantes.
desde la evaluación diagnóstica,
con la participación del proceso
con los otros compañeros del
curso, como lo afirman (Cubero,
2005); (Stone, 1999).
INICIO ANALISIS
SECCION 3
I57 En la tercera sesión se
formaron los mismos grupos,
conservando los roles dentro de
cada uno, como se hizo en la
sesión anterior. Se indicaron los
contenidos de la sesión:
Lo que significa que las
nociones del ambiente de
aprendizaje, tales como: El
entorno, elementos de
infraestructura y materiales para la
clase, se siguieron teniendo en
172
transformaciones de la función
seno, amplitud, fase, frecuencia,
periodo, traslaciones en X y Y
sus objetivos y se recordaron las
reglas de clase
cuenta el ambiente, como espacio
donde se llevó a cabo la actividad
educativa, con apoyo de TIC, con
recursos como: videos sobre
propiedades de las funciones
trigonométricas, dominio y rango
de la función seno, vínculos de
páginas web). Como lo sugieren
(Vité, 2012); (López, 2015).
I58 Al iniciar la sección 3,
con el núcleo temático
TRANSFORMACIONES DE
LA FUNCIÓN SENO, se les
propone a los estudiantes que
con la misma dinámica de
trabajo en equipo (colaborativo
y autónomo), exterioricen sus
saberes previos sobre lo que
entienden por transformaciones
de la función seno, alrededor de
las siguientes preguntas:
¿A que llamamos
transformación de una
función, en este caso la
función seno?
¿Cuáles pueden ser las
aplicaciones de las
transformaciones de la
función seno en la vida
cotidiana?
Esto significa que, para el
docente, es fundamental partir de
los conocimientos previos de los
estudiantes, para así confrontarlos
con conocimientos nuevos como lo
afirma (Cardozo Cardone, 2010).
Lo que significa que, en el
desarrollo de la práctica
pedagógica, guiada por el uso de la
AHD, y la secuencia didáctica, los
alumnos experimentaron algunas
dificultades u obstáculos
cognitivos, comunes en el
aprendizaje DE FUNCIONES,
cuando se avanza a un sistema de
representación más abstracto, en el
cual aumenta tanto el poder del
lenguaje simbólico como el grado
de abstracción. Como lo asegura
Sierpinska (1992), cuando
173
Además, el docente
realiza intervención, generando
a través, de expresión algebraica
en el tablero, de una función
trigonométrica que el estudiante
trate de analizar cuál podría ser
el significado de cada estructura
de la función. Como se observa
en el video 1 de la sección 3,
entre los minutos 1 y 5 ,
seguidamente, la respuesta de
los estudiantes es asumir la
expresión colocada en el tablero
como una ecuación, algunos
dicen formulas, presentándose
algunos obstáculos cognitivos.
La situación anterior, fue
aprovechada por el docente para
hacer reflexionar a los alumnos
sobre las hipótesis realizadas y
generar interacción grupal. El
líder busca explicaciones en
otros grupos, para luego
compartir con su equipo.
categoriza las diferentes
situaciones al momento de enseñar
funciones.
Lo que significa que el
docente actuó como facilitador del
proceso promoviendo
interdependencia positiva en el
grupo para favorecer el aprendizaje
colaborativo. Según Coll bajo
determinadas condiciones, la
interacción entre alumnos puede
ser igualmente origen de ZDP y
puede ofrecer elementos de avance
en su interior. (Onrubia, Coll,
Martín, Mauri, Miras, & Zabala.,
1999).
174
Cierre: Ajustes
No Análisis Interpretación
I59 Al iniciar la sección 3
(TRANSFORMACIONES Y
TRASLACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO), sucede algo
inesperado, como lo es que los
seis equipos (PCs), para el trabajo
en equipo que estaban
inicialmente conectados a
internet, 2 de ellos por problemas
técnicos no se pudieron conectar,
en tal sentido, entonces el
docente tomo como plan B, hacer
uso de televisor que tiene cada
aula, para proyectar la AHD, de
tal forman que los estudiantes
que conformaban estos equipos
de trabajo, no se desvincularan
de la actividad y por el contrario,
siguieran siendo parte activa de
dicha dinámica de trabajo, como
se observa en el video 1 de la
sección 3.
En la sección 3 de la SD,
se presentaron dificultades para
acceder a INTERNET, Por lo
anterior el docente utilizando un
televisor y el computador propio,
pudo desarrollar la sección de
clase en el aula. tal como se
observa en el video 2 sección 3
(video clase), lo cual representó
diferencias significativas en
cuanto a la estrategia
metodológica y el desarrollo de la
practica pedagógica termino
cayendo en el conductismo
tradicional.
Lo que significa que la
AHD, sin los ambientes
informáticos y las herramientas
que puedan ayudar a crear y
supervisar las interacciones del
grupo, y que permitan ambiente
colaborativo no ofrece mucha
ventaja en cuanto a aportes
didácticos para el profesor. Como
lo expresa Johnson y Johnson
175
(1999) referenciado por Fuente
especificada no válida..
Esto significa que el
docente, presentó plan de
contingencia al abordar este nivel
III (TRANSFORMACIONES Y
TRASLACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO), adaptándose
y superando dicha dificultad, con
otra estrategia de trabajo y
soporte técnico, planeada
inicialmente como plan de
contingencia, como lo asegura
plantea el TPACK, cuando se
refiere al conocimiento
tecnológico del profesor.
I60 Siguiendo la ruta de la
AHD, observaremos el siguiente
video sobre
TRANSFORMACIONES DE LA
FUNCIÓN SENO, interiorizando
y comprendiendo la estructura de
una función de la forma y =
2.Senx, evidenciándolo , cuando
los estudiantes resuelven algunos
ejercicios propuestos en la AHD,
como lo muestra el video 1 de la
sección 3, entre los minutos 8 a
12.Posteriormente, se realiza
Esto significa que el
docente estructura dentro del
manejo del Contenido Didáctico
del Contenido y Conocimiento
Didáctico del Contenido
Especifico, dinamizado por los
recursos didácticos trabajados
(AHD), y la secuencia didáctica,
el andamiaje, o ayuda necesaria
para que la construcción del
conocimiento (transformaciones y
traslaciones de la función seno),
se genere mediante actos
176
intervención del docente, en la
perspectiva de contrastar los
conocimientos y saberes previos
emitidos al inicio de la sección,
con los nuevos conocimientos
adquiridos hasta el momento.
conscientes y activos,
promoviendo una cultura
participativa, donde los
estudiantes identifiquen que las
condiciones de la actividad
conjunta, contribuyen a su
formación y lo proveen de
elementos para resolver
problemas de su entorno (Araujo
& Sastre, 2008).
Además, significa que el
docente utiliza, de acuerdo con
Coll y Moreno (2008). Genera las
estructuras digitales que le
permiten apropiar el nuevo
conocimiento en los estudiantes,
de una forma escalonada,
"Los mediadores son los
diversos recursos, con los cuales
el tutor o facilitador construye un
andamio (andamiaje), en el que se
apoya, en este caso pueden ser
digitales o de otra naturaleza los
cuales son un escalón diseñado
para conducir a los alumnos hacia
la independencia" (Acosta
Luévano, 2015) .
177
I61 Posteriormente, se realiza
un recorrido, haciendo uso de la
AHD, por conceptos como
amplitud, periodo y traslación de
la función seno, en donde se
observan videos que reafirman
los conceptos aprehendidos. Se
realiza intervención del docente,
aclarando algunas dudas desde la
representacion geométrica en el
plano cartesiano de cada función
tomada como ejemplo. Como se
observa en el video 1 de la
sección 3, entre el minuto 15 al
20.
Esto significa que el
docente hace uso conceptual de lo
que Amador y otros 2014, llaman
ANDAMIAJE, donde se refieren
a la función del maestro
relacionada con el brindar soporte
adecuado a los estudiantes
durante el proceso didáctico y
cuando en el mismo, el maestro
debe ajustar la dirección y
planeación para garantizar
resultados satisfactorios y el
cumplimiento de las metas de
aprendizaje para todos los
estudiantes.
I62 La sección termina, según
AHD, solicitándosele al
estudiante, que de forma
individual piense en una situación
cotidiana o fenómeno físico que
se pueda representar con la
función seno, se socializa dicha
actividad, realizando un
conversatorio entre los diferentes
equipos de trabajo. Además, se le
solicita a cada líder que como
equipo construyan la conclusión
de lo aprendido en el día de hoy.
Esto significa, que el
docente está extrayendo a través
de preguntas, está valorando y
revisando la comprensión del
estudiante, con el propósito de
realizar un ajuste para hacer una
adaptación de la evaluación
planeada.
Significa también, que el
docente en su estructura de clase,
y guiado por la AHD, a la luz de
las diferentes teorías de
aprendizaje utilizadas para el
desarrollo de la clase, (autónoma,
178
Como se observa en el video 2 de
la sección 3.
aprendizaje basado en problemas
y colaborativo), tiene en cuenta
el concepto de VALIDACION,
enunciado por Guy Brousseau,
(1994), en la Teoría de las
Situaciones Didácticas, cuando
confronta la respuesta de dos o
más estudiantes, en este caso en
torno a las transformaciones y
traslaciones de la función seno, y
sus aserciones, donde ellos deben
de ponerse de acuerdo en la
veracidad o falsedad de las
mismas.
Esto significa que el
docente secuencia el aprendizaje
de nuevos saberes,
contextualizando al estudiante
con su entorno, como lo asegura
Vigotsky con los Procesos de
Internalización.
Además, diseñando una
estructura (andamiaje), que le
permita al docente soportar
didácticamente los nuevos saberes
objeto del conocimiento en el
estudiante. Como lo asegura
Amador 2015.
I63 SECCION 4, en esta, el
estudiante presenta una
Esto significa que el
docente establece paralelos entre
179
evaluación escrita de todo lo
visto en los tres niveles anteriores
(funciones, función
trigonométrica seno,
transformaciones y traslaciones
de la función seno), como
característica de esta evaluación,
se le propone al estudiante,
resolver la misma evaluación que
presentó como prueba
diagnóstica al inicio de las
actividades de la sección 1, ver
video 1 sección 4, esto se realiza
para realizar comparación de
conocimientos interiorizados y
aprendidos, como también
desarrollo de competencias entre
el momento inicial y el final.
el conocimiento inicial de los
estudiantes, (saberes previos) y el
conocimiento adquirido a través
de la interaccion tenida con la
AHD, en el transcurso de las
diferentes secciones y niveles
propuestos por la misma, en la
perspectiva de llegar al objetivo
inicial propuesto, el cual es
Describir y modelar fenómenos
periódicos del mundo real, usando
relaciones y funciones
trigonométricas, en especial la
función seno.
180
Valoraciones.
N Análisis Interpretación
I64 El uso e interaccion de
los estudiantes y el profesor,
con la AHD, creó expectativa
en las diferentes secciones
(1,2,3), ya que era una
experiencia de aprendizaje
nueva para el docente y los
mismos estudiantes. En el
transcurso de las mismas, los
estudiantes fueron
estructurando sus saberes, con
los nuevos conocimientos
brindados por la AHD, a
través de los diferentes
recursos digitales propuestos
por la misma, en torno al
núcleo temático LA
FUNCIÓN SENO.
Esto significa que el docente,
diseño, creo, planificó sus
actividades en clase alrededor del
núcleo temático la función seno,
guiado por un recurso didáctico
digital, como lo es una AHD, y una
secuencia didáctica, concebida como
“un producto multimedia provisto
de: un sistema de hipertextualidad,
un conjunto de estrategias
comunicativas, un contenido
específico, un sistema de evaluación
y de un soporte específico para uso
en procesos de enseñanza y
aprendizaje, desde un enfoque
socioconstructivista” (Rojas,
Sánchez, Amador & Duque, 2013,
p.44).
I65 Para el docente, el
desarrollo de cada sección,
significa enfrentarse a nuevos
retos, que involucran aspectos
relevantes en lo que tiene que
ver con el conocimiento
didáctico del contenido, el
conocimiento tecnológico, el
conocimiento tecnológico
Esto significa que el docente,
incorporó dentro de su conocimiento
didáctico del contenido, una serie de
componentes nuevos, los cuales le
han permitido crecer en torno al
desarrollo de mejores prácticas
educativas, desde la perspectiva de
la enseñanza de la función seno y
mediado por categorías como CDC,
181
pedagógico y el conocimiento
tecnológico del contenido, en
torno a la enseñanza de la
función seno, además, la
pertinencia de los saberes
aprendidos y la aplicación de
estos en su entorno, para
entender los diferentes
fenómenos, a través de las
matemáticas, específicamente
el comportamiento de los
fenómenos oscilatorios y su
estudio por medio de la
función seno.
CT, CTP Y CTC, como lo afirma la
metodología TPACK.
I66 El aprendizaje
colaborativo, Basado en
problemas y autónomo,
presente en cada sección de
trabajo guiado por la AHD, ha
permitido que los estudiantes,
estructuren nuevas estrategias
de comunicación
interpersonal, respetando la
posición y los conceptos
emitidos por su par, alrededor
del núcleo temático enseñanza
de la función seno, como
también aprender a interactuar
con medios didácticos
tecnológicos diseñados para
Esto significa que el docente
se abre y versatiliza su práctica
docente y pedagógica, como su
didáctica, (uso de la AHD y
secuencia didáctica), abriéndose a
nuevas experiencias que tienen que
ver con su rol, además, de
estructurar en el estudiante procesos
de enseñanza, donde es fundamental
el proceso de validación, visto este
como componente que permite
validar o no un concepto de un par y
llegar a puntos de acuerdo a un tema
académico, en especial matemático
(la función seno), Todo esto
enmarcado dentro de los tipos de
182
fortalecer los procesos de
enseñanza y aprendizaje,
además de Validar (procesos
de Validación) y valorar los
conceptos de su par y
encontrar puntos de encuentro
con respecto a una posición
dada.
situaciones en especial la de
“validación”, como lo afirma Guy
Brouseau, en la teoría de las
situaciones didácticas.
I67 Es importante, resaltar
que durante las diferentes
secciones, ( y haciendo uso de
las diferentes teorías de
aprendizaje, los estudiante
estuvieron expuestos a
situaciones donde el líder de
cada grupo, lanzaba conceptos
a otro estudiante o grupo, para
que este refutara o
complementara sobre la
valides de una hipótesis o
enunciado de un par alrededor
de la función trigonométrica
seno
Esto significa que el docente
diseña su clase, desde la perspectiva
de un momento fundamental en la
teoría de las situaciones didácticas
de Guy Brousseau (1992), como lo
es las situaciones de formulación,
donde un alumno (o grupo de
alumnos) emisor debe formular
explícitamente un mensaje destinado
a otro alumno (o grupo de alumnos)
receptor que debe comprender el
mensaje y actuar (sobre un medio,
material o simbólico) en base al
conocimiento contenido en el
mensaje.
Permitiendo esto, un mejor
escucha y atención.
I68 Una de las situaciones
importantes que es de resaltar
dentro del proceso y trabajo
con la AHD, es que al
momento de realizar el repaso
Esto significa que el docente
haciendo uso de su conocimiento
específico del contenido, (la función
trigonométrica seno), como también
del uso de diferentes sistemas de
183
sobre funciones, se notó mejor
comprension del tema, cuando
al estudiante se le presentó con
la ayuda de la AHD y sus
recursos digitales, además, de
la intervención del docente,
varias posibilidades de
comprender el tema como lo
fue, la presentación del
concepto de función, seguida
de su representacion general o
algebraica, como también, su
representacion mediante
diagramas de VENN,
sagitales, y su representacion
geométrica en el plano
cartesiano, tal situación,
permitió a los estudiantes, una
mejor comprensión y
apropiación del tema.
representación, permitiendo
establecer diferentes variables
didácticas como lo asegura Brouseau
(1995) cuando asegura que: El
docente “puede utilizar valores que
permiten al alumno comprender y
resolver la situación con sus
conocimientos previos, y luego
hacerle afrontar la construcción de
un conocimiento nuevo fijando un
nuevo valor de una variable. La
modificación de los valores de esas
variables permite entonces
engendrar, a partir de una situación,
ya sea un campo de problemas
correspondientes a un mismo
conocimiento, ya sea un abanico de
problemas que corresponden a
conocimientos diferentes.”
I69 El resultado de la
evaluación final contrastada
con la evaluación diagnóstica,
aplicada inicialmente, (es de
anotar, que se aplicó la misma
evaluación), y que en su
momento mostró unos
resultados en los cuales ningún
estudiante supero el NIVEL I,
o, sea, el 100% no alcanzó 25
Esto significa que, el uso de
esta propuesta didáctica basada en
(AHD) y la secuencia didáctica, para
la enseñanza de la función seno en el
grado diez, con la
complementariedad de la secuencia
didáctica como estrategia de
enseñanza, le ha permitido al
docente dinamizar los procesos de
enseñanza con este núcleo temático,
184
puntos o más, en la prueba
fina, el resultado fue
totalmente positivo y
halagador en la perspectiva de
la consecución del objetivo,
se obtuvo un 72.97% de
estudiantes que superaron el
NIVEL III, de la AHD,
(transformaciones de la
función seno), es decir de 37
estudiantes que conforman el
grupo, 27 superaron la prueba
o evaluación final, teniendo en
cuenta que la institución,
posee un sistema de
evaluación en la cual el
estudiante adquiere un nivel
básico cuando saca una
calificación igual o mayor a
tres con cinco (3,5),
observándose una media en el
resultado de las notas de dicha
evaluación (la final), de 4,16
sobre una valoración de 1 a 5.
a la luz de la teoría del modelo
pedagógico socioconstructivista,
enunciada por Lev Vigotsky, a la
luz de teorías del aprendizaje como
el aprendizaje autónomo, Basado en
problemas y el colaborativo, han
cumplido con el objetivo de volver
más significativo el aprendizaje de la
función seno y su utilización en el
contexto para la resolución de
problemas.
Vigotsky 1978.
I70 El resultado de la
evaluación final, con un 72,9%
de aprobación del nivel 3 de la
AHD, permite establecer, que
los contenidos digitales
planificados y desarrollados en
Esto significa que el docente
apropio y evidencio el uso de cada
una de las categorías que propone
Rowland en cada una de las
secciones de clase, como lo son: EL
FUNDAMENTO, LA
185
cada una de las secciones
fueron apropiados, en la
perspectiva de la consecución
del objetivo como lo es la
enseñanza de la función seno.
TRANSFORMACION, LA
CONEXIÓN Y LA
CONTINGENCIA, cuando nos
habla de la teoría del cuarteto del
conocimiento
186
Anexo K. Análisis estadístico resultados evaluación diagnóstica vs evaluación
final
Evaluación diagnóstica.
Resultados evaluación final
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
ESTUDIANTES APROBADOS
ESTUDIADOS REPROBADOS
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
ESTUDIANTES REPROBADOS
ESTUDIANTES APROBADOS
187
Realizando un análisis sobre los dos cuadros comparativos, (evaluación diagnostica vs
evaluación final, se observa que con respecto a la pregunta uno, en la evaluación diagnostica,
el 83% de los estudiantes contesto correctamente, en la evaluación final el valor d estudiantes
con respuesta correcta es del 94%, evidenciándose una mayor apropiación e interiorización
del núcleo temático evaluado.
Con respecto a la pregunta dos, el 87% contesto correctamente en la evaluación
diagnostica, en la final el valor es del 91%, evidenciándose mayor apropiación.
En la pregunta tres, de la evaluación diagnostica, el valor correspondiente a
estudiantes con respuesta correcta es del 12% y en la evaluación final, es del 85%,
evidenciándose mayor apropiación del núcleo temático evaluado
En la pregunta cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, de la evaluación
diagnostica, el porcentaje de estudiantes sin respuesta correcta, es del 100%, en la evaluación
final el valor es de 82%, 76%, 88%, 94%, 79%, 88%, 73% respectivamente, evidenciándose
mayor apropiación de los núcleos temáticos evaluados.
Se evidencia, entonces, la pertinencia de la ayuda didáctica utilizada, como lo es AHD
EN LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION SENO.
188
Anexo L. Evaluación diagnostica y final
INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE LA PRESENTACION
PRUEBA DIAGNOSTICA
GRADO 10. NOMBRE ESTUDIANTE: __________________________________
NUCLEO TEMATICO: LA FUNCION SENO
ESTANDAR: Describo y modelos fenómenos periódicos del mundo real usando
relaciones y funciones trigonométricas.
TEORIA DE APRENDIZAJE COLABORATIBO, ABP Y AUTONOMO
DOCENTE: JHONIER MOLINA CASTAÑEDA.
1. Que ángulo corresponde a 1/3 /rad :
a. 30° b. 60° c. 90° d. 70°
2 . ¿Cuál es la ubicación de los siguientes puntos?, en el plano cartesiano
adjunto:
189
3.
4. Traza la gráfica de la función y=2+sen4x
5 . El valor de la amplitud y la frecuencia en la siguiente grafica es:
a. Amplitud 3 ; frecuencia 3,5
b. Amplitud 3 ; frecuencia 3
c. Amplitud 3,5 ; frecuencia 3
d. Amplitud 3,5 ; frecuencia 3,5
6 . Graficar la siguiente funcion y determina su amplitud, ¿Cuáles son sus valores
máximos y mínimos? y= -3 Sen x+1
7 . Calcula la amplitud, periodo y desplazamiento de fase de y= 2senx+4)
190
8 . Halla amplitud, periodo, desplazamientos verticales y horizontales (si los hay),
dominio y rango de las siguientes funciones.
𝑎) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 b) 𝑦 = −3
2𝑠𝑒𝑛𝑥 c) 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(−𝑥) d) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2
9 . Escriba la función que determina cada gráfica.
10 . Elabore una situación o fenómeno de la vida cotidiana que se pueda representar
gráficamente con la función seno.
191
Anexo M.
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