andreas austengog stine hverven (inf3470/4470, …...in3190/4190 digital signalbehandling andreas...
TRANSCRIPT
IN3190/4190 Digital signalbehandling
Andreas Austeng og Stine Hverven (INF3470/4470, H18).
Repetisjon av komplekse tall og trigonometri
Mål
• Beherske komplekse tall.• Beherske trigonometriske funksjoner.• Huske og forstå de fleste trigonometriske identiteter.
= Matematisk grunnlag for faget. Forventet at dere kan dette fra tidligere fag.
18.08.2019 3
Komplekse tall
• a = Re{z} er realdelen til z• b = Im{z} er imaginærdelen til z• j = roten av -1, (j2 = -1): den imaginære
enheten
• i eller j– Opprinnelig stod i for imaginær: matematikk– I elektrofag er i strøm, derfor brukes heller j
18.08.2019 4
z = a + jb
Komplekse tall: Sum og produkt
Regning følger vanlig aritmetikk, med j2 = -1
Gitt at vi har: z1 = a1 + jb1 og z2 = a2 + jb2
• Sum: z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
• Produkt: z1z2 = (a1 a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1)
18.08.2019 5
Komplekse tall: Visualisering ogkoordinatsystemer• Reelle tall: et punkt på en tallinje• Komplekse tall: et punkt i planet.
– Caspar Wessel 1799• Regneoperasjoner à vektoroperasjoner.
• To mulige koordinatsystemer: – kartesiske koord. – polarkoord.
18.08.2019 6Kilde: Wikipedia
Komplekse tall på kartesisk form
• Realdel: a = r cos(φ) = Re{z}
• Imaginærdel: b = r sin(φ) = Im{z}
• Gir enkel addisjonz1+z2 = a1+a2 + j(b1+b2)
18.08.2019 7
z = a + jb
Komplekse tall på polarform
• Tallverdi, magnitude:r = (a2 + b2)1/2 = |z|
• Fase:φ = tan-1(b/a)= ang{z}
• Gir enkel multiplikasjon:z1 ! z2 = r1! r2 e j(φ1+ φ2)
18.08.2019 8
# = %&'( Komplekse tall: komplekskonjugering
Kartesisk form:z* = (x + jy)* = x – jy
Polar form:z* = (rejφ)* = re-jφ
18.08.2019 9Kilde: Wikipedia
Komplekse tall: komplekskonjugering
Multiplikasjon:zz* = (a + jb)(a - jb) = a2 + b2 = |z|2
Addisjon:z + z* = (a + jb) + (a - jb) = 2a = 2Re{z}
Subtraksjon:z - z* = (a + jb) - (a - jb) = 2jb = 2j·Im{z}
18.08.2019 10Kilde: Wikipedia
Komplekse tall og trigonometri
• Eulers identiteter:
• Så en tidsavhengig cosinusfunksjon med frekvens f og fase φ:
18.08.2019 11
Komplekse tall og trigonometri
• cos2φ + sin2φ= ?
!" (ejφ + e−jφ)
"
+!"& (ejφ − e−jφ)
"
= ?
18.08.2019 12
Komplekse tall og trigonometri
• cos2φ + sin2φ =!" (ejφ + e−jφ)
"
+!"& (ejφ − e−jφ)
"
= ?
!' ej2φ + 2 + e−j2φ − !
' ej2φ − 2 + e−j2φ = 1
• Viktig resultat som er lett å utlede med komplekse eksp.
• Tilsvarende lett å finne cos(2φ), sin(2φ), cos(φ/2), osv.
18.08.2019 13
Komplekse tall og trigonometri
• Eksempel 1: Modulasjon
cos(φ1)cos(φ2) = ?
= (1/2)(cos(φ1 + φ2) + cos(φ1 - φ2))
– hvis φ1=ω1t & φ2=ω2t dannes det nye frekvenser (ω1+ω2 & ω1-ω2)
18.08.2019 14
Komplekse tall og trigonometri
• Eksempel 2: Sum av cosinuser med samme frekvens
åkAkcos(2πft + φk) = ? der Aejφ = åk {Akejφk}
= Acos(2πft + φ)
• Eksponensialform er mye enklere å bruke for regning i disseeksemplene.
18.08.2019 15
Kompleks amplitude (fasor)
• Acos &' + ) = Re A-. /012 = Re A-.2 3 -./0
• https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor#/media/File:Unfasor.gif
18.08.2019 16
Kompleks amplitude (fasor) - addisjon
• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:
A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?
18.08.2019 17
Kompleks amplitude (fasor) - addisjon
• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:
A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?
Re A"/0 12345 + Re A*/0 12346 =Re A"/0 12345 + A*/0 12346 =
18.08.2019 18
Kompleks amplitude (fasor) - addisjon
• 2 stk cosinuser med lik frekvens og ulik fase:A"cos &' + )" + A*cos &' + )* =?Re A"/0 12345 + Re A*/0 12346 =Re A"/0 12345 + A*/0 12346 =
Re /012(A"/045 + A*/046) =Re /012 9 A:/04; =A:cos &' + ):
18.08.2019 19
Kompleks amplitude (fasor) - addisjon
• Hva er A" og #"? A"$%&' = (A* $%&+ + A-$%&.)
Skriver om til reell og imaginær del og får:
18.08.2019 20
Kompleks amplitude (fasor) - addisjon
• Hva er A" og #"? A"$%&' = (A* $%&+ + A-$%&.)
Skriver om til reell og imaginær del og får:
• A"- = (A*cos#* + A-cos#-)- + (A*sin#* + A-sin#-)-
• #"=arctan 9+sin&+:9.sin&.9+cos&+:9.cos&.
18.08.2019 21
Potensfunksjoner, a"
• Potens a"; grunntall a, eksponent b• a"$% = a" ' a%
• ()*= +,*
• Oppg: (2 + j)6 = ?
18.08.2019 22
Potensfunksjoner, a"
• Potens a"; grunntall a, eksponent b• a"$% = a" ' a%
• ()*= +,*
• Oppg: (2 + j)6 = 26 + 2 ' 2j + j6 = 3 + 4j
• i slike oppgaver skal svaret alltid på formen a + jb
18.08.2019 23
Geometriske rekker
• Sum av konvergent geometrisk rekke (brukes mye!)
!"#$
%&'(" = *
1 − (-1 − (.
( ≠ 1
( = 1
• Uendelig rekke, dvs M → ∞:
!"#$
3(" = 1
1 − ( , |(| < 1
18.08.2019 24
Utledes i fasit til Øving 1
Periodiske, diskrete funksjoner
• cos(0.25* + ,-) vs. cos(/* + ,
-) ?
• cos(2/F1* + 2) er periodisk hvis frekvensen F1 kan skrives på formen: F1 = k/N der k og N er heltall, og N=perioden
• Eksempel: cosinussignal med egentlig periode på 10 sek. Vi sampler hvert 0.5 sek. Hva blir vår diskrete cosinusfunksjon?
18.08.2019 25
18.08.2019 26
Tips: • Magnituderespons er plott av |X( ... )|.• Siden e^{j...} er periodisk, holder det å beregne
for noen utvalgte verdier mellom 0 og pi.• Fasen er «phi» når skrevet på formen
A exp{j «phi»}