an~as brancas estrelas de n^eutron modelos efetivos/equa˘c ... · modelos efetivos/equa˘c~ao de...
TRANSCRIPT
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
X Escola do CBPF
Hilario Rodrigues
August 3, 2015
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Roteiro
1 Anas Brancas
2 Estrelas de Neutron
3 Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia Nuclear
4 Estrelas Hıbridas
5 Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Evolucao das Anas Brancas
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Caracterısticas
Nao ha mais producao de energia
Sua luminosidade se deve a energia termica
Lei de Stefan-Boltzmann: L = 4πR2σT 4ef
Materia degenerada. O raio dependente apenas da sua massa.Entao L = const. T 4
ef .
Para uma temperatura central inicial de 5× 106 K e numeroda massa A = 20, a ana branca leva ∼ 109 anos para seresfriar
Com o resfriamento, a materia estelar forma uma estruturacristalina
Ao fim desse perıodo a estrela se torna uma ana negra, densa,fria, e cristalizada
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Sırius B (1850): companheira da estrela Sırius A. E a anabranca mais proxima da Terra. Raio 6000 km e massa 0.98MProcyon B (1896): companheira da estrela Procyon A. Raioestimado em 8400 km e massa 0.6 M
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
S. Chandrasekhar (Nobel 1983)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Mecanica Quantica
O equilıbrio das anas brancas e possıvel por dois motivos
Princıpio de exclusao de Pauli: dois eletrons nao podem ter omesmo estado quantico
Princıpio da incerteza: ∆x∆p ∼ ~O momento do eletron pode ser estimado: p ∼ ~
∆x . Seja ne adensidade de eletrons, entao a distancia media dos eletrons entre sie
∆x ∼ n−1/3e
E o momento do eletron
p ∼ ~n1/3e
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
A pressao dos eletrons pode ser estimada:
P =1
3nepv
Eletrons nao-relativısticos: v = p/me . Obtemos entao
P =1
3nep
p
me
E, portanto,
P =1
3ne(~n1/3
e )
(n
1/3e
me
)→ P ∼ n
5/3e
Para densidades muito altas, os eletrons tornam-se relativısticos, ea velocidade tende a velodidade da luz: v = c . Neste caso
P =1
3ne(~n1/3
e )c → P ∼ n4/3e
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Podemos escrever, a partir desses resultados, p = const × ργ , ondeγ e um parametro chamado expoente adiabatico
Gas nao-relativıstico: γ = 53
Gas relativıstico: γ = 43
Segunda lei da termodinamica (processo adiabatico):
dE = −pdV = −const ×MγV−γdV
Integrando, obtemos
E = const ×Mγ V 1−γ
γ−1 , ou E = pVγ−1
De forma geral, se p(ρ) = Kργ , entaodpdρ = Kγργ−1 → ρ
pdpdρ = γ
Podemos definir a partir daı o expoente adiabatico efetivo
γef = ρpdpdρ = d ln p
d ln ρ
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Materia Degenerada
A energia de Fermi do gas de eletrons e definida por:
EF =√k2F c
2 + m2c4
O gas e degenerado se a energia de Fermi e muito maior que aenergia termica caracterıstica do gas: EF kTComo EF ≥ mc2 = 0.511 MeV, isso implica que a temperaturacrtica e Tc = 0.511MeV /k ∼ 6× 109 KTemperaturas tıpicas no interior das anas brancas: 106 − 107 K.Concluımos que anas brancas contem um gas de eletrons frio edegenerado, permeando uma rede cristalina formada pelos nucleosatomicos.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbrio versus Instabilidade
Esfera de materia degenerada de massa M e raio R:
Energia gravitacional: Eg ∼ GM2
R
Energia interna: Ei ∼ pVγ−1 = KργV
γ−1 = aMγR3(1−γ)
Energia total: E = aMγR3(1−γ) − GM2
R
Minimizando em relacao a R:
∂E∂R = 0
−bMγR2−3γ + GM2
R2 = 0
Para γ = 5/3, obtemos −bM5/3
R3 + GM2
R2 = 0
Solucao: MR3 = const.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Para γ = 4/3 obtemos−dM4/3
R2 + GM2
R2 = 0
Sem dependecia em R. Solucao indeterminada.
Caso nao-relativısico: E = aM5/3R−2 − GM2
R . Os dois termostem dependencia em R diferentes.
Caso relativısico: E = cM4/3
R − GM2
R . Os dois termosapresentam a mesma dependencia m R.
Ei ∝ M4/3 e Eg ∝ M2
γ ≤ 43 e instavel contra expansao ou contracao.
Massa crıtica (estimativa): Eg = Ei .
Mc =
(~c
Gm4/3N
)3/2
≈ 1M
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbirio Hidrostatico
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbirio Hidrostatico
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbirio Hidrostatico
Equacao de equilıbrio hidrostatico para uma estrela esferica (naaproximacao da gravitacao Newtoniana):
dp
dr= −Gρ(r)m(r)
r2→ r2
ρ
dp
dr= −Gm(r)
Equacao da massa:
dm
dr= 4πρr2 → m(r) =
∫4πρr2dr
Combinando as equacoes em uma unica equacao diferencial desegunda ordem:
d
dr
(r2
ρ
dp
dr
)= −4πGρr2
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacao de Lane-Emden
Para um gas politropico a relacao entre a pressao e a densidade edada por:
p = Kρn+1n
onde K e uma constante e n e definido por
n =1
γ − 1
onde γ e o expoente adiabatico do politropico.Substituindo a equacao de estado politropica na equacao deequilıbirio hidrostatico obtemos
d
dr
(n + 1
nKρ−(n−1)/nr2 dρ
dr
)= −4πGρr2
Condicoes de contorno: ρ(r = 0) = ρc (densidade no centro daestrela); p(r = 0) = pc (pressao central).
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Parametros livres: ındice politropico n e a constante K . K estarelacionado com a massa da estrela e composicao quımica.Definindo ρ = ρcθ
n e r = αξ, onde
α =
[(n + 1)Kρ
(1−n)/nc
4πG
]1/2
obtemos a equacao de Lane-Emden
1
ξ2
d
dξ
(ξ2 dθ
dξ
)= −θn
que fornece θ em funcao de ξ com as condicoes de contorno
θ(0) = 1 e dθdξ
∣∣∣ξ=0
= 0.
Existem solucoes analıticas apenas para n = 0, 1 e 5.Para n < 5 (γ > 6
5 ) todas as solucoes sao monotonicamentedescrecentes.Para a solucao numerica, inicia-se com ξ = 0 mais as condicoes decontorno.X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Limite de Chandrasekhar
O valor ξ = ξ1 para o qual θ(ξ1) = 0 define o raio da estrela,
R = αξ1 =
[(n + 1)Kρ
(1−n)/nc
4πG
]1/2
ξ1
A massa da estrela pode ser obtida da equacao
M =
∫ R
04πρr2dr
Em termos das variaveis θ e ξ:
M = 4πα3ρc
∫ ξ1
0ξ2θndξ
Podemos escrever
M = −4πα3ρc
∫ ξ1
0
d
dξ
(ξ2 dθ
dξ
)dξ
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
ou
M = −4πα3ρcξ21
dθ
dξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
Eliminando ρc e α obtemos a relacao massa-raio
M = −4πR(3−n)/(1−n)
[(n + 1)K
4πG
]n/(n−1)
ξ1(3−n)/(1−n)ξ2
1
dθ
dξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
Densidade central baixa: n ≈ 3/2 (γ = 5/3), e
ξ1 = 3.654 edθ
dξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
= 0.2033
Neste caso R ∼ M−1/3.Densidade central alta: n ≈ 3 (γ = 4/3) e
ξ1 = 6.897 edθ
dξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
= 0.04243
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Basicamente, as anas brancas sao compostas por nucleos atomicose um gas de eletrons livres. A pressao do gas de eletrons se opoe aatracao gravitacional. A pressao dos nucleos pode ser desprezadaem relacao a pressao dos eletrons.Para densidades ρ 106 gcm−3 o gas de eletrons e degenerado enao-relativıstico, e a equacao de estado e dada por
p = K1ρ5/3
com K1 = 1.0036× 1013µ−5/3e (cgs), sendo µe o peso molecular
medio:
µe =
(∑i
ZiXi
Ai
)−1
Neste caso
R =1.9988× 104
µ5/6e
(ρc
106 gcm−3
)−1/6
km
e
M =22.435
µ5e
(R
104 km
)−3
M
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Para densidades elevadas (ρ 106 gcm−3), a materia estelarentra no regime de degenerescencia relativıstica, em que avelocidade dos eletrons se aproxima da velocidade da luz. Aequacao de estado e dada por
p = K2ρ4/3
onde K2 = 1.2435× 1015µ−4/3e , em unidades do sistema cgs.
Neste caso se obtem o raio
R =5.313× 104
µ2/3e
(ρc
106 gcm−3
)−1/3
km
e a massa
M = 1.457
(2
µe
)2
M
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
O limite de Chandrasekhar depende apenas da composicao quımicada estrela, atraves do fator µe . Representa a massa maxima quepode ser sustentada pela pressao dos eletrons degenerados eultra-relativısticos, contra a atracao gravitacional. E a massa limitepossıvel para uma ana branca. Um caroco composto de materiadegenerada com massa maior que o limite de Chandrasekhartorna-se instavel, entrando em colapso gravitacional.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Interacoes Fundamentais
Pressao e energia interna devidos basicamente ao gas de eletronslivres
Np = Ne . Carga eletrica global nula (Q = 0): energiaesletrostatica ∼ 0
Energia termica (P ∼ σT 4) e contribuicao dos ıonsdesprezıveis
Interacao fraca (processo Urca):
(Z ,A) + e− → (Z − 1,A) + νe
(Z − 1,A) → (Z ,A) + e− + νe
Correcao eletrostatica da rede cristalina (Salpeter, 1961):
ERZ = − 9
10
(4π3
)1/3Z 2/3e2n
2/3e
PR = n2e∂(ER/Z)∂ne
→ PR = − 310
(4π3
)1/3Z 2/3e2n
4/3e
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
A interacao forte nao participa (baixas densidades!)
Interacao nuclear curto alcance ∼ 2.2 fm (1 fm = 10−13 cm)
Distancia media entre os nucleos: ∆x ≈ n−1/3N (nN numero de
nucleons por unidade de volume)
nN = ρmN
(mN massa do nucleon = 1.674× 10−24 g)
∆x =(mNρ
)1/3
ρc ∼ 106 gcm−3: ∆x = 1.2× 10−10 cm ' 1000 fm
ρc ∼ 108 gcm−3: ∆x ' 200 fm
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Gas Ideal de Fermi
Funcao de particao:Z (V , β, µ) =
∏q
(1 + ze−βεq
), β = 1/kT , z = eβµ
Numero de fermions no sistema:N = 1
β∂∂µ lnZ =
∑q nq, nq = 1
z−1eβεq+1
Pressao: pV = 1β lnZ = 1
β
∑q ln[ze−βεq + 1
]Energia interna: E = − ∂
∂β lnZ =∑
q1
z−1eβεq+1∑q →
g~3
∫d3r
∫d3k = g V
~3
∫d3k
g = 2S + 1 (degenerescencia de spin)Obtemos:
n = g2π2~3
∫∞0
k2
z−1eβε+1dk
p = g6π2~3
∫∞0
k3
z−1eβε+1∂ε∂k dk
ε = g2π2~3
∫∞0
k2
z−1eβε+1εdk
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Gas de Fermi Degenerado
Energia da partıcula: ε =√k2c2 + m2c4
No limite µ/kT →∞, a distribuicao de Fermi admite apenasdois valores possıveis: n = 1 se ε ≤ εF e n = 0 se ε > εF
εF e a energia de Fermi: εF =√
k2F c
2 + m2c4, sendo kF o
momento de Fermi.
Num sistema degenerado, εF e kF sao funcoes unicamente dadensidade de partıdulas n.
n = g2π2~3
∫ kF0 k2dk = g
6π2
(mc~)3
x3
p = g6π2~3 c
2∫ kF
0k4
ε dk = gm4c5
2~3 φ(x)
ε = g2π2~3
∫ kF0 εk2dk = gm4c5
2~3 χ(x)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Onde
x ≡ kFmc (parametro relatividade)
φ(x) = 18π2
x(
23x
2 − 1) (
1 + x2)1/2
+ ln[x +
(1 + x2
)1/2]
χ(x) = 18π2
x(1 + 2x2
) (1 + x2
)1/2 − ln[x +
(1 + x2
)1/2]
E facil ver que kF = (3π2~3)1/3n1/3 e εF = mc2(1 + x)2
Gas de eletrons degenerado (g = 2):
p = 1.42180× 1025φ(x) erg · cm−3
ε = 1.42180× 1025χ(x) erg · cm−3
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
0.0x100 2.0x108 4.0x108 6.0x108 8.0x108 1.0x109
ρ [g.cm-3]
0.0x100
1.0x1026
2.0x1026
3.0x1026
4.0x1026
5.0x1026
P [e
rg.c
m-3
]Z/A=0.50Z/A=0.46Z/A=0.40
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Limite nao-relativıstico (x 1):
φ(x)→ 1
15π2
(x5 − 5
14x7 +
5
24x9 + . . .
)
χ(x)→ 1
3π2
(x3 +
3
10x5 − 3
56x7 + . . .
)Limite ultra-relativıstico (x 1):
φ(x)→ 1
12π2
(x4 − x2 +
3
2ln 2x + . . .
)
χ(x)→ 1
4π2
(x4 + x2 − 1
2ln 2x + . . .
)No primeiro caso, considerando apenas o termo dominante emx5, a pressao ganha a forma p ∝ ρ5/3
No limite relativıstico, obtemos resultado analogo, p ∝ ρ4/3
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Resultados importantes para o limite UR:
kF =(
6π2
g
)1/3~n1/3
ε = gc8π2~3 k
4F = 64/3
8g1/3π2/3~cn4/3
p = 13ε
A densidade de energia e pressao nao dependem da massa dofermion.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Em resumo, uma ana branca e composta basicamente de
um plasma neutro composto por nucleos com numero demassa A e numero atomico Z : Ye = Z
A
densidade de eletrons: ne = YeρmN
entao x =(
3π2~3
mNm3ec
3Yeρ)1/3
→ x =(Yeρ106
)1/3cgs
vemos que o limite nao-relativıstico ocorre para densidadesρ 106/Ye
para ρ 106/Ye o gas torna-se predominantementerelativıstico.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Descoberta dos Pulsares
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Descoberta dos Pulsares
Primeiro pulsar (PSR 1919+21) descoberto em 1967 porJocelyn Bell. Sinais de radio com pulsos de perıodo de 1.3373s. Mais de 1300 observados
Os pulsares foram logo associados as estrelas de neutron
Campo magnetico: 1010 G < B < 1013 G . Terra: ∼ 0.3 G .Sol: ∼ 1 G
Eletrons sao acelerados na direcao dos polos magneticos,emitindo radiacao eletromagnetica (desde ondas de radio ateraios gama)
Emissao de ondas gravitacionais
Magnetares: estrelas de neutron com campos ainda maisintensos (1014 G < B < 1015 G )
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Evidencias observacionais
Pulsares tem perıodos medidos entre 1,6 ms e 4,3 s
Os perıodos apresentam um aumento gradual (”spin-down”).∼ 106 anos
O perıodo diminui ocasionamente com solucos (”glitchs”)
Acredita-se que o ”spin-down” seja devido a transformacao deenergia rotacional em energia EM e a emissao de ondasgravitacionais
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Pulsar de Caranguejo
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Pulsar de Vela
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Ejecao de Pulsares
Observa-se que certas estrelas de neutron ao nascerem nao semovem com a mesma velocidade da estrela progenitora
Sao observadas velocidades entre 200 e 500 km/s.
Entretanto, foram observadas velocidades de ate 1.500 km/s
Nebulosa da Guitarra: v = 800 km/s
Possıvel causa: acentuada assimetria durante a explosao dasupernova
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Estutura da Estrela de Neutron
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Diagrama de Fase
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Caracterısticas
massa / 2M
raio ≈ 10 a 20 km
numero de barions ≈ 1057
densidade central 1 a 8ρ0 (ρ0 = 2, 5× 1014 g/cm3)
materia rica em neutrons
pesenca de partıculas exoticas e com estranhesa: Λ, Σ, Ξ, ∆
crosta (≈ 100 m) formada por uma rede cristalina formadapor nucleos atomicos
existencia de quarks desconfinados nas regioes centrais (?)
emissao de ondas gravitacionais
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Velocidade de Escape/Red shift
Na superfıcie da estrela
g ≈ GMR2 , vesc
c ≈√
2GMRc2 e red shift z =
(1− 2GM
Rc2
)−1/2 − 1
Ana branca tıpica (M ≈ 1 M e R ≈ 109 cm):
g ≈ 108 cm/s2, vescc ≈ 0.02 e z ≈ 1.5× 10−4
Estrela de neutron (M ≈ 1 M e R ≈ 106 cm):
g ≈ 1014 cm/s2, vescc ≈ 0.6 e z ≈ 0.2
Esses numeros mostram que correcoes da relatividade geral saoimportantes para estrelas de neutron massivas, mas podem serdesprezadas para o calculo de estrutura das anas brancas.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacoes Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)
Trabalhos pioneiros:
Tolman, R. C. (1939) Static solutions of Einstein’s fieldequations for spheres of fluid, Phys. Rev. 55, 364Oppenheimer J. R. and Volkoff G. M. (1939) On massiveneutron cores, Phys. Rev. 55, 374
Simetria esferica estacionaria (J = 0). Metrica de Schwarzschild:
ds2 = eν(r)c2dt2−eλ(r)dr2−r2dθ2−r2 sin2 θdφ2; λ = λ(r), ν = ν(r)
Fluido perfeito: Tµν = ( pc2 + ρ)uµuν + pgµν . Para um fluido em
repouso:T00 = ρ, T11 = T22 = T33 = −p
Equacoes de Einstein:
Gµν = −8πG
c4Tµν (1)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacoes TOV:
dp(r)
dr= −G
r2
[ρ(r) +
p(r)
c2
] [m(r) + 4πr3 p(r)
c2
] [1− 2Gm(r)
rc2
]−1
dm(r)
dr= 4πρ(r)r2
r → coordenada radialρ(r)→ densidade de energia no ponto rp(r)→ pressao no ponto r
Quando os termos em 1/c2 sao desprezıveis, obtemos
dp(r)
dr= −Gρ(r)m(r)
r2
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Integracao numerica das Equacoes TOV
passo de integracao: ∆r
entrar com ρc = ρ(r = 0) (densidade central)
pc = p(r = 0) (pressao central)
a integracao da TOV1 no primeiro passo fornece p(r + ∆r)
a integracao da TOV2 no primeiro passo fornece m(r + ∆r)
a equacao de estado fornece ρ(r + ∆r)
raio da estrela: definido pelo valor de r (R = r) quando p = 0(superfıcie da estrela)
massa da estrela: valor de m quando p = 0 (M = m(R))
Equacao de estado f (p, ρ) = 0 deve ser fornecidaConhecida a equacao de estado da materia, as equacoes TOVpodem ser integradas numericamente.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Gravitation and Cosmology, S. Weinberg
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Um laboratorio para a interacao hadronica
densidade entre ∼ 1 ρ0 e ∼ 10 ρ0 no centro da estrela.ρ0 = 2.5× 1014 g/cm3 a densidade da materia nuclear
nas regioes centrais da estrela, os nucleos atomicos deixam deexistir individualmente e se dissolvem em seus constituintesfundamentais
forma-se um plasma de nucleons, eletrons, muons, mesons (K,π, etc), e partıculas exoticas aparecem (Λ, Σ, ∆, Ξ)
acredita-se que nas regioes centrais quarks u, d e s podemestar desconfinados, formando a materia estranha
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacao de Estado para ρ > ρnuclear
a equacao de estado para densidades maiores que a densidadeda materia nuclear saturada nao e conhecida
calcular a equacao de estado significa descrever a interacao
descricao das propriedades da materia nuclear densa (ρ > ρ0)
modelos efetivos de interacao hadronica para a materianuclear: Modelo de Walecka, Thomas Fermi Relativıstico,Potenciais Classicos, etc
modelos efetivos para a interacao entre quarks: modelo dasacola do MIT, massa dependente da densidade,Nambu-Jona-Lasinio
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Octeto Bariônico
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Teoria de campo médio relativística de Walecka
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
meson σ → interacao atrativa (Q = 0, J = 0, I3 = 0)
meson ω → interacao repulsiva (Q = 0, J = 1, I3 = 0)
meson ρ→ assimetria de isospin (Q = −1, 0,+1, J = 1,I3 = 1)
ω → ωµ = (ω0, ω1, ω2, ω3)
ρµ =
ρ01 ρ1
1 ρ21 ρ3
1
ρ02 ρ1
2 ρ22 ρ3
2
ρ03 ρ1
3 ρ23 ρ3
3
(2)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Hadrodinamica Quantica (Walecka, 1974)
Barions (ψB) interagem pela troca dos mesons:σ (escalar), ωµ (vetorial), ~ρ (isovetorial)Lagrangeano:
L =∑B
ψB
[γµ(i∂µ − gωω
µ − gρ~τB · ~ρµ)
− (mB − gσσ)]ψB +
1
2(∂µσ∂
µσ −m2σσ
2)
− 1
3bmN(gσσ)3 − 1
4c(gσσ)4 +
1
2m2ωωµω
µ
− 1
4ωµνω
µν +1
2m2ρ~ρµ · ~ρ µ −
1
4~ρµν~ρ
µν
+∑
l=e−,µ−
ψl(iγµ∂µ −ml)ψl
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
onde
ωµν = ∂µων − ∂νωµ~ρµν = ∂µ~ρν − ∂ν~ρµ − gρ (~ρµ × ~ρν)
a soma em B se extende sobre todo o octeto de barions: n, p,Λ0, Σ−, Σ0, Σ+, Ξ−, Ξ0
gρ, gσ, e gω sao as constantes de acoplamento barion-mesondo modelo
os termos proporcionais a b e c representam termos deauto-interacao do campo σ
o ultimo termo representa a contribuicao dos leptons livres (ee µ)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Determinacao dos parametros do modelo
Parametros: gσ, gω, gρ, b, c
Propriedades da materia nuclear (chumbo!) conhecidas:
energia de ligacao por nucleon: E/N
densidade da materia nuclear saturada: ρ0
compressiilidade: K (ρ0) = 9ρ20
[∂2ε∂ρ2
]ρ=ρ0
energia de simetria (isospin!): asym =g2ρ
12π2m2ρk3F + 1
6k2F
(k2F +m∗2
N )1/2
kF → momento de Fermi
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Propriedades da Matéria Nuclear
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacoes de movimento
∂
∂xµ
[∂L
∂(∂qi/∂xµ)
]− ∂L∂qi
= 0
Aproximacao de campo medio: os campos (operadores) saosubstituıdos pelos valores classicos, e as equacoes deEuler-Lagrange fornecem as equacoes de movimento:
m2σσ = −bmN(gσσ)2 − c(gσσ)3 + gσ
∑B
nsB
m2ωω0 = gω
∑B
nB
m2ρρ03 =
1
2gρ∑B
τ3BnB
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacoes de movimento
Barions:[iγµ∂µ − gωγ
0ω0 −1
2gρτ3Bγ
0ρ03 − (mB − gσσ0)
]ψB = 0
Leptons:[iγµ∂µ −ml ]ψl = 0
onde (para T = 0)
nsB =⟨ψ†Bγ
0ψB
⟩0
=1
(2π)3(mB − gσσ)
∫ kB
0
d3k√k2 + (mB − gσσ)2
e a fonte do campo escalar, e
nB =⟨ψ†BψB
⟩0
=2
(2π)3
∫ kB
0d3k
e a densidade barionica (kB e o momento de Fermi).X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Pressao e densidade de energia
Tensor energia-momento:
Tµν = −gµνL+∑i
∂L∂ (∂qi/∂xµ)
∂qi∂xν
Fluido perfeito: 〈Tµν〉 = (ε+ p)uµuν − pgµν . Com uµ = (1, ~u).
No referencial de repouso (~u = 0) e facil ver que:
p =1
3〈Tii 〉
ε = 〈T00〉
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Pressao e densidade de energia
Explicitamente, obtemos para os barions, eletrons e muons
p = −1
2m2σσ
2 − 1
3bmN(gσσ)3 − 1
4c(gσσ)4 +
1
2m2ωω
20
+1
2m2ρρ
203 +
1
3π2
∑B
∫ kB
0
k4dk√k2 + (mB − gσσ)2
+1
3π2
∑l=e−,µ−
∫ kl
0
k4√k2 + m2
l
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
e
ε =1
2m2σσ
2 +1
3bmN(gσσ)3 +
1
4c(gσσ)4 +
1
2m2ωω
20
+1
2m2ρρ
203 +
1
π2
∑B
∫ kB
0k2dk
√k2 + (mB − gσσ)2
+1
π2
∑l=e−,µ−
∫ kl
0k2dk
√k2 + m2
l
A minimizacao da energia de Gibbs fornece a condicao de equilıbriobeta:
µi = biµn − qiµe
Dois potenciais quımicos independentes: µn e µe . Esses potenciaissao determinados pela conservacao das cargas barionica e eletrica.As equacoes anteriores determinam a equacao de estado.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Parametros do Modelo de Walecka
N. K. Glendenning e S. A. Moszkowski (PRL 67, 2414, 1991)
Table: Coupling constants that yield binding B/A = 16.3 MeV , densityρ0 = 0.153 fm−3, and symmetry energy coefficient, asym = 32.5 MeV , forsaturated nuclear matter with the compression K and effective mass m∗
K (gσ/mσ)2 (gω/mω)2 (gρ/mρ)2
MeV m∗/m (fm2) (fm2) (fm2) b c300 0.70 11.79 7.149 4.411 0.002947 -0.001070300 0.78 9.148 4.820 4.791 0.003478 0.01328240 0.78 9.927 4.820 4.791 0.008659 -0.002421
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
A dinamica e resolvida apenas para os campos mesonicos. Oscampos barionicos, quantizados, apresentam uma solucao de ondaplana.Conservacao da carga barionica:
nb =∑i
ni
Conservacao da carga eletrica:∑i
qini − ne + nµ = 0
onde nb e a densidade barionica (barions por unidade de volume),ni e a densidade de barions da especie i ,
ni =2Si + 1
6π2k3Fi
qi e a carga eletrica do barion em unidades da carga do eletron.X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbrio Beta
Energia de Gibbs - A energia livre de Gibbs (G) torna-se mınimano equilıbrio se a temperatura e a pressao forem mantidasconstantes.
G = E − pV − TS
Sistema homogeneo em equilıbrio termodinamico:E = TS − pV +
∑i µiNi
No equilıbrio, G obedece a condicao: δG = 0.Minimizando a energia livre de Gibbs:
δ(G/V ) = δ
∑l ,B
µini
µi ,p,T
= 0
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
δg = µnδnn + µpδnp + µΛ0δnΛ0 + µΣ−δnΣ− + µΣ0δnΣ0 + µΣ+δnΣ+
+µ∆−δn∆− + µ∆0δn∆0 + µ∆+δn∆+ + µ∆++δn∆++ + µΞ−δnΞ−
+µΞ0δnΞ0 + µΩ−δnΩ− + µeδne + µµδnµ= 0
Conservacao da carga barionica:
nn + np + nΛ0 + nΣ− + nΣ0 + nΣ+ + n∆− + n∆0 + n∆+ + n∆++
+nΞ− + nΞ0 + nΩ−=nB
Conservacao da carga eletrica
np + nΣ+ − nΣ− + n∆+ + 2n∆++ − n∆− − nΞ− − nΩ− − ne − nµ = 0
Variacao de nn:
δnn = −δnp − δnΛ0 − δnΣ− − δnΣ0 − δnΣ+ − δn∆− − δn∆0 − δn∆+
−δn∆++ − δnΞ− − δnΞ0 − δnΩ−
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Variacao de ne :
δne = δnp+δnΣ+−δnΣ−+δn∆++δ2n∆++−δn∆−−δnΞ−−δnΩ−−δnµ = 0
Arbitrando-se µn (carga barionica) e µe (carga eletrica) potenciaisquımicos independentes, obtemos
(µp − µn + µe) δnp + (µΛ0 − µn) δnΛ0
+ (µΣ− − µn − µe) δnΣ− + (µΣ0 − µn) δnΣ0 + (µΣ+ − µn − µe) δnΣ+
+ (µ∆− − µn − µe) δn∆− + (µ∆0 − µn) δn∆0
+ (µ∆+ − µn + µe) δn∆+ + (µ∆++ − µn + 2µe) δn∆++
+ (µΞ− − µn − µe) δnΞ− + (µΞ0 − µn) δnΞ0
+ (µΩ− − µn − µe) δnΩ− + (µµ − µe) δnµ= 0
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equacoes de balanco quımico:
µp = µn − µe , µµ = µe
µΛ = µn
µΣ− = µn + µe
µΣ0 = µn
µΣ+ = µn − µeµ∆− = µn + µe
µ∆0 = µn
µ∆+ = µn − µeµ∆++ = µn − 2µe
µΞ− = µn + µe
µΞ0 = µn
µΩ− = µn + µe
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbrio Beta
µp = µn − µe , µµ = µe
p + e− ↔ n + νe
n→ p + e− + νe
Quando µe > mµ = 105MeV
e− ↔ µ− + νe + νµ
Os neutrinos escapam do sistema!
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Equilıbrio Beta
Equacao de balanco quımico:
µi = biµn − qiµe
Por definicao, o potencial quımico e dado por
µi = gωω0 +1
2gρI3iρ03 +
√k2Fi
+ m∗2i
onde√
k2Fi
+ m∗2i e a energia de Fermi do barion.
A masssa efetiva e dada por
m∗i = mi − gσσ
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Regime subnuclear
1.044× 104ρ < 4, 3× 1011 g · cm−3 - rede de nucleos atomicos eum gas de eletrons relativıstico. EoS BPS (Baym, Pethick andSutherland, 1971)Neutron drip - Para ρ ≥ ×1011 g · cm−3 os nucleos comecam a”gotejar” neutrons. Forma-se a partir daı um gas de neutronslivres.
ρ > 4.3× 1011 g · cm−3 < ρ0 - rede de nucleos atomicos, gas deneutrons livres e gas de eletrons relativıstico. EoS BBP (Baym,Bethe and Pethick, 1971)A figura a seguir mostra a equacao de estado para os tres regimesde densidades: subnuclear sem neutrons livres, subnuclear comneutrons livres e supranuclear (RMFT).
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Decupleto Barionico
Q = I3 + 12 (B + S)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Ressonancia ∆ e Ω0
As ressonancias ∆ (M∆ = 1232MeV ) e a partıcula Ω−
(M = 1382MeV ) sao barions de spin 3/2. Sao descritos pelaequacao de Rarita-Schwinger. Lagrangeano:
L =∑i=B,ς
ψi
[γµ(i∂µ − gωiω
µ − gρi~τi · ~ρµ)
− (mi − gσiσ)]ψi +
1
2(∂µσ∂
µσ −m2σσ
2)
− 1
3bmN(gσBσ)3 − 1
4c(gσBσ)4 +
1
2m2ωωµω
µ
− 1
4ωµνω
µν +1
2m2ρ~ρµ · ~ρ µ −
1
4~ρµν~ρ
µν
+∑
l=e−,µ−
ψl(iγµ∂µ −ml)ψl
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
onde B = n, p, Λ0, Σ−, Σ0, Σ+, Ξ−, Ξ0, e ς = ∆−, ∆0, ∆+,∆++, Ω−.Nao existem medidas experimentais para os valores das constantesde acoplamento ∆-meson. Definindo os parametros
α = gω∆/gωB
β = gσ∆/gσB
γ = gρ∆/gρB
Kosov et al determinaram teoricamente uma janela para os valoresde duas dessas constantes (D. S. Kosov, C. Fuchs, B. V.Martemyanov and A. Faessler, Phuys. Lett. B421, 37, 1998).
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
D. S. Kosov, C. Fuchs, B. V. Martemyanov and A. Faessler, Phuys.Lett. B421, 37 (1998)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Distribuicao de Massa
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Medidas Recentes
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Materia de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Materia Estranha
A hipotese da existencia da materia estranha, isto e, a materiabarionica formada por quarks u, d e s foi formulada por Witten(1984) e Farhi e Jaffe (1984). Propriedades da materia estranha:
verdadeiro estado fundamental da materia
igual numero de quarks u, d e s
materia estranha e eletricamente neutra (Q = 0)
Existe materia estranha no interior das estrelas de neutron?
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo da Sacola do MIT
Quarks livres (sem massa) e relativısticos estao confinados dentroda sacola (nucleon). A energia interna e dada por
ε = ε0 + B
onde ε0 e a densidade de energia cinetica dos quarks, e B e otermo confinante ou energia do vacuo. Os quarks dentro da sacolaformam um gas relativıstico. Entao
ε0 = bn4/3b
Pressao dos quarks:
p = n2b
dε
dn2b
=1
3bn
4/3b − B
Relacao entre p e ε na sacola: p = 13 (ε− 4B)
Unidade da constante de bag B: MeV .fm−3.X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo da Sacola do MIT
Sistema de quarks u, d e s (T = 0) confinados na sacola
p =∑
f =u,d ,s
3
π2
∫ kf
0k2(√
(k2 + m2f )− µq
)dk − µ4
108π2(1− a4)− B
nB =1
3π2
∑f =u,d ,s
(k3u + k3
d + k3s
)ε = −p +
∑f =u,d ,s
µf nf
µf - potencial quımico do quarkB - constante da sacola (energia do vacuo da QCD)a4 - interacao entre os quarks (0 ≤ a4 ≤ 1)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo de quarks com massa dependente da densidade
A masssa dos quarks u, d e s dependem do inverso da densidadebarionica (S. Chakrabarty, 1991, Phys. Rev. D, 43, 627):
mu = md =C
3nb, ms = ms0 +
C
3nb
A constante C representa a densidade de energia no limite dedensidade zero (equivalente ao vacuo da QCD no modelo de sacolado MIT)
nb =nu + nd + ns
3
Motivacao:
interacao entre quarks
liberdade assintotica da QCD
confinamentoX Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo Nambu e Jona-Lasinio SU(3)
Na aproximacao de campo medio a Lagrangeana NJL e dada por(P. Rehberg, S. P. Klevansky, and J. Hufner, Phys. Rev. C53, 410- 1996)
LMFA =∑f
Ψf (ı∂/+ ıγ0GV ρVf −m0f ) Ψf − GS
∑f
ρ2Sf
+GV
∑f
ρ2Vf + 4K
∏f
ρSf (~ = c = 1)
ρSf = 〈Ψf Ψf 〉 (densidade escalar)
ρVf = 〈Ψf γ0Ψf 〉 (densidade vetorial)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo Nambu e Jona-Lasinio SU(3)
As massas constituintes dos quarks sao obtidas pelas equaces deGap acopladas:
∂LMFA
∂Ψf= 0
mVf = m0f − GSρSf + 2K∏f ′ 6=f
ρSf ′
ρSf = 2Nc
∫ ∞0
d3p
(2π)3
mf√p2 + m2
f
(nf + nf )
ρVf = 2Nc
∫ ∞0
d3p
(2π)3(nf − nf )
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Modelo Nambu e Jona-Lasinio SU(3)
A integral no calculo de ρSf pode ser regularizada introduzindo ocut-off Λ:
ρSf =
∫ Λ
0
d3p
(2π)3
mf√p2 + m2
f
(nf + nf )
A densidade vetorial e obtida a partir da densidade barionica ρb:ρb = (1/3)
∑f ρVf
m0f , GS , K e λ sao ajustados pelos valores observados das massasdos mesons π, K e η, e pela constante de decaimento fπ. GV edeterminado em funcao de GS : 0 < GV /GS ≤ 1.
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Decaimentos de u e d
u → d + e+ + νe µu = µd − µed → u + e− + νe
u + d → u + s µd = µs (µd > ms)
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Construindo a Transicao de fase
Condicoes de Gibbs:
PH
(µHb , µ
He , φ
)= PQ
(µQb , µ
Qe , φ
)TH = TQ
µHb = µQb
µHe = µQe
neutrons: µn = 3µHbquarks: µqb = µu+µd+µs
3
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Construindo a Transicao de fase
Fracao do volume relativo ocupado pela materia de quarks:χ = VQ/V (0 ≤ χ ≤)Conservacao da carga barionica:
nb = (1− χ)nHb + χnQb
Conservacao da carga eletrica:
(1− χ)∑i=B,l
qHi nHi + χ
∑i=q,l
qQi nQi = 0
Densidade de energia:
εb = (1− χ)εH + χεQ
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Diagramas massa×raio e massa×densidade
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
Estrela de Quark?
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
6 8 10 12 140.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
6 8 10 12 14 160.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
(b)
(c) (d)
mas
s [Mm
]
radius [km]
(a)
EXO 0748-676
EXO 0748-676
EXO 0748-676
EXO 0748-6764U 1608-52 4U 1608-52
4U 1608-52 4U 1608-52
EXO 1745-248
EXO 1745-248 EXO 1745-248
EXO 1745-248
C = 100 MeV/fm3
ms0 = 50 MeV
C = 90 MeV/fm3
ms0 = 80 MeV
C = 80 MeV/fm3
ms0 = 100 MeV
C = 70 MeV/fm3
ms0 = 150 MeV
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas
Anas BrancasEstrelas de Neutron
Modelos Efetivos/Equacao de Estado da Materia NuclearEstrelas Hıbridas
Estrelas de Quark
X Escola do CBPF Hilario Rodrigues Formacao e Estrutura de Estrelas Compactas